Eng oddiy yechim trigonometrik tenglamalar.

Har qanday murakkablik darajasidagi trigonometrik tenglamalarni yechish oxir-oqibat eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Va bunda trigonometrik doira yana eng yaxshi yordamchi bo'lib chiqadi.

Keling, kosinus va sinusning ta'riflarini eslaylik.

Burchakning kosinusu - bu nuqtaning absissasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi). birlik doirasi, berilgan burchak orqali aylanishga mos keladi.

Burchakning sinusi - birlik doiradagi nuqtaning berilgan burchak orqali aylanishga mos keladigan ordinatasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).

Trigonometrik doiradagi harakatning ijobiy yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq. 0 daraja (yoki 0 radian) burilish koordinatalari (1;0) bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi.

Bu ta’riflardan oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishda foydalanamiz.

1. Tenglamani yeching

Ushbu tenglama aylanadagi ordinatasi teng bo'lgan nuqtalarga mos keladigan aylanish burchagining barcha qiymatlari bilan qondiriladi.

Ordinat o'qida ordinatasi bo'lgan nuqtani belgilaymiz:

X o'qiga parallel gorizontal chiziqni aylana bilan kesishguncha chizamiz. Biz aylanada yotgan va ordinataga ega bo'lgan ikkita nuqtani olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi:

Agar biz radianga burilish burchagiga mos keladigan nuqtani qoldirib, to'liq aylana bo'ylab aylansak, u holda biz bir radianga aylanish burchagiga mos keladigan va bir xil ordinataga ega bo'lgan nuqtaga kelamiz. Ya'ni, bu aylanish burchagi ham bizning tenglamamizni qanoatlantiradi. Biz xohlagancha "bo'sh" inqiloblarni amalga oshirishimiz mumkin, xuddi shu nuqtaga qaytamiz va bu burchak qiymatlarining barchasi bizning tenglamamizni qondiradi. "Bo'sh" inqiloblar soni harf (yoki) bilan belgilanadi. Chunki biz bu inqiloblarni ham ijobiy, ham salbiy yo'nalishlarda amalga oshirishimiz mumkin, (yoki) har qanday butun son qiymatlarini olishimiz mumkin.

Ya'ni, dastlabki tenglamaning birinchi qator yechimlari quyidagi shaklga ega:

, , - butun sonlar to'plami (1)

Xuddi shunday, yechimlarning ikkinchi seriyasi quyidagi shaklga ega:

, Qayerda ,. (2)

Siz taxmin qilganingizdek, bu yechimlar qatori aylanadagi burilish burchagiga mos keladigan nuqtaga asoslanadi.

Ushbu ikkita yechim seriyasini bitta yozuvga birlashtirish mumkin:

Agar biz ushbu yozuvda (ya'ni, hatto) qabul qilsak, biz yechimlarning birinchi seriyasini olamiz.

Agar biz ushbu yozuvda (ya'ni g'alati) qabul qilsak, biz ikkinchi qator echimlarni olamiz.

2. Endi tenglamani yechamiz

Bu burchak orqali aylanish natijasida olingan birlik doiradagi nuqtaning abssissasi bo'lganligi sababli, biz nuqtani o'qdagi abscissa bilan belgilaymiz:

Doira bilan kesishmaguncha o'qga parallel ravishda vertikal chiziq torting. Biz aylanada yotgan va abscissaga ega bo'lgan ikkita ochko olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi. Eslatib o'tamiz, soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanayotganda biz salbiy burilish burchagini olamiz:

Keling, ikkita yechim seriyasini yozamiz:

,

,

(Biz asosiy to'liq doiradan o'tib, kerakli nuqtaga erishamiz, ya'ni.

Keling, ushbu ikkita seriyani bitta yozuvga birlashtiramiz:

3. Tenglamani yeching

Tangens chiziq OY o'qiga parallel bo'lgan birlik doirasining koordinatalari (1,0) bo'lgan nuqtadan o'tadi.

Undagi ordinatasi 1 ga teng nuqtani belgilaymiz (qaysi burchaklar 1 ga teng bo'lgan tangensini qidiramiz):

Bu nuqtani to‘g‘ri chiziq bilan koordinatalar boshiga bog‘laymiz va chiziqning birlik aylana bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. To'g'ri chiziq va aylananing kesishish nuqtalari va bo'yicha aylanish burchaklariga to'g'ri keladi:

Tenglamamizni qanoatlantiradigan burilish burchaklariga mos keladigan nuqtalar bir-biridan radian masofada joylashganligi sababli, yechimni quyidagicha yozishimiz mumkin:

4. Tenglamani yeching

Kotangentlar chizig'i birlik doiraning koordinatalari o'qga parallel bo'lgan nuqtadan o'tadi.

Kotangentlar chizig'ida abscissa -1 nuqtani belgilaymiz:

Bu nuqtani to‘g‘ri chiziqning boshiga bog‘laymiz va uni aylana bilan kesishguncha davom ettiramiz. Ushbu to'g'ri chiziq aylanani burilish burchaklariga va radianlarga mos keladigan nuqtalarda kesib o'tadi:

Bu nuqtalar bir-biridan teng masofa bilan ajratilganligi sababli, u holda umumiy yechim Bu tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun berilgan misollarda jadval qiymatlari ishlatilgan. trigonometrik funktsiyalar.

Biroq, agar tenglamaning o'ng tomonida jadval bo'lmagan qiymat bo'lsa, biz qiymatni tenglamaning umumiy yechimiga almashtiramiz:

MAXSUS ECHIMLAR:

Doiradagi ordinatasi 0 ga teng nuqtalarni belgilaymiz:

Aylanada ordinatasi 1 ga teng bitta nuqtani belgilaymiz:

Aylanada ordinatasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Nolga yaqin qiymatlarni ko'rsatish odatiy hol bo'lganligi sababli, biz yechimni quyidagicha yozamiz:

Aylanada abtsissasi 0 ga teng nuqtalarni belgilaymiz:

5.
Aylanada abtsissasi 1 ga teng bo‘lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Aylanada abtsissasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Va biroz murakkabroq misollar:

1.

Argument teng bo'lsa, sinus birga teng

Sinusimizning argumenti teng, shuning uchun biz olamiz:

Keling, tenglikning ikkala tomonini 3 ga bo'lamiz:

Javob:

2.

Kosinus argumenti bo'lsa, kosinus nolga teng

Bizning kosinus argumenti ga teng, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

Keling, buni amalga oshirish uchun avval qarama-qarshi belgi bilan o'ngga harakat qilamiz:

Keling, o'ng tomonni soddalashtiramiz:

Ikkala tomonni -2 ga bo'ling:

E'tibor bering, atama oldidagi belgi o'zgarmaydi, chunki k har qanday butun qiymatni qabul qilishi mumkin.

Javob:

Va nihoyat, "Trigonometrik aylana yordamida trigonometrik tenglamada ildizlarni tanlash" video darsini tomosha qiling.

Shu bilan oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish haqidagi suhbatimiz yakunlanadi. Keyingi safar qanday qaror qabul qilish haqida gaplashamiz.

To'g'ri burchakli uchburchakni echish bo'yicha masalalar ko'rib chiqilganda, men sinus va kosinus ta'riflarini yodlash texnikasini taqdim etishga va'da berdim. Undan foydalanib, siz har doim qaysi tomon gipotenuzaga tegishli ekanligini tezda eslaysiz (qo'shni yoki qarama-qarshi). Men uni javonga qo'ymaslikka qaror qildim, kerakli material quyida, o'qing 😉

Gap shundaki, men 10-11-sinf o‘quvchilari bu ta’riflarni eslab qolishda qiynalayotganliklarini bir necha bor kuzatganman. Ular oyoqning gipotenuzaga tegishli ekanligini juda yaxshi eslashadi, lekin qaysi biri- ular unutishadi va chalkash. Xatoning narxi, siz imtihonda bilganingizdek, yo'qolgan balldir.

Men to'g'ridan-to'g'ri taqdim etadigan ma'lumotlarning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. U bilan bog'langan xayoliy fikrlash, va og'zaki-mantiqiy muloqot usullari bilan. Aynan shunday, men buni bir marta va umuman eslaymanta'rif ma'lumotlari. Agar siz ularni unutib qo'ysangiz, taqdim etilgan usullardan foydalangan holda ularni har doim osongina eslab qolishingiz mumkin.

Sizga sinus va kosinus ta'riflarini eslatib o'taman to'g'ri uchburchak:

Kosinus o'tkir burchak To'g'ri burchakli uchburchakda bu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

Xo'sh, siz kosinus so'zi bilan qanday bog'liqliklarga egasiz?

Balki har kimning o'ziga xos 😉Havolani eslab qoling:

Shunday qilib, ibora darhol sizning xotirangizda paydo bo'ladi -

«… QO'SHAN oyoqning gipotenuzaga nisbati».

Kosinusni aniqlash muammosi hal qilindi.

Agar siz to'g'ri uchburchakda sinusning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, u holda kosinus ta'rifini eslab, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin. Axir, faqat ikkita oyoq bor, agar qo'shni oyoq kosinus bilan "ishg'ol qilingan" bo'lsa, u holda faqat qarama-qarshi oyoq sinus bilan qoladi.

Tangens va kotangens haqida nima deyish mumkin? Chalkashlik ham xuddi shunday. Talabalar bu oyoqlarning munosabatlari ekanligini bilishadi, ammo muammo qaysi biri qaysi biri bilan bog'liqligini eslab qolishdir - qo'shniga qarama-qarshi yoki aksincha.

Ta'riflar:

Tangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:

Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati:

Qanday eslash kerak? Ikkita yo'l bor. Birida og'zaki-mantiqiy bog'lanish ham qo'llaniladi, ikkinchisi matematikadan foydalanadi.

MATEMATIK USUL

Bunday ta'rif mavjud - o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

*Formulani yodlab, siz har doim to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati ekanligini aniqlashingiz mumkin.

Xuddi shunday.O'tkir burchakning kotangensi bu burchak kosinusining sinusiga nisbati:

Shunday ekan! Ushbu formulalarni eslab, siz har doim quyidagilarni aniqlashingiz mumkin:

- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati

- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

SO'Z-MANTIQ USUL

Tangens haqida. Havolani eslab qoling:

Ya'ni, agar siz tangensning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, ushbu mantiqiy aloqadan foydalanib, uning nima ekanligini osongina eslab qolishingiz mumkin

"... qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati"

Agar biz kotangens haqida gapiradigan bo'lsak, unda tangens ta'rifini eslab, siz kotangentning ta'rifini osongina aytishingiz mumkin -

"... qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati"

Veb-saytda tangens va kotangensni eslab qolish uchun qiziqarli hiyla mavjud " Matematik tandem " , qarang.

UNIVERSAL USUL

Siz shunchaki eslab qolishingiz mumkin.Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, og'zaki-mantiqiy aloqalar tufayli odam nafaqat matematik ma'lumotlarni, balki uzoq vaqt davomida ma'lumotni eslab qoladi.

Umid qilamanki, material siz uchun foydali bo'ldi.

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus nima ekanligini, shuningdek, o'tkir burchakning tangensi va kotangensini aniqlaymiz. Bu trigonometriyaning asoslari.

Shuni eslatib o'tamiz to'g'ri burchak 90 gradusga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, yarim burilish burchagi.

O'tkir burchak- 90 darajadan kam.

O'tkir burchak- 90 darajadan yuqori. Bunday burchakka nisbatan "to'liq" haqorat emas, balki matematik atama :-)

Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda bilan belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan ko'rsatilgan, faqat kichik. Shunday qilib, qarama-qarshi tomon A burchagi belgilanadi.

Burchak mos keladigan yunoncha harf bilan belgilanadi.

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonidir.

Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi yotgan tomonlar.

Burchakka qarama-qarshi yotgan oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning yon tomonlaridan birida yotadigan boshqa oyoq deyiladi qo'shni.

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi tomonning qo'shniga nisbati:

Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

Kotangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki bir xil bo'lgan kosinusning sinusga nisbati):

Quyida sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun asosiy munosabatlarga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.

Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.

OK, biz ta'riflar berdik va formulalarni yozdik. Lekin nima uchun bizga hali ham sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?

Biz buni bilamiz har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi ga teng.

O'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .

Ma'lum bo'lishicha, uchburchakda ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomonini bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, burchaklar o'z nisbatlariga ega, tomonlar esa o'zlariga ega. Ammo to'g'ri burchakli uchburchakda siz bir burchakni (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomonni bilsangiz, nima qilish kerak, lekin boshqa tomonlarni topishingiz kerak?

Ilgari odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzishda duch kelgan narsadir. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.

Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi trigonometrik burchak funktsiyalari- o'rtasidagi munosabatlarni berish partiyalar Va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, siz maxsus jadvallar yordamida uning barcha trigonometrik funktsiyalarini topishingiz mumkin. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlaridan birini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.

Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Tegishli burchak qiymatlarida tangens va kotangens mavjud emas.

Keling, FIPI vazifalar bankidan bir nechta trigonometriya masalalarini ko'rib chiqaylik.

1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.

Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.

Chunki, .

2. Uchburchakda burchak , , ga teng. Toping.

Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz.

Muammo hal qilindi.

Ko'pincha muammolarda burchakli va yoki burchakli uchburchaklar mavjud. Ular uchun asosiy nisbatlarni yodda saqlang!

Burchaklari va burchakka qarama-qarshi oyog'i bo'lgan uchburchak uchun at ga teng gipotenuzaning yarmi.

Burchakli uchburchak va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan bir necha marta kattaroqdir.

Biz to'g'ri burchakli uchburchaklarni yechish masalalarini ko'rib chiqdik - ya'ni noma'lum tomonlar yoki burchaklarni topish. Lekin bu hammasi emas! IN Yagona davlat imtihonlari variantlari matematikada uchburchakning tashqi burchagining sinusi, kosinusu, tangensi yoki kotangensi bilan bog'liq ko'plab masalalar mavjud. Bu haqda keyingi maqolada batafsil.

Ushbu maqolada biz qanday qilib berishni ko'rsatamiz trigonometriyada burchak va sonning sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari. Bu erda biz yozuvlar haqida gapiramiz, yozuvlarga misollar keltiramiz va grafik rasmlarni beramiz. Xulosa qilib aytganda, trigonometriya va geometriyada sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari o‘rtasida parallellik o‘tkazamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifi

Keling, maktab matematika kursida sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchasi qanday shakllanganligini ko'rib chiqaylik. Geometriya darslarida to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi o‘tkir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensining ta’rifi berilgan. Keyinchalik trigonometriya o'rganiladi, u sinus, kosinus, aylanish burchagi va sonning tangensi va kotangensi haqida gapiradi. Keling, ushbu ta'riflarning barchasini keltiramiz, misollar keltiramiz va kerakli sharhlarni beramiz.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak

Geometriya kursidan biz toʻgʻri burchakli uchburchakdagi oʻtkir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens taʼriflarini bilamiz. Ular to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari nisbati sifatida berilgan. Keling, ularning formulalarini keltiramiz.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kosinusu- qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi- bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi- bu qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

U erda sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilari ham kiritilgan - mos ravishda sin, cos, tg va ctg.

Masalan, agar ABC to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u holda A o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi BC tomonining AB gipotenuzasiga nisbatiga teng bo'ladi, ya'ni sin∠A=BC/AB.

Ushbu ta'riflar o'tkir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining ma'lum uzunliklaridan, shuningdek ma'lum qiymatlar sinus, kosinus, tangens, kotangens va tomonlardan birining uzunligi yordamida boshqa tomonlarning uzunliklarini toping. Masalan, to‘g‘ri burchakli uchburchakda AC oyog‘i 3 ga, AB gipotenuzasi 7 ga teng ekanligini bilsak, u holda A o‘tkir burchak kosinusining qiymatini ta’rif bo‘yicha hisoblashimiz mumkin: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Burilish burchagi

Trigonometriyada ular burchakka kengroq qarashni boshlaydilar - ular burilish burchagi tushunchasini kiritadilar. Aylanish burchagining kattaligi, o'tkir burchakdan farqli o'laroq, 0 dan 90 darajagacha bo'lgan aylanish burchagini darajalarda (va radyanlarda) -∞ dan +∞ gacha bo'lgan har qanday haqiqiy son bilan ifodalash mumkin;

Shu nuqtai nazardan, sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari o'tkir burchakka emas, balki ixtiyoriy o'lchamdagi burchakka - burilish burchagiga berilgan. Ular A 1 nuqtasining x va y koordinatalari orqali berilgan, unga boshlang'ich nuqta deb ataladigan A(1, 0) o'zining O nuqtasi atrofida a burchak bilan aylanganidan keyin ketadi - to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimining boshlanishi. va birlik doirasining markazi.

Ta'rif.

Burilish burchagi sinusi a - A nuqtaning ordinatasi 1, ya'ni sina=y.

Ta'rif.

Aylanish burchagining kosinusu a ga A 1 nuqtaning abssissasi deyiladi, ya’ni cosa=x.

Ta'rif.

Aylanish burchagi tangensi a - A 1 nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati, ya'ni tana=y/x.

Ta'rif.

Aylanish burchagi kotangensi a - A 1 nuqta abssissasining uning ordinatasiga nisbati, ya'ni ctga=x/y.

Sinus va kosinus har qanday a burchak uchun aniqlanadi, chunki biz har doim nuqtaning abscissa va ordinatasini aniqlashimiz mumkin, bu esa boshlang'ich nuqtani a burchakka aylantirish orqali olinadi. Lekin tangens va kotangens hech qanday burchak uchun aniqlanmagan. Boshlanish nuqtasi nol abtsissa (0, 1) yoki (0, −1) nuqtaga oʻtadigan a burchaklar uchun tangens aniqlanmagan va bu 90°+180° k, k∈Z (p) burchaklarda sodir boʻladi. /2+p·k rad). Darhaqiqat, bunday burilish burchaklarida tga=y/x ifodasi mantiqiy emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Kotangentga kelsak, u boshlang'ich nuqtasi nol ordinatali (1, 0) yoki (-1, 0) nuqtaga o'tadigan a burchaklar uchun aniqlanmagan va bu 180 ° k, k ∈Z burchaklar uchun sodir bo'ladi. (p·k rad).

Demak, har qanday aylanish burchagi uchun sinus va kosinus, 90°+180°k, k∈Z (p/2+pk rad) dan boshqa barcha burchaklar uchun tangens, 180° ·k dan tashqari barcha burchaklar uchun kotangens aniqlanadi. , k∈Z (p·k rad).

Ta'riflar bizga allaqachon ma'lum bo'lgan sin, cos, tg va ctg belgilarini o'z ichiga oladi, ular aylanish burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangensini belgilash uchun ham ishlatiladi (ba'zan siz tangens va kotangensga mos keladigan tan va kotangens belgilarini topishingiz mumkin) . Shunday qilib, 30 graduslik aylanish burchagining sinusini sin30 ° deb yozish mumkin, tg (-24 ° 17') va ctga yozuvlari aylanish burchagi tangensiga -24 gradus 17 daqiqaga va aylanish burchagi kotangensiga to'g'ri keladi a . Eslatib o'tamiz, burchakning radian o'lchovini yozishda "rad" belgisi ko'pincha o'tkazib yuboriladi. Masalan, uch pi rad burilish burchagining kosinusu odatda cos3·p bilan belgilanadi.

Ushbu fikrni yakunlab, shuni ta'kidlash kerakki, aylanish burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi haqida gap ketganda, ko'pincha "aylanish burchagi" iborasi yoki "aylanish" so'zi tushib qoladi. Ya'ni, odatda "aylanish burchagi alfa sinusi" iborasi o'rniga "alfa burchagi sinusi" yoki undan ham qisqaroq "sinus alfa" iborasi ishlatiladi. Xuddi shu narsa kosinus, tangens va kotangens uchun ham amal qiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan aylanish burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi uchun berilgan ta'riflarga mos kelishini ham aytamiz. Biz buni oqlaymiz.

Raqamlar

Ta'rif.

Sonning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi t - mos ravishda t radiandagi aylanish burchagining sinus, kosinus, tangensi va kotangensiga teng son.

Masalan, ta'rifi bo'yicha 8 p sonining kosinusu sondir kosinusga teng burchagi 8·p rad. 8·p rad burchakning kosinusu esa birga teng, demak, 8·p sonining kosinasi 1 ga teng.

Sonning sinusini, kosinusini, tangensini va kotangensini aniqlashning yana bir usuli mavjud. U shundan iboratki, har bir haqiqiy son t birlik aylanasidagi nuqta bilan toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasining boshidagi markaz bilan bogʻlanadi va shu nuqtaning koordinatalari orqali sinus, kosinus, tangens va kotangens aniqlanadi. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, aylanadagi haqiqiy sonlar va nuqtalar o'rtasidagi yozishmalar qanday o'rnatilishini ko'rsatamiz:

• 0 raqamiga A (1, 0) boshlang'ich nuqtasi beriladi;
• musbat t soni birlik aylanasidagi nuqta bilan bog'langan bo'lib, agar biz aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtadan soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilsak va t uzunlikdagi yo'lni bosib o'tsak, unga erishamiz;
• salbiy raqam t birlik aylana nuqtasi bilan bog'langan bo'lib, agar biz aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtadan soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilsak va |t| uzunlikdagi yo'ldan yursak, erishamiz. .

Endi t sonining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflariga o'tamiz. Faraz qilaylik, t soni aylananing A 1 (x, y) nuqtasiga mos keladi (masalan, &pi/2; soni A 1 (0, 1) nuqtaga mos keladi).

Ta'rif.

Raqamning sinusi t - t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning ordinatasi, ya'ni sint=y.

Ta'rif.

Raqamning kosinusu t t soniga mos keladigan birlik aylana nuqtasining abssissasi deyiladi, ya'ni xarajat=x.

Ta'rif.

Raqam tangensi t - t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning abssissasiga ordinataning nisbati, ya'ni tgt=y/x. Boshqa ekvivalent formulada t sonining tangensi bu sonning sinusining kosinusga nisbati, ya'ni tgt=sint/xarajatdir.

Ta'rif.

Raqamning kotangenti t - abssissaning t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqta ordinatasiga nisbati, ya'ni ctgt=x/y. Yana bir formulasi quyidagicha: t sonining tangensi t sonining kosinusining t sonining sinusiga nisbati: ctgt=cost/sint.

Bu erda biz hozirgina berilgan ta'riflar ushbu bandning boshida berilgan ta'rifga mos kelishini ta'kidlaymiz. Haqiqatan ham, t soniga mos keladigan birlik doirasidagi nuqta boshlang'ich nuqtani t radian burchakka aylantirish natijasida olingan nuqtaga to'g'ri keladi.

Bu fikrga hali ham aniqlik kiritishga arziydi. Aytaylik, bizda sin3 yozuvi bor. 3 sonining sinusi yoki 3 radianning aylanish burchagining sinusi haqida gapirayotganimizni qanday tushunish mumkin? Bu odatda kontekstdan aniq, aks holda bu muhim ahamiyatga ega emas.

Burchak va son argumentning trigonometrik funktsiyalari

Oldingi paragrafda keltirilgan ta'riflarga ko'ra, har bir burilish burchagi a to'liq mos keladi o'ziga xos qiymat sina kosa qiymati bilan bir xil. Bundan tashqari, 90°+180°k, k∈Z (p/2+pk rad) dan boshqa barcha burilish burchaklari tga qiymatlariga mos keladi va 180°k dan boshqa qiymatlar, k∈Z (pk rad ) – qiymatlar. ctga ning. Shuning uchun sina, kosa, tana va ctga a burchakning funksiyalaridir. Boshqacha qilib aytganda, bu burchak argumentining funktsiyalari.

Raqamli argumentning sinus, kosinus, tangens va kotangens funksiyalari haqida ham xuddi shunday gapirishimiz mumkin. Darhaqiqat, har bir haqiqiy son t juda aniq qiymatga mos keladi sint, shuningdek, xarajat. Bundan tashqari, p/2+p·k, k∈Z dan boshqa barcha raqamlar tgt qiymatlariga, p·k, k∈Z raqamlari esa ctgt qiymatlariga mos keladi.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens funksiyalar deyiladi Asosiy trigonometrik funktsiyalar.

Odatda kontekstdan biz burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari yoki raqamli argument bilan shug'ullanayotganimiz aniq bo'ladi. Aks holda, mustaqil o'zgaruvchini burchak o'lchovi (burchak argumenti) va raqamli argument sifatida ko'rishimiz mumkin.

Biroq, maktabda biz asosan sonli funktsiyalarni, ya'ni argumentlari, shuningdek, ularga mos keladigan funktsiya qiymatlari raqamlar bo'lgan funktsiyalarni o'rganamiz. Shuning uchun, agar haqida gapiramiz Xususan, funksiyalar haqida trigonometrik funksiyalarni sonli argumentlar funksiyasi sifatida ko‘rib chiqish maqsadga muvofiqdir.

Geometriya va trigonometriya ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik

Agar aylanish burchagi a ni 0 dan 90 gradusgacha deb hisoblasak, u holda trigonometriya kontekstida aylanish burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflariga to‘liq mos keladi. geometriya kursida berilgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak. Keling, buni oqlaylik.

Oxy to'rtburchak dekart koordinata sistemasida birlik doirani tasvirlaymiz. A(1, 0) boshlang'ich nuqtasini belgilaymiz. Uni 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan a burchak bilan aylantiramiz, A 1 (x, y) nuqtasini olamiz. A 1 nuqtadan Ox o'qiga A 1 H perpendikulyar tushiramiz.

To'g'ri burchakli uchburchakda A 1 OH ekanligini ko'rish oson burchakka teng aylanish a, bu burchakka tutashgan OH oyog'ining uzunligi A 1 nuqtaning abssissasiga teng, ya'ni |OH|=x, burchakka qarama-qarshi bo'lgan A 1 H oyoq uzunligi ordinatasiga teng. nuqta A 1, ya’ni |A 1 H|=y va OA 1 gipotenuzaning uzunligi bir ga teng, chunki u birlik aylana radiusi. U holda, geometriya ta'rifiga ko'ra, A 1 OH to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak a sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng, ya'ni sina=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Va trigonometriya ta'rifiga ko'ra, a aylanish burchagining sinusi A 1 nuqtaning ordinatasiga teng, ya'ni sina=y. Bu shuni ko'rsatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusini aniqlash a 0 dan 90 gradusgacha bo'lganida, a aylanish burchagining sinusini aniqlashga tengdir.

Xuddi shunday, a o'tkir burchakning kosinus, tangensi va kotangensining ta'riflari a aylanish burchagining kosinus, tangensi va kotangensi ta'riflariga mos kelishini ko'rsatish mumkin.

Ma'lumotnomalar.

1. Geometriya. 7-9 sinflar: darslik umumiy ta'lim uchun muassasalar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev va boshqalar]. - 20-nashr. M.: Ta'lim, 2010. - 384 b.: kasal. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometriya: darslik. 7-9 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. V. Pogorelov. - 2-nashr - M.: Ta'lim, 2001. - 224 b.: kasal. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra va elementar funktsiyalar : Oʻquv qoʻllanma 9-sinf o'quvchilari uchun o'rta maktab/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Fizika-matematika fanlari doktori O. N. Golovin tomonidan tahrirlangan - 4-nashr. M.: Ta'lim, 1969 yil.
4. Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy - M.: Ta'lim, 1990. - 272 pp.: kasal - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra va tahlilning boshlanishi. 10-sinf. 2 qismda 1-qism: umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik (profil darajasi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-nashr, qo'shimcha. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - I.: Ta'lim, 2010.- 368 b.: kasal.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - bir nechta burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.

Ushbu maqolada biz barcha asosiylarini tartibda sanab o'tamiz trigonometrik formulalar, bu trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlari bo'yicha guruhlaymiz va jadvallarga kiritamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni aniqlang. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bitta trigonometrik funktsiyani boshqa har qanday ko'rinishda ifodalash imkonini beradi.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, berilgan burchak bilan siljish xossalarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.

Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.

Qo'shish formulalari

Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yigʻindisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini koʻrsating. Ushbu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak

Yarim burchak formulalari

Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funksiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.

Darajani pasaytirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar dan o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan tabiiy darajalar trigonometrik funktsiyalarni sinuslar va kosinuslarga birinchi darajali, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari funksiyalar mahsulotiga o'tishdir, bu trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali. Bu formulalar trigonometrik tenglamalarni yechishda ham keng qo’llaniladi, chunki ular sinuslar va kosinuslarning yig’indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo'yicha ko'paytmasi uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.

Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz www.saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.