Sinus o'tkir burchak To'g'ri burchakli uchburchakning a nisbati qarama-qarshi oyoq gipotenuzaga.
U quyidagicha ifodalanadi: sin a.
Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi a - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: cos a.
Tangent o'tkir burchak a - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: tg a.
Kotangent o'tkir burchak a - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: ctg a.
Burchakning sinusi, kosinusi, tangensi va kotangensi faqat burchakning kattaligiga bog'liq.
Qoidalar:
To'g'ri burchakli uchburchakdagi asosiy trigonometrik identifikatsiyalar:
(α - oyoqqa qarama-qarshi o'tkir burchak b va oyoqqa ulashgan a . Yon Bilan - gipotenuza. β - ikkinchi o'tkir burchak).
b | sin 2 a + cos 2 a = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
gunoh a |
O'tkir burchak ortishi bilangunoh a vatan a ortishi, vachunki a kamayadi.
Har qanday o'tkir burchak a uchun:
sin (90° – a) = cos a
cos (90° – a) = sin a
Misol - tushuntirish:
ABC to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsin
AB = 6,
BC = 3,
burchak A = 30º.
A burchakning sinusini va B burchakning kosinusini aniqlaymiz.
Yechim.
1) Birinchidan, biz B burchakning qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: chunki to'g'ri burchakli uchburchakda o'tkir burchaklar yig'indisi 90º, keyin B burchagi = 60º:
B = 90º - 30º = 60º.
2) Sin A ni hisoblaymiz. Biz bilamizki, sinus qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng. A burchak uchun qarama-qarshi tomon BC tomondir. Shunday qilib:
Miloddan avvalgi 3 1
gunoh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Endi cos B ni hisoblaymiz. Biz bilamizki, kosinus yondosh oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng. B burchagi uchun qo'shni oyoq bir xil BC tomonidir. Bu shuni anglatadiki, biz yana BC ni AB ga bo'lishimiz kerak, ya'ni A burchak sinusini hisoblashda xuddi shunday harakatlarni bajaramiz:
Miloddan avvalgi 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Natijada:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri burchakli uchburchakda bitta o'tkir burchakning sinusi kosinusga teng boshqa o'tkir burchak - va aksincha. Bu bizning ikkita formulamiz nimani anglatadi:
sin (90° – a) = cos a
cos (90° – a) = sin a
Keling, bunga yana bir bor ishonch hosil qilaylik:
1) a = 60º bo'lsin. a qiymatini sinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
gunoh (90º - 60º) = cos 60º.
gunoh 30º = cos 60º.
2) a = 30º bo'lsin. a qiymatini kosinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Trigonometriya haqida ko'proq ma'lumot olish uchun Algebra bo'limiga qarang)
To'g'ri burchakli uchburchakni echish bo'yicha masalalar ko'rib chiqilganda, men sinus va kosinus ta'riflarini yodlash texnikasini taqdim etishga va'da berdim. Undan foydalanib, siz har doim qaysi tomon gipotenuzaga tegishli ekanligini tezda eslaysiz (qo'shni yoki qarama-qarshi). Men buni uzoq vaqtga qoldirmaslikka qaror qildim, kerakli material quyida, o'qing 😉
Gap shundaki, men 10-11-sinf o‘quvchilari bu ta’riflarni eslab qolishda qiynalayotganliklarini bir necha bor kuzatganman. Ular oyoqning gipotenuzaga tegishli ekanligini juda yaxshi eslashadi, lekin qaysi biri- ular unutishadi va chalkash. Xatoning narxi, siz imtihonda bilganingizdek, yo'qolgan balldir.
Men to'g'ridan-to'g'ri taqdim etadigan ma'lumotlarning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. U bilan bog'langan xayoliy fikrlash, va og'zaki-mantiqiy muloqot usullari bilan. Aynan shunday eslayman, bir marta va umumanta'rif ma'lumotlari. Agar siz ularni unutib qo'ysangiz, taqdim etilgan usullardan foydalangan holda ularni har doim osongina eslab qolishingiz mumkin.
To'g'ri burchakli uchburchakda sinus va kosinus ta'riflarini eslatib o'taman:
Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:
Xo'sh, siz kosinus so'zi bilan qanday bog'liqliklarga egasiz?
Balki har kimning o'ziga xos 😉Havolani eslang:
Shunday qilib, ibora darhol sizning xotirangizda paydo bo'ladi -
«… QO'SHAN oyoqning gipotenuzaga nisbati».
Kosinusni aniqlash muammosi hal qilindi.
Agar siz to'g'ri burchakli uchburchakda sinusning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, u holda kosinusning ta'rifini eslab, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin. Axir, faqat ikkita oyoq bor, agar qo'shni oyoq kosinus bilan "ishg'ol qilingan" bo'lsa, u holda faqat qarama-qarshi oyoq sinus bilan qoladi.
Tangens va kotangens haqida nima deyish mumkin? Chalkashlik ham xuddi shunday. Talabalar bu oyoqlarning munosabati ekanligini bilishadi, ammo muammo qaysi biri qaysi biri bilan bog'liqligini eslashda - qo'shniga qarama-qarshi yoki aksincha.
Ta'riflar:
Tangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:
Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati:
Qanday eslash kerak? Ikki yo'l bor. Birida og'zaki-mantiqiy bog'lanish ham qo'llaniladi, ikkinchisi matematikadan foydalanadi.
MATEMATIK USUL
Bunday ta'rif mavjud - o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:
*Formulani yodlab, siz har doim to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati ekanligini aniqlashingiz mumkin.
Xuddi shunday.O'tkir burchakning kotangensi bu burchak kosinusining sinusiga nisbati:
Shunday ekan! Ushbu formulalarni eslab, siz har doim quyidagilarni aniqlashingiz mumkin:
- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati
- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.
SO'Z-MANTIQ USUL
Tangens haqida. Havolani eslang:
Ya'ni, agar siz tangensning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, ushbu mantiqiy aloqadan foydalanib, uning nima ekanligini osongina eslab qolishingiz mumkin
"... qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati"
Agar biz kotangens haqida gapiradigan bo'lsak, unda tangens ta'rifini eslab, siz kotangentning ta'rifini osongina aytishingiz mumkin -
"... qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati"
Veb-saytda tangens va kotangensni eslab qolish uchun qiziqarli hiyla mavjud " Matematik tandem " , qarang.
UNIVERSAL USUL
Siz shunchaki eslab qolishingiz mumkin.Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, og'zaki-mantiqiy aloqalar tufayli odam nafaqat matematik ma'lumotlarni, balki uzoq vaqt davomida ma'lumotni eslab qoladi.
Umid qilamanki, material siz uchun foydali bo'ldi.
Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix
P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.
Sinus asosiy trigonometrik funktsiyalardan biri bo'lib, undan foydalanish faqat geometriya bilan cheklanmaydi. Trigonometrik funktsiyalarni hisoblash uchun jadvallar, masalan, muhandislik kalkulyatorlari, har doim ham qo'lda emas va sinusni hisoblash ba'zan turli muammolarni hal qilish uchun kerak bo'ladi. Umuman olganda, sinusni hisoblash chizish ko'nikmalarini va trigonometrik identifikatsiyalar haqidagi bilimlarni mustahkamlashga yordam beradi.
Rulet va qalam bilan o'yinlar
Oddiy vazifa: qog'ozga chizilgan burchakning sinusini qanday topish mumkin? Yechish uchun sizga oddiy o'lchagich, uchburchak (yoki kompas) va qalam kerak bo'ladi. Burchakning sinusini hisoblashning eng oddiy usuli - to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzoq oyog'ini uzun tomoni - gipotenuzaga bo'lish. Shunday qilib, siz birinchi navbatda burchak uchidan ixtiyoriy masofada nurlardan biriga perpendikulyar chiziq chizish orqali to'g'ri burchakli uchburchak shakliga o'tkir burchakni yakunlashingiz kerak. Biz to'liq 90 ° burchakka ega bo'lishimiz kerak, buning uchun bizga klerikal uchburchak kerak bo'ladi.
Kompasdan foydalanish biroz aniqroq, ammo ko'proq vaqt talab etadi. Nurlardan birida siz ma'lum masofada 2 nuqtani belgilashingiz kerak, kompasda taxminan nuqtalar orasidagi masofaga teng radiusni o'rnating va bu chiziqlarning kesishmalari olinmaguncha bu nuqtalarda markazlari bo'lgan yarim doira chizing. Bizning doiralarimizning kesishish nuqtalarini bir-biri bilan bog'lab, biz burchakning nuriga qat'iy perpendikulyar olamiz, qolgan narsa chiziqni boshqa nur bilan kesishguncha uzaytirishdir;
Olingan uchburchakda burchakka qarama-qarshi tomonni va nurlardan birida uzun tomonni o'lchash uchun o'lchagichdan foydalanish kerak. Birinchi o'lchamning ikkinchisiga nisbati o'tkir burchak sinusining kerakli qiymati bo'ladi.
90° dan katta burchak uchun sinusni toping
To'g'ri burchak uchun vazifa unchalik qiyin emas. Cho'qqidan tortib to nurni chizishingiz kerak qarama-qarshi tomon o‘lchagich yordamida bizni qiziqtirgan burchak nurlaridan biri bilan to‘g‘ri chiziq hosil qilish. Olingan o'tkir burchakni yuqorida tavsiflanganidek davolash kerak, sinuslar qo'shni burchaklar, birgalikda 180° teskari burchak hosil qilganlar tengdir.
Boshqa trigonometrik funktsiyalar yordamida sinusni hisoblash
Bundan tashqari, sinusni hisoblash, agar burchakning boshqa trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari yoki hech bo'lmaganda uchburchak tomonlari uzunligi ma'lum bo'lsa, mumkin. Bunda bizga trigonometrik identifikatsiyalar yordam beradi. Keling, umumiy misollarni ko'rib chiqaylik.
Burchakning ma'lum kosinusi bo'lgan sinusni qanday topish mumkin? Pifagor teoremasiga asoslangan birinchi trigonometrik o'ziga xoslik bir xil burchakdagi sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi birga teng ekanligini bildiradi.
Burchakning ma'lum tangensi bo'lgan sinusni qanday topish mumkin? Tangens uzoq tomonni yaqin tomonga bo'lish yoki sinusni kosinusga bo'lish orqali olinadi. Shunday qilib, sinus kosinus va tangensning mahsuloti bo'ladi va sinusning kvadrati bu mahsulotning kvadrati bo'ladi. Birinchisiga ko'ra, kvadrat kosinusni bir va kvadrat sinus o'rtasidagi farq bilan almashtiramiz trigonometrik identifikatsiya va oddiy manipulyatsiyalar orqali biz tenglamani teginish orqali kvadrat sinusni hisoblash uchun kamaytiramiz, sinusni hisoblash uchun siz olingan natijaning ildizini olishingiz kerak bo'ladi.
Burchakning ma'lum kotangensi bo'lgan sinusni qanday topish mumkin? Kotangensning qiymatini burchakka eng yaqin bo'lgan oyog'ining uzunligini uzoqning uzunligiga bo'lish, shuningdek kosinusni sinusga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin, ya'ni kotangent tangens nisbiyga teskari funktsiyadir. raqamiga 1. Sinusni hisoblash uchun tg a = 1 / ctg a formulasi yordamida tangensni hisoblashingiz va ikkinchi variantdagi formuladan foydalanishingiz mumkin. Bundan tashqari, to'g'ridan-to'g'ri formulani tangensga o'xshash qilib olishingiz mumkin, bu shunday ko'rinadi.
Uchburchakning uch tomonining sinusini qanday topish mumkin
Qarama-qarshi burchak kosinusining trigonometrik funktsiyasidan foydalanib, faqat to'g'ri burchakli uchburchak emas, balki har qanday uchburchakning noma'lum tomonining uzunligini ikkita ma'lum tomondan topish uchun formula mavjud. U shunday ko'rinadi.
Burchakning sinusi, kosinusu, tangensi, kotangensi nima degani to'g'ri burchakli uchburchakni tushunishga yordam beradi.
To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nima deyiladi? To'g'ri, gipotenuza va oyoqlar: gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan tomon (bizning misolimizda bu tomon \(AC\)); oyoqlar qolgan ikkita tomondir \(AB\) va \(BC\) (qo'shnilar to'g'ri burchak), va, agar oyoqlarni \(BC\) burchakka nisbatan ko'rib chiqsak, u holda \(AB\) oyoq qo'shni oyoq, \(BC\) esa aksincha. Xo'sh, endi savolga javob beraylik: burchakning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi nima?
Burchak sinusi- bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Burchak kosinusu- bu qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Burchakning tangensi- bu qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Burchak kotangensi- bu qo'shni (yaqin) oyoqning qarama-qarshi (uzoq) nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Bu ta'riflar zarur eslab qoling! Qaysi oyoqni nimaga bo'lish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun siz buni aniq tushunishingiz kerak tangens Va kotangent faqat oyoqlar o'tiradi va gipotenuz faqat ichida paydo bo'ladi sinus Va kosinus. Va keyin siz birlashmalar zanjiri bilan kelishingiz mumkin. Masalan, bu:
Kosinus → teginish → teginish → ulashgan;
Kotangent → teginish → teginish → qo‘shni.
Avvalo, sinus, kosinus, tangens va kotangens uchburchak tomonlarining nisbati bu tomonlarning uzunligiga (bir xil burchak ostida) bog'liq emasligini yodda tutishingiz kerak. Ishonma? Keyin rasmga qarab ishonch hosil qiling:
Misol uchun, burchakning kosinusini ko'rib chiqing \(\beta \) . Ta'rifga ko'ra, uchburchakdan \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lekin uchburchakdan \(\beta \) burchakning kosinusini \(AHI \) hisoblashimiz mumkin: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Ko'ryapsizmi, tomonlarning uzunligi har xil, lekin bir burchakning kosinus qiymati bir xil. Shunday qilib, sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari faqat burchakning kattaligiga bog'liq.
Agar siz ta'riflarni tushunsangiz, davom eting va ularni birlashtiring!
Quyidagi rasmda ko'rsatilgan \(ABC \) uchburchak uchun biz topamiz \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(massiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiv) \)
Xo'sh, tushundingizmi? Keyin o'zingiz sinab ko'ring: burchak uchun xuddi shunday hisoblang \(\beta \) .
Javoblar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Birlik (trigonometrik) doira
Darajalar va radianlar tushunchalarini tushunib, biz radiusi \(1\) ga teng bo'lgan doirani ko'rib chiqdik. Bunday doira deyiladi yagona. Bu trigonometriyani o'rganishda juda foydali bo'ladi. Shuning uchun, keling, buni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, bu aylana Dekart koordinata tizimida qurilgan. Doira radiusi birga teng, aylananing markazi koordinatalar boshida joylashgan bo'lsa, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi \(x\) o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radiusi \(AB\)).
Doiradagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi: \(x\) o'qi bo'ylab koordinata va \(y\) o'qi bo'ylab koordinata. Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun biz ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida eslashimiz kerak. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing \(ACG\) . U to'g'ri burchakli, chunki \(CG\) \(x\) o'qiga perpendikulyar.
\(ACG \) uchburchakdan \(\cos \ \alpha \) nima? Hammasi to'g'ri \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bundan tashqari, biz bilamizki, \(AC\) birlik aylanasining radiusi, ya'ni \(AC=1\) . Keling, bu qiymatni kosinus formulamizga almashtiramiz. Mana nima sodir bo'ladi:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(ACG \) uchburchakdan \(\sin \ \alfa \) nimaga teng? Xo'sh, albatta, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Ushbu formulaga \(AC\) radiusining qiymatini qo'ying va quyidagini oling:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Xo'sh, aylanaga tegishli \(C\) nuqtasi qanday koordinatalarga ega ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Agar \(\cos \ \alpha \) va \(\sin \alpha \) shunchaki raqamlar ekanligini tushunsangiz-chi? \(\cos \alpha \) qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, \(x\) koordinatasi! Va \(\sin \alpha \) qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, \(y\) koordinatsiyasi! Demak, nuqta \(C(x;y)=C(\cos \alpha;\sin \alpha) \).
U holda \(tg \alpha \) va \(ctg \alpha \) nimaga teng? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Masalan, ushbu rasmdagi kabi:
Ushbu misolda nima o'zgardi? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'taylik. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : burchak (burchakka ulashgan \(\beta \) ). Burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qancha qiymatga ega \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:
\(\begin(massiv)(l)\sin \burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\burchak ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiv) \)
Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga mos keladi \(y\) ; burchak kosinusining qiymati - koordinata \(x\) ; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishiga taalluqlidir.
Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi \(x\) o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir qiymatga ega burchakka ega bo'lasiz, lekin faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar, va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.
Shunday qilib, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofidagi butun aylanishi \(360()^\circ \) yoki \(2\pi \) ga teng. Radius vektorini \(390()^\circ \) yoki \(-1140()^\circ \) ga aylantirish mumkinmi? Xo'sh, albatta mumkin! Birinchi holda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), shunday qilib, radius vektori bir marta toʻliq aylanish qiladi va \(30()^\circ \) yoki \(\dfrac(\pi )(6) \) pozitsiyasida toʻxtaydi.
Ikkinchi holda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va \(-60()^\circ \) yoki \(-\dfrac(\pi )(3) \) pozitsiyasida to'xtaydi.
Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, burchaklar \(360()^\circ \cdot m \) yoki \(2\pi \cdot m \) bilan farqlanadi (bu erda \(m \) har qanday butun sondir ), radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.
Quyidagi rasm burchakni ko'rsatadi \(\beta =-60()^\circ \) . Xuddi shu rasm burchakka mos keladi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasi umumiy formula bilan yozilishi mumkin \(\beta +360()^\circ \cdot m\) yoki \(\beta +2\pi \cdot m \) (bu erda \(m \) har qanday butun son)
\(\begin(massiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiv) \)
Endi asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilish va ulardan foydalanish birlik doirasi, qiymatlar nima ekanligiga javob berishga harakat qiling:
\(\begin(massiv)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiv) \)
Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:
Qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:
\(\begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(massiv)\)
Bu erdan ma'lum burchak o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatalari bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\O‘ng strelka \text(tg)\ 90()^\circ \)- mavjud emas;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar ichida ekanligini bilib olamiz \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatali nuqtalarga mos keladi \(\left(-1;0 \o'ng),\text( )\left(0;-1 \o'ng),\text( )\left(1;0 \o'ng),\text( )\left(0) ;1 \o'ng) \), mos ravishda. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.
Javoblar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\O'ng strelka \text(ctg)\ \pi \)- mavjud emas
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\O'ng strelka \text(tg)\ 270()^\circ \)- mavjud emas
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\O'ng strelka \text(ctg)\ 2\pi \)- mavjud emas
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\O'ng strelka \text(tg)\ 450()^\circ \)- mavjud emas
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:
Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:
\(\chap. \begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiv) \o'ng\)\ \matn(Uni eslab qolishingiz yoki ko'rsata olishingiz kerak!! \) !}
Ammo burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Quyidagi jadvalda siz eslab qolishingiz kerak:
Qo'rqmang, endi biz sizga mos keladigan qiymatlarni juda oddiy yodlashning bitta misolini ko'rsatamiz:
Ushbu usuldan foydalanish uchun burchakning uchta o'lchovi uchun sinus qiymatlarini eslab qolish juda muhimdir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), shuningdek, \(30()^\circ \) dagi burchak tangensining qiymati. Ushbu \(4\) qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oddiy - kosinus qiymatlari strelkalar bo'yicha uzatiladi, ya'ni:
\(\begin(massiv)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(massiv)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), buni bilib, siz uchun qiymatlarni tiklashingiz mumkin \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" soni \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ga va "\(\sqrt(\text(3)) \)" maxrajiga mos keladi. \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va strelkalar bilan diagrammani eslab qolsangiz, jadvaldan faqat \(4\) qiymatlarni eslab qolish kifoya qiladi.
Doiradagi nuqtaning koordinatalari
Aylana markazining koordinatalarini, uning radiusi va burilish burchagini bilib, aylana ustidagi nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? Xo'sh, albatta mumkin! Nuqta koordinatalarini topishning umumiy formulasini chiqaramiz. Masalan, oldimizda aylana bor:
Bizga shu nuqta berilgan \(K(((x)_(0));((y)_(0)=K(3;2) \)- doira markazi. Doira radiusi \(1,5\) ga teng. \(O\) nuqtani \(\delta \) gradusga aylantirish natijasida olingan \(P\) nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, \(P\) nuqtaning \(x\) koordinatasi segment uzunligiga mos keladi \(TP=UQ=UK+KQ\) . \(UK\) segmentining uzunligi aylana markazining \(x\) koordinatasiga mos keladi, ya'ni \(3\) ga teng. \(KQ\) segmentining uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
Keyin biz \(P\) nuqtasi uchun koordinataga ega bo'lamiz \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Xuddi shu mantiqdan foydalanib, \(P\) nuqta uchun y koordinatasining qiymatini topamiz. Shunday qilib,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Shunday qilib, ichida umumiy ko'rinish Nuqtalarning koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end (massiv) \), Qayerda
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - aylana markazining koordinatalari,
\(r\) - aylana radiusi,
\(\delta \) - vektor radiusining burilish burchagi.
Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga va radius birga teng:
\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiv) \)
Brauzeringizda Javascript o‘chirib qo‘yilgan.Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!
Sinus (), kosinus (), tangens (), kotangens () tushunchalari burchak tushunchasi bilan uzviy bog'liqdir. Bularni yaxshi tushunish uchun, birinchi qarashda, murakkab tushunchalar(bu ko'plab maktab o'quvchilarida dahshat holatini keltirib chiqaradi) va "iblis u bo'yalgandek qo'rqinchli emas"ligiga ishonch hosil qilish uchun, keling, eng boshidan boshlaylik va burchak tushunchasini tushunamiz.
Burchak tushunchasi: radian, daraja
Keling, rasmga qaraylik. Vektor nuqtaga nisbatan ma'lum miqdorda "aylangan". Shunday qilib, bu aylanishning boshlang'ich pozitsiyasiga nisbatan o'lchovi bo'ladi burchak.
Burchak tushunchasi haqida yana nimani bilishingiz kerak? Albatta, burchak birliklari!
Geometriyada ham, trigonometriyada ham burchakni daraja va radian bilan o'lchash mumkin.
Burchak (bir daraja) deyiladi markaziy burchak aylanada, aylananing bir qismiga teng dumaloq yoyga asoslangan. Shunday qilib, butun doira dumaloq yoylarning "bo'laklari" dan iborat yoki aylana tasvirlangan burchak tengdir.
Ya'ni, yuqoridagi rasmda teng burchak ko'rsatilgan, ya'ni bu burchak aylana o'lchamidagi aylana yoyga tayanadi.
Radianlardagi burchak uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan aylana yoyi bilan qoplangan doiradagi markaziy burchakdir. Xo'sh, tushundingizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni rasmdan aniqlaylik.
Shunday qilib, rasmda radianga teng burchak ko'rsatilgan, ya'ni bu burchak aylana radiusiga teng bo'lgan dumaloq yoyga tayanadi (uzunligi uzunlikka teng yoki radius radiusga teng). yoy uzunligi). Shunday qilib, yoy uzunligi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Radianlarda markaziy burchak qayerda.
Xo'sh, buni bilib, aylana tasvirlangan burchakda qancha radian borligiga javob bera olasizmi? Ha, buning uchun siz aylana formulasini eslab qolishingiz kerak. Mana u:
Keling, bu ikki formulani o'zaro bog'laymiz va aylana tasvirlangan burchak teng ekanligini topamiz. Ya'ni, qiymatni darajalar va radyanlardagi o'zaro bog'lash orqali biz buni olamiz. Tegishli ravishda, . Ko'rib turganingizdek, "daraja" dan farqli o'laroq, "radian" so'zi olib tashlandi, chunki o'lchov birligi odatda kontekstdan aniq.
Qancha radian bor? Hammasi to'g'ri!
Tushundim? Keyin davom eting va uni tuzating:
Qiyinchiliklar bormi? Keyin qarang javoblar:
To'g'ri burchakli uchburchak: sinus, kosinus, tangens, burchak kotangensi
Shunday qilib, biz burchak tushunchasini aniqladik. Lekin burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi nima? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun bizga to'g'ri burchakli uchburchak yordam beradi.
To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nima deyiladi? To'g'ri, gipotenuza va oyoqlar: gipotenuza - to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan tomon (bizning misolimizda bu tomon); oyoqlari qolgan ikkita tomon va (to'g'ri burchakka qo'shni bo'lganlar) va agar biz burchakka nisbatan oyoqlarni ko'rib chiqsak, u holda oyoq qo'shni oyoq, oyoq esa aksincha. Xo'sh, endi savolga javob beraylik: burchakning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi nima?
Burchak sinusi- bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda.
Burchak kosinusu- bu qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda.
Burchakning tangensi- bu qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) nisbati.
Bizning uchburchakda.
Burchak kotangensi- bu qo'shni (yaqin) oyoqning qarama-qarshi (uzoq) nisbati.
Bizning uchburchakda.
Bu ta'riflar zarur eslab qoling! Qaysi oyoqni nimaga bo'lish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun siz buni aniq tushunishingiz kerak tangens Va kotangent faqat oyoqlar o'tiradi va gipotenuz faqat ichida paydo bo'ladi sinus Va kosinus. Va keyin siz birlashmalar zanjiri bilan kelishingiz mumkin. Masalan, bu:
Kosinus → teginish → teginish → ulashgan;
Kotangent → teginish → teginish → qo‘shni.
Avvalo, sinus, kosinus, tangens va kotangens uchburchak tomonlarining nisbati bu tomonlarning uzunligiga (bir xil burchak ostida) bog'liq emasligini yodda tutishingiz kerak. Ishonma? Keyin rasmga qarab ishonch hosil qiling:
Masalan, burchakning kosinusini ko'rib chiqaylik. Ta'rifga ko'ra, uchburchakdan: , lekin biz uchburchakdan burchakning kosinusini hisoblashimiz mumkin: . Ko'ryapsizmi, tomonlarning uzunligi har xil, lekin bir burchakning kosinus qiymati bir xil. Shunday qilib, sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari faqat burchakning kattaligiga bog'liq.
Agar siz ta'riflarni tushunsangiz, davom eting va ularni birlashtiring!
Quyidagi rasmda ko'rsatilgan uchburchak uchun biz topamiz.
Xo'sh, tushundingizmi? Keyin o'zingizni sinab ko'ring: burchak uchun xuddi shunday hisoblang.
Birlik (trigonometrik) doira
Darajalar va radianlar tushunchalarini tushunib, biz radiusi teng bo'lgan doirani ko'rib chiqdik. Bunday doira deyiladi yagona. Bu trigonometriyani o'rganishda juda foydali bo'ladi. Shuning uchun, keling, buni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, bu aylana Dekart koordinata tizimida qurilgan. Doira radiusi birga teng, aylananing markazi koordinatalarning boshida joylashgan bo'lsa, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning ijobiy yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radius).
Doiradagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi: o'q koordinatasi va o'q koordinatasi. Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun biz ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida eslashimiz kerak. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing. U to'rtburchaklar, chunki u o'qga perpendikulyar.
Uchburchak nimaga teng? Hammasi to'g'ri. Bundan tashqari, biz bilamizki, bu birlik doirasining radiusi, ya'ni . Keling, bu qiymatni kosinus formulamizga almashtiramiz. Mana nima sodir bo'ladi:
Uchburchak nimaga teng? Xo'sh, albatta,! Ushbu formulaga radius qiymatini almashtiring va quyidagilarni oling:
Xo'sh, aylanaga tegishli nuqta qanday koordinatalarga ega ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Agar buni tushunsangiz va shunchaki raqamlar bo'lsa-chi? U qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, koordinatalar! Va u qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, koordinatalar! Shunday qilib, davr.
Xo'sh, nimaga teng va nimaga teng? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz, a.
Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Masalan, ushbu rasmdagi kabi:
Ushbu misolda nima o'zgardi? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'taylik. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing: burchak (burchakka qo'shni sifatida). Burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangensning qiymatlari qanday? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:
Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga to'g'ri keladi; burchak kosinusining qiymati - koordinata; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishiga taalluqlidir.
Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning ijobiy yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir qiymatga ega burchakka ega bo'lasiz, lekin faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar, va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.
Shunday qilib, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofida butun aylanishi yoki. Radius vektorini burish mumkinmi? Xo'sh, albatta mumkin! Birinchi holda, shuning uchun radius vektori bitta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki pozitsiyasida to'xtaydi.
Ikkinchi holda, ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki holatida to'xtaydi.
Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, bir-biridan farq qiladigan burchaklar yoki (bu erda har qanday butun son) radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.
Quyidagi rasmda burchak ko'rsatilgan. Xuddi shu rasm burchakka mos keladi va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasi umumiy formula yoki (bu yerda har qanday butun son) bilan yozilishi mumkin.
Endi, asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilib, birlik doirasidan foydalanib, qiymatlar nima ekanligiga javob berishga harakat qiling:
Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:
Qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:
Bu erdan ma'lum burchak o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:
Mavjud emas;
Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar mos ravishda koordinatali nuqtalarga mos kelishini aniqlaymiz. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.
Javoblar:
Mavjud emas
Mavjud emas
Mavjud emas
Mavjud emas
Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:
Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:
Ammo burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va quyidagi jadvalda keltirilgan, eslash kerak:
Qo'rqmang, endi biz sizga bitta misol keltiramiz mos keladigan qiymatlarni eslab qolish juda oddiy:
Ushbu usuldan foydalanish uchun burchakning barcha uch o'lchovi uchun sinus qiymatlarini () va burchak tangensining qiymatini eslab qolish juda muhimdir. Ushbu qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oddiy - kosinus qiymatlari o'qlarga muvofiq uzatiladi, ya'ni:
Buni bilib, siz uchun qiymatlarni tiklashingiz mumkin. Numerator " " mos keladi va maxraj " " mos keladi. Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va o'qlar bilan diagrammani eslab qolsangiz, jadvaldagi barcha qiymatlarni eslab qolish kifoya qiladi.
Doiradagi nuqtaning koordinatalari
Aylanada nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? aylana markazining koordinatalarini, uning radiusini va burilish burchagini bilish?
Xo'sh, albatta mumkin! Keling, chiqaraylik nuqta koordinatalarini topishning umumiy formulasi.
Masalan, oldimizda aylana bor:
Bizga nuqta aylananing markazi ekanligi berilgan. Doira radiusi teng. Nuqtani gradusga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, nuqta koordinatasi segment uzunligiga to'g'ri keladi. Segmentning uzunligi aylana markazining koordinatasiga to'g'ri keladi, ya'ni u tengdir. Segment uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:
Keyin biz nuqta koordinatasini olamiz.
Xuddi shu mantiqdan foydalanib, nuqta uchun y koordinata qiymatini topamiz. Shunday qilib,
Shunday qilib, umuman olganda, nuqtalarning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi:
Doira markazining koordinatalari,
Doira radiusi,
Vektor radiusining burilish burchagi.
Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga va radius birga teng:
Xo'sh, keling, aylana bo'ylab nuqtalarni topishni mashq qilib, ushbu formulalarni sinab ko'raylik?
1. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
2. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
3. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
4. Nuqta aylananing markazidir. Doira radiusi teng. Boshlang'ich radius vektorini aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
5. Nuqta aylananing markazidir. Doira radiusi teng. Boshlang'ich radius vektorini aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Aylanadagi nuqtaning koordinatalarini topishda muammo bormi?
Ushbu beshta misolni yeching (yoki ularni echishni yaxshi biling) va siz ularni topishni o'rganasiz!
1.
Siz buni sezishingiz mumkin. Ammo biz boshlang'ich nuqtaning to'liq inqilobiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:
2. Birlik doirasi nuqtada markazlashtirilgan, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:
Buni sezishingiz mumkin. Biz boshlang'ich nuqtaning ikkita to'liq aylanishiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:
Sinus va kosinus jadval qiymatlari hisoblanadi. Biz ularning ma'nolarini eslaymiz va olamiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
3. Birlik doirasi nuqtada markazlashtirilgan, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:
Buni sezishingiz mumkin. Keling, ushbu misolni rasmda tasvirlaymiz:
Radius o'qga teng va o'q bilan burchaklarni hosil qiladi. Kosinus va sinusning jadval qiymatlari teng ekanligini bilib, bu erda kosinus manfiy, sinus esa ijobiy qiymat olishini aniqlab, biz:
Mavzuda trigonometrik funktsiyalarni kamaytirish formulalarini o'rganishda bunday misollar batafsilroq muhokama qilinadi.
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
4.
Vektor radiusining burilish burchagi (shart bo'yicha)
Sinus va kosinusning tegishli belgilarini aniqlash uchun biz birlik doira va burchakni quramiz:
Ko'rib turganingizdek, qiymat, ya'ni ijobiy, qiymat esa, ya'ni salbiy. Tegishli trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlarini bilib, biz quyidagilarni olamiz:
Olingan qiymatlarni formulamizga almashtiramiz va koordinatalarni topamiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
5. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz umumiy shakldagi formulalardan foydalanamiz, bu erda
Doira markazining koordinatalari (bizning misolimizda,
Doira radiusi (shart bo'yicha)
Vektor radiusining burilish burchagi (shart bo'yicha).
Keling, barcha qiymatlarni formulaga almashtiramiz va olamiz:
va - jadval qiymatlari. Keling, eslaylik va ularni formulaga almashtiramiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR
Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning kosinusi - qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning tangensi - qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) tomonga nisbati.
Burchakning kotangensi - qo'shni (yaqin) tomonning qarama-qarshi (uzoq) tomonga nisbati.
