Menimcha, siz bundan ham ko'proq narsaga loyiqsiz. Mana mening trigonometriya kalitim:

• Gumbaz, devor va shipni chizish
• Trigonometrik funktsiyalar bu uchta shaklning foizlaridan boshqa narsa emas.

Sinus va kosinus uchun metafora: gumbaz

Uchburchaklarning o'ziga qarash o'rniga, aniq hayotiy misolni topib, ularni amalda tasavvur qiling.

Tasavvur qiling-a, siz gumbazning o'rtasidasiz va kinoproyektor ekranini osib qo'ymoqchisiz. Siz barmog'ingizni gumbazga ma'lum bir burchak ostida "x" bilan ishora qilasiz va ekran shu nuqtadan to'xtatilishi kerak.

Siz ko'rsatgan burchak quyidagilarni aniqlaydi:

• sinus(x) = sin(x) = ekran balandligi (poldan gumbaz o'rnatish nuqtasigacha)
• kosinus(x) = cos(x) = sizdan ekrangacha boʻlgan masofa (qavat boʻyicha)
• gipotenuza, sizdan ekranning yuqori qismigacha bo'lgan masofa, har doim bir xil, gumbaz radiusiga teng

Ekran imkon qadar katta bo'lishini xohlaysizmi? Uni to'g'ridan-to'g'ri tepangizga osib qo'ying.

Ekran sizdan iloji boricha uzoqroqda osilib turishini xohlaysizmi? Uni tekis perpendikulyar qilib osib qo'ying. Bu holatda ekran nol balandlikka ega bo'ladi va siz so'raganingizdek eng uzoqqa osilib turadi.

Ekrandan balandlik va masofa teskari proportsionaldir: ekran qanchalik yaqin bo'lsa, uning balandligi shunchalik katta bo'ladi.

Sinus va kosinus foizdir

Afsuski, men o'qigan yillarim davomida hech kim menga sinus va kosinus trigonometrik funktsiyalari foizlardan boshqa narsa emasligini tushuntirmadi. Ularning qiymatlari +100% dan 0 dan -100% gacha yoki musbat maksimaldan nolga qadar salbiy maksimalgacha.

Aytaylik, men 14 rubl soliq to'ladim. Siz qanchaligini bilmaysiz. Ammo 95% soliq toʻladim desangiz, men shunchaki junbushga kelganimni tushunasiz.

Mutlaq balandlik hech narsani anglatmaydi. Ammo agar sinus qiymati 0,95 bo'lsa, men televizorning deyarli gumbazning tepasida osilganligini tushunaman. Tez orada u gumbazning markazida maksimal balandlikka etadi va keyin yana pasayishni boshlaydi.

Bu foizni qanday hisoblashimiz mumkin? Bu juda oddiy: joriy ekran balandligini maksimal mumkin bo'lgan (gumbaz radiusi, gipotenuza deb ham ataladi) bo'linadi.

Shunung uchun bizga "kosinus = qarama-qarshi tomon / gipotenuza" deb aytilgan. Hammasi qiziqish bilan bog'liq! Sinusni "joriy balandlikning mumkin bo'lgan maksimaldan ulushi" sifatida belgilash yaxshidir. (Agar sizning burchakingiz "er osti" ni ko'rsatsa, sinus manfiy bo'ladi. Agar burchak sizning orqangizdagi gumbazga to'g'ri kelsa, kosinus manfiy bo'ladi.)

Keling, birlik doirasining markazida (radius = 1) ekanligimizni faraz qilib, hisob-kitoblarni soddalashtiraylik. Biz bo'linishni o'tkazib yuborishimiz va faqat balandlikka teng sinusni olishimiz mumkin.

Har bir doira mohiyatan kattalashtirilgan yoki kichraytirilgan birlikdir to'g'ri o'lcham. Shunday qilib, birlik doiralarining ulanishlarini aniqlang va natijalarni o'zingizning aniq doira o'lchamingizga qo'llang.

Tajriba: istalgan burchakni oling va u balandlikdan kenglikning necha foizini ko'rsatishini ko'ring:

Sinus qiymatining o'sish grafigi shunchaki to'g'ri chiziq emas. Dastlabki 45 daraja balandlikning 70% ni egallaydi, ammo oxirgi 10 daraja (80 ° dan 90 ° gacha) faqat 2% ni qoplaydi.

Bu sizga aniqroq bo'ladi: agar siz aylana bo'ylab yursangiz, 0 ° da deyarli vertikal ko'tariladi, lekin gumbaz tepasiga yaqinlashganda, balandlik kamroq va kamroq o'zgaradi.

Tangens va sekant. Devor

Bir kuni qo'shnisi devor qurdi bir-birining yonida sizning gumbazingizga. Derazadan sizning ko'rinishingizni yig'ladi va qayta sotish uchun yaxshi narx!

Ammo bu vaziyatda qandaydir tarzda g'alaba qozonish mumkinmi?

Albatta ha. Agar qo‘shnimizning devoriga kino ekranini osib qo‘ysak-chi? Siz burchakni (x) belgilaysiz va quyidagilarni olasiz:

• tan(x) = tan(x) = devordagi ekran balandligi
• sizdan devorgacha bo'lgan masofa: 1 (bu sizning gumbazingizning radiusi, devor sizdan hech qayoqqa siljimaydi, to'g'rimi?)
• sekant (x) = sek (x) = gumbaz markazida turganingizdan to osilgan ekranning tepasigacha bo'lgan "narvon uzunligi"

Keling, tangens yoki ekran balandligi bilan bog'liq bir nechta fikrlarga aniqlik kiritaylik.

• u 0 dan boshlanadi va cheksiz balandlikka chiqishi mumkin. Sevimli filmingizni tomosha qilish uchun cheksiz tuval yaratish uchun ekranni devorga balandroq va balandroq cho'zishingiz mumkin! (Bunday ulkan uchun, albatta, siz ko'p pul sarflashingiz kerak bo'ladi).
• tangens sinusning kattalashtirilgan versiyasidir! Va gumbaz tepasiga qarab harakatlanayotganda sinusning o'sishi sekinlashsa-da, tangens o'sishda davom etadi!

Sekansuda maqtanadigan narsa bor:

• Sekant 1 dan boshlanadi (zinapoya polda, sizdan devorga) va u erdan ko'tarila boshlaydi.
• Sekant har doim tangensdan uzunroq bo'ladi. Ekraningizni osib qo'yish uchun foydalanadigan qiya narvon ekranning o'zidan uzunroq bo'lishi kerak, to'g'rimi? (Haqiqiy bo'lmagan o'lchamlar bilan, ekran juda uzun bo'lganda va narvonni deyarli vertikal ravishda joylashtirish kerak bo'lganda, ularning o'lchamlari deyarli bir xil bo'ladi. Lekin shunga qaramay, sekant biroz uzunroq bo'ladi).

Esda tuting, qadriyatlar foiz. Agar siz ekranni 50 daraja burchak ostida osib qo'yishga qaror qilsangiz, tan(50)=1,19. Sizning ekraningiz devorgacha bo'lgan masofadan (gumbaz radiusi) 19% kattaroqdir.

(X=0 kiriting va sezgiingizni tekshiring - tan(0) = 0 va sek(0) = 1).

Kotangent va kosekant. Shift

Ajablanarlisi shundaki, sizning qo'shningiz sizning gumbazingiz ustida tom qurishga qaror qildi. (Unda nima bo‘ldi? Yalang‘och holda hovlida aylanib yurganida ayg‘oqchilik qilishingizni istamaydi shekilli...)

Xo'sh, tomga chiqishni qurish va qo'shningiz bilan gaplashish vaqti keldi. Siz moyillik burchagini tanlaysiz va qurilishni boshlaysiz:

• tomning chiqishi va zamin orasidagi vertikal masofa har doim 1 ga teng (gumbaz radiusi)
• kotangent (x) = karyola (x) = gumbaz tepasi va chiqish nuqtasi orasidagi masofa
• cosekant(x) = csc(x) = tomga boradigan yo'lingizning uzunligi

Tangent va sekant devorni, COtangent va COsekant esa shiftni tasvirlaydi.

Bu safargi intuitiv xulosalarimiz avvalgilariga o'xshaydi:

• Agar siz 0 ° ga teng burchakni qabul qilsangiz, tomga chiqishingiz abadiy davom etadi, chunki u hech qachon shiftga etib bormaydi. Muammo.
• Agar siz uni polga 90 daraja burchak ostida qursangiz, tomga eng qisqa "narvon" olinadi. Kotangent 0 ga teng bo'ladi (biz umuman tom bo'ylab harakatlanmaymiz, biz qat'iy perpendikulyar ravishda chiqamiz) va kosekant 1 ga teng bo'ladi (narvon uzunligi minimal bo'ladi).

Ulanishlarni ko'rish

Agar uchta holat ham gumbaz-devor-ship kombinatsiyasida chizilgan bo'lsa, quyidagi natijaga erishiladi:

Xo'sh, bu hali ham bir xil uchburchak bo'lib, devor va shipga etib borish uchun kattalashgan. Bizda vertikal tomonlar (sinus, tangens), gorizontal tomonlari (kosinus, kotangent) va "gipotenuslar" (sekant, kosekant) mavjud. (O'qlar orqali siz har bir element qaerga yetib borishini ko'rishingiz mumkin. Kosekant - sizdan tomgacha bo'lgan umumiy masofa).

Bir oz sehr. Barcha uchburchaklar bir xil tengliklarga ega:

Pifagor teoremasidan (a 2 + b 2 = c 2) biz har bir uchburchakning tomonlari qanday bog'langanligini ko'ramiz. Bundan tashqari, barcha uchburchaklar uchun "balandlik va kenglik" nisbatlari ham bir xil bo'lishi kerak. (Shunchaki eng katta uchburchakdan kichikroqqa o'ting. Ha, o'lcham o'zgargan, lekin tomonlarning nisbati bir xil bo'lib qoladi).

Har bir uchburchakning qaysi tomoni 1 ga (gumbaz radiusi) teng ekanligini bilib, biz "sin/cos = tan/1" ni osongina hisoblashimiz mumkin.

Men har doim bu faktlarni oddiy vizualizatsiya orqali eslab qolishga harakat qilganman. Rasmda siz ushbu bog'liqliklarni aniq ko'rasiz va ular qaerdan kelganini tushunasiz. Bu usul quruq formulalarni yodlashdan ko'ra ancha yaxshi.

Boshqa burchaklar haqida unutmang

Psst... Tangens har doim 1 dan kichik deb o‘ylab, bitta grafikga yopishib qolmang, agar burchakni oshirsangiz, devorga yetib bormasdan shiftga yetib olishingiz mumkin:

Pifagor aloqalari har doim ishlaydi, lekin nisbiy o'lchamlar farq qilishi mumkin.

(Siz sinus va kosinus nisbatlari har doim eng kichik ekanligini payqadingiz, chunki ular gumbaz ichida joylashgan).

Xulosa qilish uchun: nimani eslashimiz kerak?

Ko'pchiligimiz uchun bu etarli bo'ladi, deyman:

• trigonometriya doiralar va takroriy intervallar kabi matematik ob'ektlarning anatomiyasini tushuntiradi
• gumbaz / devor / tom analogiyasi turli xil o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadi trigonometrik funktsiyalar
• Trigonometrik funktsiyalar biz skriptimizga qo'llaydigan foizlarni keltirib chiqaradi.

1 2 + karyola 2 = csc 2 kabi formulalarni yodlab olishingiz shart emas. Ular faqat ahmoqona testlar uchun javob beradi, bunda haqiqat haqidagi bilim uni tushunish sifatida qabul qilinadi. Gumbaz, devor va tom shaklida yarim doira chizish uchun bir daqiqa vaqt ajrating, elementlarni belgilang va barcha formulalar sizga qog'ozda keladi.

Ilova: Teskari funksiyalar

Har qanday trigonometrik funksiya kirish parametri sifatida burchakni oladi va natijani foiz sifatida qaytaradi. sin(30) = 0,5. Bu shuni anglatadiki, 30 graduslik burchak maksimal balandlikning 50% ni egallaydi.

Teskari trigonometrik funktsiya sin -1 yoki arksin shaklida yoziladi. Asin ham ko'pincha turli dasturlash tillarida yoziladi.

Agar bizning balandligimiz gumbaz balandligining 25% bo'lsa, bizning burchakimiz nima?

Bizning nisbatlar jadvalimizda siz sekant 1 ga bo'lingan nisbatni topishingiz mumkin. Masalan, sekant 1 ga (gorizontalga gipotenuza) kosinusga bo'lingan 1 ga teng bo'ladi:

Aytaylik, bizning sekantimiz 3,5, ya'ni. Birlik doira radiusining 350%. Bu qiymat devorga qaysi moyillik burchagiga mos keladi?

Ilova: Ba'zi misollar

Misol: x burchakning sinusini toping.

Zerikarli vazifa. Keling, oddiy "sinusni toping" ni "Maksimumning (gipotenuzaning) foizi sifatida balandlik qancha?" Deb murakkablashtiramiz.

Birinchidan, uchburchak aylantirilganiga e'tibor bering. Buning hech qanday yomon joyi yo‘q. Uchburchakning balandligi ham bor, u rasmda yashil rangda ko'rsatilgan.

Gipotenuza nimaga teng? Pifagor teoremasiga ko'ra, biz buni bilamiz:

3 2 + 4 2 = gipotenuza 2 25 = gipotenuza 2 5 = gipotenuza

Yaxshi! Sinus - bu uchburchakning eng uzun tomoni yoki gipotenuzaning balandligining foizi. Bizning misolimizda sinus 3/5 yoki 0,60 ga teng.

Albatta, biz bir necha yo'l bilan borishimiz mumkin. Endi biz sinus 0,60 ekanligini bilamiz, oddiygina arksinusni topishimiz mumkin:

Asin(0,6)=36,9

Mana yana bir yondashuv. E'tibor bering, uchburchak "devorga qaragan", shuning uchun sinus o'rniga tangensdan foydalanishimiz mumkin. Balandligi 3, devorgacha bo'lgan masofa 4, shuning uchun tangens ¾ yoki 75%. Foiz qiymatidan burchakka qaytish uchun arktangentdan foydalanishimiz mumkin:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Misol: Siz qirg'oqqa suzasizmi?

Siz qayiqdasiz va sizda 2 km masofani bosib o'tish uchun etarli yoqilg'i bor. Siz hozir qirg'oqdan 0,25 km uzoqlikdasiz. Yoqilg'i yetarli bo'lishi uchun qirg'oqqa maksimal qaysi burchak ostida suzishingiz mumkin? Muammo bayonotiga qo'shimcha: bizda faqat yoy kosinus qiymatlari jadvali mavjud.

Bizda nima bor? Sohil chizig'i bizning mashhur uchburchakda "devor" sifatida ifodalanishi mumkin va devorga biriktirilgan "narvonning uzunligi" qayiq bilan qirg'oqqa boradigan maksimal masofa (2 km). Sekant paydo bo'ladi.

Birinchidan, siz foizlarga o'tishingiz kerak. Bizda 2 / 0,25 = 8, ya'ni qirg'oqqa (yoki devorga) to'g'ri masofadan 8 barobar ko'p bo'lgan masofani suzishimiz mumkin.

Savol tug'iladi: "8 ning sekantasi nima?" Ammo biz bunga javob bera olmaymiz, chunki bizda faqat yoy kosinuslari bor.

Biz sekantni kosinus bilan bog'lash uchun avval olingan bog'liqliklarimizdan foydalanamiz: "sek/1 = 1/cos"

Sekans 8 kosinusga teng⅛. Kosinasi ⅛ bo'lgan burchak acos(1/8) = 82,8 ga teng. Va bu biz belgilangan miqdordagi yoqilg'i bilan qayiqda qila oladigan eng katta burchakdir.

Yomon emas, to'g'rimi? Gumbaz-devor-ship o'xshashligi bo'lmaganida, men formulalar va hisob-kitoblar to'plamida adashib qolgan bo'lardim. Muammoni vizualizatsiya qilish yechim izlashni sezilarli darajada osonlashtiradi, shuningdek, qaysi trigonometrik funktsiya oxir-oqibat yordam berishini ko'rish qiziq.

Har bir muammo uchun shunday o'ylab ko'ring: meni gumbaz (sin/cos), devor (tan/sec) yoki shift (kartoka/csc) qiziqtiradimi?

Va trigonometriya yanada qiziqarli bo'ladi. Siz uchun oson hisoblar!

Sinus va kosinus dastlab to'g'ri burchakli uchburchaklardagi miqdorlarni hisoblash zaruratidan kelib chiqqan. Agar to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchaklarning daraja o'lchovi o'zgarmasa, tomonlarning nisbati, bu tomonlar uzunligi qanchalik o'zgarmasin, har doim bir xil bo'lib qolishi ta'kidlandi.

Shunday qilib sinus va kosinus tushunchalari kiritildi. Sinus o'tkir burchak to'g'ri burchakli uchburchakda qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati va kosinus - gipotenuzaga qo'shni tomonning nisbati.

Kosinuslar va sinuslar teoremalari

Ammo kosinuslar va sinuslar faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun emas, balki ko'proq uchun ishlatilishi mumkin. Har qanday uchburchakning o'tkir yoki o'tkir burchagi yoki tomonining qiymatini topish uchun kosinuslar va sinuslar teoremasini qo'llash kifoya.

Kosinus teoremasi juda oddiy: “Uchburchak tomonlarining kvadrati summasiga teng qolgan ikki tomonning kvadratlari bu tomonlarning ikki baravar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga olib tashlang.

Sinus teoremasining ikkita talqini mavjud: kichik va kengaytirilgan. Kichkintoyning so'zlariga ko'ra: "Uchburchakda burchaklar qarama-qarshi tomonlarga proportsionaldir." Ushbu teorema ko'pincha uchburchakning aylanasi xususiyati tufayli kengaytiriladi: "Uchburchakda burchaklar qarama-qarshi tomonlarga proportsionaldir va ularning nisbati aylananing diametriga tengdir."

Hosilalar

Hosila - bu argumentning o'zgarishiga nisbatan funktsiya qanchalik tez o'zgarishini ko'rsatadigan matematik vositadir. Hosilalar geometriyada va bir qator texnik fanlarda qo'llaniladi.

Muammolarni hal qilishda siz trigonometrik funktsiyalarning hosilalarining jadval qiymatlarini bilishingiz kerak: sinus va kosinus. Sinusning hosilasi kosinus, kosinus esa sinus, lekin minus belgisi bilan.

Matematikada qo'llash

Sinuslar va kosinuslar, ayniqsa, to'g'ri burchakli uchburchaklar va ular bilan bog'liq masalalarni yechishda tez-tez ishlatiladi.

Sinuslar va kosinuslarning qulayligi texnologiyada ham namoyon bo'ladi. Kosinuslar va sinuslar teoremalaridan foydalanib, burchaklar va tomonlarni baholash oson edi. murakkab raqamlar va ob'ektlarni "oddiy" uchburchaklarga aylantiradi. Ko'pincha tomonlar nisbati va daraja o'lchovlarini hisoblash bilan shug'ullanadigan muhandislar va muhandislar jadvalsiz burchaklarning kosinuslari va sinuslarini hisoblash uchun ko'p vaqt va kuch sarfladilar.

Keyin sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlarning minglab qiymatlarini o'z ichiga olgan Bradis jadvallari yordamga keldi. turli burchaklar. IN sovet davri ba'zi o'qituvchilar o'z shogirdlarini Bradis jadvallari sahifalarini yodlashga majbur qilishdi.

Radian - uzunligi radiusga yoki 57,295779513 ° darajaga teng bo'lgan yoyning burchak qiymati.

Daraja (geometriyada) - aylananing 1/360 qismi yoki 1/90 qismi to'g'ri burchak.

p = 3,141592653589793238462… (Pi ning taxminiy qiymati).

Burchaklar uchun kosinuslar jadvali: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

x burchak (gradusda)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
x burchak (radianlarda)	0	p/6	p/4	p/3	p/2	2 x p/3	3 x p/4	5 x p/6	π	7 x p/6	5 x p/4	4 x p/3	3 x p/2	5 x p/3	7 x p/4	11 x p/6	2 x p
chunki x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Ushbu maqola o'z ichiga oladi sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvallari. Birinchidan, biz trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlari jadvalini, ya'ni 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradus burchaklarning sinuslari, kosinuslari, tangenslari va kotangentlari jadvalini beramiz ( 0, p/6, p/4, p/3, p/2, …, 2p radian). Shundan so'ng biz sinuslar va kosinuslar jadvalini, shuningdek V. M. Bradisning tangens va kotangentlar jadvalini beramiz va trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topishda ushbu jadvallardan qanday foydalanishni ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

0, 30, 45, 60, 90, ... daraja burchaklar uchun sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ma'lumotnomalar.

• Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy - M.: Ta'lim, 1990. - 272 pp.: kasal - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.
• Bradis V. M. To'rt xonali matematik jadvallar: Umumiy ta'lim uchun. darslik muassasalar. - 2-nashr. - M.: Bustard, 1999.- 96 b.: kasal. ISBN 5-7107-2667-2

Talabalar eng ko'p qiynaladigan matematika sohalaridan biri trigonometriyadir. Buning ajablanarli joyi yo'q: bilimning ushbu sohasini erkin o'zlashtirish uchun sizga fazoviy fikrlash, formulalar yordamida sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlarni topish, ifodalarni soddalashtirish va pi sonidan foydalanish qobiliyati kerak. hisob-kitoblar. Bundan tashqari, siz teoremalarni isbotlashda trigonometriyadan foydalana olishingiz kerak va buning uchun yoki rivojlangan matematik xotira yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni chiqarish qobiliyati talab qilinadi.

Trigonometriyaning kelib chiqishi

Ushbu fan bilan tanishish sinus, kosinus va burchakning tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin birinchi navbatda trigonometriya umuman nima qilishini tushunishingiz kerak.

Tarixiy jihatdan ushbu bo'limda asosiy tadqiqot ob'ekti matematika fani to'g'ri burchakli uchburchaklar edi. 90 graduslik burchakning mavjudligi amalga oshirishga imkon beradi turli operatsiyalar, ikki tomon va bitta burchak yoki ikkita burchak va bir tomondan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan raqamning barcha parametrlarining qiymatlarini aniqlashga imkon beradi. Ilgari odamlar bu naqshni payqab, binolarni qurishda, navigatsiya, astronomiya va hatto san'atda faol foydalana boshladilar.

Dastlabki bosqich

Dastlab, odamlar burchaklar va tomonlar o'rtasidagi munosabatlar haqida faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar misolida gaplashdilar. Keyin foydalanish chegaralarini kengaytirishga imkon beradigan maxsus formulalar topildi kundalik hayot matematikaning ushbu bo'limi.

Bugungi kunda maktabda trigonometriyani o'rganish to'g'ri burchakli uchburchaklardan boshlanadi, shundan so'ng o'quvchilar fizika va mavhum masalalarni yechishda olingan bilimlardan foydalanadilar. trigonometrik tenglamalar, o'rta maktabda boshlanadigan ish.

Sferik trigonometriya

Keyinchalik fan rivojlanishning keyingi bosqichiga ko'tarilgach, sferik geometriyada sinus, kosinus, tangens va kotangensli formulalar qo'llanila boshlandi, bu erda turli qoidalar qo'llaniladi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim 180 darajadan yuqori bo'ladi. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, lekin hech bo'lmaganda uning mavjudligi haqida bilish kerak yer yuzasi, va har qanday boshqa sayyoraning yuzasi qavariq, ya'ni har qanday sirt belgisi uch o'lchovli fazoda "yoy shaklida" bo'ladi.

Globus va ipni oling. Ipni globusning istalgan ikkita nuqtasiga mahkamlang, shunda u tarang bo'ladi. E'tibor bering - u yoy shaklini oldi. Sferik geometriya geodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda qo'llaniladigan bunday shakllar bilan shug'ullanadi.

To'g'ri uchburchak

Trigonometriyadan foydalanish usullari haqida bir oz ma'lumotga ega bo'lgandan so'ng, sinus, kosinus, tangens nima ekanligini, ularning yordami bilan qanday hisob-kitoblarni bajarish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni tushunish uchun asosiy trigonometriyaga qaytaylik.

Birinchi qadam to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq tushunchalarni tushunishdir. Birinchidan, gipotenuza 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomondir. Bu eng uzuni. Esda tutamizki, Pifagor teoremasiga ko'ra, uning raqamli qiymat boshqa ikki tomon kvadratlari yig'indisining ildiziga teng.

Misol uchun, agar ikki tomon mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.

To'g'ri burchakni tashkil etuvchi qolgan ikkita tomon oyoqlar deb ataladi. Bundan tashqari, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi 180 darajaga teng ekanligini unutmasligimiz kerak.

Ta'rif

Nihoyat, geometrik asosni qat'iy tushungan holda, burchakning sinus, kosinus va tangensining ta'rifiga murojaat qilish mumkin.

Burchakning sinusi - qarama-qarshi oyoqning (ya'ni, kerakli burchakka qarama-qarshi tomoni) gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusi - qo'shni tomonning gipotenuzaga nisbati.

Yodingizda bo'lsin, na sinus, na kosinus birdan katta bo'lishi mumkin emas! Nega? Gipotenuza sukut bo'yicha eng uzun bo'lgani uchun, oyoq qancha uzun bo'lmasin, u gipotenuzadan qisqaroq bo'ladi, ya'ni ularning nisbati har doim birdan kichik bo'ladi. Shunday qilib, agar muammoga javob berishda siz 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinusni olsangiz, hisob-kitoblarda yoki fikrlashda xatolikni qidiring. Bu javob aniq noto'g'ri.

Nihoyat, burchakning tangensi - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Sinusni kosinusga bo'lish ham xuddi shunday natijani beradi. Qarang: formula bo'yicha biz tomonning uzunligini gipotenuzaga ajratamiz, keyin ikkinchi tomonning uzunligiga bo'linib, gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifida bo'lgani kabi bir xil munosabatga ega bo'lamiz.

Kotangent, shunga ko'ra, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati. Birni tangensga bo'lish orqali biz bir xil natijaga erishamiz.

Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini ko'rib chiqdik va formulalarga o'tishimiz mumkin.

Eng oddiy formulalar

Trigonometriyada siz formulalarsiz qilolmaysiz - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Ammo muammolarni hal qilishda aynan shu narsa talab qilinadi.

Trigonometriyani o'rganishni boshlaganingizda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada aytilishicha, burchakning sinusi va kosinus kvadratlari yig'indisi birga teng. Ushbu formula Pifagor teoremasining to'g'ridan-to'g'ri natijasidir, lekin agar siz tomonni emas, balki burchakning o'lchamini bilishingiz kerak bo'lsa, vaqtni tejaydi.

Ko'pgina o'quvchilar ikkinchi formulani eslay olmaydilar, bu maktab muammolarini hal qilishda ham juda mashhur: birning yig'indisi va burchak tangensining kvadrati burchak kosinusining kvadratiga bo'lingan birga teng. Yaxshilab ko'ring: bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil bayonot, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinus kvadratiga bo'lingan. Ma'lum bo'lishicha, oddiy matematik amal qiladi trigonometrik formula butunlay tanib bo'lmaydigan. Esingizda bo'lsin: sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini, o'zgartirish qoidalari va bir nechta asosiy formulalarni bilib, siz istalgan vaqtda mustaqil ravishda kerakli ko'proq narsani olishingiz mumkin. murakkab formulalar qog'oz varag'ida.

Ikki burchak uchun formulalar va argumentlar qo'shish

Siz o'rganishingiz kerak bo'lgan yana ikkita formulalar burchaklar yig'indisi va farqi uchun sinus va kosinus qiymatlari bilan bog'liq. Ular quyidagi rasmda keltirilgan. E'tibor bering, birinchi holatda sinus va kosinus ikkala marta ko'paytiriladi, ikkinchisida esa sinus va kosinusning juft mahsuloti qo'shiladi.

Ikki burchakli argumentlar bilan bog'liq formulalar ham mavjud. Ular butunlay oldingilaridan olingan - trening sifatida alfa burchagini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling burchakka teng beta.

Va nihoyat, sinus, kosinus, tangens alfa kuchini kamaytirish uchun ikki burchakli formulalarni qayta tartibga solish mumkinligini unutmang.

Teoremalar

Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasidir. Ushbu teoremalardan foydalanib, siz sinus, kosinus va tangensni, shuning uchun rasmning maydonini va har bir tomonning o'lchamini va hokazolarni qanday topishni osongina tushunishingiz mumkin.

Sinus teoremasi shuni ko'rsatadiki, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchakka bo'lish bir xil songa olib keladi. Bundan tashqari, bu raqam chegaralangan doiraning ikkita radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.

Kosinus teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi, uni har qanday uchburchaklarga proyeksiyalaydi. Ma'lum bo'lishicha, ikki tomonning kvadratlari yig'indisidan ularning mahsulotini qo'shni burchakning ikki baravar kosinusiga ko'paytiring - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining maxsus holati bo'lib chiqadi.

Ehtiyotsiz xatolar

Sinus, kosinus va tangens nima ekanligini bilgan holda ham, beparvolik yoki eng oddiy hisob-kitoblardagi xatolik tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun keling, eng mashhurlarini ko'rib chiqaylik.

Birinchidan, siz yakuniy natijaga erishmaguningizcha kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirmasligingiz kerak - javobni shunday qoldirishingiz mumkin. oddiy kasr, agar shartlarda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa. Bunday o'zgarishni xato deb atash mumkin emas, lekin esda tutish kerakki, muammoning har bir bosqichida yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, muallifning fikriga ko'ra, ularni kamaytirish kerak. Bunday holda, vaqtingizni keraksiz matematik operatsiyalarga sarflaysiz. Bu, ayniqsa, uchtaning ildizi yoki ikkitaning ildizi kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har qadamda muammolarda topiladi. Xuddi shu narsa "chirkin" raqamlarni yaxlitlash uchun ham amal qiladi.

Bundan tashqari, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qiladi, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning ikki baravar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni noto'g'ri unutib qo'ysangiz, siz nafaqat mutlaqo noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzuni to'liq tushunmasligingizni ham ko'rsatasiz. Bu ehtiyotsizlikdan ko'ra yomonroqdir.

Uchinchidan, sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlar uchun 30 va 60 daraja burchaklar qiymatlarini chalkashtirmang. Ushbu qiymatlarni eslang, chunki 30 graduslik sinus 60 kosinusga teng va aksincha. Ularni chalkashtirib yuborish oson, buning natijasida siz muqarrar ravishda noto'g'ri natijaga erishasiz.

Ilova

Ko'pgina talabalar trigonometriyani o'rganishni boshlashga shoshilmayaptilar, chunki ular uning amaliy ma'nosini tushunmaydilar. Muhandis yoki astronom uchun sinus, kosinus, tangens nima? Bu tushunchalar bo'lib, ular yordamida siz uzoq yulduzlargacha bo'lgan masofani hisoblashingiz, meteoritning tushishini bashorat qilishingiz yoki boshqa sayyoraga tadqiqot zondi yuborishingiz mumkin. Ularsiz bino qurish, avtomobilni loyihalash, sirtdagi yukni yoki ob'ektning traektoriyasini hisoblash mumkin emas. Va bu faqat eng aniq misollar! Axir, trigonometriya u yoki bu shaklda musiqadan tortib tibbiyotgacha hamma joyda qo'llaniladi.

Yakunida

Demak, siz sinus, kosinus, tangenssiz. Siz ularni hisob-kitoblarda ishlatishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.

Trigonometriyaning butun nuqtasi uchburchakning ma'lum parametrlaridan foydalanib, siz noma'lumlarni hisoblashingiz kerakligidan kelib chiqadi. Hammasi bo'lib oltita parametr mavjud: uch tomonning uzunligi va uchta burchakning o'lchami. Vazifalardagi yagona farq shundaki, turli xil kirish ma'lumotlari beriladi.

Endi siz oyoqlarning ma'lum uzunliklari yoki gipotenuza asosida sinus, kosinus, tangensni qanday topishni bilasiz. Bu atamalar nisbatdan boshqa narsani anglatmaydi, nisbat esa kasrdir, trigonometriya masalasining asosiy maqsadi oddiy tenglama yoki tenglamalar tizimining ildizlarini topishdir. Va bu erda oddiy maktab matematikasi sizga yordam beradi.

Misollar:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(p)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument va ma'no

O'tkir burchakning kosinusu

O'tkir burchakning kosinusu to'g'ri burchakli uchburchak yordamida aniqlanishi mumkin - u qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

Misol :

1) Burchak berilsin va bu burchakning kosinusini aniqlashimiz kerak.

2) Shu burchakdagi istalgan to‘g‘ri burchakli uchburchakni to‘ldiramiz.

3) Kerakli tomonlarni o'lchab, biz kosinusni hisoblashimiz mumkin.

Sonning kosinusu

Raqam doirasi har qanday sonning kosinusini aniqlashga imkon beradi, lekin odatda siz raqamlarning kosinusini qandaydir bog'liqlik bilan topasiz: \(\frac(p)(2)\) , \(\frac(3p)(4)\) , \(-2p\ ).

Masalan, \(\frac(p)(6)\) raqami uchun kosinus \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ga teng bo'ladi. Va \(-\)\(\frac(3p)(4)\) soni uchun u \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) ga teng bo'ladi (taxminan \ (-0 ,71\)).

Amalda tez-tez uchraydigan boshqa raqamlar uchun kosinus uchun qarang.

Kosinus qiymati har doim \(-1\) dan \(1\) oralig'ida joylashgan. Bunday holda, kosinusni mutlaqo har qanday burchak va raqam uchun hisoblash mumkin.

Har qanday burchakning kosinusu

rahmat raqam doirasi Siz nafaqat o'tkir burchakning, balki o'tkir, salbiy va hatto \(360 °\) dan kattaroq (to'liq inqilob) kosinusini aniqlashingiz mumkin. Buni qanday qilish \(100\) marta eshitishdan ko'ra bir marta ko'rish osonroq, shuning uchun rasmga qarang.

Endi tushuntirish: deylik, burchakning kosinusini aniqlashimiz kerak KOA daraja o'lchovi bilan \(150°\). Nuqtani birlashtirish HAQIDA aylana markazi va yon tomoni bilan KELISHDIKMI– \(x\) o'qi bilan. Shundan so'ng, soat miliga teskari tomonga \(150°\) qo'ying. Keyin nuqtaning ordinatasi A bizga bu burchakning kosinusini ko'rsatadi.

Agar bizni daraja o'lchovi bo'lgan burchak qiziqtirsa, masalan, \(-60 °\) (burchak KOV), biz ham xuddi shunday qilamiz, lekin biz \(60°\) soat yo'nalishi bo'yicha o'rnatamiz.

Va nihoyat, burchak \(360°\) dan katta (burchak CBS) - hamma narsa ahmoqqa o'xshaydi, faqat soat yo'nalishi bo'yicha to'liq burilishdan so'ng, biz ikkinchi doiraga o'tamiz va "darajaning etishmasligini olamiz". Xususan, bizning holatimizda \(405°\) burchak \(360° + 45°\) shaklida chizilgan.

Taxmin qilish oson, masalan, \(960°\) da burchakni chizish uchun siz ikki burilish (\(360°+360°+240°\)) va burchak uchun \(2640) qilishingiz kerak. °\) - butun etti.

Siz almashtirganingizdek, sonning kosinusu ham, ixtiyoriy burchakning kosinasi ham deyarli bir xil aniqlanadi. Faqat doiradagi nuqtani topish usuli o'zgaradi.

Choraklar bo'yicha kosinus belgilari

Kosinus o'qidan (ya'ni rasmda qizil rang bilan belgilangan abscissa o'qi) foydalanib, raqamli (trigonometrik) doira bo'ylab kosinuslarning belgilarini aniqlash oson:

Agar o'qdagi qiymatlar \(0\) dan \(1\) gacha bo'lsa, kosinus ortiqcha belgisiga ega bo'ladi (I va IV choraklar - yashil maydon),
- o'qdagi qiymatlar \(0\) dan \(-1\) gacha bo'lgan joyda, kosinus minus belgisiga ega bo'ladi (II va III choraklar - binafsha maydon).

Boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan aloqasi:

- bir xil burchak (yoki raqam): asosiy trigonometrik identifikatsiya\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- bir xil burchak (yoki raqam): formula bo'yicha \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- va bir xil burchakning sinusi (yoki soni): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Boshqa eng ko'p ishlatiladigan formulalar uchun qarang.

\(\cos⁡x=a\) tenglamaning yechimi

\(\cos⁡x=a\) tenglamaning yechimi, bu erda \(a\) \(1\) dan katta bo'lmagan va \(-1\) dan kam bo'lmagan son, ya'ni. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2pk, k∈Z\)

Agar \(a>1\) yoki \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Misol . \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Raqamli aylana yordamida tenglamani yechamiz. Buning uchun:
1) Keling, boltalarni quraylik.
2) Keling, aylana quramiz.
3) Kosinus o'qida (\(y\) o'qi) nuqtani belgilang \(\frac(1)(2)\) .
4) Shu nuqta orqali kosinus o‘qiga perpendikulyar chizamiz.
5) Perpendikulyar va aylananing kesishish nuqtalarini belgilang.
6) Keling, ushbu nuqtalarning qiymatlarini belgilaymiz: \(\frac(p)(3)\) ,\(-\)\(\frac(p)(3)\) .
7) Keling, \(x=t+2pk\), \(k∈Z\) formulasidan foydalanib, ushbu nuqtalarga mos keladigan barcha qiymatlarni yozamiz:
\(x=±\)\(\frac(p)(3)\) \(+2pk\), \(k∈Z\);

Javob: \(x=±\frac(p)(3)+2pk\) \(k∈Z\)

Funktsiya \(y=\cos(x)\)

Agar \(x\) o'qi bo'ylab burchaklarni radianlarda va \(y\) o'qi bo'ylab bu burchaklarga mos keladigan kosinus qiymatlarini chizsak, quyidagi grafikni olamiz:

Ushbu grafik deyiladi va quyidagi xususiyatlarga ega:

Ta'rif sohasi x ning istalgan qiymati: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- qiymatlar diapazoni - \(-1\) dan \(1\) gacha: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- juft: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- davriy davr bilan \(2p\): \(\cos⁡(x+2p)=\cos(x)\)
- koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari:
abscissa o'qi: \((\)\(\frac(p)(2)\) \(+pn\),\(;0)\), bu erda \(n s Z\)
Y o'qi: \((0;1)\)
- belgining doimiylik intervallari:
funktsiya oraliqlarda musbat: \((-\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pn;\) \(\frac(p)(2)\) \(+2pn) \), bu erda \(n s Z\)
funktsiya oraliqlarda manfiy: \((\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pn;\)\(\frac(3p)(2)\) \(+2pn)\ ), bu erda \(n s Z\)
- o'sish va pasayish intervallari:
funktsiya oraliqlarda ortadi: \((p+2pn;2p+2pn)\), bu erda \(n s Z\)
funktsiya oraliqlarda kamayadi: \((2pn;p+2pn)\), bu erda \(n s Z\)
- funktsiyaning maksimal va minimumlari:
funktsiya \(x=2pn\) nuqtalarda maksimal qiymatga ega bo'ladi, bu erda \(n s Z\)
funktsiya \(x=p+2pn\) nuqtalarida \(y=-1\) minimal qiymatga ega, bu erda \(n s Z\).