Суть даного прийому у тому, щоб шукати коріння без допомоги дискримінанта. Для рівняння виду x2 + bx + c = 0, де є два дійсних різних кореня, вірно два твердження.

Перше твердження свідчить, що сума коренів цього рівняння дорівнює значенню коефіцієнта при змінної x (у разі це b), але з протилежним знаком. Наочно це так: x1 + x2 = −b.

Друге твердження вже пов'язане не з сумою, а з добутком цих двох коренів. Прирівнюється цей твір до вільного коефіцієнта, тобто. c. Або, x1 * x2 = c. Обидва ці приклади вирішуються у системі.

Теорема Вієта значно полегшує рішення, але має одне обмеження. Квадратне рівняння, коріння якого можна знайти, використовуючи цей прийом, має бути наведеним. У наведеному рівнянні коефіцієнта a, що стоїть перед x2, дорівнює одиниці. Будь-яке рівняння можна привести до такого виду, розділивши вираз перший коефіцієнт, але не завжди ця операція раціональна.

Доказ теореми

Спочатку слід згадати, як за традицією прийнято шукати коріння квадратного рівняння. Перше і друге коріння знаходяться, а саме: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Взагалі ділиться на 2a, але, як говорилося, теорему можна використовувати лише коли a=1.

З теореми Вієта відомо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі знаком мінус. Це означає, що x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = -2b/2 = -b.

Те саме справедливо і для твору невідомого коріння: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. У свою чергу D = b2-4c (знову ж таки при a=1). Виходить, що результат такий: x1 * x2 = (b2-b2) / 4 + c = c.

Із наведеного простого доказу можна зробити лише один висновок: теорема Вієта повністю підтверджена.

Друге формулювання та доказ

Теорема Вієта має й інше тлумачення. Якщо говорити точніше, то не тлумачення, а формулювання. Справа в тому, що якщо дотримуються ті ж умови, що і в першому випадку: є два різних дійсних кореня, то теорему можна записати іншою формулою.

Ця рівність виглядає так: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Якщо функція P(x) перетинається у дві точки x1 і x2, її можна записати як P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). У випадку, коли P має другий ступінь, а саме так і виглядає початковий вираз, то R є простим числом, а саме 1. Це твердження вірне з тієї причини, що в іншому випадку рівність не виконуватиме. Коефіцієнт x2 при розкритті дужок не повинен бути більше одиниці, а вираз повинен залишатися квадратним.

Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третій (і більшій) мірі.

Вирішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.

приклад 1.

Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса

Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!

приклад 2.

Домножимо ліву та праву частину на:

Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!

приклад 3.

Домножимо все на:

Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:

Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:

Приклади:

Відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. не квадратне;
4. не квадратне;
5. не квадратне;
6. квадратне;
7. не квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:

• Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

  Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

1. в. Оскільки ми знаємо, як видобувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.

А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

немає коріння!

Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:

Відповідь:

Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два корені.

Відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Розв'язання повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.

1. Вирішення квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.

Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.

Якщо, то рівняння має кореня Потрібно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

А отже рівняння має два корені.

Крок 3

Відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже, рівняння має один корінь.

Відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.

Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

Відповідь:Коренів немає

2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Наведене рівняння, а значить:

Відповідь:

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.

При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулче рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.

Розв'язання різних типів квадратних рівнянь

Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.

Можна виділити тип таких рівнянь:

I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

ІІІ. , У цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння немає рішень;

якщо, маємо навчаємо два корені

Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння.

Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.

Відповідь:

Отже, це рівняння має два корені: і.

Відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Відповідь:

Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.

Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має коріння:
• Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:

  Таке коріння називається дворазовим.

• Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Чому можлива різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Відповідь: .

Відповідь:

Отже, рішень немає.

Відповідь: .

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і – коріння нашого рівняння.

Відповідь: ; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:

та: у сумі дають.

та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.

Відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їхня різниця дорівнює - не підходить;

та: - не підходить;

та: - не підходить;

та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:

Відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:

Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:

Відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:

Очевидно, що корінням є числа в.

Відповідь:

Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Розв'язання завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0

За теоремою Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, оскільки сума;

: сума - те що треба

Відповідь: ; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.

Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).

Відповідь: ; .

Завдання 3.

Хм… А де тут що?

Потрібно перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:

Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь: ; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.

Відповідь: ; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь: ; .

Підіб'ю підсумок:

1. Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

Наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

У загальному вигляді перетворення виглядатиме так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.

Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:
• якщо і, рівняння має вигляд: .

1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Виразимо невідоме: ,

2) Перевіряємо знак виразу:

• якщо, то рівняння немає рішень,
• якщо, то рівняння має два корені.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Винесемо загальним множник за дужки: ,

2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння має тільки один корінь: .

2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанта

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,

2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коріння.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай ми маємо наведене квадратне рівняння виду x^2+b*x + c = 0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді за теоремою такі твердження допустимі:

1) Сума коренів x1 і x2 дорівнюватиме негативному значенню коефіцієнта b.

2) Твір цього самого коріння даватиме нам коефіцієнт c .

Але що таке наведене рівняння

Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння, коефіцієнт старшого ступеня, який дорівнює одиниці, тобто. це рівняння виду x^2 + b * x + c = 0. (А рівняння a * x ^ 2 + b * x + c = 0 ненаведене). Іншими словами, щоб привести рівняння до наведеного виду, ми повинні розділити це рівняння на коефіцієнт при старшому ступені (a). Завдання привести дане рівняння до наведеного вигляду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5 * x ^ 2 + 7,5 * x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Поділимо кожне рівняння на коефіцієнт старшого ступеня, отримаємо:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Як можна побачити з прикладів, навіть рівняння, що містять дроби, можна привести до наведеного вигляду.

Використання теореми Вієта

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1 * x2 = 6;

одержуємо коріння: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1 * x2 = 8;

в результаті одержуємо коріння: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 * x2 = 4;

одержуємо коріння: x1 = −1; x2 = -4.

Значення теореми Вієта

Теорема Вієта дозволяє вирішити будь-яке квадратне наведене рівняння практично за секунди. На перший погляд це здається досить складним завданням, але після 5-10 рівнянь, можна навчитися бачити коріння відразу.

З наведених прикладів, і користуючись теоремою, видно як можна значно спростити розв'язання квадратних рівнянь, адже використовуючи цю теорему, можна вирішити квадратне рівняння практично без складних розрахунків і обчислення дискримінанта, а як відомо чим менше розрахунків, тим складніше припуститися помилки, що важливо.

У всіх прикладах ми використовували це правило, спираючись на два важливі припущення:

Наведене рівняння, тобто. коефіцієнт при старшому ступені дорівнює одиниці (ця умова легко уникнути. Можна використовувати ненаведений вид рівняння, тоді будуть допустимі наступні твердження x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, але зазвичай складніше вирішувати:))

Коли рівняння матиме два різні корені. Ми припускаємо, що нерівність вірна і дискримінант строго більше за нуль.

Тому ми можемо скласти загальний алгоритм рішення з теореми Вієта.

Загальний алгоритм рішення з теореми Вієта

Наводимо квадратне рівняння до виду, якщо рівняння дано нам у ненаведеному вигляді. Коли коефіцієнти у квадратному рівнянні, яке раніше ми представили як наведене, вийшли дробовими (не десятковими), то тут слід вирішувати наше рівняння через дискримінант.

Також трапляються випадки коли повернення до початкового рівняння дозволяє нам працювати зі “зручними” числами.

Між корінням і коефіцієнтами квадратного рівняння, крім формул коренів, існують інші корисні співвідношення, які задаються теорема Вієта. У цій статті ми дамо формулювання та доказ теореми Вієта для квадратного рівняння. Далі розглянемо теорему, обернену до теореми Вієта. Після цього розберемо рішення найхарактерніших прикладів. Нарешті, запишемо формули Вієта, що задають зв'язок між дійсним корінням алгебраїчного рівнянняступеня n та його коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Теорема Вієта, формулювання, доказ

З формул коренів квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 виду , де D = b 2 -4 a c, витікають співвідношення x 1 +x 2 = b / a x 1 x 2 = c/a. Ці результати затверджуються теорема Вієта:

Теорема.

Якщо x 1 і x 2 – коріння квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 то сума коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів b і a взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів c і a тобто, .

Доведення.

Доказ теореми Вієта проведемо за наступною схемою: складемо суму і добуток коренів квадратного рівняння, використовуючи відомі формули коренів, після цього перетворимо отримані вирази, і переконаємося, що вони рівні −b/a та c/a відповідно.

Почнемо із суми коріння, складаємо її . Тепер наводимо дроби до спільного знаменника, маємо . У чисельнику отриманого дробу, після чого: . Нарешті, після 2 , отримуємо . Цим доведено перше співвідношення теореми Вієта для суми коренів квадратного рівняння. Переходимо до другого.

Складаємо добуток коренів квадратного рівняння: . Згідно з правилом множення дробів, останній твір можна записати як . Тепер виконуємо множення дужки на дужку в чисельнику, але швидше згорнути цей твір формулі різниці квадратів, так. Далі, згадавши, виконуємо наступний перехід. Оскільки дискримінанту квадратного рівняння відповідає формула D=b 2 −4·a·c , то останній дріб замість D можна підставити b 2 −4·a·c , отримуємо . Після розкриття дужок та приведення подібних доданків приходимо до дробу, а його скорочення на 4·a дає . Цим доведено друге співвідношення теореми Вієта для коріння.

Якщо опустити пояснення, то доказ теореми Вієта набуде лаконічного вигляду:
,
.

Залишається лише помітити, що з рівному нулю дискримінанту квадратне рівняння має один корінь. Однак, якщо вважати, що рівняння в цьому випадку має два однакові корені, то рівності з теореми Вієта також мають місце. Дійсно, при D=0 корінь квадратного рівняння дорівнює , тоді і , а так як D=0 , тобто b 2 −4·a·c=0 , звідки b 2 =4·a·c , то .

На практиці найчастіше теорема Вієта використовується стосовно наведеного квадратного рівняння (зі старшим коефіцієнтом a, рівним 1) виду x 2 + p · x + q = 0. Іноді її і формулюють для квадратних рівнянь саме такого виду, що не обмежує спільності, тому що будь-яке квадратне рівняння можна замінити рівносильним рівнянням, виконавши розподіл його обох частин на відмінне від нуля число a. Наведемо відповідне формулювання теореми Вієта:

Теорема.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 дорівнює коефіцієнту при x , взятому з протилежним знаком, а добуток коренів – вільному члену, тобто x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Друге формулювання теореми Вієта, наведене у попередньому пункті, вказує, що якщо x 1 і x 2 коріння наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 , то справедливі співвідношення x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q. З іншого боку, із записаних співвідношень x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q слід, що x 1 і x 2 є корінням квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 . Інакше кажучи, справедливе твердження, протилежне теоремі Вієта. Сформулюємо його як теореми, і доведемо її.

Теорема.

Якщо числа x 1 і x 2 такі, що x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q, то x 1 і x 2 є корінням наведеного квадратного рівняння x 2 + p x + q = 0 .

Доведення.

Після заміни в рівнянні x 2 +p x + q = 0 коефіцієнтів p і q їх вираження через x 1 і x 2 воно перетворюється в рівносильне рівняння .

Підставимо в отримане рівняння замість x число x 1 маємо рівність x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0, яке за будь-яких x 1 і x 2 являє собою вірну числову рівність 0=0 , так як x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 1 – корінь рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, x 1 – корінь і рівносильного йому рівняння x 2 +p·x+q=0 .

Якщо ж до рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0підставити замість x число x 2 то отримаємо рівність x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0. Це вірна рівність, оскільки x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 2 теж є коренем рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, і рівняння x 2 +p·x+q=0 .

У цьому завершено доказ теореми, зворотної теореме Вієта.

Приклади використання теореми Вієта

Настав час поговорити про практичне застосування теореми Вієта та оберненої їй теореми. У цьому вся пункті ми розберемо рішення кількох найбільш характерних прикладів.

Почнемо із застосування теореми, зворотної теореми Вієта. Її зручно застосовувати для перевірки, чи є дані два числа корінням заданого квадратного рівняння. При цьому обчислюється їх сума та різницю, після чого перевіряється справедливість співвідношень . Якщо виконуються обидва ці співвідношення, то з теореми, зворотної теореме Виета, робиться висновок, що ці числа є корінням рівняння. Якщо ж хоча б одне із співвідношень не виконується, то дані числа не є корінням квадратного рівняння. Такий підхід можна використовувати при вирішенні квадратних рівнянь для перевірки знайденого коріння.

приклад.

Яка з пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , чи 2) , чи 3) є парою коренів квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 ?

Рішення.

Коефіцієнтами заданого квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 є a=4 , b=−16 , c=9 . Відповідно до теореми Вієта сума коренів квадратного рівняння повинна дорівнювати −b/a , тобто, 16/4=4 , а добуток коренів має дорівнювати c/a , тобто, 9/4 .

Тепер обчислимо суму і добуток чисел у кожній із трьох заданих пар, і порівняємо їх із щойно отриманими значеннями.

У першому випадку маємо x1+x2=−5+3=−2. Отримане значення відмінно від 4 тому подальшу перевірку можна не здійснювати, а по теоремі, зворотній теоремі Вієта, відразу зробити висновок, що перша пара чисел не є парою коренів заданого квадратного рівняння.

Переходимо на другий випадок. Тут, тобто, перша умова виконана. Перевіряємо друге умова: , отримане значення від 9/4 . Отже, і друга пара чисел не є парою коренів квадратного рівняння.

Залишився останній випадок. Тут і . Обидві умови виконані, тому ці числа х 1 і х 2 є корінням заданого квадратного рівняння.

Відповідь:

Теорему, зворотну теоремі Вієта, практично можна використовуватиме підбору коренів квадратного рівняння. Зазвичай підбирають цілі коріння наведених квадратних рівнянь із цілими коефіцієнтами, тому що в інших випадках це зробити досить складно. У цьому користуються тим фактом, що й сума двох чисел дорівнює другому коефіцієнту квадратного рівняння, взятому зі знаком мінус, а добуток цих чисел дорівнює вільному члену, ці цифри є корінням даного квадратного рівняння. Розберемося з цим на прикладі.

Візьмемо квадратне рівняння x 2 −5·x+6=0. Щоб числа x 1 і x 2 були корінням цього рівняння, повинні виконуватися дві рівності x 1 + x 2 = 5 і x 1 x 2 = 6 . Залишається підібрати такі цифри. В даному випадку це зробити досить просто: такими числами є 2 і 3, тому що 2+3=5 та 2·3=6. Таким чином, 2 та 3 – коріння даного квадратного рівняння.

Теорему, обернену до теореми Вієта, особливо зручно застосовувати для знаходження другого кореня наведеного квадратного рівняння, коли вже відомий або очевидний один з коренів. У цьому випадку другий корінь знаходиться з будь-якого із співвідношень.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 512 x 2 −509 x 3=0 . Тут легко помітити, що одиниця є коренем рівняння, оскільки сума коефіцієнтів цього квадратного рівняння дорівнює нулю. Отже, х 1 =1. Другий корінь x 2 можна знайти, наприклад, із співвідношення x 1 x 2 = c/a . Маємо 1 · x 2 = -3/512, звідки x 2 = -3/512. Так ми визначили обидва корені квадратного рівняння: 1 та −3/512 .

Зрозуміло, що добір коренів доцільний лише найпростіших випадках. В інших випадках для пошуку коренів можна застосувати формули коренів квадратного рівняння через дискримінант.

Ще одне практичне застосування теореми, зворотної теоремі Вієта, полягає у складанні квадратних рівнянь за заданим корінням x 1 і x 2 . Для цього достатньо обчислити суму коренів, яка дає коефіцієнт при x з протилежним знаком наведеного квадратного рівняння, та добуток коренів, що дає вільний член.

приклад.

Напишіть квадратне рівняння, корінням якого є числа −11 та 23 .

Рішення.

Позначимо x 1 =−11 та x 2 =23 . Обчислюємо суму і добуток даних чисел: x 1 + x 2 = 12 і x 1 · x 2 = -253. Отже, зазначені числа є корінням наведеного квадратного рівняння з другим коефіцієнтом -12 і вільним членом -253. Тобто, x 2 −12·x−253=0 – шукане рівняння.

Відповідь:

x 2 −12·x−253=0 .

Теорема Вієта дуже часто використовується при вирішенні завдань, пов'язаних із знаками коренів квадратних рівнянь. Як пов'язана теорема Вієта зі знаками коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 ? Наведемо два відповідні твердження:

• Якщо вільний член q - позитивне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, то або вони обидва позитивні, або обидва негативні.
• Якщо ж вільний член q – негативне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, їх знаки різні, інакше кажучи, один корінь позитивний, а інший - негативний.

Ці твердження випливають із формули x 1 ·x 2 =q , і навіть правил множення позитивних, негативних чисел і з різними знаками. Розглянемо приклади їх застосування.

приклад.

R він позитивний. За формулою дискримінанта знаходимо D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 значення виразу r 2 +8 позитивно при будь-яких дійсних r , таким чином, D>0 при будь-яких дійсних r . Отже, вихідне квадратне рівняння має два корені за будь-яких дійсних значень параметра r .

Тепер з'ясуємо, коли коріння має різні знаки. Якщо знаки коренів різні, їх добуток негативно, а, по теореме Виета добуток коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену. Отже, нас цікавлять ті значення r , у яких вільний член r−1 негативний. Таким чином, щоб знайти значення r , що цікавлять нас, треба розв'язати лінійну нерівність r−1<0 , откуда находим r<1 .

Відповідь:

при r<1 .

Формули Вієта

Вище ми говорили про теорему Вієта для квадратного рівняння і розбирали затверджувані їй співвідношення. Але існують формули, що пов'язують дійсне коріння та коефіцієнти не тільки квадратних рівнянь, а й кубічних рівнянь, рівнянь четверного ступеня, і взагалі, алгебраїчних рівняньступеня n. Їх називають формулами Вієта.

Запишемо формули Вієта для рівняння алгебри ступеня n виду , при цьому вважатимемо, що воно має n дійсних коренів x 1 , x 2 , ..., x n (серед них можуть бути збігаються):

Отримати формули Вієта дозволяє теорема про розкладання багаточлена на лінійні множники, і навіть визначення рівних многочленів через рівність їх відповідних коефіцієнтів. Так многочлен та її розкладання на лінійні множники виду рівні. Розкривши дужки в останньому творі та прирівнявши відповідні коефіцієнти, отримаємо формули Вієта.

Зокрема, при n=2 маємо вже знайомі нам формули Вієта для квадратного рівняння .

Для кубічного рівняння формули Вієта мають вигляд

Залишається лише помітити, що у лівій частині формул Вієта знаходяться так звані елементарні симетричні багаточлени.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіль. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.

I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Знайти коріння наведеного квадратного рівняння, використовуючи теорему Вієта.

Приклад 1) x 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що це рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.

Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір дорівнює вільному члену, тобто. ( q). Тоді:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума - одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.

Приклад 2) х 2 +6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -Р = -6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .

Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.

Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння цього рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадку за формулами). Отримуємо:

приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.

Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 +3x-28 = 0.

приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:

ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.

Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння дорівнює з, поділеному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 = c/a.