เล็กและสวย งานง่ายๆจากประเภทที่ใช้เป็นเครื่องช่วยชีวิตนักเรียนลอยน้ำ จะเป็นช่วงกลางเดือนกรกฎาคม ถึงเวลาที่คุณจะนั่งเล่นแล็ปท็อปบนชายหาด ในตอนเช้า แสงตะวันแห่งทฤษฎีเริ่มสาดส่อง เพื่อมุ่งความสนใจไปที่การปฏิบัติในไม่ช้า ซึ่งแม้จะได้ประกาศไว้อย่างง่ายดาย แต่ก็ยังมีเศษแก้วอยู่ในทราย ในเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำให้คุณพิจารณาตัวอย่างบางส่วนของหน้านี้อย่างเป็นเรื่องเป็นราว ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติคุณต้องสามารถ ค้นหาอนุพันธ์และเข้าใจเนื้อหาของบทความ ช่วงความน่าเบื่อและสุดขั้วของฟังก์ชัน.

ก่อนอื่น สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ ในบทเรียนเกี่ยวกับ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันฉันให้คำจำกัดความของความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งและความต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง พฤติกรรมที่เป็นแบบอย่างของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์นั้นได้รับการกำหนดในลักษณะเดียวกัน ฟังก์ชันจะต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง หาก:

1) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา;
2) ต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ด้านขวาและตรงจุด ซ้าย.

ในย่อหน้าที่สองเราพูดถึงสิ่งที่เรียกว่า ความต่อเนื่องด้านเดียวทำหน้าที่ ณ จุดหนึ่ง มีหลายวิธีในการกำหนด แต่ฉันจะยึดถือบรรทัดที่ฉันเริ่มไว้ก่อนหน้านี้:

ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น ด้านขวาหากถูกกำหนดไว้ที่จุดที่กำหนดและขีดจำกัดทางขวาของมันเกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด: . มีความต่อเนื่องตรงจุด ซ้ายหากกำหนดไว้ที่จุดที่กำหนดและขีดจำกัดด้านซ้าย เท่ากับมูลค่าณ จุดนี้:

ลองนึกภาพว่าจุดสีเขียวนั้นเป็นตะปูที่มีแถบยางยืดวิเศษติดอยู่:

ใช้เส้นสีแดงในมือของคุณ แน่นอนว่าไม่ว่าเราจะยืดกราฟขึ้นลงไกลแค่ไหน (ตามแกน) ฟังก์ชันก็จะยังคงอยู่ ถูก จำกัด– รั้วด้านบน รั้วด้านล่าง และผลิตภัณฑ์ของเราเล็มหญ้าในคอก ดังนั้น, ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งถูกผูกไว้กับฟังก์ชันนั้น. ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริงที่ดูเหมือนเรียบง่ายนี้ได้รับการระบุและพิสูจน์อย่างเคร่งครัด ทฤษฎีบทแรกของไวเออร์ชตราส...หลายคนรู้สึกรำคาญที่ประโยคพื้นฐานได้รับการพิสูจน์อย่างน่าเบื่อในวิชาคณิตศาสตร์ แต่สิ่งนี้มีความหมายที่สำคัญ สมมติว่าผู้อาศัยอยู่ในยุคกลางเทอร์รี่คนหนึ่งดึงกราฟขึ้นไปบนท้องฟ้าเกินขอบเขตการมองเห็น สิ่งนี้ถูกแทรกเข้าไป ก่อนการประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ ฟังก์ชั่นที่จำกัดในอวกาศยังไม่ชัดเจนเลย! จริงๆ แล้วคุณรู้ได้อย่างไรว่ามีอะไรรอเราอยู่บนเส้นขอบฟ้าอยู่? ท้ายที่สุดแล้ว โลกเคยถูกมองว่าแบน ดังนั้นทุกวันนี้แม้แต่การเคลื่อนย้ายมวลสารธรรมดาก็ยังต้องมีการพิสูจน์ =)

ตาม ทฤษฎีบทที่สองของไวเออร์ชตราส, ต่อเนื่องกันในส่วนใดส่วนหนึ่งฟังก์ชั่นมาถึงแล้ว ขอบเขตบนที่แน่นอนและของคุณ ขอบด้านล่างที่แน่นอน .

หมายเลขนั้นก็ถูกเรียกเช่นกัน ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์และเขียนแทนด้วย และตัวเลขคือ ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ทำเครื่องหมาย

ในกรณีของเรา:

บันทึก : ตามทฤษฎีแล้ว การบันทึกเป็นเรื่องธรรมดา .

พูดประมาณว่า มูลค่าสูงสุดอยู่ในตำแหน่งที่มากที่สุด คะแนนสูงกราฟิกและจุดต่ำสุดคือจุดต่ำสุด

สำคัญ!ดังที่ได้เน้นย้ำไปแล้วในบทความเกี่ยวกับ สุดขั้วของฟังก์ชัน, ค่าฟังก์ชันสูงสุดและ ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด – ไม่เหมือนกัน, อะไร ฟังก์ชั่นสูงสุดและ ฟังก์ชั่นขั้นต่ำ. ดังนั้น ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ตัวเลขคือค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุด

ยังไงก็ตาม จะเกิดอะไรขึ้นนอกกลุ่ม? ใช่ แม้แต่น้ำท่วม ในบริบทของปัญหาที่กำลังพิจารณา สิ่งนี้ไม่ได้สนใจเราเลย งานนี้เกี่ยวข้องกับการค้นหาตัวเลขสองตัวเท่านั้น และนั่นมัน!

นอกจากนี้การแก้ปัญหายังเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ ไม่จำเป็นต้องวาดรูป!

อัลกอริธึมอยู่บนพื้นผิวและแนะนำตัวเองจากรูปด้านบน:

1) ค้นหาค่าของฟังก์ชันใน จุดวิกฤติ, ซึ่งอยู่ในส่วนนี้.

รับโบนัสอื่น: ที่นี่ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขีด เนื่องจากดังที่แสดงไว้ว่ามีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ยังไม่รับประกัน, ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดคือเท่าใด ฟังก์ชันสาธิตถึงค่าสูงสุด และตามความประสงค์ของโชคชะตา จำนวนเดียวกันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ แต่แน่นอนว่าเรื่องบังเอิญไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป

ดังนั้นในขั้นตอนแรก การคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดวิกฤตที่เป็นของกลุ่มจะรวดเร็วและง่ายกว่าโดยไม่ต้องกังวลว่าจะมีค่าสุดขีดอยู่หรือไม่

2) เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

3) ในบรรดาค่าฟังก์ชันที่พบในย่อหน้าที่ 1 และ 2 ให้เลือกค่าที่เล็กที่สุดและมากที่สุด จำนวนมาก, เขียนคำตอบ.

เรานั่งลงบนฝั่ง ทะเลสีฟ้าและตีน้ำตื้นด้วยส้นเท้าของเรา:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชั่นในช่วงเวลาหนึ่ง

สารละลาย:
1) มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติที่อยู่ในส่วนนี้:

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติที่สอง:

2) มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์กัน:

3) ผลลัพธ์ "ตัวหนา" ได้มาจากเลขชี้กำลังและลอการิทึม ซึ่งทำให้การเปรียบเทียบซับซ้อนมากขึ้น ด้วยเหตุนี้ เรามาลองใช้เครื่องคิดเลขหรือ Excel และคำนวณค่าโดยประมาณกัน โดยอย่าลืมว่า:

ตอนนี้ทุกอย่างชัดเจน

คำตอบ:

ตัวอย่างเศษส่วนเหตุผลสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดในบรรดาค่าทั้งหมด

ฟังก์ชันสามารถมีค่าที่ใหญ่ที่สุดได้เพียงค่าเดียวและค่าน้อยที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้น หรืออาจไม่มีค่าเลยก็ได้ การหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้ดังต่อไปนี้:

1) หากในช่วงเวลาหนึ่ง (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน y=f(x) มีความต่อเนื่องและมีเพียงหนึ่งจุดสุดขั้ว และหากนี่คือค่าสูงสุด (ต่ำสุด) มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้

2) หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในบางเซ็กเมนต์ ก็จำเป็นต้องมีค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์นี้ ถึงค่าเหล่านี้ที่จุดปลายสุดซึ่งอยู่ภายในส่วนหรือที่ขอบเขตของส่วนนี้

หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่มี =0 หรือไม่มีอยู่

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่า f max ที่ใหญ่ที่สุดและค่า f max ที่เล็กที่สุด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้โดยเฉพาะการปรับให้เหมาะสมปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด (สูงสุดทั่วโลกและต่ำสุดทั่วโลก) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา X มีความสำคัญ ในการแก้ปัญหาดังกล่าวควรทำตามเงื่อนไข เลือกตัวแปรอิสระและแสดงค่าที่กำลังศึกษาผ่านตัวแปรนี้ จากนั้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ต้องการของฟังก์ชันผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ช่วงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระซึ่งอาจมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของปัญหาด้วย

ตัวอย่าง.ถังที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านบนเปิดและมีก้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะต้องบรรจุกระป๋องไว้ด้านใน ขนาดของถังควรมีขนาดเท่าใดหากความจุ 108 ลิตร? น้ำเพื่อให้ต้นทุนในการกักเก็บน้อยที่สุด?

สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการเคลือบถังด้วยดีบุกจะน้อยที่สุดหากพื้นที่ผิวของถังมีน้อยตามความจุที่กำหนด ให้เราแสดงด้วย dm ด้านข้างของฐาน b dm ความสูงของถัง แล้วพื้นที่ S ของพื้นผิวจะเท่ากับ

และ

ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำ S (ฟังก์ชัน) และด้านข้างของฐาน a (อาร์กิวเมนต์) ให้เราตรวจสอบฟังก์ชัน S สำหรับส่วนปลายสุด ลองหาอนุพันธ์ตัวแรก จัดให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์:

ดังนั้น a = 6 (a) > 0 สำหรับ a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา

สารละลาย: ฟังก์ชั่นที่ระบุต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์สำหรับและสำหรับ มาคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

.

ค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at

คำถามทดสอบตัวเอง

1. กำหนดกฎของโลปิตาลสำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม ระบุความไม่แน่นอนประเภทต่างๆ ที่กฎของโลปิตาลสามารถใช้เพื่อแก้ไขได้

2. กำหนดสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

3. กำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

4. กำหนด สภาพที่จำเป็นการดำรงอยู่ของสุดขั้ว

5. ค่าใดของอาร์กิวเมนต์ (จุดใด) ที่เรียกว่าวิกฤต? จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร?

6. อะไรคือสัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว? เขียนโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1

7. สรุปโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขีดโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

8. กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

9. จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชันเรียกว่าอะไร? ระบุวิธีการหาจุดเหล่านี้

10. กำหนดสัญญาณที่จำเป็นและเพียงพอของความนูนและความเว้าของเส้นโค้งบนส่วนที่กำหนด

11. กำหนดเส้นกำกับของเส้นโค้ง จะค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง แนวนอน และแนวเฉียงของกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร

12. โครงร่าง โครงการทั่วไปค้นคว้าฟังก์ชันและสร้างกราฟ

13. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์นั้นชวนให้นึกถึงการบินที่น่าสนใจรอบวัตถุ (กราฟของฟังก์ชัน) ในเฮลิคอปเตอร์ ยิงที่จุดใดจุดหนึ่งจากปืนใหญ่ระยะไกลและเลือกอย่างมาก คะแนนพิเศษจากจุดเหล่านี้สำหรับการควบคุมช็อต คะแนนจะถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและตาม กฎบางอย่าง. ตามกฎเกณฑ์อะไร? เราจะพูดถึงเรื่องนี้ต่อไป

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] ก็มาถึงส่วนนี้แล้ว น้อยที่สุด และ ค่าสูงสุด . สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดขั้วหรือที่ส่วนท้ายของส่วน ดังนั้นจึงต้องหา. น้อยที่สุด และ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ต่อเนื่องตามช่วงเวลา [ ก, ข] คุณต้องคำนวณค่าของมันทั้งหมด จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน จากนั้นเลือกส่วนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดจากส่วนเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข] . ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาจุดวิกฤติทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก, ข] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้, และเธอ อนุพันธ์เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จากนั้นคุณควรคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ และสุดท้าย เราควรเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ( ฉ(ก) และ ฉ(ข)). ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] .

ปัญหาในการค้นหา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด .

เรามองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 2] .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และรับจุดวิกฤติสองจุด: และ . หากต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดนั้นเนื่องจากจุดนั้นไม่ได้อยู่ในส่วน [-1, 2]. ค่าฟังก์ชันเหล่านี้คือ: , , . มันเป็นไปตามนั้น ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด(ระบุด้วยสีแดงบนกราฟด้านล่าง) เท่ากับ -7 ทำได้ที่ด้านขวาสุดของส่วน - ที่จุด และ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(บนกราฟยังเป็นสีแดง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและช่วงเวลานี้ไม่ใช่เซ็กเมนต์ (แต่คือ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่ จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชันอาจไม่มีค่าน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในภาพด้านล่างจะต่อเนื่องกันที่ ]-∞, +∞[ และไม่มีค่าที่มากที่สุด

อย่างไรก็ตาม สำหรับช่วงเวลาใดๆ (ปิด เปิด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้จะเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 3] .

สารละลาย. เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุพันธ์ของผลหาร:

.

เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งจะได้ค่าหนึ่งมา จุดวิกฤติ: . มันอยู่ในส่วน [-1, 3] . ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ลองเปรียบเทียบค่าเหล่านี้กัน สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

มีครูบางคนในหัวข้อการหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน อย่ายกตัวอย่างให้นักเรียนแก้โจทย์ที่ซับซ้อนกว่าที่เพิ่งพูดถึงไป นั่นคือค่าที่ฟังก์ชันเป็นพหุนามหรือ a เศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างดังกล่าวเนื่องจากในหมู่ครูมีคนที่ชอบบังคับให้นักเรียนคิดให้ครบถ้วน (ตารางอนุพันธ์) ดังนั้นจะใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้เป็น อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่ง: มันอยู่ในส่วน ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้วเท่ากับ 0 ณ จุด และ ณ จุด และ มูลค่าสูงสุด, เท่ากัน จ² ณ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:

เราถือเอาอนุพันธ์เป็นศูนย์:

จุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่เป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

บทสรุป: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้ว, เท่ากับ , ณ จุด และ มูลค่าสูงสุดเท่ากัน ณ จุดนั้น

ในปัญหาสุดขั้วที่ใช้ ตามกฎแล้วการค้นหาค่าที่เล็กที่สุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันจะลดลงเพื่อค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดที่น่าสนใจในทางปฏิบัติมากกว่า แต่เป็นคุณค่าของการโต้แย้งที่พวกเขาบรรลุผล เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้จะเกิดปัญหาเพิ่มเติม - การเขียนฟังก์ชันที่อธิบายปรากฏการณ์หรือกระบวนการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 8ถังที่มีความจุ 4 ที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีฐานสี่เหลี่ยมเปิดด้านบนต้องบรรจุกระป๋อง ถังควรมีขนาดเท่าใดจึงจะใช้วัสดุปิดฝาน้อยที่สุด?

สารละลาย. อนุญาต x- ด้านฐาน ชม.- ความสูงของถัง ส- พื้นที่ผิวไม่มีสิ่งปกคลุม วี- ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของถังแสดงโดยสูตรเช่น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดงออก สในฐานะฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า จากที่ไหน . แทนที่นิพจน์ที่พบ ชม.ลงในสูตรสำหรับ ส:

ลองตรวจสอบฟังก์ชันนี้จนถึงจุดสุดขั้วกัน มันถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ใน ]0, +∞[ และ

.

เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้ เมื่อไม่มีอนุพันธ์อยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้ นี่เป็นจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบดูว่ามีสุดขั้วหรือไม่โดยใช้เครื่องหมายเพียงพออันที่สอง ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน เมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ () ซึ่งหมายความว่าเมื่อฟังก์ชันถึงจุดต่ำสุดแล้ว . ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด. ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .

ตัวอย่างที่ 9จากจุด กตั้งอยู่บนเส้นทางรถไฟถึงจุดนั้น กับซึ่งอยู่ห่างจากที่นั่น ลจะต้องขนส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยทางรถไฟเท่ากับ และทางทางหลวงเท่ากับ ถึงจุดไหน มเส้น ทางรถไฟควรสร้างทางหลวงเพื่อขนส่งสินค้า กวี กับประหยัดที่สุด (มาตรา เอบีทางรถไฟถือว่าตรง)?

จะค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้ เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่รู้จักกันดี:

1 . การค้นหาฟังก์ชัน ODZ

2 . การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3 . การทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

4 . เราค้นหาช่วงเวลาที่อนุพันธ์คงเครื่องหมายไว้และจากนั้นเราจะกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดังนั้นฟังก์ชัน ลดลงในช่วงเวลานี้

5 . เราพบ จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

ใน ที่จุดสูงสุดของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-".

ใน จุดต่ำสุดของฟังก์ชันเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จาก "-" เป็น "+".

6 . เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

• จากนั้นเราจะเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสูงสุด และ เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
• หรือเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดต่ำสุด และ เลือกค่าที่น้อยที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันทำงานบนเซ็กเมนต์อย่างไร อัลกอริธึมนี้สามารถลดลงได้อย่างมาก

พิจารณาฟังก์ชัน . กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะดังนี้:

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาต่างๆ จาก Open Task Bank for

1. งาน B15 (หมายเลข 26695)

บนส่วน.

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ และอนุพันธ์เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ซึ่งก็คือที่ x=0

คำตอบ: 5.

2 . งาน B15 (หมายเลข 26702)

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

1. ฟังก์ชัน ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ อย่างไรก็ตาม ณ จุดเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย:

ดังนั้น title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(คอส^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} เพิ่มและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ที่

เพื่อให้ชัดเจนว่าเหตุใดอนุพันธ์จึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย เราจึงแปลงนิพจน์ของอนุพันธ์ดังนี้:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

คำตอบ: 5.

3. งาน B15 (หมายเลข 26708)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. ฟังก์ชัน ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ลองวางรากของสมการนี้บนวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วงประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: และ

มาติดป้ายกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุด x=0: . เมื่อผ่านจุดและสัญญาณการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ให้เราพรรณนาถึงการเปลี่ยนแปลงสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนเส้นพิกัด:

แน่นอนว่าจุดนี้คือจุดต่ำสุด (ซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+") และหากต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ คุณต้องเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ จุดต่ำสุดและที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์

อัลกอริธึมมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวหลังจากค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันแล้ว จะต้องกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา จากนั้นจึงคำนวณค่าที่จุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ที่พบ และที่ขอบเขตของช่วงเวลา ขึ้นอยู่กับคำถามที่อยู่ในเงื่อนไข

ฉันแนะนำให้คุณทำสิ่งที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ทำไม ฉันเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้

ฉันเสนอให้แก้ไขปัญหาดังกล่าวดังนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์
2. ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์
3. พิจารณาว่ารายการใดอยู่ในช่วงนี้
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ขอบเขตของช่วงเวลาและจุดของขั้นตอนที่ 3
5. เราได้ข้อสรุป (ตอบคำถามที่ถูกวาง)

ขณะแก้ตัวอย่างที่นำเสนอนั้น ไม่ได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด สมการกำลังสองคุณต้องสามารถทำเช่นนี้ได้ พวกเขาควรรู้ด้วย

ลองดูตัวอย่าง:

77422. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 –3x+4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

จุด x = –1 อยู่ในช่วงที่ระบุในเงื่อนไข

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –2, –1 และ 0:

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือ 6

คำตอบ: 6

77425. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 2 บนเซ็กเมนต์

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

จุด x = 2 เป็นของช่วงที่ระบุในเงื่อนไข

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1, 2 และ 4:

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –2

คำตอบ: –2

77426. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 6x 2 บนเซ็กเมนต์ [–3;3]

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีจุด x = 0

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –3, 0 และ 3:

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 0

คำตอบ: 0

77429. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 2x 2 + x +3 บนเซกเมนต์

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

3x 2 – 4x + 1 = 0

เราได้ราก: x 1 = 1 x 1 = 1/3

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีเพียง x = 1

มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1 และ 4:

เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 3

คำตอบ: 3

77430. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 + 2x 2 + x + 3 บนเซ็กเมนต์ [– 4; -1].

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:

3x 2 + 4x + 1 = 0

มารับรากกันเถอะ:

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขประกอบด้วยราก x = –1

เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด –4, –1, –1/3 และ 1:

เราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ 3

คำตอบ: 3

77433. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – x 2 – 40x +3 บนเซกเมนต์

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:

3x 2 – 2x – 40 = 0

มารับรากกันเถอะ:

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีราก x = 4

ค้นหาค่าฟังก์ชันที่จุดที่ 0 และ 4:

เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –109

คำตอบ: –109

ลองพิจารณาวิธีกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดโดยไม่มีอนุพันธ์ วิธีนี้สามารถใช้ได้หากคุณมี ปัญหาใหญ่. หลักการนั้นง่าย - เราแทนที่ค่าจำนวนเต็มทั้งหมดจากช่วงเวลาลงในฟังก์ชัน (ความจริงก็คือในต้นแบบดังกล่าวทั้งหมดคำตอบคือจำนวนเต็ม)

77437. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=7+12x–x 3 บนเซ็กเมนต์ [–2;2]

คะแนนทดแทนจาก –2 ถึง 2: ดูโซลูชัน

77434. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก