Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

Наприклад:

Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Число 36 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Числа, на які число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 та 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a- це таке натуральне число, яке ділить це число aбез залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим .

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12. Загальний дільник двох даних чисел aі b- це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа aі b.

Загальним кратнимкількох чисел називається число, яке поділяється на кожне із цих чисел. Наприклад, Числа 9, 18 і 45 мають загальне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед усіх jбщих кратних завжди є найменше, в даному випадку це 90. Це число називається найменшимзагальним кратним (НОК).

НОК завжди натуральне число, яке має бути більшим за найбільший з чисел, для яких воно визначається.

Найменше загальне кратне (НОК). Властивості.

Комутативність:

Асоціативність:

Зокрема, якщо і взаємно-прості числа, то:

Найменше загальне кратне двох цілих чисел mі nє дільником всіх інших загальних кратних mі n. Більш того, безліч спільних кратних m, nзбігається з безліччю кратних для НОК( m, n).

Асимптотики можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.

Так, функція Чебишева. А також:

Це випливає з визначення та властивостей функції Ландау g(n).

Що випливає із закону розподілу простих чисел.

Знаходження найменшого загального кратного (НОК).

НОК( a, b) можна обчислити декількома способами:

1. Якщо відомий найбільший спільний дільник, можна використовувати його зв'язок із НОК:

2. Нехай відоме канонічне розкладання обох чисел на прості множники:

де p 1 ,...,p k- Різні прості числа, а d 1 ,...,d kі e 1 ,...,e k- Невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні).

Тоді НОК ( a,b) обчислюється за формулою:

Іншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b, причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший.

приклад:

Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел:

Правило.Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:

- Розкласти числа на прості множники;

- перенести в множники шуканого твору найбільше розкладання (твор множників самого великої кількостііз заданих), а потім додати множники з розкладання інших чисел, які не зустрічаються в першому числі або стоять у ньому менше разів;

- отриманий добуток простих множників буде НОК заданих чисел.

Будь-які два і більше натуральних чиселмають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників у розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.

Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отриманий твір (84) найменшим числом, що ділиться на 21 та 28 .

Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отриманий добуток 150 більший за найбільше число 30 і ділиться на всі задані числа без залишку. Це найменший твіріз можливих (150, 250, 300...), якому кратні всі задані числа.

Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.

Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, потрібно усі ці числа перемножити між собою.

Ще один варіант:

Щоб знайти найменше загальне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:

1) подати кожне число як добуток його простих множників, наприклад:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записати ступені всіх простих множників:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) виписати всі прості дільники (множники) кожного із цих чисел;

4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрівся у всіх розкладах цих чисел;

5) перемножити ці ступені.

приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 та 3024.

Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Виписуємо найбільші ступені всіх простих дільників і перемножуємо їх:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120.

Розглянемо рішення наступного завдання. Крок хлопчика становить 75 см, а крок дівчинки 60 см. Необхідно знайти найменшу відстань, на якій вони обидва зроблять за кількістю кроків.

Рішення.Весь шлях що пройдуть guys, повинен ділитися без залишку на 60 та на 70, тому що вони повинні зробити кожну цілу кількість кроків. Інакше кажучи, у відповіді має бути число, кратне як 75 і 60.

Спочатку виписуватимемо всі кратні числа, для числа 75. Отримуємо:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Тепер випишемо числа, які будуть кратні 60. Отримуємо:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Тепер знаходимо числа, які є в обох рядах.

• Загальними кратними чисел будуть числа, 300, 600 і т.д.

Найменше їх, це число 300. Воно у разі буде називатися найменшим загальним кратним чисел 75 і 60.

Повертаючись до умови завдання, найменша відстань, на якій хлопці зроблять цілу кількість кроків, буде 300 см. Хлопчик пройде цей шлях за 4 кроки, а дівчинці потрібно зробити 5 кроків.

Визначення найменшого загального кратного

• Найменшим загальним кратним двох натуральних чисел a та b називається найменше натуральне число, яке кратне як a, так і b.

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне двох чисел, не обов'язково виписати підряд всі кратні для цих чисел.

Можна скористатися таким методом.

Як знайти найменше загальне кратне

Спочатку необхідно розкласти ці числа на прості множники.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Тепер випишемо всі множники, які є в розкладанні першого числа (2,2,3,5) і додамо до нього всі множники, що відсутні, з розкладання другого числа (5).

Отримаємо у результаті ряд простих чисел: 2,2,3,5,5. Добуток цих чисел і буде найменшим загальним співмножником для цих чисел. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

Загальна схема знаходження найменшого загального кратного

• 1. Розкласти числа на прості множники.
• 2. Виписати прості множники, які входять до складу одного з них.
• 3. Додати до цих множників усі ті, які є в розкладанні решти, але немає у вибраному.
• 4. Знайти добуток усіх виписаних співмножників.

Цей спосіб універсальний. З його допомогою можна знайти найменшу загальну кратність будь-якої кількості натуральних чисел.

Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.

Знайдемо найбільший спільний дільникчисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 і 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.

Визначення.Натуральні числа називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник (НДД) дорівнює 1.

Найбільший спільний дільник (НДД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Розкладемо на множники числа 48 і 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.

Щоб знайти найбільший спільний дільник

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.

Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 та 180.

Найменше загальне кратне (НОК)

Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК)натуральних чисел а та Ь називають найменше натуральне число, яке кратне і a, і b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 і 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.

Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.

Щоб знайти найменше загальне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх у прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.

Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться попри всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі ці числа.

Піфагор (VI ст. до н. е.) та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, рівну сумівсіх його дільників (без числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо в I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємося по числовому ряду, то рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», яка була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для віднайдення простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числомпотім викреслював через одне всі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6, 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.

Загальні кратні

Простіше кажучи, будь-яке ціле число, яке ділиться на кожне з цих чисел, є загальним кратнимданих цілих чисел.

Можна знаходити загальне кратне двох і більшої кількості цілих чисел.

Приклад 1

Обчислити загальне кратне двох чисел: $2$ та $5$.

Рішення.

За визначенням загальним кратним чисел $2$ і $5$ число $10$, т.к. воно кратне числу $2$ і числу $5$:

Загальними кратними чисел $2$ і $5$ також будуть числа $-10, 20, -20, 30, -30 $ і т.д., т.к. вони діляться на числа $2$ і $5$.

Зауваження 1

Нуль є загальним кратним будь-якої кількості ненульових цілих чисел.

Відповідно до властивостей ділимості, якщо деяке число є загальним кратним кількох чисел, то й протилежне за знаком число також буде загальним кратним заданих чисел. Це видно з розглянутого прикладу.

Для заданих цілих чисел можна знайти їх загальне кратне.

Приклад 2

Обчислити загальне кратне чисел $111$ та $55$.

Рішення.

Перемножимо задані числа: $111\div 55 = 6105 $. Нескладно переконається, що число $6105$ ділиться на число $111$ і на $55$:

$ 6105 \ div 111 = 55 $;

$ 6105 \ div 55 = 111 $.

Таким чином, число $6105$ – загальне кратне чисел $111$ та $55$.

Відповідь: загальне кратне чисел $111$ і $55$ і $6105$.

Але, як ми вже бачили із попереднього прикладу, це спільне кратне не одне. Іншими загальними кратними будуть числа $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050 $ і т.д. Таким чином, ми дійшли такого висновку:

Примітка 2

Будь-який набір цілих чисел має безліч загальних кратних.

Насправді обмежуються знаходженням загальних кратних лише цілих позитивних (натуральних) чисел, т.к. безлічі кратних даного числа і протилежного йому збігаються.

Визначення найменшого загального кратного

Найчастіше із усіх кратних заданих чисел використовують найменше загальне кратне (НОК).

Визначення 2

Найменше позитивне загальне кратне заданих цілих чисел є найменшим загальним кратнимцих чисел.

Приклад 3

Обчислити НОК чисел $4$ та $7$.

Рішення.

Т.к. у цих чисел немає спільних дільників, то $НОК(4,7)=28$.

Відповідь: $НОК (4,7) = 28 $.

Знаходження НОК через НОД

Т.к. існує зв'язок між НОК та НОД, з її допомогою можна обчислити НОК двох цілих позитивних чисел:

Примітка 3

Приклад 4

Обчислити НОК чисел $232$ та $84$.

Рішення.

Скористаємося формулою для знаходження НОК через НОД:

$НОК (a,b)=\frac(a\cdot b)(НОД (a,b))$

Знайдемо НОД чисел $232$ і $84$ за допомогою алгоритму Евкліда:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Тобто. $НОД (232, 84) = 4 $.

Знайдемо $НОК (232, 84)$:

$НОК (232,84) = frac (232 cdot 84) (4) = 58 cdot 84 = 4872 $

Відповідь: $НОК (232,84) = 4872 $.

Приклад 5

Обчислити $НОК (23, 46)$.

Рішення.

Т.к. $ 46 $ ділиться націло на $ 23 $, то $ НОД (23, 46) = 23 $. Знайдемо НОК:

$НОК (23,46) = frac (23 cdot 46) (23) = 46 $

Відповідь: $НОК (23,46) = 46 $.

Таким чином, можна сформулювати правило:

Примітка 4

Найменше загальне кратне двох чисел безпосередньо з найбільшим загальним дільником цих чисел. Ця зв'язок між НОД та НОКвизначається наступною теоремою.

Теорема.

Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший спільний дільник чисел a і b, тобто, НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Доведення.

Нехай М - якесь кратне чисел a і b . Тобто, М ділиться на a і за визначенням ділимості існує деяке ціле число k таке, що справедлива рівність M = a · k . Але М ділиться і b , тоді a k ділиться на b .

Позначимо НОД(a, b) як d. Тоді можна записати рівності a = a 1 · d і b = b 1 · d, причому a 1 = a: d і b 1 = b: d будуть взаємно простими числами. Отже, отримана в попередньому абзаці умова, що a k ділиться на b можна переформулювати так: a 1 d k ділиться на b 1 d, а це в силу властивостей ділимості еквівалентно умові, що a 1 k ділиться на b 1 .

Також потрібно записати два важливі наслідки з розглянутої теореми.

Загальні кратні двох чисел збігаються з кратними їх найменшого загального кратного.

Це дійсно так, оскільки будь-яке загальне кратне M чисел a і b визначається рівністю M = НОК (a, b) · t при деякому цілому значенні t.

Найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їхньому твору.

Обґрунтування цього факту є досить очевидним. Оскільки a і b взаємно прості, то НОД(a, b)=1 , отже, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел

Знаходження найменшого загального кратного трьох чи більшої кількості чисел можна звести до послідовного знаходження НОК двох чисел. Як це робиться, зазначено в наступній теоремі.a 1 , a 2 , …, ak збігаються із загальними кратними чисел m k-1 і ak , отже, збігаються з кратними числа m k . Оскільки найменшим позитивним кратним числа m k є саме число m k , то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , …, ak є m k .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
• Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
• Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібникдля студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів