Ushbu videoda biz butun to'plamni tahlil qilamiz chiziqli tenglamalar, ular bir xil algoritm yordamida hal qilinadi - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Birinchidan, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va qaysi biri eng oddiy deb ataladi?

Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.

Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:

Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalanib, eng oddiyiga qisqartiriladi:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
2. Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
3. Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
4. Hosil bo‘lgan tenglamani $x$ o‘zgaruvchining koeffitsientiga bo‘ling.

Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:

1. Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
2. Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.

Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Tenglamalarni yechishga misollar

Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.

Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:

1. Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
2. Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
3. Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.

Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.

Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.

Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman yo'q yoki yechim butun son chizig'i, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo siz allaqachon tushunganingizdek, biz boshlaymiz oddiy vazifalar.

Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi

Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
2. Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
3. Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
4. Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.

Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish

Vazifa № 1

Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. Eslatma: haqida gapiramiz faqat individual shartlar haqida. Keling, buni yozamiz:

Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, ammo bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Shunday qilib, biz javob oldik.

Vazifa № 2

Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:

Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday son ekanligini yozishimiz mumkin.

Vazifa № 3

Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:

\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]

Bu erda bir nechta qavslar bor, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:

Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Keling, hisob-kitob qilaylik:

Biz bajaramiz oxirgi qadam- hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar

Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:

• Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
• Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.

Nol - bu boshqalar bilan bir xil raqam, siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.

Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlar yordamida ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.

Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va xafagarchilikka yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday narsalarni qilish odatiy holdir.

Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Keling, ko'proq narsaga o'tamiz murakkab tenglamalar. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.

Misol № 1

Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:

Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:

\[\varnothing\]

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Misol № 2

Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:

Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:

\[\varnothing\],

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Yechimning nuanslari

Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iboradan misol tariqasida biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta, yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildizlar bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasi ham oddiygina ildizga ega emas.

Lekin men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:

Ochishdan oldin siz hamma narsani "X" ga ko'paytirishingiz kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.

Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.

Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:

Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni echish har doim elementar o'zgarishlar ketma-ketligi bo'lib, bu erda aniq va malakali bajarish mumkin emas. oddiy qadamlar o'rta maktab o'quvchilari mening oldimga kelib, yana shunday oddiy tenglamalarni yechishni o'rganishlariga olib keladi.

Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo siz endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.

Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.

Vazifa № 1

\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]

Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:

Keling, bir oz maxfiylikni ta'minlaylik:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.

Vazifa № 2

\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]

Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiramiz. O'zgartirishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:

Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:

Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Mana shunga o'xshash atamalar:

Yana bir bor yakuniy javobni oldik.

Yechimning nuanslari

Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.

Algebraik yig'indi haqida

Ushbu oxirgi misol bilan men talabalarga nimani eslatmoqchiman algebraik yig'indi. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.

Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.

Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.

Kasrli tenglamalarni yechish

Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:

1. Qavslarni oching.
2. Alohida o'zgaruvchilar.
3. Shunga o'xshashlarni olib keling.
4. Nisbatga bo'linadi.

Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ngda kasrga egamiz.

Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:

1. Fraksiyalardan xalos bo'ling.
2. Qavslarni oching.
3. Alohida o'zgaruvchilar.
4. Shunga o'xshashlarni olib keling.
5. Nisbatga bo'linadi.

"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.

Misol № 1

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]

Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:

\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

Endi kengaytiramiz:

Biz o'zgaruvchini ajratamiz:

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:

\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Biz yakuniy yechimni oldik, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.

Misol № 2

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]

Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Muammo hal qilindi.

Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.

Asosiy fikrlar

Asosiy topilmalar quyidagilar:

• Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
• Qavslarni ochish qobiliyati.
• Agar biror joyda kvadratik funktsiyalar mavjud bo'lsa, tashvishlanmang, ular keyingi transformatsiyalar jarayonida kamayadi.
• Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son qatori ildiz va umuman ildiz yo'q.

Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!

Tenglamaning bu qismi qavs ichidagi ifodadir. Qavslarni ochish uchun qavs oldidagi belgiga qarang. Agar ortiqcha belgisi bo'lsa, ifodadagi qavslarni ochish hech narsani o'zgartirmaydi: shunchaki qavslarni olib tashlang. Agar minus belgisi bo'lsa, qavslarni ochganda, dastlab qavslarda bo'lgan barcha belgilarni qarama-qarshi belgilarga o'zgartirishingiz kerak. Masalan, -(2x-3)=-2x+3.

Ikki qavsni ko'paytirish.
Agar tenglama ikkita qavs ko'paytmasini o'z ichiga olsa, standart qoidaga muvofiq qavslarni kengaytiring. Birinchi qavsdagi har bir atama ikkinchi qavsdagi har bir atama bilan ko'paytiriladi. Olingan raqamlar umumlashtiriladi. Bunday holda, ikkita "ortiqcha" yoki ikkita "minus" ko'paytmasi atama "ortiqcha" belgisini beradi va agar omillar turli belgilarga ega bo'lsa, u "minus" belgisini oladi.
Keling, ko'rib chiqaylik.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Qavslarni ochish, ba'zan ifodani ko'tarish orqali. Kvadrat va kub formulalarini yoddan bilish va eslab qolish kerak.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Uchdan katta ifodani tuzish formulalarini Paskal uchburchagi yordamida bajarish mumkin.

Manbalar:

• qavsni kengaytirish formulasi

Qavslar ichiga olingan matematik operatsiyalar o‘zgaruvchilar va ifodalarni o‘z ichiga olishi mumkin turli darajalarda qiyinchiliklar. Bunday iboralarni ko'paytirish uchun siz yechim izlashingiz kerak bo'ladi umumiy ko'rinish, qavslarni ochish va natijani soddalashtirish. Qavslar ichida o'zgaruvchilarsiz amallar bo'lsa, faqat bilan raqamli qiymatlar, keyin qavslarni ochish shart emas, chunki agar sizda kompyuter bo'lsa, uning foydalanuvchisi juda muhim hisoblash resurslariga kirish huquqiga ega - ifodani soddalashtirishdan ko'ra ulardan foydalanish osonroq.

Ko'rsatmalar

Natijani umumiy ko'rinishda olishni istasangiz, bitta qavsdagi har birini (yoki bilan cheklash) boshqa barcha qavslar mazmuniga ketma-ket ko'paytiring. Masalan, asl ifoda quyidagicha yozilsin: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Keyin ketma-ket ko'paytirish (ya'ni qavslarni ochish) quyidagi natijani beradi: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+) 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Ifodalarni qisqartirish orqali natijani soddalashtiring. Masalan, oldingi bosqichda olingan ifodani quyidagicha soddalashtirish mumkin: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Agar x ni 4,75 ga ko'paytirish kerak bo'lsa, kalkulyatordan foydalaning, ya'ni (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Ushbu qiymatni hisoblash uchun Google yoki Nigma qidiruv tizimining veb-saytiga o'ting va so'rov maydoniga iborani asl ko'rinishida (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2) kiriting. Google 82.265625 tugmachasini bosmasdan darhol ko'rsatadi, lekin Nigma bir tugmani bosish bilan serverga ma'lumotlarni yuborishi kerak.

Endi biz qavs ichidagi ifoda son yoki ifoda bilan ko'paytiriladigan iboralarda qavs ochishga o'tamiz. Oldindan minus belgisi qo'yilgan qavslarni ochish qoidasini tuzamiz: qavslar minus belgisi bilan birga olib tashlandi va qavs ichidagi barcha atamalarning belgilari teskarisiga almashtiriladi.

Ifodani o'zgartirish turlaridan biri qavslarni kengaytirishdir. Raqamli, so'zma-so'z ifodalar va o'zgaruvchilari bo'lgan ifodalar qavslar yordamida tuzilishi mumkin, ular amallarning bajarilish tartibini ko'rsatishi mumkin, manfiy sonni o'z ichiga oladi va hokazo. Faraz qilaylik, yuqorida tavsiflangan iboralarda raqamlar va o'zgaruvchilar o'rniga har qanday ifodalar bo'lishi mumkin.

Qavslarni ochishda yechim yozishning o'ziga xos xususiyatlariga oid yana bir fikrga e'tibor qaratamiz. Oldingi paragrafda biz qavslarni ochish deb ataladigan narsalarni ko'rib chiqdik. Buning uchun qavslarni ochish qoidalari mavjud, biz ularni hozir ko'rib chiqamiz. Bu qoida musbat raqamlar odatda qavssiz yozilishi bilan belgilanadi, bu holda qavslar kerak emas; (−3,7)−(−2)+4+(−9) ifodani qavssiz −3,7+2+4−9 shaklida yozish mumkin.

Nihoyat, qoidaning uchinchi qismi oddiygina ro'yxatga olishning o'ziga xos xususiyatlariga bog'liq manfiy raqamlar ifodaning chap tomoniga (biz salbiy sonlarni yozish uchun qavslar bo'limida aytib o'tgan edik). Siz son, minus belgilari va bir necha juft qavslardan tashkil topgan iboralarni uchratishingiz mumkin. Agar siz qavslarni ichkidan tashqi tomonga o'tkazsangiz, unda yechim quyidagicha bo'ladi: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.

Qavslar qanday ochiladi?

Mana tushuntirish: −(−2 x) +2 x va bu ifoda birinchi bo‘lgani uchun +2 x ni 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 shaklida yozish mumkin. /x va −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Qavslarni ochish uchun yozma qoidaning birinchi qismi to'g'ridan-to'g'ri manfiy sonlarni ko'paytirish qoidasidan kelib chiqadi. Uning ikkinchi qismi raqamlarni ko'paytirish qoidasining natijasidir turli belgilar. Keling, har xil belgilarga ega bo'lgan ikkita sonning ko'paytmalari va bo'laklarida qavslarni ochish misollariga o'tamiz.

Qavslarni ochish: qoidalar, misollar, echimlar.

Yuqoridagi qoida ushbu harakatlarning butun zanjirini hisobga oladi va qavslarni ochish jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi. Xuddi shu qoida, yig'indi va farqlar bo'lmagan minus belgisi bilan mahsulot va qisman ifodalar bo'lgan iboralarda qavslarni ochishga imkon beradi.

Keling, ushbu qoidani qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik. Keling, tegishli qoidani beramiz. Yuqorida −(a) va −(−a) ko‘rinishdagi ifodalarga duch keldik, ular qavslarsiz mos ravishda −a va a shaklida yoziladi. Masalan, −(3)=3, va. Bu belgilangan qoidaning alohida holatlari. Endi qavslar yig‘indi yoki farqni o‘z ichiga olgan holda ochish misollarini ko‘rib chiqamiz. Keling, ushbu qoidadan foydalanish misollarini ko'rsatamiz. (b1+b2) ifodani b deb belgilaymiz, shundan so'ng oldingi banddagi ifodaga qavsni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz, bizda (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Induksiya orqali bu bayonot har bir qavsdagi ixtiyoriy sonli atamalarga kengaytirilishi mumkin. Oldingi paragraflardagi qoidalardan foydalanib, olingan ifodadagi qavslarni ochish qoladi, oxirida biz 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· ni olamiz 2·x·y3.

Matematikaning qoidasi qavslar oldida (+) va (-) bo'lsa, qavslarni ochishdir.

Bu ifoda uch koʻpaytma (2+4), 3 va (5+7·8) koʻpaytmasidir. Qavslarni ketma-ket ochishingiz kerak bo'ladi. Endi biz qavsni songa ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz, bizda ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) mavjud. Asoslari qavs ichida yozilgan ba'zi iboralar bo'lgan darajalar, bilan naturada bir necha qavslar hosilasi deb qarash mumkin.

Masalan, (a+b+c)2 ifodasini o'zgartiramiz. Avval uni ikkita qavs (a+b+c)·(a+b+c) ko‘paytmasi qilib yozamiz, endi qavsni qavsga ko‘paytiramiz, a·a+a·b+a·c+ ni olamiz. b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Ikki raqamning yig'indisi va ayirmalarini tabiiy darajaga ko'tarish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanish tavsiya etiladi. Masalan, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Avval bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish, so'ngra mahsulotdagi qavslarni ochish uchun tegishli qoidadan foydalanish qulayroq emas.

Misollar yordamida qavslarni ochish tartibini tushunish qoladi. (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) ifodani olaylik. Bu natijalarni asl ifodaga almashtiramiz: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Qavslarni ochishni tugatishgina qoladi, natijada bizda -5+3·2:4+6·7. Bu tenglikning chap tomonidan o'ngga o'tishda qavslar ochilishi sodir bo'lganligini anglatadi.

E'tibor bering, uchta misolda biz oddiygina qavslarni olib tashladik. Birinchidan, 889 ga 445 qo'shing. Bu harakatni aqliy ravishda bajarish mumkin, lekin bu juda oson emas. Keling, qavslarni ochamiz va o'zgartirilgan protsedura hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirishini ko'ramiz.

Qavslarni boshqa darajaga qanday kengaytirish mumkin

Tasviriy misol va qoida. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik: . Ifodaning qiymatini 2 va 5 ni qo'shib, keyin esa qarama-qarshi belgi bilan olingan sonni olish orqali topishingiz mumkin. Qavs ichida ikkita emas, uch yoki undan ortiq atama bo'lsa, qoida o'zgarmaydi. Izoh. Belgilar faqat atamalar oldida teskari. Qavslarni ochish uchun bu holda biz distributiv xususiyatni esga olishimiz kerak.

Qavs ichidagi yagona raqamlar uchun

Sizning xatoingiz belgilarda emas, balki kasrlarni noto'g'ri ishlatishdami? 6-sinfda musbat va manfiy sonlar bilan tanishdik. Misollar va tenglamalarni qanday hal qilamiz?

Qavs ichida qancha? Bu iboralar haqida nima deya olasiz? Albatta, birinchi va ikkinchi misollarning natijasi bir xil, ya'ni ular orasiga teng belgi qo'yishimiz mumkin: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Qavslar bilan nima qildik?

Qavslarni ochish qoidalari bilan 6-slaydni ko'rsatish. Shunday qilib, qavslarni ochish qoidalari bizga misollarni hal qilishga va ifodalarni soddalashtirishga yordam beradi. Keyin o'quvchilardan juft bo'lib ishlash so'raladi: qavslar o'z ichiga olgan ifodani tegishli ifoda bilan qavssiz ulash uchun o'qlardan foydalanishlari kerak.

Slayd 11 Bir marta Quyoshli shaharda Znayka va Dunno ulardan qaysi biri tenglamani to'g'ri yechgani haqida bahslashdilar. Keyinchalik, o'quvchilar qavslarni ochish qoidalaridan foydalangan holda tenglamani mustaqil ravishda hal qiladilar. Tenglamalarni yechish” Darsning maqsadi: ta’limiy (mavzu bo‘yicha bilimlarni mustahkamlash: “Qavslarni ochish.

Dars mavzusi: “Qavslarni ochish. Bunday holda, siz birinchi qavsdagi har bir atamani ikkinchi qavsdagi har bir atama bilan ko'paytirishingiz va keyin natijalarni qo'shishingiz kerak. Birinchidan, dastlabki ikkita omil olinadi, yana bitta qavs ichiga olinadi va bu qavslar ichida allaqachon ma'lum bo'lgan qoidalardan biriga muvofiq qavslar ochiladi.

rawalan.freezeet.ru

Qavslarni ochish: qoidalar va misollar (7-sinf)

Qavslarning asosiy vazifasi qiymatlarni hisoblashda harakatlar tartibini o'zgartirishdir raqamli ifodalar . Masalan, sonli ifodada \(5·3+7\) avval koʻpaytirish, keyin esa qoʻshish hisoblanadi: \(5·3+7 =15+7=22\). Lekin \(5·(3+7)\) ifodasida avval qavs ichidagi qo'shilish, shundan keyingina ko'paytirish hisoblab chiqiladi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Biroq, agar biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak algebraik ifoda o'z ichiga olgan o'zgaruvchan- masalan, shunday: \(2(x-3)\) - keyin qavs ichidagi qiymatni hisoblash mumkin emas, o'zgaruvchi yo'lda. Shuning uchun, bu holda, tegishli qoidalar yordamida qavslar "ochiladi".

Qavslarni ochish qoidalari

Agar qavs oldida ortiqcha belgisi bo'lsa, unda qavs oddiygina olib tashlanadi, undagi ifoda o'zgarishsiz qoladi. Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Bu erda aniqlik kiritish kerakki, matematikada yozuvlarni qisqartirish uchun, agar ifodada birinchi bo'lib paydo bo'lsa, ortiqcha belgisini yozmaslik odatiy holdir. Misol uchun, agar biz ikkita musbat sonni qo'shsak, masalan, etti va uchta, yetti ham ijobiy son bo'lishiga qaramay, \(+7+3\) emas, oddiygina \(7+3\) yozamiz. . Xuddi shunday, agar siz, masalan, \((5+x)\) ifodasini ko'rsangiz - buni biling qavs oldidan yozilmagan plyus bor.

Misol . Qavsni oching va shunga o'xshash shartlarni keltiring: \((x-11)+(2+3x)\).
Yechim : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Qavs oldida minus belgisi bo'lsa, qavs olib tashlanganida, uning ichidagi ifodaning har bir a'zosi ishorani teskarisiga o'zgartiradi:

Bu erda shuni aniqlashtirish kerakki, a qavs ichida bo'lganida, ortiqcha belgisi bor edi (ular shunchaki yozmadilar) va qavsni olib tashlaganingizdan so'ng, bu plyus minusga o'zgartirildi.

Misol : \(2x-(-7+x)\) ifodasini soddalashtiring.
Yechim : qavs ichida ikkita atama mavjud: \(-7\) va \(x\), qavs oldidan esa minus mavjud. Bu shuni anglatadiki, belgilar o'zgaradi - va ettita endi ortiqcha, x esa minus bo'ladi. Qavsni oching va shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz .

Misol. Qavsni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Yechim : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Qavs oldida koeffitsient bo'lsa, qavsning har bir a'zosi unga ko'paytiriladi, ya'ni:

Misol. Qavslarni kengaytiring \(5(3-x)\).
Yechim : Qavs ichida bizda \(3\) va \(-x\) bor, qavsdan oldin esa besh. Bu qavsning har bir a'zosi \(5\) ga ko'paytirilishini anglatadi - buni sizga eslatib o'taman Raqam va qavs orasidagi ko'paytirish belgisi matematikada yozuvlar hajmini kamaytirish uchun yozilmagan..

Misol. Qavslarni kengaytiring \(-2(-3x+5)\).
Yechim : Oldingi misoldagidek, qavs ichidagi \(-3x\) va \(5\) \(-2\) ga ko'paytiriladi.

Oxirgi vaziyatni ko'rib chiqish qoladi.

Qavsni qavsga ko'paytirishda birinchi qavsning har bir a'zosi ikkinchisining har bir hadi bilan ko'paytiriladi:

Misol. Qavslarni kengaytiring \((2-x)(3x-1)\).
Yechim : Bizda qavslar mahsuloti bor va uni yuqoridagi formula yordamida darhol kengaytirish mumkin. Ammo chalkashmaslik uchun keling, hamma narsani bosqichma-bosqich qilaylik.
1-qadam. Birinchi qavsni olib tashlang va har bir a'zoni ikkinchi qavsga ko'paytiring:

Qadam 2. Qavslar mahsulotlarini va yuqorida tavsiflangan omilni kengaytiring:
- Birinchi narsa birinchi ...

3-qadam. Endi biz o'xshash atamalarni ko'paytiramiz va keltiramiz:

Barcha o'zgarishlarni batafsil tavsiflash shart emas, siz ularni darhol ko'paytirishingiz mumkin. Ammo agar siz qavslarni ochishni o'rganayotgan bo'lsangiz, batafsil yozing, xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi.

Butun bo'limga e'tibor bering. Aslida, siz to'rtta qoidani eslab qolishingiz shart emas, faqat bittasini eslab qolishingiz kerak, bu: \(c(a-b)=ca-cb\) . Nega? Chunki c o'rniga bittasini qo'ysangiz, \((a-b)=a-b\) qoidasini olasiz. Agar minus birni almashtirsak, \(-(a-b)=-a+b\) qoidasini olamiz. Xo'sh, agar siz c o'rniga boshqa qavsni almashtirsangiz, oxirgi qoidani olishingiz mumkin.

Qavs ichidagi qavs

Ba'zan amalda boshqa qavslar ichiga joylashtirilgan qavslar bilan bog'liq muammolar mavjud. Mana shunday vazifaga misol: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifodasini soddalashtiring.

Bunday vazifalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun sizga kerak:
- qavslarning joylashishini diqqat bilan tushuning - qaysi biri qaysi;
— qavslarni, masalan, eng ichki qismidan boshlab, ketma-ket oching.

Qavslardan birini ochishda muhim ahamiyatga ega iboraning qolgan qismiga tegmang, shunchaki uni avvalgidek qayta yozing.
Misol tariqasida yuqorida yozilgan topshiriqni ko'rib chiqamiz.

Misol. Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(7x+2(5-(3x+y))\).
Yechim:

Keling, vazifani ichki qavsni (ichki) ochishdan boshlaylik. Uni kengaytirib, biz faqat unga bevosita bog'liq bo'lgan narsa bilan shug'ullanamiz - bu qavsning o'zi va uning oldidagi minus (yashil rang bilan ta'kidlangan). Biz hamma narsani (ta'kidlanmagan) xuddi shunday yozamiz.

Matematik muammolarni onlayn hal qilish

Onlayn kalkulyator.
Polinomni soddalashtirish.
Polinomlarni ko'paytirish.

Ushbu matematik dastur yordamida polinomni soddalashtirishingiz mumkin.
Dastur ishlayotganda:
- ko'phadlarni ko'paytiradi
- monomiallarni umumlashtiradi (o'xshashlarini beradi)
- qavslarni ochadi
- ko'phadni darajaga ko'taradi

Polinomni soddalashtirish dasturi nafaqat muammoga javob beradi, balki tushuntirishlar bilan batafsil yechim beradi, ya'ni. Matematika va/yoki algebra boʻyicha bilimlaringizni tekshirishingiz uchun yechim jarayonini koʻrsatadi.

Ushbu dastur talabalar uchun foydali bo'lishi mumkin o'rta maktablar tayyorgarlik bosqichida testlar va imtihonlar, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinab ko'rishda, ota-onalar uchun matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilish. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning mashg'ulotingiz va/yoki treningingizni o'tkazishingiz mumkin. kichik birodarlar yoki opa-singillar, hal qilinayotgan muammolar sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos, bir soniya kuting.

Bir oz nazariya.

Monomiy va ko'phadning ko'paytmasi. Polinom haqida tushuncha

Algebrada ko'rib chiqiladigan turli xil ifodalar orasida muhim joy monomiallarning yig'indisini egallaydi. Mana shunday iboralarga misollar:

Monomiylar yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phaddagi hadlar ko'phadning hadlari deyiladi. Monomial bir a'zodan iborat ko'phad deb hisoblanib, ko'phadlar ham ko'phadlar deb tasniflanadi.

Keling, barcha atamalarni standart shakldagi monomiallar shaklida ifodalaylik:

Olingan polinomda o'xshash atamalarni keltiramiz:

Natijada ko'phad hosil bo'ladi, uning barcha a'zolari standart shakldagi monomlardir va ular orasida o'xshashlari yo'q. Bunday polinomlar deyiladi standart shakldagi polinomlar.

Orqada polinom darajasi standart shakldagi o'z a'zolarining eng yuqori vakolatlarini oladi. Shunday qilib, binomial uchinchi darajaga, trinomial ikkinchi darajaga ega.

Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart shaklli ko'phadlar hadlari ko'rsatkichlarning kamayish tartibida joylashtiriladi. Masalan:

Bir nechta ko'phadlar yig'indisi standart shakldagi ko'phadga aylantirilishi (soddalashtirilgan) mumkin.

Ba'zan ko'phadning shartlarini har bir guruhni qavs ichiga olgan holda guruhlarga bo'lish kerak. Qavslarni o'rab olish ochiladigan qavslarning teskari o'zgarishi bo'lganligi sababli, uni shakllantirish oson. Qavslarni ochish qoidalari:

Qavslar oldiga "+" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar bir xil belgilar bilan yoziladi.

Qavslar oldiga "-" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.

Monomiy va ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).

Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, monom va ko'phadning ko'paytmasini ko'phadga aylantirish (soddalashtirish) mumkin. Masalan:

Monomiy va koʻphadning koʻpaytmasi shu monomning va koʻphadning har bir aʼzosining koʻpaytmalari yigʻindisiga teng boʻladi.

Bu natija odatda qoida sifatida shakllantiriladi.

Monomiyni ko‘phadga ko‘paytirish uchun bu monomni ko‘phadning har bir a’zosiga ko‘paytirish kerak.

Biz bu qoidani yig'indiga ko'paytirish uchun bir necha marta ishlatganmiz.

Polinomlarning hosilasi. Ikki ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).

Umuman olganda, ikkita ko'phadning ko'paytmasi bir xil ko'phadning har bir hadi va ikkinchisining har bir hadi ko'paytmasining yig'indisiga tengdir.

Odatda quyidagi qoida qo'llaniladi.

Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini ikkinchisining har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Kvadratlar yig'indisi, kvadratlarning farqlari va farqlari

Algebraik o'zgarishlarda ba'zi ifodalar bilan boshqalarga qaraganda tez-tez shug'ullanishingiz kerak. Ehtimol, eng keng tarqalgan iboralar u, ya'ni yig'indining kvadrati, farqning kvadrati va kvadratlarning farqi. Siz bu iboralarning nomlari to'liq bo'lmaganga o'xshaydi, masalan, bu, albatta, yig'indining kvadrati emas, balki a va b yig'indisining kvadrati. Biroq, a va b yig'indisining kvadrati, qoida tariqasida, a va b harflari o'rniga turli xil, ba'zan juda murakkab ifodalarni o'z ichiga oladi;

Ifodalar osongina standart shakldagi polinomlarga aylantirilishi (soddalashtirilgan) mumkin, aslida siz polinomlarni ko'paytirishda bunday vazifaga duch kelgansiz;

Olingan identifikatsiyalarni eslab qolish va ularni oraliq hisob-kitoblarsiz qo'llash foydalidir. Qisqacha og'zaki formulalar bunga yordam beradi.

- summaning kvadrati summasiga teng kvadratlar va mahsulotni ikki barobarga oshiring.

— ayirma kvadrati qo‘sh ko‘paytmasiz kvadratlar yig‘indisiga teng.

- kvadratlar ayirmasi ayirma va yig'indining ko'paytmasiga teng.

Ushbu uchta identifikatsiya o'zgarishlarda chap qo'l qismlarini o'ng qo'llar bilan va aksincha - o'ng qo'l qismlarini chap qo'llar bilan almashtirishga imkon beradi. Eng qiyin narsa - tegishli iboralarni ko'rish va ulardagi a va b o'zgaruvchilari qanday almashtirilishini tushunishdir. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

Kitoblar (darsliklar) Yagona davlat imtihonlari tezislari va OGE testlari Onlayn o'yinlar, jumboqlar Funksiya grafiklarini qurish Rus tilining imlo lug'ati Yoshlar jargonlari lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta ta'lim muassasalari katalogi Rossiya universitetlari katalogi Vazifalar ro'yxati GCD va LCMni topish Ko'phadni soddalashtirish (ko'phadlarni ko'paytirish) Ko'phadni ga bo'lish ustunli ko'pnomli Hisoblash sonli kasrlar Foizli masalalarni yechish Murakkab sonlar: yig‘indi, ayirma, ko‘paytma va bo‘lim Ikki o‘zgaruvchili 2 ta chiziqli tenglamalar sistemasi Yechish kvadrat tenglama Binomning kvadratini ajratib olish va kvadrat uch alamli koeffitsientlarga ajratish Tengsizliklarni yechish Tengsizliklar tizimini yechish Grafikni tuzish kvadratik funktsiya Chiziqli kasr funksiya grafigini tuzish Arifmetikani yechish va geometrik progressiyalar Trigonometrik, eksponensial, logarifmik tenglamalar Chegaralarni hisoblash, hosila, tangens Integral, antiderivativ Uchburchaklarni yechish Vektorlar bilan amallarni hisoblash Chiziqlar va tekisliklar bilan harakatlarni hisoblash Geometrik figuralar maydoni Geometrik figuralar perimetri Geometrik jismlar hajmi Geometrik jismlarning sirt maydoni
Yo'l harakati holati konstruktori
Ob-havo - yangiliklar - munajjimlar bashorati

www.mathsolution.ru

Qavslarni kengaytirish

Biz algebra asoslarini o'rganishni davom ettiramiz. Ushbu darsda biz iboralardagi qavslarni qanday kengaytirishni o'rganamiz. Qavslarni kengaytirish ifodadan qavslarni olib tashlashni anglatadi.

Qavslarni ochish uchun faqat ikkita qoidani eslab qolish kerak. Muntazam amaliyot bilan siz qavslarni ochishingiz mumkin ko'zlar yopiq, va yodlanishi kerak bo'lgan qoidalarni ishonch bilan unutish mumkin.

Qavslarni ochishning birinchi qoidasi

Quyidagi ifodani ko'rib chiqing:

Bu ifodaning qiymati 2 . Bu ifodadagi qavslarni ochamiz. Qavslarni kengaytirish iboraning ma'nosiga ta'sir qilmasdan, ulardan xalos bo'lishni anglatadi. Ya'ni qavslardan qutulgandan keyin ifoda qiymati 8+(−9+3) hali ham ikkiga teng bo'lishi kerak.

Qavslarni ochishning birinchi qoidasi quyidagicha:

Qavslarni ochishda, agar qavslar oldida plyus bo'lsa, u holda bu plyus qavslar bilan birga olib tashlanadi.

Demak, biz buni ifodada ko'ramiz 8+(−9+3) Qavslar oldida ortiqcha belgisi mavjud. Bu ortiqcha qavslar bilan birga qoldirilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, qavslar ularning oldida turgan ortiqcha bilan birga yo'qoladi. Qavs ichida bo'lgan narsa o'zgarishsiz yoziladi:

8−9+3 . Bu ifoda ga teng 2 , oldingi qavslar bilan ifodalangan kabi, teng edi 2 .

8+(−9+3) Va 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

2-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 3 + (−1 − 4)

Qavslar oldida plyus bor, ya'ni bu ortiqcha qavslar bilan birga o'tkazib yuborilgan. Qavslar ichidagi narsa o'zgarishsiz qoladi:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

3-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 2 + (−1)

Ushbu misolda qavslarni ochish ayirishni qo'shish bilan almashtirishning o'ziga xos teskari amaliga aylandi. Bu nima degani?

Ifodada 2−1 ayirish sodir bo'ladi, lekin uni qo'shish bilan almashtirish mumkin. Keyin biz ifodani olamiz 2+(−1) . Ammo ifodada bo'lsa 2+(−1) qavslarni oching, siz asl nusxani olasiz 2−1 .

Shuning uchun qavslarni ochishning birinchi qoidasi ba'zi o'zgarishlardan keyin ifodalarni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin. Ya'ni, uni qavslardan xalos qiling va uni soddalashtiring.

Masalan, ifodani soddalashtiramiz 2a+a−5b+b .

Ushbu ifodani soddalashtirish uchun shunga o'xshash atamalar berilishi mumkin. Eslatib o'tamiz, o'xshash atamalarni kamaytirish uchun siz o'xshash atamalarning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani umumiy harf qismiga ko'paytirishingiz kerak:

Bir ifoda bor 3a+(−4b). Keling, ushbu ifodadagi qavslarni olib tashlaymiz. Qavslar oldida plyus bor, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun birinchi qoidadan foydalanamiz, ya'ni qavslarni ushbu qavs oldidagi plyus bilan birga qoldiramiz:

Shunday qilib, ifoda 2a+a−5b+b ga soddalashtiradi 3a−4b .

Ba'zi qavslarni ochib, yo'lda boshqalarga duch kelishingiz mumkin. Biz ularga birinchi bo'lgan qoidalarni qo'llaymiz. Masalan, quyidagi ifodadagi qavslarni kengaytiramiz:

Qavslarni ochishingiz kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Bunday holda, qavslarni ochishning birinchi qoidasi qo'llaniladi, ya'ni qavslar oldidagi ortiqcha belgisi bilan birga qavslarni olib tashlash:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

3-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 6+(−3)+(−2)

Qavslar mavjud bo'lgan ikkala joyda, ular oldiga ortiqcha qo'yiladi. Bu erda yana qavslarni ochishning birinchi qoidasi qo'llaniladi:

Ba'zan qavs ichidagi birinchi atama belgisiz yoziladi. Masalan, ifodada 1+(2+3−4) birinchi atama qavs ichida 2 belgisiz yozilgan. Savol tug'iladi, qavs oldidagi ortiqcha va qavslar tushirilgandan keyin ikkalasining oldida qanday belgi paydo bo'ladi? Javob o'zini ko'rsatadi - ikkalasining oldida ortiqcha bo'ladi.

Aslida, qavs ichida bo'lish ham ikkalasining oldida ortiqcha bor, lekin biz buni ko'rmayapmiz, chunki u yozilmagan. Biz allaqachon musbat raqamlarning to'liq yozuvi o'xshashligini aytdik +1, +2, +3. Ammo an'anaga ko'ra, plyuslar yozilmaydi, shuning uchun biz bizga tanish bo'lgan ijobiy raqamlarni ko'ramiz. 1, 2, 3 .

Shuning uchun, ifodadagi qavslarni kengaytirish uchun 1+(2+3−4) , odatdagidek, bu qavslar oldidagi ortiqcha belgisi bilan birga qavslarni tashlab qo'yishingiz kerak, lekin qavs ichidagi birinchi atamani ortiqcha belgisi bilan yozing:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

4-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring −5 + (2 − 3)

Qavslar oldida plyus bor, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun birinchi qoidani qo'llaymiz, ya'ni qavslarni ushbu qavslar oldidagi ortiqcha bilan birga qoldiramiz. Ammo biz qavs ichida ortiqcha belgisi bilan yozadigan birinchi atama:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

5-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring (−5)

Qavslar oldida ortiqcha belgi bor, lekin u yozilmaydi, chunki undan oldin boshqa raqamlar yoki iboralar bo'lmagan. Bizning vazifamiz qavslarni ochishning birinchi qoidasini qo'llash orqali qavslarni olib tashlash, ya'ni bu ortiqcha bilan birga qavslarni olib tashlash (ko'rinmas bo'lsa ham)

6-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 2a + (−6a + b)

Qavslar oldida ortiqcha bor, ya'ni bu ortiqcha qavslar bilan birga o'tkazib yuborilgan. Qavs ichida bo'lgan narsa o'zgarishsiz yoziladi:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

7-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Ushbu iborada qavslarni kengaytirish kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Ikkala bo'limda qavslar oldidan plyus mavjud, ya'ni bu plyus qavslar bilan birga olib tashlangan. Qavs ichida bo'lgan narsa o'zgarishsiz yoziladi:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

Qavslarni ochishning ikkinchi qoidasi

Endi qavslarni ochishning ikkinchi qoidasini ko'rib chiqamiz. Qavslar oldidan minus bo'lganda ishlatiladi.

Qavslar oldidan minus bo'lsa, bu minus qavslar bilan birga olib tashlanadi, lekin qavs ichidagi atamalar o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi.

Masalan, quyidagi ifodadagi qavslarni kengaytiramiz

Qavslar oldidan minus borligini ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, siz ikkinchi kengaytirish qoidasini qo'llashingiz kerak, ya'ni bu qavslar oldidagi minus belgisi bilan birga qavslarni tashlab qo'yishingiz kerak. Bunday holda, qavs ichidagi atamalar o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi:

Qavssiz ifodani oldik 5+2+3 . Bu ifoda 10 ga teng, xuddi oldingi qavsli ifoda 10 ga teng edi.

Shunday qilib, ifodalar orasida 5−(−2−3) Va 5+2+3 teng belgi qo'yishingiz mumkin, chunki ular bir xil qiymatga teng:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

2-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 6 − (−2 − 5)

Qavslar oldidan minus mavjud, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani qo'llaymiz, ya'ni qavslarni bu qavslar oldidagi minus bilan birga qoldiramiz. Bunday holda, biz qarama-qarshi belgilar bilan qavs ichida bo'lgan atamalarni yozamiz:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

3-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 2 − (7 + 3)

Qavslar oldida minus bor, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani qo'llaymiz:

4-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring −(−3 + 4)

5-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Qavslarni ochishingiz kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Birinchi holda, siz qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani qo'llashingiz kerak va bu ifodaga kelganda +(−9−2) birinchi qoidani qo'llashingiz kerak:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

6-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring −(−a − 1)

7-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring −(4a + 3)

8-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring a − (4b + 3) + 15

9-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Qavslarni ochishingiz kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Birinchi holda, siz qavslarni ochish uchun birinchi qoidani qo'llashingiz kerak va bu ifodaga kelganda −(3c+5) ikkinchi qoidani qo'llashingiz kerak:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

10-misol. Ifodada qavslarni kengaytiring −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Qavslarni ochishingiz kerak bo'lgan uchta joy mavjud. Avval qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani, keyin birinchisini, keyin esa yana ikkinchi qoidani qo'llashingiz kerak:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Qavsni ochish mexanizmi

Biz hozir ko'rib chiqqan qavslarni ochish qoidalari ko'paytirishning distributiv qonuniga asoslanadi:

Aslida qavslarni ochish umumiy omil qavs ichidagi har bir hadga ko'paytiriladigan protsedura. Ushbu ko'paytirish natijasida qavslar yo'qoladi. Masalan, ifodadagi qavslarni kengaytiramiz 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Shuning uchun, agar siz raqamni qavs ichidagi ifodaga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa (yoki qavs ichidagi ifodani raqamga ko'paytirish), siz aytishingiz kerak Qavslarni ochamiz.

Ammo ko'paytirishning distributiv qonuni biz avval ko'rib chiqqan qavslarni ochish qoidalari bilan qanday bog'liq?

Gap shundaki, har qanday qavs oldidan umumiy omil mavjud. Misolda 3×(4+5) umumiy omil hisoblanadi 3 . Va misolda a(b+c) umumiy omil o'zgaruvchidir a.

Qavslar oldidan raqamlar yoki o'zgaruvchilar bo'lmasa, u holda umumiy omil hisoblanadi 1 yoki −1 , qavslar oldida qanday belgi borligiga qarab. Qavslar oldida ortiqcha belgi bo'lsa, u holda umumiy omil hisoblanadi 1 . Qavslar oldidan minus bo'lsa, u holda umumiy omil hisoblanadi −1 .

Masalan, iboradagi qavslarni kengaytiramiz −(3b−1). Qavslar oldida minus belgisi mavjud, shuning uchun qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidadan foydalanish kerak, ya'ni qavslar oldidagi minus belgisi bilan birga qavslarni ham tashlab qo'ying. Va qarama-qarshi belgilar bilan qavs ichida bo'lgan ifodani yozing:

Qavslarni kengaytirish qoidasidan foydalanib, biz qavslarni kengaytirdik. Lekin xuddi shu qavslarni ko'paytirishning distributiv qonuni yordamida ochish mumkin. Buning uchun avval qavslar oldiga yozilmagan umumiy koeffitsient 1ni yozing:

Qavslar oldida ilgari turgan minus belgisi ushbu birlikka ishora qildi. Endi siz qavslarni ko'paytirishning distributiv qonunidan foydalanib ochishingiz mumkin. Buning uchun umumiy omil −1 qavs ichidagi har bir atamaga ko'paytirishingiz va natijalarni qo'shishingiz kerak.

Qulaylik uchun biz qavs ichidagi farqni miqdor bilan almashtiramiz:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

O'tgan safargidek, biz iborani oldik −3b+1. Bunday oddiy misolni hal qilish uchun bu safar ko'proq vaqt sarflanganiga hamma rozi bo'ladi. Shuning uchun, biz ushbu darsda muhokama qilgan qavslarni ochish uchun tayyor qoidalardan foydalanish oqilona:

Ammo bu qoidalar qanday ishlashini bilish zarar qilmaydi.

Ushbu darsda biz yana bir o'xshash o'zgarishlarni bilib oldik. Qavslarni ochish, umumiyni qavs ichidan chiqarish va shunga o'xshash atamalarni olib kelish bilan birgalikda siz hal qilinishi kerak bo'lgan muammolar doirasini biroz kengaytirishingiz mumkin. Masalan:

Bu erda siz ikkita amalni bajarishingiz kerak - avval qavslarni oching, so'ngra shunga o'xshash shartlarni keltiring. Shunday qilib, tartibda:

1) Qavslarni oching:

2) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz:

Olingan ifodada −10b+(−1) Qavslarni kengaytirishingiz mumkin:

2-misol. Qavslarni oching va quyidagi iboraga o'xshash atamalarni qo'shing:

1) Qavslarni ochamiz:

2) Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik. Bu safar vaqt va joyni tejash uchun koeffitsientlar umumiy harf qismiga qanday ko'paytirilishini yozmaymiz.

3-misol. Ifodani soddalashtiring 8m+3m va uning qiymatini toping m=−4

1) Birinchidan, ifodani soddalashtiramiz. Ifodani soddalashtirish uchun 8m+3m, undagi umumiy omilni chiqarib olishingiz mumkin m qavslar tashqarisida:

2) Ifodaning qiymatini toping m (8+3) da m=−4. Buning uchun ifodada m (8+3) o'zgaruvchi o'rniga m raqamni almashtiring −4

m (8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (-12) = -44

Qavslarning asosiy vazifasi qiymatlarni hisoblashda harakatlar tartibini o'zgartirishdir. Masalan, sonli ifodada \(5·3+7\) avval koʻpaytirish, keyin esa qoʻshish hisoblanadi: \(5·3+7 =15+7=22\). Lekin \(5·(3+7)\) ifodasida avval qavs ichidagi qo'shilish, shundan keyingina ko'paytirish hisoblab chiqiladi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Misol. Qavsni kengaytiring: \(-(4m+3)\).
Yechim : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Misol. Qavsni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Yechim : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Misol. Qavslarni kengaytiring \(5(3-x)\).
Yechim : Qavs ichida bizda \(3\) va \(-x\) bor, qavsdan oldin esa besh. Bu qavsning har bir a'zosi \(5\) ga ko'paytirilishini anglatadi - buni sizga eslatib o'taman Raqam va qavs orasidagi ko'paytirish belgisi matematikada yozuvlar hajmini kamaytirish uchun yozilmagan..

Misol. Qavslarni kengaytiring \(-2(-3x+5)\).
Yechim : Oldingi misoldagidek, qavs ichidagi \(-3x\) va \(5\) \(-2\) ga ko'paytiriladi.

Misol. Ifodani soddalashtiring: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Yechim : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Oxirgi vaziyatni ko'rib chiqish qoladi.

Qavsni qavsga ko'paytirishda birinchi qavsning har bir a'zosi ikkinchisining har bir hadi bilan ko'paytiriladi:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Misol. Qavslarni kengaytiring \((2-x)(3x-1)\).
Yechim : Bizda qavslar mahsuloti bor va uni yuqoridagi formula yordamida darhol kengaytirish mumkin. Ammo chalkashmaslik uchun keling, hamma narsani bosqichma-bosqich qilaylik.
1-qadam. Birinchi qavsni olib tashlang - uning har bir shartini ikkinchi qavsga ko'paytiring:

Qadam 2. Qavslar mahsulotlarini va yuqorida tavsiflangan omilni kengaytiring:
- Birinchi narsa birinchi ...

Keyin ikkinchi.

3-qadam. Endi biz o'xshash atamalarni ko'paytiramiz va keltiramiz:

Barcha o'zgarishlarni batafsil tavsiflash shart emas, siz ularni darhol ko'paytirishingiz mumkin. Ammo agar siz qavslarni ochishni o'rganayotgan bo'lsangiz, batafsil yozing, xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi.

Butun bo'limga e'tibor bering. Aslida, siz to'rtta qoidani eslab qolishingiz shart emas, faqat bittasini eslab qolishingiz kerak, bu: \(c(a-b)=ca-cb\) . Nega? Chunki c o'rniga bittasini qo'ysangiz, \((a-b)=a-b\) qoidasini olasiz. Agar minus birni almashtirsak, \(-(a-b)=-a+b\) qoidasini olamiz. Xo'sh, agar siz c o'rniga boshqa qavsni almashtirsangiz, oxirgi qoidani olishingiz mumkin.

Qavs ichidagi qavs

Ba'zan amalda boshqa qavslar ichiga joylashtirilgan qavslar bilan bog'liq muammolar mavjud. Mana shunday vazifaga misol: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifodasini soddalashtiring.

Bunday vazifalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun sizga kerak:
- qavslarning joylashishini diqqat bilan tushuning - qaysi biri qaysi;
- qavslarni, masalan, eng ichki qismidan boshlab, ketma-ket oching.

Qavslardan birini ochishda muhim ahamiyatga ega iboraning qolgan qismiga tegmang, shunchaki uni avvalgidek qayta yozing.
Misol tariqasida yuqorida yozilgan topshiriqni ko'rib chiqamiz.

Misol. Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(7x+2(5-(3x+y))\).
Yechim:

Misol. Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Yechim :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Bu yerda qavslarning uch marta joylashishi mavjud. Keling, eng ichki qismdan boshlaylik (yashil rang bilan ta'kidlangan). Qavs oldida ortiqcha narsa bor, shuning uchun u shunchaki chiqib ketadi.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Endi siz ikkinchi qavsni, oraliqni ochishingiz kerak. Ammo bundan oldin biz ushbu ikkinchi qavsdagi sharpaga o'xshash atamalarning ifodasini soddalashtiramiz.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Endi biz ikkinchi qavsni ochamiz (ko'k rang bilan ta'kidlangan). Qavsdan oldin omil - shuning uchun qavsdagi har bir atama unga ko'paytiriladi.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Va oxirgi qavsni oching. Qavs oldida minus belgisi bor, shuning uchun barcha belgilar teskari.

Qavslarni kengaytirish matematikada asosiy ko'nikma hisoblanadi. Ushbu ko'nikmasiz 8 va 9-sinflarda C dan yuqori bahoga ega bo'lish mumkin emas. Shuning uchun men ushbu mavzuni yaxshi tushunishingizni tavsiya qilaman.

A+(b + c) qavssiz yozilishi mumkin: a+(b + c)=a + b + c. Bu operatsiya qavslarni ochish deb ataladi.

1-misol. a + (- b + c) ifodasidagi qavslarni ochamiz.

Yechim. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Qavslar oldida "+" belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichidagi atamalarning belgilarini saqlab, qavslarni va ushbu "+" belgisini qoldirishingiz mumkin. Agar qavs ichidagi birinchi atama belgisiz yozilsa, u "+" belgisi bilan yozilishi kerak.

2-misol.-2,87+ (2,87-7,639) ifodaning qiymati topilsin.

Yechim. Qavslarni ochib, biz - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639 ni olamiz.

Ifodaning qiymatini topish uchun - (- 9 + 5), siz qo'shishingiz kerak raqamlar-9 va 5 ni toping va natijadagi yig'indiga qarama-qarshi sonni toping: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Xuddi shu qiymatni boshqa yo'l bilan olish mumkin: birinchi navbatda ushbu shartlarga qarama-qarshi raqamlarni yozing (ya'ni, ularning belgilarini o'zgartiring) va keyin qo'shing: 9 + (- 5) = 4. Shunday qilib, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Bir necha shartlar yig'indisiga qarama-qarshi yig'indi yozish uchun bu atamalarning belgilarini o'zgartirish kerak.

Bu degani - (a + b) = - a - b.

3-misol. 16 - (10 -18 + 12) ifodaning qiymati topilsin.

Yechim. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Oldinda "-" belgisi bo'lgan qavslarni ochish uchun siz ushbu belgini "+" bilan almashtirishingiz kerak, qavs ichidagi barcha atamalarning belgilarini teskarisiga o'zgartiring va keyin qavslarni oching.

4-misol. 9,36-(9,36 - 5,48) ifodaning qiymati topilsin.

Yechim. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.

Qavslarni kengaytirish va kommutativ va assotsiativ xususiyatlarni qo'llash qo'shimcha hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon beradi.

5-misol.(-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 ifoda qiymatini topamiz.

Yechim. Birinchidan, qavslarni ochamiz, so'ngra alohida-alohida barcha ijobiy va barcha salbiy raqamlarning yig'indisini topamiz va nihoyat, natijalarni qo'shamiz:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

6-misol. Keling, ifodaning qiymatini topamiz

Yechim. Birinchidan, keling, har bir atamani butun va kasr qismlari yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik, keyin qavslarni oching, so'ngra butun sonlarni qo'shing va alohida-alohida kasr qismlar va nihoyat natijalarni qo'shing:

Oldindan “+” belgisi qo‘yilgan qavslarni qanday ochish mumkin? Bir necha sonlar yig'indisiga qarama-qarshi bo'lgan ifodaning qiymatini qanday topish mumkin? Oldindan "-" belgisi qo'yilgan qavslarni qanday kengaytirish mumkin?

1218. Qavslarni oching:

a) 3,4+(2,6+8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Ifodaning ma'nosini toping:

1220. Qavslarni oching:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Qavslarni oching va ifodaning ma’nosini toping:

1222. Ifodani soddalashtiring:

1223. Yozing miqdori ikkita ifoda va uni soddalashtiring:

a) - 4 - m va m + 6,4; d) a+b va p - b
b) 1,1+a va -26-a; e) - m + n va -k - n;
c) a + 13 va -13 + b; e)m - n va n - m.

1224. Ikki ifodaning farqini yozing va soddalashtiring:

1226. Masalani yechish uchun tenglamadan foydalaning:

a) Bir javonda 42 ta, ikkinchi javonda 34 ta kitob bor, ikkinchi javonda qancha kitob qolsa, shuncha kitob olib tashlangan. Shundan keyin birinchi javonda 12 ta kitob qoldi. Ikkinchi javondan nechta kitob olib tashlandi?

b) Birinchi sinfda 42 o'quvchi bor, ikkinchi sinfda uchinchidan 3 o'quvchi kam. Agar bu uchta sinfda 125 nafar o‘quvchi bo‘lsa, uchinchi sinfda nechta o‘quvchi bor?

1227. Ifodaning ma'nosini toping:

1228. Og‘zaki hisoblang:

1229. Toping eng yuqori qiymat ifodalar:

1230. 4 ta ketma-ket butun sonni ko‘rsating, agar:

a) ulardan kichigi -12; v) ulardan kichigi n;
b) ularning eng kattasi -18; d) ulardan kattasi k ga teng.

Dars mazmuni dars yozuvlari qo'llab-quvvatlovchi ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlari, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar, grafikalar, jadvallar, diagrammalar, hazil, latifalar, hazillar, komikslar, masallar, maqollar, krossvordlar, iqtiboslar Qo'shimchalar tezislar maqolalar qiziq beshiklar uchun fokuslar darsliklar asosiy va qo'shimcha atamalar lug'ati boshqa Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani, darsdagi innovatsiya elementlarini yangilash, eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar kalendar rejasi bir yil davomida ko'rsatmalar muhokama dasturlari Integratsiyalashgan darslar