U ovom videu ćemo pogledati cijeli set. linearne jednadžbe, koji se rješavaju istim algoritmom – zato se i nazivaju najjednostavnijima.
Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?
Linearna jednadžba je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stupnju.
Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:
Sve ostale linearne jednadžbe svode se na najjednostavnije pomoću algoritma:
- Otvorene zagrade, ako postoje;
- Pomaknite pojmove koji sadrže varijablu s jedne strane znaka jednakosti, a pojmove bez varijable s druge strane;
- Donesite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
- Dobivenu jednadžbu podijelite s koeficijentom varijable $x$ .
Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da ponekad, nakon svih tih makinacija, koeficijent varijable $x$ ispadne jednak nuli. U ovom slučaju moguće su dvije opcije:
- Jednadžba uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu u nastavku pogledat ćemo nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
- Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednadžba svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, svejedno će ispasti “nula je jednaka nuli”, tj. ispravna brojčana jednakost.
A sada da vidimo kako sve to funkcionira na primjeru stvarnih problema.
Primjeri rješavanja jednadžbi
Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednadžba označava svaku jednakost koja sadrži točno jednu varijablu, a ide samo do prvog stupnja.
Takve konstrukcije rješavaju se približno na isti način:
- Prije svega, morate otvoriti zagrade, ako postoje (kao u našem zadnjem primjeru);
- Zatim donesi slično
- Na kraju, izolirajte varijablu, tj. sve što je povezano s varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostane bez nje prenosi se na drugu stranu.
Zatim, u pravilu, trebate donijeti slično na svakoj strani rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti s koeficijentom na "x", i dobit ćemo konačni odgovor.
U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive pogreške u prilično jednostavnim linearnim jednadžbama. Obično se griješi ili pri otvaranju zagrada, ili pri prebrojavanju "pluseva" i "minusa".
Osim toga, događa se da linearna jednadžba uopće nema rješenja ili da je rješenje cijeli brojevni pravac, tj. bilo koji broj. Analizirat ćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najviše jednostavni zadaci.
Shema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi
Za početak, dopustite mi da još jednom napišem cijelu shemu rješavanja najjednostavnijih linearnih jednadžbi:
- Proširite zagrade, ako postoje.
- Izdvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
- Predstavljamo slične uvjete.
- Sve dijelimo s koeficijentom kod "x".
Naravno, ova shema ne radi uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.
Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi
Zadatak #1
U prvom koraku moramo otvoriti zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: pričamo samo o pojedinim terminima. Idemo pisati:
Slične termine dajemo s lijeve i desne strane, ali to je ovdje već učinjeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: dijelimo s faktorom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Ovdje smo dobili odgovor.
Zadatak #2
U ovom zadatku možemo promatrati zagrade, pa ih proširimo:
I s lijeve i s desne strane vidimo približno istu konstrukciju, ali postupajmo prema algoritmu, tj. varijable sekvestra:
Evo nekih poput:
Na kojim korijenima ovo radi? Odgovor: za bilo koji. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.
Zadatak #3
Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:
\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]
Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ničim ne množe, samo imaju različite znakove ispred sebe. Razdvojimo ih:
Izvodimo drugi korak koji nam je već poznat:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Izračunajmo:
Mi provodimo posljednji korak- podijelite sve s koeficijentom kod "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednadžbi
Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, onda bih želio reći sljedeće:
- Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednadžba rješenje - ponekad jednostavno nema korijena;
- Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - nema ništa loše u tome.
Nula je isti broj kao i ostali, ne biste je trebali nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ste, ako dobijete nulu, učinili nešto pogrešno.
Još jedna značajka povezana je s proširenjem zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotan. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobit ćemo ono što smo vidjeli u gornjim izračunima.
Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i bolne pogreške u srednjoj školi, kada se takve radnje podrazumijevaju.
Rješavanje složenih linearnih jednadžbi
Prijeđimo na više složene jednadžbe. Sada će konstrukcije postati kompliciranije i pojavit će se kvadratna funkcija pri izvođenju raznih transformacija. Međutim, ne biste se trebali bojati toga, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.
Primjer #1
Očito, prvi korak je otvaranje zagrada. Učinimo to vrlo pažljivo:
Pogledajmo sada privatnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Evo nekih poput:
Očito ova jednadžba nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:
\[\raznolikost \]
ili bez korijena.
Primjer #2
Izvodimo iste korake. Prvi korak:
Pomaknimo sve s varijablom ulijevo, a bez nje - udesno:
Evo nekih poput:
Očito, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa je pišemo ovako:
\[\varnothing\],
ili bez korijena.
Nijanse rješenja
Obje jednadžbe su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da i u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve može biti i ne tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju razmatrali smo dvije jednadžbe, u obje jednostavno nema korijena.
Ali želio bih vam skrenuti pozornost na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:
Prije otvaranja potrebno je sve pomnožiti sa "x". Napomena: umnožite svaki pojedini termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i umnožava se.
I tek nakon tih naizgled elementarnih, ali vrlo važnih i opasnih transformacija, može se otvoriti zagrada s gledišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije gotove, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod samo mijenja predznak. U isto vrijeme, sami nosači nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".
Isto radimo s drugom jednadžbom:
Nije slučajno što obraćam pozornost na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Budući da je rješenje jednadžbi uvijek slijed elementarnih transformacija, gdje je nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih koraka dovodi do toga da srednjoškolci dolaze k meni i ponovno uče rješavati tako jednostavne jednadžbe.
Naravno, doći će dan kada ćete te vještine izbrusiti do automatizma. Ne morate više svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom retku. No, dok tek učite, svaku akciju trebate napisati zasebno.
Rješavanje još složenijih linearnih jednadžbi
Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.
Zadatak #1
\[\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:
Napravimo povlačenje:
Evo nekih poput:
Napravimo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Evo našeg konačnog odgovora. I unatoč tome što smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što čini jednadžbu točno linearnom, a ne kvadratnom.
Zadatak #2
\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]
Pažljivo napravimo prvi korak: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno bi se nakon transformacija trebala dobiti četiri nova člana:
A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:
Pomaknimo članove s "x" ulijevo, a bez - udesno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Evo sličnih pojmova:
Dobili smo konačan odgovor.
Nijanse rješenja
Najvažnija primjedba o ove dvije jednadžbe je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade u kojima je više od jednog člana, onda se to radi prema sljedećem pravilu: uzimamo prvi član od prvog i množimo sa svakim elementom iz drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i slično množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobivamo četiri pojma.
Na algebarskom zbroju
U posljednjem primjeru želio bih podsjetiti učenike što je algebarski zbroj. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: sedam oduzimamo od jedan. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, naime "minus sedam". Ovaj algebarski zbroj razlikuje se od uobičajenog aritmetičkog zbroja.
Čim prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.
Zaključno, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.
Rješavanje jednadžbi s razlomkom
Za rješavanje takvih zadataka morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo ću podsjetiti na naš algoritam:
- Otvorene zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slično.
- Podijelite s faktorom.
Nažalost, ovaj prekrasan algoritam, usprkos svoj svojoj učinkovitosti, nije sasvim prikladan kada pred sobom imamo razlomke. A u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i s desne strane u obje jednadžbe.
Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve radnje i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:
- Riješite se razlomaka.
- Otvorene zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slično.
- Podijelite s faktorom.
Što znači "riješiti se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svugdje je nazivnik samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, tada ćemo se riješiti razlomaka.
Primjer #1
\[\frac(\lijevo(2x+1 \desno)\lijevo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]
Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:
\[\frac(\lijevo(2x+1 \desno)\lijevo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\lijevo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Imajte na umu: sve se jednom množi s "četiri", tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku od njih množiti s "četiri". Idemo pisati:
\[\lijevo(2x+1 \desno)\lijevo(2x-3 \desno)=\lijevo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Sada ga otvorimo:
Izvodimo izdvajanje varijable:
Vršimo smanjenje sličnih termina:
\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednadžbu.
Primjer #2
\[\frac(\lijevo(1-x \desno)\lijevo(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]
Ovdje izvodimo sve iste radnje:
\[\frac(\lijevo(1-x \desno)\lijevo(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem riješen.
To je, zapravo, sve što sam danas htio ispričati.
Ključne točke
Ključni nalazi su sljedeći:
- Poznavati algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi.
- Mogućnost otvaranja zagrada.
- Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerojatnije će se u procesu daljnjih transformacija smanjiti.
- Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan korijen, cijeli brojevni pravac je korijen, korijena uopće nema.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za daljnje razumijevanje cijele matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite s nama, čeka vas još puno zanimljivih stvari!
Taj dio jednadžbe je izraz u zagradama. Za otvaranje zagrada pogledajte znak ispred zagrada. Ako postoji znak plus, ništa se neće promijeniti prilikom proširenja zagrada u zapisu izraza: samo uklonite zagrade. Ako postoji predznak minus, prilikom otvaranja zagrada potrebno je sve znakove koji su inicijalno u zagradi promijeniti u suprotne. Na primjer, -(2x-3)=-2x+3.
Množenje dviju zagrada.
Ako jednadžba sadrži umnožak dviju zagrada, proširite zagrade prema standardnom pravilu. Svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade. Dobiveni brojevi se zbrajaju. U ovom slučaju umnožak dva "plus" ili dva "minusa" daje pojmu predznak "plus", a ako faktori imaju različite predznake, tada dobiva predznak "minus".
Smatrati .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Proširivanjem zagrada, ponekad podizanjem izraza na . Formule za dizanje na kvadrat i kocku moraju se znati napamet i zapamtiti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formule za povećanje izraza većeg od tri mogu se napraviti pomoću Pascalovog trokuta.
Izvori:
- formula otvaranja zagrada
U zagradama matematičke operacije može sadržavati varijable i izraze različitim stupnjevima poteškoće. Za množenje takvih izraza morat će se tražiti rješenje u opći pogled, širenje zagrada i pojednostavljenje rezultata. Ako zagrade sadrže operacije bez varijabli, samo sa brojčane vrijednosti, onda nije potrebno otvarati zagrade, jer ako je računalo dostupno korisniku, dostupni su vrlo značajni računalni resursi - lakše ih je koristiti nego pojednostaviti izraz.
Uputa
Uzastopno pomnožite svaki (ili smanjite) sadržan u jednoj zagradi sa sadržajem svih ostalih zagrada ako želite dobiti opći rezultat. Na primjer, neka je izvorni izraz napisan ovako: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tada će uzastopno množenje (tj. širenje zagrada) dati sljedeći rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Pojednostavite nakon rezultata skraćivanjem izraza. Na primjer, izraz dobiven u prethodnom koraku može se pojednostaviti na sljedeći način: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Upotrijebite kalkulator ako trebate pomnožiti x jednako 4,75, odnosno (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Za izračun ove vrijednosti idite na web stranicu tražilice Google ili Nigma i unesite izraz u polje za upit u izvornom obliku (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google će prikazati 82.265625 odmah bez pritiskanja gumba, dok Nigma mora poslati podatke na server pritiskom na gumb.
Sada ćemo samo prijeći na otvaranje zagrada u izrazima u kojima se izraz u zagradama množi s brojem ili izrazom. Formulirajmo pravilo za otvaranje zagrada ispred kojih stoji znak minus: zagrade zajedno sa znakom minus se izostavljaju, a znakovi svih pojmova u zagradama zamjenjuju se suprotnim.
Jedna vrsta transformacije izraza je proširenje zagrada. numerički, doslovni izrazi a izrazi s varijablama sastavljaju se pomoću zagrada koje mogu označavati redoslijed izvođenja radnji, sadržavati negativan broj i sl. Pretpostavimo da u gore opisanim izrazima umjesto brojeva i varijabli mogu biti bilo koji izrazi.
I obratimo pozornost na još jednu točku koja se tiče osobitosti pisanja rješenja prilikom otvaranja zagrada. U prethodnom paragrafu bavili smo se onim što se zove proširenje zagrada. Da biste to učinili, postoje pravila za otvaranje zagrada, koja sada pregledavamo. Ovo pravilo diktira činjenica da je uobičajeno pisati pozitivne brojeve bez zagrada, zagrade u ovom slučaju nisu potrebne. Izraz (−3,7)−(−2)+4+(−9) možemo napisati bez zagrada kao −3,7+2+4−9.
Konačno, treći dio pravila je jednostavno zbog osobitosti notacije negativni brojevi, koji stoji s lijeve strane u izrazu (što smo spomenuli u odjeljku zagrada za pisanje negativnih brojeva). Možete naići na izraze sastavljene od broja, znakova minusa i više parova zagrada. Ako proširite zagrade, krećući se od unutarnjih prema vanjskim, tada će rješenje biti: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.
Kako otvoriti zagrade?
Evo objašnjenja: −(−2 x) je +2 x, a budući da je ovaj izraz prvi, tada se +2 x može napisati kao 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x i −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi dio napisanog pravila za otvaranje zagrada izravno slijedi iz pravila za množenje negativnih brojeva. Drugi dio je posljedica pravila za množenje brojeva sa različite znakove. Prijeđimo na primjere širenja zagrada u umnošcima i kvocijentima dvaju brojeva s različitim predznakom.
Otvaranje zagrada: pravila, primjeri, rješenja.
Gornje pravilo uzima u obzir cijeli lanac ovih radnji i značajno ubrzava proces otvaranja zagrada. Isto pravilo dopušta otvaranje zagrada u izrazima koji su umnošci i privatnim izrazima s predznakom minus koji nisu zbrojevi i razlike.
Razmotrite primjere primjene ovog pravila. Dajemo odgovarajuće pravilo. Gore smo već naišli na izraze oblika −(a) i −(−a), koji se bez zagrada pišu kao −a odnosno a. Na primjer, −(3)=3, i. Ovo su posebni slučajevi navedenog pravila. Sada razmotrite primjere otvaranja zagrada kada su zbrojevi ili razlike u njima. Pokazat ćemo primjere korištenja ovog pravila. Izraz (b1+b2) označimo kao b, nakon čega koristimo pravilo množenja zagrade s izrazom iz prethodnog odlomka, imamo (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.
Indukcijom se ova izjava može proširiti na proizvoljan broj članova u svakoj zagradi. Ostaje otvoriti zagrade u rezultirajućem izrazu, koristeći pravila iz prethodnih paragrafa, kao rezultat, dobivamo 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.
Pravilo u matematici je otvaranje zagrada ako ispred zagrada stoji (+) i (-), vrlo potrebno pravilo
Ovaj izraz je umnožak tri faktora (2+4), 3 i (5+7 8). Zagrade se moraju otvarati uzastopno. Sada koristimo pravilo za množenje zagrade brojem, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Moći čiji su temelji neki izrazi napisani u zagradi, sa prirodni pokazatelji može se smatrati proizvodom nekoliko zagrada.
Na primjer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Prvo ga zapišemo kao umnožak dviju zagrada (a + b + c) (a + b + c), sada pomnožimo zagradu sa zagradom, dobivamo a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.
Također kažemo da je za podizanje zbroja i razlike dvaju brojeva na prirodni potenciranje preporučljivo koristiti Newtonovu binomnu formulu. Na primjer, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ništa manje prikladno je prethodno zamijeniti dijeljenje množenjem, a zatim koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu.
Ostaje shvatiti redoslijed otvaranja zagrada pomoću primjera. Uzmimo izraz (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Zamijenite ove rezultate u izvornom izrazu: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Ostaje samo dovršiti otvaranje zagrada, kao rezultat imamo −5+3 2:4+6 7. To znači da su se pri prelasku s lijeve strane jednakosti na desnu otvorile zagrade.
Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Prvo dodajte 445 na 889. Ova se mentalna radnja može izvesti, ali nije baš laka. Otvorimo zagrade i vidimo da će promijenjeni redoslijed operacija uvelike pojednostaviti izračune.
Kako otvoriti zagrade u različitom stupnju
Ilustrativan primjer i pravilo. Razmotrimo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći zbrajanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem dobivenog broja sa suprotnim predznakom. Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nema dva, nego tri ili više pojmova. Komentar. Predznaci su obrnuti samo ispred pojmova. Da bismo otvorili zagrade, u ovom slučaju moramo se prisjetiti svojstva distributivnosti.
Pojedinačni brojevi u zagradama
Vaša greška nije u znakovima, već u pogrešnom radu s razlomcima? U 6. razredu smo se upoznali s pozitivnim i negativnim brojevima. Kako ćemo rješavati primjere i jednadžbe?
Koliko je u zagradama? Što se može reći o ovim izrazima? Naravno, rezultat prvog i drugog primjera je isti, pa između njih možete staviti znak jednakosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Dakle, što smo učinili sa zagradama?
Demonstracija slajda 6 s pravilima za otvaranje zagrada. Dakle, pravila za otvaranje zagrada pomoći će nam riješiti primjere, pojednostaviti izraze. Zatim se učenici pozivaju na rad u paru: potrebno je strelicama povezati izraz koji sadrži zagrade s odgovarajućim izrazom bez zagrada.
Slide 11 Jednom u Sunčanom gradu, Znayka i Dunno raspravljali su tko je od njih točno riješio jednadžbu. Zatim učenici samostalno rješavaju jednadžbu primjenjujući pravila otvaranja zagrada. Rješavanje jednadžbi ”Ciljevi lekcije: obrazovni (fiksiranje ZUN-ova na temu:“ Otvaranje zagrada.
Tema lekcije: „Otvaranje zagrada. U ovom slučaju morate pomnožiti svaki izraz iz prvih zagrada sa svakim članom iz drugih zagrada i zatim zbrojiti rezultate. Najprije se uzimaju prva dva faktora koji se stavljaju u još jednu zagradu, a unutar tih zagrada otvaraju se zagrade prema jednom od već poznatih pravila.
rawalan.freezeet.ru
Otvaranje zagrade: pravila i primjeri (7. razred)
Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji pri izračunavanju vrijednosti numerički izrazi . Na primjer, u brojevnom izrazu \(5 3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim zbrajanje: \(5 3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\), prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Međutim, ako se bavimo algebarski izraz koji sadrži varijabla- na primjer ovako: \ (2 (x-3) \) - tada je nemoguće izračunati vrijednost u zagradi, varijabla smeta. Stoga se u ovom slučaju zagrade "otvore", koristeći za to odgovarajuća pravila.
Pravila proširenja zagrada
Ako postoji znak plus ispred zagrade, tada se zagrada jednostavno uklanja, izraz u njoj ostaje nepromijenjen. Drugim riječima:
Ovdje je potrebno pojasniti da je u matematici, radi smanjenja unosa, uobičajeno ne pisati znak plus ako je prvi u izrazu. Na primjer, ako zbrojimo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, tada ne pišemo \(+7+3\), već jednostavno \(7+3\), unatoč činjenici da je sedam također pozitivan broj . Slično, ako vidite, na primjer, izraz \((5+x)\) - znajte to postoji plus ispred zagrade, koji se ne piše.
Primjer
. Otvorite zagradu i navedite slične članove: \((x-11)+(2+3x)\).
Riješenje
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ako postoji znak minus ispred zagrade, onda kada se zagrada ukloni, svaki član izraza unutar nje mijenja znak u suprotan:
Ovdje treba pojasniti da je a, dok je stajalo u zagradi, imalo znak plus (samo ga nisu napisali), a nakon uklanjanja zagrade taj plus je prešao u minus.
Primjer
: Pojednostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
Riješenje
: postoje dva člana unutar zagrade: \(-7\) i \(x\), a ispred zagrade je minus. To znači da će se predznaci promijeniti - te će sedam sada biti s plusom, a x s minusom. otvorite zagradu i donijeti slične uvjete .
Primjer.
Proširite zagradu i navedite slične članove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riješenje
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ako ispred zagrade stoji faktor, tada se svaki član zagrade množi s njim, tj.
Primjer.
Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Riješenje
: Imamo \(3\) i \(-x\) u zagradama i peticu ispred zagrada. To znači da se svaki član zagrade množi s \ (5 \) - podsjećam vas na to znak množenja između broja i zagrade u matematici se ne piše da bi se smanjila veličina zapisa.
Primjer.
Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Riješenje
: Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradama množe se s \(-2\).
Ostaje razmotriti posljednju situaciju.
Prilikom množenja zagrade po zagradu, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge:
Primjer.
Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Riješenje
: Imamo proizvod zagrada i može se odmah otvoriti pomoću gornje formule. Ali kako se ne bi zbunili, učinimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklanjamo prvu zagradu - svaki njen član pomnožen je drugom zagradom:
Korak 2. Proširite proizvode nosača faktorom kao što je gore opisano:
- prva prva...
Korak 3. Sada množimo i donosimo slične članove:
Nije potrebno detaljno slikati sve transformacije, možete ih odmah umnožiti. Ali ako tek učite otvarati zagrade - pišite detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.
Napomena za cijeli odjeljak. Zapravo, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, trebate zapamtiti samo jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobivamo pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobit ćemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.
zagrada unutar zagrade
Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).
Da biste bili uspješni u ovim zadacima, trebate:
- pažljivo razumjeti ugniježđenost zagrada - koja je u kojoj;
- otvorite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutarnje.
Važno je kada otvarate jednu od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jest.
Uzmimo gornji zadatak kao primjer.
Primjer.
Otvorite zagrade i navedite slične izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riješenje:
Započnimo zadatak otvaranjem unutarnjeg nosača (onog unutra). Otvarajući ga, bavimo se samo činjenicom da je izravno povezan s njim - ovo je sama zagrada i minus ispred nje (označeno zelenom bojom). Sve ostalo (neodabrano) prepisuje se onako kako je bilo.
Rješavanje zadataka iz matematike online
Online kalkulator.
Pojednostavljenje polinoma.
Množenje polinoma.
S ovim matematičkim programom možete pojednostaviti polinom.
Dok program radi:
- množi polinome
- zbraja monome (daje slične jedinice)
- otvara zagrade
- Diže polinom na potenciju
Program za pojednostavljenje polinoma ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješavanja kako biste mogli provjeriti svoje znanje iz matematike i/ili algebre.
Ovaj program može biti koristan za studente općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.
Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili svoju obuku mlađa braća ili sestara, dok se povećava stupanj obrazovanja u području zadataka koji se rješavaju.
Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekundu.
Malo teorije.
Umnožak monoma i polinoma. Pojam polinoma
Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, važno mjesto su sume monoma. Evo primjera takvih izraza:
Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi u polinomu nazivaju se članovima polinoma. Monomi se također nazivaju polinomi, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.
Sve članove predstavljamo kao monome standardnog oblika:
Dajemo slične članove u rezultirajućem polinomu:
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika i među njima nema sličnih. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.
Iza polinomski stupanj standardnom obliku preuzimaju najveće ovlasti svojih članova. Dakle, binom ima treći stupanj, a trinom drugi.
Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu poredani silaznim redoslijedom njezinih eksponenata. Na primjer:
Zbroj nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostavljeno) u polinom standardnog oblika.
Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u skupine, stavljajući svaku skupinu u zagrade. Budući da su zagrade suprotne zagradama, lako ih je formulirati pravila otvaranja zagrada:
Ako se ispred zagrada nalazi znak +, onda se pojmovi u zagradama pišu s istim predznacima.
Ako se ispred zagrada nalazi znak "-", tada se pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.
Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma
Koristeći svojstvo distribucije množenja, može se transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
Umnožak monoma i polinoma identički je jednak zbroju umnožaka tog monoma i svakog člana polinoma.
Ovaj se rezultat obično formulira kao pravilo.
Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je pomnožiti taj monom sa svakim članom polinoma.
Više puta smo koristili ovo pravilo za množenje zbrojem.
Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma
Općenito, umnožak dvaju polinoma identički je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog.
Obično koristite sljedeće pravilo.
Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i zbrojiti dobivene umnoške.
Formule skraćenog množenja. Zbroj, razlika i kvadrati razlike
Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se raditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi i, odnosno kvadrat zbroja, kvadrat razlike i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, pa, na primjer, - ovo, naravno, nije samo kvadrat zbroja, već kvadrat zbroja a i b. Međutim, kvadrat zbroja a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.
Izraze je lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, zapravo, već ste se susreli s takvim zadatkom pri množenju polinoma:
Dobivene identitete korisno je zapamtiti i primijeniti bez posrednih izračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.
je kvadrat zbroja jednak je zbroju kvadrati i dvostruki proizvod.
- kvadrat razlike jednak je zbroju kvadrata bez dvostrukog umnoška.
- razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.
Ova tri identiteta dopuštaju u transformacijama zamjenu svojih lijevih dijelova desnima i obrnuto - desnih dijelova lijevim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti što su varijable a i b zamijenjene u njima. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja formula za skraćeno množenje.
Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova Online igre, zagonetke Grafički prikaz funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Imenik ruskih škola Imenik srednjih škola u Rusiji Katalog sveučilišta u Rusiji Popis zadataka Pronalaženje GCD i LCM brojčani razlomci Rješavanje problema za postotke Kompleksni brojevi: zbroj, razlika, umnožak i kvocijent Sustavi 2 linearne jednadžbe s dvije varijable Rješenje kvadratna jednadžba Odabir kvadrata binoma i faktorizacija kvadratnog trinoma Rješavanje nejednadžbi Rješavanje sustava nejednadžbi Crtanje grafa kvadratna funkcija Crtanje linearno-frakcijske funkcije Rješavanje aritmetičke i geometrijska progresija Rješavanje trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamske jednadžbe Računanje limesa, derivacije, tangente Integral, antiderivacija Rješavanje trokuta Računanje akcija s vektorima Računanje akcija s pravcima i ravninama Površina geometrijskih oblika Opseg geometrijskih oblika Volumen geometrijskih tijela Površina geometrijskih tijela
Konstruktor prometnih situacija
Vrijeme - vijesti - horoskop
www.mathsolution.ru
Proširenje nosača
Nastavljamo proučavati osnove algebre. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako otvoriti zagrade u izrazima. Proširiti zagrade znači osloboditi izraz tih zagrada.
Da biste otvorili zagrade, morate naučiti napamet samo dva pravila. Redovitom vježbom možete otvoriti zagrade s zatvorenih očiju, a ona pravila koja je trebalo zapamtiti mogu se sigurno zaboraviti.
Prvo pravilo proširenja zagrada
Razmotrite sljedeći izraz:
Vrijednost ovog izraza je 2 . Otvorimo zagrade u ovom izrazu. Proširiti zagrade znači riješiti ih se bez utjecaja na značenje izraza. To jest, nakon uklanjanja zagrada, vrijednost izraza 8+(−9+3) i dalje treba biti jednako dva.
Prvo pravilo proširenja zagrada izgleda ovako:
Pri otvaranju zagrada, ako ispred zagrada stoji plus, onda se taj plus izostavlja zajedno sa zagradama.
Dakle, to vidimo u izrazu 8+(−9+3) ima plus ispred zagrada. Ovaj plus mora biti izostavljen zajedno sa zagradama. Drugim riječima, zagrade će nestati zajedno s plusom koji je stajao ispred njih. A ono što je bilo u zagradi bit će napisano nepromijenjeno:
8−9+3 . Ovaj izraz je jednak 2 , kao što je prethodni izraz u zagradama bio jednak 2 .
8+(−9+3) I 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Primjer 2 Proširite zagrade u izrazu 3 + (−1 − 4)
Ispred zagrade je plus, pa se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradom. Ono što je bilo u zagradi ostat će nepromijenjeno:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 2 + (−1)
U ovom primjeru, širenje zagrada postalo je vrsta obratne operacije zamjene oduzimanja zbrajanjem. Što to znači?
U izrazu 2−1 dolazi do oduzimanja, ali se može zamijeniti zbrajanjem. Onda ste dobili izraz 2+(−1) . Ali ako u izrazu 2+(−1) otvorite zagrade, dobit ćete original 2−1 .
Stoga se pravilo proširenja prve zagrade može koristiti za pojednostavljenje izraza nakon nekih transformacija. Odnosno, oslobodite ga zagrada i olakšajte ga.
Na primjer, pojednostavimo izraz 2a+a−5b+b .
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove. Podsjetimo se da za smanjenje sličnih izraza trebate zbrojiti koeficijente sličnih izraza i pomnožiti rezultat sa zajedničkim slovom:
Imam izraz 3a+(−4b). U ovom izrazu otvorite zagrade. Ispred zagrada stoji plus, pa koristimo prvo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno s plusom koji dolazi ispred ovih zagrada:
Dakle izraz 2a+a−5b+b pojednostavljeno na 3a−4b .
Nakon otvaranja jedne zagrade, druge se mogu sresti na putu. Na njih primjenjujemo ista pravila kao i na prve. Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu:
Postoje dva mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. U ovom slučaju vrijedi prvo pravilo za proširenje zagrada, naime, izostavljanje zagrada zajedno s plusom koji dolazi ispred tih zagrada:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 6+(−3)+(−2)
Na oba mjesta gdje postoje zagrade ispred njih stoji znak plus. I ovdje se primjenjuje prvo pravilo proširenja zagrada:
Ponekad se prvi pojam u zagradi piše bez znaka. Na primjer, u izrazu 1+(2+3−4) prvi izraz u zagradama 2 napisano bez znaka. Postavlja se pitanje koji će znak doći ispred dvojke nakon izostavljanja zagrada i plusa ispred zagrada? Odgovor se sam nameće - bit će plus ispred dvojke.
Zapravo, čak i ako je u zagradama, postoji plus ispred dvojke, ali ga ne vidimo jer nije zapisan. Već smo rekli da potpuni zapis pozitivnih brojeva izgleda ovako +1, +2, +3. Ali plusevi se tradicionalno ne zapisuju, zbog čega vidimo pozitivne brojeve koji su nam poznati. 1, 2, 3 .
Stoga, za otvaranje zagrada u izrazu 1+(2+3−4) , trebate izostaviti zagrade kao i obično zajedno s plusom ispred ovih zagrada, ali napišite prvi pojam koji je bio u zagradama sa znakom plus:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Primjer 4 Proširite zagrade u izrazu −5 + (2 − 3)
Ispred zagrada je plus, pa primjenjujemo prvo pravilo za otvaranje zagrada, naime izostavljamo zagrade zajedno s plusom koji dolazi ispred tih zagrada. Ali prvi izraz, koji je napisan u zagradama sa znakom plus:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Primjer 5 Proširite zagrade u izrazu (−5)
Ispred zagrade stoji plus, ali se ne piše jer prije njega nije bilo drugih brojeva ili izraza. Naš zadatak je ukloniti zagrade primjenom prvog pravila za proširenje zagrada, naime izostavljanjem zagrada uz ovaj plus (čak i ako je nevidljiv)
Primjer 6 Proširite zagrade u izrazu 2a + (−6a + b)
Ispred zagrade je plus, pa se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradom. Ono što je bilo u zagradi bit će napisano nepromijenjeno:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Primjer 7 Proširite zagrade u izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
U ovom izrazu postoje dva mjesta gdje trebate otvoriti zagrade. U oba odjeljka ispred zagrada stoji plus, što znači da je taj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradi bit će napisano nepromijenjeno:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Drugo pravilo za otvaranje zagrada
Sada pogledajmo drugo pravilo proširenja zagrada. Koristi se kada ispred zagrada stoji minus.
Ako ispred zagrada stoji minus, onda se taj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali pojmovi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan.
Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu
Vidimo da prije zagrada stoji minus. Dakle, morate primijeniti drugo pravilo proširenja, naime, izostaviti zagrade zajedno s minusom ispred tih zagrada. U tom će slučaju pojmovi koji su bili u zagradi promijeniti predznak u suprotan:
Dobili smo izraz bez zagrada 5+2+3 . Ovaj izraz je jednak 10, kao što je prethodni izraz sa zagradama bio jednak 10.
Dakle, između izraza 5−(−2−3) I 5+2+3 možete staviti znak jednakosti, jer su jednaki istoj vrijednosti:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Primjer 2 Proširite zagrade u izrazu 6 − (−2 − 5)
Ispred zagrada je minus, pa primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada, naime izostavljamo zagrade zajedno s minusom koji dolazi ispred tih zagrada. U ovom slučaju pojmovi koji su bili u zagradama pišu se sa suprotnim predznakom:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)
Ispred zagrada je minus, pa primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada:
Primjer 4 Proširite zagrade u izrazu −(−3 + 4)
Primjer 5 Proširite zagrade u izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Postoje dva mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. U prvom slučaju trebate primijeniti drugo pravilo za otvaranje zagrada, a kada dođe red na izraz +(−9−2) morate primijeniti prvo pravilo:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Primjer 6 Proširite zagrade u izrazu −(−a−1)
Primjer 7 Proširite zagrade u izrazu −(4a + 3)
Primjer 8 Proširite zagrade u izrazu a −(4b + 3) + 15
Primjer 9 Proširite zagrade u izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Postoje dva mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. U prvom slučaju morate primijeniti prvo pravilo za proširenje zagrada, a kada dođe red na izraz −(3c+5) morate primijeniti drugo pravilo:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Primjer 10 Proširite zagrade u izrazu -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Postoje tri mjesta na kojima trebate proširiti zagrade. Prvo morate primijeniti drugo pravilo za proširenje zagrada, zatim prvo, pa opet drugo:
-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Mehanizam proširenja zagrada
Pravila za otvaranje zagrada, koja smo sada razmotrili, temelje se na distributivnom zakonu množenja:
Zapravo otvaranje zagrada nazovite postupak kada se zajednički faktor pomnoži sa svakim članom u zagradi. Kao rezultat takvog množenja, zagrade nestaju. Na primjer, proširimo zagrade u izrazu 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Stoga, ako trebate pomnožiti broj s izrazom u zagradama (ili pomnožiti izraz u zagradama s brojem), trebate reći otvorite zagrade.
Ali kako je distribucijski zakon množenja povezan s pravilima za otvaranje zagrada koje smo ranije razmatrali?
Činjenica je da prije svake zagrade postoji zajednički faktor. U primjeru 3×(4+5) zajednički faktor je 3 . I u primjeru a(b+c) zajednički faktor je varijabla a.
Ako ispred zagrada nema brojeva ili varijabli, onda je zajednički faktor 1 ili −1 , ovisno o tome koji znak dolazi ispred zagrada. Ako ispred zagrada stoji plus, onda je zajednički faktor 1 . Ako prije zagrada stoji minus, onda je zajednički faktor −1 .
Na primjer, proširimo zagrade u izrazu −(3b−1). Ispred zagrada je minus, pa treba koristiti drugo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostaviti zagrade zajedno s minusom ispred zagrada. A izraz koji je bio u zagradama napišite sa suprotnim predznacima:
Proširili smo zagrade pomoću pravila proširenja zagrada. Ali te iste zagrade mogu se otvoriti korištenjem distributivnog zakona množenja. Da bismo to učinili, prvo ispred zagrada napišemo zajednički faktor 1 koji nije zapisan:
Minus koji je stajao ispred zagrade odnosio se na ovu jedinicu. Sada možete otvoriti zagrade primjenom distribucijskog zakona množenja. Za ovo, zajednički faktor −1 trebate pomnožiti sa svakim izrazom u zagradama i zbrojiti rezultate.
Radi praktičnosti, razliku u zagradama zamjenjujemo zbrojem:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Kao i prošli put, dobili smo izraz −3b+1. Svi će se složiti da je ovoga puta više vremena utrošeno na rješavanje tako jednostavnog primjera. Stoga je razumnije koristiti gotova pravila za otvaranje zagrada, koja smo razmotrili u ovoj lekciji:
Ali ne škodi znati kako ta pravila funkcioniraju.
U ovoj lekciji smo naučili još jednu identičnu transformaciju. Zajedno s otvaranjem zagrada, izbacivanjem općeg iz zagrade i donošenjem sličnih pojmova, moguće je malo proširiti raspon zadataka koje treba riješiti. Na primjer:
Ovdje morate izvršiti dvije radnje - prvo otvoriti zagrade, a zatim donijeti slične uvjete. Dakle, redom:
1) Proširite zagrade:
2) Dajemo slične uvjete:
U dobivenom izrazu −10b+(−1) možete otvoriti zagrade:
Primjer 2 Otvorite zagrade i dodajte slične termine u sljedeći izraz:
1) Proširite zagrade:
2) Predstavljamo slične uvjete. Ovaj put, radi uštede vremena i prostora, nećemo zapisivati kako se koeficijenti množe zajedničkim slovnim dijelom
Primjer 3 Pojednostavite izraz 8m+3m i pronađite njegovu vrijednost na m=−4
1) Najprije pojednostavimo izraz. Da pojednostavimo izraz 8m+3m, možete ukloniti zajednički faktor u njemu m za zagrade:
2) Odredi vrijednost izraza m(8+3) na m=−4. Za ovo, u izrazu m(8+3) umjesto varijable m zamijeniti broj −4
m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji pri izračunavanju vrijednosti. Na primjer, u brojevnom izrazu \(5 3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim zbrajanje: \(5 3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\), prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Primjer.
Proširite zagradu: \(-(4m+3)\).
Riješenje
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Primjer.
Proširite zagradu i navedite slične članove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riješenje
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Primjer.
Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Riješenje
: Imamo \(3\) i \(-x\) u zagradi, a pet ispred zagrade. To znači da se svaki član zagrade množi s \ (5 \) - podsjećam vas na to znak množenja između broja i zagrade u matematici se ne piše da bi se smanjila veličina zapisa.
Primjer.
Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Riješenje
: Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradama množe se s \(-2\).
Primjer.
Pojednostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Riješenje
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Ostaje razmotriti posljednju situaciju.
Prilikom množenja zagrade po zagradu, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Primjer.
Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Riješenje
: Imamo proizvod zagrada i može se odmah otvoriti pomoću gornje formule. Ali kako se ne bi zbunili, učinimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - svaki njen član pomnožen je s drugom zagradom:
Korak 2. Proširite proizvode nosača faktorom kao što je gore opisano:
- prva prva...
Zatim drugi.
Korak 3. Sada množimo i donosimo slične članove:
Nije potrebno detaljno slikati sve transformacije, možete ih odmah umnožiti. Ali ako tek učite otvarati zagrade - pišite detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.
Napomena za cijeli odjeljak. Zapravo, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, trebate zapamtiti samo jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobivamo pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobit ćemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.
zagrada unutar zagrade
Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).
Da biste bili uspješni u ovim zadacima, trebate:
- pažljivo razumjeti ugniježđenost zagrada - koja je u kojoj;
- otvorite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutarnje.
Važno je kada otvarate jednu od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jest.
Uzmimo gornji zadatak kao primjer.
Primjer.
Otvorite zagrade i navedite slične izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riješenje:
Primjer.
Raširite zagrade i dajte slične članove \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Riješenje
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Ovo je trostruko ugniježđenje zagrada. Počinjemo s najnutarnjim (označeno zelenom bojom). Ispred zagrade stoji plus, pa se jednostavno uklanja. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Sada morate otvoriti drugi nosač, srednji. Ali prije toga, pojednostavit ćemo izraz tako što ćemo slične izraze ubaciti u ovu drugu zagradu. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Sada otvaramo drugu zagradu (označenu plavom bojom). Ispred zagrade je množitelj - tako da se svaki član u zagradi množi s njim. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
I otvorite zadnju zagradu. Ispred zagrade minus - dakle svi predznaci su obrnuti. |
||
Otvaranje zagrada je osnovna vještina u matematici. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad tri u 8. i 9. razredu. Stoga preporučujem dobro razumijevanje ove teme.
A + (b + c) može se napisati bez zagrada: a + (b + c) \u003d a + b + c. Ova se operacija naziva proširenje zagrada.
Primjer 1 Otvorimo zagrade u izrazu a + (- b + c).
Riješenje. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
Ako postoji znak “+” ispred zagrada, tada možete izostaviti zagrade i ovaj znak “+”, zadržavajući znakove pojmova u zagradama. Ako je prvi pojam u zagradama napisan bez znaka, tada se mora pisati sa znakom “+”.
Primjer 2 Nađimo vrijednost izraza -2,87+ (2,87-7,639).
Riješenje. Otvaranjem zagrada dobivamo - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.
Da biste pronašli vrijednost izraza - (- 9 + 5), morate dodati brojevima-9 i 5 i pronađite broj nasuprot primljenom iznosu: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Ista se vrijednost može dobiti na drugačiji način: prvo zapišite brojeve nasuprot ovim pojmovima (tj. promijenite im predznake), a zatim zbrojite: 9 + (- 5) = 4. Dakle, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Za pisanje zbroja nasuprot zbroju više članova potrebno je tim članovima promijeniti predznake.
Dakle - (a + b) \u003d - a - b.
Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 16 - (10 -18 + 12).
Riješenje. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Da biste otvorili zagrade ispred kojih stoji znak “-”, potrebno je taj znak zamijeniti sa “+”, mijenjajući znakove svih izraza u zagradama u suprotne, a zatim otvoriti zagrade.
Primjer 4 Nađimo vrijednost izraza 9,36-(9,36 - 5,48).
Riješenje. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.
Otvaranje zagrada i upotreba svojstava komutativnosti i asocijativnosti dodaci olakšati izračune.
Primjer 5 Pronađite vrijednost izraza (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Riješenje. Prvo otvaramo zagrade, a zatim nalazimo posebno zbroj svih pozitivnih, a posebno zbroj svih negativnih brojeva i na kraju zbrajamo rezultate:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Primjer 6 Pronađite vrijednost izraza
Riješenje. Prvo svaki član predstavljamo kao zbroj njihovih cijelih i razlomljenih dijelova, zatim otvaramo zagrade, zatim zbrajamo cijeli i zasebno frakcijski dijelove i na kraju sumiramo rezultate:
Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "+"? Kako možete pronaći vrijednost izraza koji je suprotan zbroju nekoliko brojeva? Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "-"?
1218. Raširi zagrade:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Odredi vrijednost izraza:
1220. Raširi zagrade:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a+ (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Raširi zagrade i pronađi vrijednost izraza:
1222. Pojednostavite izraz:
1223. Napiši iznos dva izraza i pojednostavite ih:
a) - 4 - m i m + 6,4; d) a + b i p - b
b) 1,1+a i -26-a; e) - m + n i -k - n;
c) a + 13 i -13 + b; e) m - n i n - m.
1224. Napiši razliku dvaju izraza i pojednostavni je:
1226. Pomoću jednadžbe riješite zadatak:
a) Na jednoj polici su 42 knjige, a na drugoj 34. S druge police nekoliko je knjiga maknuto, a s prve koliko ih je ostalo na drugoj. Nakon toga je na prvoj polici ostalo 12 knjiga. Koliko je knjiga uzeto s druge police?
b) U prvom razredu ima 42 učenika, u drugom 3 učenika manje nego u trećem. Koliko je učenika trećeg razreda ako u ova tri razreda ima 125 učenika?
1227. Odredi vrijednost izraza:
1228. Izračunaj usmeno:
1229. Nađi najveća vrijednost izrazi:
1230. Unesite 4 uzastopna cijela broja ako:
a) manji od njih je jednak -12; c) manji od njih je jednak n;
b) veći od njih je jednak -18; d) veći od njih jednak je k.
