Bugun biz boshqa turdagi muammolarni ko'rib chiqamiz 6 - bu safar doira bilan. Ko'pgina talabalar ularni yoqtirmaydilar va ularni qiyin deb bilishadi. Va mutlaqo behuda, chunki bunday muammolar hal qilinadi boshlang'ich, agar siz ba'zi teoremalarni bilsangiz. Yoki ularni tanimasangiz, umuman jur'at eta olmaydi.

Asosiy xususiyatlar haqida gapirishdan oldin, sizga ta'rifni eslatib o'taman:

Cho'qqisi aylananing o'zida bo'lgan va tomonlari shu doirada akkordni kesgan burchak chizilgan burchakdir.

Markaziy burchak - bu aylananing markazida joylashgan har qanday burchak. Uning yon tomonlari ham bu doirani kesib o'tadi va unga akkord o'yilgan.

Demak, yozilgan va tushunchalari markaziy burchak aylana va uning ichidagi akkordlar bilan uzviy bog‘langan. Va endi asosiy bayonot:

Teorema. Markaziy burchak har doim bir xil yoyga asoslangan, yozilgan burchakdan ikki barobar ko'pdir.

Bayonotning soddaligiga qaramay, uning yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan 6-sonli muammolarning butun sinfi mavjud - boshqa hech narsa yo'q.

Vazifa. Doira radiusiga teng bo'lgan akkord bilan qoplangan o'tkir chizilgan burchakni toping.

Ko'rib chiqilayotgan akkord AB, aylananing markazi O bo'lsin. Qo'shimcha konstruktsiya: OA va OB - aylananing radiusi. Biz olamiz:

ABO uchburchagini ko'rib chiqing. Unda AB = OA = OB - barcha tomonlar aylana radiusiga teng. Demak, ABO uchburchagi teng yonli va undagi barcha burchaklar 60° ga teng.

Chizilgan burchakning uchi M bo'lsin. O va M burchaklar bir xil AB yoyiga tayanganligi uchun ichga chizilgan M burchak markaziy O burchakdan 2 marta kichikdir. Bizda ... bor:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Vazifa. Markaziy burchak aylananing bir xil yoyi bilan chizilgan burchakdan 36 ° kattaroqdir. Chizilgan burchakni toping.

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

1. AB - aylananing akkordi;
2. O nuqta aylananing markazi, shuning uchun AOB burchagi markaziy burchak;
3. C nuqta - ACB chizilgan burchakning tepasi.

Biz chizilgan ACB burchagini qidirayotganimiz uchun uni ACB = x deb belgilaymiz. U holda AOB markaziy burchagi x + 36. Boshqa tomondan, markaziy burchak chizilgan burchakdan 2 barobar ko'p. Bizda ... bor:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Shunday qilib, biz chizilgan AOB burchagini topdik - u 36 ° ga teng.

Doira 360° burchakdir

Subtitrni o'qib, bilimdon o'quvchilar endi: "Uf!" Deyishadi. Darhaqiqat, aylanani burchak bilan solishtirish mutlaqo to'g'ri emas. Nima haqida gapirayotganimizni tushunish uchun klassik trigonometrik doirani ko'rib chiqing:

Bu rasm nima uchun? Va bundan tashqari, to'liq aylanish 360 graduslik burchakdir. Va agar siz uni 20 ta teng qismga ajratsangiz, ularning har birining o'lchami 360: 20 = 18 daraja bo'ladi. B8 muammosini hal qilish uchun aynan shu narsa talab qilinadi.

A, B va C nuqtalar aylana ustida yotadi va uni daraja o'lchovlari 1:3:5 nisbatda bo'lgan uchta yoyga bo'linadi. ABC uchburchakning katta burchagini toping.

Birinchidan, har bir yoyning daraja o'lchovini topamiz. Kichiki x bo'lsin. Rasmda bu yoy AB deb belgilangan. Keyin qolgan yoylarni - BC va AC - AB shaklida ifodalanishi mumkin: yoy BC = 3x; AC = 5x. Hammasi bo'lib, bu yoylar 360 darajani beradi:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Endi B nuqtasini o'z ichiga olmaydigan katta AC yoyini ko'rib chiqing. Bu yoy, mos keladigan markaziy burchak AOC kabi, 5x = 5 40 = 200 daraja.

ABC burchagi uchburchakdagi barcha burchaklarning eng kattasi. Bu AOC markaziy burchagi bilan bir xil yoy bilan qoplangan, chizilgan burchak. Bu ABC burchagi AOC dan 2 marta kichik ekanligini bildiradi. Bizda ... bor:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Bu ABC uchburchagidagi katta burchakning daraja o'lchovi bo'ladi.

To'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylana

Ko'p odamlar bu teoremani unutishadi. Ammo behuda, chunki B8 ning ba'zi muammolarini ularsiz hal qilib bo'lmaydi. Aniqrog'i, ular hal qilinadi, lekin shunday hajmdagi hisob-kitoblar bilan siz javobga erishishdan ko'ra uxlab qolishni afzal ko'rasiz.

Teorema. To'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylananing markazi gipotenuzaning o'rta nuqtasida joylashgan.

Ushbu teoremadan nima kelib chiqadi?

1. Gipotenuzaning o'rta nuqtasi uchburchakning barcha uchlaridan bir xil masofada joylashgan. Bu teoremaning bevosita natijasidir;
2. Gipotenuzaga chizilgan mediana dastlabki uchburchakni ikkita teng yonli uchburchakka ajratadi. B8 muammosini hal qilish uchun aynan shu narsa talab qilinadi.

ABC uchburchagida CD mediani chizamiz. C burchagi 90 °, B burchagi esa 60 °. ACD burchagini toping.

C burchagi 90 ° bo'lganligi sababli, ABC uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir. Ma'lum bo'lishicha, CD gipotenuzaga tortilgan medianadir. Bu ADC va BDC uchburchaklari teng yon tomonli ekanligini anglatadi.

Xususan, ADC uchburchagini ko'rib chiqing. Unda AD = CD. Ammo teng yonli uchburchakda poydevordagi burchaklar teng - "B8 muammosi: uchburchaklardagi chiziq segmentlari va burchaklar" ga qarang. Shuning uchun kerakli burchak ACD = A.

Shunday ekan, buning sababini aniqlash qoladi burchakka teng A. Buning uchun keling, asl nusxaga qaytaylik ABC uchburchagi. A = x burchakni belgilaymiz. Har qanday uchburchakdagi burchaklar yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, bizda:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Albatta, oxirgi muammoni boshqacha hal qilish mumkin. Masalan, BCD uchburchagi shunchaki teng yonli emas, balki teng yonli ekanligini isbotlash oson. Shunday qilib, BCD burchagi 60 daraja. Demak, ACD burchagi 90 - 60 = 30 daraja. Ko'rib turganingizdek, siz turli xil teng yonli uchburchaklardan foydalanishingiz mumkin, ammo javob har doim bir xil bo'ladi.

\[(\Katta(\matn(Markaziy va chizilgan burchaklar)))\]

Ta'riflar

Markaziy burchak - bu uchi aylananing markazida joylashgan burchak.

Chizilgan burchak - bu uchi aylana ustida joylashgan burchak.

Doira yoyining gradus o'lchovi uni bo'ysundiruvchi markaziy burchakning daraja o'lchovidir.

Teorema

Chizilgan burchakning daraja o'lchovi u tayangan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Isbot

Biz dalilni ikki bosqichda bajaramiz: birinchidan, chizilgan burchakning bir tomonida diametr bo'lgan holat uchun bayonotning to'g'riligini isbotlaymiz. \(B\) nuqta chizilgan burchakning tepasi \(ABC\) va \(BC\) aylananing diametri bo'lsin:

Uchburchak \(AOB\) teng yon tomonli, \(AO = OB\) , \(\AOC burchagi) tashqi, keyin \(\ AOC burchagi = \ OAB burchagi + \ ABO burchagi = 2 \ ABC burchagi\), qayerda \(\burchak ABC = 0,5\cdot\burchak AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Endi ixtiyoriy chizilgan burchakni ko'rib chiqing \(ABC\) . Ichkariga chizilgan burchak tepasidan \(BD\) aylana diametrini chizamiz. Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

1) diametr burchakni ikkita burchakka kesib tashlaydi \(\angle ABD, \angle CBD\) (ularning har biri uchun teorema yuqorida isbotlanganidek to'g'ri, shuning uchun bu ularning yig'indisi bo'lgan dastlabki burchak uchun ham to'g'ri bo'ladi. ikkita va shuning uchun ular tayanadigan yoylar yig'indisining yarmiga teng, ya'ni u tayangan yoyning yarmiga teng). Guruch. 1.

2) diametr burchakni ikki burchakka kesib tashlamadi, keyin bizda yana ikkita yangi yozilgan burchaklar mavjud \(\angle ABD, \angle CBD\), ularning tomonida diametr mavjud, shuning uchun ular uchun teorema to'g'ri, keyin u asl burchak uchun ham to'g'ri keladi (qaysi farqiga teng demak, bu ikki burchakdan ular tayangan yoylar farqining yarmiga teng, ya'ni u tayangan yoyning yarmiga teng). Guruch. 2.

Oqibatlari

1. Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar teng.

2. Yarim doira ichiga chizilgan chizilgan burchak to'g'ri burchakdir.

3. Ichkariga chizilgan burchak xuddi shu yoy bilan qoplangan markaziy burchakning yarmiga teng.

\[(\Large(\text(Doiraga teginish)))\]

Ta'riflar

Uchta turi mavjud nisbiy pozitsiya to'g'ri chiziq va aylana:

1) \(a\) to`g`ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesib o`tadi. Bunday chiziq sekant chiziq deb ataladi. Bunda aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa \(d\) aylana radiusidan \(R\) kichik bo'ladi (3-rasm).

2) \(b\) to'g'ri chiziq aylanani bir nuqtada kesib o'tadi. Bunday chiziq tangens chiziq deb ataladi va ularning umumiy nuqtasi \(B\) teginish nuqtasi deb ataladi. Bu holda \(d=R\) (4-rasm).

Teorema

1. Aylanaga teginish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

2. Agar chiziq aylana radiusining uchidan o'tsa va shu radiusga perpendikulyar bo'lsa, u aylanaga tegib turadi.

Natija

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan tangens segmentlar teng.

Isbot

\(K\) nuqtadan aylanaga ikkita teg \(KA\) va \(KB\) chizamiz:

Bu shuni anglatadiki, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) radiuslarga o'xshaydi. To'g'ri uchburchaklar\(\uchburchak KAO\) va \(\uchburchak KBO\) oyoq va gipotenuzada teng, shuning uchun \(KA=KB\) .

Natija

Aylananing markazi \(O\) bir xil nuqtadan chizilgan ikkita tangens tomonidan hosil qilingan \(AKB\) burchakning bissektrisasida yotadi \(K\) .

\[(\Large(\text(Burchaklar bilan bog'liq teoremalar)))\]

Sekantlar orasidagi burchak haqidagi teorema

Xuddi shu nuqtadan chizilgan ikkita sekant orasidagi burchak ular kesgan kattaroq va kichikroq yoylarning daraja o'lchovlaridagi yarim farqga teng.

Isbot

Rasmda ko'rsatilganidek, ikkita sekant chizilgan nuqta \(M\) bo'lsin:

Keling, buni ko'rsataylik \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\DAB burchagi\) uchburchakning tashqi burchagi \(MAD\), keyin \(\DAB burchagi = \DMB burchagi + \MDA burchagi\), qayerda \(\DMB burchak = \DAB burchak - \MDA burchak\), lekin burchaklar \(\DAB burchagi\) va \(\MDA burchagi\) chiziladi, keyin \(\ burchak DMB = \ burchak DAB - \ burchak MDA = \ frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Kesishuvchi akkordlar orasidagi burchak haqidagi teorema

Ikki kesishuvchi akkord orasidagi burchak ular kesgan yoylarning daraja o'lchovlari yig'indisining yarmiga teng: \[\angle CMD=\dfrac12\chap(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\o'ng)\]

Isbot

\(\BMA burchak = \burchak CMD\) vertikal sifatida.

\(AMD\) uchburchakdan: \(\ burchak AMD = 180^\circ - \burchak BDA - \burchak CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Lekin \(\ AMD burchagi = 180^\circ - \burchak CMD\), shundan biz shunday xulosaga kelamiz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ tabassum\over(CD)).\]

Akkord va tangens orasidagi burchak haqidagi teorema

Tangens va akkordning teginish nuqtasidan o'tadigan burchagi akkord tomonidan qo'yilgan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Isbot

\(a\) to'g'ri chiziq \(A\) nuqtadagi aylanaga tegib tursin, \(AB\) bu aylana akkordi, \(O\) uning markazi. \(OB\) ni o'z ichiga olgan chiziq \(a\) nuqtada \(M\) kesishsin. Keling, buni isbotlaylik \(\burchak BAM = \frac12\cdot \buildrel\tabassum(AB)\).

\(\burchak OAB = \alfa\) ni belgilaymiz. \(OA\) va \(OB\) radiuslar ekan, u holda \(OA = OB\) va \(\OBA burchagi = \OAB burchagi = \alfa\). Shunday qilib, \(\buildrel\smile\over(AB) = \burchak AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teginish nuqtasiga chizilgan radius bo'lgani uchun, u holda \(OA\perp a\), ya'ni \(\angle OAM = 90^\circ\), shuning uchun, \(\burchak BAM = 90^\circ - \burchak OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teng akkordlar bilan ajratilgan yoylar haqidagi teorema

Teng akkordlar teng yoylarni yarim doiralardan kichikroq bo'ladi.

Va aksincha: teng yoylar teng akkordlar bilan bo'linadi.

Isbot

1) \(AB=CD\) bo'lsin. Keling, kamonning kichikroq yarim doiralari ekanligini isbotlaylik.

Shunday qilib, uch tomondan, \(\burchak AOB =\burchak COD\) . Lekin chunki \(\burchak AOB, \burchak COD\) - yoylar tomonidan quvvatlanadigan markaziy burchaklar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) shunga ko'ra, keyin \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Agar \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Bu \(\uchburchak AOB=\uchburchak COD\) ikki tomonda \(AO=BO=CO=DO\) va ular orasidagi burchak \(\burchak AOB=\burchak COD\) . Shuning uchun, va \(AB=CD\) .

Teorema

Agar radius akkordni ikkiga bo'lsa, u holda unga perpendikulyar bo'ladi.

Buning aksi ham to'g'ri: agar radius akkordga perpendikulyar bo'lsa, u holda kesishish nuqtasida uni ikkiga bo'ladi.

Isbot

1) \(AN=NB\) bo'lsin. \(OQ\perp AB\) ekanligini isbotlaylik.

\(\uchburchak AOB\) ni ko'rib chiqing: bu teng yon tomonli, chunki \(OA=OB\) – aylana radiusi. Chunki \(ON\) - bazaga chizilgan mediana, keyin u ham balandlikdir, shuning uchun \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) bo'lsin. \(AN=NB\) ekanligini isbotlaylik.

Xuddi shunday, \(\uchburchak AOB\) teng yon tomonli, \(ON\) - balandlik, shuning uchun \(ON\) - mediana. Shuning uchun, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Segmentlar uzunligi bilan bog'liq teoremalar)))\]

Akkord segmentlari hosilasi haqidagi teorema

Agar aylananing ikkita akkordi kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Isbot

\(AB\) va \(CD\) akkordlari \(E\) nuqtada kesishsin.

\(ADE\) va \(CBE\) uchburchaklarini ko'rib chiqing. Bu uchburchaklarda \(1\) va \(2\) burchaklar teng, chunki ular bir xil yoyga chizilgan va tayangan \(BD\) va burchaklar \(3\) va \(4\) teng. vertikal sifatida. \(ADE\) va \(CBE\) uchburchaklar o'xshash (uchburchaklar o'xshashligining birinchi mezoni asosida).

Keyin \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), qaerdan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangens va sekant teoremasi

Tangens segmentining kvadrati sekant va uning tashqi qismining mahsulotiga teng.

Isbot

Tangens \(M\) nuqtadan o'tib, \(A\) nuqtadagi aylanaga teginsin. Sekant \(M\) nuqtadan o'tib, aylanani \(B\) va \(C\) nuqtalarda kesib o'tsin, shunday qilib \(MB) bo'lsin.< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

\(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklarini ko'rib chiqing: \(\ burchak M\) umumiy, \(\BCA burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB)\). Tangens va sekant orasidagi burchak haqidagi teoremaga ko'ra, \(\BAM burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB) = \BCA burchagi\). Shunday qilib, \(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklar ikki burchakda o'xshashdir.

\(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklarining o'xshashligidan biz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), bu \(MB\cdot MC = MA^2\) ga teng.

Natija

\(O\) nuqtadan uning tashqi qismi tomonidan chizilgan sekantning mahsuloti \(O\) nuqtadan chizilgan sekantni tanlashga bog'liq emas.

Birinchidan, aylana va aylana o'rtasidagi farqni tushunamiz. Bu farqni ko'rish uchun ikkala raqam nima ekanligini ko'rib chiqish kifoya. Bu tekislikdagi cheksiz sonli nuqtalar bo'lib, ular bittadan teng masofada joylashgan markaziy nuqta. Ammo, agar doira ichki bo'shliqdan iborat bo'lsa, u aylanaga tegishli emas. Ma’lum bo‘lishicha, aylana ham uni cheklovchi aylana (doira(r)), ham aylana ichida joylashgan son-sanoqsiz nuqtalardir.

Doira ustida yotgan har qanday L nuqta uchun OL=R tengligi amal qiladi. (OL segmentining uzunligi aylana radiusiga teng).

Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan segment uning akkord.

To'g'ridan-to'g'ri aylananing markazidan o'tadigan akkord diametri bu doira (D). Diametrni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: D=2R

Atrof formula bilan hisoblanadi: C=2\pi R

Doira maydoni: S=\pi R^(2)

Doira yoyi uning ikki nuqtasi orasida joylashgan qismi deyiladi. Bu ikki nuqta aylananing ikkita yoyini belgilaydi. CD akkord ikkita yoyni ajratadi: CMD va CLD. Bir xil akkordlar teng yoylarga ega.

Markaziy burchak Ikki radius orasida joylashgan burchak deyiladi.

Ark uzunligi formuladan foydalanib topish mumkin:

1. Darajani o'lchashdan foydalanish: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radian o'lchovidan foydalanish: CD = \alpha R

Akkordga perpendikulyar bo'lgan diametr akkord va u bilan qisqargan yoylarni yarmiga bo'ladi.

Agar aylananing AB va CD akkordalari N nuqtada kesishsa, N nuqta bilan ajratilgan akkordlar segmentlarining ko'paytmalari bir-biriga teng bo'ladi.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Aylanaga teginish

Aylanaga teginish Aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqni chaqirish odatiy holdir.

Agar to'g'ri chiziq ikkita bo'lsa umumiy nuqtalar, uni chaqirishadi sekant.

Agar siz radiusni teginish nuqtasiga qaratsangiz, u aylananing tangensiga perpendikulyar bo'ladi.

Keling, bu nuqtadan doiramizga ikkita teginish chizamiz. Ma’lum bo‘lishicha, tangens segmentlar bir-biriga teng bo‘ladi va aylananing markazi bu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida joylashadi.

AC = CB

Endi nuqtamizdan aylanaga tangens va sekant chizamiz. Biz tangens segmenti uzunligining kvadrati butun sekant segmenti va uning tashqi qismining mahsulotiga teng bo'lishini olamiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Xulosa qilishimiz mumkin: birinchi sekantning butun segmenti va uning tashqi qismining mahsuloti ikkinchi sekantning butun segmenti va uning tashqi qismining mahsulotiga teng.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Aylanadagi burchaklar

Markaziy burchak va u tayangan yoyning daraja o'lchovlari tengdir.

\angle COD = \chashka CD = \alfa ^(\circ)

Yozilgan burchak choʻqqisi aylanada boʻlgan va tomonlarida akkordlar boʻlgan burchak.

Yoyning o'lchamini bilib, uni hisoblashingiz mumkin, chunki u bu yoyning yarmiga teng.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Diametrga, yozilgan burchakka, to'g'ri burchakka asoslangan.

\ burchak CBD = \ burchak CED = \ burchak SAPR = 90 ^ (\ doira)

Xuddi shu yoyga tayanadigan chizilgan burchaklar bir xil.

Bir akkordga tayangan chizilgan burchaklar bir xil yoki ularning yig'indisi 180^ (\circ) ga teng.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Xuddi shu doirada bir xil burchakli va berilgan asosli uchburchaklarning uchlari joylashgan.

Doira ichidagi tepasi bo'lgan va ikkita akkord o'rtasida joylashgan burchak, berilgan va vertikal burchaklar ichida joylashgan aylananing yoylarining burchak qiymatlari yig'indisining yarmiga tengdir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \chap (\chashka DmC + \chashka AlB \o'ng)

Aylanadan tashqarida cho'qqisi bo'lgan va ikkita sekant orasida joylashgan burchak burchak ichidagi aylananing yoylarining burchak qiymatlari farqining yarmiga tengdir.

\ burchak M = \ burchak CBD - \ burchak ACB = \ frac (1) (2) \ chap (\ chashka DmC - \ kubok AlB \ o'ng)

Chizilgan doira

Chizilgan doira ko'pburchakning yon tomonlariga tegib turgan doiradir.

Ko'pburchak burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada uning markazi joylashgan.

Har bir ko'pburchakda aylana yozilmasligi mumkin.

Chizilgan doira bilan ko'pburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:

S = pr,

p - ko'pburchakning yarim perimetri,

r - chizilgan aylana radiusi.

Bundan kelib chiqadiki, chizilgan doira radiusi quyidagilarga teng:

r = \frac(S)(p)

Uzunliklarning yig'indisi qarama-qarshi tomonlar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, bir xil bo'ladi. Va aksincha: qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi bir xil bo'lsa, aylana qavariq to'rtburchakka mos keladi.

AB + DC = AD + BC

Har qanday uchburchakda aylana chizish mumkin. Faqat bitta bitta. Shaklning ichki burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada bu chizilgan aylananing markazi yotadi.

Chizilgan doira radiusi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

r = \frac(S)(p) ,

Bu erda p = \ frac (a + b + c) (2)

Doira

Agar ko'pburchakning har bir tepasidan aylana o'tsa, unda bunday doira odatda deyiladi poligon haqida tasvirlangan.

Ushbu rasmning tomonlari perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasida aylana markazi bo'ladi.

Radiusni ko'pburchakning istalgan 3 ta cho'qqisi bilan aniqlangan uchburchak atrofida aylana radiusi sifatida hisoblash orqali topish mumkin.

Quyidagi shart mavjud: to'rtburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, agar uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180^( \circ) ga teng bo'lsa.

\ burchak A + \ burchak C = \ burchak B + \ burchak D = 180^ (\doira)

Har qanday uchburchak atrofida siz aylana tasvirlashingiz mumkin va faqat bitta. Bunday aylana markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalari kesishgan nuqtada joylashgan bo'ladi.

Cheklangan doira radiusini quyidagi formulalar yordamida hisoblash mumkin:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,

S - uchburchakning maydoni.

Ptolemey teoremasi

Nihoyat, Ptolemey teoremasini ko'rib chiqing.

Ptolemey teoremasi diagonallarning ko'paytmasi siklik to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga teng ekanligini ta'kidlaydi.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ko'rsatmalar

Agar aylana radiusi (R) va kerakli markaziy burchakka (th) mos keladigan yoy uzunligi (L) ma'lum bo'lsa, uni graduslarda ham, radianlarda ham hisoblash mumkin. Jami 2*p*R formulasi bilan aniqlanadi va gradus o‘rniga radian ishlatilsa, 360° markaziy burchakka yoki ikkita Pi soniga to‘g‘ri keladi. Shuning uchun, 2*p*R/L = 360°/th = 2*p/th nisbatidan harakat qiling. Undan markaziy burchakni radianlarda th = 2*p/(2*p*R/L) = L/R yoki graduslar th = 360°/(2*p*R/L) = 180*L/(p) ifodalang. * R) va olingan formuladan foydalanib hisoblang.

Markaziy burchakni (th) aniqlaydigan nuqtalarni bog'laydigan akkord uzunligi (m) asosida, agar aylananing radiusi (R) ma'lum bo'lsa, uning qiymatini ham hisoblash mumkin. Buning uchun ikkita radius va dan tashkil topgan uchburchakni ko'rib chiqing. Bu teng yonli uchburchak, hamma ma'lum, lekin siz poydevorga qarama-qarshi burchakni topishingiz kerak. Uning yarmining sinusi asos uzunligi - akkord - tomonning ikki barobar uzunligi - radiusga nisbatiga teng. Shuning uchun hisob-kitoblar uchun teskari sinus funksiyasidan foydalaning - arksinus: th = 2*arcsin(½*m/R).

Markaziy burchak inqilobning fraktsiyalarida yoki aylantirilgan burchakdan ko'rsatilishi mumkin. Misol uchun, agar siz to'liq aylanishning to'rtdan biriga mos keladigan markaziy burchakni topishingiz kerak bo'lsa, 360 ° ni to'rtga bo'ling: th = 360 ° / 4 = 90 °. Radianlarda bir xil qiymat 2*p/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57 bo'lishi kerak. Ochilmagan burchak to'liq inqilobning yarmiga teng, shuning uchun, masalan, uning to'rtdan biriga to'g'ri keladigan markaziy burchak ikkala daraja va radianda yuqorida hisoblangan qiymatlarning yarmiga teng bo'ladi.

Sinusning teskarisi trigonometrik funktsiya deyiladi arksinus. U Pi sonining yarmida ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. salbiy tomoni radianlarda o'lchanganda. Darajalarda o'lchanganda, bu qiymatlar mos ravishda -90 ° dan +90 ° gacha bo'ladi.

Ko'rsatmalar

Ba'zi "dumaloq" qiymatlarni hisoblashning hojati yo'q, ularni eslab qolish osonroq; Masalan: - funktsiya argumenti nolga teng bo'lsa, uning yoyi ham nolga teng - 1/2 ga teng 30° yoki 1/6 Pi, -1/2 ning yoyi -30°; yoki Pi sonidan -1/ 6 - 1 ning yoyi radiandagi Pi sonining 1/2 qismiga teng; -1 ning yoyi -90° yoki -1/2 ga teng; radiandagi Pi soni;

Ushbu funktsiyaning qiymatlarini boshqa argumentlardan o'lchashning eng oson yo'li, agar qo'lingizda bo'lsa, standart Windows kalkulyatoridan foydalanishdir. Boshlash uchun "Ishga tushirish" tugmachasidagi asosiy menyuni oching (yoki WIN tugmachasini bosib), "Barcha dasturlar" bo'limiga, so'ngra "Aksessuarlar" bo'limiga o'ting va "Kalkulyator" ni bosing.

Kalkulyator interfeysini hisoblash imkonini beruvchi ish rejimiga o'tkazing trigonometrik funktsiyalar. Buning uchun uning menyusidagi "Ko'rish" bo'limini oching va "Muhandislik" yoki "Ilmiy" ni tanlang (turiga qarab). operatsion tizim).

Arktangentni hisoblash kerak bo'lgan argumentning qiymatini kiriting. Buni kalkulyator interfeysidagi tugmalarni sichqoncha bilan bosish yoki tugmachalarni bosish yoki qiymatni (CTRL + C) nusxalash va keyin uni (CTRL + V) kalkulyatorning kiritish maydoniga joylashtirish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Funktsiyani hisoblash natijasini olishingiz kerak bo'lgan o'lchov birliklarini tanlang. Kirish maydoni ostida uchta variant mavjud, ulardan birini tanlash kerak (sichqoncha bilan bosish orqali) - , radian yoki rad.

Kalkulyator interfeysi tugmalarida ko'rsatilgan funktsiyalarni o'zgartiradigan katakchani belgilang. Uning yonida Inv degan qisqa yozuv bor.

Gunoh tugmasini bosing. Kalkulyator u bilan bog'liq funktsiyani o'zgartiradi, hisob-kitobni amalga oshiradi va natijani belgilangan birliklarda sizga taqdim etadi.

Mavzu bo'yicha video

Keng tarqalgan geometrik muammolardan biri aylana segmentining maydonini - aylananing akkord bilan chegaralangan qismini va tegishli akkordni aylana yoyi bilan hisoblashdir.

Dumaloq segmentning maydoni tegishli dumaloq sektorning maydoni va segmentga mos keladigan sektor radiuslari va segmentni cheklovchi akkord tomonidan hosil qilingan uchburchakning maydoni o'rtasidagi farqga teng.

1-misol

Doira bo'ylab cho'zilgan akkord uzunligi a qiymatiga teng. Akkordga mos keladigan yoyning daraja o'lchovi 60 ° dir. Dumaloq segmentning maydonini toping.

Yechim

Ikki radius va akkorddan hosil bo'lgan uchburchak teng yonli bo'ladi, shuning uchun markaziy burchakning cho'qqisidan akkord hosil qilgan uchburchakning yon tomoniga chizilgan balandlik ham markaziy burchakning bissektrisasi bo'lib, uni yarmiga bo'ladi va median, akkordni yarmiga bo'lish. Burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng ekanligini bilib, biz radiusni hisoblashimiz mumkin:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = pR²/360°*60° = pA²/6

S▲=1/2*ah, bu erda h - markaziy burchakning cho'qqisidan akkordgacha chizilgan balandlik. Pifagor teoremasiga ko'ra h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Shunga ko'ra, S▲=√3/4*a².

Sreg = Sc - S▲ sifatida hisoblangan segmentning maydoni quyidagilarga teng:

Sreg = p a²/6 - √3/4*a²

A qiymatiga raqamli qiymatni qo'yish orqali siz segment maydonining raqamli qiymatini osongina hisoblashingiz mumkin.

2-misol

Doira radiusi a ga teng. Segmentga mos keladigan yoyning daraja o'lchovi 60 ° dir. Dumaloq segmentning maydonini toping.

Yechim:

Tegishli sektor maydoni berilgan burchak quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Sc = πa²/360°*60° = pA²/6,

Sektorga mos keladigan uchburchakning maydoni quyidagicha hisoblanadi:

S▲=1/2*ah, bu erda h - markaziy burchakning cho'qqisidan akkordgacha chizilgan balandlik. Pifagor teoremasiga ko'ra h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Shunga ko'ra, S▲=√3/4*a².

Va nihoyat, Sreg = Sc - S▲ sifatida hisoblangan segmentning maydoni quyidagilarga teng:

Sreg = p a²/6 - √3/4*a².

Ikkala holatda ham echimlar deyarli bir xil. Shunday qilib, biz eng oddiy holatda segmentning maydonini hisoblash uchun segment yoyiga mos keladigan burchak qiymatini va ikkita parametrdan birini - aylananing radiusini yoki segmentni tashkil etuvchi aylananing yoyi bo'ylab cho'zilgan akkord uzunligi.

Manbalar:

• Segment - geometriya

ABC burchagi - bu chizilgan burchak. U yon tomonlari orasiga o'ralgan AC yoyi ustida joylashgan (330-rasm).

Teorema. Yozilgan burchak o'lchanadigan yoyning yarmi bilan o'lchanadi.

Buni shunday tushunish kerak: chizilgan burchak o'zi joylashgan yoyning yarmida qancha yoy darajalari, daqiqalar va soniyalar mavjud bo'lsa, shunchalik burchak darajalari, daqiqalar va soniyalarni o'z ichiga oladi.

Ushbu teoremani isbotlashda uchta holatni ko'rib chiqish kerak.

Birinchi holat. Doira markazi chizilgan burchak tomonida yotadi (331-rasm).

∠ABC chizilgan burchak bo'lsin va O doiraning markazi BC tomonda bo'lsin. Uning yarim yoy AC bilan o'lchanganligini isbotlash talab qilinadi.

A nuqtani aylananing markaziga tutashtiramiz. Xuddi shu aylana radiuslari sifatida AO = OB bo'lgan teng yon tomonli \(\Delta\)AOBni olamiz. Shuning uchun, ∠A = ∠B.

∠AOC AOB uchburchagi uchun tashqidir, shuning uchun ∠AOC = ∠A + ∠B va A va B burchaklar teng boʻlgani uchun ∠B 1/2 ∠AOC boʻladi.

Ammo ∠AOC AC yoyi bilan o'lchanadi, shuning uchun ∠B AC yoyining yarmi bilan o'lchanadi.

Masalan, agar \(\breve(AC)\) 60°18' ni o'z ichiga olsa, u holda ∠B 30°9' ni o'z ichiga oladi.

Ikkinchi holat. Doira markazi chizilgan burchakning yon tomonlari orasida joylashgan (332-rasm).

∠ABD chizilgan burchak bo'lsin. O doiraning markazi uning tomonlari orasida joylashgan. ∠ABD AD yoyining yarmi bilan o'lchanganligini isbotlashimiz kerak.

Buni isbotlash uchun BC diametrini chizamiz. ABD burchagi ikki burchakka bo'linadi: ∠1 va ∠2.

∠1 yarim AC yoyi bilan, ∠2 esa CD yarim yoyi bilan o'lchanadi, shuning uchun butun ∠ABD 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve) bilan o'lchanadi. (CD)\), ya'ni yarim yoy AD.

Masalan, agar \(\breve(AD)\) 124° ni o'z ichiga olsa, ∠B 62° ni o'z ichiga oladi.

Uchinchi holat. Doira markazi chizilgan burchakdan tashqarida yotadi (333-rasm).

∠MAD chizilgan burchak bo'lsin. O doiraning markazi burchakdan tashqarida. ∠MAD MD yoyining yarmi bilan o'lchanganini isbotlashimiz kerak.

Buni isbotlash uchun AB diametrini chizamiz. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Lekin ∠MAB 1/2 \(\breve(MB)\), ∠DAB esa 1/2 \(\breve(DB)\) ni oʻlchaydi.

Shuning uchun ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), ya'ni 1/2 \(\breve(MD)\) ni o'lchaydi.

Masalan, agar \(\breve(MD)\) 48° 38" ni o'z ichiga olsa, ∠MAD 24° 19' 8" ni o'z ichiga oladi.

Oqibatlari
1. Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi barcha chizilgan burchaklar bir-biriga teng, chunki ular bir xil yoyning yarmi bilan o'lchanadi. (334-rasm, a).

2. Diametri bo'ylab chizilgan burchak to'g'ri burchakdir, chunki u yarim doira ichida joylashgan. Yarim doira 180 yoy gradusni o'z ichiga oladi, ya'ni diametrga asoslangan burchak 90 yoy gradusni o'z ichiga oladi (334-rasm, b).