Sinus oštar kutα pravokutnog trokuta je omjer suprotan kateter na hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: sin α.
Kosinusšiljasti kut α pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.
Tangensšiljasti kut α je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka.
Označava se na sljedeći način: tg α.
Kotangensšiljasti kut α je omjer susjednog i suprotnog kraka.
Označava se na sljedeći način: ctg α.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta ovise samo o veličini kuta.
Pravila:
Osnovni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:
(α - oštri kut nasuprot noge b a uz nogu a . Strana S - hipotenuza. β - drugi šiljasti kut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
grijehα |
Kako se šiljasti kut povećavasinα itg α povećanje, icos α opada.
Za bilo koji oštri kut α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Objašnjavajući primjer:
Neka je unutra pravokutni trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
kut A = 30º.
Odredite sinus kuta A i kosinus kuta B.
Riješenje .
1) Prvo pronalazimo vrijednost kuta B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbroj oštrih kutova 90º, tada je kut B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º = 60º.
2) Izračunajte sinus A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze. Za kut A suprotni krak je stranica BC. Tako:
BC 3 1
grijeh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Sada izračunavamo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjedne katete i hipotenuze. Za kut B, susjedni krak je iste stranice BC. To znači da ponovno moramo podijeliti BC s AB - to jest, izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iz ovoga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog kuta jednak kosinusu drugi oštar kut i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Provjerimo ponovno:
1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u formulu sinusa dobivamo:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u formulu kosinusa dobivamo:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.
(Više o trigonometriji potražite u odjeljku Algebra)
Tamo gdje su razmatrani zadaci za rješavanje pravokutnog trokuta, obećao sam predstaviti tehniku za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete se brzo sjetiti koja noga pripada hipotenuzi (susjedna ili suprotna). Odlučio sam ne odgađati na neodređeno vrijeme, potreban materijal je ispod, pročitajte ga 😉
Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda imaju poteškoća s pamćenjem ovih definicija. Dobro se sjećaju da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju- zaboraviti i zbunjeno. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljen rezultat.
Informacije koje ću iznijeti izravno s matematikom nemaju nikakve veze. Ona je povezana sa figurativno mišljenje, te metodama verbalno-logičkog povezivanja. Tako je, i sam sam se jednom zauvijek sjetiopodaci o definiciji. Ako ih još uvijek zaboravite, onda ih je uz pomoć predstavljenih tehnika uvijek lako zapamtiti.
Dopustite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:
Kosinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjedne katete i hipotenuze:
Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:
Dakle, kakve asocijacije kod vas izaziva riječ kosinus?
Vjerojatno svatko ima svojuZapamtite link:
Tako ćete odmah imati izraz u sjećanju -
«… omjer SUSJEDNE katete i hipotenuze».
Problem s definicijom kosinusa je riješen.
Ako se trebate sjetiti definicije sinusa u pravokutnom trokutu, tada se sjećajući se definicije kosinusa, lako možete utvrditi da je sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i hipotenuze. Uostalom, postoje samo dvije noge, ako je susjedna kateta "zauzeta" kosinusom, tada za sinus ostaje samo suprotna strana.
Što je s tangensom i kotangensom? Ista zabuna. Učenici znaju da je to omjer krakova, ali problem je zapamtiti koji se na koji odnosi - ili nasuprot susjednom, ili obrnuto.
Definicije:
Tangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog:
Kotangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog:
Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan također koristi verbalno-logičku vezu, drugi - matematičku.
MATEMATIČKA METODA
Postoji takva definicija - tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:
* Sjećajući se formule, uvijek možete odrediti da je tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge u odnosu na susjednu.
Također.Kotangens oštrog kuta je omjer kosinusa kuta i njegovog sinusa:
Tako! Zapamtite ove formule, uvijek možete utvrditi da:
- tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog
- kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog.
VERBALNO-LOGIČKA METODA
O tangenti. Zapamtite link:
To jest, ako se trebate sjetiti definicije tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti što je to
"... omjer suprotne noge u odnosu na susjednu"
Ako je riječ o kotangensu, onda sjećajući se definicije tangensa, lako možete izgovoriti definiciju kotangensa -
"... omjer susjednog kraka i suprotnog"
Na web mjestu postoji zanimljiva tehnika za pamćenje tangensa i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.
METODA UNIVERZALNA
Možete samo samljeti.Ali kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, a ne samo matematičke.
Nadam se da vam je materijal bio koristan.
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.
Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija čija primjena nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračun trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračun sinusa ponekad je potreban za rješavanje raznih problema. Općenito, izračun sinusa pomoći će u učvršćivanju vještina crtanja i znanja o trigonometrijskim identitetima.
Igre ravnala i olovke
Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus kuta nacrtanog na papiru? Za rješavanje vam je potrebno obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa kuta je dijeljenje daljnjeg kraka trokuta s pravim kutom s dužom stranom - hipotenuzom. Dakle, prvo morate dovršiti oštar kut na lik pravokutnog trokuta povlačenjem crte okomite na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Bit će potrebno promatrati kut od točno 90 °, za koji nam je potreban klerikalni trokut.
Korištenje kompasa malo je preciznije, ali će trajati duže. Na jednoj od zraka morate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti polumjer na kompasu približno jednak udaljenosti između točaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se te linije ne sijeku. Povezivanjem točaka sjecišta naših krugova jedna s drugom, dobit ćemo strogu okomicu na zraku našeg kuta, ostaje samo produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.
U dobivenom trokutu morate ravnalom izmjeriti stranu nasuprot kutu i dugu stranu na jednoj od zraka. Omjer prve dimenzije prema drugoj bit će željena vrijednost sinusa oštrog kuta.
Nađite sinus za kut veći od 90°
Za tupi kut zadatak nije mnogo teži. Nacrtaj zraku od vrha do suprotna strana pomoću ravnala oblikujemo ravnu crtu s jednom od zraka kuta koji nas zanima. S rezultirajućim oštrim kutom postupite kako je gore opisano, sinusima susjedni uglovi, koji zajedno tvore razvijeni kut od 180 °, jednaki su.
Izračunavanje sinusa iz drugih trigonometrijskih funkcija
Također, izračun sinusa je moguć ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija kuta ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.
Kako pronaći sinus uz poznati kosinus kuta? Prvi trigonometrijski identitet, koji dolazi iz Pitagorinog poučka, kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak jedan.
Kako pronaći sinus s poznatim tangensom kuta? Tangens se dobiva dijeljenjem daljeg kraka s bližim ili dijeljenjem sinusa s kosinusom. Dakle, sinus će biti umnožak kosinusa i tangensa, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog umnoška. Kvadrat kosinusa zamjenjujemo razlikom između jedinice i kvadrata sinusa prema prvom trigonometrijski identitet i jednostavnim manipulacijama dovodimo jednadžbu do izračuna kvadratnog sinusa kroz tangentu, odnosno, da biste izračunali sinus, morat ćete izvući korijen iz dobivenog rezultata.
Kako pronaći sinus s poznatim kotangensom kuta? Vrijednost kotangensa može se izračunati dijeljenjem duljine bližeg kraka od kuta kraka s duljinom udaljenog, kao i dijeljenjem kosinusa sa sinusom, odnosno kotangens je inverzna funkcija tangensa u odnosu na broj 1. Da biste izračunali sinus, možete izračunati tangens pomoću formule tg α \u003d 1 / ctg α i koristiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti izravnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.
Kako pronaći sinus triju stranica trokuta
Postoji formula za pronalaženje duljine nepoznate stranice bilo kojeg trokuta, ne samo pravokutnog trokuta, s obzirom na dvije poznate strane pomoću trigonometrijske funkcije kosinusa suprotnog kuta. Ona izgleda ovako.
Što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta pomoći će vam da razumijete pravokutni trokut.
Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \ (AC \) ); noge su dvije preostale stranice \ (AB \) i \ (BC \) (one koje su susjedne pravi kut), štoviše, ako katete promatramo u odnosu na kut \ (BC \) , tada je krak \ (AB \) susjedni krak, a krak \ (BC \) suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?
Sinus kuta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).
U našem trokutu:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).
U našem trokutu:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
kosinus→dodir→dodir→susjedni;
Kotangens→dodir→dodir→susjedni.
Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta \(\beta \) . Prema definiciji, iz trokuta \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus kuta \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!
Za trokut \(ABC \) , prikazan na donjoj slici, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)
Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut \(\beta \) .
odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Jedinična (trigonometrijska) kružnica
Razumijevajući koncepte stupnja i radijana, razmotrili smo krug s polumjerom jednakim \ (1 \) . Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.
Kao što vidite, ovaj krug je izgrađen u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice je jednak jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi \(x \) (u našem primjeru to je polumjer \(AB \) ).
Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati duž osi \(x \) i koordinati duž osi \(y \) . Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut \(ACG \) . Pravokutan je jer je \(CG \) okomit na os \(x \).
Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \) ? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC \) polumjer jedinične kružnice, dakle \(AC=1 \) . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
A koliko je \(\sin \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \) ? Pa naravno, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Zamijenite vrijednost radijusa \ (AC \) u ovu formulu i dobijte:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke \(C \) koja pripada krugu? Pa nema šanse? Ali što ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x \) ! A kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Točno, \(y \) koordinata! Dakle poanta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Što su onda \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) ? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijmo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:
Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kut (kao susjedni kutu \(\beta \) ). Koja je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati \ (y \) ; vrijednost kosinusa kuta - koordinata \ (x \) ; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi \(x \). Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Je li moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \) ? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), pa će radijus vektor napraviti jednu punu rotaciju i zaustaviti se na \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .
U drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj ) odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Donja slika prikazuje kut \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara kutu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m \) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Sada, poznavanje definicija osnovnih trigonometrijskih funkcija i korištenje jedinični krug, pokušajte odgovoriti kolike su vrijednosti jednake:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(niz) \)
Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, krenimo redom: kut unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara točki s koordinatama \(\left(0;1 \right) \), dakle:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju točkama s koordinatama \(\lijevo(-1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0;-1 \desno),\tekst( )\lijevo(1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\tekst(tg)\ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji
\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\tekst(ctg)\lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:
Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate zapamtiti ili moći ispisati!! \) !}
A ovdje su vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) navedeni u tablici u nastavku, morate zapamtiti:
Nema potrebe za strahom, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:
Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), kao i vrijednost tangensa kuta u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(niz) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, moguće je vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojnik “\(1 \) ” će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , a nazivnik “\(\sqrt(\text(3)) \) ” će odgovarati \ (\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite shemu sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4 \) vrijednosti iz tablice.
Koordinate točke na kružnici
Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na krugu, znajući koordinate središta kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa naravno da možete! Izvedimo opću formulu za pronalaženje koordinata točke. Evo, na primjer, imamo takav krug:
Dobili smo tu točku \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) je središte kruga. Polumjer kruga je \(1,5 \) . Potrebno je pronaći koordinate točke \(P \) dobivene rotacijom točke \(O \) za \(\delta \) stupnjeva.
Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \ (x \) točke \ (P \) odgovara duljini segmenta \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Duljina segmenta \ (UK \) odgovara koordinati \ (x \) središta kruga, odnosno jednaka je \ (3 \) . Duljina segmenta \(KQ \) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Zatim to imamo za točku \(P \) koordinatu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Po istoj logici, nalazimo vrijednost y koordinate za točku \(P \) . Tako,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Dakle u opći pogled koordinate točke određuju se formulama:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središta kruga,
\(r\) - polumjer kruga,
\(\delta \) - kut rotacije polumjera vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () neraskidivo su povezani s pojmom kuta. Da bismo ih dobro razumjeli na prvi pogled, složeni pojmovi(koje izazivaju stanje užasa kod mnogih školaraca), i uvjerite se da “vrag nije tako strašan kako ga slikaju”, krenimo od samog početka i shvatimo pojam kuta.
Pojam kuta: radijan, stupanj
Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na točku za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će kutak.
Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, jedinice kuta, naravno!
Kut se, kako u geometriji tako iu trigonometriji, može mjeriti u stupnjevima i radijanima.
Poziva se kut od (jedan stupanj). središnji kut u krugu, na temelju kružnog luka jednakog dijelu kruga. Dakle, cijela se kružnica sastoji od "komada" kružnih lukova ili je kut koji opisuje kružnica jednak.
Odnosno, gornja slika prikazuje kut koji je jednak, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku veličine opsega.
Kut u radijanima naziva se središnji kut u krugu, koji se temelji na kružnom luku, čija je duljina jednaka polumjeru kruga. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, onda pogledajmo sliku.
Dakle, slika prikazuje kut jednak radijanu, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku čija je duljina jednaka polumjeru kruga (duljina je jednaka duljini ili polumjer jednak duljina luka). Dakle, duljina luka izračunava se formulom:
Gdje je središnji kut u radijanima.
Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži kut opisan kružnicom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za opseg kruga. evo je:
Pa, povežimo sada ove dvije formule i ustanovimo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno,. Kao što vidite, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, jer je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.
Koliko je radijana? Tako je!
kužiš Zatim pričvrstite naprijed:
Ima li poteškoća? Onda pogledajte odgovori:
Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta
Dakle, s konceptom kuta smo shvatili. Ali što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta? Hajdemo shvatiti. U tome će nam pomoći pravokutni trokut.
Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i noge: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru, ovo je stranica); kraci su dvije preostale stranice i (one koje su susjedne pravom kutu), štoviše, ako katete promatramo s obzirom na kut, tada je krak susjedni krak, a krak suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?
Sinus kuta je omjer suprotne (daleke) noge prema hipotenuzi.
u našem trokutu.
Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.
u našem trokutu.
Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).
u našem trokutu.
Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).
u našem trokutu.
Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
kosinus→dodir→dodir→susjedni;
Kotangens→dodir→dodir→susjedni.
Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!
Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.
Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.
Jedinična (trigonometrijska) kružnica
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug čiji je polumjer jednak. Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.
Kao što vidite, ovaj krug je izgrađen u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice jednak je jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je polumjer).
Svakoj točki kruga odgovaraju dva broja: koordinata duž osi i koordinata duž osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut. Pravokutan je jer je okomit na os.
Što je jednako iz trokuta? Tako je. Osim toga, znamo da je polumjer jedinične kružnice, i prema tome, . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:
A čemu je jednako iz trokuta? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost polumjera u ovu formulu i dobijte:
Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke koja pripada krugu? Pa nema šanse? A ako to shvatite i samo su brojke? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinata! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordiniraj! Dakle, točka.
I što su onda jednaki i? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to, a.
Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:
Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut: kut (kao susjedni kutu). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinate; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga ili. Je li moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan potpuni krug i zaustaviti se na položaju ili.
U drugom slučaju, odnosno, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji ili.
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Donja slika prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu, i tako dalje. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:
Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, počnimo redom: kut na odgovara točki s koordinatama, dakle:
Ne postoji;
Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama, odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:
Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:
Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavno pamćenje odgovarajućih vrijednosti:
Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangensa kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, vrlo je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:
Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će odgovarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.
Koordinate točke na kružnici
Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, poznavanje koordinata središta kruga, njegovog polumjera i kuta zakreta?
Pa naravno da možete! Iznesimo opća formula za pronalaženje koordinata točke.
Evo, na primjer, imamo takav krug:
Zadano nam je da je točka središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke za stupnjeve.
Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kruga, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
Onda to imamo za koordinatu točke.
Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Tako,
Dakle, općenito, koordinate točaka određene su formulama:
Koordinate centra kruga,
radijus kruga,
Kut rotacije radijus vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:
Pa, probajmo ove formule za okus, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?
1. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.
2. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.
3. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.
4. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.
5. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.
Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?
Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!
1.
Vidi se da. A znamo što odgovara punom okretu početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:
2. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
Vidi se da. Znamo što odgovara dvjema potpunim rotacijama početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:
Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobivamo:
Dakle, željena točka ima koordinate.
3. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
Vidi se da. Oslikajmo razmatrani primjer na slici:
Polumjer čini kutove s osi jednake i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivan, imamo:
Slični primjeri detaljnije se analiziraju pri proučavanju formula za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.
Dakle, željena točka ima koordinate.
4.
Kut rotacije polumjera vektora (po uvjetu)
Da bismo odredili odgovarajuće predznake sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:
Kao što vidite, vrijednost tj. je pozitivna, a vrijednost tj. negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da je:
Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađimo koordinate:
Dakle, željena točka ima koordinate.
5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku, gdje
Koordinate središta kruga (u našem primjeru,
Polumjer kruga (prema uvjetu)
Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu).
Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijte:
i - tablične vrijednosti. Sjećamo se i zamijenimo ih u formulu:
Dakle, željena točka ima koordinate.
SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA
Sinus kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka i hipotenuze.
Kosinus kuta je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.
Tangens kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka prema susjednom (bliskom).
Kotangens kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka prema suprotnom (dalekom).
