Izvedenica složena funkcija. Primjeri rješenja

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći izvod složene funkcije. Lekcija je logičan nastavak lekcije Kako pronaći izvedenicu?, u kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a također smo se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas da se malo uozbiljite - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.

U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadatak pronaći izvode.

Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati ​​u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze " vanjska funkcija“, “interno” funkcioniraju samo kako bi vam olakšali razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:

U ovom primjeru je već iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

Kada jednostavni primjeriČini se jasnim da je polinom umetnut ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da na kalkulatoru trebamo izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija:

Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija:

Nakon što smo PRODANO Kod unutarnjih i vanjskih funkcija vrijeme je da se primijeni pravilo razlikovanja složenih funkcija.

Počnimo odlučivati. Iz razreda Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva pronaći derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledati tablicu derivacija elementarne funkcije i primjećujemo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Konačni rezultat primjene formule izgleda ovako:

Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvijek, zapisujemo:

Idemo shvatiti gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, morate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija:

I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli, prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila za razlikovanje složene funkcije je sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Pronađite izvod funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:

Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i zapisati sve kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo će rješenje izgledati kao smiješna izopačenost. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći derivaciju pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:

Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo:

Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.

Počnimo odlučivati

Prema pravilu, prvo trebate uzeti derivat vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za razlikovanje složene funkcije je sljedeći:

Pod udarom opet imamo složenu funkciju! Ali to je već jednostavnije. Lako je provjeriti da je unutarnja funkcija arkus, a vanjska funkcija stupanj. Prema pravilu za diferenciranje složene funkcije, prvo trebate uzeti derivaciju potencije.

Dan je dokaz formule za derivaciju složene funkcije. Detaljno su razmotreni slučajevi kada složena funkcija ovisi o jednoj ili dvjema varijablama. Napravljena je generalizacija na slučaj proizvoljnog broja varijabli.

Ovdje donosimo derivaciju sljedećih formula za derivaciju složene funkcije.
Ako tada
.
Ako tada
.
Ako tada
.

Derivacija složene funkcije iz jedne varijable

Neka je funkcija varijable x predstavljena kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
gdje postoje neke funkcije. Funkcija je diferencijabilna za neku vrijednost varijable x. Funkcija je diferencijabilna na vrijednosti varijable.
Tada je kompleksna (kompozitna) funkcija diferencijabilna u točki x i njezina derivacija određena je formulom:
(1) .

Formula (1) se također može napisati na sljedeći način:
;
.

Dokaz

Uvedimo sljedeću oznaku.
;
.
Ovdje postoji funkcija varijabli i , postoji funkcija varijabli i . No izostavit ćemo argumente ovih funkcija kako ne bismo zatrpali izračune.

Budući da su funkcije i diferencijabilne u točkama x odnosno , tada u tim točkama postoje derivacije tih funkcija, a to su sljedeće granice:
;
.

Razmotrite sljedeću funkciju:
.
Za fiksnu vrijednost varijable u, je funkcija od . Očito je da
.
Zatim
.

Budući da je funkcija diferencijabilna funkcija u točki, ona je kontinuirana u toj točki. Zato
.
Zatim
.

Sada nalazimo izvod.

.

Formula je dokazana.

Posljedica

Ako se funkcija varijable x može prikazati kao složena funkcija složene funkcije
,
onda je njegova derivacija određena formulom
.
Ovdje , i tu su neke diferencijabilne funkcije.

Kako bismo dokazali ovu formulu, sekvencijalno izračunavamo derivaciju pomoću pravila za diferenciranje složene funkcije.
Razmotrite složenu funkciju
.
Njegova izvedenica
.
Razmotrite izvornu funkciju
.
Njegova izvedenica
.

Derivacija složene funkcije iz dvije varijable

Sada neka složena funkcija ovisi o nekoliko varijabli. Prvo pogledajmo slučaju složene funkcije dviju varijabli.

Neka se funkcija koja ovisi o varijabli x predstavi kao složena funkcija dviju varijabli u sljedećem obliku:
,
Gdje
i postoje diferencijabilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- funkcija dviju varijabli, diferencijabilna u točki , . Tada je složena funkcija definirana u određenoj okolini točke i ima derivaciju koja se određuje formulom:
(2) .

Dokaz

Budući da su funkcije i diferencijabilne u točki, definirane su u određenoj okolini te točke, kontinuirane su u točki i njihove derivacije postoje u točki, a to su sljedeće granice:
;
.
Ovdje
;
.
Zbog kontinuiteta ovih funkcija u točki, imamo:
;
.

Budući da je funkcija diferencijabilna u točki, definirana je u određenoj okolini te točke, kontinuirana je u toj točki, a njezin se prirast može napisati u sljedećem obliku:
(3) .
Ovdje

- povećanje funkcije kada se njeni argumenti povećavaju za vrijednosti i ;
;

- parcijalne derivacije funkcije po varijablama i .
Za fiksne vrijednosti i , i su funkcije varijabli i . Teže nuli na i:
;
.
Od i , dakle
;
.

Povećanje funkcije:

. :
.
Zamijenimo (3):



.

Formula je dokazana.

Derivacija složene funkcije iz više varijabli

Gornji zaključak lako se može generalizirati na slučaj kada je broj varijabli složene funkcije veći od dvije.

Na primjer, ako je f funkcija tri varijable, To
,
Gdje
, i postoje diferencijabilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija triju varijabli u točki , , .
Tada iz definicije diferencijabilnosti funkcije imamo:
(4)
.
Jer, zbog kontinuiteta,
; ; ,
Da
;
;
.

Dijeleći (4) s i prelazeći na granicu, dobivamo:
.

I na kraju, razmotrimo najopćenitiji slučaj.
Neka je funkcija varijable x predstavljena kao složena funkcija n varijabli u sljedećem obliku:
,
Gdje
postoje diferencijabilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija n varijabli u točki
, , ... , .
Zatim
.

U ovom ćemo članku govoriti o tako važnom matematičkom pojmu kao što je složena funkcija i naučiti kako pronaći derivaciju složene funkcije.

Prije nego naučimo pronaći izvedenicu složene funkcije, shvatimo koncept složene funkcije, što je to, "s čim se jede" i "kako to pravilno kuhati".

Razmotrimo proizvoljnu funkciju, na primjer, ovu:

Imajte na umu da je argument na desnoj i lijevoj strani jednadžbe funkcije isti broj ili izraz.

Umjesto varijable možemo staviti npr. sljedeći izraz: . I onda dobijemo funkciju

Nazovimo izraz posrednim argumentom, a funkciju vanjskom funkcijom. Ovo nisu strogi matematički pojmovi, ali pomažu razumjeti značenje pojma složene funkcije.

Stroga definicija pojma složene funkcije zvuči ovako:

Neka je funkcija definirana na skupu i neka je skup vrijednosti te funkcije. Neka skup (ili njegov podskup) bude domena definiranja funkcije. Dodijelimo broj svakom od njih. Dakle, funkcija će biti definirana na skupu. Naziva se sastav funkcije ili složena funkcija.

U ovoj definiciji, ako koristimo našu terminologiju, vanjska funkcija je posredni argument.

Derivacija složene funkcije nalazi se prema sljedećem pravilu:

Da bi bilo jasnije, volim napisati ovo pravilo na sljedeći način:

U ovom izrazu korištenje označava međufunkciju.

Tako. Da biste pronašli izvod složene funkcije, trebate

1. Odredite koja je funkcija vanjska i pronađite odgovarajuću derivaciju iz tablice derivacija.

2. Definirajte srednji argument.

U ovom postupku najveću poteškoću predstavlja pronalaženje vanjske funkcije. Za to se koristi jednostavan algoritam:

A. Zapiši jednadžbu funkcije.

b. Zamislite da trebate izračunati vrijednost funkcije za neku vrijednost x. Da biste to učinili, zamijenite ovu vrijednost x u jednadžbu funkcije i izvršite aritmetiku. Posljednja radnja koju radite je vanjska funkcija.

Na primjer, u funkciji

Posljednja radnja je potenciranje.

Nađimo izvod ove funkcije. Da bismo to učinili, pišemo srednji argument

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivat, što je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje izvedenica: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina na određeno vrijeme:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. Iza kratkoročno Pomoći ćemo vam riješiti najteže testove i riješiti probleme, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.

Otkad ste došli ovamo, vjerojatno ste već vidjeli ovu formulu u udžbeniku

i napravi ovako lice:

Prijatelju, ne brini! Zapravo, sve je jednostavno nečuveno. Svakako ćete sve razumjeti. Samo jedna molba - pročitajte članak polako, pokušaj razumjeti svaki korak. Napisao sam što je moguće jednostavnije i jasnije, ali ipak morate razumjeti ideju. I obavezno riješite zadatke iz članka.

Što je složena funkcija?

Zamislite da se selite u drugi stan i zato pakirate stvari u velike kutije. Pretpostavimo da trebate skupiti neke male predmete, na primjer, školski pribor za pisanje. Ako ih samo bacite u golemu kutiju, izgubit će se između ostalog. Da biste to izbjegli, prvo ih stavite, primjerice, u vrećicu, koju zatim stavite u veliku kutiju, nakon čega je zatvorite. Ovaj "složeni" proces prikazan je u dijagramu ispod:

Čini se, kakve veze matematika ima s tim? Da, unatoč činjenici da se složena funkcija formira na POTPUNO ISTI način! Samo što mi ne “pakiramo” bilježnice i olovke, već \(x\), dok su “paketi” i “kutije” različiti.

Na primjer, uzmimo x i "spakirajmo" ga u funkciju:

Kao rezultat, dobivamo, naravno, \(\cos⁡x\). Ovo je naša “vreća sa stvarima”. Sada ga stavimo u "kutiju" - spakirajte ga, na primjer, u kubičnu funkciju.

Što će biti na kraju? Da, tako je, bit će "vreća stvari u kutiji", to jest "kosinus od X na kub."

Rezultirajući dizajn je složena funkcija. U tome se razlikuje od jednostavnog NEKOLIKO “utjecaja” (paketa) primjenjuje se na jedan X u nizu i ispada kao “funkcija iz funkcije” - “ambalaža unutar ambalaže”.

U školskom tečaju postoji vrlo malo vrsta ovih "paketa", samo četiri:

Idemo sada najprije “spakirati” X u eksponencijalna funkcija s bazom 7, a zatim u trigonometrijsku funkciju. Dobivamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sada "spakirajmo" X dvaput u trigonometrijske funkcije, prvo u , a zatim u:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednostavno, zar ne?

Sada sami napišite funkcije, gdje je x:
- prvo se “pakira” u kosinus, a potom u eksponencijalnu funkciju s bazom \(3\);
- prvo na petu potenciju, a zatim na tangentu;
- prvo na logaritam na bazu \(4\) , zatim na stepen \(-2\).

Odgovore na ovaj zadatak potražite na kraju članka.

Možemo li X “spakirati” ne dva, nego tri puta? Nema problema! I četiri, i pet, i dvadeset pet puta. Evo, na primjer, funkcije u kojoj je x "pakiran" \(4\) puta:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ali takve se formule neće naći u školskoj praksi (učenici imaju više sreće - njihova je možda kompliciranija☺).

"Raspakiranje" složene funkcije

Ponovno pogledajte prethodnu funkciju. Možete li shvatiti slijed "pakiranja"? U što se X prvo strpalo, u što onda, i tako do samog kraja. Odnosno, koja je funkcija ugniježđena unutar koje? Uzmite komad papira i zapišite što mislite. To možete učiniti lancem sa strelicama kao što smo gore napisali ili na bilo koji drugi način.

Sada je točan odgovor: prvo je x “upakiran” na \(4\) potenciju, zatim je rezultat upakiran u sinus, a on je pak stavljen u logaritam na bazi \(2\) , a na kraju je cijela ova konstrukcija strpana u power petice.

Odnosno, trebate odmotati niz OBRTNIM REDOSLIJEDOM. A evo savjeta kako to učiniti lakše: odmah pogledajte X - trebali biste zaplesati od njega. Pogledajmo nekoliko primjera.

Na primjer, ovdje je sljedeća funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Gledamo X - što se s njim prvo događa? Uzeto od njega. I onda? Uzima se tangens rezultata. Redoslijed će biti isti:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drugi primjer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizirajmo - prvo smo kubirali X, a zatim uzeli kosinus rezultata. To znači da će niz biti: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Obratite pozornost, čini se da je funkcija slična prvoj (gdje ima slike). Ali ovo je potpuno drugačija funkcija: ovdje u kocki je x (tj. \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tamo u kocki je kosinus \(x\) ( odnosno \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ova razlika proizlazi iz različitih sekvenci "pakiranja".

Posljednji primjer (sa važna informacija u njemu): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je da su ovdje prvo izvršili aritmetičke operacije s x, a zatim uzeli sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to važna točka: unatoč činjenici da aritmetičke operacije nisu funkcije same po sebi, ovdje također djeluju kao način "pakiranja". Zaronimo malo dublje u ovu suptilnost.

Kao što sam rekao gore, u jednostavnim funkcijama x se "pakira" jednom, au složenim funkcijama - dva ili više. Štoviše, svaka kombinacija jednostavnih funkcija (tj. njihov zbroj, razlika, množenje ili dijeljenje) također je jednostavna funkcija. Na primjer, \(x^7\) je jednostavna funkcija, kao i \(ctg x\). To znači da su sve njihove kombinacije jednostavne funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - jednostavno,
\(x^7· cot x\) – jednostavno,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednostavno, itd.

Međutim, ako se na takvu kombinaciju primijeni još jedna funkcija, ona će postati složena funkcija, jer će postojati dva “paketa”. Pogledajte dijagram:

U redu, samo naprijed. Napišite redoslijed funkcija "omatanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori su opet na kraju članka.

Unutarnje i vanjske funkcije

Zašto trebamo razumjeti gniježđenje funkcija? Što nam to daje? Činjenica je da bez takve analize nećemo moći pouzdano pronaći derivacije gore spomenutih funkcija.

A da bismo krenuli dalje trebat će nam još dva pojma: unutarnje i vanjske funkcije. Ovo je vrlo jednostavna stvar, štoviše, zapravo, već smo ih analizirali gore: ako se sjetimo naše analogije na samom početku, onda je unutarnja funkcija "paket", a vanjska funkcija je "kutija". Oni. ono u što je X prvo "zamotan" je interna funkcija, a ono u što je interna funkcija "zamotana" već je vanjsko. Pa jasno je zašto - ona je izvana, znači vanjska.

U ovom primjeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) je interna i
- vanjski.

I u ovom: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je unutarnji, i
- vanjski.

Završite zadnju vježbu analize složenih funkcija i idemo konačno na ono zbog čega smo svi krenuli - pronaći ćemo derivacije složenih funkcija:

Ispunite praznine u tablici:

Derivacija složene funkcije

Bravo za nas, konačno smo došli i do “gazde” ove teme - zapravo izvedenice složene funkcije, konkretno do one strašne formule s početka članka.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ova formula glasi ovako:

Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije vanjske funkcije s obzirom na konstantnu unutarnju funkciju i derivacije unutarnje funkcije.

I odmah pogledajte dijagram raščlanjivanja, prema riječima, kako biste razumjeli što učiniti s čime:

Nadam se da pojmovi "derivat" i "proizvod" neće izazvati poteškoće. “Složena funkcija” - već smo je razvrstali. Kvaka je u "derivaciji vanjske funkcije u odnosu na konstantnu unutarnju funkciju." Što je?

Odgovor: Ovo je uobičajena derivacija vanjske funkcije, u kojoj se mijenja samo vanjska funkcija, a unutarnja ostaje ista. Još uvijek nije jasno? U redu, poslužimo se primjerom.

Neka nam je funkcija \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je da je unutarnja funkcija ovdje \(x^3\), a vanjska
. Nađimo sada izvedenicu eksterijera u odnosu na konstantnu unutrašnjost.