คำนิยาม.ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งโดยมีจุด \(x_0\) อยู่ข้างใน ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ เรามาค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อย้ายจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\เดลต้า x) \) หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0\) ขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงถึง \(f"(x_0) \)
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่โดยธรรมชาติแล้วเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่จุด x ทั้งหมดซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เป็นดังนี้ หากเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดที่มี abscissa x=a ซึ่งไม่ขนานกับแกน y แล้ว f(a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัสกัน : :
\(k = ฉ"(ก)\)
เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tan(a) \) จึงเป็นจริง
ทีนี้มาตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์จากมุมมองของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่า เมื่อใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\) เช่น \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ เดลต้า x\) ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เกิดขึ้นมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือมูลค่าของอนุพันธ์ใน จุดที่กำหนดเอ็กซ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2\) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างรอบคอบ เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา
มากำหนดกัน
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างไร?
1. แก้ไขค่าของ \(x\), หา \(f(x)\)
2. เพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(x\) \(\Delta x\) ไปที่จุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. สร้างความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = ฉ(x)
ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดที่เกี่ยวข้องกันเป็นอย่างไร
ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x; f(x)) และจำได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตกหัก" ที่จุด M นั่นคือ ฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่องที่จุด x
สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งแบบ "ลงมือปฏิบัติ" ให้เราให้เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ยังคงอยู่ หากในความเท่าเทียมกันนี้ \(\Delta x \) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนั้น.
ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| มีความต่อเนื่องในทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดเชื่อมต่อ" (0; 0) หาก ณ จุดหนึ่งไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ แสดงว่าอนุพันธ์นั้นไม่มีอยู่ที่จุดนั้น
อีกตัวอย่างหนึ่ง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x)\) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมถึงที่จุด x = 0 และค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมถึงที่จุด x = 0 . แต่ ณ จุดนี้ แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y กล่าวคือ มันตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา สมการของมันมีรูปแบบ x = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ความชันบรรทัดดังกล่าวไม่มี ซึ่งหมายความว่า \(f"(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน
ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - การหาอนุพันธ์ เราจะสรุปจากกราฟของฟังก์ชันว่ามันหาอนุพันธ์ได้อย่างไร
คำตอบได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ หาก ณ จุดหนึ่งไม่มีเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันหรือตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
กฎของความแตกต่าง
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง- เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน รวมถึง "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์ที่ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x) g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln ก) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $วันที่: 05/10/2558
จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?
กฎของความแตกต่าง
ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ คุณต้องเชี่ยวชาญเพียงสามแนวคิดเท่านั้น:
2. กฎแห่งความแตกต่าง
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ตามลำดับนั้นเลย มันเป็นคำใบ้)
แน่นอนว่าคงจะดีถ้ามีแนวคิดเกี่ยวกับอนุพันธ์โดยทั่วไป) อนุพันธ์คืออะไรและวิธีการทำงานกับตารางอนุพันธ์นั้นอธิบายไว้อย่างชัดเจนในบทที่แล้ว ที่นี่เราจะจัดการกับกฎของการสร้างความแตกต่าง
ความแตกต่างคือการดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ ไม่มีอะไรซ่อนอยู่เบื้องหลังคำนี้อีกแล้ว เหล่านั้น. การแสดงออก "หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน"และ "สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน"- มันเหมือนกัน.
การแสดงออก "กฎแห่งความแตกต่าง"หมายถึงการหาอนุพันธ์ จากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ความเข้าใจนี้ช่วยได้มากในการหลีกเลี่ยงความสับสนในหัวของคุณ
เรามาตั้งสมาธิและจดจำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกัน มีสี่คน) การบวก (ผลรวม) การลบ (ผลต่าง) การคูณ (ผลคูณ) และการหาร (ผลหาร) นี่คือกฎของความแตกต่าง:
จานก็โชว์. ห้ากฎเกี่ยวกับ สี่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ฉันไม่ได้ถูกทำให้สั้นลง) เพียงแต่ว่ากฎข้อ 4 เป็นผลสืบเนื่องเบื้องต้นของกฎข้อ 3 แต่เป็นที่นิยมมากจนสมเหตุสมผลที่จะเขียน (และจำไว้ว่า!) มันเป็นสูตรอิสระ
ภายใต้การกำหนด ยูและ วีฟังก์ชั่นบางอย่าง (มีอย่างแน่นอน!) มีความหมายโดยนัย คุณ(x)และ วี(เอ็กซ์)
ลองดูตัวอย่างบางส่วน อันดับแรก - สิ่งที่ง่ายที่สุด
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sinx - x 2
ที่นี่เรามี ความแตกต่างสอง ฟังก์ชั่นเบื้องต้น- เราใช้กฎข้อ 2 เราจะถือว่า sinx เป็นฟังก์ชัน ยูและ x 2 คือฟังก์ชัน วี.เรามีสิทธิ์ทุกประการที่จะเขียน:
y" = (บาปx - x 2)" = (บาปx)"- (x 2)"
ดีกว่าไหม?) สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอนุพันธ์ของไซน์และกำลังสองของ x มีตารางอนุพันธ์สำหรับสิ่งนี้ เราแค่มองหาฟังก์ชั่นที่เราต้องการในตาราง ( บาปและ x2) ดูว่าพวกเขามีอนุพันธ์อะไรบ้างแล้วเขียนคำตอบ:
y" = (บาปx)" - (x 2)" = cosx - 2x
แค่นั้นแหละ. กฎข้อที่ 1 ของการหาอนุพันธ์ผลรวมใช้วิธีเดียวกันทุกประการ
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีหลายเงื่อนไข? ไม่มีปัญหา) เราแบ่งฟังก์ชันออกเป็นเงื่อนไขและค้นหาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมโดยแยกจากกัน ตัวอย่างเช่น:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sinx - x 2 +cosx - x +3
เราเขียนอย่างกล้าหาญ:
y" = (บาปx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
ในตอนท้ายของบทเรียน ฉันจะให้คำแนะนำเพื่อทำให้ชีวิตง่ายขึ้นเมื่อสร้างความแตกต่าง)
1. ก่อนที่จะแยกความแตกต่าง ให้ดูว่าเป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันดั้งเดิมง่ายขึ้นหรือไม่
2. ในตัวอย่างที่ซับซ้อน เราจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด โดยใช้วงเล็บและขีดกลางทั้งหมด
3. เมื่อแยกเศษส่วนด้วยจำนวนคงที่ในตัวส่วน เราจะเปลี่ยนการหารเป็นการคูณและใช้กฎข้อ 4
การคำนวณอนุพันธ์มักพบใน งานสอบ Unified State- หน้านี้ประกอบด้วยรายการสูตรในการค้นหาอนุพันธ์
กฎของความแตกต่าง
- (k⋅ ฉ(x))′=k⋅ ฉ ′(x)
- (ฉ(x)+ก(x))′=ฉ′(x)+ก′(x)
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x)
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ถ้า y=F(u) และ u=u(x) แล้วฟังก์ชัน y=f(x)=F(u(x)) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อนของ x เท่ากับ y′(x)=Fu′⋅ ux′
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชัน y=f(x) เรียกว่าฟังก์ชันโดยนัยที่กำหนดโดยความสัมพันธ์ F(x,y)=0 ถ้า F(x,f(x))≡0
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน ถ้า g(f(x))=x ฟังก์ชัน g(x) จะถูกเรียก ฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=f(x)
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ ให้ x และ y ถูกระบุเป็นฟังก์ชันของตัวแปร t: x=x(t), y=y(t) พวกเขาบอกว่า y=y(x) แบบพาราเมตริก ฟังก์ชันที่กำหนดในช่วง x∈ (a;b) ถ้าในช่วงเวลานี้สมการ x=x(t) สามารถแสดงเป็น t=t(x) และฟังก์ชัน y=y(t(x))=y(x) สามารถกำหนดได้
- อนุพันธ์ของกำลัง ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง- หาได้จากการนำลอการิทึมไปเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
ที่มาของสูตรอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นพลังงาน(x ยกกำลัง a) พิจารณาอนุพันธ์จากรากของ x สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังลำดับที่สูงกว่า ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
อนุพันธ์ของ x กำลังของ a เท่ากับ a คูณ x กำลังของลบ 1:
(1)
.
อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x ยกกำลัง m คือ:
(2)
.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
กรณี x > 0
พิจารณาฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปร x พร้อมเลขชี้กำลัง a:
(3)
.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม เรามาพิจารณากรณีนี้กันก่อน
ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.
ตอนนี้เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .
สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของรากของดีกรี n ของ x ถึงดีกรีของ m
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรากของแบบฟอร์มต่อไปนี้:
(4)
.
ในการค้นหาอนุพันธ์ เราจะแปลงรากให้เป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.
ใช้สูตร (1) เราค้นหาอนุพันธ์:
(1)
;
;
(2)
.
ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) จะสะดวกกว่ามากในการแปลงรากเป็นฟังก์ชันกำลังก่อนแล้วจึงค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างท้ายหน้า)
กรณี x = 0
ถ้า แล้วฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = 0
- 0
ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) ที่ x =
.
- 0
:
.
ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
แทน x = ได้เลย
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดทางขวาซึ่ง
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า สำหรับ , .
(1)
.
ที่ , . 0
.
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตร (1):< 0
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้กับ x = เช่นกัน
(3)
.
กรณีx พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:สำหรับค่าบางค่าของค่าคงที่ a จะมีการกำหนดค่าสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย กล่าวคือปล่อยให้เป็น
,
จำนวนตรรกยะ - จากนั้นจึงสามารถแสดงเป็นเศษส่วนลดไม่ได้:.
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มี 3
ตัวหารร่วม 1
ถ้า n เป็นเลขคี่แสดงว่าฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย เช่น เมื่อ n =
.
และ ม. =
เรามีรากที่สามของ x:
.
มันยังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย
.
เราค้นหาอนุพันธ์โดยวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ และใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือ สูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1)
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น
ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันกำลังดู
(3)
.
เราได้พบอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งแล้ว:
.
เมื่อหาค่าคงที่ที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของลำดับที่สามและสี่:
;
.
จากนี้ก็ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของลำดับที่ n โดยพลการมีแบบฟอร์มดังนี้
.
สังเกตว่า ถ้าเป็น จำนวนธรรมชาติ
ดังนั้นอนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
ตัวอย่าง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.
สารละลาย
มาแปลงรากเป็นพลังกัน:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.
การค้นหาอนุพันธ์ของพลัง:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.
การพิสูจน์และการได้มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง (e กำลัง x) และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (a กำลัง x) ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ e^2x, e^3x และ e^nx สูตรอนุพันธ์ที่มีลำดับสูงกว่า
อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังเท่ากับเลขยกกำลังนั้นเอง (อนุพันธ์ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x):
(1)
(เช่น x )′ = เช่น.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นระดับ a เท่ากับฟังก์ชันนั้นคูณด้วย ลอการิทึมธรรมชาติจาก:
(2)
.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง e กำลัง x
เลขชี้กำลังคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานเท่ากับจำนวน e ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
.
ในที่นี้อาจเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนจริงก็ได้ ต่อไปเราจะได้สูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
ที่มาของสูตรอนุพันธ์เลขชี้กำลัง
พิจารณาเลขชี้กำลัง e กำลัง x:
ย = อีเอ็กซ์ .
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน ลองหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับตัวแปร x กัน ตามคำนิยาม อนุพันธ์มีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:
(3)
.
มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องมีข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
ก)คุณสมบัติเลขชี้กำลัง:
(4)
;
ข)คุณสมบัติของลอการิทึม:
(5)
;
ใน)ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของขีดจำกัดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:
(6)
.
นี่คือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัด และขีดจำกัดนี้เป็นค่าบวก
ช)ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการที่สอง:
(7)
.
ลองใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา (3) เราใช้ทรัพย์สิน (4):
;
.
มาทำการทดแทนกันเถอะ แล้ว ; -
เนื่องจากความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง
.
ดังนั้น เมื่อ , . เป็นผลให้เราได้รับ:
.
มาทำการทดแทนกันเถอะ แล้ว . ที่ , . และเรามี:
.
ลองใช้คุณสมบัติลอการิทึม (5):
-
.
ให้เราสมัครคุณสมบัติ (6) เนื่องจากมีขีดจำกัดที่เป็นบวกและลอการิทึมมีความต่อเนื่อง ดังนั้น:
.
ในที่นี้ เรายังใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง (7) แล้ว
.
ดังนั้นเราจึงได้สูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
ที่มาของสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ตอนนี้เราได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานของดีกรี a เราเชื่อเช่นนั้นและ. แล้วฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(8)
กำหนดสำหรับทุกคน
มาแปลงสูตร (8) กัน สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้ คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม
;
.
ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนสูตร (8) เป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของ e กำลัง x กำลัง
ตอนนี้เรามาดูอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่ากัน ลองดูที่เลขชี้กำลังก่อน:
(14)
.
(1)
.
เราจะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (14) เท่ากับฟังก์ชัน (14) เอง การแยกความแตกต่าง (1) เราได้รับอนุพันธ์ของลำดับที่สองและสาม:
;
.
นี่แสดงว่าอนุพันธ์ลำดับที่ n ก็เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย:
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นระดับ a:
.
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
(15)
.
การแยกความแตกต่าง (15) เราได้รับอนุพันธ์ของลำดับที่สองและสาม:
;
.
เราเห็นว่าแต่ละความแตกต่างนำไปสู่การคูณของฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย ดังนั้นอนุพันธ์ลำดับที่ n จึงมีรูปแบบดังนี้
.