Analizirajmo dvije vrste rješenja sustava jednadžbi:

1. Rješavanje sustava metodom supstitucije.
2. Rješavanje sustava počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) jednadžbi sustava.

Da bismo riješili sustav jednadžbi metodom supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izraziti. Iz bilo koje jednadžbe izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Dobivenu vrijednost zamijenimo u drugu jednadžbu umjesto izražene varijable.
3. Riješite dobivenu jednadžbu s jednom varijablom. Nalazimo rješenje za sustav.

Riješiti sustav metodom zbrajanja (oduzimanja) po članu moram:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti identične koeficijente.
2. Zbrajamo ili oduzimamo jednadžbe, što rezultira jednadžbom s jednom varijablom.
3. Riješite dobivenu linearnu jednadžbu. Nalazimo rješenje za sustav.

Rješenje sustava su točke presjeka grafova funkcija.

Razmotrimo detaljno rješenje sustava koristeći primjere.

Primjer #1:

Rješavajmo metodom zamjene

Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Izraziti
Vidi se da u drugoj jednadžbi postoji varijabla x s koeficijentom 1, što znači da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednadžbe.
x=3+10y

2. Nakon što smo to izrazili, zamijenit ćemo 3+10y u prvu jednadžbu umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Riješite dobivenu jednadžbu s jednom varijablom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorite zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rješenje sustava jednadžbi su točke sjecišta grafova, stoga trebamo pronaći x i y, jer se točka sjecišta sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom odlomku gdje smo ga izrazili zamijenimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da bodove pišemo na prvo mjesto upisujemo varijablu x, a na drugo mjesto varijablu y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rješavajmo metodom zbrajanja (oduzimanja) po član.

Rješavanje sustava jednadžbi metodom zbrajanja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Odaberemo varijablu, recimo da izaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istima, za to imamo pravo pomnožiti jednadžbe ili podijeliti bilo kojim brojem. Prvu jednadžbu pomnožimo s 2, a drugu s 3 i dobijemo ukupni koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Oduzmite drugu od prve jednadžbe da biste se riješili varijable x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Pronađite x. Pronađeni y zamijenimo u bilo koju od jednadžbi, recimo u prvu jednadžbu.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Presjecište će biti x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li besplatno pripremati ispite? Učitelj online besplatno. Bez šale.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili kontakt s njim.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo upotrijebiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Materijal u ovom članku namijenjen je prvom upoznavanju sa sustavima jednadžbi. Ovdje ćemo uvesti definiciju sustava jednadžbi i njegovih rješenja, a također ćemo razmotriti najčešće tipove sustava jednadžbi. Kao i obično, dat ćemo primjere koji objašnjavaju.

Navigacija po stranici.

Što je sustav jednadžbi?

Definiciji sustava jednadžbi pristupit ćemo postupno. Prvo, recimo samo da je prikladno dati ga, ukazujući na dvije točke: prvo, vrstu snimanja i, drugo, značenje ugrađeno u ovu snimku. Pogledajmo ih redom, a zatim generalizirajmo razmišljanje u definiciju sustava jednadžbi.

Imajmo ih nekoliko pred sobom. Na primjer, uzmimo dvije jednadžbe 2 x+y=−3 i x=5. Napišimo ih jednu ispod druge i spojimo ih s lijeve strane vitičastom zagradom:

Zapisi ove vrste, koji su nekoliko jednadžbi poredanih u stupac i spojenih s lijeve strane vitičastom zagradom, su zapisi sustava jednadžbi.

Što znače takvi unosi? Oni definiraju skup svih takvih rješenja jednadžbi sustava koji su rješenje svake jednadžbe.

Ne bi škodilo da to opišem drugim riječima. Pretpostavimo da su neka rješenja prve jednadžbe rješenja svih ostalih jednadžbi sustava. Dakle, zapis sustava znači samo njih.

Sada smo spremni adekvatno prihvatiti definiciju sustava jednadžbi.

Definicija.

Sustavi jednadžbi zapisi poziva koji su jednadžbe smještene jedna ispod druge, spojene s lijeve strane vitičastom zagradom, koje označavaju skup svih rješenja jednadžbi koje su ujedno i rješenja svake jednadžbe sustava.

Slična definicija navedena je iu udžbeniku, ali tamo nije dana za opći slučaj, već za dva racionalne jednadžbe s dvije varijable.

Glavne vrste

Jasno je da postoji beskonačan broj različitih jednadžbi. Naravno, postoji i beskonačan broj sustava jednadžbi sastavljenih pomoću njih. Stoga, radi praktičnosti proučavanja i rada sa sustavima jednadžbi, ima smisla podijeliti ih u skupine prema sličnim karakteristikama, a zatim prijeći na razmatranje sustava jednadžbi pojedinih vrsta.

Prva podjela sugerira se brojem jednadžbi uključenih u sustav. Ako postoje dvije jednadžbe, onda možemo reći da imamo sustav od dvije jednadžbe, ako postoje tri, onda sustav od tri jednadžbe, itd. Jasno je da nema smisla govoriti o sustavu jedne jednadžbe, jer se u ovom slučaju, u biti, radi o samoj jednadžbi, a ne o sustavu.

Sljedeća podjela temelji se na broju varijabli uključenih u pisanje jednadžbi sustava. Ako postoji jedna varijabla, onda imamo posla sa sustavom jednadžbi s jednom varijablom (kažu i s jednom nepoznanicom), ako postoje dvije, onda sa sustavom jednadžbi s dvije varijable (s dvije nepoznanice) itd. Na primjer, je sustav jednadžbi s dvije varijable x i y.

Ovo se odnosi na broj svih različitih varijabli uključenih u snimanje. Ne moraju svi biti uključeni u zapis svake jednadžbe odjednom; njihova prisutnost u barem jednoj jednadžbi je dovoljna. npr. je sustav jednadžbi s tri varijable x, y i z. U prvoj jednadžbi varijabla x prisutna je eksplicitno, a y i z su implicitni (možemo pretpostaviti da te varijable imaju nulu), au drugoj jednadžbi postoje x i z, ali varijabla y nije eksplicitno prikazana. Drugim riječima, prva se jednadžba može promatrati kao , a drugi – kao x+0·y−3·z=0 .

Treća točka po kojoj se sustavi jednadžbi razlikuju je vrsta samih jednadžbi.

U školi počinje proučavanje sustava jednadžbi sustavi od dva linearne jednadžbe s dvije varijable. To jest, takvi sustavi čine dvije linearne jednadžbe. Evo nekoliko primjera: I . Uče osnove rada sa sustavima jednadžbi.

Pri rješavanju složenijih problema možete se susresti i sa sustavima od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.

Dalje u 9. razredu sustavima dviju jednadžbi s dvije varijable dodaju se nelinearne jednadžbe, uglavnom cijele jednadžbe drugog stupnja, rjeđe - više visoki stupnjevi. Ovi sustavi se nazivaju sustavi nelinearnih jednadžbi, po potrebi se navodi broj jednadžbi i nepoznanica. Pokažimo primjere takvih sustava nelinearnih jednadžbi: i .

A onda u sustavima postoje i npr. . Obično se jednostavno nazivaju sustavi jednadžbi, bez navođenja koje su jednadžbe. Ovdje je vrijedno napomenuti da se sustav jednadžbi najčešće jednostavno naziva "sustav jednadžbi", a pojašnjenja se dodaju samo ako je potrebno.

U srednjoj školi, kao gradivo se uči, iracionalni, trigonometrijski, logaritamski i eksponencijalne jednadžbe : , , .

Ako pogledamo još dublje u nastavni plan i program prve godine sveučilišta, glavni naglasak je na proučavanju i rješavanju sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE), odnosno jednadžbi u kojima lijeve strane sadrže polinome prvog stupnja, a desne strane sadrže određene brojeve. Ali tamo, za razliku od škole, više ne uzimaju dvije linearne jednadžbe s dvije varijable, nego proizvoljan broj jednadžbi s proizvoljnim brojem varijabli, koji se često ne poklapa s brojem jednadžbi.

Što je rješenje sustava jednadžbi?

Pojam "rješenje sustava jednadžbi" izravno se odnosi na sustave jednadžbi. U školi se daje definicija rješavanja sustava jednadžbi s dvije varijable :

Definicija.

Rješavanje sustava jednadžbi s dvije varijable naziva se par vrijednosti ovih varijabli koji svaku jednadžbu sustava pretvara u ispravnu, drugim riječima, rješenje je svake jednadžbe sustava.

Na primjer, par vrijednosti varijable x=5, y=2 (može se napisati kao (5, 2)) rješenje je sustava jednadžbi po definiciji, budući da su jednadžbe sustava, kada je x= 5, y=2 supstituirane u njih, pretvoriti u točne numeričke jednakosti 5+2=7 i 5−2=3 redom. Ali par vrijednosti x=3, y=0 nije rješenje za ovaj sustav, jer će se pri zamjeni ovih vrijednosti u jednadžbe prva od njih pretvoriti u netočnu jednakost 3+0=7.

Slične definicije mogu se formulirati za sustave s jednom varijablom, kao i za sustave s tri, četiri itd. varijable.

Definicija.

Rješavanje sustava jednadžbi s jednom varijablom postojat će vrijednost varijable koja je korijen svih jednadžbi sustava, odnosno pretvaranje svih jednadžbi u točne numeričke jednakosti.

Navedimo primjer. Promotrimo sustav jednadžbi s jednom varijablom t oblika . Broj −2 je njegovo rješenje, budući da su i (−2) 2 =4 i 5·(−2+2)=0 prave numeričke jednakosti. A t=1 nije rješenje sustava, budući da će zamjena ove vrijednosti dati dvije netočne jednakosti 1 2 =4 i 5·(1+2)=0.

Definicija.

Rješavanje sustava s tri, četiri itd. varijable zove tri, četiri, itd. vrijednosti varijabli, pretvarajući sve jednadžbe sustava u prave jednakosti.

Dakle, po definiciji, trostruka vrijednost varijabli x=1, y=2, z=0 je rješenje sustava , budući da su 2·1=2, 5·2=10 i 1+2+0=3 prave numeričke jednakosti. A (1, 0, 5) nije rješenje ovog sustava, jer kada se te vrijednosti varijabli zamijene u jednadžbe sustava, druga od njih pretvara se u netočnu jednakost 5·0=10, a treća također 1+0+5=3.

Imajte na umu da sustavi jednadžbi možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja, na primjer, jedno, dva, ..., ili mogu imati beskonačno mnogo rješenja. To ćete vidjeti ako dublje uđete u temu.

Uzimajući u obzir definicije sustava jednadžbi i njihovih rješenja, možemo zaključiti da je rješenje sustava jednadžbi presjek skupova rješenja svih njegovih jednadžbi.

Za kraj, evo nekoliko povezanih definicija:

Definicija.

nezglobni, ako nema rješenja, inače se sustav poziva spojnica.

Definicija.

Sustav jednadžbi naziva se neizvjestan, ako ima beskonačno mnogo rješenja, i određeni, ako ima konačan broj rješenja ili ih uopće nema.

Ovi pojmovi se uvode, primjerice, u udžbeniku, ali se u školi koriste dosta rijetko;

Bibliografija.

1. Algebra: udžbenik za 7. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. razred: obrazovni. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 2 sata 1. dio. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 dijela 1. dio. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 2 sata 1. dio. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova (razina profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn i dr.; ur. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Obrazovanje, 2004. - il.
7. A. G. Kurosh. Viši tečaj algebre.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitička geometrija: Udžbenik: Za sveučilišta. – 5. izd. – M.: Znanost. Fizmatlit, 1999. – 224 str. - (Dobro viša matematika i mat. fizika). – ISBN 5-02-015234 – X (3. broj)

S ovim matematičkim programom možete riješiti sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije varijabilna metoda om supstitucijom i metodom sabiranja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već daje i detaljno rješenje s objašnjenjima koraka rješavanja na dva načina: metodom zamjene i metodom zbrajanja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce Srednja škola u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontroliraju rješenje mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete voditi vlastitu obuku i/ili svoju obuku. mlađa braća ili sestara, dok se povećava stupanj obrazovanja u području problema koji se rješavaju.

Pravila za unos jednadžbi

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Prilikom unosa jednadžbi možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, jednadžbe se prvo pojednostavljuju. Jednadžbe nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax+by+c=0 s točnošću redoslijeda elemenata.
Na primjer: 6x+1 = 5(x+y)+2

U jednadžbama možete koristiti ne samo cijele brojeve, već i razlomački brojevi u obliku decimala i običnih razlomaka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cijeli i razlomački dijelovi u decimale mogu se odvojiti točkom ili zarezom.
Na primjer: 2,1n + 3,5m = 55

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Nazivnik ne može biti negativan.
Prilikom ulaska brojčani razlomak Brojnik je od nazivnika odvojen znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersand: &

Primjeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Riješite sustav jednadžbi

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Mnogo je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi metodom supstitucije:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednadžbe sustava kroz drugu;
2) zamijeniti dobiveni izraz u drugu jednadžbu sustava umjesto ove varijable;

$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(niz) \desno. $$

Izrazimo y kroz x iz prve jednadžbe: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-3x u drugu jednadžbu umjesto y, dobivamo sustav:
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(niz) \desno. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sustav imaju ista rješenja. U drugom sustavu, druga jednadžba sadrži samo jednu varijablu. Riješimo ovu jednadžbu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Desna strelica -5x+14-6x=3 \Desna strelica -11x=-11 \Desna strelica x=1 $$

Zamjenom broja 1 umjesto x u jednakost y=7-3x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rješenje sustava

Sustavi jednadžbi u dvije varijable koji imaju ista rješenja nazivaju se ekvivalent. Sustavi koji nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnima.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi zbrajanjem

Razmotrimo još jedan način rješavanja sustava linearnih jednadžbi - metodu dodavanja. Kod ovakvog rješavanja sustava, kao i kod rješavanja supstitucijom, prelazimo s tog sustava na drugi, ekvivalentni sustav, u kojem jedna od jednadžbi sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi metodom dodavanja:
1) pomnožite jednadžbe sustava član po član, birajući faktore tako da koeficijenti jedne od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) zbrajati lijevu i desnu stranu jednadžbi sustava član po član;
3) riješiti dobivenu jednadžbu s jednom varijablom;
4) pronađite odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Riješimo sustav jednadžbi:
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(niz) \desno. $$

U jednadžbama ovog sustava koeficijenti za y su suprotni brojevi. Zbrajajući lijevu i desnu stranu jednadžbi član po član, dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 3x=33. Zamijenimo jednu od jednadžbi sustava, primjerice prvu, jednadžbom 3x=33. Uhvatimo sustav
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(niz) \desno. $$

Iz jednadžbe 3x=33 nalazimo da je x=11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednadžbu \(x-3y=38\) dobivamo jednadžbu s varijablom y: \(11-3y=38\). Riješimo ovu jednadžbu:
\(-3y=27 \desna strelica y=-9 \)

Dakle, našli smo rješenje sustava jednadžbi zbrajanjem: \(x=11; y=-9\) ili \((11;-9)\)

Iskoristivši činjenicu da su u jednadžbama sustava koeficijenti za y suprotni brojevi, njegovo smo rješenje sveli na rješenje ekvivalentnog sustava (zbrajanjem obje strane svake od jednadžbi izvornog sustava), u kojem je jednadžbi sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci jedinstvenog državnog ispita i testovi jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Crtanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih ustanova Rusije Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka Sadržaj lekcije

Linearne jednadžbe u dvije varijable

Za ručak u školi školarac ima 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šalica kave 10 rubalja. Koliko kolača i šalica kave možete kupiti za 200 rubalja?

Označimo broj kolača sa x i broj popijenih šalica kave g. Tada će trošak kolača biti označen izrazom 25 x, a cijena šalica kave u 10 g .

25x - cijena x kolači
10y — cijena gšalice kave

Ukupni iznos trebao bi biti 200 rubalja. Tada dobivamo jednadžbu s dvije varijable x I g

25x+ 10g= 200

Koliko korijena ima ova jednadžba?

Sve ovisi o apetitu učenika. Ako kupi 6 kolača i 5 šalica kave, tada će korijeni jednadžbe biti brojevi 6 i 5.

Za par vrijednosti 6 i 5 se kaže da su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 . Zapisuje se kao (6; 5), pri čemu je prvi broj vrijednost varijable x, a drugi - vrijednost varijable g .

6 i 5 nisu jedini korijeni koji obrću jednadžbu 25 x+ 10g= 200 do identiteta. Po želji, za istih 200 rubalja student može kupiti 4 kolača i 10 šalica kave:

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 je par vrijednosti (4; 10).

Štoviše, školarac uopće ne može kupiti kavu, ali kupiti kolače za cijelih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 bit će vrijednosti 8 i 0

Ili obrnuto, ne kupujte kolače, već kupite kavu za cijelih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 vrijednosti će biti 0 i 20

Pokušajmo navesti sve moguće korijene jednadžbe 25 x+ 10g= 200 . Složimo se da vrijednosti x I g pripadaju skupu cijelih brojeva. I neka ove vrijednosti budu veće ili jednake nuli:

x∈Z, g∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

To će biti zgodno za samog učenika. Pogodnije je kupiti cijele torte nego npr. nekoliko cijelih torti i pola torte. Također je praktičnije uzeti kavu u cijelim šalicama nego, na primjer, nekoliko cijelih šalica i pola šalice.

Imajte na umu da za ak x nemoguće je postići jednakost ni pod kojim uvjetima g. Zatim vrijednosti x sljedeći brojevi bit će 0, 2, 4, 6, 8. I znajući x može se lako odrediti g

Tako smo dobili sljedeće parove vrijednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ovi parovi su rješenja ili korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200. Ovu jednadžbu pretvaraju u identitet.

Jednadžba oblika sjekira + prema = c nazvao linearna jednadžba s dvije varijable. Rješenje ili korijeni ove jednadžbe su par vrijednosti ( x; g), što ga pretvara u identitet.

Također primijetite da ako je linearna jednadžba s dvije varijable napisana u obliku ax + b y = c, onda kažu da je zapisano u kanonski(normalan) oblik.

Neke linearne jednadžbe u dvije varijable mogu se svesti na kanonski oblik.

Na primjer, jednadžba 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − g) može se prisjetiti sjekira + prema = c. Otvorimo zagrade na obje strane ove jednadžbe i dobijemo 32x + 6g − 8 = 24 + 16x − 2g . Grupiramo članove koji sadrže nepoznanice na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica na desnoj strani. Onda dobivamo 32x− 16x+ 6g+ 2g = 24 + 8 . Predstavimo slične članove na obje strane, dobivamo jednadžbu 16 x+ 8g= 32. Ova se jednadžba svodi na oblik sjekira + prema = c i kanonski je.

Jednadžba 25 o kojoj smo ranije raspravljali x+ 10g= 200 je također linearna jednadžba s dvije varijable u kanonskom obliku. U ovoj jednadžbi parametri a , b I c jednaki su vrijednostima 25, 10 i 200.

Zapravo jednadžba sjekira + prema = c ima bezbroj rješenja. Rješavanje jednadžbe 25x+ 10g= 200, tražili smo njegove korijene samo na skupu cijelih brojeva. Kao rezultat, dobili smo nekoliko parova vrijednosti koje su ovu jednadžbu pretvorile u identitet. Ali na mnogima racionalni brojevi jednadžba 25 x+ 10g= 200 imat će beskonačno mnogo rješenja.

Da biste dobili nove parove vrijednosti, trebate uzeti proizvoljnu vrijednost za x, zatim izrazite g. Na primjer, uzmimo za varijablu x vrijednost 7. Tada dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 25×7 + 10g= 200 u kojem se može izraziti g

Neka x= 15. Zatim jednadžba 25x+ 10g= 200 postaje 25 × 15 + 10g= 200. Odavde to nalazimo g = −17,5

Neka x= −3 . Zatim jednadžba 25x+ 10g= 200 postaje 25 × (−3) + 10g= 200. Odavde to nalazimo g = −27,5

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije varijable

Za jednadžbu sjekira + prema = c možete uzeti proizvoljne vrijednosti koliko god puta želite x i pronaći vrijednosti za g. Uzeta zasebno, takva jednadžba će imati bezbrojna rješenja.

No događa se i da varijable x I g povezuju ne jedna, nego dvije jednadžbe. U tom slučaju tvore tzv sustav linearnih jednadžbi u dvije varijable. Takav sustav jednadžbi može imati jedan par vrijednosti (ili drugim riječima: "jedno rješenje").

Također se može dogoditi da sustav uopće nema rješenja. Sustav linearnih jednadžbi može imati bezbrojna rješenja u rijetkim i iznimnim slučajevima.

Dvije linearne jednadžbe tvore sustav kada vrijednosti x I g unesite u svaku od ovih jednadžbi.

Vratimo se na prvu jednadžbu 25 x+ 10g= 200 . Jedan od parova vrijednosti za ovu jednadžbu bio je par (6; 5) . Ovo je slučaj kada ste za 200 rubalja mogli kupiti 6 kolača i 5 šalica kave.

Formulirajmo problem tako da par (6; 5) postane jedino rješenje za jednadžbu 25 x+ 10g= 200 . Da bismo to učinili, stvorimo drugu jednadžbu koja bi povezivala isto x kolači i gšalice kave.

Navedimo tekst zadatka na sljedeći način:

“Student je kupio nekoliko kolača i nekoliko šalica kave za 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šalica kave 10 rubalja. Koliko je kolača i šalica kave kupio učenik ako se zna da je broj kolača za jedinicu veći od broja šalica kave?

Već imamo prvu jednadžbu. Ovo je jednadžba 25 x+ 10g= 200 . Napravimo sada jednadžbu za uvjet “broj kolača je za jedinicu veći od broja šalica kave” .

Broj kolača je x, a broj šalica kave je g. Ovaj izraz možete napisati pomoću jednadžbe x−y= 1. Ova jednadžba će značiti da je razlika između kolača i kave 1.

x = y+ 1 . Ova jednadžba znači da je broj kolača za jedan veći od broja šalica kave. Dakle, da bi se dobila jednakost, broju šalica kave dodaje se jedna. To se lako može razumjeti ako se poslužimo modelom ljestvica koji smo razmatrali proučavajući najjednostavnije probleme:

Dobili smo dvije jednadžbe: 25 x+ 10g= 200 i x = y+ 1. Budući da vrijednosti x I g, naime 6 i 5 su uključeni u svaku od ovih jednadžbi, tada zajedno čine sustav. Zapišimo ovaj sustav. Ako jednadžbe tvore sustav, onda su uokvirene predznakom sustava. Simbol sustava je vitičasta zagrada:

Riješimo ovaj sustav. To će nam omogućiti da vidimo kako dolazimo do vrijednosti 6 i 5. Postoje mnoge metode za rješavanje takvih sustava. Pogledajmo najpopularnije od njih.

Metoda zamjene

Naziv ove metode govori sam za sebe. Njegova suština je zamjena jedne jednadžbe u drugu, nakon što je prethodno izražena jedna od varijabli.

U našem sustavu ne treba ništa izražavati. U drugoj jednadžbi x = g+ 1 varijabla x već izraženo. Ova varijabla jednaka je izrazu g+ 1 . Zatim možete zamijeniti ovaj izraz u prvoj jednadžbi umjesto varijable x

Nakon zamjene izraza g+ 1 umjesto toga u prvu jednadžbu x, dobivamo jednadžbu 25(g+ 1) + 10g= 200 . Ovo je linearna jednadžba s jednom varijablom. Ovu je jednadžbu vrlo lako riješiti:

Pronašli smo vrijednost varijable g. Sada zamijenimo ovu vrijednost u jednu od jednadžbi i pronađimo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti drugu jednadžbu x = g+ 1 . Zamijenimo vrijednost u nju g

To znači da je par (6; 5) rješenje sustava jednadžbi, kao što smo i namjeravali. Provjeravamo i uvjeravamo se da par (6; 5) zadovoljava sustav:

Primjer 2

Zamijenimo prvu jednadžbu x= 2 + g u drugu jednadžbu 3 x− 2g= 9. U prvoj jednadžbi varijabla x jednaka izrazu 2 + g. Umjesto toga, zamijenimo ovaj izraz u drugu jednadžbu x

Sada pronađimo vrijednost x. Da bismo to učinili, zamijenimo vrijednost g u prvu jednadžbu x= 2 + g

To znači da je rješenje sustava vrijednost para (5; 3)

Primjer 3. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Ovdje, za razliku od prethodnih primjera, jedna od varijabli nije eksplicitno izražena.

Da biste jednu jednadžbu zamijenili drugom, prvo trebate .

Preporučljivo je izraziti varijablu koja ima koeficijent jedan. Varijabla ima koeficijent jedan x, koji je sadržan u prvoj jednadžbi x+ 2g= 11. Izrazimo ovu varijablu.

Nakon varijabilnog izraza x, naš će sustav imati sljedeći oblik:

Sada zamijenimo prvu jednadžbu u drugu i pronađimo vrijednost g

Zamijenimo g x

To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (3; 4)

Naravno, možete izraziti i varijablu g. Korijeni se neće promijeniti. Ali ako izrazite y, Rezultat nije vrlo jednostavna jednadžba za čije će rješavanje trebati više vremena. Izgledat će ovako:

Vidimo da u ovom primjeru izražavamo x mnogo zgodnije od izražavanja g .

Primjer 4. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Izrazimo u prvoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:

g

Zamijenimo g u prvu jednadžbu i pronađite x. Možete koristiti izvornu jednadžbu 7 x+ 9g= 8, ili upotrijebite jednadžbu u kojoj je varijabla izražena x. Koristit ćemo ovu jednadžbu jer je prikladna:

To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (5; −3)

Metoda zbrajanja

Metoda zbrajanja sastoji se od zbrajanja jednadžbi uključenih u sustav član po član. Ovaj dodatak rezultira novom jednadžbom s jednom varijablom. A rješavanje takve jednadžbe prilično je jednostavno.

Riješimo sljedeći sustav jednadžbi:

Zbrojimo lijevu stranu prve jednadžbe s lijevom stranom druge jednadžbe. A desna strana prva jednadžba sa desna strana druga jednadžba. Dobijamo sljedeću jednakost:

Pogledajmo slične pojmove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednadžbu 3 x= 27 čiji je korijen 9. Poznavajući vrijednost x možete pronaći vrijednost g. Zamijenimo vrijednost x u drugu jednadžbu x−y= 3. Dobivamo 9 − g= 3. Odavde g= 6 .

To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (9; 6)

Primjer 2

Zbrojimo lijevu stranu prve jednadžbe s lijevom stranom druge jednadžbe. I desna strana prve jednadžbe s desnom stranom druge jednadžbe. U dobivenoj jednakosti prikazujemo slične članove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednadžbu 5 x= 20, čiji je korijen 4. Poznavanje vrijednosti x možete pronaći vrijednost g. Zamijenimo vrijednost x u prvu jednadžbu 2 x+y= 11. Ajmo 8+ g= 11. Odavde g= 3 .

To znači da je rješenje sustava par vrijednosti (4;3)

Proces dodavanja nije detaljno opisan. To se mora učiniti mentalno. Prilikom zbrajanja obje se jednadžbe moraju svesti na kanonski oblik. To jest, usput ac + by = c .

Iz razmatranih primjera jasno je da je glavna svrha dodavanja jednadžbi riješiti se jedne od varijabli. Ali nije uvijek moguće odmah riješiti sustav jednadžbi metodom dodavanja. Najčešće se sustav prvo dovodi u oblik u koji se mogu dodati jednadžbe uključene u ovaj sustav.

Na primjer, sustav može se odmah riješiti metodom sabiranja. Pri zbrajanju obje jednadžbe, članovi g I −yće nestati jer je njihov zbroj nula. Kao rezultat toga nastaje najjednostavnija jednadžba 11 x= 22, čiji je korijen 2. Tada će se moći odrediti g jednako 5.

I sustav jednadžbi Metoda zbrajanja ne može se odmah riješiti jer to neće dovesti do nestanka jedne od varijabli. Zbrajanje će rezultirati jednadžbom 8 x+ g= 28, koji ima beskonačno mnogo rješenja.

Ako obje strane jednadžbe pomnožimo ili podijelimo s istim brojem, koji nije jednak nuli, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj. Ovo pravilo vrijedi i za sustav linearnih jednadžbi s dvije varijable. Jedna od jednadžbi (ili obje jednadžbe) može se pomnožiti bilo kojim brojem. Rezultat će biti ekvivalentni sustav, čiji će se korijeni podudarati s prethodnim.

Vratimo se na prvi sustav koji je opisivao koliko je školarac kupio kolača i šalica kave. Rješenje ovog sustava bio je par vrijednosti (6; 5).

Pomnožimo obje jednadžbe uključene u ovaj sustav s nekim brojevima. Recimo da pomnožimo prvu jednadžbu s 2, a drugu s 3

Kao rezultat toga, dobili smo sustav
Rješenje ovog sustava još uvijek je par vrijednosti (6; 5)

To znači da se jednadžbe uključene u sustav mogu svesti na oblik prikladan za primjenu metode zbrajanja.

Vratimo se sustavu , koje nismo mogli riješiti metodom sabiranja.

Pomnožite prvu jednadžbu sa 6, a drugu s −2

Tada dobivamo sljedeći sustav:

Zbrojimo jednadžbe uključene u ovaj sustav. Dodavanje komponenti 12 x i −12 x rezultirat će 0, zbrajanje 18 g i 4 g dat će 22 g, a zbrajanje 108 i −20 daje 88. Tada dobivamo jednadžbu 22 g= 88, odavde g = 4 .

Ako vam je u početku teško u glavi zbrajati jednadžbe, onda možete zapisati kako se zbrajaju lijeva strana prve jednadžbe s lijevom stranom druge jednadžbe i desne strane prve jednadžbe s desnom stranom druge jednadžbe:

Znajući da vrijednost varijable g jednako 4, možete pronaći vrijednost x. Zamijenimo g u jednu od jednadžbi, na primjer u prvu jednadžbu 2 x+ 3g= 18. Tada dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 2 x+ 12 = 18. Pomaknimo 12 na desnu stranu, mijenjajući predznak, dobivamo 2 x= 6, odavde x = 3 .

Primjer 4. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Pomnožimo drugu jednadžbu s −1. Tada će sustav imati sljedeći oblik:

Zbrojimo obje jednadžbe. Dodavanje komponenti x I −x rezultirat će 0, zbrajanje 5 g i 3 g dat će 8 g, a zbrajanje 7 i 1 daje 8. Rezultat je jednadžba 8 g= 8 čiji je korijen 1. Znajući da vrijednost g jednako 1, možete pronaći vrijednost x .

Zamijenimo g u prvu jednadžbu, dobivamo x+ 5 = 7, dakle x= 2

Primjer 5. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Poželjno je da se termini koji sadrže iste varijable nalaze jedan ispod drugog. Dakle, u drugoj jednadžbi članovi 5 g i −2 x Zamijenimo mjesta. Kao rezultat toga, sustav će imati oblik:

Pomnožimo drugu jednadžbu s 3. Tada će sustav poprimiti oblik:

Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja dobivamo jednadžbu 8 g= 16, čiji je korijen 2.

Zamijenimo g u prvu jednadžbu, dobivamo 6 x− 14 = 40. Pomaknimo član −14 na desnu stranu, mijenjajući predznak, i dobijemo 6 x= 54. Odavde x= 9.

Primjer 6. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Riješimo se razlomaka. Pomnožite prvu jednadžbu s 36, a drugu s 12

U rezultirajućem sustavu prva se jednadžba može pomnožiti s −5, a druga s 8

Zbrojimo jednadžbe u dobiveni sustav. Tada dobivamo najjednostavniju jednadžbu −13 g= −156 . Odavde g= 12. Zamijenimo g u prvu jednadžbu i pronađite x

Primjer 7. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Dovedimo obje jednadžbe u normalan oblik. Ovdje je zgodno primijeniti pravilo proporcije u obje jednadžbe. Ako je u prvoj jednadžbi desna strana predstavljena kao , a desna strana druge jednadžbe kao , tada će sustav imati oblik:

Imamo proporciju. Pomnožimo njegove ekstremne i srednje članove. Tada će sustav imati oblik:

Pomnožimo prvu jednadžbu s −3 i otvorimo zagrade u drugoj:

Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja ovih jednadžbi dobivamo jednakost s nulom na obje strane:

Ispostavilo se da sustav ima bezbroj rješenja.

Ali ne možemo samo uzeti proizvoljne vrijednosti s neba x I g. Možemo navesti jednu od vrijednosti, a druga će se odrediti ovisno o vrijednosti koju navedemo. Na primjer, neka x= 2. Zamijenimo ovu vrijednost u sustavu:

Kao rezultat rješavanja jedne od jednadžbi, vrijednost za g, što će zadovoljiti obje jednadžbe:

Rezultirajući par vrijednosti (2; −2) zadovoljit će sustav:

Pronađimo drugi par vrijednosti. Neka x= 4. Zamijenimo ovu vrijednost u sustav:

Na oko se vidi da je vrijednost g jednaka nuli. Tada dobivamo par vrijednosti (4; 0) koji zadovoljava naš sustav:

Primjer 8. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Pomnožite prvu jednadžbu sa 6, a drugu s 12

Prepišimo ono što je ostalo:

Pomnožimo prvu jednadžbu s −1. Tada će sustav imati oblik:

Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja nastaje jednadžba 6 b= 48, čiji je korijen 8. Zamjena b u prvu jednadžbu i pronađite a

Sustav linearnih jednadžbi s tri varijable

Linearna jednadžba s tri varijable uključuje tri varijable s koeficijentima, kao i odsječeni član. U kanonskom obliku može se napisati na sljedeći način:

sjekira + by + cz = d

Ova jednadžba ima bezbroj rješenja. Davanje dvije varijable različita značenja, može se pronaći treća vrijednost. Rješenje u ovom slučaju je trostruka vrijednost ( x; y; z) koji jednadžbu pretvara u identitet.

Ako varijable x, y, z su međusobno povezane s tri jednadžbe, tada nastaje sustav od tri linearne jednadžbe s tri varijable. Za rješavanje takvog sustava možete koristiti iste metode koje se primjenjuju na linearne jednadžbe s dvije varijable: metodu supstitucije i metodu zbrajanja.

Primjer 1. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Izrazimo u trećoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:

Sada napravimo zamjenu. Varijabilna x jednaka je izrazu 3 − 2g − 2z . Zamijenimo ovaj izraz u prvu i drugu jednadžbu:

Otvorimo zagrade u obje jednadžbe i predstavimo slične članove:

Došli smo do sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable. U ovom slučaju prikladno je koristiti metodu dodavanja. Kao rezultat toga, varijabla gće nestati i možemo pronaći vrijednost varijable z

Sada pronađimo vrijednost g. Da biste to učinili, prikladno je koristiti jednadžbu − g+ z= 4. Zamijenite vrijednost u nju z

Sada pronađimo vrijednost x. Da biste to učinili, prikladno je koristiti jednadžbu x= 3 − 2g − 2z . Zamijenimo vrijednosti u to g I z

Dakle, trojka vrijednosti (3; −2; 2) je rješenje našeg sustava. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sustav:

Primjer 2. Riješite sustav metodom zbrajanja

Zbrojimo prvu jednadžbu s drugom, pomnoženo s −2.

Ako se druga jednadžba pomnoži s −2, poprima oblik −6x+ 6y − 4z = −4 . Dodajmo to prvoj jednadžbi:

Vidimo da je kao rezultat elementarnih transformacija određena vrijednost varijable x. Jednako je jedan.

Vratimo se na glavni sustav. Zbrojimo drugu jednadžbu s trećom, pomnoženo s −1. Ako se treća jednadžba pomnoži s −1, poprima oblik −4x + 5g − 2z = −1 . Sada to dodajmo drugoj jednadžbi:

Dobili smo jednadžbu x− 2g= −1. Zamijenimo vrijednost u to x koje smo ranije pronašli. Tada možemo odrediti vrijednost g

Sada znamo značenja x I g. To vam omogućuje određivanje vrijednosti z. Upotrijebimo jednu od jednadžbi uključenih u sustav:

Dakle, trostruka vrijednost (1; 1; 1) je rješenje našeg sustava. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sustav:

Zadaci sastavljanja sustava linearnih jednadžbi

Zadatak sastavljanja sustava jednadžbi rješava se unošenjem nekoliko varijabli. Zatim se jednadžbe sastavljaju na temelju uvjeta problema. Od sastavljenih jednadžbi sastavljaju sustav i rješavaju ga. Nakon što je sustav riješen, potrebno je provjeriti zadovoljava li njegovo rješenje uvjete zadatka.

Problem 1. Automobil Volga odvezao se iz grada do kolektivne farme. Vratila se drugom cestom, koja je bila 5 km kraća od prve. Ukupno je automobil prešao 35 km u povratku. Koliko je kilometara duga svaka cesta?

Riješenje

Neka x - duljina prve ceste, g- duljina sekunde. Ako je automobil prešao 35 km povratno, tada se prva jednadžba može napisati kao x+ g= 35. Ova jednadžba opisuje zbroj duljina obiju cesta.

Rečeno je da se auto vratio putem koji je bio 5 km kraći od prvog. Tada se druga jednadžba može napisati kao x− g= 5. Ova jednadžba pokazuje da je razlika između duljina cesta 5 km.

Ili se druga jednadžba može napisati kao x= g+ 5. Koristit ćemo se ovom jednadžbom.

Budući da varijable x I g u obje jednadžbe označavaju isti broj, onda od njih možemo oblikovati sustav:

Riješimo ovaj sustav pomoću neke od prethodno proučavanih metoda. U ovom slučaju prikladno je koristiti metodu supstitucije, budući da je u drugoj jednadžbi varijabla x već izraženo.

Zamijenite drugu jednadžbu u prvu i pronađite g

Zamijenimo pronađenu vrijednost g u drugoj jednadžbi x= g+ 5 i naći ćemo x

Kroz varijablu je naznačena duljina prve ceste x. Sada smo pronašli njegovo značenje. Varijabilna x jednaka je 20. To znači da je duljina prve ceste 20 km.

A duljina druge ceste bila je označena sa g. Vrijednost ove varijable je 15. To znači da je duljina druge ceste 15 km.

Provjerimo. Prvo provjerimo je li sustav ispravno riješen:

Sada provjerimo zadovoljava li rješenje (20; 15) uvjete zadatka.

Rečeno je da je automobil prešao ukupno 35 km povratno. Zbrajamo duljine obiju cesta i uvjeravamo se da rješenje (20; 15) zadovoljava ovo stanje: 20 km + 15 km = 35 km

Sljedeći uvjet: automobil se vratio drugom cestom, koja je bila 5 km kraća od prve . Vidimo da rješenje (20; 15) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 15 km kraće od 20 km za 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Pri sastavljanju sustava važno je da varijable predstavljaju iste brojeve u svim jednadžbama uključenim u ovaj sustav.

Dakle, naš sustav sadrži dvije jednadžbe. Ove jednadžbe pak sadrže varijable x I g, koji predstavljaju iste brojeve u obje jednadžbe, odnosno duljine cesta od 20 km i 15 km.

Problem 2. Na platformu su utovareni hrastovi i borovi pragovi, ukupno 300 pragova. Poznato je da su svi hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od svih borovih pragova. Odredi koliko je zasebno bilo hrastovih i borovih pragova, ako je svaki hrastov prag težio 46 kg, a svaki borov prag 28 kg.

Riješenje

Neka x hrast i g na platformu su utovareni borovi pragovi. Ako je ukupno bilo 300 spavača, tada se prva jednadžba može napisati kao x+y = 300 .

Svi hrastovi pragovi su težili 46 x kg, a borovi su težili 28 g kg. Budući da su hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od borovih pragova, druga se jednadžba može napisati kao 28y − 46x= 1000 . Ova jednadžba pokazuje da je razlika u masi hrastovih i borovih pragova 1000 kg.

Tone su preračunate u kilograme jer se masa hrastovih i borovih pragova mjeri u kilogramima.

Kao rezultat toga dobivamo dvije jednadžbe koje tvore sustav

Riješimo ovaj sustav. Izrazimo u prvoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:

Zamijenite prvu jednadžbu u drugu i pronađite g

Zamijenimo g u jednadžbu x= 300 − g i saznati što je to x

To znači da je na platformu ukrcano 100 hrastovih i 200 borovih pragova.

Provjerimo da li rješenje (100; 200) zadovoljava uvjete zadatka. Prvo provjerimo je li sustav ispravno riješen:

Rečeno je da je ukupno bilo 300 spavača. Zbrajamo broj hrastovih i borovih pragova i uvjeravamo se da rješenje (100; 200) zadovoljava ovaj uvjet: 100 + 200 = 300.

Sljedeći uvjet: svi hrastovi pragovi težili su 1 tonu manje od svih borovih pragova . Vidimo da rješenje (100; 200) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 46 × 100 kg hrastovih pragova lakše od 28 × 200 kg borovih pragova: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problem 3. Uzeli smo tri komada legure bakra i nikla u težinskim omjerima 2:1, 3:1 i 5:1. Od njih je istopljen komad težak 12 kg s omjerom sadržaja bakra i nikla 4:1. Odredite masu svakog originalnog komada ako se masa prvog udvostruči više mase drugi.