S ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jedna varijabla f(x) s dizajnom rješenja u Wordu. Ako je dana funkcija f(x,y), dakle, potrebno je pronaći ekstremum funkcije dviju varijabli. Također možete pronaći intervale povećanja i smanjenja funkcije.
Pravila unosa funkcija:
Nužan uvjet za ekstrem funkcije jedne varijable
Jednadžba f" 0 (x *) = 0 je nužan uvjet ekstrem funkcije jedne varijable, tj. u točki x * prva derivacija funkcije mora nestati. Odabire stacionarne točke x c u kojima funkcija ne raste ili opada.Dovoljan uvjet za ekstrem funkcije jedne varijable
Neka je f 0 (x) dvostruko diferencijabilan u odnosu na x koji pripada skupu D . Ako je u točki x * ispunjen uvjet:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Tada je točka x * točka lokalnog (globalnog) minimuma funkcije.
Ako je u točki x * ispunjen uvjet:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Ta točka x * je lokalni (globalni) maksimum.
Primjer #1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu .
Riješenje. 
Kritična točka je jedan x 1 = 2 (f'(x)=0). Ova točka pripada segmentu . (Točka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj točki.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 za x=2; f max =9 pri x=1
Primjer #2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Riješenje.
Nađite derivaciju funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y''=2sin(x), izračunavamo, pa je x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne točke funkcije; 
, pa je x=- π / 3 +2πk, k∈Z maksimalne točke funkcije.
Primjer #3. Istražite funkciju ekstrema u okolici točke x=0.
Riješenje. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0 , tada saznajte njegovu vrstu (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim točkama nema x = 0, izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Treba primijetiti da kada derivacija sa svake strane dane točke ne mijenja svoj predznak, moguće situacije nisu iscrpljene čak ni za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malu okolinu s jedne strane točke x 0 ili s obje strane izvod mijenja predznak. U tim točkama treba primijeniti druge metode za ekstremno proučavanje funkcija.
Standardni algoritam za rješavanje takvih zadataka uključuje, nakon pronalaženja nula funkcija, određivanje predznaka derivacije na intervalima. Zatim se izračunavaju vrijednosti na pronađenim točkama maksimuma (ili minimuma) i na granici intervala, ovisno o tome koje je pitanje u uvjetu.
Savjetujem vam da stvari radite malo drugačije. Zašto? Pisao o tome.
Predlažem rješavanje takvih zadataka na sljedeći način:
1. Nađi izvod.
2. Nađi nulte točke izvoda.
3. Odredi koji od njih pripadaju zadanom intervalu.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije na granicama intervala i točaka točke 3.
5. Izvodimo zaključak (odgovaramo na postavljeno pitanje).
U tijeku rješavanja prikazanih primjera rješenje se nije detaljnije razmatralo. kvadratne jednadžbe, trebali biste to moći učiniti. Također bi trebali znati.
Razmotrite primjere:
77422. Odredi najveću vrijednost funkcije y=x 3 –3x+4 na segmentu [–2;0].
Nađimo nule derivacije:
Točka x = –1 pripada intervalu navedenom u uvjetu.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u točkama –2, –1 i 0:
Najveća vrijednost funkcije je 6.
Odgovor: 6
77425. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmentu.
Nađi izvod zadane funkcije:
Nađimo nule derivacije:
Točka x = 2 pripada intervalu navedenom u uvjetu.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u točkama 1, 2 i 4:
Najmanja vrijednost funkcije je -2.
Odgovor: -2
77426. Pronađite najveću vrijednost funkcije y \u003d x 3 - 6x 2 na segmentu [-3; 3].
Nađi izvod zadane funkcije:
Nađimo nule derivacije:
Točka x = 0 pripada intervalu navedenom u uvjetu.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u točkama –3, 0 i 3:
Najmanja vrijednost funkcije je 0.
Odgovor: 0
77429. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmentu.
Nađi izvod zadane funkcije:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Dobivamo korijene: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Samo x = 1 pripada intervalu navedenom u uvjetu.
Pronađite vrijednosti funkcije u točkama 1 i 4:
Utvrdili smo da je najmanja vrijednost funkcije 3.
Odgovor: 3
77430. Pronađite najveću vrijednost funkcije y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmentu [- 4; -1].
Nađi izvod zadane funkcije:
Pronađite nulte točke derivacije, riješite kvadratnu jednadžbu:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Uzmimo korijene:
Korijen h = –1 pripada intervalu navedenom u uvjetu.
Pronađite vrijednosti funkcije u točkama –4, –1, –1/3 i 1:
Otkrili smo da je najveća vrijednost funkcije 3.
Odgovor: 3
77433. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmentu.
Nađi izvod zadane funkcije:
Pronađite nulte točke derivacije, riješite kvadratnu jednadžbu:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Uzmimo korijene:
Korijen x = 4 pripada intervalu navedenom u uvjetu.
Nalazimo vrijednosti funkcije u točkama 0 i 4:
Utvrdili smo da je najmanja vrijednost funkcije -109.
Odgovor: -109
Razmotrite metodu za određivanje najvećeg i najmanja vrijednost funkcije bez izvoda. Ovaj pristup se može koristiti ako s definicijom derivata imate veliki problemi. Princip je jednostavan - zamijenimo sve cjelobrojne vrijednosti iz intervala u funkciju (činjenica je da je u svim takvim prototipovima odgovor cijeli broj).
77437. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmentu [-2; 2].
Zamjenjujemo točke od -2 do 2: Pogledaj rješenje
77434. Pronađite najveću vrijednost funkcije y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmentu [-2; 0].
To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.
Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo slijedimo dobro poznati algoritam:
1 . Nalazimo ODZ funkcije.
2 . Pronalaženje derivacije funkcije
3 . Derivaciju izjednačiti s nulom
4 . Nađemo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih odredimo intervale porasta i opadanja funkcije:
Ako je na intervalu I izvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I izvod funkcije , tada funkcija smanjuje u ovom intervalu.
5 . Pronašli smo maksimalne i minimalne točke funkcije.
U točka maksimuma funkcije, derivacija mijenja predznak iz "+" u "-".
U minimalna točka funkcijederivat mijenja predznak iz "-" u "+".
6 . Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu maksimalnim točkama, te odaberite najveću od njih ako želite pronaći najveću vrijednost funkcije
- ili uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu točkama minimuma, te odaberite najmanji od njih ako želite pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na intervalu, ovaj se algoritam može znatno reducirati.
Razmotrite funkciju 
. Graf ove funkcije izgleda ovako:
Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja problema iz Open Task Bank za
1 . Zadatak B15 (#26695)
Na rezu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očito, ova jednadžba nema rješenja, a derivacija je pozitivna za sve vrijednosti x. Dakle, funkcija raste i najveću vrijednost poprima na desnom kraju intervala, odnosno pri x=0.
Odgovor: 5.
2 . Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivacija je nula na , ali u ovim točkama ne mijenja predznak:
Prema tome, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bismo pojasnili zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za derivaciju na sljedeći način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3 . Zadatak B15 (#26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na intervalu .
1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijsku kružnicu.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u točki x=0: 
. Pri prolasku kroz točke i derivacija mijenja predznak.
Oslikajmo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očito, točka je minimalna točka (gdje derivacija mijenja predznak s "-" na "+"), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na intervalu, morate usporediti vrijednosti funkcije u minimalnoj točki i na lijevom kraju segmenta, .
U ovom ću članku govoriti o algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcija, točke minimuma i maksimuma.
Iz teorije, svakako će nam trebati tablica izvedenica I pravila razlikovanja. Sve je na ovoj ploči:
Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.
Lakše mi je objasniti konkretan primjer. Smatrati:
Primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].
Korak 1. Uzimamo izvedenicu.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Korak 2 Pronalaženje ekstremnih točaka.
ekstremna točka imenujemo takve točke u kojima funkcija postiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost.
Da bismo pronašli točke ekstrema, potrebno je izjednačiti derivaciju funkcije s nulom (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Sada rješavamo ovu bikvadratnu jednadžbu i pronađeni korijeni su naše točke ekstrema.
Takve jednadžbe rješavam zamjenom t = x^2, zatim 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Smanjimo jednadžbu za 5, dobivamo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Napravimo obrnutu zamjenu x^2 = t:
X_(1 i 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (isključujemo, ispod korijena ne može biti negativni brojevi(osim, naravno, ako ne govorimo o kompleksnim brojevima)
Ukupno: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - ovo su naše točke ekstrema.
3. korak Odredi najveću i najmanju vrijednost.
Metoda zamjene.
U uvjetu smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 nije uključena u ovaj segment. Dakle, ne uzimamo u obzir. Ali osim točke x=-1, trebamo razmotriti i lijevo i desna granica našeg segmenta, to jest, točke -4 i 0. Da bismo to učinili, zamijenimo sve te tri točke u izvornu funkciju. Primijetite da je izvorni onaj dan u uvjetu (y=x^5+20x^3–65x), neki počinju zamjenjivati u izvedenicu...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To znači da je najveća vrijednost funkcije [b]44 i postiže se u točkama [b]-1, što se naziva točka maksimuma funkcije na segmentu [-4; 0].
Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Ne misliš li da je brojanje y(-4) nekako previše komplicirano? U uvjetima ograničenog vremena, bolje je koristiti drugu metodu, ja je zovem ovako:
Kroz intervale postojanosti.
Ove praznine nalaze se za derivaciju funkcije, odnosno za našu bikvadratnu jednadžbu.
Ja to radim na sljedeći način. Crtam smjernu liniju. Postavio sam točke: -4, -1, 0, 1. Unatoč činjenici da 1 nije uključen u zadani segment, ipak ga treba zabilježiti kako bi se ispravno odredili intervali konstantnosti. Uzmimo neki broj mnogo puta veći od 1, recimo 100, mentalno ga zamijenimo u našu bikvadratnu jednadžbu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Čak i bez brojanja bilo čega, postaje očito da u točki 100 funkcija ima znak plus. To znači da za intervale od 1 do 100 ima predznak plus. Prolaskom kroz 1 (idemo s desna na lijevo) funkcija će promijeniti predznak u minus. Kada prolazi kroz točku 0, funkcija će zadržati svoj predznak, jer je to samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Kada prođe kroz -1, funkcija će ponovno promijeniti predznak u plus.
Iz teorije znamo gdje je derivacija funkcije (i to smo nacrtali za nju) mijenja predznak s plusa na minus (točka -1 u našem slučaju) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44 kako je ranije izračunato) na ovom segmentu (ovo je logički vrlo jasno, funkcija je prestala rasti, jer je dosegla svoj maksimum i počela se smanjivati).
Prema tome, gdje je izvod funkcije mijenja predznak iz minusa u plus, postignuto lokalni minimum funkcije. Da, da, također smo pronašli lokalnu minimalnu točku, koja je 1, a y(1) je minimalna vrijednost funkcije na intervalu, recimo od -1 do +∞. Napominjemo da je ovo samo LOKALNI MINIMUM, odnosno minimum na određenom segmentu. Budući da će stvarni (globalni) minimum funkcije doseći negdje tamo, u -∞.
Po mom mišljenju, prvi je način teoretski jednostavniji, a drugi je računski jednostavniji, ali teorijski mnogo teži. Uostalom, ponekad ima slučajeva da funkcija ne promijeni predznak pri prolasku kroz korijen jednadžbe, i doista se možete zbuniti s tim lokalnim, globalnim maksimumima i minimumima, iako ćete to ionako morati dobro savladati ako planirate za upis na tehničko sveučilište (a zašto inače polagati profilni ispit i riješiti ovaj zadatak). Ali praksa i samo praksa će vas naučiti kako riješiti takve probleme jednom zauvijek. I možete trenirati na našoj web stranici. ovdje .
Ako imate pitanja, ili nešto nije jasno, svakako pitajte. Rado ću vam odgovoriti, te napraviti izmjene, dopune članka. Ne zaboravite da ovu stranicu radimo zajedno!
Često se u fizici i matematici traži pronaći najmanju vrijednost funkcije. Kako to učiniti, sada ćemo reći.
Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije: upute
- Za izračunavanje najmanje vrijednosti kontinuirana funkcija na određenom segmentu morate slijediti sljedeći algoritam:
- Pronađite izvod funkcije.
- Odredite na zadanom segmentu točke u kojima je derivacija jednaka nuli, kao i sve kritične točke. Zatim saznajte vrijednosti funkcije u tim točkama, odnosno riješite jednadžbu u kojoj je x jednak nuli. Saznajte koja je od vrijednosti najmanja.
- Saznajte koju vrijednost funkcija ima na krajnjim točkama. Odredite najmanju vrijednost funkcije u tim točkama.
- Usporedite primljene podatke s najmanjom vrijednošću. Manji od primljenih brojeva bit će najmanja vrijednost funkcije.
Imajte na umu da ako funkcija na segmentu nema najmanjih točaka, što znači da se na ovom segmentu povećava ili smanjuje. Stoga najmanju vrijednost treba izračunati na konačnim segmentima funkcije.
U svim ostalim slučajevima vrijednost funkcije izračunava se prema zadanom algoritmu. U svakom koraku algoritma morat ćete riješiti jednostavan Linearna jednadžba s jednim korijenom. Riješite jednadžbu pomoću crteža kako biste izbjegli pogreške.
Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na poluotvorenom segmentu? Na poluotvorenom ili otvorenom razdoblju funkcije, najmanju vrijednost treba pronaći na sljedeći način. Na krajnjim točkama vrijednosti funkcije izračunajte jednostranu granicu funkcije. Drugim riječima, riješite jednadžbu u kojoj su točke tendencije dane vrijednostima a+0 i b+0, gdje su a i b imena kritične točke.
Sada znate kako pronaći najmanju vrijednost funkcije. Glavna stvar je izvršiti sve izračune ispravno, točno i bez pogrešaka.
