அரிசி. 16. f(x) = x4 4x3 செயல்பாட்டின் நடத்தை
x = 0 என்ற புள்ளியைக் கடக்கும்போது, வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றாது: செயல்பாடு இடைவெளியில் (1; 0] மற்றும் இடைவெளியில் குறைகிறது. எனவே, புள்ளி x = 0 என்பது செயல்பாட்டின் சேணம் புள்ளியாகும்.
ஆனால் x = 3 என்ற புள்ளியைக் கடக்கும்போது, வழித்தோன்றல் குறியை () இலிருந்து (+) ஆக மாற்றுகிறது. நடுவில் 2 .
ஆங்கிலோ-அமெரிக்க அமைப்பு
கணிதவியலாளர்கள், புள்ளியியல் வல்லுநர்கள் மற்றும் சில பொறியியலாளர்கள் பொதுவாக இயற்கை மடக்கை அல்லது “பதிவு(பதிவு) எக்ஸ்)" அல்லது "ln( எக்ஸ்)", மற்றும் அடிப்படை 10 மடக்கைக் குறிக்க - "பதிவு 10 ( எக்ஸ்)».
சில பொறியாளர்கள், உயிரியலாளர்கள் மற்றும் பிற வல்லுநர்கள் எப்போதும் “ln( எக்ஸ்)" (அல்லது எப்போதாவது "பதிவு இ ( எக்ஸ்)") அவை இயற்கை மடக்கையைக் குறிக்கும் போது மற்றும் குறியீடானது "log( எக்ஸ்)" அவை பதிவு 10 ( எக்ஸ்).
பதிவு இஇது ஒரு "இயற்கை" மடக்கை தானாக நிகழும் மற்றும் கணிதத்தில் அடிக்கடி தோன்றும். எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்:
அடிப்படை என்றால் பிசமம் இ, பின்னர் வழித்தோன்றல் வெறுமனே 1/ எக்ஸ், பிறகு எப்போது எக்ஸ்= 1 இந்த வழித்தோன்றல் 1 க்கு சமம். அடிப்படை ஏன் இமடக்கையைப் பற்றிய மிகவும் இயல்பான விஷயம் என்னவென்றால், இது ஒரு எளிய ஒருங்கிணைந்த அல்லது டெய்லர் தொடரின் அடிப்படையில் மிகவும் எளிமையாக வரையறுக்கப்படலாம், இது மற்ற மடக்கைகளைப் பற்றி கூற முடியாது.
இயல்பான தன்மைக்கான கூடுதல் நியாயங்கள் குறிப்பீடுகளுடன் தொடர்புடையவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கை மடக்கைகளுடன் கூடிய பல எளிய தொடர்கள் உள்ளன. பியட்ரோ மெங்கோலி மற்றும் நிக்கோலஸ் மெர்கேட்டர் அவர்களை அழைத்தனர் மடக்கை இயற்கைநியூட்டனும் லீப்னிசும் வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸை உருவாக்கும் வரை பல தசாப்தங்கள்.
வரையறை
முறையாக ln( அ) வரைபடம் 1/ வளைவின் கீழ் பகுதி என வரையறுக்கலாம் எக்ஸ் 1 முதல் அ, அதாவது ஒரு ஒருங்கிணைப்பாக:
இது உண்மையிலேயே ஒரு மடக்கையாகும், ஏனெனில் இது மடக்கையின் அடிப்படைப் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது:
பின்வருமாறு அனுமானிப்பதன் மூலம் இதை நிரூபிக்க முடியும்:
எண் மதிப்பு
கணக்கீட்டிற்கு எண் மதிப்புஒரு எண்ணின் இயற்கை மடக்கை, அதன் டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கத்தை நீங்கள் வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம்:
சிறந்த ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தைப் பெற, பின்வரும் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
எல்என் ( எக்ஸ்), எங்கே எக்ஸ்> 1, மதிப்பு நெருக்கமாக இருக்கும் எக்ஸ் 1 க்கு, வேகமாக குவிதல் விகிதம். மடக்கையுடன் தொடர்புடைய அடையாளங்கள் இலக்கை அடைய பயன்படுத்தப்படலாம்:
கால்குலேட்டர்களின் வருகைக்கு முன்பே இந்த முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன, இதற்காக எண் அட்டவணைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன மற்றும் மேலே விவரிக்கப்பட்டதைப் போன்ற கையாளுதல்கள் செய்யப்பட்டன.
உயர் துல்லியம்
அதிக எண்ணிக்கையிலான துல்லியமான இலக்கங்களைக் கொண்ட இயற்கை மடக்கைக் கணக்கிடுவதற்கு, டெய்லர் தொடர் திறமையாக இல்லை, ஏனெனில் அதன் ஒருங்கிணைப்பு மெதுவாக உள்ளது. ஒரு மாற்றாக நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அதிவேகச் செயல்பாட்டின் தொடர் விரைவாக ஒன்றிணைகிறது.
மிக உயர்ந்த கணக்கீட்டு துல்லியத்திற்கான மாற்று சூத்திரம்:
எங்கே எம் 1 மற்றும் 4/s என்ற எண்கணித-வடிவியல் சராசரியைக் குறிக்கிறது, மற்றும்
மீஅதனால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது பதுல்லியத்தின் மதிப்பெண்கள் அடையப்படுகின்றன. (பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், m க்கு 8 இன் மதிப்பு போதுமானது.) உண்மையில், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினால், நியூட்டனின் இயற்கை மடக்கையின் தலைகீழ் திறம்பட கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம். அதிவேக செயல்பாடு. (எல்என் 2 மற்றும் பை மாறிலிகள், அறியப்பட்ட வேகமான ஒன்றுகூடும் தொடர்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய துல்லியத்திற்கு முன்கூட்டியே கணக்கிடப்படலாம்.)
கணக்கீட்டு சிக்கலானது
இயற்கை மடக்கைகளின் கணக்கீட்டு சிக்கலானது (கணித-வடிவியல் சராசரியைப் பயன்படுத்தி) O( எம்(n)எல்என் n) இங்கே nஇயற்கை மடக்கை மதிப்பீடு செய்யப்பட வேண்டிய துல்லியமான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை, மற்றும் எம்(n) என்பது இரண்டை பெருக்கும் கணக்கீட்டு சிக்கலானது n- இலக்க எண்கள்.
தொடரும் பின்னங்கள்
மடக்கையைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த எளிய தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் இல்லை என்றாலும், பல பொதுவான தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் பயன்படுத்தலாம், அவற்றுள்:
சிக்கலான மடக்கைகள்
படிவத்தின் சிக்கலான எண்ணைக் கொடுக்கும் செயல்பாட்டிற்கு அதிவேக சார்பு நீட்டிக்கப்படலாம் இ எக்ஸ்எந்தவொரு தன்னிச்சையான கலப்பு எண்ணிற்கும் எக்ஸ், இந்த விஷயத்தில் சிக்கலான ஒரு எல்லையற்ற தொடர் எக்ஸ். இது அதிவேக செயல்பாடுஒரு சிக்கலான மடக்கையை உருவாக்க தலைகீழாக மாற்றலாம் பெரும்பாலானசாதாரண மடக்கைகளின் பண்புகள். இருப்பினும், இரண்டு சிரமங்கள் உள்ளன: இல்லை எக்ஸ், எதற்காக இ எக்ஸ்= 0, மற்றும் அது மாறிவிடும் இ 2πi = 1 = இ 0 . ஒரு சிக்கலான அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு பெருக்கல் பண்பு செல்லுபடியாகும் என்பதால் இ z = இ z+2nπiஅனைத்து சிக்கலானது zமற்றும் முழு n.
மடக்கையை முழு சிக்கலான விமானத்தின் மீதும் வரையறுக்க முடியாது, மேலும் அது பன்முகப்படுத்தப்பட்டாலும் - எந்த ஒரு சிக்கலான மடக்கையும் 2 இன் எந்த முழு எண்ணையும் சேர்ப்பதன் மூலம் "சமமான" மடக்கையால் மாற்ற முடியும். πi. சிக்கலான மடக்கையானது சிக்கலான விமானத்தின் ஒரு துண்டில் மட்டுமே ஒற்றை மதிப்பாக இருக்க முடியும். உதாரணமாக, ln நான் = 1/2 πiஅல்லது 5/2 πiஅல்லது −3/2 πi, முதலியன, மற்றும் என்றாலும் நான் 4 = 1.4 பதிவு நான் 2 என வரையறுக்கலாம் πi, அல்லது 10 πiஅல்லது -6 πi, மற்றும் பல.
மேலும் பார்க்கவும்
- ஜான் நேப்பியர் - மடக்கைகளை கண்டுபிடித்தவர்
குறிப்புகள்
- இயற்பியல் வேதியியலுக்கான கணிதம். - 3வது. - அகாடமிக் பிரஸ், 2005. - பி. 9. - ISBN 0-125-08347-5, பக்கம் 9 இன் சாறு
- ஜே ஜே ஓ"கானர் மற்றும் ஈ எஃப் ராபர்ட்சன்எண் இ. கணிதக் காப்பகத்தின் MacTutor வரலாறு (செப்டம்பர் 2001). காப்பகப்படுத்தப்பட்டது
- கஜோரி புளோரியன்கணிதத்தின் வரலாறு, 5வது பதிப்பு. - ஏஎம்எஸ் புத்தகக் கடை, 1991. - பி. 152. - ஐஎஸ்பிஎன் 0821821024
- ஃப்ளாஷ்மேன், மார்ட்டின்பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பிடுதல். பிப்ரவரி 12, 2012 அன்று மூலத்திலிருந்து காப்பகப்படுத்தப்பட்டது.
இயற்கை மடக்கை செயல்பாட்டின் வரைபடம். செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது நேர்மறை முடிவிலியை மெதுவாக அணுகுகிறது எக்ஸ்மற்றும் விரைவில் எதிர்மறை முடிவிலியை அணுகும் போது எக்ஸ் 0 ("மெதுவான" மற்றும் "வேகமான" எந்த சக்தி செயல்பாட்டுடனும் ஒப்பிடும்போது எக்ஸ்).
இயற்கை மடக்கை தளத்திற்கு மடக்கை ஆகும் , எங்கே இ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் இ)- தோராயமாக 2.72 க்கு சமமான பகுத்தறிவற்ற மாறிலி. என குறிக்கப்படுகிறது ln x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \ln x), பதிவு e x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \log _(e)x)அல்லது சில நேரங்களில் வெறும் பதிவு x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \log x), அடிப்படை என்றால் இ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் இ)மறைமுகமாக . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணின் இயற்கை மடக்கை எக்ஸ்- இது ஒரு எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய ஒரு அடுக்கு ஆகும் இ, பெற எக்ஸ். இந்த வரையறை சிக்கலான எண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம்.
ln e = 1 (\displaystyle \ln e=1), ஏனெனில் e 1 = e (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் e^(1)=e); ln 1 = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \ln 1=0), ஏனெனில் இ 0 = 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் இ^(0)=1).இயற்கை மடக்கை எந்த நேர்மறை உண்மையான எண்ணுக்கும் வடிவியல் ரீதியாக வரையறுக்கப்படலாம் அவளைவின் கீழ் பகுதி என y = 1 x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y=(\frac (1)(x)))நடுவில் [ 1 ; a ] (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்). இந்த வரையறையின் எளிமை, இந்த மடக்கையைப் பயன்படுத்தும் பல சூத்திரங்களுடன் ஒத்துப்போகிறது, இது "இயற்கை" என்ற பெயரின் தோற்றத்தை விளக்குகிறது.
இயற்கை மடக்கையை ஒரு உண்மையான மாறியின் உண்மையான செயல்பாடாகக் கருதினால், அது அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடாகும், இது அடையாளங்களுக்கு வழிவகுக்கிறது:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)அனைத்து மடக்கைகளைப் போலவே, இயற்கை மடக்கையும் கூட்டல் பெருக்கத்தை வரைபடமாக்குகிறது:
ln x y = ln x + ln y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.
தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்
தனிப்பட்ட தகவல் என்பது அடையாளம் காண பயன்படுத்தக்கூடிய தரவைக் குறிக்கிறது குறிப்பிட்ட நபர்அல்லது அவருடனான தொடர்பு.
நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.
நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.
என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:
- நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.
உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:
- தனிப்பட்ட சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல் அனுமதிக்கிறது.
- அவ்வப்போது, முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
- நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
- பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்
உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.
விதிவிலக்குகள்:
- தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகள் மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் அரசு நிறுவனங்கள்ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்தவும். பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
- மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.
தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு
உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.
நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்
உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.
அடிக்கடி ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் இ = 2,718281828 . இந்த அடிப்படையை அடிப்படையாகக் கொண்ட மடக்கைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன இயற்கை. இயற்கை மடக்கைகளுடன் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, அடையாளத்துடன் செயல்படுவது பொதுவானது எல்n, ஆனால் இல்லை பதிவு; எண் போது 2,718281828 , அடிப்படையை வரையறுப்பது, குறிப்பிடப்படவில்லை.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உருவாக்கம் இப்படி இருக்கும்: இயற்கை மடக்கைஎண்கள் எக்ஸ்- இது ஒரு எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய ஒரு அடுக்கு ஆகும் இ, பெற எக்ஸ்.
அதனால், ln(7,389...)= 2, முதல் இ 2 =7,389... . எண்ணின் இயற்கை மடக்கை இ= 1 ஏனெனில் இ 1 =இ, மற்றும் ஒற்றுமையின் இயற்கை மடக்கை பூஜ்ஜியம், என்பதால் இ 0 = 1.
எண் தானே இஒரு மோனோடோன் எல்லைக்குட்பட்ட வரிசையின் வரம்பை வரையறுக்கிறது
என்று கணக்கிட்டார் இ = 2,7182818284... .
பெரும்பாலும், நினைவகத்தில் ஒரு எண்ணை சரிசெய்ய, தேவையான எண்ணின் இலக்கங்கள் சில நிலுவையில் உள்ள தேதியுடன் தொடர்புடையவை. ஒரு எண்ணின் முதல் ஒன்பது இலக்கங்களை மனப்பாடம் செய்யும் வேகம் இலியோ டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டு 1828 என்பதை நீங்கள் கவனித்தால் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு அதிகரிக்கும்!
இன்று போதுமானவை உள்ளன முழு அட்டவணைகள்இயற்கை மடக்கைகள்.
இயற்கை மடக்கை வரைபடம்(செயல்பாடுகள் y =ln x) என்பது அதிவேக வரைபடத்தின் விளைவாகும் கண்ணாடி படம்ஒப்பீட்டளவில் நேராக y = xமற்றும் வடிவம் உள்ளது:
ஒவ்வொரு நேர்மறை உண்மையான எண்ணுக்கும் இயற்கை மடக்கைக் காணலாம் அவளைவின் கீழ் பகுதி என ஒய் = 1/எக்ஸ்இருந்து 1 முன் அ.
இந்த சூத்திரத்தின் அடிப்படை இயல்பு, இயற்கை மடக்கை சம்பந்தப்பட்ட பல சூத்திரங்களுடன் ஒத்துப்போகிறது, இது "இயற்கை" என்ற பெயர் உருவாவதற்கு காரணமாகும்.
நீங்கள் பகுப்பாய்வு செய்தால் இயற்கை மடக்கை, ஒரு உண்மையான மாறியின் உண்மையான செயல்பாடாக, அது செயல்படுகிறது தலைகீழ் செயல்பாடு ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு, இது அடையாளங்களைக் குறைக்கிறது:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
அனைத்து மடக்கைகளுடனும் ஒப்புமை மூலம், இயற்கை மடக்கை பெருக்கத்தை கூட்டலாகவும், பிரிவை கழித்தலாகவும் மாற்றுகிறது:
ln(xy) = ln(எக்ஸ்) + ln(ஒய்)
ln(x/y)= lnx - lny
மடக்கை என்பது ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாத ஒவ்வொரு நேர்மறை தளத்திற்கும் மட்டும் அல்ல இ, ஆனால் மற்ற தளங்களுக்கான மடக்கைகள் இயற்கை மடக்கையிலிருந்து ஒரு நிலையான காரணியால் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, மேலும் அவை பொதுவாக இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
பகுப்பாய்வு செய்தபின் இயற்கை மடக்கை வரைபடம்,மாறியின் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இது இருப்பதைக் காண்கிறோம் எக்ஸ். இது அதன் வரையறையின் களத்தில் ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது.
மணிக்கு எக்ஸ் → 0 இயற்கை மடக்கையின் வரம்பு முடிவிலி கழித்தல் ( -∞ ).அதில் x → +∞ இயற்கை மடக்கையின் வரம்பு மற்றும் முடிவிலி ( + ∞ ) பெரியதாக எக்ஸ்மடக்கை மிகவும் மெதுவாக அதிகரிக்கிறது. எந்த சக்தி செயல்பாடு xaநேர்மறை அடுக்குடன் அமடக்கை விட வேகமாக அதிகரிக்கிறது. இயற்கை மடக்கை என்பது ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடாகும், எனவே அதற்கு எக்ஸ்ட்ரீமா இல்லை.
பயன்பாடு இயற்கை மடக்கைகள்கடந்து செல்லும் போது மிகவும் பகுத்தறிவு உயர் கணிதம். எனவே, மடக்கையைப் பயன்படுத்துவது, அறியப்படாதவை அடுக்குகளாகத் தோன்றும் சமன்பாடுகளுக்கான பதிலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு வசதியானது. கணக்கீடுகளில் இயற்கை மடக்கைகளின் பயன்பாடு பெரிதும் எளிமைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைகணித சூத்திரங்கள். தளத்திற்கு மடக்கைகள் இ கணிசமான எண்ணிக்கையிலான உடல் பிரச்சனைகளை தீர்ப்பதில் உள்ளன மற்றும் தனிப்பட்ட இரசாயன, உயிரியல் மற்றும் பிற செயல்முறைகளின் கணித விளக்கத்தில் இயற்கையாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. எனவே, அறியப்பட்ட அரை-வாழ்க்கைக்கான சிதைவு மாறிலியைக் கணக்கிட அல்லது கதிரியக்கத்தின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் சிதைவு நேரத்தைக் கணக்கிட மடக்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவர்கள் கணிதம் மற்றும் நடைமுறை அறிவியலின் பல பிரிவுகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றனர்; பெரிய எண்ணிக்கைகூட்டு வட்டி கணக்கீடு உட்பட பணிகள்.
