คำแนะนำ

หากสามเหลี่ยมที่กำหนดเป็นหน้าจั่วหรือสม่ำเสมอ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นมี
สองหรือสามด้านแล้วแบ่งครึ่งตามทรัพย์สิน สามเหลี่ยมจะเป็นค่ามัธยฐานด้วย ดังนั้นด้านตรงข้ามจะถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นแบ่งครึ่ง

วัดด้านตรงข้ามด้วยไม้บรรทัด สามเหลี่ยมโดยที่เส้นแบ่งเขตจะดูแล แบ่งด้านนี้ออกครึ่งหนึ่งแล้ววางจุดไว้ตรงกลางด้านข้าง

ลากเส้นตรงผ่านจุดที่สร้างขึ้นและจุดยอดตรงข้าม นี่จะเป็นเส้นแบ่งครึ่ง สามเหลี่ยม.

แหล่งที่มา:

• ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของรูปสามเหลี่ยม

การแบ่งมุมครึ่งหนึ่งและคำนวณความยาวของเส้นที่ลากจากด้านบนไปยังด้านตรงข้ามเป็นสิ่งที่ช่างตัด ผู้สำรวจ ช่างติดตั้ง และบุคลากรในวิชาชีพอื่นๆ จำเป็นต้องสามารถทำได้

คุณจะต้องการ

• เครื่องมือ ไม้บรรทัดดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์ ตารางไซน์และโคไซน์ สูตรทางคณิตศาสตร์และแนวคิด: คำจำกัดความของเส้นแบ่งครึ่ง ทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์ ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่ง

คำแนะนำ

สร้างสามเหลี่ยมตามขนาดที่ต้องการขึ้นอยู่กับว่าคุณให้อะไรมาบ้าง? ด้าน dfe และมุมระหว่างสองด้าน สามด้านหรือสองมุม และด้านที่อยู่ระหว่างสองมุม

ติดป้ายกำกับจุดยอดของมุมและด้านข้างด้วยตัวอักษรละตินแบบดั้งเดิม A, B และ C ส่วนยอดของมุมจะมีเครื่องหมาย และด้านตรงข้ามด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก ติดป้ายกำกับมุมด้วยตัวอักษรกรีก ??,? และ?

ใช้ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ในการคำนวณมุมและด้าน สามเหลี่ยม.

จำแบ่งครึ่ง Bisector - การแบ่งมุมครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุม สามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วนซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน สามเหลี่ยม.

วาดเส้นแบ่งครึ่งของมุม ติดป้ายกำกับส่วนผลลัพธ์ด้วยชื่อของมุมที่เขียน ตัวอักษรตัวพิมพ์เล็กโดยมีตัวห้อย l ด้าน c แบ่งออกเป็นส่วน a และ b โดยมีดัชนี l

คำนวณความยาวของส่วนผลลัพธ์โดยใช้กฎของไซน์

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

ความยาวของส่วนซึ่งเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเดิม ซึ่งก็คือเส้นแบ่งครึ่งและส่วนของตัวมันเองนั้น คำนวณโดยใช้กฎของไซน์ ในการคำนวณความยาวของส่วนอื่นของด้านเดียวกัน ให้ใช้อัตราส่วนของส่วนผลลัพธ์กับด้านที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมเดิม

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้วาดเส้นแบ่งครึ่ง มุมที่แตกต่างกัน สีที่ต่างกัน.

แบ่งครึ่ง มุมเรียกว่ารังสีที่เริ่มต้นที่จุดยอด มุมและแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เหล่านั้น. เพื่อใช้จ่าย แบ่งครึ่งคุณต้องหาตรงกลาง มุม- วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้เข็มทิศ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณใดๆ และผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับว่ามีปริมาณหรือไม่ มุมจำนวนเต็ม

คุณจะต้องการ

• เข็มทิศ ดินสอ ไม้บรรทัด

คำแนะนำ

โดยปล่อยให้ความกว้างของเข็มทิศเปิดเหมือนเดิม วางเข็มไว้ที่ปลายของส่วนด้านใดด้านหนึ่ง แล้ววาดส่วนหนึ่งของวงกลมเพื่อให้อยู่ภายใน มุม- ทำเช่นเดียวกันกับอันที่สอง คุณจะพบกับวงกลมสองส่วนที่ตัดกันภายใน มุม- ประมาณตรงกลาง. ส่วนของวงกลมสามารถตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสองจุดได้

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม คุณสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ได้ แต่วิธีนี้ต้องการความแม่นยำมากกว่า ยิ่งไปกว่านั้น หากค่ามุมไม่ใช่จำนวนเต็ม ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งจะเพิ่มขึ้น

เมื่อสร้างหรือพัฒนาโครงการออกแบบบ้านมักจำเป็นต้องสร้าง มุมเท่ากับของที่มีอยู่แล้ว เทมเพลตและความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตของโรงเรียนมาช่วยเหลือ

คำแนะนำ

มุมหนึ่งเกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากมาจากจุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดยอดของมุม และเส้นตรงจะเป็นด้านข้างของมุม

ใช้สามมุมเพื่อระบุมุม: หนึ่งอันที่ด้านบน สองอันที่ด้านข้าง เรียกว่า มุมโดยเริ่มจากตัวอักษรที่อยู่ด้านหนึ่ง เรียกว่า ตัวอักษรที่อยู่ด้านบน แล้วจึงเรียกว่าตัวอักษรที่อยู่อีกด้านหนึ่ง ใช้อย่างอื่นเพื่อระบุมุมหากคุณต้องการเป็นอย่างอื่น บางครั้งอาจมีการตั้งชื่อตัวอักษรเพียงตัวเดียวซึ่งอยู่ด้านบน และคุณสามารถแสดงมุมด้วยตัวอักษรกรีก เช่น α, β, γ

มีสถานการณ์เมื่อมีความจำเป็น มุมเพื่อให้แคบกว่ามุมที่กำหนด หากไม่สามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ในการก่อสร้างได้ คุณสามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศเท่านั้น สมมติว่าบนเส้นตรงที่มีตัวอักษร MN คุณต้องสร้าง มุมที่จุด K เพื่อให้เท่ากับมุม B นั่นคือจากจุด K จำเป็นต้องวาดเส้นตรงด้วยเส้น MN มุมซึ่งจะเท่ากับมุม B

ขั้นแรก ทำเครื่องหมายจุดในแต่ละด้านของมุมที่กำหนด เช่น จุด A และ C จากนั้นเชื่อมต่อจุด C และ A ด้วยเส้นตรง รับทรี มุมนิค เอบีซี

ตอนนี้สร้าง Tre ​​เดียวกันบนเส้นตรง MN มุมเพื่อให้จุดยอด B อยู่บนเส้นตรงที่จุด K ใช้กฎในการสร้างสามเหลี่ยม มุมนิคในสาม เลย์เอาส่วน KL ออกจากจุด K มันจะต้องเท่ากับส่วน BC รับจุด L

จากจุด K ให้วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับส่วน BA จาก L ให้วาดวงกลมที่มีรัศมี CA เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์ (P) ของจุดตัดของวงกลมสองวงด้วย K รับสาม มุม KPL ซึ่งจะเท่ากับสาม มุมหนังสือเอบีซี. นี่คือวิธีที่คุณได้รับ มุม K จะเท่ากับมุม B เพื่อให้สะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น ให้กำหนดส่วนที่เท่ากันจากจุดยอด B โดยใช้การเปิดเข็มทิศข้างเดียวโดยไม่ขยับขา อธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันจากจุด K

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 5: วิธีสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและค่ามัธยฐาน

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดซึ่งมีจุดยอดสามจุดเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยส่วนที่ประกอบเป็นด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับตรงกลางของด้านตรงข้ามเรียกว่าค่ามัธยฐาน เมื่อทราบความยาวของสองด้านและค่ามัธยฐานที่เชื่อมต่อที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง คุณสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้โดยไม่ต้องมีข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของด้านที่สามหรือขนาดของมุม

คำแนะนำ

วาดส่วนจากจุด A ซึ่งมีความยาวเป็นด้านที่ทราบของรูปสามเหลี่ยม (a) ทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของส่วนนี้ด้วยตัวอักษร B หลังจากนั้นสามารถพิจารณาสร้างด้านใดด้านหนึ่ง (AB) ของสามเหลี่ยมที่ต้องการได้แล้ว

ใช้เข็มทิศ วาดวงกลมโดยมีรัศมีเท่ากับสองเท่าของความยาวของค่ามัธยฐาน (2∗m) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A

ใช้เข็มทิศวาดวงกลมที่สองโดยมีรัศมีเท่ากับความยาวของด้านที่รู้จัก (b) และมีจุดศูนย์กลางที่จุด B วางเข็มทิศไว้ครู่หนึ่ง แต่ปล่อยเข็มทิศที่วัดไว้ไว้ - คุณจะต้อง อีกครั้งในภายหลัง

สร้างส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด A กับจุดตัดกันของเส้นทั้งสองที่คุณวาด ครึ่งหนึ่งของส่วนนี้จะเป็นส่วนที่คุณกำลังสร้าง - วัดครึ่งหนึ่งนี้และวางจุด M ในขณะนี้ คุณมีด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่ต้องการ (AB) และค่ามัธยฐาน (AM)

ใช้เข็มทิศ วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับความยาวของด้านที่สองที่ทราบ (b) และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A

วาดส่วนที่ควรเริ่มต้นที่จุด B ผ่านจุด M และสิ้นสุดที่จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลมที่คุณวาดในขั้นตอนก่อนหน้า กำหนดจุดตัดด้วยตัวอักษร C ตอนนี้ด้าน BC ซึ่งไม่ทราบเงื่อนไขของปัญหาได้ถูกสร้างขึ้นในสิ่งที่ต้องการแล้ว

ความสามารถในการแบ่งมุมด้วยเส้นแบ่งครึ่งนั้นจำเป็นไม่เพียงแต่เพื่อให้ได้ “A” ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ความรู้นี้จะเป็นประโยชน์อย่างมากสำหรับช่างก่อสร้าง นักออกแบบ ช่างสำรวจ และช่างตัดเสื้อ ในชีวิตคุณต้องสามารถแบ่งหลายสิ่งออกเป็นสองส่วนได้

ทุกคนที่โรงเรียนเรียนรู้เรื่องตลกเกี่ยวกับหนูที่วิ่งไปรอบมุมและแบ่งครึ่งมุม ชื่อของสัตว์ฟันแทะที่ว่องไวและชาญฉลาดตัวนี้คือ Bisector ไม่มีใครรู้ว่าหนูแบ่งมุมได้อย่างไร แต่สามารถแนะนำวิธีการต่อไปนี้สำหรับนักคณิตศาสตร์ในตำราเรียนเรื่อง "เรขาคณิต"

การใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดำเนินการแบ่งครึ่งคือการใช้อุปกรณ์สำหรับ คุณต้องติดไม้โปรแทรกเตอร์ไว้ที่ด้านหนึ่งของมุม โดยจัดจุดอ้างอิงให้ตรงกับปลาย O จากนั้นวัดมุมเป็นองศาหรือเรเดียน แล้วหารด้วย 2 ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์อันเดียวกัน แยกองศาที่ได้รับออกจากด้านใดด้านหนึ่งแล้วลากเส้นตรงซึ่งจะกลายเป็นเส้นแบ่งครึ่งไปยังจุดเริ่มต้นของมุม O

การใช้เข็มทิศ

คุณต้องใช้เข็มทิศแล้วย้ายไปที่ขนาดใดก็ได้ (ภายในขอบเขตของภาพวาด) วางส่วนปลายไว้ที่จุดเริ่มต้นของมุม O แล้วให้วาดส่วนโค้งที่ตัดกับรังสีโดยทำเครื่องหมายสองจุดไว้ ถูกกำหนดให้เป็น A1 และ A2 จากนั้นเมื่อวางเข็มทิศสลับกันที่จุดเหล่านี้คุณควรวาดวงกลมสองวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน (ตามขนาดของภาพวาด) จุดตัดของพวกเขาถูกกำหนดให้เป็น C และ B ถัดไปคุณต้องลากเส้นตรงผ่านจุด O, C และ B ซึ่งจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการ

การใช้ไม้บรรทัด

ในการวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมโดยใช้ไม้บรรทัด คุณต้องละทิ้งส่วนที่มีความยาวเท่ากันจากจุด O บนรังสี (ด้านข้าง) และกำหนดให้เป็นจุด A และ B จากนั้นคุณควรเชื่อมต่อพวกมันด้วยเส้นตรง และใช้ไม้บรรทัดแบ่งส่วนที่เป็นผลลัพธ์ออกเป็นครึ่งหนึ่งโดยกำหนดจุด C จะได้เส้นแบ่งครึ่งหากคุณวาดเส้นตรงผ่านจุด C และ O

ไม่มีเครื่องมือ

หากไม่มีเครื่องมือวัดคุณสามารถใช้ความเฉลียวฉลาดของคุณได้ ก็เพียงพอแล้วที่จะวาดมุมบนกระดาษลอกลายหรือกระดาษบางธรรมดาแล้วพับกระดาษอย่างระมัดระวังเพื่อให้รังสีของมุมอยู่ในแนวเดียวกัน เส้นพับในภาพวาดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการ

มุมตรง

มุมที่มากกว่า 180 องศาสามารถหารด้วยเส้นแบ่งครึ่งได้โดยใช้วิธีเดียวกัน เพียงแต่จะต้องไม่แบ่งมัน แต่ต้องแบ่งมุมแหลมที่อยู่ติดกันซึ่งเหลือจากวงกลม ความต่อเนื่องของเส้นแบ่งครึ่งที่พบจะกลายเป็นเส้นตรงที่ต้องการโดยแบ่งมุมที่กางออกครึ่งหนึ่ง

มุมในรูปสามเหลี่ยม

ควรจำไว้ว่าในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่านั้น เส้นแบ่งครึ่งยังเป็นค่ามัธยฐานและระดับความสูงด้วย ดังนั้นจึงสามารถหาเส้นแบ่งครึ่งในนั้นได้โดยการลดตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม (ความสูง) หรือแบ่งครึ่งด้านนี้แล้วเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางกับมุมตรงข้าม (ค่ามัธยฐาน)

วิดีโอในหัวข้อ

กฎช่วยในการจำ "เส้นแบ่งครึ่งคือหนูที่วิ่งไปรอบมุมแล้วแบ่งครึ่ง" อธิบายสาระสำคัญของแนวคิดนี้ แต่ไม่ได้ให้คำแนะนำในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง ในการวาดนอกเหนือจากกฎคุณจะต้องมีเข็มทิศและไม้บรรทัด

คำแนะนำ

สมมติว่าคุณต้องสร้าง แบ่งครึ่งมุม A. ใช้เข็มทิศ วางปลายไว้ที่จุด A (มุม) แล้ววาดวงกลมใดๆ เมื่อตัดกันด้านข้างของมุม ให้วางจุด B และ C

วัดรัศมีของวงกลมแรก วาดอีกอันที่มีรัศมีเท่ากันโดยวางเข็มทิศที่จุด B

วาดวงกลมถัดไป (ขนาดเท่ากับวงกลมก่อนหน้า) โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C

วงกลมทั้งสามวงจะต้องตัดกันที่จุดหนึ่ง เรียกมันว่า F กันดีกว่า ใช้ไม้บรรทัดลากรังสีที่ผ่านจุด A และ F นี่จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการของมุม A

มีกฎหลายข้อที่จะช่วยคุณค้นหา ตัวอย่างเช่น มันอยู่ตรงข้ามใน เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน ในหน้าจั่ว

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมเป็นแนวคิดทางเรขาคณิตทั่วไปที่ไม่ทำให้เกิดความยากในการเรียนรู้มากนัก เมื่อมีความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของมันแล้ว คุณจะสามารถแก้ไขปัญหาต่างๆ มากมายได้ โดยไม่ยากลำบากมากนัก เส้นครึ่งคืออะไร? เราจะพยายามแนะนำผู้อ่านให้รู้จักกับความลับทั้งหมดของบรรทัดทางคณิตศาสตร์นี้

ติดต่อกับ

สาระสำคัญของแนวคิด

ชื่อของแนวคิดมาจากการใช้คำในภาษาละตินซึ่งมีความหมายว่า "bi" - สอง "sectio" - เพื่อตัด พวกเขาชี้ไปที่โดยเฉพาะ ความหมายทางเรขาคณิตแนวคิด - ทำลายช่องว่างระหว่างรังสี ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน.

เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมเป็นส่วนที่มาจากจุดยอดของรูป และปลายอีกด้านวางอยู่ที่ด้านข้างซึ่งอยู่ตรงข้าม โดยแบ่งช่องว่างออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน

ในการจดจำแนวคิดทางคณิตศาสตร์อย่างรวดเร็ว ครูหลายคนใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกัน ซึ่งสะท้อนให้เห็นในบทกวีหรือการเชื่อมโยง แน่นอนว่าแนะนำให้ใช้คำจำกัดความนี้กับเด็กโต

บรรทัดนี้ถูกกำหนดอย่างไร? ที่นี่เราอาศัยกฎในการกำหนดส่วนหรือรังสี ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการกำหนดเส้นแบ่งครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยม มักจะเขียนเป็นส่วนที่มีปลายเป็น จุดยอดและจุดตัดที่มีด้านตรงข้ามจุดยอด- ยิ่งไปกว่านั้น จุดเริ่มต้นของสัญกรณ์นั้นเขียนจากจุดยอดอย่างแม่นยำ

ความสนใจ!สามเหลี่ยมมีเส้นแบ่งครึ่งกี่อัน? คำตอบนั้นชัดเจน: มากเท่าที่มีจุดยอด - สามจุด

คุณสมบัติ

นอกเหนือจากคำจำกัดความแล้ว ยังมีคุณสมบัติไม่มากของแนวคิดทางเรขาคณิตนี้ที่สามารถพบได้ในหนังสือเรียนของโรงเรียน คุณสมบัติแรกของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมที่เด็กนักเรียนรู้จักคือจุดศูนย์กลางที่ถูกจารึกไว้ และคุณสมบัติที่สองที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับมันคือสัดส่วนของส่วนต่างๆ บรรทัดล่างคือ:

1. เส้นแบ่งอะไรก็ตาม ย่อมมีจุดอยู่บนนั้น ในระยะเดียวกันจากด้านข้างซึ่งประกอบเป็นช่องว่างระหว่างรังสี
2. เพื่อให้วงกลมพอดีกับรูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องกำหนดจุดที่ส่วนเหล่านี้จะตัดกัน นั่นคือสิ่งที่มันเป็น จุดศูนย์กลางวงกลม
3. ส่วนของด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตสามเหลี่ยมซึ่งมีเส้นแบ่งอยู่ วี การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วนจากด้านข้างเป็นมุม.

เราจะพยายามนำคุณสมบัติที่เหลือเข้าสู่ระบบและนำเสนอข้อเท็จจริงเพิ่มเติมที่จะช่วยให้เข้าใจถึงข้อดีของแนวคิดทางเรขาคณิตนี้ได้ดีขึ้น

ความยาว

ปัญหาประเภทหนึ่งที่ทำให้เด็กนักเรียนลำบากคือการหาความยาวของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสามเหลี่ยม ตัวเลือกแรกซึ่งมีความยาวประกอบด้วยข้อมูลต่อไปนี้:

• จำนวนช่องว่างระหว่างรังสีจากจุดยอดซึ่งมีส่วนที่กำหนดให้ปรากฏ
• ความยาวของด้านที่สร้างมุมนี้

เพื่อแก้ไขปัญหา สูตรที่ใช้ความหมายคือการหาอัตราส่วนผลคูณของด้านที่ประกอบเป็นมุมเพิ่มขึ้น 2 เท่าด้วยโคไซน์ของครึ่งหนึ่งต่อผลรวมของด้าน

ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง สมมติว่าเราได้รับรูป ABC โดยที่เซกเมนต์หนึ่งถูกดึงมาจากมุม A และตัดด้าน BC ที่จุด K เราแทนค่าของ A เป็น Y จากค่านี้ AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ เอซี).

ปัญหารุ่นที่สองซึ่งกำหนดความยาวของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมีข้อมูลต่อไปนี้:

• ทราบความหมายของรูปทุกด้าน

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ในเบื้องต้น กำหนดกึ่งปริมณฑล- ในการทำเช่นนี้ คุณต้องบวกค่าของทุกด้านแล้วหารครึ่งหนึ่ง: p=(AB+BC+AC)/2 ต่อไป เราใช้สูตรคำนวณที่ใช้ในการกำหนดความยาวของส่วนนี้ในปัญหาก่อนหน้า จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงสาระสำคัญของสูตรตามพารามิเตอร์ใหม่เท่านั้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาอัตราส่วนของรากที่สองของกำลังสองของผลคูณของความยาวของด้านที่อยู่ติดกับจุดยอดด้วยกึ่งเส้นรอบรูป และความแตกต่างระหว่างกึ่งเส้นรอบรูปกับความยาวของเส้นรอบรูป ด้านตรงข้ามกับผลรวมของด้านที่ประกอบกันเป็นมุม นั่นคือ AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC)

ความสนใจ!เพื่อให้เชี่ยวชาญเนื้อหาได้ง่ายขึ้น คุณสามารถหันไปหาการ์ตูนที่มีอยู่บนอินเทอร์เน็ตซึ่งบอกเล่าเกี่ยวกับ "การผจญภัย" ของบรรทัดนี้

สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน หรือเป็นเส้นหักปิดที่มีจุดเชื่อมต่อสามจุด หรือรูปที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ดูรูปที่ 1)

องค์ประกอบสำคัญ สามเหลี่ยมเอบีซี

ยอดเขา – จุด A, B และ C;

ภาคี – ส่วน a = BC, b = AC และ c = AB เชื่อมต่อจุดยอด

มุม – α, β, γ เกิดจากด้านสามคู่ มุมมักถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับจุดยอด โดยมีตัวอักษร A, B และ C

มุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและนอนอยู่ในพื้นที่ภายในเรียกว่ามุมภายใน และมุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม (2, หน้า 534)

ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากองค์ประกอบหลักในรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีการพิจารณาส่วนอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจด้วย เช่น ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลาง

ความสูง

ความสูงของสามเหลี่ยม- สิ่งเหล่านี้คือเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม

หากต้องการพล็อตความสูง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) วาดเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม (หากความสูงถูกดึงมาจากจุดยอดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมป้าน)

2) จากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นที่ลาก ให้วาดส่วนหนึ่งจากจุดถึงเส้นนี้ โดยทำมุม 90 องศา

จุดที่ระดับความสูงตัดกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า ฐานความสูง (ดูรูปที่ 2)

คุณสมบัติของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงที่ลากมาจากจุดยอด มุมฉากให้แยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันคล้ายกับสามเหลี่ยมเดิม

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงทั้งสองจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ฐานของความสูงทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และในรูปสามเหลี่ยมป้าน ระดับความสูง 2 อันจะตกลงบนเส้นต่อเนื่องของด้านข้าง

ระดับความสูงสามจุดในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันตัดกันที่จุดหนึ่งและจุดนี้เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ สามเหลี่ยม.

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน(จากภาษาละติน mediana - "ตรงกลาง") - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ดูรูปที่ 3)

ในการสร้างค่ามัธยฐาน คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) หาตรงกลางด้านข้าง

2) เชื่อมต่อจุดที่อยู่กึ่งกลางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับจุดยอดตรงข้ามกับส่วน

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง สามเหลี่ยม.

สามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานของมันเป็นสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

แบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่ง(จากภาษาละติน ทวิ - สองครั้ง และ เซโก - ตัด) คือส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่แบ่งครึ่งมุม (ดูรูปที่ 4)

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) สร้างรังสีที่ออกมาจากจุดยอดของมุมแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เส้นแบ่งครึ่งของมุม)

2) ค้นหาจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม

3) เลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านตรงข้ามเป็นอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านสองด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมตัดกับส่วนขยายของด้านตรงข้าม ดังนั้น ADBD=ACBC

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เป็นศูนย์กลางของหนึ่งในสาม นอกกรอบสามเหลี่ยมนี้

ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในสองมุมและมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมไม่ขนานกับด้านตรงข้าม แสดงว่าฐานของพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

วันนี้จะเป็นบทเรียนที่ง่ายมาก เราจะพิจารณาวัตถุเพียงชิ้นเดียว - เส้นแบ่งครึ่งมุม - และพิสูจน์คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของมัน ซึ่งจะมีประโยชน์มากสำหรับเราในอนาคต

อย่าผ่อนคลาย: บางครั้งนักเรียนที่ต้องการได้คะแนนสูงในการสอบ Unified State หรือ Unified State Exam ไม่สามารถกำหนดคำจำกัดความของการแบ่งครึ่งในบทเรียนแรกได้อย่างแม่นยำด้วยซ้ำ

และแทนที่จะทำงานที่น่าสนใจจริงๆ เรากลับเสียเวลาไปกับสิ่งง่ายๆ เช่นนั้น ดังนั้นอ่าน ดู และนำไปใช้ :)

เริ่มต้นด้วยคำถามแปลก ๆ เล็กน้อย: มุมคืออะไร? ถูกต้อง มุมหนึ่งเป็นเพียงรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างของมุม: แหลม ป้าน และมุมขวา

ดังที่คุณเห็นจากภาพ มุมต่างๆ อาจเป็นมุมแหลม ป้าน หรือตรงก็ได้ ตอนนี้ไม่สำคัญแล้ว เพื่อความสะดวก บ่อยครั้งที่มีการทำเครื่องหมายจุดเพิ่มเติมไว้บนรังสีแต่ละเส้นและบอกว่าด้านหน้าของเราคือมุม $AOB$ (เขียนเป็น $\angle AOB$)

Captain Obviousness ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่านอกจากรังสี $OA$ และ $OB$ แล้ว ยังสามารถดึงรังสีเพิ่มเติมจากจุด $O$ ได้อีกด้วย แต่ในหมู่พวกเขาจะมีคนพิเศษคนหนึ่ง - เขาเรียกว่าแบ่งครึ่ง

คำนิยาม. เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือรังสีที่ออกมาจากจุดยอดของมุมนั้นและแบ่งครึ่งมุม

สำหรับมุมข้างต้น เส้นแบ่งครึ่งจะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างเส้นแบ่งครึ่งสำหรับมุมแหลม มุมป้าน และมุมฉาก

เนื่องจากในภาพวาดจริงไม่ชัดเจนเสมอไปว่ารังสีบางเส้น (ในกรณีของเราคือรังสี $OM$) จะแบ่งมุมเดิมออกเป็นสองมุมเท่ากัน ในเรขาคณิตจึงเป็นเรื่องปกติที่จะทำเครื่องหมาย มุมเท่ากันส่วนโค้งจำนวนเท่ากัน (ในภาพวาดของเรา นี่คือ 1 ส่วนโค้งสำหรับมุมแหลม, 2 ส่วนสำหรับมุมป้าน, 3 ส่วนสำหรับมุมตรง)

โอเค เราได้แยกคำจำกัดความออกแล้ว ตอนนี้คุณต้องเข้าใจว่าเส้นแบ่งครึ่งมีคุณสมบัติอะไรบ้าง

คุณสมบัติหลักของเส้นแบ่งครึ่งมุม

ที่จริงแล้วเส้นแบ่งครึ่งมีคุณสมบัติมากมาย และเราจะดูพวกเขาในบทเรียนหน้าอย่างแน่นอน แต่มีเคล็ดลับอย่างหนึ่งที่คุณต้องเข้าใจในตอนนี้:

ทฤษฎีบท. เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่กำหนดให้เท่ากัน

แปลจากคณิตศาสตร์เป็นภาษารัสเซีย หมายความว่ามีข้อเท็จจริงสองประการพร้อมกัน:

1. จุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมหนึ่งจะมีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้างของมุมนี้
2. และในทางกลับกัน: หากจุดหนึ่งอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่กำหนดเป็นระยะทางเท่ากัน ก็รับประกันได้ว่าจะต้องวางอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้

ก่อนที่จะพิสูจน์ข้อความเหล่านี้ เรามาทำความเข้าใจประเด็นหนึ่งกันดีกว่า: อะไรกันแน่ที่เรียกว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกด้านของมุม? การกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งแบบเก่าที่ดีจะช่วยเรา:

คำนิยาม. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นนี้

ตัวอย่างเช่น พิจารณาบรรทัด $l$ และจุด $A$ ที่ไม่อยู่บนบรรทัดนี้ ให้เราวาดเส้นตั้งฉากกับ $AH$ โดยที่ $H\in l$ จากนั้นความยาวของเส้นตั้งฉากนี้จะเป็นระยะทางจากจุด $A$ ถึงเส้นตรง $l$

การแสดงระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งด้วยกราฟิก

เนื่องจากมุมหนึ่งเป็นเพียงรังสีสองเส้น และรังสีแต่ละเส้นก็เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังด้านข้างของมุม นี่เป็นเพียงสองฉากตั้งฉาก:

กำหนดระยะห่างจากจุดถึงด้านข้างของมุม

นั่นคือทั้งหมด! ทีนี้ เรารู้แล้วว่าระยะทางคืออะไร และเส้นแบ่งครึ่งคืออะไร. ดังนั้นเราจึงสามารถพิสูจน์คุณสมบัติหลักได้

ตามที่สัญญาไว้ เราจะแบ่งการพิสูจน์ออกเป็นสองส่วน:

1. ระยะห่างจากจุดบนเส้นแบ่งครึ่งถึงด้านข้างของมุมจะเท่ากัน

พิจารณามุมที่กำหนดโดยจุดยอด $O$ และเส้นแบ่งครึ่ง $OM$:

ขอให้เราพิสูจน์ว่าจุด $M$ นี้อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

การพิสูจน์. ให้เราวาดเส้นตั้งฉากจากจุด $M$ ไปยังด้านข้างของมุมนั้น ลองเรียกพวกเขาว่า $M((H)_(1))$ และ $M((H)_(2))$:

วาดเส้นตั้งฉากไปที่ด้านข้างของมุม

มีสองอัน สามเหลี่ยมมุมฉาก: $\vartriangle OM((H)_(1))$ และ $\vartriangle OM((H)_(2))$ มีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกัน $OM$ และมีมุมเท่ากัน:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ ตามเงื่อนไข (เนื่องจาก $OM$ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ โดยการก่อสร้าง;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ เนื่องจาก ผลรวม มุมที่คมชัดของสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีขนาด 90 องศาเสมอ

ด้วยเหตุนี้ รูปสามเหลี่ยมจึงมีด้านเท่ากันและมีมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน (ดูสัญลักษณ์ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม) ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $M((H)_(2))=M((H)_(1))$ เช่น ระยะทางจากจุด $O$ ถึงด้านข้างของมุมนั้นเท่ากันจริงๆ Q.E.D. :)

2. หากระยะทางเท่ากัน จุดจะอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่ง

ตอนนี้สถานการณ์กลับกัน ให้ $O$ เป็นมุมและมีจุด $M$ เท่ากันจากด้านข้างของมุมนี้:

ให้เราพิสูจน์ว่ารังสี $OM$ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง กล่าวคือ $\มุม MO((H)_(1))=\มุม MO((H)_(2))$

การพิสูจน์. ก่อนอื่น มาวาดรังสี $OM$ กันก่อน ไม่เช่นนั้นจะไม่มีอะไรพิสูจน์ได้:

นำลำแสง $OM$ เข้าไปที่มุม

เราได้สามเหลี่ยมมุมฉากสองอันอีกครั้ง: $\vartriangle OM((H)_(1))$ และ $\vartriangle OM((H)_(2))$ แน่นอนว่ามีความเท่าเทียมกันเพราะ:

1. ด้านตรงข้ามมุมฉาก $OM$ - ทั่วไป;
2. ขา $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ ตามเงื่อนไข (ท้ายที่สุดแล้ว จุด $M$ มีระยะห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน);
3. ขาที่เหลือก็เท่ากันเพราะว่า โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$

ดังนั้น สามเหลี่ยม $\vartriangle OM((H)_(1))$ และ $\vartriangle OM((H)_(2))$ ทั้งสามด้าน โดยเฉพาะมุมของพวกมันจะเท่ากัน: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ และนี่ก็หมายความว่า $OM$ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง

เพื่อสรุปการพิสูจน์ เราจะทำเครื่องหมายมุมที่เท่ากันของผลลัพธ์ด้วยส่วนโค้งสีแดง:

เส้นแบ่งครึ่งแบ่งมุม $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ ออกเป็นสองมุมเท่าๆ กัน

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน เราได้พิสูจน์แล้วว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน :)

ตอนนี้เราได้ตัดสินใจเกี่ยวกับคำศัพท์ไม่มากก็น้อยแล้ว ก็ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับถัดไป ในบทต่อไป เราจะดูคุณสมบัติที่ซับซ้อนมากขึ้นของเส้นแบ่งครึ่ง และเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหาจริง

ในบรรดาวิชาต่างๆ มากมายของโรงเรียนมัธยมศึกษา มีวิชาหนึ่งเช่น "เรขาคณิต" เชื่อกันว่าผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์เชิงระบบนี้คือชาวกรีก ปัจจุบัน เรขาคณิตของกรีกถูกเรียกว่าประถมศึกษา เนื่องจากเธอเป็นผู้เริ่มศึกษารูปแบบที่ง่ายที่สุด: ระนาบ เส้นตรง และสามเหลี่ยม เราจะมุ่งความสนใจไปที่สิ่งหลังหรือเน้นไปที่เส้นแบ่งครึ่งของตัวเลขนี้ สำหรับผู้ที่ลืมไปแล้ว เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งแบ่งครึ่งและเชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติหลายประการที่คุณต้องรู้เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่าง:

• เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านประชิดมุมเท่ากัน
• เส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมแบ่งด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมออกเป็นส่วนต่างๆ ที่เป็นสัดส่วนกับด้านที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น จากรูปสามเหลี่ยม MKB โดยมีเส้นแบ่งครึ่งโผล่ออกมาจากมุม K โดยเชื่อมจุดยอดของมุมนี้กับจุด A บนฝั่งตรงข้าม MB เมื่อวิเคราะห์คุณสมบัตินี้และสามเหลี่ยมแล้ว เราจะได้ MA/AB=MK/KB
• จุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน
• ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกหนึ่งมุมและมุมภายในสองมุมนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกนั้นไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม
• ถ้าแบ่งครึ่งสองตัวของหนึ่งแล้วนี่

ควรสังเกตว่าหากได้รับเส้นแบ่งครึ่งสามเส้นการสร้างสามเหลี่ยมจากพวกมันแม้จะใช้เข็มทิศก็เป็นไปไม่ได้

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาจะไม่ทราบเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม แต่จำเป็นต้องกำหนดความยาวของมัน ในการแก้ปัญหานี้ คุณจำเป็นต้องรู้มุมที่แบ่งครึ่งด้วยเส้นแบ่งครึ่งและด้านที่อยู่ติดกับมุมนี้ ในกรณีนี้ ความยาวที่ต้องการถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของสองเท่าผลคูณของด้านที่อยู่ติดกับมุมและโคไซน์ของมุมที่หารครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้านที่อยู่ติดกับมุม ตัวอย่างเช่น กำหนดให้สามเหลี่ยม MKB เดียวกัน เส้นแบ่งครึ่งออกมาจากมุม K แล้วตัดกัน ฝั่งตรงข้าม MV ที่จุด A มุมที่เส้นแบ่งครึ่งโผล่ออกมาจะแสดงด้วย y ทีนี้มาเขียนทุกสิ่งที่พูดเป็นคำในรูปแบบของสูตร: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB)

หากไม่ทราบค่าของมุมที่เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมปรากฏ แต่ทราบทุกด้านของมุมนั้น เราจะใช้ตัวแปรเพิ่มเติมในการคำนวณความยาวของเส้นแบ่งครึ่งซึ่งเราจะเรียกว่ากึ่งเส้นรอบวงและเขียนแทนด้วย ตัวอักษร P: P=1/2*(MK+KB+MB) หลังจากนี้ เราจะทำการเปลี่ยนแปลงกับสูตรก่อนหน้านี้ซึ่งกำหนดความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง กล่าวคือ ในตัวเศษของเศษส่วนเราใส่ผลคูณของความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุมเป็นสองเท่าด้วยเส้นรอบรูปครึ่งรอบ และผลหารโดยลบความยาวของด้านที่สามออกจากกึ่งเส้นรอบรูป เราจะปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ในรูปแบบของสูตร จะมีลักษณะดังนี้: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB)

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วพร้อมกับคุณสมบัติทั่วไปก็มีคุณสมบัติหลายอย่างเช่นกัน จำไว้ว่านี่คือสามเหลี่ยมชนิดใด สามเหลี่ยมดังกล่าวมีด้านเท่ากันสองด้านและมีมุมเท่ากันติดกับฐาน ตามมาว่าเส้นแบ่งครึ่งที่อยู่ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน นอกจากนี้เส้นแบ่งครึ่งที่ลดระดับลงถึงฐานยังเป็นทั้งส่วนสูงและค่ามัธยฐาน