Pitanje 1. Koji se kutovi nazivaju susjednim?
Odgovor. Dva se kuta nazivaju susjednima ako imaju jednu zajedničku stranicu, a ostale stranice tih kutova su komplementarni polupravci.
Na slici 31 kutovi (a 1 b) i (a 2 b) su susjedni. Zajednička im je stranica b, a stranice a 1 i a 2 su dodatni polupravci.

pitanje 2. Dokažite da je zbroj susjednih kutova 180°.
Odgovor. Teorem 2.1. Zbroj susjednih kutova je 180°.
Dokaz. Neka su kut (a 1 b) i kut (a 2 b) zadani susjednim kutovima (vidi sliku 31). Zraka b prolazi između stranica a 1 i a 2 ravnog kuta. Dakle, zbroj kutova (a 1 b) i (a 2 b) jednak je rasklopljenom kutu, tj. 180°. Q.E.D.

pitanje 3. Dokažite da ako su dva kuta jednaka, tada su im jednaki i susjedni kutovi.
Odgovor.

Iz teorema 2.1 Slijedi da ako su dva kuta jednaka, jednaki su im i susjedni kutovi.
Recimo da su kutovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki. Trebamo dokazati da su i kutovi (a 2 b) i (c 2 d) jednaki.
Zbroj susjednih kutova je 180°. Iz toga slijedi da je a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + c 2 d = 180°. Dakle, a 2 b = 180° - a 1 b i c 2 d = 180° - c 1 d. Kako su kutovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki, dobivamo da je a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Po svojstvu tranzitivnosti znaka jednakosti slijedi da je a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

pitanje 4. Koji se kut naziva pravim (oštrim, tupim)?
Odgovor. Kut jednak 90° naziva se pravim kutom.
Kut manji od 90° naziva se šiljasti kut.
Kut veći od 90° i manji od 180° nazivamo tupim.

pitanje 5. Dokažite da je kut susjedan pravom kutu pravi kut.
Odgovor. Iz teorema o zbroju susjednih kutova proizlazi da je kut susjedan pravom kutu pravi kut: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pitanje 6. Koji se kutovi nazivaju okomitima?
Odgovor. Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednoga kuta komplementarne polupravci stranicama drugoga.

Pitanje 7. Dokaži to okomiti kutovi su jednaki.
Odgovor. Teorem 2.2. Vertikalni kutovi su jednaki.
Dokaz. Neka su (a 1 b 1) i (a 2 b 2) zadani okomiti kutovi (sl. 34). Kut (a 1 b 2) je susjedan kutu (a 1 b 1) i kutu (a 2 b 2). Odavde, koristeći teorem o zbroju susjednih kutova, zaključujemo da svaki od kutova (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dopunjuje kut (a 1 b 2) na 180°, tj. kutovi (a 1 b 1) i (a 2 b 2) su jednaki. Q.E.D.

Pitanje 8. Dokažite da ako je, kad se dva pravca sijeku, jedan od kutova pravi, tada su i ostala tri kuta prava.
Odgovor. Pretpostavimo da se pravci AB i CD sijeku u točki O. Pretpostavimo da je kut AOD 90°. Kako je zbroj susjednih kutova 180°, dobivamo da je AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kut COB je okomit na kut AOD, pa su jednaki. Odnosno, kut COB = 90°. Kut COA okomit je na kut BOD, pa su jednaki. Odnosno, kut BOD = 90°. Dakle, svi su kutovi jednaki 90°, odnosno svi su pravi kutovi. Q.E.D.

pitanje 9. Koji se pravci nazivaju okomitima? Kojim se znakom označava okomitost pravaca?
Odgovor. Dva se pravca nazivaju okomitima ako se sijeku pod pravim kutom.
Okomitost linija označena je znakom \(\perp\). Zapis \(a\perp b\) glasi: "Pravac a je okomit na pravac b."

pitanje 10. Dokažite da kroz bilo koju točku na pravcu možete povući pravac okomit na nju, i to samo jedan.
Odgovor. Teorem 2.3. Kroz svaku liniju možete povući liniju okomitu na nju, i to samo jednu.
Dokaz. Neka je a dana linija i A je dana točka na njoj. Označimo s 1 jedan od polupravaca pravca a s početnom točkom A (slika 38). Oduzmimo od polupravca a 1 kut (a 1 b 1) jednak 90°. Tada će pravac koji sadrži zraku b 1 biti okomit na pravac a.

Pretpostavimo da postoji još jedan pravac, koji također prolazi točkom A i okomit je na pravac a. Označimo s c 1 polupravac tog pravca koji leži u istoj poluravnini s zrakom b 1 .
U jednoj poluravnini od polupravca a 1 položeni su kutovi (a 1 b 1) i (a 1 c 1), svaki jednak 90°. Ali iz polupravca a 1 samo jedan kut jednak 90° može se postaviti u datu poluravninu. Dakle, ne može postojati drugi pravac koji prolazi točkom A i okomit je na pravac a. Teorem je dokazan.

Pitanje 11.Što je okomito na pravac?
Odgovor. Okomica na dani pravac je isječak pravca okomit na dani pravac, čiji je jedan kraj u sjecištu. Ovaj kraj segmenta se zove osnova okomito.

Pitanje 12. Objasnite u čemu se sastoji dokaz kontradikcijom.
Odgovor. Metoda dokazivanja koju smo koristili u teoremu 2.3 zove se dokaz kontradikcijom. Ova metoda dokazivanja sastoji se u tome da prvo napravimo pretpostavku suprotnu od onoga što navodi teorem. Zatim, razmišljanjem, oslanjajući se na aksiome i dokazane teoreme, dolazimo do zaključka koji proturječi ili uvjetima teorema, ili nekom od aksioma, ili prethodno dokazanom teoremu. Na temelju toga zaključujemo da je naša pretpostavka bila netočna, pa je stoga tvrdnja teorema točna.

Pitanje 13.Što je simetrala kuta?
Odgovor. Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz vrha kuta, prolazi između njegovih stranica i dijeli kut na pola.

Kutovi kojima je jedna stranica zajednička, a ostale stranice leže na istoj ravnici (na slici su kutovi 1 i 2 susjedni). Riža. na čl. Susjedni uglovi... Velika sovjetska enciklopedija

SUSJEDNI KUTOVI- kutovi koji imaju zajednički vrh i jedan zajednička strana, a njihove druge dvije stranice leže na istoj pravoj liniji... Velika politehnička enciklopedija

Vidi kut... Veliki enciklopedijski rječnik

SUSJEDNI KUTOVI, dva kuta čiji je zbroj 180°. Svaki od ovih kutova nadopunjuje drugi do punog kuta... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Vidi Kut. * * * SUSJEDNI KUTOVI SUSJEDNI KUTOVI, vidi Kut (vidi KUT) ... enciklopedijski rječnik

- (Angles adjacent) oni koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranicu. Uglavnom se ovaj naziv odnosi na takve C. kutove, čije druge dvije strane leže u suprotnim smjerovima jedne ravne crte povučene kroz vrh ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Vidi kut... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Dvije ravne linije sijeku se kako bi stvorile par okomitih kutova. Jedan par čine kutovi A i B, drugi kutovi C i D. U geometriji se dva kuta nazivaju okomitima ako nastaju presjekom dvaju ... Wikipedia

Par komplementarnih kutova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stupnjeva Komplementarni kutovi su parovi kutova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stupnjeva. Ako su dva komplementarna kuta susjedna (tj. imaju zajednički vrh i odvojeni su samo... ... Wikipedia

Par komplementarnih kutova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stupnjeva Komplementarni kutovi su parovi kutova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stupnjeva. Ako su dva komplementarna kuta s... Wikipedia

knjige

• O dokazu u geometriji, Fetisov A.I.. Ova će knjiga biti proizvedena u skladu s vašom narudžbom korištenjem tehnologije Print-on-Demand. Jednog dana, na samom početku školske godine, načula sam razgovor dviju djevojaka. Najstariji od njih...
• Opširna bilježnica za kontrolu znanja. Geometrija. 7. razred. Savezni državni obrazovni standard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergejevna. U priručniku su prikazani kontrolno-mjerni materijali (KM) iz geometrije za provođenje tekuće, tematske i završne provjere znanja učenika 7. razreda. Sadržaj priručnika...

Poznata vrijednost glavnog kuta α₁ = α₂ = 180°-α.

Od ovoga postoje . Ako su dva kuta susjedna i jednaka, tada su pravi kutovi. Ako je jedan od susjednih kutova prav, odnosno 90 stupnjeva, tada je i drugi kut prav. Ako je jedan od susjednih kutova oštar, onda će drugi biti tup. Slično tome, ako je jedan od kutova tup, onda će drugi, prema tome, biti oštar.

Oštri kut je onaj čija je mjera stupnja manja od 90 stupnjeva, ali veća od 0. Tupi kut ima mjeru stupnja veću od 90 stupnjeva, ali manju od 180.

Još jedno svojstvo susjednih kutova formulirano je na sljedeći način: ako su dva kuta jednaka, tada su i kutovi koji su im susjedni također jednaki. To znači da ako postoje dva kuta za koje je mjera stupnja ista (na primjer, to je 50 stupnjeva), a istovremeno jedan od njih ima susjedni kut, tada se vrijednosti tih susjednih kutova također podudaraju ( u primjeru će njihova mjera stupnja biti jednaka 130 stupnjeva).

Izvori:

• Veliki enciklopedijski rječnik - Susjedni kutovi
• kut 180 stupnjeva

Riječ "" ima različita tumačenja. U geometriji, kut je dio ravnine omeđen dvjema zrakama koje izlaze iz jedne točke – vrha. Kada govorimo o o pravim, šiljastim, nezaokruženim kutovima, tada se misli na geometrijske kutove.

Kao i sve figure u geometriji, kutovi se mogu uspoređivati. Jednakost kutova određuje se kretanjem. Kut je lako podijeliti na dva jednaka dijela. Dijeljenje na tri dijela je malo teže, ali se ipak može pomoću ravnala i šestara. Usput, ovaj zadatak se činio prilično teškim. Opisivanje da je jedan kut veći ili manji od drugog je geometrijski jednostavno.

Mjerna jedinica za kutove je 1/180 razvijenog kuta. Veličina kuta je broj koji pokazuje koliko se kut odabran kao mjerna jedinica uklapa u predmetnu brojku.

Svaki kut ima stupanjsku mjeru veću od nule. Ravni kut je 180 stupnjeva. Mjera stupnjeva kuta smatra se jednakom zbroju mjera stupnjeva kutova na koje je podijeljen bilo kojom zrakom na ravnini omeđenoj njegovim stranicama.

Od bilo koje zrake unutra dana ravnina Možete iscrtati kut s određenom mjerom stupnja koja ne prelazi 180. Štoviše, postojat će samo jedan takav kut. Mjera ravnog kuta, koji je dio poluravnine, je stupanjska mjera kuta sa sličnim stranicama. Mjera ravnine kuta koji sadrži poluravninu je vrijednost 360 ​​– α, gdje je α stupanjska mjera komplementarnog ravninskog kuta.

Stupanjska mjera kuta omogućuje prijelaz s geometrijskog opisa na numerički. Dakle, pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva, tupi kut je kut manji od 180 stupnjeva, ali veći od 90, oštar kut ne prelazi 90 stupnjeva.

Osim stupnjeva, postoji radijanska mjera kuta. U planimetriji, duljina je L, polumjer je r, a odgovarajući središnji kut– α. Štoviše, ti su parametri povezani relacijom α = L/r. Ovo je osnova radijanske mjere kutova. Ako je L=r, tada će kut α biti jednak jednom radijanu. Dakle, radijanska mjera kuta je omjer duljine luka nacrtanog proizvoljnim radijusom i zatvorenog između stranica tog kuta i polumjera luka. Potpuna rotacija u stupnjevima (360 stupnjeva) odgovara 2π u radijanima. Jedan je 57,2958 stupnjeva.

Video na temu

Izvori:

• stupanj mjera kutova formula

Geometrija je vrlo višestruka znanost. Razvija logiku, maštu i inteligenciju. Naravno, zbog svoje složenosti i ogromnog broja teorema i aksioma, školarci ga ne vole uvijek. Osim toga, potrebno je stalno dokazivati ​​svoje zaključke općeprihvaćenim standardima i pravilima.

Susjedni i okomiti kutovi sastavni su dio geometrije. Sigurno ih mnogi školarci jednostavno obožavaju iz razloga što su njihova svojstva jasna i lako dokaziva.

Formiranje uglova

Bilo koji kut nastaje presijecanjem dviju ravnih linija ili povlačenjem dviju zraka iz jedne točke. Mogu se nazvati jednim slovom ili trima, koja uzastopno označavaju točke u kojima je konstruiran kut.

Kutovi se mjere u stupnjevima i mogu se (ovisno o njihovoj vrijednosti) različito zvati. Dakle, postoji pravi kut, oštar, tup i rasklopljen. Svaki od naziva odgovara određenoj stupnjskoj mjeri ili njezinom intervalu.

Oštri kut je kut čija mjera ne prelazi 90 stupnjeva.

Tupi kut je kut veći od 90 stupnjeva.

Kut se naziva pravim ako je njegova mjera stupnjeva 90.

U slučaju kada ga čini jedna neprekinuta ravna linija, a stupanj mu je mjera 180, naziva se proširenim.

Kutovi koji imaju zajedničku stranicu, čija se druga stranica nastavlja jedna na drugu, nazivaju se susjednim. Mogu biti oštri ili tupi. Sjecište pravca tvori susjedne kutove. Njihova svojstva su sljedeća:

1. Zbroj ovih kutova bit će jednak 180 stupnjeva (postoji teorem koji to dokazuje). Stoga se lako može izračunati jedan od njih ako je drugi poznat.
2. Iz prve točke slijedi da susjedne kutove ne mogu tvoriti dva tupa ili dva oštra kuta.

Zahvaljujući ovim svojstvima, uvijek možete izračunati mjeru stupnja kuta, s obzirom na vrijednost drugog kuta ili, prema barem, odnos između njih.

Vertikalni kutovi

Kutovi čije se stranice nastavljaju jedna na drugu nazivaju se okomiti. Bilo koja od njihovih sorti može djelovati kao takav par. Vertikalni kutovi uvijek su međusobno jednaki.

Nastaju kada se ravne linije sijeku. Uz njih su uvijek prisutni i susjedni kutovi. Kut može biti istovremeno susjedan za jedan i okomit za drugi.

Pri prelasku proizvoljne linije uzima se u obzir i nekoliko drugih vrsta kutova. Takva se linija naziva sekantom; ona tvori odgovarajuće, jednostrane i unakrsne kutove. Međusobno su jednaki. Mogu se promatrati u svjetlu svojstava koje imaju okomiti i susjedni kutovi.

Dakle, tema kutova izgleda prilično jednostavna i razumljiva. Sva njihova svojstva lako se pamte i dokazuju. Rješavanje problema nije teško sve dok kutovi imaju numeričku vrijednost. Kasnije, kada počne proučavanje sin i cos, morat ćete puno naučiti napamet složene formule, njihove zaključke i posljedice. Do tada, možete samo uživati ​​u jednostavnim zagonetkama u kojima trebate pronaći susjedne kutove.

U procesu proučavanja tečaja geometrije često se pojavljuju pojmovi "kut", "okomiti kutovi", "susjedni kutovi". Razumijevanje svakog od pojmova pomoći će vam da shvatite problem i da ga ispravno riješite. Što su susjedni kutovi i kako ih odrediti?

Susjedni kutovi - definicija pojma

Izraz "susjedni kutovi" karakterizira dva kuta koja tvore zajednička zraka i dvije dodatne poluprave koje leže na istoj ravnoj liniji. Sve tri zrake izlaze iz iste točke. Zajednički polupravac je istovremeno stranica i jednog i drugog kuta.

Susjedni kutovi – osnovna svojstva

1. Na temelju formulacije susjednih kutova lako je uočiti da zbroj takvih kutova uvijek tvori obrnuti kut čija je stupnjevna mjera 180°:

• Ako su μ i η susjedni kutovi, tada je μ + η = 180°.
• Znajući veličinu jednog od susjednih kutova (na primjer, μ), možete jednostavno izračunati mjeru stupnjeva drugog kuta (η) pomoću izraza η = 180° – μ.

2. Ovo svojstvo kutova omogućuje nam da izvedemo sljedeći zaključak: kut koji je susjedan pravi kut, također će biti izravan.

3. S obzirom na to trigonometrijske funkcije(sin, cos, tg, ctg), na temelju redukcijskih formula za susjedne kutove μ i η vrijedi sljedeće:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Susjedni kutovi - primjeri

Primjer 1

Zadan je trokut s vrhovima M, P, Q – ΔMPQ. Odredite kutove susjedne kutovima ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Produžimo svaku stranicu trokuta ravnom crtom.
• Znajući da se susjedni kutovi međusobno nadopunjuju do obrnutog kuta, saznajemo da:

susjedan kutu ∠QMP je ∠LMP,

susjedan kutu ∠MPQ je ∠SPQ,

susjedan kutu ∠PQM je ∠HQP.

Primjer 2

Vrijednost jednog susjednog kuta je 35°. Kolika je stupnjevna mjera drugog susjednog kuta?

• Zbroj dva susjedna kuta iznosi 180°.
• Ako je ∠μ = 35°, tada je uz njega ∠η = 180° – 35° = 145°.

Primjer 3

Odredite vrijednosti susjednih kutova ako je poznato da je stupanjska mjera jednog od njih tri puta veća od stupnjevne mjere drugog kuta.

• Označimo veličinu jednog (manjeg) kuta s – ∠μ = λ.
• Tada će prema uvjetima zadatka vrijednost drugog kuta biti jednaka ∠η = 3λ.
• Na temelju osnovnog svojstva susjednih kutova, μ + η = 180° slijedi

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

To znači da je prvi kut ∠μ = λ = 45°, a drugi kut ∠η = 3λ = 135°.

Sposobnost korištenja terminologije, kao i poznavanje osnovnih svojstava susjednih kutova, pomoći će vam u rješavanju mnogih geometrijskih problema.