Giperbola - bu fokuslar deb ataladigan ikkita berilgan nuqtaga bo'lgan masofalar farqi doimiy qiymat bo'lgan nuqtalarning joylashuvi (bu konstanta musbat bo'lishi va fokuslar orasidagi masofadan kichik bo'lishi kerak).

Bu konstantani 2a, fokuslar orasidagi masofani § 3 bilan belgilaymiz va koordinata o'qlarini § 3 dagi kabi tanlaymiz. Giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin.

Giperbolaning ta'rifi bo'yicha

Tenglikning o'ng tomonida agar ortiqcha belgisini va agar minus belgisini tanlashingiz kerak

Chunki oxirgi tenglik quyidagicha yozilishi mumkin:

Bu tanlangan koordinatalar sistemasidagi giperbolaning tenglamasi.

Ushbu tenglamadagi radikallardan xalos bo'lish orqali (3-bandda bo'lgani kabi) biz tenglamani eng oddiy ko'rinishiga keltira olamiz.

Birinchi radikalni o'tkazish o'ng tomoni tenglik va ikkala tomonni kvadratlash, aniq o'zgarishlardan keyin biz quyidagilarga erishamiz:

Yana bir bor tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, o'xshash shartlarni keltirib, erkin atamaga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

Chunki, qiymat ijobiy bo'ladi. orqali ifodalash, ya'ni faraz qilish

giperbolaning kanonik tenglamasini olamiz.

Keling, giperbolaning shaklini ko'rib chiqaylik.

1) Giperbolaning simmetriyalari. (3) tenglama faqat joriy koordinatalarning kvadratlarini o'z ichiga olganligi sababli, koordinata o'qlari giperbolaning simmetriya o'qlari hisoblanadi (ellips uchun shunga o'xshash bayonotga qarang). Fokuslar joylashgan giperbolaning simmetriya o'qiga fokus o'qi deyiladi. Simmetriya o'qlarining kesishish nuqtasi - simmetriya markazi - giperbolaning markazi deb ataladi. (3) tenglama bilan berilgan giperbola uchun fokus o'qi Ox o'qiga to'g'ri keladi, markaz esa koordinatadir.

2) Simmetriya o'qlari bilan kesishish nuqtalari. Giperbolaning simmetriya o`qlari bilan kesishish nuqtalari - giperbolaning uchlari topilsin. Tenglamada faraz qilib, giperbolaning o'q bilan kesishish nuqtalarining abscissalarini topamiz.

Binobarin, nuqtalar giperbolaning uchlari (51-rasm); ular orasidagi masofa 2a ga teng. Oy o'qi bilan kesishish nuqtalarini topish uchun bu nuqtalarning ordinatalarini aniqlash uchun tenglamani qo'yamiz

ya'ni y uchun biz xayoliy qiymatlarni oldik; bu Oy o'qi giperbolalarni kesib o'tmasligini bildiradi.

Shunga mos ravishda giperbolani kesib o'tuvchi simmetriya o'qi haqiqiy simmetriya o'qi (fokal o'q), giperbola bilan kesishmaydigan simmetriya o'qi xayoliy simmetriya o'qi deb ataladi. (3) tenglama bilan berilgan giperbola uchun haqiqiy simmetriya o'qi o'q, xayoliy simmetriya o'qi giperbolaning uchlarini bog'laydigan segment, shuningdek uning uzunligi 2a ning haqiqiy o'qi deyiladi. giperbola. Agar giperbolaning xayoliy simmetriya o‘qiga uning markazi O ning har ikki tomoniga OB va uzunlik b segmentlarni chizsak, u holda segment va uning uzunligi giperbolaning xayoliy o‘qi deyiladi. a va b miqdorlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va xayoliy yarim o'qlari deyiladi.

3) Giperbolaning shakli. Giperbolaning shaklini o'rganishda x va y ning ijobiy qiymatlarini hisobga olish kifoya, chunki egri chiziq koordinata o'qlariga nisbatan nosimmetrik joylashgan.

(3) tenglamadan kelib chiqadigan bo'lsak, 1, keyin a dan o'zgarishi mumkin Qachon a dan keyin Y ga ko'tariladi, shuningdek, 0 dan keyin Y ga ortadi Egri chiziq shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 51. To'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan chiziqdan tashqarida joylashgan va ikkita alohida shoxchadan iborat. Bu shoxlardan birining istalgan M nuqtasi uchun (o'ng shox), boshqa shoxning istalgan M nuqtasi uchun (chap shox).

4) Giperbolaning asimptotalari. Giperbolaning turini aniqroq tasavvur qilish uchun u bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ikkita to'g'ri chiziqni - asimptotlar deb ataladigan narsalarni ko'rib chiqing.

X va y ni musbat deb hisoblab, giperbolaning y ordinatasiga nisbatan (3) tenglamasini yechamiz:

Tenglamani mos ravishda shu to'g'ri chiziqda va giperbolada joylashgan va bir xil abtsissaga ega bo'lgan mos keladigan ikkita nuqtani chaqirib, to'g'ri chiziq tenglamasi bilan taqqoslaylik (51-rasm). Shubhasiz, tegishli nuqtalarning ordinatalarining Y - y farqi ular orasidagi masofani ifodalaydi, ya'ni.

Ko'rsataylikki, cheksiz o'sish bilan MN masofasi, o'ldirish nolga intiladi. Aslida,

Soddalashtirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Oxirgi formuladan ko'ramizki, abssissaning cheksiz ortishi bilan MN masofasi kamayib, nolga intiladi. Bundan kelib chiqadiki, birinchi kvadrantdagi giperbola bo'ylab harakatlanadigan M nuqta cheksizlikka o'tganda, uning to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofasi kamayadi va nolga intiladi. Xuddi shu holat M nuqta uchinchi kvadrantdagi giperbola bo'ylab harakat qilganda (O boshiga nisbatan simmetriya tufayli) sodir bo'ladi.

Nihoyat, giperbolaning Oy o'qiga nisbatan simmetriyasi tufayli biz to'g'ri chiziq bilan simmetrik joylashgan ikkinchi to'g'ri chiziqni olamiz, bu to'g'ri chiziq M nuqta ham giperbola bo'ylab harakatlanayotganda va cheksizlikka uzoqlashayotganda cheksiz yaqinlashadi. ikkinchi va to'rtinchi kvadrantlar).

Ushbu ikkita to'g'ri chiziq giperbolaning asimptotalari deb ataladi va biz ko'rganimizdek, ular tenglamalarga ega:

Ko'rinib turibdiki, giperbolaning asimptotalari to'rtburchakning diagonallari bo'ylab joylashgan bo'lib, uning bir tomoni Ox o'qiga parallel va 2a ga teng, ikkinchisi Oy o'qiga parallel va ga teng va markazida joylashgan. koordinatalarning kelib chiqishi (51-rasmga qarang).

Giperbolani uning tenglamasidan foydalanib chizishda avvalo uning asimptotalarini qurish tavsiya etiladi.

Teng tomonli giperbola. Giperbola holatida teng tomonli deyiladi; uning tenglamasi (3) dan olingan va quyidagi ko'rinishga ega:

Shubhasiz, teng tomonli giperbola uchun asimptotalarning burchak koeffitsientlari bo'ladi Demak, teng tomonli giperbola asimptotalari bir-biriga perpendikulyar bo'lib, uning simmetriya o'qlari orasidagi burchaklarni ikkiga bo'ladi.

Funksiya grafigining asimptotalari

Asimptota arvohi uzoq vaqt davomida sayt bo'ylab kezib yuribdi va nihoyat alohida maqolada paydo bo'ldi va funktsiyani to'liq o'rganishdan hayratda qolgan o'quvchilarga alohida zavq bag'ishladi. Grafikning asimptotalarini topish belgilangan vazifaning bir nechta qismlaridan biri bo'lib, u maktab kursida faqat umumiy ko'rinishda yoritiladi, chunki voqealar funktsiyalar chegaralarini hisoblash atrofida aylanadi va ular hali ham tegishli. oliy matematika. Matematik tahlilni kam tushunadigan tashrif buyuruvchilar uchun, menimcha, maslahat aniq ;-) ... to'xta, to'xta, qaerga ketyapsan? Cheklovlar oson!

Asimptotalar misollari elementar funktsiyalarning grafiklari bo'yicha birinchi darsda darhol duch keldi va hozir mavzu batafsil ko'rib chiqilmoqda.

Xo'sh, asimptota nima?

Tasavvur qiling o'zgaruvchan nuqta, bu funktsiya grafigi bo'ylab "sayohat qiladi". Asimptot - bu to'g'ri chiziq cheksiz yaqin funktsiya grafigi uning o'zgaruvchan nuqtasi cheksizlikka o'tganda yaqinlashadi.

Eslatma : Ta'rif mazmunli, agar sizga hisob yozuvida formula kerak bo'lsa, darslikka murojaat qiling.

Samolyotda asimptotlar tabiiy joylashuviga ko'ra tasniflanadi:

1) Vertikal asimptotalar, shakli tenglama bilan berilgan, bu erda "alfa" haqiqiy sondir. Ommabop vakil ordinata o'qini o'zi belgilaydi,
engil ko'ngil aynish hissi bilan biz giperbolani eslaymiz.

2) Qiya asimptotlar an'anaviy ravishda to'g'ri chiziq tenglamasi bilan yoziladi qiyalik. Ba'zan alohida guruh ajratish maxsus holat- gorizontal asimptotlar. Masalan, asimptota bilan bir xil giperbola.

Tezroq boraylik, keling, qisqa pulemyotdan otish bilan mavzuni urib olaylik:

Funktsiya grafigida nechta asimptota bo'lishi mumkin?

Bir, bir, ikki, uch,... yoki cheksiz ko'p emas. Biz misollar uchun uzoqqa bormaymiz, keling, elementar funktsiyalarni eslaylik. Parabola, kubik parabola va sinus to'lqinning asimptotalari umuman yo'q. Eksponensial, logarifmik funktsiyaning grafigi bitta asimptotaga ega. Arktangens va arkkotangens ikkitadan, tangens va kotangensda esa cheksiz ko'p. Grafikning gorizontal va vertikal asimptotalari bo'lishi odatiy hol emas. Giperbola, sizni doim sevadi.

Bu nima degani? Funksiya grafigining vertikal asimptotalari

Grafikning vertikal asimptotasi, qoida tariqasida, funksiyaning cheksiz uzilish nuqtasida joylashgan. Hammasi oddiy: agar biror nuqtada funksiya cheksiz uzilishga uchrasa, u holda tenglama bilan belgilangan to‘g‘ri chiziq grafikning vertikal asimptoti bo‘ladi.

Eslatma : E'tibor bering, yozuv ikkita mutlaqo boshqa tushunchaga murojaat qilish uchun ishlatiladi. Nuqta nazarda tutilganmi yoki chiziq tenglamasi kontekstga bog'liq.

Shunday qilib, bir nuqtada vertikal asimptota mavjudligini aniqlash uchun bir tomonlama chegaralardan kamida bittasini ko'rsatish kifoya. cheksiz. Ko'pincha bu funktsiyaning maxraji nolga teng bo'lgan nuqtadir. Umuman olganda, biz allaqachon topdik vertikal asimptotlar funktsiyaning uzluksizligi haqidagi darsning oxirgi misollarida. Ammo ba'zi hollarda faqat bir tomonlama chegara mavjud va agar u cheksiz bo'lsa, unda yana - vertikal asimptotani seving va yoqing. Eng oddiy rasm: va ordinata o'qi (qarang: Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari).

Yuqoridagilardan aniq bir haqiqat ham kelib chiqadi: agar funktsiya uzluksiz bo'lsa, unda vertikal asimptotlar yo'q. Negadir xayolimga parabola keldi. Haqiqatan ham, bu erda to'g'ri chiziqni qayerga "yopishtirish" mumkin? ...ha... Tushundim... Freyd amakining izdoshlari isterik bo‘lib qolishdi =)

Qarama-qarshi gap odatda yolg'ondir: masalan, funktsiya butun son chizig'ida aniqlanmagan, ammo asimptotalardan butunlay mahrum.

Funksiya grafigining qiya asimptotalari

Agar funktsiya argumenti "plyus cheksizlik" yoki "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa, oblik (alohida holatda - gorizontal) asimptotalarni chizish mumkin. Shuning uchun funksiya grafigida ikkitadan ortiq qiya asimptota bo‘lishi mumkin emas. Masalan, diagramma eksponensial funktsiya da bitta gorizontal asimptotaga ega va at arktangentining grafigi ikkita shunday asimptotaga ega va bunda har xil.

Ikkala joydagi grafik bitta qiya asimptotaga yaqinlashganda, "cheksizliklar" odatda bitta yozuv ostida birlashtiriladi. Masalan, ...siz to'g'ri taxmin qildingiz: .

Umumiy qoida:

Agar ikkita bo'lsa final chegara , u holda to'g'ri chiziq funksiya grafigining qiya asimptotasidir. Agar sanab o'tilgan chegaralardan kamida bittasi cheksiz bo'lsa, u holda qiyshiq asimptota yo'q.

Eslatma : "x" faqat "ortiqcha cheksizlik" ga yoki faqat "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa, formulalar haqiqiy bo'lib qoladi.

Parabolaning qiya asimptotalari yo'qligini ko'rsataylik:

Chegara cheksizdir, ya'ni qiya asimptota yo'q. Chegarani topishda bunga e'tibor bering javob allaqachon olinganligi sababli ehtiyoj yo'qoldi.

Eslatma : Agar siz ortiqcha-minus, minus-plyus belgilarini tushunishda qiynalayotgan bo'lsangiz (yoki bo'ladigan bo'lsa), dars boshida yordamga qarang.
cheksiz kichik funktsiyalar haqida, men bu belgilarni qanday qilib to'g'ri talqin qilish haqida gapirdim.

Shubhasiz, har qanday kvadratik uchun, kub funksiyasi, polinom 4 va yuqori darajalar qiya asimptotlar ham mavjud emas.

Keling, grafikda ham qiya asimptota yo'qligiga ishonch hosil qilaylik. Noaniqlikni aniqlash uchun biz L'Hopital qoidasidan foydalanamiz:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Funktsiya cheksiz o'sganda, lekin uning grafigi yaqinlashadigan to'g'ri chiziq yo'q cheksiz yaqin.

Keling, darsning amaliy qismiga o'tamiz:

Funksiya grafigining asimptotalarini qanday topish mumkin?

Odatdagi vazifa aynan shunday tuzilgan va u grafikning BARCHA asimptotalarini (vertikal, eğimli/gorizontal) topishni o'z ichiga oladi. Garchi, savolni qo'yishda aniqroq bo'lsa-da, biz asimptotalarning mavjudligini tadqiq qilish haqida gapiramiz (oxir-oqibat, umuman bo'lmasligi mumkin). Keling, oddiy narsadan boshlaylik:

1-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Yechimni qulay tarzda ikki nuqtaga bo'lish mumkin:

1) Avval vertikal asimptotlar mavjudligini tekshiramiz. da maxraj nolga tushadi va shu nuqtada funksiya cheksiz uzilishga uchraganligi va tenglama bilan belgilangan to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptoti ekanligi darhol ayon bo‘ladi. Ammo, bunday xulosa chiqarishdan oldin, bir tomonlama chegaralarni topish kerak:

Men sizga funksiyaning uzluksizligi maqolasida xuddi shunday e'tibor qaratgan hisoblash texnikasini eslataman. Buzilish nuqtalari. Chegara belgisi ostidagi ifodada biz almashtiramiz. Numeratorda qiziq narsa yo'q:
.

Ammo denominatorda bu chiqadi cheksiz kichik salbiy raqam :
, u chegaraning taqdirini belgilaydi.

Chap qo'l chegarasi cheksizdir va, qoida tariqasida, vertikal asimptota mavjudligi to'g'risida allaqachon hukm chiqarish mumkin. Ammo bir tomonlama chegaralar nafaqat buning uchun kerak - ular funktsiya grafigi QANDAY joylashganligini TUSHUNISHGA va uni TO'G'ri qurishga yordam beradi. Shuning uchun biz o'ng qo'l chegarasini ham hisoblashimiz kerak:

Xulosa: bir tomonlama chegaralar cheksizdir, ya'ni to'g'ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasidir.

Birinchi chegara cheklangan, bu "suhbatni davom ettirish" va ikkinchi chegarani topish kerakligini anglatadi:

Ikkinchi chegara ham cheklangan.

Shunday qilib, bizning asimptotimiz:

Xulosa: tenglama bilan belgilangan to'g'ri chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.

Gorizontal asimptotani topish uchun
Siz soddalashtirilgan formuladan foydalanishingiz mumkin:

Agar mavjud bo'lsa cheklangan chegarasi, u holda to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptoti bo‘ladi.

Funktsiyaning numeratori va maxraji bir xil o'sish tartibida ekanligini payqash oson, ya'ni qidirilayotgan chegara chekli bo'ladi:

Javob:

Shartga ko'ra, rasm chizishning hojati yo'q, lekin agar biz biron bir funktsiyani o'rganish bilan shug'ullanayotgan bo'lsak, biz darhol qoralama bo'yicha eskiz qilamiz:

Topilgan uchta chegaraga asoslanib, funktsiya grafigi qanday joylashishi mumkinligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling. Bu umuman qiyinmi? 5-6-7-8 nuqtalarni toping va ularni chizmaga belgilang. Biroq, bu funktsiyaning grafigi elementar funktsiya grafigini o'zgartirishlar yordamida tuzilgan va yuqoridagi maqolaning 21-misolini sinchkovlik bilan o'rganib chiqqan o'quvchilar bu qanday egri chiziq ekanligini osongina taxmin qilishlari mumkin.

2-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Sizga shuni eslatib o'tamanki, jarayonni ikki nuqtaga - vertikal asimptotalarga va qiya asimptotalarga bo'lish qulay. Namuna yechimida gorizontal asimptota soddalashtirilgan sxema yordamida topiladi.

Amalda kasr-ratsional funktsiyalar ko'pincha uchraydi va giperbolalar bo'yicha mashg'ulotlardan so'ng biz vazifani murakkablashtiramiz:

3-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Yechim: Bir, ikkita va bajarildi:

1) Vertikal asimptotlar cheksiz uzilish nuqtalarida, shuning uchun siz maxrajning nolga tushishini tekshirishingiz kerak. Kvadrat tenglamani yechamiz:

Diskriminant ijobiy, shuning uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega va ish sezilarli darajada oshadi =)

Bir tomonlama chegaralarni topish uchun kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish qulay:
(ixcham yozuv uchun "minus" birinchi qavsga kiritilgan). Xavfsiz tomonda bo'lish uchun keling, qavslarni aqliy yoki qoralama ustida ochib tekshirib ko'raylik.

Funksiyani formada qayta yozamiz

Shu nuqtada bir tomonlama chegaralarni topamiz:

Va shu nuqtada:

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigining vertikal asimptotalari hisoblanadi.

2) Agar funktsiyaga qarasangiz , u holda chegara chekli bo'lishi aniq va biz gorizontal asimptotaga ega bo'lamiz. Keling, uning mavjudligini qisqacha ko'rsatamiz:

Shunday qilib, to'g'ri chiziq (abtsissa o'qi) bu funktsiya grafigining gorizontal asimptotasidir.

Javob:

Topilgan chegaralar va asimptotalar funksiya grafigi haqida juda ko'p ma'lumot beradi. Quyidagi faktlarni hisobga olgan holda rasmni aqliy tasavvur qilishga harakat qiling:

Qoralamangizdagi grafik versiyasini eskiz qiling.

Albatta, topilgan chegaralar grafikning ko'rinishini aniq belgilamaydi va siz xato qilishingiz mumkin, ammo mashqning o'zi funktsiyani to'liq o'rganish jarayonida bebaho yordam beradi. To'g'ri rasm dars oxirida.

4-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

5-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Bu mustaqil hal qilish uchun vazifalar. Ikkala grafikda yana gorizontal asimptotalar mavjud bo'lib, ular darhol quyidagi xususiyatlar bilan aniqlanadi: 4-misolda maxrajning o'sish tartibi. Ko'proq, hisoblagichning o'sish tartibidan ko'ra va 5-misolda son va maxraj bir xil o'sish tartibida. Namuna yechimida birinchi funktsiya qiya asimptotalarning mavjudligi uchun to'liq, ikkinchisi esa chegara orqali tekshiriladi.

Mening sub'ektiv taassurotimga ko'ra, gorizontal asimptotlar "haqiqatan ham egilgan" ga qaraganda sezilarli darajada keng tarqalgan. Uzoq kutilgan umumiy holat:

6-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Yechim: janr klassikasi:

1) maxraj musbat bo‘lgani uchun funksiya butun son chizig‘i bo‘ylab uzluksiz bo‘lib, vertikal asimptotlar yo‘q. ...Bu yaxshimi? To'g'ri so'z emas - ajoyib! №1 nuqta yopiq.

2) qiyshiq asimptotalarning mavjudligini tekshiramiz:

Birinchi chegara cheklangan, shuning uchun davom etaylik. "Cheksizlik minus cheksizlik" noaniqligini bartaraf etish uchun ikkinchi chegarani hisoblashda biz ifodani umumiy maxrajga qisqartiramiz:

Ikkinchi chegara ham cheklangan, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigi qiya asimptotaga ega:

Xulosa:

Shunday qilib, funksiyaning grafigi qachon cheksiz yaqin to'g'ri chiziqqa yaqinlashadi:

E'tibor bering, u o'zining qiya asimptotasini boshida kesib o'tadi va bunday kesishish nuqtalari juda maqbuldir - cheksizlikda "hamma narsa normal" bo'lishi muhim (aslida, bu erda biz asimptotlar haqida gapiramiz).

7-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Yechim: izoh berish uchun alohida narsa yo'q, shuning uchun men uni rasmiylashtiraman taxminiy namuna yakuniy yechim:

1) Vertikal asimptotlar. Keling, nuqtani o'rganamiz.

To'g'ri chiziq - da grafik uchun vertikal asimptota.

2) qiyshiq asimptotlar:

To'g'ri chiziq - da grafik uchun qiya asimptota.

Javob:

Topilgan bir tomonlama chegaralar va asimptotlar ushbu funktsiya grafigi qanday ko'rinishini yuqori ishonch bilan taxmin qilish imkonini beradi. Dars oxirida to'g'ri chizish.

8-misol

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Bu mustaqil yechimga misol bo'lib, ba'zi chegaralarni hisoblash qulayligi uchun siz hisoblagichni maxraj terminiga bo'lishingiz mumkin; Shunga qaramay, natijalaringizni tahlil qilayotganda, ushbu funktsiyaning grafigini chizishga harakat qiling.

Shubhasiz, "haqiqiy" qiya asimptotalarning egalari hisoblagichning etakchi darajasi maxrajning etakchi darajasidan bir kattaroq bo'lgan kasrli ratsional funktsiyalarning grafiklaridir. Agar u ko'proq bo'lsa, qiyshiq asimptota bo'lmaydi (masalan, ).

Ammo hayotda boshqa mo''jizalar sodir bo'ladi:

9-misol

11-misol

Funksiya grafigini asimptotalarning mavjudligini tekshiring

Yechim: aniq , shuning uchun biz faqat o'ng yarim tekislikni ko'rib chiqamiz, bu erda funktsiya grafigi mavjud.

Shunday qilib, to'g'ri chiziq (ordinata o'qi) da funktsiya grafigi uchun vertikal asimptota hisoblanadi.

2) Qiya asimptotani o'rganish to'liq sxema bo'yicha amalga oshirilishi mumkin, ammo L'Hopital qoidalari maqolasida biz buni aniqladik. chiziqli funksiya Logarifmikdan yuqori o'sish tartibi, shuning uchun: (Shu darsning 1-misoliga qarang).

Xulosa: x o'qi funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.

Javob:
, Agar;
, Agar .

Aniqlik uchun chizish:

Qizig'i shundaki, o'xshash funktsiyaning asimptotalari umuman yo'q (xohlaganlar buni tekshirishlari mumkin).

Ikki yakuniy misollar uchun o'z-o'zini o'rganish:

12-misol

Funksiya grafigini asimptotalarning mavjudligini tekshiring

y = f(x) funktsiya grafigining asimptoti - bu to'g'ri chiziq bo'lib, u (x, f(x)) nuqtadan ushbu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa nolga intiladi, chunki grafik nuqtasi cheksiz harakat qiladi. kelib chiqishi.

3.10-rasmda. vertikal, gorizontal va qiya asimptotalarning grafik misollari keltirilgan.

Grafikning asimptotalarini topish quyidagi uchta teoremaga asoslanadi.

Vertikal asimptota teoremasi. y = f(x) funksiya x 0 nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida aniqlansin (ehtimol, bu nuqtaning o'zi bundan mustasno) va funktsiyaning bir tomonlama chegaralaridan kamida bittasi cheksizlikka teng bo'lsin, ya'ni. U holda x = x 0 to'g'ri chiziq y = f(x) funksiya grafigining vertikal asimptotasidir.

Shubhasiz, agar funktsiya x 0 nuqtada uzluksiz bo'lsa, x = x 0 to'g'ri chiziq vertikal asimptota bo'la olmaydi, chunki bu holda . Binobarin, vertikal asimptotalarni funksiyaning uzilish nuqtalarida yoki uning aniqlanish sohasi oxirida izlash kerak.

Gorizontal asimptota teoremasi. Yetarli darajada katta x uchun y = f(x) funksiya aniqlansin va funksiyaning chekli chegarasi mavjud. U holda y = b chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.

Izoh. Agar chegaralardan faqat bittasi chekli bo'lsa, u holda funksiya mos ravishda chap yoki o'ng tomonli gorizontal asimptotaga ega bo'ladi.

Bunday holda, funktsiya qiya asimptotaga ega bo'lishi mumkin.

Oblik asimptota teoremasi. Yetarli darajada katta x uchun y = f(x) funksiya aniqlansin va chekli chegaralar bo‘lsin . U holda y = kx + b to'g'ri chiziq funksiya grafigining qiya asimptotasidir.

Hech qanday dalil.

Egri asimptota, xuddi gorizontal kabi, o'ng yoki chap qo'l bo'lishi mumkin, agar tegishli chegaralarning asosi ma'lum bir belgining cheksizligi bo'lsa.

Funktsiyalarni o'rganish va ularning grafiklarini qurish odatda quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

2. Funksiyaning juft-toqligini tekshiring.

3. Agar ular chekli bo'lsa, uzilish nuqtalari va funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralaridagi xatti-harakatlarini o'rganib, vertikal asimptotalarni toping.

4. Funksiyaning cheksizlikdagi harakatini tekshirib, gorizontal yoki qiya asimptotalarni toping.

5. Funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping.

6. Funksiyaning qavariqlik oraliqlarini va burilish nuqtalarini toping.

7. Koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarni va, ehtimol, grafikni aniqlaydigan ba'zi qo'shimcha nuqtalarni toping.

Funktsional differentsial

Isbotlash mumkinki, agar funktsiya ma'lum bir asos uchun chekli songa teng chegaraga ega bo'lsa, u holda uni shu sonning yig'indisi va bir xil asos uchun cheksiz kichik qiymat sifatida ko'rsatish mumkin (va aksincha): .

Bu teoremani differensiallanuvchi funksiyaga tadbiq qilaylik: .

Shunday qilib, Du funktsiyaning o'sishi ikki haddan iborat: 1) Dx ga nisbatan chiziqli, ya'ni. f `(x)Dx; 2) Dx ga nisbatan chiziqli bo'lmagan, ya'ni. a(Dx)Dx. Shu bilan birga, beri , bu ikkinchi had Dx dan yuqori tartibli cheksiz kichikdir (Dx nolga intilayotgani uchun u tezroq nolga intiladi).

Funksiyaning differentsiali - bu hosila va mustaqil o'zgaruvchining dy = f `(x)Dx ko'paytmasiga teng bo'lgan funktsiya o'sishning Dx ga nisbatan asosiy, chiziqli qismidir.

y = x funksiyaning differentsialini topamiz.

dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx bo'lgani uchun dx = Dx, ya'ni. mustaqil o'zgaruvchining differensialligi bu o'zgaruvchining o'sishiga teng.

Demak, funktsiyani differentsiallash formulasini dy = f `(x)dx shaklida yozish mumkin. Shuning uchun hosila uchun yozuvlardan biri dy/dx kasrdir.

Geometrik ma'no differentsial tasvirlangan
3.11-rasm. y = f(x) funksiya grafigidagi ixtiyoriy M(x, y) nuqtani olaylik. X argumentiga Dx ortishini beraylik. Shunda y = f(x) funksiya Dy = f(x + Dx) - f(x) ortishini oladi. M nuqtada funksiya grafigiga teginish chizamiz, u abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan a burchak hosil qiladi, ya'ni. f `(x) = tan a. Kimdan to'g'ri uchburchak MKN
KN = MN*tg a = Dx*tg a = f `(x)Dx = dy.

Shunday qilib, funktsiyaning differentsiali - x Dx o'sishni qabul qilganda, berilgan nuqtada funktsiya grafigiga chizilgan tangens ordinatasidagi o'sishdir.

Differensialning xossalari asosan hosilalarning xossalari bilan bir xil:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Biroq, bor muhim mulk funktsiyaning hosilasi ega bo'lmagan differentsial - bu differentsial shaklining o'zgarmasligi.

y = f(x) funksiya uchun differentsial ta'rifidan dy = f `(x)dx differensial. Agar bu funktsiya y murakkab bo'lsa, ya'ni. y = f(u), bu erda u = j(x), keyin y = f va f `(x) = f `(u)*u`. Keyin dy = f `(u)*u`dx. Ammo funktsiya uchun
u = j(x) differensial du = u`dx. Demak, dy = f `(u)*du.

dy = f `(x)dx va dy = f `(u)*du tengliklarini taqqoslab, agar mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi o'rniga x funktsiyasini ko'rib chiqsak, differentsial formula o'zgarmasligiga ishonch hosil qilamiz. qaram o'zgaruvchi u. Differensialning bu xossasi differentsial shaklining (yoki formulasining) o'zgarmasligi (ya'ni o'zgarmasligi) deb ataladi.

Biroq, bu ikki formulada hali ham farq mavjud: ularning birinchisida mustaqil o'zgaruvchining differentsiali bu o'zgaruvchining o'sishiga teng, ya'ni. dx = Dx, ikkinchidan, du funksiyasining differensialligi bu funksiya Du ortishining faqat chiziqli qismidir va faqat kichik Dx du » Du uchun.

Veb-saytga matematik formulalarni qanday kiritish mumkin?

Agar biror marta veb-sahifaga bitta yoki ikkita matematik formula qo'shish kerak bo'lsa, buni qilishning eng oson yo'li maqolada tasvirlanganidek: matematik formulalar Wolfram Alpha tomonidan avtomatik ravishda yaratilgan rasmlar ko'rinishida saytga osongina kiritiladi. . Oddiylikdan tashqari, bu universal usul veb-sayt ko'rinishini yaxshilashga yordam beradi qidiruv tizimlari. U uzoq vaqtdan beri ishlamoqda (va, menimcha, abadiy ishlaydi), lekin allaqachon ma'naviy jihatdan eskirgan.

Agar siz saytingizda muntazam ravishda matematik formulalardan foydalansangiz, men sizga MathML, LaTeX yoki ASCIIMathML belgilaridan foydalangan holda veb-brauzerlarda matematik belgilarni aks ettiruvchi maxsus JavaScript kutubxonasi - MathJax-dan foydalanishni tavsiya qilaman.

MathJax-dan foydalanishni ikki yo'l bilan boshlash mumkin: (1) oddiy kod yordamida siz MathJax skriptini veb-saytingizga tezda ulashingiz mumkin, u kerakli vaqtda masofaviy serverdan avtomatik ravishda yuklanadi (serverlar ro'yxati); (2) MathJax skriptini masofaviy serverdan serveringizga yuklab oling va uni saytingizning barcha sahifalariga ulang. Ikkinchi usul – murakkabroq va ko‘p vaqt talab qiluvchi – saytingiz sahifalarini yuklashni tezlashtiradi va agar asosiy MathJax serveri biron sababga ko‘ra vaqtincha ishlamay qolsa, bu sizning saytingizga hech qanday ta’sir qilmaydi. Ushbu afzalliklarga qaramay, men birinchi usulni tanladim, chunki u sodda, tezroq va texnik ko'nikmalarni talab qilmaydi. Mening misolimga amal qiling va atigi 5 daqiqada saytingizda MathJaxning barcha imkoniyatlaridan foydalana olasiz.

MathJax kutubxonasi skriptini uzoq serverdan asosiy MathJax veb-saytidan yoki hujjatlar sahifasidan olingan ikkita kod variantidan foydalanib ulashingiz mumkin:

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangiz kodiga joylashtirish kerak, afzalroq teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Bo'ldi shu. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini o'rganing va siz saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni kiritishga tayyorsiz.

Har qanday fraktal ga muvofiq tuziladi ma'lum bir qoida, bu ketma-ket cheksiz ko'p marta qo'llaniladi. Har bir bunday vaqt iteratsiya deb ataladi.

Menger shimgichni qurishning iterativ algoritmi juda oddiy: 1 tomoni bo'lgan asl kub yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan 27 ta teng kubga bo'linadi. Undan bitta markaziy kub va unga qo'shni yuzlar bo'ylab 6 kub chiqariladi. Natijada qolgan 20 ta kichik kubdan iborat to'plam paydo bo'ladi. Ushbu kublarning har biri bilan xuddi shunday qilib, biz 400 ta kichik kubdan iborat to'plamni olamiz. Ushbu jarayonni cheksiz davom ettirib, biz Menger shimgichni olamiz.