Формула похідної функції, заданої параметричним способом. Доказ та приклади застосування цієї формули. Приклади обчислення похідних першого, другого та третього порядку.

Нехай функція задана параметричним способом:
(1)
де деяка змінна, яка називається параметром. І нехай функції і мають похідні за певного значення змінної.
(2)

Причому і функція має зворотну функцію в околиці точки.
;
.

Тоді функція (1) має в похідній точці , яка, в параметричному вигляді, визначається за формулами:

Тут і - похідні функцій і за змінною (параметром).

Їх часто записують у такому вигляді:
.
Тоді систему (2) можна записати так:
.
Доведення
.

За умовою, функція має зворотну функцію. Позначимо її як

Тоді вихідну функцію можна як складну функцію:

Знайдемо її похідну, застосовуючи правила диференціювання складної та зворотної функцій:
.
Правило підтверджено.
.
Доказ другим способом
.

Знайдемо похідну другим способом, виходячи з визначення похідної функції в точці:
Введемо позначення:
; ;
; .
Тоді й попередня формула набуває вигляду:
.
Скористаємося тим, що функція має зворотну функцію в околиці точки .
.

За умовою, функція має зворотну функцію. Позначимо її як

Введемо позначення:

Розділимо чисельник і знаменник дробу на:
(1)

При , .
(2)

Тоді
.
Похідні вищих порядків
(3)
Щоб знайти похідні найвищих порядків, треба виконувати диференціювання кілька разів. Припустимо, нам треба знайти похідну другого порядку від функції, заданої параметричним способом наступного виду:

За формулою (2) знаходимо першу похідну, яка також визначається параметричним способом:
.
Позначимо першу похідну, за допомогою змінної:
.

Тоді, щоб знайти другу похідну від функції змінної , потрібно знайти першу похідну від функції змінної .

Залежність змінної від змінної також задана параметричним способом:
.

Порівнюючи (3) з формулами (1) і (2), знаходимо:

Зауважимо, що можна вводити позначення для похідної .
;
.

Можна записати так:

Приклад 1

Знайдіть похідну від функції, заданої параметричним способом:

Рішення
Знаходимо похідні та по .
;
.
З таблиці похідних знаходимо:

.
Застосовуємо:

.
Застосовуємо:

Тут.
.

Похідна:

Відповідь

Приклад 2

Знайдіть похідну від функції, заданої параметричним способом:

Знайдіть похідну від функції, вираженої через параметр :
.

Розкриємо дужки, застосовуючи формули для статечних функцій і коріння:

.

Знаходимо похідну:

.

Знаходимо похідну.
.

Похідна:

Для цього введемо змінну та застосуємо формулу похідної складної функції.

Знаходимо шукану похідну:

Знайдіть похідну від функції, заданої параметричним способом:

Приклад 3

Знайдіть похідні другого та третього порядків від функції, заданої параметричним способом у прикладі 1:

У прикладі 1 ми знайшли похідну першого порядку:

Введемо позначення.
.
Тоді функція є похідною .
.
Вона задана параметричним способом:
.

Щоб знайти другу похідну по нам треба знайти першу похідну по .

Диференціюємо по .

Похідну ми знайшли в прикладі 1:
.
Похідна другого порядку за дорівнює похідній першого порядку за :

.

Отже, ми знайшли похідну другого порядку в параметричному вигляді:
.

Тепер знаходимо похідну третього порядку. Введемо позначення.

Тоді нам потрібно знайти похідну першого порядку від функції, яка задана параметричним способом:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Похідна:

Знаходимо похідну по .

Для цього перепишемо в еквівалентному вигляді:

З
Похідна третього порядку за дорівнює похідній першого порядку за : Зауваження

Можна не вводити змінні та , які є похідними та відповідно. Тоді можна записати так: У параметричному поданні похідна другого порядку має такий вигляд:Похідна третього порядку: Похідна функції заданої неявно.Похідна параметрично заданої функціїУ цій статті ми розглянемо ще два типові завдання, які часто зустрічаються в

контрольні роботи

по

вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових уроках та

Похідна складної функції . Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.Похідна функції, заданої неявно аргументом.
Змінна називається залежною змінноюПохідна функції, заданої неявно функцією .

Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити «ігрок» лише через «ікс». Що за способи? Перенесення доданків із частини до частини зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.

Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.

У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.

І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функцій залишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.

Так, і повідомлю хорошу новину – розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким та чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Таким чином, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції :

Твір диференціюємо за звичайним правилом :

Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:


Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину– переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, – ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під фразою "неявна функція" розуміють "класичну" неявну функцію, коли "ігрок" висловити не можна.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналіз та чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі доданки в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Похідна функції однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішеннята зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.

Приклад 4

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності:

Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції та правило диференціювання приватного :

Розкриваємо дужки:

Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:

Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Це приклад самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Похідна параметрично заданої функції

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанцівпараметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

В даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Підставляємо знайдені похідні у формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу:

Розглянемо завдання лінії на площині, при якому змінні x, y є функціями третьої змінної t (назвою параметром):

Для кожного значення tз деякого інтервалу відповідають певні значення xі y, а, Отже, певна точка M (x, y) площині. Коли tпробігає всі значення із заданого інтервалу, то точка M (x, y) описує деяку лінію L. Рівняння (2.2) називаються параметричними рівняннями лінії L.

Якщо функція x = ? yяк функцію від x. У цьому випадку кажуть, що рівняння (2.2) задають функцію yпараметрично.

приклад 1.Нехай M (x, y)– довільна точка кола радіусу Rта з центром на початку координат. Нехай t- Кут між віссю Oxта радіусом OM(Див. рис. 2.3). Тоді x, yвиражаються через t:

Рівняння (2.3) є параметричними рівняннями кола. Виключимо із рівнянь (2.3) параметр t. Для цього кожне з рівнянь зведемо до квадрата і складемо, отримаємо: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) або x 2 + y 2 = R 2 – рівняння кола в декартовій системі координат. Воно визначає дві функції: Кожна з цих функцій визначається параметричними рівняннями (2.3), але для першої функції , а для другої .

Приклад 2. Параметричні рівняння

задають еліпс із півосями a, b(Рис. 2.4). Виключаючи з рівнянь параметр t, отримаємо канонічне рівняння еліпса:

Приклад 3. Циклоїдою називається лінія, описана точкою, що лежить на колі, якщо це коло котиться без ковзання прямою (рис. 2.5). Введемо параметричні рівняння циклоїди. Нехай радіус кола, що котиться, дорівнює a, крапка M, що описує циклоїду, на початку руху збігалася з початком координат.

Визначимо координати x, y точки Mпісля того, як коло повернулося на кут t
(рис. 2.5), t = ÐMCB. Довжина дуги MBдорівнює довжині відрізка OB,так як коло котиться без ковзання, тому

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB - AB = at - asint = a (t - sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a (1 - cost).

Отже, отримані параметричні рівняння циклоїди:

При зміні параметра tвід 0 до 2πколо повертається на один оборот, при цьому точка Mописує одну арку циклоїдів. Рівняння (2.5) задають yяк функцію від x. Хоча функція x = a(t – sint)має зворотну функцію, але вона не виражається через елементарні функціїтому функція y = f(x)не виражається через елементарні функції.

Розглянемо диференціювання функції, заданої параметрично рівняннями (2.2). Функція x = φ(t) на деякому інтервалі зміни t має зворотну функцію t = Ф(x)тоді y = g(Ф(x)). Нехай x = φ(t), y = g(t)мають похідні, причому x"t≠0. За правилом диференціювання складної функції y"x=y"t×t"x.На підставі правила диференціювання зворотної функціїтому:

Отримана формула (2.6) дозволяє знаходити похідну функції, заданої параметрически.

Приклад 4. Нехай функція y, що залежить від x, задана параметрично:

Рішення. .
Приклад 5.Знайти кутовий коефіцієнт kдотичної до циклоїди у точці M 0 , що відповідає значенню параметра .
Рішення.З рівнянь циклоїди: y" t = asint, x" t = a (1 - cost),тому

Кутовий коефіцієнтдотичної у точці M 0 дорівнює значеннюпри t 0 = π/4:

ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

Нехай функція у точці x 0має похідну. За визначенням:
тому за властивостями межі (розд. 1.8), де a- нескінченно мала при Δx → 0. Звідси

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

При Δx → 0 другий доданок у рівності (2.7) є нескінченно малою вищого порядку, порівняно з тому Δy і f" (x 0)×Δx - еквівалентні, нескінченно малі (при f "(x 0) ≠ 0).

Таким чином, збільшення функції Δy складається з двох доданків, з яких перше f "(x 0)×Δx є головною частиною збільшення Δy, лінійної щодо Δx (при f"(x 0)≠ 0).

Диференціаломфункції f(x) у точці x 0 називається головна частина збільшення функції та позначається: dyПохідна функції, заданої неявно df (x 0). Отже,

df (x0) = f "(x0)×Δx. (2.8)

приклад 1.Знайти диференціал функції dyі збільшення функції Δy для функції y = x 2 при:
1) довільних xта Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Рішення

1) Δy = (x + Δx) 2 - x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 = 2xΔx + (Δx) 2 , dy = 2xΔx.

2) Якщо x 0 = 20, x = 0,1, то y = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 0,1 = 4.

Запишемо рівність (2.7) у вигляді:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Приріст Δy відрізняється від диференціала dyна нескінченно малу вищого порядку, в порівнянні з Δx, тому в наближених обчисленнях користуються наближеною рівністю Δy ≈ dy, якщо Δx досить мало.

Враховуючи, що Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), отримуємо наближену формулу:

f(x 0 + Δx) f(x 0) + dy. (2.10)

Приклад 2. Обчислити приблизно .

Рішення.Розглянемо:

Використовуючи формулу (2.10), отримаємо:

Значить, ≈ 2,025.

Розглянемо геометричний змістдиференціала df(x 0)(Рис. 2.6).

Проведемо до графіка функції y = f(x), що стосується в точці M 0 (x0, f(x 0)), нехай φ – кут між дотичною KM0 і віссю Ox, тоді f"(x 0) = tgφ. З ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Але PN є збільшенням ординати дотичної за зміни x від x 0 до x 0 + Δx.

Отже, диференціал функції f(x) у точці x 0 дорівнює збільшенню дотичної ординати.

Знайдемо диференціал функції
y = x. Оскільки (x)" = 1, то dx = 1×Δx = Δx. Вважатимемо, що диференціал незалежної змінної x дорівнює її прирощенню, тобто dx = Δx.

Якщо x – довільне число, то з рівності (2.8) одержуємо df(x) = f "(x)dx, звідки .
Таким чином, похідна функції y = f(x) дорівнює відношенню її диференціала до диференціалу аргументу.

Розглянемо властивості диференціала функції.

Якщо u(x), v(x) – функції, що диференціюються, то справедливі наступні формули:

Для доказу цих формул використовуються формули похідних для суми, добутку та приватної функції. Доведемо, наприклад, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Розглянемо диференціал складної функції: y = f(x), x = φ(t), тобто. y = f(?(t)).

Тоді dy = y" t dt, але y" t = y" x xx" t тому dy = y" x x" t dt. Враховуючи,

що x "t = dx, отримуємо dy = y" x dx = f "(x) dx.

Таким чином, диференціал складної функції y = f(x), де x =φ(t), має вигляд dy = f "(x)dx, такий же, як у тому випадку, коли x є незалежною змінною. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціал а.

Функцію можна встановити кількома способами. Це залежить від правила, яке використовується під час її завдання. Явний вид завдання функції має вигляд y = f(x). Бувають випадки, коли її опис неможливий чи незручний. Якщо є безліч пар (х; у), які необхідно обчислювати для параметра t по проміжку (а; b). Для розв'язання системи x = 3 · cos t y = 3 · sin t з 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Визначення параметричної функції

Звідси маємо, що x = ? (t) , y = ? йде мовапро завдання параметричного рівняння функції виду y = ψ(Θ(x)).

Бувають випадки, коли для дослідження функції потрібно займатися пошуком похідної з х. Розглянемо формулу похідної параметрично заданої функції виду y x " = ψ "(t) φ "(t), поговоримо про похідну 2 і n-ого порядку.

Висновок формули похідної параметрично заданої функції

Маємо, що x = φ (t) , y = ψ (t) , визначені і диференційовані при значенні a b , де x t " = φ "(t) ≠ 0 і x = φ (t) тоді існує зворотна функція виду t = Θ (x) .

Спочатку слід переходити від параметричного завдання до явного. Для цього потрібно отримати складну функцію виду y = ψ(t) = ψ(Θ(x)), де є аргумент x.

З правила знаходження похідної складної функції, отримуємо, що y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Звідси видно, що t = Θ(x) і x = φ(t) є оберненими функціями з формули зворотної функції Θ"(x) = 1 φ"(t) , тоді y "x = ψ" Θ(x) · Θ "(x) = ψ"(t) φ "(t).

p align="justify"> Перейдемо до розгляду рішення декількох прикладів з використанням таблиці похідних за правилом диференціювання.

Приклад 1

Знайти похідну для функції x = t 2 + 1 y = t.

Рішення

За умовою маємо, що φ (t) = t 2 + 1 , ψ (t) = t , звідси отримуємо, що φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1 . Необхідно використати виведену формулу та записати відповідь у вигляді:

y " x = ψ "(t) φ "(t) = 1 2 t

Відповідь: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При роботі з похідною функції ч параметром t вказується вираз аргументу x через цей параметр t , щоб не втратити зв'язок між значеннями похідної і параметрично заданої функції з аргументом, якому і відповідають ці значення.

Щоб визначити похідну другого порядку параметрично заданої функції, потрібно використовувати формулу похідної першого порядку отриманої функції, тоді отримуємо, що

y " " x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) · φ "(t) - ψ "(t) · φ "" (t) φ " ( t) 2 ?

Приклад 2

Знайти похідні 2 та 2 порядку заданої функції x = cos (2 t) y = t 2 .

Рішення

За умовою отримуємо, що φ(t) = cos(2 t) , ψ(t) = t 2 .

Тоді після перетворення

φ "(t) = cos (2 t)" = - sin (2 t) · 2 t "= - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Звідси випливає, що y x " = ψ "(t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t).

Отримаємо, що вид похідної 1 порядку x = cos (2 t) y x = - t sin (2 t).

Для вирішення необхідно застосувати формулу похідної другого порядку. Отримуємо вираз виду

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 · sin (2 t) - t · cos (2 t) · (2 ​​t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Тоді завдання похідної 2 порядку за допомогою параметричної функції

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Аналогічне рішення можна вирішити іншим способом. Тоді

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) · 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 · sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) · (2 ​​t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Звідси отримуємо, що

y "" x = ψ "" (t) · φ "(t) - ψ "(t) · φ "" (t) φ "(t) 3 = 2 · - 2 sin (2 t) - 2 t · (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Відповідь: y "" x = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Аналогічним чином виробляється перебування похідних вищих порядків з параметрично заданими функціями.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметром і може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права теж дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні і т.д. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, закачайте мою геометричну прогу на сторінці Математичні формули та таблиці.

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

В даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідною ми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Підставляє знайдені похідні формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу:

Я помітив, що в задачі на знаходження похідної параметричної функції досить часто з метою спрощень доводиться використовувати тригонометричні формули . Пам'ятайте їх або тримайте під рукою, і не упускайте можливість спростити кожен проміжний результат та відповіді. Навіщо? Зараз нам належить взяти похідну від , і це явно краще, ніж знаходити похідну від .

Знайдемо другу похідну.
Використовуємо формулу: .

Подивимося нашу формулу. Знаменника вже знайдено на попередньому кроці. Залишилося знайти чисельник – похідну від першої похідної до змінної «те»:

Залишилося скористатися формулою:

Для закріплення матеріалу пропоную ще кілька прикладів для самостійного вирішення.

Приклад 9

Приклад 10

Знайти і функції, заданої параметрически

Бажаю успіхів!

Сподіваюся, це заняття було корисним, і Ви тепер легко зможете знаходити похідні від функцій, заданих неявно і від параметричних функцій

Рішення та відповіді:

Приклад 3: Рішення:






Таким чином: