Instrucciones

Se acostumbra separar ordinario y decimal. fracciones, cuyo conocimiento comienza en escuela secundaria. Actualmente no existe ningún área del conocimiento donde esto no se aplique. Incluso en el primer siglo XVII, y todos a la vez, es decir, 1600-1625. A menudo también hay que lidiar con acciones elementales, así como con su transformación de un tipo a otro.

Reducir fracciones a un denominador común es quizás la operación más importante. Ésta es la base de absolutamente todos los cálculos. Entonces, digamos que hay dos fracciones a/b y c/d. Luego, para llevarlos a un denominador común, necesitas encontrar el mínimo común múltiplo (M) de los números b y d, y luego multiplicar el numerador del primero. fracciones por (M/b), y el segundo numerador por (M/d).

Comparar fracciones es otra tarea importante. Para hacer esto, proporcione el simple dado fracciones a un denominador común y luego comparar los numeradores, cuyo numerador es mayor, esa fracción y mayor.

Para realizar la suma o resta de fracciones ordinarias, es necesario llevarlas a un denominador común y luego realizar los cálculos matemáticos necesarios a partir de estas fracciones. El denominador permanece sin cambios. Digamos que necesitas restar c/d de a/b. Para hacer esto, necesitas encontrar el mínimo común múltiplo de M números b y d, y luego restar el otro de un numerador sin cambiar el denominador: (a*(M/b)-(c*(M/d)) /METRO

Basta simplemente con multiplicar una fracción por otra; para ello basta con multiplicar sus numeradores y denominadores:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar la fracción del dividendo por la fracción recíproca del divisor. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Vale la pena recordar que para obtener una fracción recíproca, es necesario intercambiar el numerador y el denominador.

Acordemos que "acciones con fracciones" en nuestra lección significarán acciones con fracciones ordinarias. Una fracción común es una fracción que tiene atributos como un numerador, una línea de fracción y un denominador. Esto distingue una fracción común de un decimal, que se obtiene a partir de una fracción común reduciendo el denominador a un múltiplo de 10. Decimal escrito con una coma que separa la parte entera de la parte fraccionaria. Hablaremos de operaciones con fracciones ordinarias, ya que son las que mayores dificultades causan a los alumnos que han olvidado los conceptos básicos de este tema, tratado en la primera mitad del curso de matemáticas escolar. Al mismo tiempo, al transformar expresiones en Matemáticas avanzadas Se utilizan principalmente acciones con fracciones ordinarias. ¡Las abreviaturas de fracciones por sí solas valen la pena! Las fracciones decimales no causan ninguna dificultad especial. ¡Así que adelante!

Se dice que dos fracciones son iguales si.

Por ejemplo, desde

Las fracciones y (desde) y (desde) también son iguales.

Obviamente, ambas fracciones y son iguales. Esto significa que si multiplicas o divides el numerador y denominador de una fracción determinada por el mismo número natural, obtendrás una fracción igual a la dada: .

Esta propiedad se llama propiedad básica de una fracción.

La propiedad básica de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos del numerador y denominador de una fracción. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por -1, obtenemos. Esto significa que el valor de una fracción no cambiará si los signos del numerador y denominador se cambian al mismo tiempo. Si cambias el signo solo del numerador o solo del denominador, entonces la fracción cambiará de signo:

Reducir fracciones

Usando la propiedad básica de una fracción, puedes reemplazar una fracción dada con otra fracción que sea igual a la dada, pero con un numerador y denominador más pequeños. Esta sustitución se llama reducción de fracciones.

Por ejemplo, démosle una fracción. Los números 36 y 48 tienen los más grandes. común divisor 12. Entonces

.

En general, siempre es posible reducir una fracción si el numerador y el denominador no son números primos entre sí. Si el numerador y el denominador son mutuos números primos, entonces la fracción se llama irreducible.

Entonces, reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador de la fracción por un factor común. Todo lo anterior también se aplica a expresiones fraccionarias que contienen variables.

Ejemplo 1. Reducir fracción

Solución. Para factorizar el numerador, presentando primero el monomio - 5 xy como suma - 2 xy - 3xy, obtenemos

Para factorizar el denominador utilizamos la fórmula de diferencia de cuadrados:

Como resultado

.

Reducir fracciones a un denominador común

Sean dos fracciones y . Tienen denominadores diferentes: 5 y 7. Usando la propiedad básica de las fracciones, puedes reemplazar estas fracciones por otras que sean iguales a ellas, y de manera que las fracciones resultantes tengan los mismos denominadores. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 7, obtenemos

Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 5, obtenemos

Entonces, las fracciones se reducen a un denominador común:

.

Pero esta no es la única solución al problema: por ejemplo, estas fracciones también se pueden reducir a un denominador común de 70:

,

y en general a cualquier denominador divisible tanto por 5 como por 7.

Consideremos otro ejemplo: llevemos las fracciones y a un denominador común. Argumentando como en el ejemplo anterior, obtenemos

,

.

Pero en este caso, es posible reducir las fracciones a un denominador común menor que el producto de los denominadores de estas fracciones. Encontremos el mínimo común múltiplo de los números 24 y 30: MCM(24, 30) = 120.

Como 120:4 = 5, para escribir una fracción con denominador 120, necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por 5, este número se llama factor adicional. Medio .

A continuación, obtenemos 120:30=4. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por un factor adicional de 4, obtenemos .

Entonces, estas fracciones se reducen a un denominador común.

El mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones es el mínimo común denominador posible.

Para expresiones fraccionarias que involucran variables, el denominador común es un polinomio que se divide por el denominador de cada fracción.

Ejemplo 2. Encuentra el denominador común de las fracciones y.

Solución. El denominador común de estas fracciones es un polinomio, ya que es divisible por ambos y. Sin embargo, este polinomio no es el único que puede ser denominador común de estas fracciones. También puede ser un polinomio. y polinomio y polinomio etc. Suelen tomar un denominador común tal que cualquier otro denominador común se divide por el elegido sin resto. Este denominador se llama mínimo común denominador.

En nuestro ejemplo, el mínimo común denominador es. Consiguió:

;

.

Pudimos reducir fracciones a su mínimo común denominador. Esto sucedió multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción por y el numerador y denominador de la segunda fracción por . Los polinomios se denominan factores adicionales, respectivamente, para la primera y segunda fracción.

Sumar y restar fracciones

La suma de fracciones se define de la siguiente manera:

.

Por ejemplo,

.

Si b = d, Eso

.

Esto quiere decir que para sumar fracciones con el mismo denominador basta con sumar los numeradores y dejar el denominador igual. Por ejemplo,

.

Si se suman fracciones con diferentes denominadores, luego generalmente reducen las fracciones al mínimo común denominador y luego suman los numeradores. Por ejemplo,

.

Ahora veamos un ejemplo de cómo sumar expresiones fraccionarias con variables.

Ejemplo 3. Convertir expresión a una fracción

.

Solución. Encontremos el mínimo común denominador. Para hacer esto, primero factorizamos los denominadores.

Multiplicar y dividir fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Como recordatorio, para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Eso es:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple. ¡Y por favor no busques un denominador común! No hay necesidad de él aquí...

Para dividir una fracción por una fracción, debes invertir segundo(¡Esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si te encuentras con multiplicaciones o divisiones con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción a partir de un número entero con uno en el denominador, ¡y adelante! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo puedo hacer que esta fracción parezca decente? ¡Sí, muy sencillo! Utilice división de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto aquí es muy importante! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero es fácil cometer un error en una fracción de tres pisos. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En el segundo (expresión de la derecha):

¿Sientes la diferencia? 4 y 1/9!

¿Qué determina el orden de división? Ya sea con corchetes o (como aquí) con la longitud de las líneas horizontales. Desarrolla tu ojo. Y si no hay corchetes ni guiones, como:

luego divide y multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otra técnica muy sencilla e importante. En acciones con títulos, ¡te será de gran utilidad! Dividamos uno por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro se ha volcado! Y esto siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, sólo que al revés.

Eso es todo para operaciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores de sobra. Nota Consejo practico¡Y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras generales, ni buenos deseos! ¡Esta es una necesidad extrema! Realice todos los cálculos del Examen Estatal Unificado como una tarea completa, enfocada y clara. Es mejor escribir dos líneas extra en tu borrador que equivocarte al hacer cálculos mentales.

2. En ejemplos con diferentes tipos fracciones: vaya a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que pare.

4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a ordinarias usando división por dos puntos (¡seguimos el orden de división!).

5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que definitivamente debes resolver. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales sobre este tema y consejos prácticos. Calcula cuántos ejemplos pudiste resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerde: la respuesta correcta es ¡Recibido por segunda (especialmente la tercera) vez no cuenta! Así de dura es la vida.

Entonces, resolver en modo examen ! Por cierto, esto ya es preparación para el Examen Estatal Unificado. Resolvemos el ejemplo, lo comprobamos, resolvemos el siguiente. Decidimos todo y volvimos a comprobar desde el principio hasta el último. Pero sólo Entonces mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Estamos buscando respuestas que coincidan con las suyas. Las escribí deliberadamente en desorden, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡me alegro por ti! ¡Los cálculos básicos con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Si no...

Entonces tienes uno de dos problemas. O ambas cosas a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Entonces, si una expresión numérica se compone de números y los signos +, −, · y:, entonces en orden de izquierda a derecha deberás realizar primero la multiplicación y división, y luego la suma y la resta, lo que te permitirá encontrar el valor deseado de la expresión.

Pongamos algunos ejemplos para aclarar.

Ejemplo.

Calcula el valor de la expresión 14−2·15:6−3.

Solución.

Para encontrar el valor de una expresión, debe realizar todas las acciones especificadas en ella de acuerdo con el orden aceptado para realizar estas acciones. Primero, en orden de izquierda a derecha, realizamos la multiplicación y división, obtenemos 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Ahora también realizamos las acciones restantes en orden de izquierda a derecha: 14−5−3=9−3=6. Así encontramos el valor de la expresión original, es igual a 6.

Respuesta:

14−2·15:6−3=6.

Ejemplo.

Encuentra el significado de la expresión.

Solución.

En este ejemplo, primero necesitamos hacer la multiplicación 2·(−7) y la división con la multiplicación en la expresión. Recordando cómo, encontramos 2·(−7)=−14. Y realizar las acciones en la expresión primero. , entonces y ejecuta: .

Sustituimos los valores obtenidos en la expresión original: .

Pero ¿qué pasa si hay una expresión numérica debajo del signo raíz? Para obtener el valor de dicha raíz, primero es necesario encontrar el valor de la expresión radical, siguiendo el orden aceptado de realizar acciones. Por ejemplo, .

En las expresiones numéricas, las raíces deben percibirse como algunos números, y es aconsejable reemplazar inmediatamente las raíces con sus valores y luego encontrar el valor de la expresión resultante sin raíces, realizando las acciones en la secuencia aceptada.

Ejemplo.

Encuentra el significado de la expresión con raíces.

Solución.

Primero encontremos el valor de la raíz. . Para ello, en primer lugar calculamos el valor de la expresión radical, tenemos −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Y en segundo lugar, encontramos el valor de la raíz.

Ahora calculemos el valor de la segunda raíz a partir de la expresión original: .

Finalmente, podemos encontrar el significado de la expresión original reemplazando las raíces con sus valores: .

Respuesta:

Muy a menudo, para encontrar el significado de una expresión con raíces, primero es necesario transformarla. Mostremos la solución del ejemplo.

Ejemplo.

¿Cuál es el significado de la expresión? .

Solución.

No podemos reemplazar la raíz de tres con su valor exacto, lo que nos impide calcular el valor de esta expresión de la manera descrita anteriormente. Sin embargo, podemos calcular el valor de esta expresión realizando transformaciones simples. Aplicable fórmula de diferencia cuadrada: . Teniendo en cuenta, obtenemos . Por tanto, el valor de la expresión original es 1.

Respuesta:

.

Con grados

Si la base y el exponente son números, entonces su valor se calcula determinando el grado, por ejemplo, 3 2 =3·3=9 u 8 −1 =1/8. También hay entradas donde la base y/o el exponente son algunas expresiones. En estos casos, es necesario encontrar el valor de la expresión en la base, el valor de la expresión en el exponente y luego calcular el valor del grado mismo.

Ejemplo.

Encuentra el valor de una expresión con potencias de la forma. 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Solución.

En la expresión original hay dos potencias 2 3·4−10 y (1−1/2) 3.5−2·1/4. Sus valores deben calcularse antes de realizar otras acciones.

Comencemos con la potencia 2 3·4−10. Su indicador contiene una expresión numérica, calculemos su valor: 3·4−10=12−10=2. Ahora puedes encontrar el valor del grado en sí: 2 3·4−10 =2 2 =4.

La base y el exponente (1−1/2) 3.5−2 1/4 contienen expresiones; calculamos sus valores para luego encontrar el valor del exponente; Tenemos (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Ahora volvemos a la expresión original, reemplazamos los grados con sus valores y encontramos el valor de la expresión que necesitamos: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Respuesta:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Vale la pena señalar que hay casos más comunes en los que es recomendable realizar una investigación preliminar. simplificación de la expresión con potencias En la base .

Ejemplo.

Encuentra el significado de la expresión. .

Solución.

A juzgar por los exponentes de esta expresión, valores exactos No podrás obtener títulos. Intentemos simplificar la expresión original, tal vez esto ayude a encontrar su significado. Tenemos

Respuesta:

.

Las potencias en las expresiones suelen ir de la mano con los logaritmos, pero hablaremos sobre cómo encontrar el significado de expresiones con logaritmos en uno de ellos.

Encontrar el valor de una expresión con fracciones

Las expresiones numéricas pueden contener fracciones en su notación. Cuando necesite encontrar el valor de dicha expresión, las fracciones que no sean fracciones deben reemplazarse por sus valores antes de continuar con el resto de los pasos.

El numerador y el denominador de fracciones (que son diferentes de las fracciones ordinarias) pueden contener tanto algunos números como expresiones. Para calcular el valor de dicha fracción, debe calcular el valor de la expresión en el numerador, calcular el valor de la expresión en el denominador y luego calcular el valor de la fracción misma. Este orden se explica por el hecho de que la fracción a/b, donde a y b son algunas expresiones, esencialmente representa un cociente de la forma (a):(b), ya que .

Veamos la solución de ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el significado de una expresión con fracciones. .

Solución.

Hay tres fracciones en la expresión numérica original. Y . Para encontrar el valor de la expresión original, primero debemos reemplazar estas fracciones con sus valores. Vamos a hacerlo.

El numerador y el denominador de una fracción contienen números. Para encontrar el valor de dicha fracción, reemplace la barra de fracción con un signo de división y realice esta acción: .

En el numerador de la fracción hay una expresión 7−2·3, su valor es fácil de encontrar: 7−2·3=7−6=1. De este modo, . Puedes proceder a encontrar el valor de la tercera fracción.

La tercera fracción en el numerador y denominador contiene expresiones numéricas, por lo tanto, primero debes calcular sus valores, y esto te permitirá encontrar el valor de la fracción en sí. Tenemos .

Queda por sustituir los valores encontrados en la expresión original y realizar las acciones restantes: .

Respuesta:

.

A menudo, al encontrar los valores de expresiones con fracciones, es necesario realizar simplificar expresiones fraccionarias, basado en realizar operaciones con fracciones y fracciones reductoras.

Ejemplo.

Encuentra el significado de la expresión. .

Solución.

La raíz de cinco no se puede extraer por completo, así que para encontrar el valor de la expresión original, primero simplificémosla. Para esto deshagámonos de la irracionalidad en el denominador primera fracción: . Después de esto, la expresión original tomará la forma . Después de restar las fracciones, las raíces desaparecerán, lo que nos permitirá encontrar el valor de la expresión dada inicialmente: .

Respuesta:

.

Con logaritmos

Si una expresión numérica contiene y si es posible deshacerse de ellos, esto se hace antes de realizar otras acciones. Por ejemplo, al encontrar el valor de la expresión log 2 4+2·3, el logaritmo log 2 4 se reemplaza por su valor 2, después de lo cual el resto de acciones se realizan en el orden habitual, es decir, log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Cuando hay expresiones numéricas bajo el signo del logaritmo y/o en su base, primero se encuentran sus valores, después de lo cual se calcula el valor del logaritmo. Por ejemplo, considere una expresión con un logaritmo de la forma . En la base del logaritmo y bajo su signo se encuentran expresiones numéricas encontramos sus valores: . Ahora encontramos el logaritmo, después de lo cual completamos los cálculos: .

Si los logaritmos no se calculan con precisión, entonces se realiza una simplificación preliminar utilizando . Al mismo tiempo, es necesario tener un buen dominio del material del artículo. convertir expresiones logarítmicas.

Ejemplo.

Encuentra el valor de una expresión con logaritmos. .

Solución.

Comencemos calculando log 2 (log 2 256). Dado que 256=2 8, entonces log 2 256=8, por lo tanto, registro 2 (registro 2 256) = registro 2 8 = registro 2 2 3 = 3.

Los logaritmos log 6 2 y log 6 3 se pueden agrupar. Suma registro de logaritmos 6 2+log 6 3 es igual al logaritmo del producto log 6 (2 3), por lo tanto registro 6 2+registro 6 3=registro 6 (2 3)=registro 6 6=1.

Ahora veamos la fracción. Para empezar, reescribimos la base del logaritmo en el denominador en la forma fracción común como 1/5, luego de lo cual usaremos las propiedades de los logaritmos, lo que nos permitirá obtener el valor de la fracción:
.

Ya sólo queda sustituir los resultados obtenidos en la expresión original y terminar de encontrar su valor:

Respuesta:

¿Cómo encontrar el valor de una expresión trigonométrica?

Cuando una expresión numérica contiene o, etc., sus valores se calculan antes de realizar otras acciones. Si bajo el cartel funciones trigonométricas Si hay expresiones numéricas, primero se calculan sus valores, después de lo cual se encuentran los valores de las funciones trigonométricas.

Ejemplo.

Encuentra el significado de la expresión. .

Solución.

Volviendo al artículo, obtenemos y cosπ=−1 . Sustituimos estos valores en la expresión original, toma la forma . Para encontrar su valor, primero debe realizar la exponenciación y luego finalizar los cálculos: .

Respuesta:

.

Vale la pena señalar que calcular los valores de expresiones con senos, cosenos, etc. muchas veces requiere previa convertir una expresión trigonométrica.

Ejemplo.

¿Cuál es el valor de la expresión trigonométrica? .

Solución.

Transformemos la expresión original usando , en este caso necesitaremos la fórmula del coseno de ángulo doble y la fórmula de la suma del coseno:

Las transformaciones que hicimos nos ayudaron a encontrar el significado de la expresión.

Respuesta:

.

Caso general

En general, una expresión numérica puede contener raíces, potencias, fracciones, algunas funciones y paréntesis. Encontrar los valores de dichas expresiones consiste en realizar las siguientes acciones:

• primeras raíces, potencias, fracciones, etc. son reemplazados por sus valores,
• acciones adicionales entre paréntesis,
• y en orden de izquierda a derecha, se realizan las operaciones restantes: multiplicación y división, seguidas de suma y resta.

Las acciones enumeradas se realizan hasta obtener el resultado final.

Ejemplo.

Encuentra el significado de la expresión. .

Solución.

La forma de esta expresión es bastante compleja. En esta expresión vemos fracciones, raíces, potencias, senos y logaritmos. ¿Cómo encontrar su valor?

Recorriendo el registro de izquierda a derecha nos encontramos con una fracción del formulario . Sabemos que al trabajar con fracciones tipo complejo, necesitamos calcular por separado el valor del numerador, por separado el denominador y finalmente encontrar el valor de la fracción.

En el numerador tenemos la raíz de la forma. . Para determinar su valor, primero necesitas calcular el valor de la expresión radical. . Hay un seno aquí. Podemos encontrar su valor solo después de calcular el valor de la expresión. . Esto lo podemos hacer: . Entonces donde y desde .

El denominador es simple: .

De este modo, .

Después de sustituir este resultado en la expresión original, tomará la forma. La expresión resultante contiene el grado. Para encontrar su valor, primero tenemos que encontrar el valor del indicador, tenemos .

Entonces, .

Respuesta:

.

Si no es posible calcular los valores exactos de raíces, potencias, etc., puede intentar deshacerse de ellos mediante algunas transformaciones y luego volver a calcular el valor de acuerdo con el esquema especificado.

Formas racionales de calcular los valores de expresiones.

Calcular los valores de expresiones numéricas requiere coherencia y precisión. Sí, es necesario seguir la secuencia de acciones registradas en los párrafos anteriores, pero no es necesario hacerlo a ciegas y mecánicamente. Lo que queremos decir con esto es que a menudo es posible racionalizar el proceso de encontrar el significado de una expresión. Por ejemplo, ciertas propiedades de las operaciones con números pueden acelerar y simplificar significativamente la búsqueda del valor de una expresión.

Por ejemplo, conocemos esta propiedad de la multiplicación: si uno de los factores del producto es igual a cero, entonces el valor del producto es igual a cero. Usando esta propiedad, podemos decir inmediatamente que el valor de la expresión 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) es igual a cero. Si siguiéramos el orden estándar de operaciones, primero tendríamos que calcular los valores de las engorrosas expresiones entre paréntesis, lo que llevaría mucho tiempo, y el resultado seguiría siendo cero.

También es conveniente utilizar la propiedad de la resta. numeros iguales: Si restas un número igual a un número, el resultado es cero. Esta propiedad se puede considerar de manera más amplia: la diferencia entre dos expresiones numéricas idénticas es cero. Por ejemplo, sin calcular el valor de las expresiones entre paréntesis, puedes encontrar el valor de la expresión (54 6-12 47362:3)-(54 6-12 47362:3), es igual a cero, ya que la expresión original es la diferencia de expresiones idénticas.

Las transformaciones de identidad pueden facilitar el cálculo racional de los valores de expresión. Por ejemplo, agrupar términos y factores puede resultar útil; no menos frecuente es poner el factor común entre paréntesis. Entonces, el valor de la expresión 53·5+53·7−53·11+5 es muy fácil de encontrar después de quitar el factor 53 entre paréntesis: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. El cálculo directo llevaría mucho más tiempo.

Para concluir este punto, prestemos atención a un enfoque racional para calcular los valores de expresiones con fracciones: se cancelan los factores idénticos en el numerador y denominador de la fracción. Por ejemplo, reducir las mismas expresiones en el numerador y denominador de una fracción. le permite encontrar inmediatamente su valor, que es igual a 1/2.

Encontrar el valor de una expresión literal y una expresión con variables

El valor de una expresión literal y una expresión con variables se encuentra para valores dados específicos de letras y variables. Eso es, estamos hablando acerca de sobre cómo encontrar el valor de una expresión literal para valores de letras dados o sobre cómo encontrar el valor de una expresión con variables para valores de variables seleccionados.

Regla encontrar el valor de una expresión literal o una expresión con variables para valores de letras dados o valores de variables seleccionados es el siguiente: debe sustituir los valores dados de letras o variables en la expresión original y calcular el valor de la resultante expresión numérica, este es el valor deseado.

Ejemplo.

Calcula el valor de la expresión 0,5·x−y en x=2,4 e y=5.

Solución.

Para encontrar el valor requerido de la expresión, primero debe sustituir los valores dados de las variables en la expresión original y luego realizar los siguientes pasos: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Respuesta:

−3,8 .

En conclusión, observamos que a veces realizar transformaciones. expresiones literales y expresiones con variables te permite obtener sus valores, independientemente de los valores de las letras y variables. Por ejemplo, la expresión x+3−x se puede simplificar, después de lo cual tomará la forma 3. De esto podemos concluir que el valor de la expresión x+3−x es igual a 3 para cualquier valor de la variable x dentro de su rango de valores permisibles (APV). Otro ejemplo: el valor de la expresión es igual a 1 para todos los valores positivos de x, por lo que el rango de valores permitidos de la variable x en la expresión original es el conjunto de números positivos, y en este rango la igualdad sostiene.

Bibliografía.

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• Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.

Las expresiones fraccionarias son difíciles de entender para un niño. La mayoría de la gente tiene dificultades con. Al estudiar el tema “suma de fracciones con números enteros”, el niño cae en un estupor y le resulta difícil resolver el problema. En muchos ejemplos, antes de realizar una acción, se deben realizar una serie de cálculos. Por ejemplo, convertir fracciones o convertir una fracción impropia en una fracción propia.

Expliquemoslo claramente al niño. Cogemos tres manzanas, dos de las cuales estarán enteras, y cortamos la tercera en 4 partes. Separa una rodaja de la manzana cortada y coloca las tres restantes junto a dos frutas enteras. Nos salen ¼ de manzana por un lado y 2 ¾ por el otro. Si las combinamos obtenemos tres manzanas. Intentemos reducir 2 ¾ manzanas a ¼, es decir, quitamos otra rodaja, obtenemos 2 2/4 manzanas.

Echemos un vistazo más de cerca a las operaciones con fracciones que contienen números enteros:

Primero, recordemos la regla de cálculo para expresiones fraccionarias con denominador común:

A primera vista, todo es fácil y sencillo. Pero esto sólo se aplica a expresiones que no requieren conversión.

Cómo encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes

En algunas tareas necesitas encontrar el significado de una expresión donde los denominadores son diferentes. Veamos un caso concreto:
3 2/7+6 1/3

Encontremos el valor de esta expresión encontrando un denominador común para dos fracciones.

Para los números 7 y 3, esto es 21. Dejamos las partes enteras iguales y llevamos las partes fraccionarias a 21, para esto multiplicamos la primera fracción por 3, la segunda por 7, obtenemos:
21/06+21/07, no olvide que las partes enteras no se pueden convertir. Como resultado, obtenemos dos fracciones con el mismo denominador y calculamos su suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
¿Qué pasa si el resultado de la suma es una fracción impropia que ya tiene una parte entera?
2 1/3+3 2/3
En este caso sumamos las partes enteras y fraccionarias, obtenemos:
5 3/3, como sabes, 3/3 es uno, lo que significa 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Encontrar la suma está todo claro, veamos la resta:

De todo lo dicho se desprende la regla para operaciones con números mixtos:

• Si necesitas restar un número entero de una expresión fraccionaria, no necesitas representar el segundo número como una fracción; basta con realizar la operación solo en las partes enteras.

Intentemos calcular nosotros mismos el significado de las expresiones:

vamos a solucionarlo más ejemplo bajo la letra "m":

4 5/11-2 8/11, el numerador de la primera fracción es menor que el de la segunda. Para hacer esto, tomamos prestado un número entero de la primera fracción, obtenemos,
3 5/11+11/11=3 entero 16/11, resta la segunda a la primera fracción:
3 16/11-2 8/11=1 entero 8/11

• Tenga cuidado al completar la tarea, no olvide convertir fracciones impropias en fracciones mixtas, resaltando la parte completa. Para hacer esto, necesitas dividir el valor del numerador por el valor del denominador, luego lo que sucede toma el lugar de la parte entera, el resto será el numerador, por ejemplo:

19/4=4 ¾, comprobemos: 4*4+3=19, el denominador 4 permanece sin cambios.

Resumir:

Antes de iniciar una tarea relacionada con fracciones, es necesario analizar qué tipo de expresión es, qué transformaciones se deben realizar sobre la fracción para que la solución sea correcta. Busque una solución más racional. No vayas por el camino difícil. Planifica todas las acciones, resuélvelas primero en forma de borrador y luego transfiérelas a tu cuaderno escolar.

Para evitar confusiones al resolver expresiones fraccionarias, debes seguir la regla de coherencia. Decide todo con cuidado, sin prisas.