Довжина відрізка координатної осі знаходиться за формулою:

Довжина відрізка на координатній площині шукається за формулою:

Для знаходження довжини відрізка у тривимірній системі координат використовується така формула:

Координати середини відрізка (для координатної осі використовується лише перша формула, для координатної площини - перші дві формули, для тривимірної системи координат - усі три формули) обчислюються за формулами:

Функція– це відповідність виду y= f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої змінної величини x(аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення іншої змінної величини, y(Залежної змінної, іноді це значення просто називають значенням функції). Зверніть увагу, що функція передбачає, що одне значення аргументу хможе відповідати лише одне значення залежної змінної у. При цьому одне й те саме значення уможе бути отримано за різних х.

Область визначення функції– це значення незалежної змінної (аргументу функції, зазвичай це х), у яких функція визначено, тобто. її значення існує. Позначається область визначення D(y). За великим рахунком, Ви вже знайомі з цим поняттям. Область визначення функції інакше називається областю допустимих значень, або ОДЗ, яку Ви давно вмієте знаходити.

Область значень функції- це всі можливі значення залежної змінної цієї функції. Позначається Е(у).

Функція зростаєна проміжку, на якому більшого значенняаргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшуєтьсяна проміжку, у якому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Проміжки знаковості функції– це проміжки незалежної змінної, у яких залежна змінна зберігає свій позитивний чи негативний знак.

Нулі функції– це такі значення аргументу, у яких величина функції дорівнює нулю. У цих точках графік функції перетинає вісь абсцис (вісь ОХ). Найчастіше необхідність знайти нулі функції означає необхідність просто вирішити рівняння. Також часто необхідність знайти проміжки знаковості означає необхідність просто вирішити нерівність.

функцію y = f(x) називають парної х

Це означає, що з будь-яких протилежних значень аргументу, значення парної функції рівні. Графік парної функціїзавжди симетричний щодо осі ординат ОУ.

функцію y = f(x) називають непарноюякщо вона визначена на симетричній множині і для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність:

Це означає, що для будь-яких протилежних значень аргументу значення непарної функції також протилежні. Графік непарної функції завжди симетричний щодо початку координат.

Сума коренів парної та непарної функцій(точок перетину осі абсцис ОХ) завжди дорівнює нулю, т.к. на кожен позитивний корінь хприпадає негативний корінь – х.

Важливо: деяка функція необов'язково має бути парною чи непарною. Існує безліч функцій, що не є ні парними ні непарними. Такі функції називаються функціями загального вигляду і для них не виконується жодна з рівностей або властивостей наведених вище.

Лінійною функцієюназивають функцію, яку можна задати формулою:

Графік лінійної функціїпредставляє собою пряму і в загальному випадку виглядає наступним чином (наведено приклад для випадку коли k> 0, у разі функція зростаюча; для випадку k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Графік квадратичної функції (Парабола)

Графік параболи визначається квадратичною функцією:

Квадратична функція, як і будь-яка інша функція, перетинає вісь ОХ в точках є її корінням: ( x 1; 0) та ( x 2; 0). Якщо коріння немає, значить квадратична функція вісь ОХ не перетинає, якщо корінь один, значить у цій точці ( x 0; 0) квадратична функція лише стосується осі ОХ, але з перетинає її. Квадратична функція завжди перетинає вісь OY у точці з координатами: (0; c). Графік квадратичної функції(парабола) може виглядати так (на малюнку приклади, які далеко не вичерпують усі можливі видипарабол):

При цьому:

• якщо коефіцієнт a> 0, функції y = ax 2 + bx + c, то гілки параболи спрямовані вгору;
• якщо ж a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координати вершини параболи можуть бути обчислені за такими формулами. Ікс вершини (p- на рисунках вище) параболи (або точка в якій квадратний тричлен досягає свого найбільшого чи найменшого значення):

Гравець вершини (q- на рисунках вище) параболи або максимальне, якщо гілки параболи спрямовані вниз ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), значення квадратного тричлена:

Графіки інших функцій

Ступіньною функцією

Наведемо кілька прикладів графіків статечних функцій:

Назад пропорційною залежністюназивають функцію, задану формулою:

Залежно від знаку числа kграфік назад пропорційної залежностіможе мати два важливі варіанти:

Асимптота- це лінія, до якої лінія графіка функції нескінченно близько наближається, але з перетинає. Асимптотами для графіків зворотної пропорційностінаведених малюнку вище є осі координат, яких графік функції нескінченно близько наближається, але з перетинає їх.

Показовою функцієюз основою аназивають функцію, задану формулою:

aграфік показової функції може мати два важливі варіанти (наведемо також приклади, див. нижче):

Логарифмічною функцієюназивають функцію, задану формулою:

Залежно від того більше чи менше одиниці число aграфік логарифмічної функції може мати два важливі варіанти:

Графік функції y = |x| виглядає наступним чином:

Графіки періодичних (тригонометричних) функцій

Функція у = f(x) називається періодичноїякщо існує таке, нерівне нулю, число Т, що f(x + Т) = f(x), для будь-якого хз області визначення функції f(x). Якщо функція f(x) є періодичною з періодом T, то функція:

де: A, k, b- Постійні числа, причому kне дорівнює нулю, також періодична з періодом T 1 який визначається формулою:

Більшість прикладів періодичних функцій – це тригонометричні функції. Наведемо графіки основних тригонометричних функцій. На наступному малюнку зображено частину графіка функції y= sin x(весь графік необмежено триває вліво та вправо), графік функції y= sin xназивають синусоїдою:

Графік функції y= cos xназивається косінусоїдою. Цей графік зображено на малюнку. Так як і графік синуса він нескінченно продовжується вздовж осі ОХ вліво та вправо:

Графік функції y= tg xназивають тангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних функцій, даний графікнеобмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ вліво та вправо.

Ну і нарешті, графік функції y= ctg xназивається котангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних та тригонометричних функцій, цей графік необмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ вліво та вправо.

Вивчити всі формули та закони у фізиці, і формули та методи в математиці . Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул із фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без труднощів вирішити в потрібний момент більшу частину ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати лише над найскладнішими завданнями.

Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб вирішувати обидва варіанти. Знову ж таки на ЦТ, крім уміння швидко і якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, не переплутавши ні номера відповідей і завдань, ні власне прізвище. Також у ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань у завданнях, що на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.

Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результат, максимальний з того, на що Ви здатні.

Знайшли помилку?

Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку у навчальних матеріалах, то напишіть, будь ласка, про неї на пошту. Написати про помилку можна також у соціальної мережі(). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.

Практикум

З математичного аналізу

Для студентів вечірнього відділення

Ого курсу

(Частина I)

Навчально-методичний посібник

Москва, 2006

УДК 512.8:516

ББК С42

Рецензенти:

к.ф.-м.н., доцент Каролінська С.М. (Московський авіаційний інститут ім. С. Орджонікідзе);

к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МІТХТ ім. М.В. Ломоносова).

Скворцова М.І., Мудракова О.А., Кротов Г.С., Практикум з математичного аналізу для студентів вечірнього відділення 1-го курсу (Частина I), Навчально-методичний посібник - М.: МІТХТ ім. М.В. Ломоносова, 2006 – 44 с.: іл. 29 .

Затверджено Бібліотечно-видавничою комісією МІТХТ ім. М.В. Ломоносова як навчально-методичний посібник. Поз. ___/2006.

Посібник являє собою конспекти 6 практичних занятьз курсу математичного аналізу для студентів вечірнього відділення МІТХТ ім. М.В. Ломоносова. Частина I містить такі розділи: "Функція та її основні властивості", "Межа функції", "Безперервність і точки розриву функції".

Кожне заняття присвячене окремій темі. Конспекти 5-ти занять містять короткий викладвідповідної теорії, типові приклади та завдання для самостійного вирішення (з відповідями). У конспекті заняття №6 наведено зразок варіанта контрольної роботи(З рішеннями), що проводиться на цьому занятті.

Посібник призначений для студентів вечірнього відділення вузів хімічного профілю.

© МІТХТ ім. М.В. Ломоносова, 2006

Заняття 1.

Концепція функції. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки …………………............

Заняття 2.Полярна система координат. Побудова графіків функцій шляхом зсуву і розтягування вздовж осей координат …………………………………………….

Заняття 3.Межа функції. Безперервність функції. Обчислення меж безперервних, раціональних та деяких ірраціональних функцій …………...............

Заняття 4.Перший і другий чудові межі. Обчислення меж статечно-показової функції. Нескінченно малі та нескінченно великі
величини ………………………………………………….

Заняття 5.Точки безперервності та точки розриву функції. Класифікація точок розриву. Дослідження функції на безперервність ………………………………

Заняття 6.Контрольна робота №1 на тему "Обчислення меж функцій. Дослідження функції на безперервність"……………………………………………….

Література……………………………………………….

Заняття 1.

Концепція функції. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки.

Визначення 1.Залежність змінної від змінної називається функцієюякщо кожному значенню відповідає єдине значення.

Пишемо: і говоримощо є функція від . При цьому називається незалежної змінної(або аргументом), а – залежною змінною.

Визначення 2. Область визначення функції(позначається через ) – це значення, які приймає . Безліч значень функції(позначається через ) – це значення, які приймає .

Визначення 3.Функція називається зростаючою (спадаючою) на числовому проміжку , якщо для будь-яких з , таких, що , виконано нерівність:

.

Визначення 4.Функція називається монотонноїна проміжку, якщо вона тільки зменшується або тільки зростає на.

Визначення 5.Функція називається парної (непарною), якщо її симетрична щодо нуля і для будь-якого з :

.

Національний науково-дослідний університет

Кафедра прикладної геології

Реферат з вищої математики

На тему: «Основні елементарні функції,

їх властивості та графіки»

Виконав:

Перевірив:

викладач

Визначення. Функція, задана формулою у=а х (де а>0, а≠1), називається показовою функцієюз основою а.

Сформулюємо основні властивості показової функції:

1. Область визначення - безліч (R) всіх дійсних чисел.

2. Область значень – безліч (R+) всіх позитивних дійсних чисел.

3. При а > 1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<а<1 функция убывает.

4. Є функцією загального виду.

, на інтервалі xÎ [-3;3]
, на інтервалі xÎ [-3;3]

Функція виду у(х)=х n , де n – число ÎR, називається статечною функцією. Число n може набувати ралічних значень: як цілі, так і дробові, як парні, так і непарні. Залежно від цього, статечна функція матиме різний вигляд. Розглянемо окремі випадки, які є статечними функціями і відображають основні властивості даного виду кривих у наступному порядку: статечна функція у=х² (функція з парним показником ступеня – парабола), статечна функція у=х³ (функція з непарним показником ступеня – кубічна парабола) функція у = √х (х у ступені ½) (функція з дробовим показником ступеня), функція з негативним цілим показником (гіпербол).

Ступінна функція у=х²

1. D(x)=R – функція визначена попри числової осі;

2. E(y)= і зростає на проміжку

Ступінна функція у=х³

1. Графік функції у = х називається кубічною параболою. Ступінна функція у=х³ має такі властивості:

2. D(x)=R – функція визначено попри числової осі;

3. E(y)=(-∞;∞) – функція набуває всіх значень на своїй області визначення;

4. При х = 0 у = 0 - функція проходить через початок координат O (0; 0).

5. Функція зростає по всій області визначення.

6. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат).

, на інтервалі xÎ [-3;3]

Залежно від числового множника, що стоїть перед х³, функція може бути крутою/пологою та зростати/зменшуватися.

Ступінна функція з цілим негативним показником:

Якщо показник ступеня n є непарним, то графік такої статечної функції називається гіперболою. Ступінна функція з цілим негативним показником ступеня має такі властивості:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для будь-якого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), якщо n – непарне число; E(y)=(0;∞), якщо n – парне число;

3. Функція зменшується по всій області визначення, якщо n – непарне число; функція зростає на проміжку (-∞;0) і зменшується на проміжку (0;∞), якщо n – парне число.

4. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат), якщо n – непарне число; функція є парною, якщо n – парне число.

5. Функція проходить через точки (1;1) та (-1;-1), якщо n – непарне число і через точки (1;1) та (-1;1), якщо n – парне число.

, на інтервалі xÎ [-3;3]

Ступінна функція з дробовим показником

Ступенева функція з дробовим показником виду (картинка) має графік функції, зображений малюнку. Ступінна функція з дробовим показником ступеня має такі властивості: (картинка)

1. D(x) ÎR, якщо n – непарне число та D(x)=
, на інтервалі xÎ
, на інтервалі xÎ [-3;3]

Логарифмічна функція у = log a x має такі властивості:

1. Область визначення D(x)Î (0; + ∞).

2. Область значень E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. Функція ні парна, ні непарна (загального вигляду).

4. Функція зростає на проміжку (0; + ∞) при a > 1, зменшується на (0; + ∞) при 0< а < 1.

Графік функції у = log a x може бути отриманий з графіка функції у = а х за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х. На малюнку 9 побудовано графік логарифмічної функції а > 1, але в малюнку 10 - для 0< a < 1.

; на інтервалі xÎ
; на інтервалі xÎ

Функції y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х називають тригонометричними функціями.

Функції у = sin х, у = tg х, у = ctg х непарні, а функція у = соs х парна.

Функція y = sin (x).

1. Область визначення D(x) ÎR.

2. Область значень E(y) Î [- 1; 1].

3. Функція періодична; основний період дорівнює 2?

4. Функція непарна.

5. Функція зростає на проміжках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] і зменшується на проміжках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

Графік функції у = sin (х) зображено малюнку 11.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особичи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.