Hatto funktsiya.

Hatto ishorasi o‘zgarganda belgisi o‘zgarmaydigan funksiyadir x.

x tenglik amal qiladi f(–x) = f(x). Imzo x belgisiga ta'sir qilmaydi y.

Juft funksiya grafigi koordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir (1-rasm).

Juft funksiyaga misollar:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Tushuntirish:
Funktsiyani olaylik y = x 2 yoki y = –x 2 .
Har qanday qiymat uchun x funktsiya ijobiydir. Imzo x belgisiga ta'sir qilmaydi y. Grafik koordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir. Bu teng funksiya.

G'alati funktsiya.

G'alati ishorasi oʻzgarganda belgisi oʻzgaradigan funksiyadir x.

Boshqacha qilib aytganda, har qanday qiymat uchun x tenglik amal qiladi f(–x) = –f(x).

Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir (2-rasm).

G'alati funktsiyaga misollar:

y= gunoh x

y = x 3

y = –x 3

Tushuntirish:

y = – funksiyasini olaylik. x 3 .
Barcha ma'nolar da u minus belgisiga ega bo'ladi. Bu belgi x belgisiga ta'sir qiladi y. Agar mustaqil o'zgaruvchi musbat son bo'lsa, funktsiya musbat, agar mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa salbiy raqam, u holda funktsiya manfiy bo'ladi: f(–x) = –f(x).
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir. Bu g'alati funktsiya.

Juft va toq funksiyalarning xossalari:

ESLATMA:

Barcha funktsiyalar juft yoki toq emas. Bunday gradatsiyaga bo'ysunmaydigan funktsiyalar mavjud. Masalan, ildiz funktsiyasi da = √X juft yoki toq funksiyalarga taalluqli emas (3-rasm). Bunday funktsiyalarning xususiyatlarini sanab o'tishda tegishli tavsif berilishi kerak: na juft, na toq.

Davriy funktsiyalar.

Ma'lumki, davriylik - muayyan jarayonlarning ma'lum bir vaqt oralig'ida takrorlanishi. Ushbu jarayonlarni tavsiflovchi funktsiyalar deyiladi davriy funktsiyalar. Ya'ni, bu grafiklarida ma'lum sonli intervallarda takrorlanadigan elementlar mavjud bo'lgan funktsiyalardir.

Funksiyaning juftligi va toqligi uning asosiy xususiyatlaridan biri boʻlib, tenglik maktab matematika kursining taʼsirchan qismini egallaydi. U asosan funktsiyaning harakatini aniqlaydi va tegishli grafikni qurishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Funktsiyaning paritetini aniqlaymiz. Umuman olganda, o'rganilayotgan funktsiya uning ta'rif sohasida joylashgan (x) mustaqil o'zgaruvchining qarama-qarshi qiymatlari uchun y (funktsiya) ning mos qiymatlari teng bo'lsa ham hisoblanadi.

Keling, yanada qattiqroq ta'rif beraylik. D domenida aniqlangan ba'zi f (x) funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ta'rif sohasida joylashgan har qanday x nuqta uchun ham shunday bo'ladi:

• -x (qarama-qarshi nuqta) ham shu doirada yotadi,

• f(-x) = f(x).

Yuqoridagi ta'rifdan bunday funktsiyaning aniqlanish sohasi uchun zarur bo'lgan shart, ya'ni koordinatalarning boshi bo'lgan O nuqtaga nisbatan simmetriya kelib chiqadi, chunki agar biron bir b nuqta juftlikni aniqlash sohasida mavjud bo'lsa. funktsiyasi bo'lsa, tegishli b nuqtasi ham shu sohada yotadi. Demak, yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi: juft funksiya ordinata o‘qiga (Oy) nisbatan simmetrik shaklga ega.

Funksiyaning pariteti amalda qanday aniqlanadi?

U h(x)=11^x+11^(-x) formulasi yordamida aniqlansin. To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadigan algoritmga rioya qilib, biz birinchi navbatda uning ta'rif sohasini ko'rib chiqamiz. Shubhasiz, u argumentning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, ya'ni birinchi shart bajariladi.

Keyingi qadam (x) argumentiga qarama-qarshi qiymatni (-x) almashtirishdir.
Biz olamiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Qo'shish kommutativ (kommutativ) qonunni qanoatlantirganligi sababli, h(-x) = h(x) va berilgan funksional bog'liqlik juft ekanligi aniq.

h(x)=11^x-11^(-x) funksiyaning paritetini tekshiramiz. Xuddi shu algoritmga amal qilib, h(-x) = 11^(-x) -11^x ni olamiz. Minusni olib tashlasak, oxir-oqibat bizda bor
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Shuning uchun h(x) toqdir.

Aytgancha, bu mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin bo'lmagan funktsiyalar mavjudligini esga olish kerak, ular na juft, na toq deb nomlanadi;

Hatto funktsiyalar bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega:

• shunga o'xshash funktsiyalarni qo'shish natijasida ular teng bo'ladi;
• bunday funktsiyalarni ayirish natijasida juftlik olinadi;
• hatto, ham, hatto;
• ikkita bunday funktsiyani ko'paytirish natijasida juftlik olinadi;
• toq va juft funktsiyalarni ko'paytirish natijasida toq olinadi;
• toq va juft funksiyalarni ajratish natijasida toq funksiya olinadi;
• bunday funktsiyaning hosilasi toq;
• Agar siz toq funktsiyani kvadratga aylantirsangiz, siz juftlikni olasiz.

Tenglamalarni yechish uchun funksiya paritetidan foydalanish mumkin.

g(x) = 0 kabi tenglamani yechish uchun, bu yerda chap tomoni tenglama juft funktsiya bo'lib, o'zgaruvchining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun uning echimlarini topish uchun etarli bo'ladi. Tenglamaning hosil bo'lgan ildizlari qarama-qarshi sonlar bilan birlashtirilishi kerak. Ulardan biri tekshirilishi kerak.

Bu parametr bilan nostandart muammolarni hal qilish uchun ham muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Masalan, 2x^6-x^4-ax^2=1 tenglama uchta ildizga ega bo'ladigan a parametrining qiymati bormi?

Agar o‘zgaruvchi tenglamaga juft darajalarda kirishini hisobga olsak, u holda x o‘rnini - x bilan almashtirish berilgan tenglamani o‘zgartirmasligi aniq. Bundan kelib chiqadiki, agar ma'lum bir son uning ildizi bo'lsa, qarama-qarshi son ham ildizdir. Xulosa ravshan: noldan farq qiladigan tenglamaning ildizlari uning yechimlari to'plamiga "juft bo'lib" kiritilgan.

Raqamning o'zi 0 emasligi aniq, ya'ni bunday tenglamaning ildizlari soni faqat juft bo'lishi mumkin va tabiiyki, parametrning har qanday qiymati uchun uning uchta ildizi bo'lishi mumkin emas.

Lekin 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 tenglamaning ildizlari soni toq boʻlishi mumkin va parametrning istalgan qiymati uchun. Darhaqiqat, ushbu tenglamaning ildizlari to'plamida "juftlik" echimlari mavjudligini tekshirish oson. Keling, 0 ning ildiz ekanligini tekshiramiz. Uni tenglamaga almashtirsak, 2=2 ni olamiz. Shunday qilib, "juftlangan"lardan tashqari, 0 ham ildiz bo'lib, ularning toq sonini tasdiqlaydi.

hatto, agar barcha \(x\) ta'rif sohasi uchun quyidagi to'g'ri bo'lsa: \(f(-x)=f(x)\) .

Juft funksiya grafigi \(y\) o‘qiga nisbatan simmetrikdir:

Misol: \(f(x)=x^2+\cos x\) funksiyasi juft, chunki \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasi chaqiriladi g'alati, agar barcha \(x\) ta'rif sohasi uchun quyidagi to'g'ri bo'lsa: \(f(-x)=-f(x)\) .

Toq funksiyaning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir:

Misol: \(f(x)=x^3+x\) funktsiyasi g'alati, chunki \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktrianglerright\) Juft va toq bo lmagan funksiyalar funksiyalar deyiladi umumiy ko'rinish. Bunday funktsiya har doim yagona va toq funksiyalarning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Masalan, \(f(x)=x^2-x\) funksiya juft funksiya \(f_1=x^2\) va toq \(f_2=-x\) ning yig'indisidir.

\(\blacktrianglerright\) Ba'zi xususiyatlar:

1) Bir xil paritetli ikkita funktsiyaning ko'paytmasi va qismi juft funktsiyadir.

2) Har xil paritetli ikkita funktsiyaning ko'paytmasi va qismi toq funktsiyadir.

3) Juft funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi juft funksiyadir.

4) Toq funksiyalar yig‘indisi va ayirmasi - toq funksiya.

5) Agar \(f(x)\) juft funksiya boʻlsa, u holda \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) tenglama yagona ildizga ega boʻladi, agar faqat \( x =0\).

6) Agar \(f(x)\) juft yoki toq funksiya boʻlsa va \(f(x)=0\) tenglamaning ildizi \(x=b\) boʻlsa, bu tenglama albatta sekundga ega boʻladi. ildiz \(x =-b\) .

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasi \(X\) da davriy deyiladi, agar ba'zi bir son \(T\ne 0\) uchun quyidagi amal bajarsa: \(f(x)=f( x+T) \) , bu yerda \(x, x+T\da X\) . Bu tenglik bajariladigan eng kichik \(T\) funksiyaning asosiy (asosiy) davri deyiladi.

Davriy funksiya \(nT\) ko'rinishidagi istalgan raqamga ega bo'lib, bu erda \(n\in \mathbb(Z)\) ham nuqta bo'ladi.

Misol: har qanday trigonometrik funktsiya davriy;
\(f(x)=\sin x\) va \(f(x)=\cos x\) funktsiyalari uchun asosiy davr \(2\pi\) ga, \(f(x) funksiyalari uchun )=\mathrm( tg)\,x\) va \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) asosiy davr \(\pi\) ga teng.

Davriy funktsiyaning grafigini qurish uchun uning grafigini uzunligi \(T\) (asosiy davr) bo'lgan istalgan segmentga chizish mumkin; keyin butun funktsiyaning grafigi tuzilgan qismni butun sonli davrlarga o'ngga va chapga siljitish bilan yakunlanadi:

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasining \(D(f)\) domeni \(x\) argumentining barcha qiymatlaridan tashkil topgan toʻplam boʻlib, ular uchun funktsiya mantiqiy boʻladi. (aniqlangan).

Misol: \(f(x)=\sqrt x+1\) funksiyasi aniqlanish sohasiga ega: \(x\in)

1-topshiriq №6364

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(a\) parametrining qaysi qiymatlarida tenglama bajariladi

bitta yechim bormi?

E'tibor bering, \(x^2\) va \(\cos x\) juft funksiyalar bo'lganligi sababli, tenglamaning ildizi \(x_0\) bo'lsa, u ham \(-x_0\) ildiziga ega bo'ladi.
Darhaqiqat, \(x_0\) ildiz, ya'ni tenglik bo'lsin \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) to'g'ri. \(-x_0\) ni almashtiramiz: \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Shunday qilib, agar \(x_0\ne 0\) bo'lsa, tenglama allaqachon kamida ikkita ildizga ega bo'ladi. Shuning uchun, \(x_0=0\) . Keyin:

Biz parametr uchun ikkita qiymat oldik \(a\) . E'tibor bering, biz \(x=0\) asl tenglamaning aynan ildizi ekanligidan foydalandik. Ammo biz uning yagona ekanligidan hech qachon foydalanmadik. Shuning uchun, siz \(a\) parametrining natijaviy qiymatlarini asl tenglamaga almashtirishingiz va qaysi aniq \(a\) ildiz \(x=0\) haqiqatan ham noyob bo'lishini tekshirishingiz kerak.

1) Agar \(a=0\) boʻlsa, tenglama \(2x^2=0\) koʻrinishini oladi. Shubhasiz, bu tenglama faqat bitta ildizga ega \(x=0\) . Shuning uchun \(a=0\) qiymati bizga mos keladi.

2) Agar \(a=-\mathrm(tg)\,1\) boʻlsa, tenglama koʻrinishga ega boʻladi. \ Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz \ Chunki \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Bu \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Shunday qilib, tenglamaning o'ng tomonining qiymatlari (*) segmentga tegishli \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

\(x^2\geqslant 0\) boʻlgani uchun (*) tenglamaning chap tomoni \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) dan katta yoki teng boʻladi.

Shunday qilib, tenglik (*) tenglamaning ikkala tomoni \(\mathrm(tg)^2\,1\) ga teng bo'lgandagina bajarilishi mumkin. Va bu shuni anglatadiki \[\begin(holatlar) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(holatlar) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(holatlar) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(holatlar)\to'rtta\Chapga o'q\to'rtlik x=0\] Shuning uchun \(a=-\mathrm(tg)\,1\) qiymati bizga mos keladi.

Javob:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2-topshiriq №3923

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(a\) parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun funktsiya grafigi \

kelib chiqishiga nisbatan simmetrik.

Agar funktsiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo'lsa, unda bunday funktsiya toq bo'ladi, ya'ni sohadan istalgan \(x\) uchun \(f(-x)=-f(x)\) amal qiladi. funktsiyaning ta'rifi. Shunday qilib, \(f(-x)=-f(x).\) bo'lgan parametr qiymatlarini topish talab qilinadi.

\[\begin(hizalangan) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\o'ng)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\o'ng)\to'rtlik \O'ng strelka\to'rt -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\o'ng)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\o'ng) \to'rtlik \O'ng strelka\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \to'rtta \O'ng strelka \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\o'ng)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \to'rt \o'ngga\to'rt \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(hizalangan)\]

Oxirgi tenglama \(f(x)\) domenidagi barcha \(x\) uchun bajarilishi kerak, shuning uchun, \(\sin(2\pi a)=0 \O'ng strelka a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Javob:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

3-topshiriq №3069

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun \ tenglama 4 ta yechimga ega, bu erda \(f\) davri \(T=\dfrac(16)3\) bilan teng davriy funktsiyadir. butun son qatorida aniqlangan va \(f(x)=ax^2\) uchun \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Abonentlardan topshiriq)

\(f(x)\) juft funksiya boʻlgani uchun uning grafigi ordinata oʻqiga nisbatan simmetrik boʻladi, demak, qachon \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Shunday qilib, qachon \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), va bu uzunlik segmenti \(\dfrac(16)3\) , funksiya \(f(x)=ax^2\) .

1) \(a>0\) bo'lsin. U holda \(f(x)\) funksiyaning grafigi quyidagicha bo'ladi:


Keyin tenglama 4 ta yechimga ega bo'lishi uchun \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) grafigi \(A\) nuqtadan o'tishi kerak:


Demak, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &9(a+2)=32a\\ &9(a) +2)=-32a\end(hizalangan)\end(to'plangan)\o'ng. \quad\Chap o'ng o'q\to'rt \chap[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(hizalangan) \end( yig'ildi)\to'g'ri.\] Chunki \(a>0\) , u holda \(a=\dfrac(18)(23)\) mos keladi.

2) \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


\(g(x)\) grafigi \(B\) nuqtadan o'tishi kerak: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Chapga o'q\quad \chap[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(hizalangan) \end(yig'ilgan)\o'ng.\] Chunki \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) \(a=0\) mos kelmaydigan holat, shundan beri \(f(x)=0\) hamma uchun \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) va tenglama faqat 1 ta ildizga ega bo'ladi.

Javob:

\(a\in \chap\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\o'ng\)\)

4-topshiriq №3072

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(a\) ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglama \

kamida bitta ildizga ega.

(Abonentlardan topshiriq)

Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz \ va ikkita funktsiyani ko'rib chiqing: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) va \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
\(g(x)\) funksiyasi juft va minimal nuqtaga ega \(x=0\) (va \(g(0)=49\) ).
\(x>0\) uchun \(f(x)\) funksiyasi kamayib bormoqda va \(x) uchun<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Haqiqatan ham, \(x>0\) ikkinchi modul ijobiy ochilganda (\(|x|=x\) ), shuning uchun birinchi modul qanday ochilishidan qat'i nazar, \(f(x)\) teng bo'ladi. \( kx+A\) ga, bu erda \(A\) \(a\) ifodasi va \(k\) \(-9\) yoki \(-3\) ga teng. Qachon \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Maksimal nuqtadagi \(f\) qiymatini topamiz: \

Tenglama kamida bitta yechimga ega bo'lishi uchun \(f\) va \(g\) funksiyalarning grafiklari kamida bitta kesishish nuqtasiga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun sizga kerak: \ \\]

Javob:

\(a\\(-7\)\kupada\)

5-topshiriq №3912

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun tenglama \

olti xil yechimga ega.

Almashtiramiz \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Keyin tenglama shaklni oladi \ Biz asta-sekin dastlabki tenglama oltita yechimga ega bo'lgan shartlarni yozamiz.
E'tibor bering, kvadrat tenglama \((*)\) maksimal ikkita yechimga ega bo'lishi mumkin. Har qanday kub tenglama \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) uchtadan koʻp boʻlmagan yechimga ega boʻlishi mumkin. Shuning uchun, agar \((*)\) tenglama ikki xil yechimga ega bo'lsa (musbat!, chunki \(t\) noldan katta bo'lishi kerak) \(t_1\) va \(t_2\) , u holda teskarisini qilish orqali. almashtirish, biz olamiz: \[\left[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2) +4)=t_2\end(hizalangan)\end(yig'ilgan)\o'ng.\] Har qanday musbat son ma'lum darajada \(\sqrt2\) shaklida ifodalanishi mumkinligi sababli, masalan, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), keyin to'plamning birinchi tenglamasi shaklda qayta yoziladi \ Yuqorida aytib o'tganimizdek, har qanday kub tenglama uchtadan ko'p bo'lmagan yechimga ega, shuning uchun to'plamdagi har bir tenglama uchtadan ko'p bo'lmagan yechimga ega bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, butun to'plam oltitadan ko'p bo'lmagan echimlarga ega bo'ladi.
Bu shuni anglatadiki, dastlabki tenglama oltita yechimga ega bo'lishi uchun \((*)\) kvadrat tenglama ikki xil yechimga ega bo'lishi kerak va har bir natijada olingan kub tenglama (to'plamdan) uchta turli echimga ega bo'lishi kerak (va bitta yechim emas bitta tenglama har qanday tenglamaga to'g'ri kelishi kerak - ikkinchisining qaroriga ko'ra!)
Shubhasiz, agar \((*)\) kvadrat tenglama bitta yechimga ega bo'lsa, u holda biz dastlabki tenglamaning oltita yechimini olmaymiz.

Shunday qilib, yechim rejasi aniq bo'ladi. Keling, bajarilishi kerak bo'lgan shartlarni nuqtama-nuqta yozamiz.

1) \((*)\) tenglama ikki xil yechimga ega boʻlishi uchun uning diskriminanti ijobiy boʻlishi kerak: \

2) Bundan tashqari, ikkala ildiz ham ijobiy bo'lishi kerak (chunki \(t>0\) ). Agar ikkita ildizning ko'paytmasi ijobiy bo'lsa va ularning yig'indisi ijobiy bo'lsa, unda ildizlarning o'zi ijobiy bo'ladi. Shuning uchun sizga kerak: \[\begin(holatlar) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(holatlar)\to'rt\chap o'ng o'q\to'rt a<10\]

Shunday qilib, biz o'zimizni ikki xil ijobiy ildiz bilan ta'minladik \(t_1\) va \(t_2\) .

3) Keling, ushbu tenglamani ko'rib chiqaylik \ Nima uchun \(t\) uch xil yechimga ega bo'ladi?
\(f(x)=x^3-3x^2+4\) funktsiyasini ko'rib chiqing.
Faktorlarga ajratish mumkin: \ Shuning uchun uning nollari: \(x=-1;2\) .
Agar \(f"(x)=3x^2-6x\) hosilasini topsak, u holda ikkita ekstremum nuqtani olamiz \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Shunday qilib, grafik quyidagicha ko'rinadi:


Biz har qanday gorizontal chiziq \(y=k\) ekanligini ko'ramiz, bu erda \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) uch xil yechimga ega bo'lsa, \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Shunday qilib, sizga kerak: \[\begin(holatlar) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Darhol shuni ta'kidlaymizki, agar \(t_1\) va \(t_2\) raqamlari boshqacha bo'lsa, \(\log_(\sqrt2)t_1\) va \(\log_(\sqrt2)t_2\) raqamlari bo'ladi. har xil, bu tenglamalarni bildiradi \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Va \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) turli ildizlarga ega bo'ladi.
Tizim \((**)\) quyidagicha qayta yozilishi mumkin: \[\begin(holatlar) 1

Shunday qilib, \((*)\) tenglamaning ikkala ildizi \((1;4)\) oraliqda yotishi kerakligini aniqladik. Bu shartni qanday yozish kerak?
Biz ildizlarni aniq yozmaymiz.
\(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) funksiyasini ko'rib chiqaylik. Uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'lib, u x o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega (biz bu shartni 1-bandda yozganmiz)). X o'qi bilan kesishish nuqtalari \((1;4)\) oralig'ida bo'lishi uchun uning grafigi qanday bo'lishi kerak? Shunday qilib:


Birinchidan, \(1\) va \(4\) nuqtalardagi funksiyaning \(g(1)\) va \(g(4)\) qiymatlari musbat bo‘lishi kerak, ikkinchidan, \(t_0\ ) parabola ham \((1;4)\) oralig'ida bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz tizimni yozishimiz mumkin: \[\begin(holatlar) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) har doim kamida bitta ildizga ega \(x=0\) . Demak, masalaning shartlarini bajarish uchun tenglama zarur \

arifmetik progressiyani \(x=0\) bilan ifodalovchi noldan farqli to'rt xil ildizga ega edi.

E'tibor bering, \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) juft bo'lib, ya'ni agar \(x_0\) tenglamaning ildizi bo'lsa \( (*)\ ), keyin \(-x_0\) ham uning ildizi bo'ladi. Keyin bu tenglamaning ildizlari o'sish tartibida tartiblangan sonlar bo'lishi kerak: \(-2d, -d, d, 2d\) (keyin \(d>0\)). Aynan shu besh raqam arifmetik progressiya hosil qiladi (farq \(d\) bilan).

Bu ildizlar \(-2d, -d, d, 2d\) raqamlari bo'lishi uchun \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) raqamlarining ildizlari bo'lishi kerak. tenglama \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Keyin, Veta teoremasiga ko'ra:

Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz \ va ikkita funktsiyani ko'rib chiqing: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) va \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
\(g(x)\) funksiyasi maksimal nuqtaga ega \(x=0\) (va \(g_(\matn(yuqori))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nol hosilasi: \(x=0\) . Qachon \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) uchun: \(g"<0\) .
\(x>0\) uchun \(f(x)\) funksiyasi ortib bormoqda va \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Haqiqatan ham, \(x>0\) birinchi modul ijobiy ochilganda (\(|x|=x\)), shuning uchun ikkinchi modul qanday ochilishidan qat'i nazar, \(f(x)\) teng bo'ladi. \( kx+A\) ga, bu yerda \(A\) \(a\) ifodasi va \(k\) \(13-10=3\) yoki \(13+10) ga teng. =23\). Qachon \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Minimal nuqtadagi \(f\) qiymatini topamiz: \

Tenglama kamida bitta yechimga ega bo'lishi uchun \(f\) va \(g\) funksiyalarning grafiklari kamida bitta kesishish nuqtasiga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun sizga kerak: \ Ushbu tizimlar to'plamini hal qilib, biz javob olamiz: \\]

Javob:

\(a\\(-2\)\kupada\)

Grafiklarni konvertatsiya qilish.

Funktsiyaning og'zaki tavsifi.

Grafik usul.

Funktsiyani belgilashning grafik usuli eng ko'p ingl va texnologiyada ko'pincha qo'llaniladi. Matematik tahlilda illyustratsiya sifatida funksiyalarni belgilashning grafik usuli qo'llaniladi.

Funktsiya grafigi f - koordinata tekisligining barcha nuqtalari (x;y) to'plami, bu erda y=f(x) va x bu funktsiyani aniqlashning butun sohasi bo'ylab "o'tadi".

Koordinata tekisligining kichik to‘plami, agar funksiyaning Oy o‘qiga parallel bo‘lgan har qanday to‘g‘ri chiziqli bittadan ortiq umumiy nuqtaga ega bo‘lmasa, grafigi hisoblanadi.

Misol. Quyida ko'rsatilgan raqamlar funksiyalar grafiklarimi?

Grafik vazifaning afzalligi uning aniqligidir. Funktsiya qanday harakat qilishini, qayerda ko'payishini va qayerda kamayishini darhol ko'rishingiz mumkin. Grafikdan siz darhol funktsiyaning ba'zi muhim xususiyatlarini bilib olishingiz mumkin.

Umuman olganda, funktsiyani aniqlashning analitik va grafik usullari yonma-yon boradi. Formula bilan ishlash grafik tuzishga yordam beradi. Grafik ko'pincha formulada sezilmaydigan echimlarni taklif qiladi.

Deyarli har qanday talaba biz ko'rib chiqqan funktsiyani aniqlashning uchta usulini biladi.

Keling, savolga javob berishga harakat qilaylik: "Funksiyani aniqlashning boshqa usullari bormi?"

Bunday yo'l bor.

Funktsiyani so'zlar bilan aniq belgilash mumkin.

Masalan, y=2x funksiyani quyidagi og'zaki tavsif orqali ko'rsatish mumkin: x argumentining har bir haqiqiy qiymati uning qo'sh qiymati bilan bog'langan. Qoida o'rnatiladi, funksiya ko'rsatiladi.

Bundan tashqari, siz formuladan foydalanib aniqlash juda qiyin, agar imkonsiz bo'lmasa, og'zaki funktsiyani belgilashingiz mumkin.

Masalan: x natural argumentining har bir qiymati x qiymatini tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi bilan bog'langan. Masalan, agar x=3 bo'lsa, u holda y=3. Agar x=257 bo'lsa, y=2+5+7=14. Va hokazo. Buni formulada yozish muammoli. Lekin belgini yasash oson.

Og'zaki tasvirlash usuli juda kam qo'llaniladigan usuldir. Lekin ba'zida shunday bo'ladi.

Agar x va y o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik qonuni mavjud bo'lsa, u holda funktsiya mavjud. Qaysi qonun, qanday shaklda ifodalanganligi - formula, planshet, grafik, so'zlar - masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi.

Ta'rif sohalari kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lgan funksiyalarni ko'rib chiqaylik, ya'ni. har kim uchun X ta'riflar soni domenidan (- X) taʼrif sohasiga ham tegishli. Bu funktsiyalar orasida juft va toq.

Ta'rif. f funktsiyasi chaqiriladi hatto, agar mavjud bo'lsa X uning ta'rif sohasidan

Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing

Bu teng. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.

Har kim uchun X tengliklari qondiriladi

Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funksiya juft bo'ladi. Quyida ushbu funktsiyaning grafigi keltirilgan.

Ta'rif. f funktsiyasi chaqiriladi g'alati, agar mavjud bo'lsa X uning ta'rif sohasidan

Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing

Bu g'alati. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.

Ta'rif sohasi butun sonli o'qdir, ya'ni u (0;0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir.

Har kim uchun X tengliklari qondiriladi

Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funktsiya g'alati. Quyida ushbu funktsiyaning grafigi keltirilgan.

Birinchi va uchinchi rasmlarda ko'rsatilgan grafiklar ordinata o'qiga nisbatan simmetrik, ikkinchi va to'rtinchi rasmlarda ko'rsatilgan grafiklar esa koordinata bo'yicha simmetrikdir.

Rasmlarda grafiklari ko'rsatilgan funksiyalarning qaysi biri juft, qaysi biri toq?

Namoyishni yashirish

Funktsiyani belgilash usullari

Funktsiya quyidagi formula bilan berilgan bo'lsin: y=2x^(2)-3. X mustaqil o'zgaruvchiga har qanday qiymatlarni belgilash orqali siz ushbu formuladan foydalanib, y bog'liq o'zgaruvchining mos keladigan qiymatlarini hisoblashingiz mumkin. Masalan, agar x=-0,5 bo'lsa, formuladan foydalanib, y ning mos keladigan qiymati y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 ekanligini topamiz.

y=2x^(2)-3 formulada x argumenti tomonidan qabul qilingan istalgan qiymatni olib, unga mos keladigan funksiyaning faqat bitta qiymatini hisoblashingiz mumkin. Funktsiyani jadval shaklida ko'rsatish mumkin:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Ushbu jadvaldan foydalanib, argument qiymati -1 uchun -3 funktsiya qiymati mos kelishini ko'rishingiz mumkin; x=2 qiymati esa y=0 ga mos keladi va hokazo. Jadvaldagi har bir argument qiymati faqat bitta funktsiya qiymatiga mos kelishini bilish ham muhimdir.

Grafiklar yordamida ko'proq funktsiyalarni belgilash mumkin. Grafik yordamida funktsiyaning qaysi qiymati ma'lum bir x qiymati bilan bog'liqligi aniqlanadi. Ko'pincha, bu funktsiyaning taxminiy qiymati bo'ladi.

Juft va toq funksiya

Funktsiya shunday hatto funktsiya, qachonki f(-x)=f(x) taʼrif sohasidan istalgan x uchun. Bunday funktsiya Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Funktsiya shunday g'alati funktsiya, qachonki f(-x)=-f(x) aniqlanish sohasidan istalgan x uchun. Bunday funktsiya O (0;0) kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Funktsiya shunday hatto emas, g'alati ham emas va deyiladi umumiy funktsiya, u o'q yoki kelib chiqishiga nisbatan simmetriyaga ega bo'lmaganda.

Paritet uchun quyidagi funktsiyani ko'rib chiqamiz:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) kelib chiqishiga nisbatan nosimmetrik aniqlash sohasi bilan. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Bu f(x)=3x^(3)-7x^(7) funksiya toq ekanligini bildiradi.

Davriy funktsiya

Istalgan x uchun f(x+T)=f(x-T)=f(x) tengligi o‘z sohasi bo‘yicha bajariladigan y=f(x) funksiya deyiladi. davriy funktsiya T davri bilan \neq 0 .

X o'qining uzunligi T bo'lgan istalgan segmentida funktsiya grafigini takrorlash.

Funktsiya musbat bo'lgan intervallar, ya'ni f(x) > 0 abscissa o'qining abscissa o'qi ustida yotgan funksiya grafigining nuqtalariga mos keladigan segmentlaridir.

f(x) > 0 yoqilgan (x_(1); x_(2)) \kupa (x_(3); +\infty)

Funktsiya manfiy bo'lgan intervallar, ya'ni f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \chashka (x_(2); x_(3))

Cheklangan funksiya

Pastdan chegaralangan Har qanday x \da X uchun f(x) \geq A tengsizligi amal qiladigan A soni mavjud bo'lganda y=f(x), x \in X funksiyasini chaqirish odatiy holdir.

Pastdan chegaralangan funksiyaga misol: y=\sqrt(1+x^(2)) chunki har qanday x uchun y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Yuqoridan chegaralangan y=f(x), x \in X funksiyasi har qanday x \da X uchun f(x) \neq B tengsizligi bajariladigan B soni mavjud bo'lganda chaqiriladi.

Quyida chegaralangan funksiyaga misol: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] chunki y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 har qanday x \in [-1;1] uchun.

Cheklangan y=f(x), x \in X funksiyasini K > 0 tengsizlik \chap | f(x)\o'ng | \neq K har qanday x \in X uchun.

Misol cheklangan funksiya: y=\sin x butun son o'qi bo'yicha cheklangan, chunki \chap | \sin x \right | \neq 1.

O'sish va kamaytirish funktsiyasi

Ko'rib chiqilayotgan intervalda ortib boruvchi funksiya haqida gapirish odatiy holdir oshirish funktsiyasi qachon yuqoriroq qiymat x y=f(x) funksiyaning kattaroq qiymatiga mos keladi. Bundan kelib chiqadiki, x_(1) va x_(2) argumentining ikkita ixtiyoriy qiymatini ko'rib chiqilayotgan oraliqdan x_(1) > x_(2) bilan olib, natija y(x_(1)) > bo'ladi. y(x_(2)).

Ko'rib chiqilayotgan oraliqda kamayadigan funksiya deyiladi kamaytiruvchi funktsiya x ning katta qiymati y(x) funksiyaning kichikroq qiymatiga mos kelganda. Bundan kelib chiqadiki, ko'rib chiqilayotgan oraliqdan x_(1) va x_(2) va x_(1) > x_(2) argumentlarining ikkita ixtiyoriy qiymatini olib, natija y(x_(1)) bo'ladi.< y(x_{2}) .

Funktsiya ildizlari F=y(x) funksiya abtsissalar o‘qini kesib o‘tuvchi nuqtalarni (ular y(x)=0 tenglamani yechish natijasida olinadi) deb nomlash odat tusiga kirgan.

a) Agar x > 0 uchun juft funktsiya oshsa, u x uchun kamayadi< 0

b) juft funksiya x > 0 da kamaysa, u x da ortadi< 0

c) toq funksiya x > 0 da ortganda, u x da ham ortadi< 0

d) toq funksiya x > 0 uchun kamaysa, u x uchun ham kamayadi< 0

Funktsiyaning ekstremal qismi

Funktsiyaning minimal nuqtasi y=f(x) odatda x=x_(0) nuqta deb ataladi, uning qo‘shnisi boshqa nuqtalarga ega bo‘ladi (x=x_(0) nuqtadan tashqari) va ular uchun f(x) > f tengsizlik bo‘ladi. qanoatlantirildi (x_(0)) . y_(min) - funksiyaning min nuqtasida belgilanishi.

Funktsiyaning maksimal nuqtasi y=f(x) odatda x=x_(0) nuqta deb ataladi, uning qo‘shnisi boshqa nuqtalarga ega bo‘ladi (x=x_(0) nuqtadan tashqari) va ular uchun f(x) tengsizlik bajariladi.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Old shart

Ferma teoremasiga ko'ra: f"(x)=0 bo'lsa, x_(0) nuqtada differentsiallanuvchi f(x) funksiya bu nuqtada ekstremumga ega bo'ladi.

Etarli holat

1. Hosila belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartirganda, x_(0) minimal nuqta bo'ladi;
2. x_(0) - faqat hosila x_(0) statsionar nuqtadan o'tganda belgisini minusdan plyusga o'zgartirganda maksimal nuqta bo'ladi.

Funktsiyaning intervaldagi eng katta va eng kichik qiymati

Hisoblash bosqichlari:

1. f"(x) hosilasi qidiriladi;
2. Funksiyaning statsionar va kritik nuqtalari topiladi va segmentga tegishlilari tanlanadi;
3. f(x) funksiyaning qiymatlari statsionar va larda topiladi tanqidiy nuqtalar va segmentning uchlari. Olingan natijalar qanchalik kichikroq bo'ladi eng past qiymat funktsiyalari, va boshqalar - eng katta.