В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x . В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Популярные задания с неравенствами.

Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать - и всё просто!)

1. Найдите любые два решения неравенства 3х - 3 < 0

Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:

Не знаешь, что нужно - делай, что можно!)

х < 1

И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!

Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.

2. Решить неравенство:

4х - 3 ≠ 0

Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, - встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака "=" (равно ) ставить знак "≠ " (не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:

х ≠ 0,75

В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:

4х - 3 = 0

Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:

х = 0,75

Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно - неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:

х ≠ 0,75

При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему...) Ещё пример популярного задания:

3. Найти наименьшее целое решение неравенства:

3(х - 1) < 5х + 9

Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные... Получаем:

х > - 6

Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства...

Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие "наименьшее целое". Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)

Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > - 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5... Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!

Стало быть, правильный ответ: -5.

Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:

4. Решить неравенство:

7 < 3х+1 < 13

Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях... Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.

Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но... Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.

А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.

Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!

Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:

7 -1< 3х+1-1< 13-1

6 < 3х < 12

Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:

2 < х < 4

Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они - самое обычное дело.

В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, вы поняли...)

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.

Решить неравенство − 8 x + 11 < − 3 x − 4
Решение.

1. Перенесём член − 3 x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у − 3 x и у 11 .
Тогда получим

− 8 x + 3 x < − 4 − 11

− 5 x < − 15

2. Разделим обе части неравенства − 5 x < − 15 на отрицательное число − 5 , при этом знак неравенства < , поменяется на > , т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

− 5 x < − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x > 3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Ответ: x > 3 или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I . Квадратные неравенства , то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
2. Определить знак a (x - x 1) (x - x 2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

• Решить неравенство. x 2 + x - 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x - 2) > 0

Ответ: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15 < 0.

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х - 2х² < 0. Ответ:
2. 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² - 12х + 18 > 0. Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

x² - ax > выполняется для любых х? Ответ:

1. II . Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

1) Решить неравенство x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x < 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Итак, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Ответ: (0; 1) (2; 3).

2) Решить неравенство (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4 <0.

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х = ½, х = - ½.

В точке х = - ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1) 4 не меняет знак при переходе через точку х = - ½.

Ответ: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] {0} {0} }