อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ในบทนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- บทเรียนคือความต่อเนื่องทางตรรกะของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?ซึ่งเราได้ตรวจสอบอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของการสร้างความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางอย่างในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้น หากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือหากบางจุดในบทความนี้ยังไม่ชัดเจน ให้อ่านบทเรียนข้างต้นก่อน โปรดใช้อารมณ์จริงจัง - เนื้อหาไม่เรียบง่าย แต่ฉันจะพยายามนำเสนออย่างเรียบง่ายและชัดเจนต่อไป

ในทางปฏิบัติ คุณต้องจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ่อยครั้งมาก หรือเกือบทุกครั้ง เมื่อคุณได้รับมอบหมายงานให้ค้นหาอนุพันธ์

เราดูตารางตามกฎ (หมายเลข 5) เพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

ลองคิดดูสิ ก่อนอื่นมาใส่ใจกับรายการกันก่อน ที่นี่เรามีสองฟังก์ชัน - และ และฟังก์ชัน พูดเป็นรูปเป็นร่างซ้อนอยู่ภายในฟังก์ชัน ฟังก์ชันประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน

ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชัน – ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อนกัน).

- คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบงานขั้นสุดท้าย ฉันใช้สำนวนที่ไม่เป็นทางการ " ฟังก์ชั่นภายนอกฟังก์ชัน "ภายใน" เท่านั้นเพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น

เพื่อชี้แจงสถานการณ์ ให้พิจารณา:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ภายใต้ไซน์เราไม่ได้มีเพียงตัวอักษร "X" เท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทั้งหมดด้วย ดังนั้นการค้นหาอนุพันธ์ทันทีจากตารางจะไม่ได้ผล นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรก ดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซน์ไม่สามารถ "ฉีกเป็นชิ้น ๆ":

ในตัวอย่างนี้ คำอธิบายของฉันชัดเจนอยู่แล้วว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน (การฝัง) และฟังก์ชันภายนอก

ขั้นแรกสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก็คือ ทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายในและฟังก์ชันใดเป็นภายนอก.

เมื่อไร ตัวอย่างง่ายๆดูเหมือนชัดเจนว่าพหุนามฝังอยู่ใต้ไซน์ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? จะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายใน ในการทำเช่นนี้ฉันขอแนะนำให้ใช้เทคนิคต่อไปนี้ซึ่งสามารถทำได้ทั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง

สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะเป็นตัวเลขใดๆ ก็สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้)

เราจะคำนวณอะไรก่อน? ก่อนอื่นเลยคุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามจะเป็นฟังก์ชันภายใน:

ประการที่สองจะต้องค้นหา ดังนั้น ไซน์ – จะเป็นฟังก์ชันภายนอก:

หลังจากที่เรา ขายหมดแล้วด้วยฟังก์ชันภายในและภายนอก ถึงเวลาที่จะใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย จากชั้นเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?เราจำได้ว่าการออกแบบวิธีแก้ปัญหาสำหรับอนุพันธ์ใด ๆ มักจะเริ่มต้นเช่นนี้ - เราใส่นิพจน์ในวงเล็บและใส่เส้นขีดที่มุมขวาบน:

ตอนแรกค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (ไซน์) ดูที่ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและเราสังเกตว่า สูตรตารางทั้งหมดยังสามารถใช้ได้หากแทนที่ "x" ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:

โปรดทราบว่า ฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่แตะต้องมัน.

มันค่อนข้างชัดเจนว่า

ผลลัพธ์สุดท้ายของการใช้สูตรจะเป็นดังนี้:

โดยปกติปัจจัยคงที่จะถูกวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์:

หากมีความเข้าใจผิดให้เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในกระดาษแล้วอ่านคำอธิบายอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

และเช่นเคย เราเขียนไว้ว่า:

ลองหาดูว่าเรามีฟังก์ชันภายนอกอยู่ที่ไหน และเรามีฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ เราพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ คุณควรทำอะไรก่อน? ก่อนอื่น คุณต้องคำนวณว่าฐานเท่ากับเท่าใด ดังนั้น พหุนามจึงเป็นฟังก์ชันภายใน:

และเมื่อถึงเวลานั้นเท่านั้นที่จะดำเนินการยกกำลัง ดังนั้น ฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชันภายนอก:

ตามสูตร คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน ซึ่งในกรณีนี้คือดีกรี เราค้นหาสูตรที่ต้องการในตาราง: . เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรตารางใด ๆ ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "X" เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วย- ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจึงเป็นดังนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชันภายในของเราจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอนุพันธ์ที่เรียบง่ายของฟังก์ชันภายในและปรับแต่งผลลัพธ์เล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เพื่อรวบรวมความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉันจะยกตัวอย่างโดยไม่มีความคิดเห็น พยายามคิดออกด้วยตัวเอง เหตุผลที่ฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน เหตุใดงานจึงถูกแก้ไขด้วยวิธีนี้

ตัวอย่างที่ 5

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

b) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่เรามีราก และเพื่อที่จะแยกแยะรากนั้น จะต้องแสดงเป็นพลัง ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงนำฟังก์ชันมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการสร้างความแตกต่าง:

จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าผลรวมของพจน์ทั้งสามเป็นฟังก์ชันภายใน และการยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

เราแสดงดีกรีเป็นราก (รูท) อีกครั้ง และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎง่ายๆ เพื่อแยกความแตกต่างของผลรวม:

พร้อม. คุณยังสามารถลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมในวงเล็บและเขียนทุกอย่างเป็นเศษส่วนได้ สวยงามแน่นอน แต่เมื่อได้อนุพันธ์ระยะยาวที่ยุ่งยากก็อย่าทำแบบนี้ดีกว่า (สับสนง่าย ทำผิดโดยไม่จำเป็น และครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหาร แต่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะดูเหมือนเป็นการบิดเบือนที่ตลกขบขัน นี่คือตัวอย่างทั่วไป:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารได้ แต่จะทำกำไรได้มากกว่ามากในการค้นหาอนุพันธ์ผ่านกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

เราเตรียมฟังก์ชันสำหรับการสร้างความแตกต่าง - เราย้ายเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และเพิ่มโคไซน์เป็นตัวเศษ:

โคไซน์เป็นฟังก์ชันภายใน การยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก
ลองใช้กฎของเรา:

เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและรีเซ็ตโคไซน์กลับลงมา:

พร้อม. ในตัวอย่างที่พิจารณา สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนกับสัญญาณต่างๆ ยังไงก็ลองแก้โดยใช้กฎดูครับ คำตอบจะต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณากรณีที่เรามีไฟล์แนบเพียงไฟล์เดียวในฟังก์ชันที่ซับซ้อน ในงานภาคปฏิบัติ คุณมักจะพบอนุพันธ์ โดยที่เหมือนกับตุ๊กตาทำรัง มีอันหนึ่งอยู่ในอีกอันหนึ่ง มีฟังก์ชัน 3 หรือ 4-5 รายการที่ซ้อนกันในคราวเดียว

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาทำความเข้าใจกับไฟล์แนบของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า เรามาลองคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าทดลองกันดีกว่า เราจะนับเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ซึ่งหมายความว่าอาร์คไซน์เป็นการฝังที่ลึกที่สุด:

อาร์คไซน์ของอันนี้ควรถูกยกกำลังสอง:

และในที่สุด เราก็ยกเจ็ดขึ้นเป็นกำลัง:

นั่นคือในตัวอย่างนี้ เรามีฟังก์ชันที่แตกต่างกันสามฟังก์ชันและการฝังสองฟังก์ชัน ในขณะที่ฟังก์ชันด้านในสุดคืออาร์คไซน์ และฟังก์ชันด้านนอกสุดคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย

ตามกฎแล้ว คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เราดูตารางอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "x" เรามี การแสดงออกที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้ลบล้างความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะเป็นดังนี้:

ภายใต้จังหวะเรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง! แต่มันง่ายกว่าแล้ว ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฟังก์ชันภายในคืออาร์คไซน์ ส่วนฟังก์ชันภายนอกคือดีกรี ตามกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณต้องหาอนุพันธ์ของกำลังก่อน

มีการพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน กรณีที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งหรือสองตัวจะถูกพิจารณาโดยละเอียด ลักษณะทั่วไปเกิดขึ้นกับกรณีของตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้

ในที่นี้ เราจะแสดงที่มาของสูตรต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรตัวเดียว

ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ซึ่งมีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ตามค่าของตัวแปร
จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน (คอมโพสิต) จะหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และอนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร:
(1) .

สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:
;
.

การพิสูจน์

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้
;
.
นี่คือฟังก์ชันของตัวแปร และ มีฟังก์ชันของตัวแปร และ แต่เราจะละเว้นข้อโต้แย้งของฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อไม่ให้การคำนวณเกะกะ

เนื่องจากฟังก์ชัน และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และ ตามลำดับ จากนั้นที่จุดเหล่านี้จะมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ซึ่งมีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:
;
.

พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้:
.
สำหรับค่าคงที่ของตัวแปร u จะเป็นฟังก์ชันของ เห็นได้ชัดว่า
.
แล้ว
.

เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้น จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น นั่นเป็นเหตุผล
.
แล้ว
.

ทีนี้เราหาอนุพันธ์ได้แล้ว

.

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา

ถ้าฟังก์ชันของตัวแปร x สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้
,
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร
.
ที่นี่ และมีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บางอย่าง

เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์ตามลำดับโดยใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
อนุพันธ์ของมัน
.
พิจารณาฟังก์ชั่นดั้งเดิม
.
อนุพันธ์ของมัน
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรสองตัว

ตอนนี้ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า กรณีฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัว.

ให้ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัวในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด , จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดหนึ่งและมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
(2) .

การพิสูจน์

เนื่องจากฟังก์ชันและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด พวกมันจึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น และมีอนุพันธ์ของพวกมันอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
;
.
ที่นี่
;
.
เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ ณ จุดหนึ่ง เราจึงมี:
;
.

เนื่องจากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น จึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ และมีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ และการเพิ่มขึ้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
(3) .
ที่นี่

- การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นตามค่า และ ;
;

- อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเกี่ยวกับตัวแปร และ .
สำหรับค่าคงที่ของ และ และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร และ . พวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่และ:
;
.
ตั้งแต่ และ จากนั้น
;
.

เพิ่มฟังก์ชัน:

. :
.
มาทดแทนกัน (3):



.

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรหลายตัว

ข้อสรุปข้างต้นสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีที่จำนวนตัวแปรของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากกว่าสอง

เช่น ถ้า f คือ ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสาม, ที่
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร 3 ตัวที่จุด , , .
จากนั้น จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราจะได้:
(4)
.
เพราะด้วยความต่อเนื่อง
; ; ,
ที่
;
;
.

เมื่อหาร (4) ด้วยและผ่านไปยังขีดจำกัด เราจะได้:
.

และสุดท้ายเรามาพิจารณากัน กรณีทั่วไปที่สุด.
ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปร n ในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร n ตัว ณ จุดหนึ่ง
, , ... , .
แล้ว
.

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเช่นฟังก์ชันเชิงซ้อน และเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ก่อนจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน มาทำความเข้าใจแนวคิดของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนว่าฟังก์ชันเชิงซ้อนคืออะไร "กินกับอะไร" และ "จะปรุงอย่างไรให้ถูกต้อง"

พิจารณาฟังก์ชันตามอำเภอใจ เช่น ฟังก์ชันนี้:

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาและซ้ายของสมการฟังก์ชันคือตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกัน

แทนที่จะเป็นตัวแปร เราสามารถใส่นิพจน์ต่อไปนี้: . แล้วเราก็ได้ฟังก์ชันมา

ลองเรียกนิพจน์นี้ว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง และฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันภายนอก สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด แต่ช่วยให้เข้าใจความหมายของแนวคิดเรื่องฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้

คำจำกัดความที่เข้มงวดของแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมีลักษณะดังนี้:

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเซตและเป็นเซตของค่าของฟังก์ชันนี้ ให้เซต (หรือเซตย่อย) เป็นโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน มากำหนดหมายเลขให้กับแต่ละคนกัน ดังนั้นฟังก์ชันจะถูกกำหนดไว้บนเซต เรียกว่า องค์ประกอบของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันเชิงซ้อน

ในคำจำกัดความนี้ หากเราใช้คำศัพท์ ฟังก์ชันภายนอกจะเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง

พบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ตามกฎต่อไปนี้:

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันต้องการเขียนกฎนี้ดังนี้:

ในนิพจน์นี้ การใช้ หมายถึงฟังก์ชันระดับกลาง

ดังนั้น. คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

1. พิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและค้นหาอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันจากตารางอนุพันธ์

2. กำหนดอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง

ในขั้นตอนนี้ ความยากที่สุดคือการค้นหาฟังก์ชันภายนอก ใช้อัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับสิ่งนี้:

ก. เขียนสมการของฟังก์ชันลงไป.

ข. ลองนึกภาพว่าคุณต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันสำหรับค่า x บางค่า ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่ค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชันแล้วคำนวณ การกระทำสุดท้ายที่คุณทำคือฟังก์ชันภายนอก

เช่น ในฟังก์ชัน

การกระทำสุดท้ายคือการยกกำลัง

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนข้อโต้แย้งระดับกลาง

การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ทางกายภาพคืออะไร และ ความหมายทางเรขาคณิตจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ด้านหลัง ช่วงเวลาสั้น ๆเราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและแก้ปัญหา แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

ตั้งแต่คุณมาที่นี่คุณคงเห็นสูตรนี้ในตำราเรียนแล้ว

และทำหน้าแบบนี้:

เพื่อนไม่ต้องกังวล! ในความเป็นจริงทุกอย่างเป็นเพียงอุกอาจ คุณจะเข้าใจทุกอย่างอย่างแน่นอน คำขอเดียว - อ่านบทความ ช้าพยายามทำความเข้าใจทุกขั้นตอน ฉันเขียนให้เรียบง่ายและชัดเจนที่สุด แต่คุณยังต้องเข้าใจแนวคิดนี้ และอย่าลืมแก้ไขงานจากบทความ

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคืออะไร?

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังย้ายไปอพาร์ทเมนต์อื่นและบรรจุสิ่งของลงในกล่องขนาดใหญ่ สมมติว่าคุณจำเป็นต้องรวบรวมสิ่งของเล็กๆ น้อยๆ เช่น เครื่องเขียนของโรงเรียน หากคุณโยนมันลงในกล่องขนาดใหญ่ พวกมันจะหลงหายไปเหนือสิ่งอื่นใด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ คุณต้องใส่มันลงในถุงก่อน จากนั้นจึงใส่ลงในกล่องขนาดใหญ่ หลังจากนั้นจึงปิดผนึก กระบวนการ "ซับซ้อน" นี้แสดงอยู่ในแผนภาพด้านล่าง:

ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์เกี่ยวอะไรกับมัน? ใช่ แม้ว่าฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันก็ตาม! มีเพียงเราเท่านั้นที่ "แพ็ค" ไม่ใช่สมุดบันทึกและปากกา แต่ \(x\) ในขณะที่ "แพ็คเกจ" และ "กล่อง" นั้นแตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ลองนำ x และ “pack” เข้าไปในฟังก์ชัน:

แน่นอนว่าเราได้ \(\cos⁡x\) นี่คือ "ถุงใส่สิ่งของ" ของเรา ทีนี้มาใส่ไว้ใน "กล่อง" - บรรจุลงในฟังก์ชันลูกบาศก์

จะเกิดอะไรขึ้นในที่สุด? ใช่ ถูกต้อง จะมี "ถุงบรรจุสิ่งของในกล่อง" ซึ่งก็คือ "โคไซน์ของ X กำลังสาม"

การออกแบบที่ได้จึงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน มันแตกต่างจากสิ่งธรรมดาตรงที่ “อิทธิพล” หลายอย่าง (แพ็คเกจ) ถูกนำไปใช้กับ X หนึ่งตัวติดต่อกันและปรากฎว่า "ฟังก์ชั่นจากฟังก์ชั่น" - "บรรจุภัณฑ์ภายในบรรจุภัณฑ์"

ในหลักสูตรของโรงเรียนมี “แพ็คเกจ” เหล่านี้น้อยมาก มีเพียงสี่ประเภทเท่านั้น:

ตอนนี้มา "แพ็ค" X ก่อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วยฐาน 7 แล้วจึงกลายเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

ทีนี้มา "แพ็ค" X สองครั้งกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติครั้งแรกใน และจากนั้นใน:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

ง่ายใช่มั้ย?

ตอนนี้เขียนฟังก์ชันด้วยตัวเอง โดยที่ x:
- ขั้นแรกมันจะถูก "อัดแน่น" ลงในโคไซน์ จากนั้นจึงกลายเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน \(3\);
- ยกกำลังห้าก่อนแล้วจึงแทนเจนต์
- อันดับแรกถึงลอการิทึมถึงฐาน \(4\) จากนั้นยกกำลัง \(-2\)

ค้นหาคำตอบสำหรับงานนี้ในตอนท้ายของบทความ

เราจะ "แพ็ค" X ไม่ใช่สอง แต่สามครั้งได้ไหม ไม่มีปัญหา! และสี่ ห้า และยี่สิบห้าครั้ง ตัวอย่างเช่น นี่คือฟังก์ชันที่ x เป็น "packed" \(4\) คูณ:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

แต่สูตรดังกล่าวจะไม่พบในแบบฝึกหัดของโรงเรียน (นักเรียนโชคดีกว่า - สูตรของพวกเขาอาจซับซ้อนกว่า☺)

"การแกะ" ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ดูฟังก์ชั่นก่อนหน้าอีกครั้ง คุณสามารถเข้าใจลำดับ "การบรรจุ" ได้หรือไม่? สิ่งที่ X ถูกยัดเข้าไปก่อน สิ่งที่แล้ว และต่อๆ ไปจนกระทั่งถึงจุดสิ้นสุด นั่นคือฟังก์ชันใดที่ซ้อนอยู่ในฟังก์ชันใด หยิบกระดาษแผ่นหนึ่งแล้วเขียนสิ่งที่คุณคิด คุณสามารถทำเช่นนี้ได้ด้วยโซ่ที่มีลูกศรตามที่เราเขียนไว้ด้านบนหรือด้วยวิธีอื่นใด

ตอนนี้คำตอบที่ถูกต้องคือ: อันดับแรก x ถูก “อัดแน่น” ลงในกำลัง \(4\)th จากนั้นผลลัพธ์ก็อัดแน่นอยู่ในไซน์ ในทางกลับกัน ก็ถูกใส่เข้าไปในลอการิทึมที่ฐาน \(2\) และในท้ายที่สุด โครงสร้างทั้งหมดนี้ก็ถูกอัดแน่นไปด้วยพลังห้า

นั่นคือคุณต้องคลายลำดับตามลำดับย้อนกลับ และนี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการทำให้ง่ายขึ้น: ดูที่ X ทันที – คุณควรเต้นจากมัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างเช่น นี่คือฟังก์ชันต่อไปนี้: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\) เราดูที่ X - เกิดอะไรขึ้นกับมันก่อน? นำมาจากเขา แล้ว? นำค่าแทนเจนต์ของผลลัพธ์มา ลำดับจะเหมือนกัน:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

อีกตัวอย่างหนึ่ง: \(y=\cos⁡((x^3))\) มาวิเคราะห์กัน - ก่อนอื่นเรายกกำลังสามของ X แล้วหาโคไซน์ของผลลัพธ์ ซึ่งหมายความว่าลำดับจะเป็น: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\) โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นดูเหมือนจะคล้ายกับฟังก์ชั่นแรก (ซึ่งมีรูปภาพ) แต่นี่เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: ในลูกบาศก์คือ x (นั่นคือ \(\cos⁡((x·x·x)))\) และในลูกบาศก์คือโคไซน์ \(x\) ( นั่นคือ \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)) ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นจากลำดับ "การบรรจุ" ที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างสุดท้าย (ด้วย ข้อมูลสำคัญในนั้น): \(y=\sin⁡((2x+5))\) เห็นได้ชัดว่าในตอนแรกพวกเขาดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วย x จากนั้นจึงเอาไซน์ของผลลัพธ์: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\) และนี่ จุดสำคัญ: แม้ว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะไม่ทำงานในตัวเอง แต่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ยังทำหน้าที่เป็นวิธีการ "บรรจุ" อีกด้วย มาเจาะลึกความละเอียดอ่อนนี้กันอีกหน่อย

ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นในฟังก์ชันง่าย ๆ x จะถูก "บรรจุ" หนึ่งครั้งและในฟังก์ชันที่ซับซ้อน - สองรายการขึ้นไป นอกจากนี้ การรวมกันของฟังก์ชันอย่างง่ายใดๆ (ซึ่งได้แก่ ผลรวม ผลต่าง การคูณ หรือการหาร) ก็เช่นกัน ฟังก์ชั่นง่ายๆ- ตัวอย่างเช่น \(x^7\) เป็นฟังก์ชันง่ายๆ และ \(ctg x\) ก็เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าชุดค่าผสมทั้งหมดเป็นฟังก์ชันง่ายๆ:

\(x^7+ ctg x\) - ง่าย
\(x^7· เตียง x\) – ง่าย
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – ง่าย ฯลฯ

อย่างไรก็ตาม หากใช้อีกหนึ่งฟังก์ชันกับชุดค่าผสมดังกล่าว ก็จะกลายเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน เนื่องจากจะมี "แพ็คเกจ" สองชุด ดูแผนภาพ:

เอาล่ะไปข้างหน้าตอนนี้ เขียนลำดับของฟังก์ชัน "wrapping":
\(y=cos(⁡(บาป⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
คำตอบอยู่อีกครั้งในตอนท้ายของบทความ

ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก

ทำไมเราต้องเข้าใจ Function Nesting? สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง? ความจริงก็คือหากไม่มีการวิเคราะห์เราจะไม่สามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กล่าวถึงข้างต้นได้อย่างน่าเชื่อถือ

และเพื่อที่จะก้าวต่อไป เราจำเป็นต้องมีแนวคิดอีกสองประการ: ฟังก์ชันภายในและภายนอก นี่เป็นสิ่งที่ง่ายมาก ยิ่งกว่านั้น เราได้วิเคราะห์ไปแล้วข้างต้น: หากเราจำการเปรียบเทียบของเราได้ตั้งแต่เริ่มต้น ฟังก์ชันภายในจะเป็น "แพ็คเกจ" และฟังก์ชันภายนอกจะเป็น "กล่อง" เหล่านั้น. สิ่งที่ X ถูก "ห่อ" ไว้เป็นอันดับแรกคือฟังก์ชันภายใน และฟังก์ชันภายในที่ "ห่อ" ไว้นั้นเป็นฟังก์ชันภายนอกอยู่แล้ว มันชัดเจนว่าทำไม - เธออยู่ข้างนอก นั่นหมายถึงภายนอก

ในตัวอย่างนี้: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\) ฟังก์ชัน \(\log_2⁡x\) เป็นแบบภายใน และ
- ภายนอก

และในนี้: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) เป็นค่าภายใน และ
- ภายนอก

ฝึกวิเคราะห์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนครั้งสุดท้ายให้เสร็จสิ้น และสุดท้ายเรามาดูสิ่งที่เราเริ่มต้นกัน - เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

กรอกข้อมูลลงในช่องว่างในตาราง:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ไชโยสำหรับเราในที่สุดเราก็ได้ไปถึง "หัวหน้า" ของหัวข้อนี้ - อันที่จริงอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและโดยเฉพาะกับสูตรที่แย่มากนั้นตั้งแต่ต้นบทความ☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

สูตรนี้อ่านได้ดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกเทียบกับฟังก์ชันภายในคงที่และอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

และดูแผนภาพการแยกวิเคราะห์ตามคำพูดทันทีเพื่อให้คุณเข้าใจว่าต้องทำอย่างไร:

ฉันหวังว่าคำว่า "อนุพันธ์" และ "ผลิตภัณฑ์" จะไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ “ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน” - เราได้แยกมันออกไปแล้ว สิ่งที่จับได้อยู่ใน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันภายในคงที่" มันคืออะไร?

คำตอบ: นี่คืออนุพันธ์ตามปกติของฟังก์ชันภายนอก ซึ่งมีเพียงฟังก์ชันภายนอกเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง และฟังก์ชันภายในยังคงเหมือนเดิม ยังไม่ชัดเจน? เอาล่ะ ลองใช้ตัวอย่างกัน

ขอให้เรามีฟังก์ชัน \(y=\sin⁡(x^3)\) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันภายในที่นี่คือ \(x^3\) และฟังก์ชันภายนอก
- ตอนนี้ให้เราหาอนุพันธ์ของภายนอกเทียบกับภายในคงที่