Ushbu darsda biz determinantni yaratishda qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz tekislik tenglamasi. Agar siz determinant nima ekanligini bilmasangiz, darsning birinchi qismiga - "Matritsalar va determinantlar" ga o'ting. Aks holda, bugungi materialda hech narsani tushunmaslik xavfi bor.

Uch nuqtadan foydalangan holda tekislik tenglamasi

Nima uchun bizga umuman tekislik tenglamasi kerak? Hammasi oddiy: buni bilib, biz C2 muammosida burchaklar, masofalar va boshqa axlatlarni osongina hisoblashimiz mumkin. Umuman olganda, siz ushbu tenglamasiz qilolmaysiz. Shunday qilib, biz muammoni shakllantiramiz:

Vazifa. Fazoda bitta to'g'rida yotmaydigan uchta nuqta berilgan. Ularning koordinatalari:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Ushbu uch nuqtadan o'tadigan tekislik uchun tenglamani yaratishingiz kerak. Bundan tashqari, tenglama quyidagicha ko'rinishi kerak:

Ax + By + Cz + D = 0

Bu erda A, B, C va D raqamlari, aslida, topish kerak bo'lgan koeffitsientlardir.

Xo'sh, agar faqat nuqtalarning koordinatalari ma'lum bo'lsa, tekislik tenglamasini qanday olish mumkin? Eng oson yo'li - Ax + By + Cz + D = 0 tenglamasiga koordinatalarni almashtirish. Siz osongina echilishi mumkin bo'lgan uchta tenglamadan iborat tizimga ega bo'lasiz.

Ko'pgina talabalar bu yechimni juda zerikarli va ishonchsiz deb bilishadi. O'tgan yilgi matematika bo'yicha yagona davlat imtihoni hisoblash xatosiga yo'l qo'yish ehtimoli haqiqatan ham yuqori ekanligini ko'rsatdi.

Shu sababli, eng ilg'or o'qituvchilar oddiyroq va oqlangan echimlarni izlay boshladilar. Va ular buni topdilar! To'g'ri, qabul qilingan qabul ko'proq ishora qiladi oliy matematika. Shaxsan men ushbu texnikadan hech qanday asos va dalilsiz foydalanish huquqiga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun darsliklarning butun Federal ro'yxatini varaqlashim kerak edi.

Determinant orqali tekislik tenglamasi

Qo‘shiq so‘zlari yetarli, keling, ishga kirishaylik. Boshlash uchun, matritsaning determinanti va tekislik tenglamasi qanday bog'liqligi haqidagi teorema.

Teorema. Tekislik o'tkazilishi kerak bo'lgan uchta nuqtaning koordinatalari berilgan bo'lsin: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Keyin bu tekislikning tenglamasini determinant orqali yozish mumkin:

Misol tariqasida, keling, C2 muammolarida haqiqatda sodir bo'lgan bir juft tekislikni topishga harakat qilaylik. Hamma narsa qanchalik tez hisoblanganiga qarang:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Determinant tuzamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Determinantni kengaytiramiz:

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a - b = z - 1 - y - (-x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Ko'rib turganingizdek, d sonini hisoblashda, x, y va z o'zgaruvchilari to'g'ri ketma-ketlikda bo'lishi uchun tenglamani biroz "taroqladim". Bo'ldi shu! Samolyot tenglamasi tayyor!

Vazifa. Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Nuqtalarning koordinatalarini darhol determinantga almashtiring:

Determinantni yana kengaytiramiz:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

Shunday qilib, tekislikning tenglamasi yana olinadi! Yana, yoqilgan oxirgi qadam Yana "chiroyli" formulani olish uchun undagi belgilarni o'zgartirishim kerak edi. Bu yechimda buni qilish umuman shart emas, lekin baribir tavsiya etiladi - muammoni keyingi hal qilishni soddalashtirish.

Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasini tuzish endi ancha oson. Biz nuqtalarni matritsaga almashtiramiz, determinantni hisoblaymiz - va shunday, tenglama tayyor.

Bu darsni tugatishi mumkin. Biroq, ko'plab talabalar doimiy ravishda determinant ichida nima borligini unutishadi. Masalan, qaysi qatorda x 2 yoki x 3 bor va qaysi qatorda faqat x mavjud. Buni haqiqatdan ham yo'q qilish uchun keling, har bir raqam qaerdan kelganini ko'rib chiqaylik.

Aniqlovchi bilan formula qayerdan olingan?

Shunday qilib, keling, determinant bilan bunday qattiq tenglama qaerdan kelganini aniqlaylik. Bu uni eslab qolishga va uni muvaffaqiyatli qo'llashga yordam beradi.

C2 muammosida paydo bo'lgan barcha tekisliklar uchta nuqta bilan belgilanadi. Bu nuqtalar har doim chizmada belgilanadi yoki hatto muammoning matnida to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatiladi. Har holda, tenglamani yaratish uchun biz ularning koordinatalarini yozishimiz kerak:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Keling, ixtiyoriy koordinatali tekisligimizdagi yana bir nuqtani ko'rib chiqaylik:

T = (x, y, z)

Birinchi uchta nuqtadan istalgan nuqtani (masalan, M nuqta) oling va undan qolgan uchta nuqtaning har biriga vektorlarni torting. Biz uchta vektorni olamiz:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).

Endi bu vektorlardan kvadrat matritsa tuzamiz va uning determinantini nolga tenglashtiramiz. Vektorlarning koordinatalari matritsaning qatorlariga aylanadi - va biz teoremada ko'rsatilgan determinantni olamiz:

Bu formula MN, MK va MT vektorlari ustiga qurilgan parallelepipedning hajmi nolga teng ekanligini bildiradi. Demak, uch vektor ham bir tekislikda yotadi. Xususan, T = (x, y, z) ixtiyoriy nuqta biz qidirgan narsadir.

Determinantning nuqtalari va chiziqlarini almashtirish

Determinantlar buni yanada osonlashtiradigan bir qancha ajoyib xususiyatlarga ega C2 muammosining yechimi. Misol uchun, biz uchun vektorlarni qaysi nuqtadan chizishimiz muhim emas. Shunday qilib, quyidagi determinantlar yuqoridagi kabi bir xil tekislik tenglamasini beradi:

Bundan tashqari, determinantning satrlarini almashtirishingiz mumkin. Tenglama o'zgarishsiz qoladi. Misol uchun, ko'pchilik T = (x; y; z) nuqtasining koordinatalarini eng tepasida joylashgan chiziq yozishni yaxshi ko'radi. Iltimos, agar sizga qulay bo'lsa:

Ba'zi odamlarni satrlardan birida x, y va z o'zgaruvchilari mavjud bo'lib, ular nuqtalarni almashtirishda yo'qolmaydi. Ammo ular yo'q bo'lib ketmasligi kerak! Raqamlarni determinantga almashtirib, siz ushbu qurilishni olishingiz kerak:

Keyin determinant dars boshida berilgan sxema bo'yicha kengaytiriladi va tekislikning standart tenglamasi olinadi:

Ax + By + Cz + D = 0

Bir misolni ko'rib chiqing. Bu bugungi darsning oxirgisi. Javob tekislikning bir xil tenglamasini berishiga ishonch hosil qilish uchun chiziqlarni ataylab almashtiraman.

Vazifa. Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Shunday qilib, biz 4 nuqtani ko'rib chiqamiz:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Birinchidan, standart determinantni yaratamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Determinantni kengaytiramiz:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x - 1) + 1 (−1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
d = a - b = y - (2 - x - z ) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Hammasi shunday, biz javob oldik: x + y + z - 2 = 0.

Endi determinantdagi bir nechta satrlarni o'zgartiramiz va nima bo'lishini ko'ramiz. Masalan, x, y, z o'zgaruvchilari pastda emas, yuqorida joylashgan qatorni yozamiz:

Olingan determinantni yana kengaytiramiz:

a = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Biz aynan bir xil tekislik tenglamasini oldik: x + y + z - 2 = 0. Bu haqiqatan ham qatorlar tartibiga bog'liq emasligini anglatadi. Faqat javobni yozish qoladi.

Demak, biz tekislikning tenglamasi chiziqlar ketma-ketligiga bog'liq emasligiga amin bo'ldik. Biz ham shunga o'xshash hisob-kitoblarni amalga oshirib, tekislik tenglamasi koordinatalarini boshqa nuqtalardan ayiradigan nuqtaga bog'liq emasligini isbotlashimiz mumkin.

Yuqorida ko'rib chiqilgan masalada biz B 1 = (1, 0, 1) nuqtasidan foydalanganmiz, lekin C = (1, 1, 0) yoki D 1 = (0, 1, 1) ni olish juda mumkin edi. Umuman olganda, ma'lum koordinatalarga ega bo'lgan har qanday nuqta kerakli tekislikda yotadi.

Fazodagi istalgan uchta nuqtadan bitta tekislik o'tkazilishi uchun bu nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Umumiy dekart koordinata sistemasidagi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalarni ko‘rib chiqaylik.

Ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta M 1, M 2, M 3 nuqtalar bilan bir tekislikda yotishi uchun vektorlar koplanar bo lishi kerak.

(
) = 0

Shunday qilib,

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi:

Tekislik tenglamasi ikki nuqta va tekislikka kollinear vektor berilgan.

M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) nuqtalar va vektor berilsin.
.

Berilgan M 1 va M 2 nuqtalardan va vektorga parallel bo‘lgan ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz. .

Vektorlar
va vektor
koplanar bo'lishi kerak, ya'ni.

(
) = 0

Tekislik tenglamasi:

Bir nuqta va ikkita vektor yordamida tekislik tenglamasi,

tekislikka to'g'ri keladi.

Ikki vektor berilgan bo'lsin
Va
, kollinear tekisliklar. U holda tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektorlar.
mutanosib bo'lishi kerak.

Tekislik tenglamasi:

Tekislikning nuqta va normal vektor bo'yicha tenglamasi .

Teorema. Agar fazoda M nuqta berilgan bo'lsa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), keyin M nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi 0 normal vektorga perpendikulyar (A, B, C) quyidagi shaklga ega:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Isbot. Tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektor tuzamiz. Chunki vektor normal vektor bo'lsa, u tekislikka perpendikulyar va shuning uchun vektorga perpendikulyar bo'ladi.
. Keyin skalyar mahsulot

= 0

Shunday qilib, biz tekislikning tenglamasini olamiz

Teorema isbotlangan.

Segmentlardagi tekislik tenglamasi.

Agar umumiy tenglamada Ax + By + Cz + D = 0 bo'lsa, ikkala tomonni (-D) ga bo'lamiz.

,

almashtirish
, biz segmentlardagi tekislikning tenglamasini olamiz:

a, b, c raqamlari tekislikning mos ravishda x, y, z o'qlari bilan kesishgan nuqtalaridir.

Tekislikning vektor ko'rinishidagi tenglamasi.

Qayerda

- joriy nuqtaning radius vektori M(x, y, z),

Perpendikulyar yo'nalishga ega bo'lgan birlik vektor koordinata boshidan tekislikka tushdi.

,  va  - bu vektor tomonidan x, y, z o'qlari bilan hosil qilingan burchaklar.

p - bu perpendikulyarning uzunligi.

Koordinatalarda bu tenglama quyidagicha ko'rinadi:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Ixtiyoriy M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtadan Ax+By+Cz+D=0 tekislikgacha bo‘lgan masofa:

Misol. P(4; -3; 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Shunday qilib, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, biz formuladan foydalanamiz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Misol. P(2; 0; -1) va ikkita nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

Q(1; -1; 3) tekislikka perpendikulyar 3x + 2y – z + 5 = 0.

3x + 2y – z + 5 = 0 tekislikka normal vektor
kerakli tekislikka parallel.

Biz olamiz:

Misol. A(2, -1, 4) va nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

B(3, 2, -1) tekislikka perpendikulyar X + da + 2z – 3 = 0.

Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: A x+B y+C z+ D = 0, bu tekislikka normal vektor (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) tekislikka tegishli. Bizga berilgan tekislik, kerakliga perpendikulyar, normal vektorga ega (1, 1, 2). Chunki A va B nuqtalari ikkala tekislikka tegishli va tekisliklar o'zaro perpendikulyar, demak

Shunday qilib, normal vektor (11, -7, -2). Chunki nuqta A kerakli tekislikka tegishli, keyin uning koordinatalari bu tekislikning tenglamasini qondirishi kerak, ya'ni. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Hammasi bo'lib, biz tekislikning tenglamasini olamiz: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Misol. P(4, -3, 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Normal vektorning koordinatalarini topish
= (4, -3, 12). Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. D koeffitsientini topish uchun P nuqtaning koordinatalarini tenglamaga almashtiramiz:

16 + 9 + 144 + D = 0

Hammasi bo'lib biz kerakli tenglamani olamiz: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Misol. Piramida uchlari koordinatalari berilgan: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 chetining uzunligini toping.

A 1 A 2 va A 1 A 4 qirralari orasidagi burchakni toping.

A 1 A 4 chekkasi va A 1 A 2 A 3 yuzi orasidagi burchakni toping.

Avval A 1 A 2 A 3 yuzining normal vektorini topamiz vektorlarning o'zaro mahsuloti sifatida
Va
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektor bilan vektor orasidagi burchakni topamiz
.

-4 – 4 = -8.

Vektor va tekislik orasidagi kerakli burchak   = 90 0 -  ga teng bo'ladi.

A 1 A 2 A 3 yuzning maydonini toping.

Piramidaning hajmini toping.

A 1 A 2 A 3 tekislik tenglamasini toping.

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi formulasidan foydalanamiz.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kompyuter versiyasidan foydalanganda " Oliy matematika kursi” siz piramida cho'qqilarining istalgan koordinatalari uchun yuqoridagi misolni hal qiladigan dasturni ishga tushirishingiz mumkin.

Dasturni ishga tushirish uchun belgini ikki marta bosing:

Ochilgan dastur oynasida piramida uchlari koordinatalarini kiriting va Enter tugmasini bosing. Shu tarzda, barcha qaror nuqtalarini birma-bir olish mumkin.

Eslatma: Dasturni ishga tushirish uchun kompyuteringizda MapleV Release 4 dan boshlab istalgan versiyadagi Maple dasturi ( Waterloo Maple Inc.) o'rnatilgan bo'lishi kerak.

Tekislik tenglamasi. Tekislik tenglamasi qanday yoziladi?
O'zaro pozitsiya samolyotlar. Vazifalar

Fazoviy geometriya "tekis" geometriyaga qaraganda ancha murakkab emas va bizning kosmosdagi parvozlarimiz ushbu maqoladan boshlanadi. Mavzuni o'zlashtirish uchun siz yaxshi tushunchaga ega bo'lishingiz kerak vektorlar, bundan tashqari, samolyotning geometriyasi bilan tanishish tavsiya etiladi - ko'plab o'xshashliklar, ko'plab o'xshashliklar bo'ladi, shuning uchun ma'lumot ancha yaxshi hazm qilinadi. Bir qator darslarimda 2D dunyosi maqola bilan ochiladi Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi. Ammo endi Betmen tekis televizor ekranini tark etdi va Bayqo'ng'ir kosmodromidan uchmoqda.

Keling, chizmalar va belgilar bilan boshlaylik. Sxematik ravishda, tekislikni parallelogramm shaklida chizish mumkin, bu bo'shliq taassurotini yaratadi:

Samolyot cheksizdir, lekin bizda uning faqat bir qismini tasvirlash imkoniyati mavjud. Amalda, parallelogramma bilan bir qatorda, oval yoki hatto bulut ham chiziladi. Texnik sabablarga ko'ra men uchun samolyotni aynan shu tarzda va aynan shu holatda tasvirlash qulayroq. Biz ko'rib chiqadigan haqiqiy samolyotlar amaliy misollar, har qanday tarzda joylashtirilishi mumkin - chizmani aqliy ravishda qo'llaringizga oling va uni kosmosda aylantiring, samolyotga har qanday moyillik, har qanday burchakni beradi.

Belgilar: samolyotlar odatda kichik yunoncha harflar bilan belgilanadi, ehtimol ularni chalkashtirmaslik uchun tekislikdagi to'g'ri chiziq yoki bilan kosmosdagi to'g'ri chiziq. Men xatdan foydalanishga odatlanganman. Chizmada bu "sigma" harfi va umuman teshik emas. Garchi, teshikli samolyot, albatta, juda kulgili.

Ba'zi hollarda, samolyotlarni belgilash uchun pastki pastki belgilar bilan bir xil yunoncha harflardan foydalanish qulay, masalan, .

Ko'rinib turibdiki, tekislik bir xil to'g'rida yotmaydigan uch xil nuqta bilan o'ziga xos tarzda aniqlangan. Shuning uchun samolyotlarning uch harfli belgilari juda mashhur - ularga tegishli nuqtalar bo'yicha, masalan, va hokazo. Ko'pincha harflar qavs ichiga olinadi: , tekislikni boshqa geometrik shakl bilan aralashtirib yubormaslik uchun.

Tajribali o'quvchilar uchun men beraman tez kirish menyusi:

• Nuqta va ikkita vektor yordamida tekislik tenglamasi qanday tuziladi?
• Nuqta va normal vektor yordamida tekislik tenglamasi qanday tuziladi?

va biz uzoq kutishga to'sqinlik qilmaymiz:

Umumiy tekislik tenglamasi

Samolyotning umumiy tenglamasi koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan shaklga ega.

Bir qator nazariy hisob-kitoblar va amaliy muammolar odatdagi ortonormal asos uchun ham, bo'shliqning affin asosi uchun ham amal qiladi (agar moy moy bo'lsa, darsga qayting. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari). Oddiylik uchun biz barcha hodisalar ortonormal asosda va Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida sodir bo'ladi deb faraz qilamiz.

Endi fazoviy tasavvurimizni biroz mashq qilaylik. Agar sizniki yomon bo'lsa yaxshi, endi biz uni biroz rivojlantiramiz. Hatto nervlarda o'ynash ham mashg'ulotni talab qiladi.

Eng umumiy holatda, raqamlar nolga teng bo'lmaganda, tekislik barcha uchta koordinata o'qlarini kesib o'tadi. Masalan, bu kabi:

Yana bir bor takror aytamanki, samolyot barcha yo'nalishlarda cheksiz davom etadi va bizda uning faqat bir qismini tasvirlash imkoniyati mavjud.

Keling, tekisliklarning eng oddiy tenglamalarini ko'rib chiqaylik:

Bu tenglamani qanday tushunish mumkin? O'ylab ko'ring: "X" va "Y" ning har qanday qiymatlari uchun "Z" DOIMO nolga teng. Bu "mahalliy" koordinata tekisligining tenglamasi. Haqiqatan ham, rasmiy ravishda tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin: , bu erda siz "x" va "y" qiymatlari bizni qiziqtirmasligini aniq ko'rishingiz mumkin, "z" nolga teng bo'lishi muhimdir.

Xuddi shunday:
– koordinata tekisligi tenglamasi;
– koordinata tekisligi tenglamasi.

Keling, muammoni biroz murakkablashtiraylik, tekislikni ko'rib chiqaylik (bu erda va keyingi paragrafda biz raqamli koeffitsientlar nolga teng emas deb hisoblaymiz). Tenglamani quyidagi ko rinishda qayta yozamiz: . Uni qanday tushunish kerak? "X" DOIMO "y" va "z" ning har qanday qiymatlari uchun ma'lum songa teng. Bu tekislik koordinata tekisligiga parallel. Masalan, tekislik tekislikka parallel va nuqtadan o'tadi.

Xuddi shunday:
– koordinata tekisligiga parallel bo‘lgan tekislikning tenglamasi;
– koordinata tekisligiga parallel bo‘lgan tekislikning tenglamasi.

Keling, a'zolarni qo'shamiz: . Tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin: , ya'ni "zet" har qanday narsa bo'lishi mumkin. Bu nima degani? "X" va "Y" tekislikda ma'lum bir to'g'ri chiziq chizadigan munosabat bilan bog'langan (buni bilib olasiz. tekislikdagi chiziq tenglamasi?). "Z" har qanday bo'lishi mumkinligi sababli, bu to'g'ri chiziq har qanday balandlikda "takrorlanadi". Shunday qilib, tenglama koordinata o'qiga parallel bo'lgan tekislikni aniqlaydi

Xuddi shunday:
– koordinata o‘qiga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasi;
– koordinata o'qiga parallel bo'lgan tekislik tenglamasi.

Agar erkin shartlar nolga teng bo'lsa, u holda samolyotlar to'g'ridan-to'g'ri mos keladigan o'qlardan o'tadi. Masalan, klassik "to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik":. Samolyotda to'g'ri chiziq chizing va uni aqliy ravishda yuqoriga va pastga ko'paytiring (chunki "Z" har qanday). Xulosa: tenglama bilan aniqlangan tekislik koordinata o'qi orqali o'tadi.

Biz ko'rib chiqishni yakunlaymiz: samolyot tenglamasi kelib chiqishi orqali o'tadi. Xo'sh, bu erda nuqta ushbu tenglamani qanoatlantirishi aniq.

Va nihoyat, rasmda ko'rsatilgan holat: - samolyot barcha koordinata o'qlari bilan do'stona munosabatda bo'lib, har doim sakkizta oktantning har qandayida joylashgan uchburchakni "kesadi".

Fazodagi chiziqli tengsizliklar

Ma'lumotni tushunish uchun siz yaxshi o'rganishingiz kerak tekislikdagi chiziqli tengsizliklar, chunki ko'p narsalar o'xshash bo'ladi. Paragraf bir nechta misollar bilan qisqacha tavsifga ega bo'ladi, chunki material amalda juda kam uchraydi.

Agar tenglama tekislikni aniqlasa, u holda tengsizliklar
so'rang yarim bo'shliqlar. Agar tengsizlik qat'iy bo'lmasa (ro'yxatdagi oxirgi ikkitasi), u holda tengsizlikning yechimi yarim bo'shliqdan tashqari, tekislikning o'zini ham o'z ichiga oladi.

5-misol

Tekislikning normal birlik vektorini toping .

Yechim: Birlik vektor - uzunligi bitta bo'lgan vektor. Bu vektorni bilan belgilaymiz. Vektorlar kollinear ekanligi aniq:

Birinchidan, tekislik tenglamasidan normal vektorni olib tashlaymiz: .

Birlik vektorni qanday topish mumkin? Birlik vektorini topish uchun sizga kerak bo'ladi har vektor koordinatasini vektor uzunligiga bo'ling.

Oddiy vektorni ko'rinishda qayta yozamiz va uning uzunligini topamiz:

Yuqoridagilarga ko'ra:

Javob:

Tekshirish: tekshirish uchun nima kerak edi.

Darsning oxirgi paragrafini diqqat bilan o'rgangan o'quvchilar buni payqashgan bo'lishi mumkin birlik vektorining koordinatalari aynan vektorning yo'nalish kosinuslaridir:

Keling, muammoni hal qilaylik: sizga ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan vektor berilganda, va shartga ko'ra, uning yo'nalishi kosinuslarini topish talab qilinadi (darsning oxirgi masalalariga qarang Vektorlarning nuqta mahsuloti), unda siz, aslida, bu vektorga to'g'ri keladigan birlik vektorini topasiz. Aslida bitta shishada ikkita vazifa.

Birlik normal vektorni topish zarurati matematik tahlilning ba'zi muammolarida paydo bo'ladi.

Biz oddiy vektorni qanday qilib baliq qilishni aniqladik, endi qarama-qarshi savolga javob beramiz:

Nuqta va normal vektor yordamida tekislik tenglamasi qanday tuziladi?

Oddiy vektor va nuqtaning bu qattiq konstruktsiyasi dart taxtasiga yaxshi ma'lum. Iltimos, qo'lingizni oldinga cho'zing va aqliy ravishda kosmosdagi o'zboshimchalik nuqtasini tanlang, masalan, bufetdagi kichkina mushuk. Shubhasiz, orqali bu nuqta qo'lingizga perpendikulyar bo'lgan bitta tekislikni chizishingiz mumkin.

Vektorga perpendikulyar nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Ushbu materialda biz bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan uch xil nuqtaning koordinatalarini bilsak, tekislik tenglamasini qanday topishni ko'rib chiqamiz. Buning uchun uch o'lchamli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi nima ekanligini eslab qolishimiz kerak. Boshlash uchun biz ushbu tenglamaning asosiy printsipi bilan tanishamiz va uni aniq muammolarni hal qilish uchun qanday ishlatishni aniq ko'rsatamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Birinchidan, biz bir aksiomani eslab qolishimiz kerak, bu shunday eshitiladi:

Ta'rif 1

Agar uchta nuqta bir-biriga to'g'ri kelmasa va bir chiziqda yotmasa, u holda uch o'lchamli fazoda ular orqali faqat bitta tekislik o'tadi.

Boshqacha qilib aytganda, agar bizda koordinatalari bir-biriga to‘g‘ri kelmaydigan va to‘g‘ri chiziq bilan tutashtirib bo‘lmaydigan uch xil nuqta bo‘lsa, u holda u orqali o‘tuvchi tekislikni aniqlash mumkin.

Aytaylik, bizda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. Uni O x y z deb belgilaymiz. U koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) bo‘lgan uchta M nuqtadan iborat bo‘lib, ularni bog‘lab bo‘lmaydi. to'g'ri chiziq. Ushbu shartlarga asoslanib, biz kerakli tekislikning tenglamasini yozishimiz mumkin. Ushbu muammoni hal qilishda ikkita yondashuv mavjud.

1. Birinchi yondashuvdan foydalaniladi umumiy tenglama samolyot. Harf shaklida A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 shaklida yoziladi. Uning yordami bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida birinchi berilgan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan o'tadigan ma'lum bir alfa tekisligini aniqlashingiz mumkin. Ma’lum bo‘lishicha, a tekislikning normal vektori A, B, C koordinatalariga ega bo‘ladi.

N ta'rifi

Oddiy vektorning koordinatalarini va tekislik o'tadigan nuqtaning koordinatalarini bilib, biz ushbu tekislikning umumiy tenglamasini yozishimiz mumkin.

Kelajakda biz shu narsadan boshlaymiz.

Shunday qilib, masalaning shartlariga ko'ra, bizda tekislik o'tadigan kerakli nuqtaning (hatto uchta) koordinatalari mavjud. Tenglamani topish uchun uning normal vektorining koordinatalarini hisoblash kerak. Uni n → ni belgilaymiz.

Qoidani eslaylik: berilgan tekislikning nolga teng bo'lmagan har qanday vektori xuddi shu tekislikning normal vektoriga perpendikulyar. U holda biz n → M 1 M 2 → va M 1 M 3 → dastlabki nuqtalardan tashkil topgan vektorlarga perpendikulyar bo'ladi. U holda n → ni M 1 M 2 → · M 1 M 3 → ko‘rinishdagi vektor ko‘paytma sifatida belgilashimiz mumkin.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) va M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 bo'lgani uchun (bu tengliklarning dalillari vektorning koordinatalarini nuqtalar koordinatalaridan hisoblashga bag'ishlangan maqolada keltirilgan), keyin shunday bo'ladi:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Agar determinantni hisoblasak, bizga kerak bo'lgan normal vektor n → koordinatalarini olamiz. Endi biz uchtadan o'tadigan tekislik uchun kerakli tenglamani yozishimiz mumkin berilgan ballar.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dan o‘tuvchi tenglamani topishning ikkinchi usuli, vektorlarning mutanosibligi kabi tushunchaga asoslanadi.

Agar bizda M (x, y, z) nuqtalar to'plami bo'lsa, u holda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ular berilgan M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) nuqtalar uchun tekislikni aniqlaydilar. , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) faqat M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2 vektorlari bo‘lgan holatda. → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) va M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) teng tekislikli bo‘ladi. .

Diagrammada u quyidagicha ko'rinadi:

Bu M 1 M →, M 1 M 2 →, M 1 M 3 → vektorlarining aralash mahsuloti nolga teng bo‘lishini bildiradi: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0. , chunki bu mutanosiblikning asosiy sharti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) va M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Olingan tenglamani koordinata shaklida yozamiz:

Determinantni hisoblab chiqqanimizdan so'ng bir xil to'g'rida yotmaydigan uchta nuqta uchun kerakli tekislik tenglamasini olishimiz mumkin M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Olingan tenglamadan tekislikning segmentlardagi tenglamasiga yoki masalaning shartlari talab qilsa, tekislikning normal tenglamasiga o'tish mumkin.

Keyingi paragrafda biz ko'rsatgan yondashuvlarning amalda qanday tatbiq etilishiga misollar keltiramiz.

3 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzish masalalariga misollar

Ilgari biz kerakli tenglamani topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ikkita yondashuvni aniqladik. Keling, ular muammolarni hal qilish uchun qanday ishlatilishini va qachon har birini tanlash kerakligini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Koordinatalari M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) bo'lgan bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta mavjud. Ulardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Yechim

Biz ikkala usulni navbatma-navbat ishlatamiz.

1. Bizga kerak M 1 M 2 →, M 1 M 3 → ikkita vektorning koordinatalarini toping:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Endi ularning vektor mahsulotini hisoblaymiz. Determinantning hisob-kitoblarini tasvirlamaymiz:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Bizda uchta kerakli nuqtadan o'tadigan tekislikning normal vektori bor: n → = (- 5, 30, 2) . Keyinchalik, nuqtalardan birini olishimiz kerak, masalan, M 1 (- 3, 2, - 1) va vektor n → = (- 5, 30, 2) bo'lgan tekislik uchun tenglamani yozishimiz kerak. Biz shuni olamiz: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Bu uchta nuqtadan o'tadigan tekislik uchun bizga kerak bo'lgan tenglama.

2. Keling, boshqacha yo'l tutaylik. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) uchta nuqtali tekislik tenglamasini yozamiz. quyidagi shakl:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Bu erda siz muammo bayonotidagi ma'lumotlarni almashtirishingiz mumkin. Chunki x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, natijada biz quyidagilarni olamiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Biz kerakli tenglamani oldik.

Javob:- 5 x + 30 y + 2 z - 73.

Ammo agar berilgan nuqtalar hali ham bir xil chiziqda yotsa va ular uchun tekislik tenglamasini yaratishimiz kerak bo'lsa-chi? Bu erda darhol aytish kerakki, bu shart mutlaqo to'g'ri bo'lmaydi. Bunday nuqtalardan cheksiz miqdordagi samolyotlar o'tishi mumkin, shuning uchun bitta javobni hisoblash mumkin emas. Savolning bunday shakllantirilishining noto'g'riligini isbotlash uchun bunday muammoni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Bizda uch o'lchovli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud bo'lib, unda uchta nuqta M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) koordinatalari bilan joylashtirilgan. , 1) . U orqali o'tadigan tekislikning tenglamasini tuzish kerak.

Yechim

Birinchi usuldan foydalanamiz va M 1 M 2 → va M 1 M 3 → ikkita vektorning koordinatalarini hisoblashdan boshlaymiz. Ularning koordinatalarini hisoblaymiz: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

O'zaro mahsulot quyidagilarga teng bo'ladi:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → bo'lgani uchun, bizning vektorlarimiz kollinear bo'ladi (agar siz ushbu kontseptsiyaning ta'rifini unutgan bo'lsangiz, ular haqidagi maqolani qayta o'qing). Shunday qilib, M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) boshlang'ich nuqtalari bir xil to'g'rida va bizning masalamiz cheksiz ko'p. javob variantlari.

Agar ikkinchi usuldan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Olingan tenglikdan, shuningdek, berilgan M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) nuqtalari bir xil chiziqda ekanligi kelib chiqadi.

Agar siz ushbu muammoning cheksiz ko'p variantlari orasidan kamida bitta javob topmoqchi bo'lsangiz, quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 yoki M 2 M 3 to'g'ri chiziq tenglamasini yozing (agar kerak bo'lsa, ushbu harakat haqidagi materialga qarang).

2. M 1 M 2 to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan M 4 (x 4, y 4, z 4) nuqtani oling.

3. Bir to g ri chiziqda yotmaydigan uch xil M 1, M 2 va M 4 nuqtalardan o tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Aytaylik, bitta to‘g‘rida yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislikning tenglamasini topishimiz kerak. Ularning radius vektorlarini va joriy radius vektorini bilan belgilab, vektor ko'rinishida kerakli tenglamani osongina olishimiz mumkin. Aslida, vektorlar koplanar bo'lishi kerak (ularning barchasi kerakli tekislikda yotadi). Shuning uchun bu vektorlarning vektor-skalyar mahsuloti nolga teng bo'lishi kerak:

Bu berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislikning vektor ko'rinishidagi tenglamasi.

Koordinatalarga o'tsak, biz koordinatalarda tenglamani olamiz:

Agar berilgan uchta nuqta bir xil to'g'rida yotsa, vektorlar kollinear bo'ladi. Demak, (18) tenglamadagi determinantning oxirgi ikki satrining mos keladigan elementlari proportsional bo'ladi va determinant bir xil tarzda nolga teng bo'ladi. Shunday qilib, (18) tenglama x, y va z ning har qanday qiymatlari uchun bir xil bo'ladi. Geometrik jihatdan bu fazodagi har bir nuqta orqali berilgan uchta nuqta yotadigan tekislikdan o'tishini anglatadi.

Izoh 1. Xuddi shu masalani vektorlardan foydalanmasdan yechish mumkin.

Berilgan uchta nuqtaning koordinatalarini mos ravishda belgilab, birinchi nuqtadan o'tadigan har qanday tekislikning tenglamasini yozamiz:

Istalgan tekislikning tenglamasini olish uchun (17) tenglama boshqa ikkita nuqtaning koordinatalari bilan bajarilishini talab qilish kerak:

(19) tenglamalardan ikkita koeffitsientning uchinchiga nisbatini aniqlash va topilgan qiymatlarni (17) tenglamaga kiritish kerak.

1-misol. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Ushbu nuqtalarning birinchisidan o'tadigan tekislikning tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Samolyotning (17) boshqa ikkita nuqtadan va birinchi nuqtadan o'tishi uchun shartlar:

Ikkinchi tenglamani birinchisiga qo'shib, biz topamiz:

Ikkinchi tenglamani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Tenglamani (17) A, B, C o'rniga mos ravishda 1, 5, -4 (ularga proportsional sonlar) qo'yib, biz quyidagilarni olamiz:

2-misol. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

(0, 0, 0) nuqtadan o'tuvchi har qanday tekislikning tenglamasi bo'ladi]

Ushbu tekislikning (1, 1, 1) va (2, 2, 2) nuqtalardan o'tish shartlari:

Ikkinchi tenglamani 2 ga kamaytirsak, ikkita noma'lumni aniqlash uchun bitta tenglama mavjudligini ko'ramiz.

Bu erdan olamiz. Endi uning qiymatini tekislik tenglamasiga almashtirib, topamiz:

Bu kerakli tekislikning tenglamasi; bu o'zboshimchalik bilan bog'liq

B, C miqdorlar (ya'ni, munosabatdan, ya'ni uchta berilgan nuqtadan o'tadigan cheksiz sonli tekisliklar mavjud (uchta berilgan nuqta bir xil to'g'ri chiziqda yotadi).

Izoh 2. Bir to‘g‘rida yotmaydigan berilgan uchta nuqtadan tekislik o‘tkazish masalasi oson yechiladi. umumiy ko'rinish, agar determinantlardan foydalansak. Darhaqiqat, (17) va (19) tenglamalarda A, B, C koeffitsientlari bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emasligi sababli, bu tenglamalarni hisobga olgan holda, bir hil tizim uchta noma'lum A, B, C bilan biz ushbu tizimning noldan farq qiladigan yechim mavjudligi uchun zarur va etarli shartni yozamiz (1-qism, VI bob, 6-§):

Ushbu determinantni birinchi qatorning elementlariga kengaytirib, biz joriy koordinatalarga nisbatan birinchi darajali tenglamani olamiz, bu, xususan, berilgan uchta nuqtaning koordinatalari bilan qondiriladi.

Buni to'g'ridan-to'g'ri ushbu nuqtalardan birining o'rniga koordinatalarini qo'yish orqali tekshirishingiz mumkin. Chap tomonda biz birinchi qatorning elementlari nolga teng yoki ikkita bir xil qator mavjud bo'lgan determinantni olamiz. Shunday qilib, tuzilgan tenglama berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislikni ifodalaydi.