Я думаю, ви заслуговуєте більше, ніж це. Ось мій ключ до тригонометрії:

• Намалюйте купол, стіну та стелю
• Тригонометричні функції - це не що інше, як відсоткове відношення цих трьох форм.

Метафора для синуса та косинуса: купол

Замість того, щоб просто дивитися на самі трикутники, уявіть їх у дії, знайшовши якийсь приклад з життя.

Уявіть, ніби ви перебуваєте посередині бані і хочете підвісити екран для кінопроектора. Ви вказуєте пальцем на купол під деяким кутом "x", і до цієї точки повинен бути підвішений екран.

Кут, на який ви вказуєте, визначає:

• синус(x) = sin(x) = висота екрана (від підлоги до точки кріплення на куполі)
• косинус(x) = cos(x) = відстань від вас до екрана (по підлозі)
• гіпотенуза, відстань від вас до верхівки екрана, завжди однакова, і радіусу купола

Бажаєте, щоб екран був максимально великий? Повісьте його над собою.

Бажаєте, щоб екран висів на максимальній відстані від вас? Вішайте його прямо перпендикулярно. У екрані буде нульова висота в цьому положенні, і він висітиме найбільш віддалено, як ви і просили.

Висота і відстань від екрану обернено пропорційні: чим ближче висить екран, тим його висота буде більшою.

Синус та косинус - це відсотки

Ніхто в роки мого навчання, на жаль, не пояснив мені, що тригонометричні функції синус та косинус – це не що інше, як відсотки. Їх значення варіюються від +100% до 0 і -100%, або від позитивного максимуму до нуля і до негативного максимуму.

Скажімо, я сплатив податок 14 рублів. Ви не знаєте, наскільки багато. Але якщо сказати, що я заплатив 95% як податок, ви зрозумієте, що мене просто обдерли, як липку.

Абсолютна висота ні про що не каже. Але якщо значення синуса становить 0.95, я розумію, що телевізор висить майже на верхівці вашого купола. Незабаром він досягне максимальної висоти по центру бані, а потім почне знову знижуватися.

Як ми можемо визначити цей відсоток? Дуже просто: поділіть поточне значення висоти екрану на максимально можливе (радіус бані, який також називають гіпотенузою).

Ось чомунам кажуть, що "Косінус = протилежний катет / гіпотенуза". Це все для того, щоб отримати відсоток! Найкраще визначити синус як “відсоток поточної висоти максимально можливої”. (Синус стає негативним, якщо ваш кут вказує "під землю". Косинус стає негативним, якщо кут вказує на точку купола позаду вас).

Спростимо розрахунки, припустивши, що ми знаходимося в центрі одиничного кола (радіус = 1). Ми можемо пропустити поділ і просто взяти синус, що дорівнює висоті.

Кожне коло, по суті, є одиничним, збільшеним або зменшеним у масштабі до потрібного розміру. Тому визначте зв'язки одиничного кола та застосуйте результати до вашого конкретного розміру кола.

Поекспериментуйте: візьміть будь-який кут і подивіться, яке відсоткове співвідношення висоти до ширини він відображає:

Графік зростання значення синуса – не просто пряма лінія. Перші 45 градусів покривають 70% висоти, а останні 10 градусів (з 80 ° до 90 °) покривають лише 2%.

Так вам стане зрозумілішим: якщо йти по колу, при 0° ви піднімаєтесь майже вертикально, але в міру підходу до верхівки купола, висота змінюється дедалі менше.

Тангенс та секанс. Стіна

Одного разу сусід збудував стіну прямо впритулдо вашого куполу. Плакали ваш вигляд з вікна та гарна ціна для перепродажу!

Але чи можна виграти якось у цій ситуації?

Звісно так. А якщо ми повісимо кіноекран прямо на сусідську стіну? Ви націлюєтеся на кут (х) і отримуєте:

• тангенс(x) = tan(x) = висота екрану на стіні
• відстань від вас до стіни: 1 (це радіус вашого бані, стіна нікуди не рухається від вас, вірно?)
• секанс(x) = sec(x) = “довжина сходів” від вас, що стоїть у центрі купола, до верхівки підвішеного екрану

Давайте уточнимо пару моментів щодо тангенсу, або висоти екрану.

• він починається на 0 і може підніматися нескінченно високо. Ви можете розтягувати екран все вище та вище на стіні, щоб отримати просто нескінченне полотно для перегляду улюбленого фільму! (На такий величезний, звичайно, доведеться пристойно витратитися).
• тангенс – це просто збільшена версія синуса! І доки приріст синуса сповільнюється в міру просування до верхівки купола, тангенс продовжує зростати!

Секансу теж є чим похвалитися:

• секанс починається з 1 (сходи лежить на підлозі, від вас до стіни) і починає підніматися звідти
• Секанс завжди довший за тангенс. Нахилені сходи, за допомогою яких ви вішаєте свій екран, повинні бути довшими, ніж сам екран, вірно? (При нереальних розмірах, коли екран дуже довгий, і сходи потрібно ставити практично вертикально, їх розміри майже однакові. Але навіть тоді секанс буде трохи довше).

Пам'ятайте, значення є відсотками. Якщо ви вирішили повісити екран під кутом 50 градусів, tan(50) = 1.19. Ваш екран на 19% більше, ніж відстань до стіни (радіус бані).

(Введіть x=0 та перевірте свою інтуїцію - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс та косеканс. Стеля

Неймовірно, але ваш сусід тепер вирішив звести перекриття над вашим куполом. (Що з ним таке? Він, мабуть, не хоче, щоб ви за ним підглядали, поки він розгулює по двору голяка…)

Ну що ж, настав час збудувати вихід на дах і поговорити з сусідом. Ви вибираєте кут нахилу, і починаєте будівництво:

• вертикальна відстань між виходом на даху та підлогою завжди дорівнює 1 (радіусу купола)
• котангенс(x) = cot(x) = відстань між верхівкою бані та місцем виходу
• косеканс(x) = csc(x) = довжина вашого шляху на дах

Тангенс та секанс описує стіну, а КОтангенс та КОсеканс описує перекриття.

Наші інтуїтивні висновки цього разу схожі на попередні:

• Якщо ви візьмете кут, що дорівнює 0°, ваш вихід на дах триватиме нескінченно, оскільки ніколи не досягне перекриття. Проблема.
• найкоротший "трап" на дах вийде, якщо будувати його під кутом 90 градусів до підлоги. Котангенс дорівнюватиме 0 (ми взагалі не пересуваємося вздовж даху, виходимо строго перпендикулярно), а косеканс дорівнює 1 (“довжина трапу” буде мінімальною).

Візуалізуйте зв'язки

Якщо всі три випадки намалювати в комбінації купол-стіна-перекриття, вийде таке:

Ну треба ж, це все той самий трикутник, збільшений у розмірі, щоб дістати до стіни і до перекриття. У нас є вертикальні сторони (синус, тангенс), горизонтальні сторони (косинус, котангенс) та “гіпотенузи” (секанс, косеканс). (За стрілками ви можете бачити, доки доходить кожен елемент. Косеканс – це повна відстань від вас до даху).

Трохи чаклунства. Усі трикутники об'єднують одні й ті самі рівності:

З теореми Піфагора (a 2 + b 2 = c 2) бачимо, як пов'язані сторони кожного трикутника. Крім того, співвідношення типу "висота до ширини" повинні бути однаковими для всіх трикутників. (Просто відступіть від найбільшого трикутника до меншого. Так, розмір змінився, але пропорції сторін залишаться незмінними).

Знаючи, який бік у кожному трикутнику дорівнює 1 (радіусу купола), ми легко обчислимо, що “sin/cos = tan/1”.

Я завжди намагався запам'ятати ці факти шляхом простої візуалізації. На картинці ти чітко бачиш ці залежності і розумієш, звідки вони беруться. Цей прийом набагато краще за навчання сухих формул.

Не варто забувати про інші кути

Тсс ... Не потрібно зациклюватися на одному графіку, думаючи, що тангенс завжди менше 1. Якщо збільшити кут, можна дійти до стелі, не досягнувши стіни:

Зв'язки Піфагора завжди працюють, але відносні розміри можуть бути різними.

(Ви, напевно, помітили, що співвідношення синус і косинус завжди найменші, тому що вони укладені всередині купола).

Підсумуємо: що нам потрібно запам'ятати?

Для більшості з нас, я сказав би, що цього буде достатньо:

• тригонометрія пояснює анатомію математичних об'єктів, таких як кола та інтервали, що повторюються.
• аналогія купол/стіна/дах показує зв'язок між різними тригонометричними функціями
• результатом тригонометричних функцій є відсотки, які ми застосовуємо до сценарію.

Вам не потрібно запам'ятовувати формули типу 1 2 + cot 2 = csc 2 . Вони годяться хіба що для дурних тестів, у яких знання факту видається за його розуміння. Витратьте хвилинку, щоб намалювати півколо у вигляді купола, стіну та дах, підпишіть елементи, і всі формули самі напросяться вам на папір.

Додаток: зворотні функції

Будь-яка тригонометрична функція використовує як вхідний параметр кут і повертає результат у вигляді відсотка. sin(30) = 0.5. Це означає, що кут 30 градусів займає 50% від максимальної висоти.

Зворотна функція тригонометрична записується як sin -1 або arcsin (“арксинус”). Також часто пишуть asin у різних мовах програмування.

Якщо наша висота становить 25% від висоти бані, який наш кут?

У нашій табличці пропорцій можна знайти співвідношення, де секанс ділиться на 1. Наприклад, секанс на 1 (гіпотенуза до горизонталі) дорівнює 1 поділити на косинус:

Допустимо, наш секанс дорівнює 3.5, тобто. 350% від радіусу одиничного кола. Якому куту нахилу до стіни це значення відповідає?

Додаток: Кілька прикладів

Приклад: Знайти синус кута x.

Нудна задача. Давайте ускладнимо банальне “знайти синус” до “Яка висота у відсотках від максимуму (гіпотенузи)?”.

По-перше, зауважте, що трикутник повернутий. В цьому немає нічого страшного. Також у трикутника є висота, вона на малюнку вказана зеленим.

А чому дорівнює гіпотенуза? За теоремою Піфагора, ми знаємо, що:

3 2 + 4 2 = гіпотенуза 2 25 = гіпотенуза 2 5 = гіпотенуза

Добре! Синус - це відсоток висоти від найдовшої сторони трикутника або гіпотенузи. У прикладі синус дорівнює 3/5 чи 0.60.

Звичайно, ми можемо йти кількома шляхами. Тепер ми знаємо, що синус дорівнює 0.60 і ми можемо просто знайти арксинус:

Asin (0.6) = 36.9

А ось ще один підхід. Зауважте, що трикутник стоїть "віч-на-віч до стіни", так що замість синуса ми можемо використовувати тангенс. Висота дорівнює 3, відстань стіні - 4, отже тангенс дорівнює ¾ чи 75%. Ми можемо використовувати арктангенс, щоб із відсоткового значення повернутися назад у кут:

Tan = 3/4 = 0.75 atan (0.75) = 36.9 Приклад: А чи ви допливете до берега?

Ви у човні, і у вас є достатньо палива, щоб пропливти 2 км. Зараз ви знаходитесь в 0.25 км. від берега. Під яким максимальним кутом до берега ви можете доплисти так, щоб вистачило палива? Додаток до умови завдання: у нас є лише таблиця значень арккосинусов.

Що ми маємо? Берегову лінію можна як “стіну” у нашому знаменитому трикутнику, а “довжину сходів”, приставленої до стіни - максимально можливою переборною відстанню на човні до берега (2 км). Вимальовується секанс.

Спочатку потрібно перейти на відсотки. У нас є 2 / 0.25 = 8, тобто ми можемо пропливти відстань, в 8 разів більшу за пряму дистанцію до берега (або до стіни).

Виникає питання "Чому дорівнює секанс 8?". Але ми не можемо дати на нього відповіді, тому що у нас є тільки арккосинуси.

Ми використовуємо наші раніше виведені залежності, щоб прив'язати секанс до косінусу: “sec/1 = 1/cos”

Секанс 8 дорівнює косінусу⅛. Кут, косинус якого ⅛ дорівнює acos(1/8) = 82.8. І це найбільший кут, який ми можемо собі дозволити на човні із зазначеною кількістю пального.

Непогано, правда? Без аналогії з куполом-стіною-стелею, я б заплутався в купі формул та обчислень. Візуалізація завдання сильно спрощує пошук рішення, до того ж цікаво побачити, яка тригонометрична функція в результаті допоможе.

При вирішенні кожного завдання думайте так: мене цікавить купол (sin/cos), стіна (tan/sec) чи стеля (cot/csc)?

І тригонометрія стане набагато приємніше. Легких вам обчислень!

Спочатку синус і косинус виникли через необхідність розраховувати величини прямокутних трикутниках. Було помічено, що й значення градусної міри кутів у прямокутному трикутнику не змінювати, то співвідношення сторін, хоч би ці сторони змінювалися у довжині, залишається завжди однаковим.

Саме так і було введено поняття синуса та косинуса. Сінус гострого кутау прямокутному трикутнику – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус – прилеглого до гіпотенузи.

Теореми косінусів та синусів

Але косинуси та синуси можуть застосовуватися не тільки у прямокутних трикутниках. Щоб знайти значення тупого чи гострого кута, сторони будь-якого трикутника, достатньо застосувати теорему косінусів та синусів.

Теорема косінусів досить проста: «Квадрат сторони трикутника дорівнює суміквадратів двох інших сторін за вирахуванням подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними».

Існує два трактування теореми синусів: мала та розширена. Відповідно до малої: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам». Цю теорему часто розширюють за рахунок властивості описаного у трикутника кола: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам, а їх відношення дорівнює діаметру описаного кола».

Похідні

Похідна – математичний інструмент, що показує, як швидко змінюється функція щодо зміни її аргументу. Похідні використовуються , геометрії, і ряд технічних дисциплін.

При вирішенні завдань потрібно знати табличні значення похідних тригонометричних функцій: синуса та косинуса. Похідною синуса є косинус, а косинуса – синус, але зі знаком «мінус».

Застосування в математиці

Особливо часто синуси та косинуси використовуються при вирішенні прямокутних трикутників та завдань, пов'язаних з ними.

Зручність синусів і косінусів знайшло своє відображення і в техніці. Кути та сторони було просто оцінювати за теоремами косинусів та синусів, розбиваючи складні фігурита об'єкти на «прості» трикутники. Інженери і , що часто мають справу з розрахунками співвідношення сторін і градусних заходів, витрачали чимало часу та зусиль для обчислення косінусів та синусів не табличних кутів.

Тоді «на допомогу» прийшли таблиці Брадіса, що містять тисячі значень синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. різних кутів. У радянський часдеякі викладачі змушували своїх підопічних сторінки таблиць Брадіса напам'ять.

Радіан - кутова величина дуги, по довжині рівної радіусу або 57,295779513 градусів.

Градус (у геометрії) - 1/360 частина кола або 1/90 частина прямого кута.

π = 3.141592653589793238462… (приблизне значення числа Пі).

Таблиця косинусів для кутів: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330 °, 360 °.

Кут х (у градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150 °	180 °	210°	225°	240°	270°	300 °	315°	330°	360°
Кут х (у радіанах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрия.

Історично головним об'єктом дослідження цього розділу математичної наукибули прямокутні трикутники. Наявність кута 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють з двох сторін і одного куту чи з двох кутах і з одного боку визначати значення всіх параметрів аналізованої фігури. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, що дозволили розширити межі вживання в повсякденному життіцього розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах.

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділ не вивчається у школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, Та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі «дугоподібною».

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що з теореми Піфагора її чисельне значеннядорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику у прямокутній системі координат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета (тобто сторони, що знаходиться навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формула є прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулуабсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, правила перетворення і кілька базових формул ви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні більше складні формулина папері.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний твір синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним кутубета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки через неуважність

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби на десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити у вигляді звичайного дробу, якщо за умови не обумовлено протилежне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма згаєте час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна вирахувати відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна звести будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви – синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьох сторін та величини трьох кутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричної задачі стає знаходження коренів звичайного рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Приклади:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Аргумент та значення

Косинус гострого кута

Косинус гострого кутаможна визначити за допомогою прямокутного трикутника – він дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

приклад :

1) Нехай дано кут і потрібно визначити косинус цього кута.

2) Добудуємо на цьому куті будь-який прямокутний трикутник.

3) Вимірявши, необхідні сторони, можемо обчислити косинус.

Косинус числа

Числове коло дозволяє визначити косинус будь-якого числа, але зазвичай знаходять косинус чисел якось пов'язаних з : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Наприклад, для числа \(\frac(π)(6)\) - косинус дорівнюватиме \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . А для числа \(-\)\(\frac(3π)(4)\) він дорівнюватиме \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (приблизно \(-0 ,71 \)).

Косинус для інших часто зустрічаються у практиці чисел дивись у .

Значення косинуса завжди лежить у межах від (-1) до (1). При цьому обчислений косинус може бути абсолютно будь-якого кута і числа.

Косинус будь-якого кута

Завдяки числового коламожна визначати косинус як гострого кута, а й тупого, негативного, і навіть більшого, ніж (360°) (повний оборот). Як це робити - простіше один раз побачити, ніж (100) раз почути, тому дивіться картинку.

Тепер пояснення: нехай потрібно визначити косинус кута КОАіз градусною мірою в (150°). Поєднуємо точку Проз центром кола, а бік ОК- З віссю \ (x \). Після цього відкладаємо (150 °) проти годинникової стрілки. Тоді ордината точки Апокаже нам косинус цього кута.

Якщо ж нас цікавить кут із градусним заходом, наприклад, в \(-60°\) (кут КОВ), робимо також, але (60 ° \) відкладаємо за годинниковою стрілкою.

І, нарешті, кут більший (360°) (кут КІС) - все аналогічно тупому, тільки пройшовши за годинниковою стрілкою повний оборот, вирушаємо на друге коло і «добираємо нестачу градусів». Саме в нашому випадку кут (405 °) відкладений як (360 ° + 45 °).

Нескладно здогадатися, що для відкладання кута, наприклад, в \(960°\), треба зробити вже два обороти (\(360°+360°+240°\)), а для кута в \(2640°\) - цілих сім.

Як могли замінити, і косинус числа, і косинус довільного кута визначається практично однаково. Змінюються лише спосіб знаходження точки на колі.

Знаки косинуса по чвертях

За допомогою осі косінусів (тобто осі абсцис, виділеної на малюнку червоним кольором) легко визначити знаки косінусів по числовому (тригонометричному) колу:

Там, де значення на осі від (0) до (1), косинус матиме знак плюс (I і IV чверті - зелена область),
- там, де значення на осі від (0) до (-1), косинус матиме знак мінус (II і III чверті - фіолетова область).

Зв'язок з іншими тригонометричними функціями:

- того ж кута (або числа): основним тригонометричним тотожністю\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- того ж кута (або числа): формулою \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- і синусом того ж кута (або числа): формулою \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Інші найчастіше застосовувані формули дивись.

Розв'язання рівняння \(\cos⁡x=a\)

Рішення рівняння \(\cos⁡x=a\), де \(a\) - число не більше \(1\) і не менше \(-1\) тобто. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Якщо \(a>1\) або \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Рішення:

Розв'яжемо рівняння за допомогою числового кола. Для цього:
1) Побудуємо осі.
2) Побудуємо коло.
3) На осі косінусів (осі \(y\)) відзначимо точку \(\frac(1)(2)\) .
4) Проведемо перпендикуляр до осі косінусів через цю точку.
5) Зазначимо точки перетину перпендикуляра та кола.
6)Підпишемо значення цих точок: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Запишемо всі значення, що відповідають цим точкам за допомогою формули \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Відповідь: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Функція \(y=\cos(x)\)

Якщо відкласти по осі (x) кути в радіанах, а по осі (y) - відповідні цим кутам значення косинуса, ми отримаємо наступний графік:

Графік даної називається і має наступні властивості:

Область визначення – будь-яке значення ікса: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- область значень – від \(-1\) до \(1\) включно: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- парна: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- періодична з періодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- Точки перетину з осями координат:
вісь абсцис: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), де \(n ϵ Z\)
вісь ординат: \((0;1)\)
- Проміжки знакостійності:
функція позитивна на інтервалах: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\), де \(n Z Z)
функція негативна на інтервалах: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\), де \(n Z Z)
- Проміжки зростання та спадання:
функція зростає на інтервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), де \(n ϵ Z\)
функція зменшується на інтервалах: \((2πn;π+2πn)\), де \(n ϵ Z\)
- максимуми та мінімуми функції:
функція має максимальне значення \(y=1\) у точках \(x=2πn\), де \(n ϵ Z\)
функція має мінімальне значення \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), де \(n Z Z).