Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebaš? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Da naučite sve o diplomama, čemu one služe, kako iskoristiti svoje znanje u Svakidašnjica pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje stupnjeva će vas približiti uspješna isporuka OGE ili USE i za upis na sveučilište iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI RAZINA

Potenciranje je ista matematička operacija kao zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom na vrlo jednostavan način jednostavni primjeri. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodavanjem.

Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svaki ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati i na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uoče neke obrasce, a onda se dosjete kako ih brže “prebrojati”. U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku ​​koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve se može sporije, teže i s greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

A kojih su se još lukavih trikova s ​​računanjem dosjetili lijeni matematičari? desno - dizanje broja na potenciju.

Dizanje broja na potenciju

Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju. I rješavajte takve zagonetke u umu - brže, lakše i bez pogrešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Jednostavno možete izbrojati bodenjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje si vidio takvu pločicu? Pločica će prije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojenje s prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili samim sobom kako bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​potenciranja. (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dići na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima .Za ispit je to vrlo važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatak za vas, izbrojte koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći polje broja ... S jedne strane ćelija i s druge također. Da biste prebrojali njihov broj, morate pomnožiti osam sa osam ili ... ako to primijetite Šahovska ploča je kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Nabavite ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine se mjere u kubičnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i dubine metar i pokušajte izračunati koliko kockica metar po metar će ukupno ući u vaš bazen.

Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset i dva, dvadeset i tri... Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena bit će jednak kockama ... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sve svedeno na jednu akciju. Primijetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaci samo zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili klošari i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vama stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine za svaki milijun zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite s prstom”, onda ste jako radišna osoba i .. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stop! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate konkurenciju i onaj tko brže računa dobit će te milijune... Isplati li se pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. super je zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednim ... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa samim sobom puta. Dakle, četvrta potencija je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi ... da ne bude zabune

Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje ...

Pa, u isto vrijeme, što takva baza stupnja? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.

Evo slike da budete sigurni.

Pa i unutra opći pogled da generaliziramo i bolje zapamtimo ... Stupanj s bazom "" i eksponentom "" čita se kao "na stupanj" i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste pri brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ili "nula zarez pet desetinki". Nije cijeli brojevi. Što mislite koji su ovi brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.

Svi su razlomci racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, beskonačno decimal. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, tada ćete dobiti iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stupnja, čiji je eksponent prirodni broj (to jest, cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
2. Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj samim sobom puta:
.

Svojstva stupnja

Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.

Da vidimo što je I ?

A-prior:

Koliko je ukupno množitelja?

Vrlo je jednostavno: dodali smo faktore faktorima, a rezultat su faktori.

Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno mora biti isti razlog!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

samo za proizvode moći!

Ni pod kojim okolnostima to ne biste smjeli napisati.

2. odnosno -tu potenciju broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispostavilo se da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stupanj s negativnom bazom

Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.

Ali što bi trebala biti osnova?

U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Kad bi se zamijenili, moglo bi vrijediti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (to jest, uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmotrite malo snage s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili isto kao što je bilo -. S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množili sa samom sobom, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stupanj, mora biti jednak. Dakle, što je istina o ovome? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne samo da možemo dijeliti s nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni stupanj, učinimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativnu potenciju obrnut je od istog broja na pozitivnu potenciju. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).

Ukratko:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je obrnut od istog broja na pozitivnu potenciju: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se s njima lako nositi na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da shvatim što jest "frakcijski stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Sada zapamtite pravilo "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito ovo poseban slučaj može se produžiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izvući iz svih brojeva.

nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući korijene parnog stupnja iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izražavanjem?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati kao drugi, reducirani razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali čim indikator napišemo na drugačiji način, opet imamo problema: (to jest, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Potencijali s racionalnim eksponentom vrlo su korisni za transformiranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , naime broj;

...negativni cijeli broj eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas on na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — baza diplome;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnja

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

A-prior:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobiva se sljedeći produkt:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno mora biti na istoj osnovi. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!

Ni pod kojim uvjetima to ne bih smio napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je -ta snaga broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do ove točke razgovarali smo samo o onome što bi trebalo biti indeks stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će predznaci (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je tako formulirati jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj, podignut u neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da, što znači da je osnova manje od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedne na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! To se ne može nadomjestiti promjenom samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam diplome i pojednostavnimo:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: pokazalo se da ukupno ima množitelja. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz podatke o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stupanj je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprava broja”, naime broja; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili oba decimala, ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj, čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su pokazatelj negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod je li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa svojstvima snage.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Razmotrimo temu transformacije izraza s ovlastima, ali prvo ćemo se zadržati na nizu transformacija koje se mogu izvesti s bilo kojim izrazima, uključujući i one s ovlastima. Naučit ćemo otvarati zagrade, davati slične članove, raditi s bazom i eksponentom, koristiti svojstva potencije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što su izrazi snage?

U školskom tečaju malo ljudi koristi izraz " izrazi moći”, ali se ovaj termin stalno nalazi u zbirkama za pripremu ispita. U većini slučajeva fraza označava izraze koji u svojim unosima sadrže stupnjeve. To je ono što ćemo odraziti u našoj definiciji.

Definicija 1

Izražavanje moći je izraz koji sadrži moći.

Dajemo nekoliko primjera izraza za potenciju, počevši od stupnja s prirodnim eksponentom i završavajući stupnjem s realnim eksponentom.

Najjednostavniji izrazi potencije mogu se smatrati potencijama broja s prirodnim eksponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Kao i potencije s nultim eksponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . I stupnjevi s cijelim brojevima negativne moći: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Malo je teže raditi sa stupnjem koji ima racionalne i iracionalne eksponente: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator može biti varijabla 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ili logaritam x 2 l g x − 5 x l g x.

Bavili smo se pitanjem što su izrazi moći. Sada ih transformirajmo.

Glavne vrste transformacija izraza snage

Prije svega, razmotrit ćemo osnovne transformacije identiteta izraza koje se mogu izvesti s izrazima snage.

Primjer 1

Izračunajte vrijednost izraza snage 2 3 (4 2 − 12).

Riješenje

Provest ćemo sve transformacije u skladu s redoslijedom radnji. U ovom slučaju, počet ćemo izvođenjem radnji u zagradama: zamijenit ćemo stupanj digitalnom vrijednošću i izračunati razliku između dva broja. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ostaje nam još zamijeniti diplomu 2 3 njegovo značenje 8 i izračunajte proizvod 8 4 = 32. Evo našeg odgovora.

Odgovor: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Primjer 2

Pojednostavite izraz s ovlastima 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Riješenje

Izraz koji nam je dan u uvjetu problema sadrži slične članove, koje možemo dovesti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Odgovor: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Primjer 3

Izrazi s potencijama 9 - b 3 · π - 1 2 kao umnožak.

Riješenje

Predstavimo broj 9 kao potenciju 3 2 i primijenite skraćenu formulu množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odgovor: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A sada prijeđimo na analizu identičnih transformacija koje se mogu primijeniti posebno na izraze potencije.

Rad s bazom i eksponentom

Stupanj u bazi ili eksponentu može imati brojeve, varijable i neke izraze. Na primjer, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 I . Teško je raditi s takvim zapisima. Mnogo je lakše zamijeniti izraz u bazi stupnja ili izraz u eksponentu identično jednakim izrazom.

Transformacije stupnja i indikatora provode se prema pravilima koja su nam poznata odvojeno jedna od druge. Najvažnije je da se kao rezultat transformacija dobije izraz koji je identičan izvornom.

Svrha transformacija je pojednostaviti izvorni izraz ili dobiti rješenje problema. Na primjer, u primjeru koji smo dali gore, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 možete izvršiti operacije da idete na stupanj 4 , 1 1 , 3 . Otvarajući zagrade, možemo dovesti slične pojmove u osnovi diplome (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) i dobiti moćni izraz jednostavnijeg oblika a 2 (x + 1).

Korištenje svojstava snage

Svojstva stupnjeva, zapisana kao jednakosti, jedan su od glavnih alata za transformaciju izraza sa stupnjevima. Ovdje predstavljamo one glavne s obzirom na to a I b su bilo koji pozitivni brojevi, i r I s- proizvoljni realni brojevi:

Definicija 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s.

U slučajevima kada se radi o prirodnim, cijelim, pozitivnim eksponentima, ograničenja na brojeve a i b mogu biti mnogo manje stroga. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir jednakost a m a n = a m + n, Gdje m I n su prirodni brojevi, tada će vrijediti za sve vrijednosti a, pozitivne i negativne, kao i za a = 0.

Svojstva stupnjeva možete primijeniti bez ograničenja u slučajevima kada su baze stupnjeva pozitivne ili sadrže varijable, područje dopuštene vrijednosti koji je takav da baze na njemu poprimaju samo pozitivne vrijednosti. Zapravo, unutar školski plan i program u matematici zadatak učenika je odabrati odgovarajuće svojstvo i pravilno ga primijeniti.

Prilikom pripreme za upis na sveučilišta mogu postojati zadaci u kojima će netočna primjena svojstava dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih poteškoća s rješenjem. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo dva takva slučaja. Više informacija o temi možete pronaći u temi "Transformacija izraza pomoću svojstava eksponenta".

Primjer 4

Predstavite izraz a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 kao stupanj s bazom a.

Riješenje

Za početak koristimo svojstvo stepenovanja i pomoću njega transformiramo drugi faktor (a 2) − 3. Zatim koristimo svojstva množenja i dijeljenja potencija sa ista baza:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Odgovor: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformacija potencijskih izraza prema svojstvu stupnjeva može se vršiti i slijeva na desno i u suprotnom smjeru.

Primjer 5

Odredi vrijednost izraza za potenciju 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Riješenje

Ako primijenimo jednakost (a b) r = a r b r, s desna na lijevo, tada dobivamo umnožak oblika 3 7 1 3 21 2 3 i zatim 21 1 3 21 2 3 . Zbrojimo eksponente pri množenju potencija s istim bazama: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Postoji još jedan način za transformacije:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primjer 6

S obzirom na izraz snage a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, unesite novu varijablu t = a 0, 5.

Riješenje

Zamislite diplomu a 1, 5 Kako a 0, 5 3. Korištenje svojstva stupnja u stupnju (a r) s = a r s s desna na lijevo i dobijemo (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . U rezultirajućem izrazu možete jednostavno uvesti novu varijablu t = a 0, 5: dobiti t 3 − t − 6.

Odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Obično imamo posla s dvije varijante potencijskih izraza s razlomcima: izraz je razlomak sa stupnjem ili sadrži takav razlomak. Sve osnovne transformacije razlomaka primjenjive su na takve izraze bez ograničenja. Mogu se smanjiti, dovesti do novog nazivnika, raditi odvojeno s brojnikom i nazivnikom. Ilustrirajmo to primjerima.

Primjer 7

Pojednostavite izraz za potenciju 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Riješenje

Imamo posla s razlomkom, pa ćemo izvršiti transformacije i u brojniku i u nazivniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Stavi minus ispred razlomka da promijeniš predznak nazivnika: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Razlomci koji sadrže potencije svode se na novi nazivnik na isti način kao i racionalni razlomci. Da biste to učinili, morate pronaći dodatni faktor i njime pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka. Potrebno je odabrati dodatni faktor na način da ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer 8

Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) a + 1 a 0, 7 na nazivnik a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na nazivnik x + 8 y 1 2 .

Riješenje

a) Odaberemo faktor koji će nam omogućiti svođenje na novi nazivnik. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , stoga kao dodatni faktor uzimamo a 0, 3. Raspon dopuštenih vrijednosti varijable a uključuje skup svih pozitivnih realnih brojeva. U ovom području, stupanj a 0, 3 ne ide na nulu.

Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka s a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Obratite pažnju na nazivnik:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnožimo li ovaj izraz s x 1 3 + 2 · y 1 6 , dobit ćemo zbroj kubova x 1 3 i 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . Ovo je naš novi nazivnik, kojemu trebamo približiti izvorni razlomak.

Dakle, pronašli smo dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . O rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x I g izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne nestaje, pa njime možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Primjer 9

Skrati razlomak: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Riješenje

a) Upotrijebite najveći zajednički nazivnik (GCD) kojim se mogu smanjiti brojnik i nazivnik. Za brojeve 30 i 45 to je 15. Možemo i smanjiti x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Dobivamo:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Ovdje nije očita prisutnost identičnih faktora. Morat ćete izvršiti neke transformacije kako biste dobili iste faktore u brojniku i nazivniku. Da bismo to učinili, proširimo nazivnik pomoću formule razlike kvadrata:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Glavne operacije s razlomcima uključuju svođenje na novi nazivnik i svođenje razlomaka. Obje radnje izvode se u skladu s nizom pravila. Pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka prvo se razlomci svode na zajednički nazivnik, nakon čega se izvode radnje (zbrajanje ili oduzimanje) s brojnicima. Nazivnik ostaje isti. Rezultat naših radnji je novi razlomak, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika.

Primjer 10

Napravite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Riješenje

Počnimo oduzimanjem razlomaka koji su u zagradama. Dovedimo ih pod zajednički nazivnik:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Oduzmimo brojnike:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sada množimo razlomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Smanjimo za stupanj x 1 2, dobivamo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Osim toga, možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku pomoću formule za razliku kvadrata: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primjer 11

Pojednostavite izraz za potenciju x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Riješenje

Razlomak možemo smanjiti za (x 2 , 7 + 1) 2. Dobivamo razlomak x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nastavimo transformacije x potencija x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sada možete koristiti svojstvo dijeljenja na potenciju s istim bazama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Od zadnjeg umnoška prelazimo na razlomak x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odgovor: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

U većini slučajeva prikladnije je prenijeti množitelje s negativnim eksponentima iz brojnika u nazivnik i obrnuto promjenom predznaka eksponenta. Ova radnja pojednostavljuje daljnju odluku. Navedimo primjer: izraz za potenciju (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 može se zamijeniti s x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

U zadacima postoje izrazi za potenciju koji ne sadrže samo stupnjeve s razlomačkim eksponentima, već i korijene. Poželjno je takve izraze svesti samo na korijene ili samo na potencije. Prijelaz na stupnjeve je poželjan jer je s njima lakše raditi. Takav je prijelaz posebno povoljan kada vam DPV varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena potencijama bez pristupa modulu ili dijeljenja DPV-a u nekoliko intervala.

Primjer 12

Izrazi x 1 9 x x 3 6 kao potenciju.

Riješenje

Važeći raspon varijable x određuju dvije nejednakosti x ≥ 0 i x · x 3 ≥ 0 , koji definiraju skup [ 0 , + ∞) .

Na ovom skupu imamo pravo prijeći od korijena do moći:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Koristeći svojstva stupnjeva, pojednostavljujemo dobiveni izraz za potenciju.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odgovor: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pretvaranje potencija s varijablama u eksponent

Ove transformacije je vrlo jednostavno napraviti ako ispravno koristite svojstva stupnja. Na primjer, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Umnožak stupnja možemo zamijeniti pomoću kojeg se nalazi zbroj neke varijable i broja. Na lijevoj strani, to se može učiniti s prvim i zadnjim izrazom na lijevoj strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Sada podijelimo obje strane jednadžbe s 7 2 x. Ovaj izraz na ODZ varijable x uzima samo pozitivne vrijednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Skratimo razlomke s potencijama, dobivamo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamijenjen je potencijama omjera, što dovodi do jednadžbe 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , što je ekvivalentno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Uvedimo novu varijablu t = 5 7 x koja rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Pretvaranje izraza s potencijama i logaritmima

Izrazi koji sadrže potencije i logaritme također se nalaze u zadacima. Primjeri takvih izraza su: 1 4 1 - 5 log 2 3 ili log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacija takvih izraza provodi se korištenjem gore razmotrenih pristupa i svojstava logaritama koje smo detaljno analizirali u temi “Transformacija logaritamskih izraza”.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Na youtube kanal naše web stranice kako biste bili svjesni svih novih video lekcija.

Prvo se prisjetimo osnovnih formula stupnjeva i njihovih svojstava.

Umnožak broja a dogodi sam od sebe n puta, ovaj izraz možemo napisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Snaga ili eksponencijalne jednadžbe - to su jednadžbe u kojima su varijable u potencijama (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je baza, uvijek je na dnu, i varijabla x stupanj ili mjera.

Navedimo još primjera eksponencijalnih jednadžbi.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Sada pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednadžbu:

2 x = 2 3

Takav se primjer može riješiti čak iu umu. Vidi se da je x=3. Uostalom, tako da lijevo i desni dio bili jednaki, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako bi se ova odluka trebala donijeti:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili ovu jednadžbu, uklonili smo iste osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stupnjevi. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada rezimirajmo naše rješenje.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li baze jednadžbe s desne i s lijeve strane. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što su baze iste, izjednačiti stupnja i riješite dobivenu novu jednadžbu.

Sada riješimo neke primjere:

Počnimo jednostavno.

Baze na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da baze možemo odbaciti i njihove stupnjeve izjednačiti.

x+2=4 Ispala je najjednostavnija jednadžba.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite, to su 3 i 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za početak, prebacujemo devet na desnu stranu, dobivamo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2 . Upotrijebimo formulu za potenciju (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dobivamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 sada to možete vidjeti lijevo i desna strana baze su iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.

3x=2x+16 dobili smo najjednostavniju jednadžbu
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze su različite dva i četiri. I mi trebamo biti isti. Četvorku transformiramo prema formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Također koristimo jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte jednadžbi:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dali smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam ostali brojevi 10 i 24. Što s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da na lijevoj strani ponavljamo 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednadžbu dijelimo sa 6:

Zamislite 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze su iste, odbacite ih i izjednačite stupnjeve.
Pokazalo se da je 2x \u003d 2 najjednostavnija jednadžba. Podijelimo ga s 2, dobivamo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Riješimo jednadžbu:

9 x - 12*3 x +27= 0

Preobrazimo se:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobivamo jednadžbu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru je jasno da prva trojka ima stupanj dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete odlučiti metoda supstitucije. Broj sa najmanji stupanj zamijeniti:

Zatim 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamijenimo sve stupnjeve s x-ovima u jednadžbi s t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobivamo kvadratna jednadžba. Rješavamo kroz diskriminantu, dobivamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Povratak na varijablu x.

Uzimamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu, iz t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na web stranici možete u odjeljku POMOĆI ODLUČITI postaviti pitanja od interesa, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi

Vrsta lekcije: sat generalizacije i sistematizacije znanja

Ciljevi:

• obrazovni- ponoviti definiciju stupnja, pravila množenja i dijeljenja stupnjeva, podizanje stupnja na stupanj, učvrstiti sposobnost rješavanja primjera koji sadrže stupnjeve,
• razvijanje- razvoj logično mišljenje studenti, interes za gradivo koje se uči,
• educirajući- njegovanje odgovornog odnosa prema učenju, kulture komuniciranja, osjećaja za kolektivizam.

Oprema: računalo, multimedijski projektor, interaktivna ploča, prezentacija “Stupeni” za usmeno brojanje, kartice sa zadacima, brošure.

Plan učenja:

1. Organiziranje vremena.
2. Ponavljanje pravila
3. Usmeno brojanje.
4. Povijesna referenca.
5. Rad na ploči.
6. Fizkultminutka.
7. Rad na interaktivnoj ploči.
8. Samostalni rad.
9. Domaća zadaća.
10. Sažimanje lekcije.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak

Predstavljanje teme i ciljeva lekcije.

U prethodnim lekcijama ste otkrili predivan svijet stupnjeva, naučio množiti i dijeliti stupnjeve, dizati ih na potenciju. Danas moramo stečeno znanje učvrstiti rješavanjem primjera.

II. Ponavljanje pravila(oralno)

1. Dajte definiciju stupnja s prirodnim pokazateljem? (po snazi ​​broja A s prirodnim eksponentom većim od 1 naziva se umnožak n množitelja, od kojih je svaki jednak A.)
2. Kako pomnožiti dvije potencije? (Za množenje potencija s istom bazom, morate ostaviti bazu istom i dodati eksponente.)
3. Kako podijeliti stupanj po stupanj? (Da biste podijelili potencije s istom bazom, morate ostaviti bazu istom i oduzeti eksponente.)
4. Kako podići proizvod na snagu? (Da biste podigli proizvod na potenciju, morate podići svaki faktor na tu potenciju)
5. Kako podići diplomu na diplomu? (Da biste podigli potenciju na potenciju, morate ostaviti bazu istom i pomnožiti eksponente)

III. Usmeno brojanje(multimedijski)

IV. Povijesna referenca

Svi problemi su iz Ahmesovog papirusa, koji je napisan oko 1650. pr. e. vezane uz praksu gradnje, razgraničenje zemljišnih čestica i sl. Zadaci su grupirani po temama. Uglavnom su to zadaci za određivanje površina trokuta, četverokuta i kruga, razne radnje s cijelim brojevima i razlomcima, proporcionalno dijeljenje, određivanje omjera, tu je i uzdizanje do različite stupnjeve, rješenje jednadžbi prvog i drugog stupnja s jednom nepoznanicom.

Nema apsolutno nikakvog objašnjenja niti dokaza. Željeni rezultat se daje izravno ili se daje kratki algoritam za njegov izračun. Ovakav način prikaza, tipičan za znanost zemalja starog istoka, sugerira da se tamošnja matematika razvila putem generalizacija i pretpostavki koje ne tvore nikakvu opću teoriju. Međutim, postoji niz dokaza u papirusu da su egipatski matematičari mogli izvlačiti korijene i dizati ih na potenciju, rješavati jednadžbe, pa čak i posjedovati rudimente algebre.

V. Rad na ploči

Nađite vrijednost izraza na racionalan način:

Izračunajte vrijednost izraza:

VI. Minute tjelesnog odgoja

1. za oči
2. za vrat
3. za ruke
4. za torzo
5. za noge

VII. Rješavanje problema(sa zaslonom interaktivne bijele ploče)

Je li korijen jednadžbe pozitivan broj?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Samostalni rad

IX. Domaća zadaća

X. Sažimanje lekcije

Analiza rezultata, objava ocjena.

Stečeno znanje o diplomama primijenit ćemo u rješavanju jednadžbi, zadataka u srednjoj školi, a često se nalaze i na ispitu.

Formule snage koristi u procesu redukcije i pojednostavljenja složeni izrazi, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a Kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n.

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 odn više faktora jednak je umnošku snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula točna je u smjeru s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Kod podizanja korijena na potenciju dovoljno je podići korijenski broj na ovu potenciju:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupanj od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definiran je kao jedan podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i kod m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj A do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m stepen ovog broja A.