பெர்னௌலி, கௌச்சி - புனியாகோவ்ஸ்கி, மின்கோவ்ஸ்கி, செபிஷேவ் சமத்துவமின்மை உள்ளிட்ட முக்கிய வகை ஏற்றத்தாழ்வுகள் வழங்கப்படுகின்றன. ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் மீதான செயல்கள் கருதப்படுகின்றன. ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அடிப்படை ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான சூத்திரங்கள்

உலகளாவிய ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான சூத்திரங்கள்

உலகளாவிய ஏற்றத்தாழ்வுகள் அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுகளின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் திருப்தி அளிக்கின்றன. உலகளாவிய ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முக்கிய வகைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

1) | ஒரு b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |அ| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |அ| - |b| |

3)
a 1 = a 2 = ... = a n என்ற போதுதான் சமத்துவம் ஏற்படும்.

4) Cauchy-Bunyakovsky சமத்துவமின்மை

அனைத்து k = 1, 2, ..., n மற்றும் சில α, β, |α| + |β| > 0.

5) மின்கோவ்ஸ்கியின் சமத்துவமின்மை, ப ≥ 1க்கு

திருப்திகரமான ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சூத்திரங்கள்

திருப்திகரமான ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அடையும் போது சில மதிப்புகள்அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுகள்.

1) பெர்னோலியின் சமத்துவமின்மை:
.
மேலும் பொதுவான பார்வை:
,
எங்கே , ஒரே அடையாளத்தின் எண்கள் மற்றும் அதை விட பெரியது -1 : .
பெர்னோலியின் லெம்மா:
.
"சமத்துவமின்மைக்கான சான்றுகள் மற்றும் பெர்னோலியின் லெம்மா" பார்க்கவும்.

2)
a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) க்கு.

3) செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை
மணிக்கு 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n மற்றும் 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
மணிக்கு 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n மற்றும் b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செபிஷேவ் சமத்துவமின்மை
மணிக்கு 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n மற்றும் 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n மற்றும் கே இயற்கை
.
மணிக்கு 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n மற்றும் b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள்

ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள் அவற்றை மாற்றும் போது திருப்தி அடையும் விதிகளின் தொகுப்பாகும். ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகள் கீழே உள்ளன. சில முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்த x i (i = 1, 2, 3, 4) மதிப்புகளுக்கு அசல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அளிக்கின்றன என்பது புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

1) பக்கங்களின் வரிசை மாறும்போது, ​​சமத்துவமின்மை அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது.
x 1 என்றால்< x 2 , то x 2 >x 1
x 1 ≤ x 2 என்றால், x 2 ≥ x 1.
x 1 ≥ x 2 என்றால், x 2 ≤ x 1.
x 1 > x 2 என்றால் x 2< x 1 .

2) ஒரு சமத்துவம் இரண்டு பலவீனமான சமத்துவமின்மைக்கு சமம் வெவ்வேறு அடையாளம்.
x 1 = x 2 என்றால், x 1 ≤ x 2 மற்றும் x 1 ≥ x 2.
x 1 ≤ x 2 மற்றும் x 1 ≥ x 2 எனில், x 1 = x 2.

3) டிரான்சிட்டிவிட்டி சொத்து
x 1 என்றால்< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 என்றால்< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 ≤ x 2 மற்றும் x 2 என்றால்< x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 ≤ x 2 மற்றும் x 2 ≤ x 3 எனில், x 1 ≤ x 3.

4) சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே எண்ணைச் சேர்க்கலாம் (கழித்தல்).
x 1 என்றால்< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
x 1 ≤ x 2 என்றால், x 1 + A ≤ x 2 + A.
x 1 ≥ x 2 என்றால், x 1 + A ≥ x 2 + A.
x 1 > x 2 என்றால், x 1 + A > x 2 + A.

5) ஒரே திசையின் அடையாளத்துடன் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருந்தால், அவற்றின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களைச் சேர்க்கலாம்.
x 1 என்றால்< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 என்றால்< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 ≤ x 2 , x 3 என்றால்< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 எனில், x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
இதே போன்ற வெளிப்பாடுகள் ≥, > குறிகளுக்கும் பொருந்தும்.
அசல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் கடுமையான சமத்துவமின்மை மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு கடுமையான சமத்துவமின்மையின் அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால் (ஆனால் எல்லா அறிகுறிகளும் ஒரே திசையைக் கொண்டுள்ளன), பின்னர் கூட்டல் கடுமையான சமத்துவமின்மையை ஏற்படுத்துகிறது.

6) சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கலாம் (வகுக்கலாம்).
x 1 என்றால்< x 2 и A >0, பின்னர் A x 1< A · x 2 .
x 1 ≤ x 2 மற்றும் A > 0 எனில், A x 1 ≤ A x 2.
x 1 ≥ x 2 மற்றும் A > 0 எனில், A x 1 ≥ A x 2.
x 1 > x 2 மற்றும் A > 0 எனில், A · x 1 > A · x 2.

7) சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கமும் பெருக்கப்படலாம் (வகுக்கலாம்). எதிர்மறை எண். இந்த வழக்கில், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்.
x 1 என்றால்< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
x 1 ≤ x 2 மற்றும் A என்றால்< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
x 1 ≥ x 2 மற்றும் A என்றால்< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
x 1 > x 2 மற்றும் A என்றால்< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) ஒரே திசையின் அடையாளத்துடன் நேர்மறை சொற்களுடன் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருந்தால், அவற்றின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முடியும்.
x 1 என்றால்< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 பிறகு x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 என்றால்< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 பிறகு x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 ≤ x 2 , x 3 என்றால்< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 பிறகு x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 எனில் x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
இதே போன்ற வெளிப்பாடுகள் ≥, > குறிகளுக்கும் பொருந்தும்.
அசல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் கடுமையான சமத்துவமின்மை மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு கடுமையான சமத்துவமின்மையின் அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால் (ஆனால் எல்லா அறிகுறிகளும் ஒரே திசையைக் கொண்டுள்ளன), பின்னர் பெருக்கல் கடுமையான சமத்துவமின்மையை ஏற்படுத்துகிறது.

9) f(x) ஒரு சலிப்பான அதிகரிக்கும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். அதாவது, எந்த x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). பின்னர் இந்த செயல்பாடு சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் பயன்படுத்தப்படலாம், இது சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்றாது.
x 1 என்றால்< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
x 1 ≤ x 2 என்றால் f(x 1) ≤ f(x 2) .
x 1 ≥ x 2 என்றால் f(x 1) ≥ f(x 2) .
x 1 > x 2 எனில், f(x 1) > f(x 2).

10) f(x) ஒரு சலிப்பான குறையும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதாவது, எந்த x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
x 1 என்றால்< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
x 1 ≤ x 2 என்றால் f(x 1) ≥ f(x 2) .
x 1 ≥ x 2 என்றால் f(x 1) ≤ f(x 2) .
x 1 > x 2 என்றால் f(x 1)< f(x 2) .

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

சமத்துவமின்மை ஒரு மாறியை உள்ளடக்கியிருந்தால் இடைவெளி முறை பொருந்தும், அதை நாம் x எனக் குறிப்பிடுகிறோம், மேலும் அது வடிவம் கொண்டது:
f(x) > 0
எங்கே f(x) - தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளைக் கொண்டது. சமத்துவமின்மை அடையாளம் எதுவாகவும் இருக்கலாம்: >, ≥,<, ≤ .

இடைவெளி முறை பின்வருமாறு.

1) f(x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிந்து எண் அச்சில் இடைவெளிகளைக் கொண்டு அதைக் குறிக்கவும்.

2) f(x) செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். எடுத்துக்காட்டாக, இது ஒரு பின்னமாக இருந்தால், வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும் புள்ளிகளைக் காணலாம். இந்த புள்ளிகளை எண் அச்சில் குறிக்கிறோம்.

3) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்
f(x) = 0 .
இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களை எண் அச்சில் குறிக்கிறோம்.

4) இதன் விளைவாக, எண் அச்சு புள்ளிகளால் இடைவெளிகளாக (பிரிவுகள்) பிரிக்கப்படும். வரையறையின் டொமைனில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும், நாம் எந்தப் புள்ளியையும் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம். இந்த மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், பிரிவுக்கு (இடைவெளி) மேலே “+” அடையாளத்தை வைக்கிறோம். இந்த மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், பிரிவுக்கு (இடைவெளி) மேலே “-” அடையாளத்தை வைக்கிறோம்.

5) சமத்துவமின்மை வடிவம் இருந்தால்: f(x) > 0, பின்னர் "+" அடையாளத்துடன் இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இந்த இடைவெளிகளை இணைப்பதாகும், அவை அவற்றின் எல்லைகளை உள்ளடக்காது.
சமத்துவமின்மை வடிவம் இருந்தால்: f(x) ≥ 0, பின்னர் தீர்வுக்கு f(x) = 0 புள்ளிகளைச் சேர்க்கிறோம். அதாவது, சில இடைவெளிகள் மூடிய எல்லைகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (எல்லை இடைவெளிக்கு சொந்தமானது). மற்ற பகுதி திறந்த எல்லைகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (எல்லை இடைவெளிக்கு சொந்தமானது அல்ல).
இதேபோல், சமத்துவமின்மை வடிவம் இருந்தால்: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
சமத்துவமின்மை வடிவம் இருந்தால்: f(x) ≤ 0, பின்னர் தீர்வுக்கு f(x) = 0 புள்ளிகளைச் சேர்க்கிறோம்.

அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

இந்த முறை எந்த சிக்கலான சமத்துவமின்மைக்கும் பொருந்தும். ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் குறைப்பதற்கும், தீர்வைப் பெறுவதற்கும் பண்புகளை (மேலே வழங்கப்பட்டுள்ளது) பயன்படுத்துவதைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒன்று மட்டுமல்ல, ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பையும் ஏற்படுத்தும் என்பது மிகவும் சாத்தியம். இது ஒரு உலகளாவிய முறை. எந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கும் இது பொருந்தும்.

குறிப்புகள்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009.

மாணவர்களிடமிருந்து அதிகபட்ச கவனமும் விடாமுயற்சியும் தேவைப்படும் தலைப்புகளில் ஒன்று ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதாகும். சமன்பாடுகளுக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது மற்றும் அதே நேரத்தில் அவற்றிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது. ஏனெனில் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு சிறப்பு அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது.

பதில் கண்டுபிடிக்க தேவையான பண்புகள்

அவை அனைத்தும் ஏற்கனவே உள்ள உள்ளீட்டை சமமான பதிலுடன் மாற்றப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றில் பெரும்பாலானவை சமன்பாடுகளில் இருந்ததைப் போலவே உள்ளன. ஆனால் வேறுபாடுகளும் உள்ளன.

• ODZ இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு அல்லது எந்த எண்ணும் அசல் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கப்படலாம்.
• அதேபோல், பெருக்கல் சாத்தியம், ஆனால் நேர்மறை செயல்பாடு அல்லது எண்ணால் மட்டுமே.
• இந்தச் செயல் எதிர்மறையான செயல்பாடு அல்லது எண்ணைக் கொண்டு நிகழ்த்தப்பட்டால், சமத்துவமின்மை குறியை எதிர்மாறாக மாற்ற வேண்டும்.
• எதிர்மறையாக இல்லாத செயல்பாடுகளை நேர்மறை சக்தியாக உயர்த்த முடியும்.

சில நேரங்களில் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பது புறம்பான பதில்களை வழங்கும் செயல்களுடன் சேர்ந்துள்ளது. ஒப்பிடுவதன் மூலம் அவை விலக்கப்பட வேண்டும் ODZ பகுதிமற்றும் பல தீர்வுகள்.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துதல்

வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும் சமன்பாட்டிற்கு ஏற்றத்தாழ்வைக் குறைப்பதே அதன் சாராம்சம்.

1. மாறிகளின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகள், அதாவது ODZ இருக்கும் பகுதியைத் தீர்மானிக்கவும்.
2. கணித செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையை மாற்றவும், இதனால் வலது பக்கம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.
3. சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை “=” என்று மாற்றி, அதற்குரிய சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
4. எண் அச்சில், தீர்வின் போது பெறப்பட்ட அனைத்து பதில்களையும், OD இடைவெளிகளையும் குறிக்கவும். கடுமையான சமத்துவமின்மை ஏற்பட்டால், புள்ளிகள் துளையிடப்பட்டதாக வரையப்பட வேண்டும். சம அடையாளம் இருந்தால், அவை வர்ணம் பூசப்பட வேண்டும்.
5. ODZ இன் புள்ளிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் அசல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தையும் அதைப் பிரிக்கும் பதில்களையும் தீர்மானிக்கவும். ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறவில்லை என்றால், அது பதிலில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இல்லையெனில், அது விலக்கப்படும்.
6. ODZ க்கான எல்லைப் புள்ளிகள் மேலும் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் பதிலில் சேர்க்கப்பட வேண்டுமா இல்லையா.
7. இதன் விளைவாக வரும் பதில் ஒருங்கிணைந்த தொகுப்புகளின் வடிவத்தில் எழுதப்பட வேண்டும்.

இரட்டை ஏற்றத்தாழ்வுகள் பற்றி கொஞ்சம்

அவர்கள் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். அதாவது, சில செயல்பாடு ஒரே நேரத்தில் இரண்டு முறை நிபந்தனைகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது. அசலானது பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படும்போது இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகள் இரண்டின் அமைப்பாகத் தீர்க்கப்படுகின்றன. மற்றும் இடைவெளி முறையில், இரண்டு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதில் இருந்து பதில்கள் குறிக்கப்படுகின்றன.

அவற்றைத் தீர்க்க, மேலே சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும் அனுமதிக்கப்படுகிறது. அவர்களின் உதவியுடன், சமத்துவமின்மையை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்க வசதியாக உள்ளது.

ஒரு மாடுலஸ் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் பற்றி என்ன?

இந்த வழக்கில், ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வு பின்வரும் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் அவை "a" இன் நேர்மறையான மதிப்புக்கு செல்லுபடியாகும்.

"x" எடுத்தால் இயற்கணித வெளிப்பாடு, பின்னர் பின்வரும் மாற்றீடுகள் செல்லுபடியாகும்:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a முதல் x வரை< -a или х >அ.

ஏற்றத்தாழ்வுகள் கண்டிப்பாக இல்லை என்றால், சூத்திரங்களும் சரியானவை, அவற்றில் மட்டுமே, அதிக அல்லது குறைவான அடையாளத்துடன் கூடுதலாக, "=" தோன்றும்.

சமத்துவமின்மை அமைப்பு எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகிறது?

அத்தகைய பணி வழங்கப்படும் அல்லது இரட்டை சமத்துவமின்மையின் பதிவு அல்லது பதிவில் ஒரு தொகுதி தோன்றும் சந்தர்ப்பங்களில் இந்த அறிவு தேவைப்படும். அத்தகைய சூழ்நிலையில், பதிவில் உள்ள அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் பூர்த்தி செய்யும் மாறிகளின் மதிப்புகள் தீர்வாக இருக்கும். அத்தகைய எண்கள் இல்லை என்றால், கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

சமத்துவமின்மை அமைப்பின் தீர்வு மேற்கொள்ளப்படும் திட்டத்தின் படி:

• அவை ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாக தீர்க்கவும்;
• எண் அச்சில் அனைத்து இடைவெளிகளையும் சித்தரித்து அவற்றின் குறுக்குவெட்டுகளைத் தீர்மானிக்கவும்;
• கணினியின் பதிலை எழுதுங்கள், இது இரண்டாவது பத்தியில் என்ன நடந்தது என்பதன் கலவையாக இருக்கும்.

பகுதி சமத்துவமின்மைக்கு என்ன செய்வது?

அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கு சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டியிருக்கலாம் என்பதால், நீங்கள் மிகவும் கவனமாகவும் கவனமாகவும் திட்டத்தின் அனைத்து புள்ளிகளையும் பின்பற்ற வேண்டும். இல்லையெனில், நீங்கள் எதிர் பதில் பெறலாம்.

பகுதியளவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதும் இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துகிறது. மற்றும் செயல் திட்டம் இப்படி இருக்கும்:

• விவரிக்கப்பட்ட பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, பின்னத்திற்கு ஒரு வடிவத்தைக் கொடுங்கள், அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியம் மட்டுமே இருக்கும்.
• சமத்துவமின்மையை “=” உடன் மாற்றி, செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
• ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் அவற்றைக் குறிக்கவும். இந்த வழக்கில், வகுப்பில் உள்ள கணக்கீடுகளின் விளைவாக பெறப்பட்ட எண்கள் எப்போதும் குத்தப்படும். மற்ற அனைத்தும் சமத்துவமின்மை நிலையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை.
• அடையாளத்தின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
• பதிலுக்கு, அசல் சமத்துவமின்மையுடன் தொடர்புடைய அந்த இடைவெளிகளின் ஒன்றியத்தை எழுதுங்கள்.

சமத்துவமின்மையில் பகுத்தறிவின்மை தோன்றும் சூழ்நிலைகள்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், குறியீட்டில் ஒரு கணித வேர் உள்ளது. பள்ளி இயற்கணிதம் படிப்பில் இருந்து பெரும்பாலானவைஅசைன்மென்ட்கள் வர்க்க மூலத்திற்கானது, இதுவே கருத்தில் கொள்ளப்படும்.

தீர்வு பகுத்தறிவற்ற ஏற்றத்தாழ்வுகள்அசல் ஒன்றுக்கு சமமான இரண்டு அல்லது மூன்று அமைப்பைப் பெறுவதற்கு கீழே வருகிறது.

அசல் சமத்துவமின்மை	நிலை	சமமான அமைப்பு
√ n(x)< m(х)	m(x) 0 ஐ விட குறைவாக அல்லது சமம்	தீர்வுகள் இல்லை
	m(x) 0 ஐ விட அதிகம்	n(x) என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது n(x) > (m(x)) 2
		n(x) என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது m(x) 0 க்கும் குறைவானது
√n(x) ≤ m(x)	m(x) 0 க்கும் குறைவானது	தீர்வுகள் இல்லை
	m(x) 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது	n(x) என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது m(x) 0 க்கும் குறைவானது
√ n(x)< √ m(х)		n(x) என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது n(x) m(x) ஐ விட குறைவாக
√n(x) * m(x)< 0		n(x) 0 ஐ விட அதிகம் m(x) 0 க்கும் குறைவானது
√n(x) * m(x) > 0		n(x) 0 ஐ விட அதிகம் m(x) 0 ஐ விட அதிகம்
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) 0 ஐ விட அதிகம்
		n(x) சமம் 0 m(x) - ஏதேனும்
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) 0 ஐ விட அதிகம்
		n(x) சமம் 0 m(x) - ஏதேனும்

பல்வேறு வகையான ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பற்றிய கோட்பாட்டிற்கு தெளிவு சேர்க்கும் வகையில், எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

முதல் உதாரணம். 2x - 4 > 1 + x

தீர்வு: ADI ஐத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம் சமத்துவமின்மையைக் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டும். இருந்து உருவாகிறது நேரியல் செயல்பாடுகள், எனவே மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது.

இப்போது நீங்கள் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் (1 + x) கழிக்க வேண்டும். இது மாறிவிடும்: 2x - 4 - (1 + x) > 0. அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்பட்டு, ஒத்த சொற்கள் கொடுக்கப்பட்ட பிறகு, சமத்துவமின்மை பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: x - 5 > 0.

பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால், அதன் தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: x = 5.

இப்போது எண் 5 உடன் இந்த புள்ளியை ஒருங்கிணைப்பு கதிரில் குறிக்க வேண்டும். பின்னர் அசல் செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளை சரிபார்க்கவும். மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி முதல் 5 வரையிலான முதல் இடைவெளியில், நீங்கள் எண் 0 ஐ எடுத்து மாற்றங்களுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றலாம். கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு -7 >0 என்று மாறிவிடும். இடைவெளியின் வளைவின் கீழ் நீங்கள் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்தில் கையொப்பமிட வேண்டும்.

5 முதல் முடிவிலி வரையிலான அடுத்த இடைவெளியில், நீங்கள் எண் 6 ஐ தேர்வு செய்யலாம். பிறகு 1 > 0 என்று மாறிவிடும். ஆர்க்கின் கீழ் "+" அடையாளம் உள்ளது. இந்த இரண்டாவது இடைவெளி சமத்துவமின்மைக்கான விடையாக இருக்கும்.

பதில்: x இடைவெளியில் உள்ளது (5; ∞).

இரண்டாவது உதாரணம். இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது: 3x + 3 ≤ 2x + 1 மற்றும் 3x - 2 ≤ 4x + 2.

தீர்வு. இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளின் VA எந்த எண்களின் பகுதியிலும் உள்ளது, ஏனெனில் நேரியல் செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இரண்டாவது சமத்துவமின்மை பின்வரும் சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும்: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. மாற்றத்திற்குப் பிறகு: -x - 4 =0. இது -4க்கு சமமான மாறிக்கு ஒரு மதிப்பை உருவாக்குகிறது.

இந்த இரண்டு எண்களும் அச்சில் குறிக்கப்பட வேண்டும், இடைவெளிகளை சித்தரிக்கிறது. சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லை என்பதால், அனைத்து புள்ளிகளும் நிழலாட வேண்டும். முதல் இடைவெளி கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து -4 வரை. எண் -5 தேர்ந்தெடுக்கப்படட்டும். முதல் சமத்துவமின்மை மதிப்பு -3, மற்றும் இரண்டாவது 1. இந்த இடைவெளி பதில் சேர்க்கப்படவில்லை என்று அர்த்தம்.

இரண்டாவது இடைவெளி -4 முதல் -2 வரை. நீங்கள் எண் -3 ஐத் தேர்வுசெய்து, இரு ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் மாற்றலாம். முதல் மற்றும் இரண்டாவது, மதிப்பு -1. இதன் பொருள் “-” வளைவின் கீழ்.

-2 முதல் முடிவிலி வரையிலான கடைசி இடைவெளியில், சிறந்த எண் பூஜ்ஜியமாகும். நீங்கள் அதை மாற்ற வேண்டும் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும். அவற்றில் முதலாவது நேர்மறை எண்ணையும், இரண்டாவது பூஜ்ஜியத்தையும் உருவாக்குகிறது. இந்த இடைவெளியும் பதிலில் இருந்து விலக்கப்பட வேண்டும்.

மூன்று இடைவெளிகளில், ஒன்று மட்டுமே சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வு.

பதில்: x ஆனது [-4; -2].

மூன்றாவது உதாரணம். |1 - x| > 2 |x - 1|.

தீர்வு. செயல்பாடுகள் மறைந்து போகும் புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்பதே முதல் படி. இடதுபுறத்தில் இந்த எண் 2 ஆகவும், வலதுபுறம் - 1 ஆகவும் இருக்கும். அவை பீமில் குறிக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் அடையாளத்தின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகளை தீர்மானிக்க வேண்டும்.

முதல் இடைவெளியில், கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 1 வரை, சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாடு நேர்மறை மதிப்புகளையும், வலது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளையும் எடுக்கும். வளைவின் கீழ் நீங்கள் இரண்டு அறிகுறிகளை "+" மற்றும் "-" பக்கமாக எழுத வேண்டும்.

அடுத்த இடைவெளி 1 முதல் 2 வரை. அதில், இரண்டு செயல்பாடுகளும் நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும். இதன் பொருள் ஆர்க்கின் கீழ் இரண்டு பிளஸ்கள் உள்ளன.

2 முதல் முடிவிலி வரையிலான மூன்றாவது இடைவெளி பின்வரும் முடிவைக் கொடுக்கும்: இடது செயல்பாடு- எதிர்மறை, வலது - நேர்மறை.

இதன் விளைவாக வரும் அறிகுறிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அனைத்து இடைவெளிகளுக்கும் சமத்துவமின்மை மதிப்புகளை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்.

முதலாவது பின்வரும் சமத்துவமின்மையை உருவாக்குகிறது: 2 - x > - 2 (x - 1). இரண்டாவது சமத்துவமின்மையில் இரண்டுக்கு முன் மைனஸ் இந்த செயல்பாடு எதிர்மறையாக இருப்பதால்.

மாற்றத்திற்குப் பிறகு, சமத்துவமின்மை இதுபோல் தோன்றுகிறது: x > 0. இது உடனடியாக மாறியின் மதிப்புகளை வழங்குகிறது. அதாவது, இந்த இடைவெளியில் இருந்து 0 முதல் 1 வரையிலான இடைவெளி மட்டுமே பதிலளிக்கப்படும்.

இரண்டாவது: 2 - x > 2 (x - 1). மாற்றங்கள் பின்வரும் சமத்துவமின்மையைக் கொடுக்கும்: -3x + 4 பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகும். அதன் பூஜ்ஜியம் x = 4/3 ஆக இருக்கும். சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், x இந்த எண்ணை விட குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்று மாறிவிடும். அதாவது இந்த இடைவெளி 1 முதல் 4/3 வரையிலான இடைவெளியாக குறைக்கப்படுகிறது.

பிந்தையது பின்வரும் சமத்துவமின்மையை அளிக்கிறது: - (2 - x) > 2 (x - 1). அதன் மாற்றம் பின்வருவனவற்றிற்கு வழிவகுக்கிறது: -x > 0. அதாவது, x பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்போது சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும். இதன் பொருள், தேவையான இடைவெளியில் சமத்துவமின்மை தீர்வுகளை வழங்காது.

முதல் இரண்டு இடைவெளிகளில், வரம்பு எண் 1 ஆக மாறியது. அதைத் தனியாகச் சரிபார்க்க வேண்டும். அதாவது, அசல் சமத்துவமின்மையில் அதை மாற்றவும். இது மாறிவிடும்: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. கணக்கீடு 0 ஐ விட 1 பெரியது என்பதைக் காட்டுகிறது. இது ஒரு உண்மையான கூற்று, எனவே ஒன்று பதிலில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

பதில்: x என்பது இடைவெளியில் உள்ளது (0; 4/3).

பழங்காலத்திலிருந்தே நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அளவையும் அளவையும் ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பது அவசியம். அதே நேரத்தில், ஒரே மாதிரியான அளவுகளை ஒப்பிடுவதன் முடிவுகளைக் குறிக்கும் அதிக மற்றும் குறைவான, அதிக மற்றும் குறைந்த, இலகுவான மற்றும் கனமான, அமைதியான மற்றும் சத்தமாக, மலிவான மற்றும் அதிக விலை போன்ற சொற்கள் தோன்றின.

பொருள்களை எண்ணுதல், அளவுகளை அளவிடுதல் மற்றும் ஒப்பிடுதல் தொடர்பாக அதிகமாகவும் குறைவாகவும் என்ற கருத்துக்கள் எழுந்தன. உதாரணமாக, பண்டைய கிரேக்கத்தின் கணிதவியலாளர்கள் எந்த முக்கோணத்தின் பக்கமும் மற்ற இரு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாக இருப்பதையும், பெரிய பக்கம் ஒரு முக்கோணத்தில் பெரிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது என்பதையும் அறிந்திருந்தனர். ஆர்க்கிமிடிஸ், சுற்றளவைக் கணக்கிடும் போது, ​​எந்த வட்டத்தின் சுற்றளவு விட்டத்தின் ஏழில் ஒரு பங்கிற்கும் குறைவான, ஆனால் பத்து எழுபது மடங்குக்கும் அதிகமான விட்டத்துடன் மூன்று மடங்கு விட்டம் சமமாக இருப்பதை நிறுவினார்.

குறியீடுகள் > மற்றும் b ஐப் பயன்படுத்தி எண்கள் மற்றும் அளவுகளுக்கு இடையே உள்ள உறவுகளை குறியீடாக எழுதவும். இரண்டு எண்கள் ஒரு அடையாளத்தால் இணைக்கப்பட்ட பதிவுகள்: > (அதிகமானவை), நீங்கள் எண் சமத்துவமின்மையையும் சந்தித்தீர்கள் இளைய வகுப்புகள். ஏற்றத்தாழ்வுகள் உண்மையாக இருக்கலாம் அல்லது பொய்யாக இருக்கலாம் என்பதை நீங்கள் அறிவீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) என்பது சரியான எண் சமத்துவமின்மை, 0.23 > 0.235 என்பது தவறான எண் சமத்துவமின்மை.

அறியப்படாதவற்றை உள்ளடக்கிய ஏற்றத்தாழ்வுகள் தெரியாதவற்றின் சில மதிப்புகளுக்கு உண்மையாகவும் மற்றவற்றிற்கு தவறானதாகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவமின்மை 2x+1>5 என்பது x = 3 ஆக இருக்கும், ஆனால் x = -3 ஆக இருக்கும் போது அது உண்மையாக இருக்காது. தெரியாத ஒரு சமத்துவமின்மைக்கு, நீங்கள் பணியை அமைக்கலாம்: சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும். நடைமுறையில் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல்கள் முன்வைக்கப்பட்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கல்களைக் காட்டிலும் குறைவாகவே தீர்க்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, பல பொருளாதார சிக்கல்கள் அமைப்புகளின் ஆய்வு மற்றும் தீர்வுக்கு வரும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள். கணிதத்தின் பல கிளைகளில், சமன்பாடுகளை விட ஏற்றத்தாழ்வுகள் மிகவும் பொதுவானவை.

சில ஏற்றத்தாழ்வுகள் மட்டுமே செயல்படுகின்றன துணை, ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளின் இருப்பை நிரூபிக்க அல்லது நிராகரிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்.

எண் சமத்துவமின்மை

முழு எண்களை ஒப்பிட முடியுமா? தசமங்கள். ஒப்பீட்டு விதிகள் உங்களுக்குத் தெரியுமா? சாதாரண பின்னங்கள்ஒரே வகுப்பினருடன் ஆனால் வெவ்வேறு எண்களுடன்; அதே எண்களுடன், ஆனால் வெவ்வேறு பிரிவுகள். எந்த இரண்டு எண்களையும் அவற்றின் வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் அவற்றை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது என்பதை இங்கே நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள்.

எண்களை ஒப்பிடுவது நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளாதார நிபுணர் திட்டமிடப்பட்ட குறிகாட்டிகளை உண்மையானவற்றுடன் ஒப்பிடுகிறார், ஒரு மருத்துவர் நோயாளியின் வெப்பநிலையை சாதாரணத்துடன் ஒப்பிடுகிறார், ஒரு டர்னர் ஒரு இயந்திர பகுதியின் பரிமாணங்களை ஒரு தரத்துடன் ஒப்பிடுகிறார். இதுபோன்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும், சில எண்கள் ஒப்பிடப்படுகின்றன. எண்களை ஒப்பிடுவதன் விளைவாக, எண்ணியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் எழுகின்றன.

வரையறை.எண் அ அதிக எண்ணிக்கை b, என்றால் வேறுபாடு a-bநேர்மறை. எண் அ குறைவான எண்ணிக்கை b, வேறுபாடு a-b எதிர்மறையாக இருந்தால்.

a b ஐ விட அதிகமாக இருந்தால், அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்: a > b; a என்பது b ஐ விடக் குறைவாக இருந்தால், அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்: a ஆக, சமத்துவமின்மை a > b என்பது a - b வேறுபாடு நேர்மறை என்று அர்த்தம், அதாவது. a - b > 0. சமத்துவமின்மை a பின்வரும் மூன்று உறவுகளில் இருந்து ஏதேனும் இரண்டு எண்கள் a மற்றும் b க்கு a > b, a = b, a எண்களை ஒப்பிடுவது a மற்றும் b என்பது குறிகளில் எது என்பதைக் கண்டறிவது >, = அல்லது தேற்றம். a > b மற்றும் b > c எனில், a > c.

தேற்றம்.சமத்துவமின்மையின் இருபுறமும் ஒரே எண்ணைச் சேர்த்தால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறாது.
விளைவு.இந்தச் சொல்லின் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றுவதன் மூலம் எந்தச் சொல்லையும் சமத்துவமின்மையின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு மாற்றலாம்.

தேற்றம்.சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் ஒரே நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறாது. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் ஒரே எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்.
விளைவு.சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கமும் ஒரே நேர்மறை எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் மாறாது. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் ஒரே எதிர்மறை எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்.

எண் சமத்துவங்களை காலத்தால் காலத்தால் கூட்டலாம் மற்றும் பெருக்கலாம் என்பதை நீங்கள் அறிவீர்கள். அடுத்து, சமத்துவமின்மையுடன் இதே போன்ற செயல்களை எவ்வாறு செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள். சமத்துவமின்மைகளை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கும் மற்றும் பெருக்கும் திறன் பெரும்பாலும் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த செயல்கள் வெளிப்பாடுகளின் அர்த்தங்களை மதிப்பீடு செய்வதிலும் ஒப்பிடுவதிலும் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகின்றன.

பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்ப்பது அல்லது பெருக்குவது அவசியம். அதே நேரத்தில், சில சமயங்களில் ஏற்றத்தாழ்வுகள் கூடுகின்றன அல்லது பெருகும் என்று கூறப்படுகிறது. உதாரணமாக, ஒரு சுற்றுலாப் பயணி முதல் நாளில் 20 கிமீக்கு மேல் நடந்தால், இரண்டாவது நாளில் 25 கிமீக்கு மேல் நடந்தால், இரண்டு நாட்களில் அவர் 45 கிமீக்கு மேல் நடந்தார் என்று சொல்லலாம். இதேபோல், ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் 13 செ.மீ க்கும் குறைவாகவும், அகலம் 5 செ.மீ க்கும் குறைவாகவும் இருந்தால், இந்த செவ்வகத்தின் பரப்பளவு 65 செ.மீ 2 க்கும் குறைவாக இருக்கும் என்று நாம் கூறலாம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​​​பின்வருபவை பயன்படுத்தப்பட்டன: ஏற்றத்தாழ்வுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் பற்றிய கோட்பாடுகள்:

தேற்றம்.ஒரே அடையாளத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளைச் சேர்க்கும்போது, ​​அதே அடையாளத்தின் சமத்துவமின்மை பெறப்படுகிறது: a > b மற்றும் c > d எனில், a + c > b + d.

தேற்றம்.இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் நேர்மறையாக இருக்கும் அதே அடையாளத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பெருக்கும் போது, ​​அதே அடையாளத்தின் சமத்துவமின்மை பெறப்படுகிறது: a > b, c > d மற்றும் a, b, c, d ஆகியவை நேர்மறை எண்களாக இருந்தால், ac > bd.

குறியுடன் சமத்துவமின்மைகள் > (அதிகமானவை) மற்றும் 1/2, 3/4 b, c கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அறிகுறிகளுடன் > மற்றும் அதே வழியில், சமத்துவமின்மை \(a \geq b \) என்பது எண் a என்பது b ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ, அதாவது .மற்றும் குறைவாக இல்லை b.

\(\geq \) அடையாளம் அல்லது \(\leq \) அடையாளம் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் கண்டிப்பானது என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் அல்ல.

கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அனைத்து பண்புகளும் கடுமையான சமத்துவமின்மைகளுக்கு செல்லுபடியாகும். மேலும், கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு அறிகுறிகள்> எதிர்மாறாகக் கருதப்பட்டால், பல பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் ஒரு கணித மாதிரியை சமன்பாடு அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் உருவாக்க வேண்டும் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். அடுத்து நீங்கள் அதைக் கண்டுபிடிப்பீர்கள் கணித மாதிரிகள்பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு, தெரியாதவற்றுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன. ஒரு சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படும் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு குறிப்பிட்ட சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வாக உள்ளதா என்பதை எவ்வாறு சோதிப்பது என்பதைக் காண்பிக்கும்.

வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள்
\(ax > b, \quad ax இதில் a மற்றும் b க்கு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, x என்பது தெரியாதது. தெரியாத ஒருவருடன் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

வரையறை.அறியப்படாத ஒருவருடனான சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு தெரியாதவற்றின் மதிப்பாகும், இந்த சமத்துவமின்மை உண்மையான எண் சமத்துவமின்மையாக மாறும். சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது என்பது அதன் அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறிவது அல்லது எதுவும் இல்லை என்பதை நிறுவுவது.

நீங்கள் சமன்பாடுகளை எளிய சமன்பாடுகளாகக் குறைப்பதன் மூலம் தீர்த்துவிட்டீர்கள். இதேபோல், ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, எளிய ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வடிவத்திற்கு அவற்றைக் குறைக்க முயற்சிக்கிறார்.

ஒரு மாறி மூலம் இரண்டாம் நிலை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள்
\(ax^2+bx+c >0 \) மற்றும் \(ax^2+bx+c இதில் x ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \), அழைக்கப்படுகிறது ஒரு மாறியுடன் இரண்டாவது பட்டத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு
\(ax^2+bx+c >0 \) அல்லது \(ax^2+bx+c \(y= ax^2+bx+c \) நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையை எடுக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியலாம். மதிப்புகள் இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் வரைபடம் \(y= ax^2+bx+c\) ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் எவ்வாறு அமைந்துள்ளது என்பதை பகுப்பாய்வு செய்வது போதுமானது: பரவளையத்தின் கிளைகள் எங்கு இயக்கப்படுகின்றன - மேலே அல்லது கீழே, பரவளையமானது x அச்சில் குறுக்கிடுகிறது மற்றும் அவ்வாறு செய்தால், எந்த புள்ளிகளில்.

ஒரு மாறி மூலம் இரண்டாம் நிலை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:
1) சதுர முக்கோணத்தின் பாகுபாட்டைக் கண்டறிந்து \(ax^2+bx+c\) மற்றும் முக்கோணத்திற்கு வேர்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும்;
2) டிரினோமியலுக்கு வேர்கள் இருந்தால், அவற்றை x அச்சில் குறிக்கவும் மற்றும் குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மூலம் ஒரு திட்டவட்டமான பரவளையத்தை வரையவும், அதன் கிளைகள் மேல்நோக்கி > 0 அல்லது கீழ்நோக்கி 0 க்கு அல்லது கீழே ஒரு 3) x அச்சில் உள்ள இடைவெளிகளைக் கண்டறிக சமத்துவமின்மை
\(ax^2+bx+c இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

இந்த செயல்பாட்டின் டொமைன் அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும். செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் எண்கள் -2, 3, 5. அவை செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) மற்றும் \( (5; +\infty)\)

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் இந்த செயல்பாட்டின் அறிகுறிகள் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வெளிப்பாடு (x + 2)(x - 3)(x - 5) என்பது மூன்று காரணிகளின் விளைபொருளாகும். பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளிகளில் இந்த காரணிகள் ஒவ்வொன்றின் அறிகுறியும் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது:

பொதுவாக, ஃபங்ஷன் ஃபார்முலா மூலம் கொடுக்கப்படட்டும்
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, மற்றும் x 1, x 2, ..., x n ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இல்லாத எண்கள். எண்கள் x 1 , x 2 , ..., x n ஆகியவை செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள். வரையறையின் களம் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களால் வகுக்கப்படும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும், செயல்பாட்டின் அடையாளம் பாதுகாக்கப்படுகிறது, மேலும் பூஜ்ஜியத்தை கடக்கும்போது அதன் அடையாளம் மாறுகிறது.

படிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க இந்த சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) இதில் x 1, x 2, ..., x n என்பது ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இல்லாத எண்கள்

கருதப்படும் முறை சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது இடைவெளி முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\(x(0.5-x)(x+4) வெளிப்படையாக, f(x) = x(0.5-x)(x+4) செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , x=-4 \)

செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களை எண் அச்சில் வரைகிறோம் மற்றும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் அடையாளத்தை கணக்கிடுகிறோம்:

செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அந்த இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \ cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

சமத்துவமின்மை சின்னங்களைப் பற்றி நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது என்ன? ஐகானுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மேலும் (> ), அல்லது குறைவாக (< ) அழைக்கப்படுகின்றன கண்டிப்பான.சின்னங்களுடன் அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ (≥ ), குறைவாக அல்லது சமமாக (≤ ) அழைக்கப்படுகின்றன கண்டிப்பாக இல்லை.ஐகான் சமமாக இல்லை (≠ ) தனித்து நிற்கிறது, ஆனால் நீங்கள் எப்போதும் இந்த ஐகானைக் கொண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க வேண்டும். நாங்கள் முடிவு செய்வோம்.)

தீர்வு செயல்பாட்டில் ஐகான் அதிக தாக்கத்தை ஏற்படுத்தாது. ஆனால் முடிவின் முடிவில், இறுதிப் பதிலைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​ஐகானின் அர்த்தம் முழு பலத்துடன் தோன்றும்! இதைத்தான் கீழே உதாரணங்களில் பார்ப்போம். அங்கே சில நகைச்சுவைகள் உள்ளன...

சமத்துவம் போன்ற ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன விசுவாசமான மற்றும் விசுவாசமற்ற.இங்கே எல்லாம் எளிது, எந்த தந்திரமும் இல்லை. 5 என்று வைத்துக்கொள்வோம் > 2 ஒரு உண்மையான சமத்துவமின்மை. 5 < 2 - தவறானது.

இந்த தயாரிப்பு ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு வேலை செய்கிறது எந்த வகையானமற்றும் திகிலூட்டும் அளவிற்கு எளிமையானது.) நீங்கள் இரண்டு (இரண்டு மட்டுமே!) அடிப்படை செயல்களைச் சரியாகச் செய்ய வேண்டும். இந்த நடவடிக்கைகள் அனைவருக்கும் தெரிந்ததே. ஆனால், பண்புரீதியாக, இந்த செயல்களில் உள்ள தவறுகள் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் முக்கிய தவறு, ஆம் ... எனவே, இந்த செயல்கள் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும். இந்த நடவடிக்கைகள் பின்வருமாறு அழைக்கப்படுகின்றன:

சமத்துவமின்மையின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள்.

சமத்துவமின்மையின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களுக்கு மிகவும் ஒத்தவை. உண்மையில், இது முக்கிய பிரச்சனை. வேறுபாடுகள் உங்கள் தலைக்கு மேல் சென்று... இங்கே நீங்கள் இருக்கிறீர்கள்.) எனவே, இந்த வேறுபாடுகளை நான் குறிப்பாக முன்னிலைப்படுத்துகிறேன். எனவே, ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முதல் ஒத்த மாற்றம்:

1. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே எண் அல்லது வெளிப்பாட்டைச் சேர்க்கலாம் (கழித்தல்). ஏதேனும். இது சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை மாற்றாது.

நடைமுறையில், இந்த விதி சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் (மற்றும் நேர்மாறாக) குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் சொற்களின் பரிமாற்றமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. காலத்தின் அடையாளத்தில் ஒரு மாற்றத்துடன், சமத்துவமின்மை அல்ல! ஒன்றுக்கு ஒன்று விதி என்பது சமன்பாடுகளுக்கான விதி. ஆனால் சமத்துவமின்மைகளில் பின்வரும் ஒத்த மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளில் இருந்து கணிசமாக வேறுபடுகின்றன. எனவே நான் அவற்றை சிவப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்துகிறேன்:

2. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே பொருளால் பெருக்கலாம் (வகுக்கலாம்).நேர்மறைஎண். எதற்கும்நேர்மறை மாறாது.

3. சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே பொருளால் பெருக்கலாம் (வகுக்கலாம்).எதிர்மறைஎண். எதற்கும்எதிர்மறைஎண். இதிலிருந்து சமத்துவமின்மை அடையாளம்எதிர்மாறாக மாறும்.

சமன்பாட்டை எதனாலும் பெருக்கலாம்/வகுக்கலாம் என்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்துள்ளீர்கள் (நான் நம்புகிறேன்...). மற்றும் எந்த எண்ணுக்கும், மற்றும் X உடன் ஒரு வெளிப்பாடு. அது பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால். இது அவரை, சமன்பாடு, சூடாகவோ அல்லது குளிராகவோ இல்லை.) இது மாறாது. ஆனால் ஏற்றத்தாழ்வுகள் பெருக்கல்/வகுப்புக்கு அதிக உணர்திறன் கொண்டவை.

நீண்ட நினைவாற்றலுக்கு தெளிவான உதாரணம். சமத்துவமின்மையை எழுதுவோம் கேள்விக்குரியது:

5 > 2

இருபுறமும் பெருக்கவும் +3, நாம் பெறுகிறோம்:

15 > 6

ஏதேனும் ஆட்சேபனைகள் உள்ளதா? எந்த ஆட்சேபனையும் இல்லை.) மேலும் அசல் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் நாம் பெருக்கினால் -3, நாம் பெறுகிறோம்:

15 > -6

மேலும் இது அப்பட்டமான பொய்.) முழுப் பொய்! மக்களை ஏமாற்றுதல்! ஆனால் நீங்கள் சமத்துவமின்மையை எதிர்மாறாக மாற்றியவுடன், எல்லாம் சரியாகிவிடும்:

15 < -6

நான் பொய் மற்றும் ஏமாற்று பற்றி மட்டும் சத்தியம் செய்யவில்லை.) "சம அடையாளத்தை மாற்ற மறந்துவிட்டேன்..."- இது வீடுஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்ப்பதில் பிழை. இந்த அற்பமான மற்றும் எளிமையான விதி பலரை காயப்படுத்தியுள்ளது! அதை அவர்கள் மறந்துவிட்டார்கள்...) எனவே நான் சத்தியம் செய்கிறேன். ஒருவேளை எனக்கு ஞாபகம் இருக்கும்...)

குறிப்பாக கவனமுள்ள மக்கள் சமத்துவமின்மையை X உடன் ஒரு வெளிப்பாட்டின் மூலம் பெருக்க முடியாது என்பதை கவனிப்பார்கள். கவனத்துடன் இருப்பவர்களுக்கு மரியாதை!) ஏன் இல்லை? பதில் எளிது. X உடன் இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் எங்களுக்குத் தெரியாது. அது நேர்மறையாகவும் இருக்கலாம், எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம்... அதனால், பெருக்கலுக்குப் பிறகு எந்த ஏற்றத்தாழ்வு குறியை வைப்பது என்பது நமக்குத் தெரியாது. நான் அதை மாற்ற வேண்டுமா இல்லையா? தெரியவில்லை. நிச்சயமாக, இந்தக் கட்டுப்பாடு (ஒரு சமத்துவமின்மையை x உடன் ஒரு வெளிப்பாட்டால் பெருக்க/வகுப்பதைத் தடை) தவிர்க்கலாம். உங்களுக்கு உண்மையிலேயே தேவைப்பட்டால். ஆனால் இது மற்ற பாடங்களுக்கான தலைப்பு.

சமத்துவமின்மையின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் அவ்வளவுதான். அவர்கள் பணிபுரிகிறார்கள் என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன் ஏதேனும்ஏற்றத்தாழ்வுகள் இப்போது நீங்கள் குறிப்பிட்ட வகைகளுக்கு செல்லலாம்.

நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள். தீர்வு, எடுத்துக்காட்டுகள்.

நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமத்துவமின்மைகள், இதில் x முதல் அதிகாரத்தில் உள்ளது மற்றும் x ஆல் வகுத்தல் இல்லை. வகை:

x+3 > 5x-5

இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன? அவை தீர்க்க மிகவும் எளிதானவை! அதாவது: உதவியுடன் நாம் மிகவும் குழப்பமான நேரியல் சமத்துவமின்மையைக் குறைக்கிறோம் பதில் நேரடியாக.அதுதான் தீர்வு. முடிவின் முக்கிய விஷயங்களை நான் முன்னிலைப்படுத்துகிறேன். முட்டாள்தனமான தவறுகளைத் தவிர்க்க.)

இந்த சமத்துவமின்மையை தீர்ப்போம்:

x+3 > 5x-5

நேரியல் சமன்பாட்டைப் போலவே நாங்கள் அதைத் தீர்க்கிறோம். ஒரே வித்தியாசத்துடன்:

சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை நாங்கள் கவனமாக கண்காணிக்கிறோம்!

முதல் படி மிகவும் பொதுவான ஒன்றாகும். X உடன் - இடதுபுறம், X இல்லாமல் - வலதுபுறம்... இது முதல் ஒரே மாதிரியான மாற்றம், எளிமையானது மற்றும் சிக்கலற்றது.) மாற்றப்பட்ட விதிமுறைகளின் அடையாளங்களை மாற்ற மறக்காதீர்கள்.

சமத்துவமின்மை அடையாளம் உள்ளது:

x-5x > -5-3

இங்கே ஒத்தவை.

சமத்துவமின்மை அடையாளம் உள்ளது:

4x > -8

கடைசியாக ஒரே மாதிரியான மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு இது உள்ளது: இரு பக்கங்களையும் -4 ஆல் வகுக்கவும்.

வகுக்கவும் எதிர்மறைஎண்.

சமத்துவமின்மை அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்:

எக்ஸ் < 2

இதுதான் பதில்.

எல்லா நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளும் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன.

கவனம்! புள்ளி 2 வெள்ளை வரையப்பட்டுள்ளது, அதாவது. வர்ணம் பூசப்படாத. உள்ளே காலி. பதிலில் அவள் சேர்க்கப்படவில்லை என்பது இதன் பொருள்! நான் வேண்டுமென்றே அவளை மிகவும் ஆரோக்கியமாக வரைந்தேன். கணிதத்தில் அத்தகைய புள்ளி (வெற்று, ஆரோக்கியமானதல்ல!)) என்று அழைக்கப்படுகிறது துளையிடப்பட்ட புள்ளி.

அச்சில் மீதமுள்ள எண்களைக் குறிக்கலாம், ஆனால் அவசியமில்லை. நமது சமத்துவமின்மைக்கு தொடர்பில்லாத கூடுதல் எண்கள் குழப்பமானதாக இருக்கலாம், ஆம்... அம்புக்குறியின் திசையில் எண்கள் அதிகரிக்கின்றன என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது. எண்கள் 3, 4, 5, முதலியன உள்ளன வலதுபுறமாகஇரண்டு, மற்றும் எண்கள் 1, 0, -1 போன்றவை. - இடதுபுறம்.

சமத்துவமின்மை x < 2 - கண்டிப்பான. X என்பது இரண்டுக்கும் குறைவானது. சந்தேகம் இருந்தால், சரிபார்ப்பது எளிது. சந்தேகத்திற்குரிய எண்ணை சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றியமைத்து, "இரண்டு என்பது இரண்டை விடக் குறைவு, நிச்சயமாக!" சரியாக. சமத்துவமின்மை 2 < 2 தவறான.பதிலுக்கு இரண்டு பொருத்தமானது அல்ல.

ஒன்று பரவாயில்லையா? நிச்சயமாக. குறைவாக... மற்றும் பூஜ்ஜியம் நல்லது, மற்றும் -17, மற்றும் 0.34... ஆம், இரண்டுக்கும் குறைவான அனைத்து எண்களும் நல்லது! மற்றும் 1.9999 கூட.... குறைந்தபட்சம் கொஞ்சம், ஆனால் குறைவாக!

எனவே இந்த எண்கள் அனைத்தையும் எண் அச்சில் குறிப்போம். எப்படி? இங்கே விருப்பங்கள் உள்ளன. விருப்பம் ஒன்று - நிழல். படத்தின் மீது சுட்டியை நகர்த்துகிறோம் (அல்லது டேப்லெட்டில் உள்ள படத்தைத் தொடவும்) மற்றும் x நிபந்தனையை சந்திக்கும் அனைத்து x களின் பகுதியும் நிழலாடுவதைப் பார்க்கிறோம் < 2 . அவ்வளவுதான்.

இரண்டாவது உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது விருப்பத்தைப் பார்ப்போம்:

எக்ஸ் ≥ -0,5

ஒரு அச்சை வரைந்து எண் -0.5 ஐக் குறிக்கவும். இது போன்ற:

வித்தியாசத்தை கவனியுங்கள்?) சரி, ஆம், கவனிக்காமல் இருப்பது கடினம்... இந்த புள்ளி கருப்பு! வர்ணம் பூசப்பட்டது. இதன் பொருள் -0.5 பதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.இங்கே, சரிபார்ப்பு ஒருவரை குழப்பலாம். மாற்றுவோம்:

-0,5 ≥ -0,5

எப்படி? -0.5 -0.5க்கு மேல் இல்லை! மேலும் ஐகான் உள்ளது...

அது பரவாயில்லை. கடுமையான சமத்துவமின்மையில், ஐகானுக்கு பொருந்தக்கூடிய அனைத்தும் பொருத்தமானவை. மற்றும் சமம்நல்லது மற்றும் மேலும்நல்ல. எனவே, பதிலில் -0.5 சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, அச்சில் -0.5 ஐக் குறித்தோம், அது -0.5 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் அனைத்து எண்களையும் குறிக்கும். இந்த நேரத்தில் நான் பொருத்தமான x மதிப்புகளின் பகுதியைக் குறிக்கிறேன் வில்(வார்த்தையிலிருந்து பரிதி), நிழலை விட. வரைபடத்தின் மீது கர்சரை வைத்து இந்த வில் பார்க்கிறோம்.

ஷேடிங் மற்றும் கைகளுக்கு இடையே எந்த வித்தியாசமும் இல்லை. ஆசிரியர் சொல்வது போல் செய்யுங்கள். ஆசிரியர் இல்லை என்றால், வளைவுகளை வரையவும். மிகவும் சிக்கலான பணிகளில், நிழல் குறைவாகவே உள்ளது. நீங்கள் குழப்பமடையலாம்.

இப்படித்தான் ஒரு அச்சில் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் வரையப்படுகின்றன. ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அடுத்த அம்சத்திற்குச் செல்வோம்.

ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு விடை எழுதுதல்.

சமன்பாடுகள் நன்றாக இருந்தன.) நாங்கள் x ஐக் கண்டுபிடித்து பதிலை எழுதினோம், எடுத்துக்காட்டாக: x=3. சமத்துவமின்மையில் பதில் எழுதுவதற்கு இரண்டு வடிவங்கள் உள்ளன. ஒன்று இறுதி சமத்துவமின்மை வடிவத்தில் உள்ளது. எளிய வழக்குகளுக்கு நல்லது. உதாரணத்திற்கு:

எக்ஸ்< 2.

இது ஒரு முழுமையான பதில்.

சில நேரங்களில் நீங்கள் அதையே எழுத வேண்டும், ஆனால் வேறு வடிவத்தில், எண் இடைவெளியில். பின்னர் பதிவு மிகவும் விஞ்ஞானமாகத் தொடங்குகிறது):

x ∈ (-∞; 2)

ஐகானின் கீழ் ∈ வார்த்தை மறைக்கப்பட்டுள்ளது "சொந்தமானது".

நுழைவு பின்வருமாறு: x என்பது மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து இரண்டு வரையிலான இடைவெளியைச் சேர்ந்தது உட்பட இல்லை. மிகவும் தர்க்கரீதியானது. மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி முதல் இரண்டு வரையிலான அனைத்து சாத்தியமான எண்களிலிருந்தும் எக்ஸ் எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம். இரட்டை X இருக்க முடியாது, இதைத்தான் வார்த்தை நமக்கு சொல்கிறது "சேர்க்கவில்லை".

மேலும் பதிலில் அது தெளிவாக உள்ளது "சேர்க்கவில்லை"? இந்த உண்மை பதிலில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது சுற்றுஇரண்டுக்குப் பிறகு உடனடியாக அடைப்புக்குறி. இரண்டையும் சேர்த்தால், அடைப்புக்குறி இருக்கும் சதுரம்.அது இங்கே உள்ளது:]. பின்வரும் உதாரணம் அத்தகைய அடைப்புக்குறியைப் பயன்படுத்துகிறது.

பதிலை எழுதுவோம்: x ≥ -0,5 இடைவெளியில்:

x ∈ [-0.5; +∞)

படிக்கிறது: x என்பது கழித்தல் 0.5 இலிருந்து இடைவெளியைச் சேர்ந்தது, உட்பட,டூ பிளஸ் முடிவிலி.

முடிவிலியை ஒருபோதும் இயக்க முடியாது. இது எண் அல்ல, சின்னம். எனவே, அத்தகைய குறிப்புகளில், முடிவிலி எப்போதும் அடைப்புக்குறிக்கு அருகில் இருக்கும்.

பல இடைவெளிகளைக் கொண்ட சிக்கலான பதில்களுக்கு இந்த வகையான பதிவு வசதியானது. ஆனால் - இறுதி பதில்களுக்கு. இடைநிலை முடிவுகளில், மேலும் தீர்வு எதிர்பார்க்கப்படும்போது, ​​சாதாரண சமத்துவமின்மை வடிவத்தில் வழக்கமான வடிவத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. தொடர்புடைய தலைப்புகளில் இதைப் பற்றி பேசுவோம்.

சமத்துவமின்மை கொண்ட பிரபலமான பணிகள்.

நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் எளிமையானவை. எனவே, பணிகள் பெரும்பாலும் கடினமாகிவிடும். எனவே சிந்திக்க வேண்டியிருந்தது. இது, நீங்கள் பயன்படுத்தவில்லை என்றால், மிகவும் இனிமையானது அல்ல.) ஆனால் இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அத்தகைய பணிகளின் உதாரணங்களைக் காண்பிப்பேன். நீங்கள் அவற்றைக் கற்றுக் கொள்வதற்காக அல்ல, அது தேவையற்றது. அத்தகைய உதாரணங்களை சந்திக்கும் போது பயப்படக்கூடாது என்பதற்காக. கொஞ்சம் யோசித்துப் பாருங்கள் - அது எளிது!)

1. சமத்துவமின்மை 3x - 3க்கு ஏதேனும் இரண்டு தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்< 0

என்ன செய்வது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை என்றால், கணிதத்தின் முக்கிய விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

உங்களுக்கு என்ன தேவை என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், உங்களால் முடிந்ததைச் செய்யுங்கள்!)

எக்ஸ் < 1

அடுத்து என்ன? சிறப்பு எதுவும் இல்லை. அவர்கள் எங்களிடம் என்ன கேட்கிறார்கள்? சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வாக இருக்கும் இரண்டு குறிப்பிட்ட எண்களைக் கண்டறியும்படி கேட்கப்படுகிறோம். அந்த. பதில் பொருந்தும். இரண்டு ஏதேனும்எண்கள். உண்மையில், இது குழப்பமாக உள்ளது.) 0 மற்றும் 0.5 இரண்டு பொருத்தமானது. ஒரு ஜோடி -3 மற்றும் -8. இந்த ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை எண்ணற்றது! எந்த பதில் சரியானது?!

நான் பதிலளிக்கிறேன்: எல்லாம்! எந்த ஜோடி எண்களும், ஒவ்வொன்றும் ஒன்றுக்கும் குறைவானது, சரியான விடையாக இருக்கும்.நீங்கள் விரும்பும் ஒன்றை எழுதுங்கள். தொடரலாம்.

2. சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்:

4x - 3 ≠ 0

இந்த வடிவத்தில் பணிகள் அரிதானவை. ஆனால், துணை ஏற்றத்தாழ்வுகளாக, ODZ ஐக் கண்டறியும் போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறியும் போது, ​​அவை எல்லா நேரத்திலும் நிகழும். அத்தகைய நேரியல் சமத்துவமின்மையை ஒரு சாதாரண நேரியல் சமன்பாடாக தீர்க்க முடியும். "=" அடையாளம் தவிர எல்லா இடங்களிலும் மட்டும் ( சமம்) ஒரு அடையாளம் வைக்கவும் " ≠ " (சமமாக இல்லை) சமத்துவமின்மை அடையாளத்துடன் நீங்கள் பதிலை அணுகுவது இதுதான்:

எக்ஸ் ≠ 0,75

மேலும் சிக்கலான உதாரணங்கள், விஷயங்களை வித்தியாசமாக செய்வது நல்லது. சமத்துவத்திலிருந்து சமத்துவமின்மையை உருவாக்குங்கள். இது போன்ற:

4x - 3 = 0

கற்பித்தபடி நிதானமாகத் தீர்த்து விடை பெறவும்:

x = 0.75

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், இறுதியில், இறுதி பதிலை எழுதும் போது, ​​x ஐக் கண்டுபிடித்தோம் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். சமத்துவம்.மற்றும் எங்களுக்கு வேண்டும் - சமத்துவமின்மை.எனவே, இந்த X நமக்கு உண்மையில் தேவையில்லை.) மேலும் அதை சரியான குறியீட்டுடன் எழுத வேண்டும்:

எக்ஸ் ≠ 0,75

இந்த அணுகுமுறை குறைவான பிழைகளை விளைவிக்கிறது. சமன்பாடுகளைத் தானாகத் தீர்ப்பவர்கள். சமன்பாடுகளைத் தீர்க்காதவர்களுக்கு, உண்மையில், ஏற்றத்தாழ்வுகளால் எந்தப் பயனும் இல்லை...) ஒரு பிரபலமான பணியின் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு:

3. சமத்துவமின்மைக்கான மிகச் சிறிய முழு எண் தீர்வைக் கண்டறியவும்:

3(x - 1) < 5x + 9

முதலில் நாம் சமத்துவமின்மையை வெறுமனே தீர்க்கிறோம். அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், அவற்றை நகர்த்துகிறோம், ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வருகிறோம்... நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எக்ஸ் > - 6

அது அப்படி நடக்கவில்லையா!? நீங்கள் அறிகுறிகளைப் பின்பற்றினீர்களா!? உறுப்பினர்களின் அடையாளங்களுக்குப் பின்னால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்திற்குப் பின்னால்...

மீண்டும் சிந்திப்போம். பதில் மற்றும் நிபந்தனை இரண்டிற்கும் பொருந்தக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் "சிறிய முழு எண்".அது உடனடியாக உங்களுக்குப் புரியவில்லை என்றால், நீங்கள் எந்த எண்ணையும் எடுத்து அதைக் கண்டுபிடிக்கலாம். இரண்டு மைனஸ் ஆறு? நிச்சயமாக! பொருத்தமான சிறிய எண் உள்ளதா? நிச்சயமாக. எடுத்துக்காட்டாக, பூஜ்ஜியம் -6 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது. மற்றும் இன்னும் குறைவாக? நமக்கு சாத்தியமான சிறிய விஷயம் தேவை! மைனஸ் மூன்று என்பது மைனஸ் ஆரை விட அதிகம்! நீங்கள் ஏற்கனவே வடிவத்தைப் பிடித்து முட்டாள்தனமாக எண்களைப் பார்ப்பதை நிறுத்தலாம், இல்லையா?)

-6க்கு நெருக்கமான எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். உதாரணமாக, -5. பதில் நிறைவேறியது, -5 > - 6. -5 ஐ விடக் குறைவாக ஆனால் -6 ஐ விட பெரிய எண்ணை வேறு கண்டுபிடிக்க முடியுமா? நீங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, -5.5 முடியும்... நிறுத்து! நமக்கு சொல்லப்படுகிறது முழுவதும்தீர்வு! உருளவில்லை -5.5! மைனஸ் ஆறு பற்றி என்ன? அட! சமத்துவமின்மை கண்டிப்பானது, மைனஸ் 6 என்பது மைனஸ் 6ஐ விட எந்த விதத்திலும் குறையாது!

எனவே, சரியான பதில் -5.

இதிலிருந்து மதிப்புகளின் தேர்வுடன் வட்டம் பொதுவான தீர்வுஅனைத்தும் தெளிவாக. மற்றொரு உதாரணம்:

4. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்:

7 < 3x+1 < 13

ஆஹா! இந்த வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது மூன்று சமத்துவமின்மை.கண்டிப்பாகச் சொன்னால், இது சமத்துவமின்மை அமைப்பின் சுருக்கமான வடிவமாகும். ஆனால் இதுபோன்ற மும்மடங்கு ஏற்றத்தாழ்வுகள் இன்னும் சில பணிகளில் தீர்க்கப்பட வேண்டும்... எந்த அமைப்பும் இல்லாமல் அதை தீர்க்க முடியும். அதே ஒத்த மாற்றங்களின் படி.

நாம் எளிமைப்படுத்த வேண்டும், இந்த சமத்துவமின்மையை தூய X க்கு கொண்டு வர வேண்டும். ஆனால்... எதை எங்கு மாற்ற வேண்டும்?! இடது மற்றும் வலதுபுறம் நகரும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது குறுகிய வடிவம்முதல் அடையாள மாற்றம்.

ஏ முழு வடிவம்இப்படி ஒலிக்கிறது: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் (சமத்துவமின்மை) எந்த எண்ணையும் அல்லது வெளிப்பாட்டையும் சேர்க்கலாம்/கழிக்கலாம்.

இங்கு மூன்று பகுதிகள் உள்ளன. எனவே மூன்று பகுதிகளுக்கும் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவோம்!

எனவே, சமத்துவமின்மையின் நடுப்பகுதியில் உள்ள ஒன்றை அகற்றுவோம். முழு நடுப்பகுதியிலிருந்தும் ஒன்றைக் கழிப்போம். சமத்துவமின்மை மாறாமல் இருக்க, மீதமுள்ள இரண்டு பகுதிகளிலிருந்து ஒன்றைக் கழிக்கிறோம். இது போன்ற:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

இது சிறந்தது, இல்லையா?) மூன்று பகுதிகளையும் மூன்றாகப் பிரிப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

2 < எக்ஸ் < 4

அவ்வளவுதான். இதுதான் பதில். X என்பது இரண்டு (அடங்காதது) முதல் நான்கு (உள்ளடங்காது) வரை எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம். இந்த விடையும் இடைவெளியில் எழுதப்பட்டிருக்கும்; அங்கு அவை மிகவும் பொதுவானவை.

பாடத்தின் முடிவில் நான் மிக முக்கியமான விஷயத்தை மீண்டும் சொல்கிறேன். நேரியல் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதில் வெற்றியானது நேரியல் சமன்பாடுகளை மாற்றும் மற்றும் எளிமைப்படுத்தும் திறனைப் பொறுத்தது. அதே நேரத்தில் என்றால் சமத்துவமின்மை அடையாளத்தைக் கவனியுங்கள்,எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. அதைத்தான் நான் உங்களுக்கு விரும்புகிறேன். பிரச்சினைகள் இல்லை.)

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

கணித சமத்துவமின்மை என்ற கருத்து பண்டைய காலத்தில் எழுந்தது. ஆதிகால மனிதன் பல்வேறு பொருட்களை எண்ணி கையாளும் போது அவற்றின் அளவையும் அளவையும் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கத் தொடங்கியபோது இது நடந்தது. பண்டைய காலங்களிலிருந்து, ஆர்க்கிமிடிஸ், யூக்ளிட் மற்றும் பிற பிரபல விஞ்ஞானிகள்: கணிதவியலாளர்கள், வானியலாளர்கள், வடிவமைப்பாளர்கள் மற்றும் தத்துவவாதிகள் தங்கள் பகுத்தறிவில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்தினர்.

ஆனால் அவர்கள், ஒரு விதியாக, தங்கள் படைப்புகளில் வாய்மொழி சொற்களைப் பயன்படுத்தினர். முதன்முறையாக, "அதிக" மற்றும் "குறைவான" கருத்துக்களைக் குறிக்கும் நவீன அறிகுறிகள் இன்று ஒவ்வொரு பள்ளிக் குழந்தையும் அறிந்த வடிவத்தில் இங்கிலாந்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு நடைமுறைக்கு வந்தன. கணிதவியலாளர் தாமஸ் ஹாரியட் தனது சந்ததியினருக்கு அத்தகைய சேவையை வழங்கினார். இது நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது.

அறியப்பட்ட பல வகையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள், இருபடி, பின்னம், சிக்கலான விகிதங்கள் மற்றும் வெளிப்பாடுகளின் அமைப்பால் குறிப்பிடப்படும் எளியவை. ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கான சிறந்த வழி பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்துவதாகும்.

ரயிலைத் தவறவிடாதீர்கள்

தொடங்குவதற்கு, ஒரு கிராமப்புற குடியிருப்பாளர் தனது கிராமத்திலிருந்து 20 கிமீ தொலைவில் அமைந்துள்ள ரயில் நிலையத்திற்கு விரைகிறார் என்று கற்பனை செய்யலாம். 11 மணிக்குப் புறப்படும் ரயிலைத் தவறவிடாமல் இருக்க, அவர் சரியான நேரத்தில் வீட்டை விட்டு வெளியேற வேண்டும். அதன் வேகம் மணிக்கு 5 கிமீ என்றால் எந்த நேரத்தில் இதைச் செய்ய வேண்டும்? இதற்கான தீர்வு நடைமுறை பிரச்சனைவெளிப்பாட்டின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய கீழே வருகிறது: 5 (11 - X) ≥ 20, இங்கு X என்பது புறப்படும் நேரம்.

இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது, ஏனென்றால் ஒரு கிராமவாசி நிலையத்திற்குச் செல்ல வேண்டிய தூரம் சாலையில் உள்ள மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்படும் இயக்கத்தின் வேகத்திற்கு சமம். ஒரு நபர் முன்கூட்டியே வரலாம், ஆனால் அவர் தாமதமாக வர முடியாது. ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிந்து, நடைமுறையில் உங்கள் திறமைகளைப் பயன்படுத்தினால், நீங்கள் X ≤ 7 உடன் முடிவடையும், இதுவே பதில். அதாவது, கிராமவாசிகள் காலை ஏழு மணிக்கு அல்லது சற்று முன்னதாக ரயில் நிலையத்திற்குச் செல்ல வேண்டும்.

ஒரு ஆயக் கோட்டில் எண் இடைவெளிகள்

மேலே உள்ள சமத்துவமின்மை கடுமையானது அல்ல என்று விவரிக்கப்பட்ட உறவுகளை எவ்வாறு வரைபடமாக்குவது என்பதை இப்போது கண்டுபிடிப்போம். இதன் பொருள் மாறி 7 க்கும் குறைவான மதிப்புகளை எடுக்கலாம் அல்லது இந்த எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கலாம். மற்ற உதாரணங்களைத் தருவோம். இதைச் செய்ய, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள நான்கு புள்ளிவிவரங்களை கவனமாகக் கவனியுங்கள்.

முதலில் நீங்கள் பார்க்கலாம் வரைகலை படம்இடைவெளி [-7; 7]. இது ஒரு ஆயக் கோட்டில் வைக்கப்பட்டுள்ள எண்களின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் எல்லைகள் உட்பட -7 மற்றும் 7 க்கு இடையில் அமைந்துள்ளது. இந்த வழக்கில், வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளிகள் நிரப்பப்பட்ட வட்டங்களாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி பதிவு செய்யப்படுகிறது

இரண்டாவது படம் கடுமையான சமத்துவமின்மையின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம் ஆகும். இந்த வழக்கில், துளையிடப்பட்ட (நிரப்பப்படாத) புள்ளிகளால் காட்டப்படும் எல்லைக்கோடு எண்கள் -7 மற்றும் 7, குறிப்பிட்ட தொகுப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை. மற்றும் இடைவெளியே அடைப்புக்குறிக்குள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: (-7; 7).

அதாவது, இந்த வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டுபிடித்து, இதேபோன்ற பதிலைப் பெற்ற பிறகு, இது -7 மற்றும் 7 ஐத் தவிர, கேள்விக்குரிய எல்லைகளுக்கு இடையில் உள்ள எண்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். அடுத்த இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒரு இல் மதிப்பீடு செய்யப்பட வேண்டும். இதே வழியில். மூன்றாவது படம் இடைவெளிகளின் படங்களைக் காட்டுகிறது (-∞; -7] U)