Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q - знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение - часть целого.

Как правило, целое - это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель - делимое, знаменатель - делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

1. Нахождение НОД для обеих частей дроби.
2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Цели:

1. Обучающая - закрепить полученные знания и навыки сокращения алгебраических дробей при решении более сложных упражнений, применяя разложение на множители многочлена разными способами, отработать умения сокращать алгебраические дроби. Повторить формулы сокращённого умножения: (a+ b)2= a2+2 ab+ b2,
(a- b) 2 = a 2 -2 ab+ b 2 , a 2 - b 2 =(a+ b)(a- b), способ группировки, вынесение общего множителя за скобки.

2. Развивающая – развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, активность учащихся на уроке.

3. Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности.

Задачи:

1. Закрепить изученный материал, меняя виды работы, по данной теме «Алгебраическая дробь. Сокращение дробей».

2. Развивать навыки и умения, в сокращении алгебраических дробей применяя разные способы разложения на множители числителя и знаменателя, развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ.

3. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, математическим диктантом, тестом, самостоятельной работой, игрой «Математический турнир»; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

План:
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
III. Математический диктант.
IV.
1.Работа по учебнику и у доски.
2. Работа в группах по карточкам - игра «Математический турнир».
3. Самостоятельная работа по уровням (А, В, С).
V. Итог.
1. Тест (взаимопроверка).
VI. Домашнее задание.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность учителя и учащихся на урок. Учащиеся ставят цели и задачи – данного урока, по наводящим вопросам учителя, определяют тему урока.

II. Устная работа.

1. Сократить дроби:

2. Найдите значение алгебраической дроби:
при с = 8, с = -13, с = 11.
Ответ: 6; -1; 3.

3. Ответьте на вопросы:

1) Какой полезно соблюдать порядок при разложении многочленов на множители?
(При разложении многочленов на множители полезно соблюдать следующий порядок: а) вынести общий множитель за скобку, если он есть; б) попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого умножения; в) попытаться применить способ группировки, если предыдущие способы не привели к цели).

2) Чему равен квадрат суммы?
(Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

3) Чему равен квадрат разности?
(Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

4) Чему равна разность квадратов двух чисел?
(Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы).

5) Что необходимо выполнить при использовании способа группировки? (Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: а) объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена; б) вынести этот общий множитель за скобки).
6) Для вынесения общего множителя за скобки нужно……?
(Найти этот общий множитель; 2. вынести его за скобки).

7) Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?
(Вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращённого умножения).

8) Что нужно для сокращения дроби?
(Для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель).

III. Математический диктант.

1. Подчеркните алгебраические дроби:

I вариант:

II вариант:

1. Можно ли представить выражение

I вариант:

II вариант:

в виде многочлена? Если можно представьте?

3. Какие значения буквы являются допустимыми для выражения:
I вариант:

II вариант:
(x-5)(x+7).

4. Запишите алгебраическую дробь с числителем
I вариант:
3х2.
II вариант:
5y.
и знаменателем

I вариант:
x(x+3).
II вариант:
y 2 (y+7).
и сократите её.

IV.Закрепление темы: «Алгебраическая дробь. Сокращение дробей»:

1.Работа по учебнику и у доски.

Разложить на множители числитель и знаменатель дроби и сократить её.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2.Работа в группах по карточкам - игра «Математический турнир».

(Задания к игре – «Приложение 1».)
Закрепление и проверка навыков в решении примеров по данной теме проводится в виде турнира. Класс делится на группы и им предлагаются задания на карточках (карточки разных уровней).
Через определённое время, каждый ученик должен записать в тетрадь решение заданий своей команды и уметь их объяснить.
Допускаются консультации внутри команды (их проводит капитан).
Затем начинается турнир: каждая команда имеет право вызвать другие, но по одному разу. Н-р, капитан первой команды вызывает учеников из второй команды для участия в турнире; то же самое делает капитан второй команды, выходят к доске меняются карточками и решают задания и т.д.

3. Самостоятельная работа по уровням (А, Б, В)

«Дидактический материал» Л.И. Звавич и др., стр. 95, С-52.(книга имеется у всех учащихся)
А . №1: I вариант-1) а,б; 2) а,в; 5) а.
II вариант-1) в,г; 2) б,г, 5) в.
Б . №2: I вариант- а.
II вариант- б.
В . №3: I вариант- а.
II вариант- б.

V. Итог.

1. Тест (взаимопроверка).
(Задания к тесту – «Приложение 2».)
(на карточках для каждого учащегося, по вариантам)

VI. Домашнее задание.

1) «Д.М.» стр. 95 №1. (3,4,6);
2) №447 (чётные);
3) §24, повторить § 19 - §23.

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.

Шаги

Сокращение дробей

Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 - тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение - в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x+2)(x-3) (x+2)(x+10)

Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3) (x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:

9x-3 15x+6

Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:

3(3x-1) 15x+6

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

3(3x-1) 3(5x+2)

Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок - в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:

(3x-1) (5x+2)

Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.

4(x+2)(x-13) (4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4) 5(4-x)

Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x - 4) можно записать как -1 * (4 - x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов - это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 - b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части - сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

• Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители - в результате должно получиться то же самое выражение.
• Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.