Saat kita membuat grafik suatu fungsi, penting untuk mengidentifikasi interval konveksitas dan titik belok. Kita membutuhkannya, bersama dengan interval penurunan dan kenaikan, untuk merepresentasikan fungsi dengan jelas dalam bentuk grafik.

Memahami topik ini memerlukan pengetahuan tentang turunan suatu fungsi dan cara mengevaluasinya hingga tingkat tertentu, serta kemampuan menyelesaikannya. jenis yang berbeda kesenjangan

Di awal artikel, konsep dasar didefinisikan. Kemudian kita akan menunjukkan hubungan apa yang ada antara arah konveksitas dan nilai turunan keduanya pada interval tertentu. Selanjutnya, kami akan menunjukkan kondisi di mana titik belok grafik dapat ditentukan. Semua argumen akan diilustrasikan dengan contoh solusi masalah.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1

Dalam arah ke bawah selama interval tertentu jika grafiknya terletak tidak lebih rendah dari garis singgungnya di titik mana pun dalam interval ini.

Definisi 2

Fungsi yang akan dibedakan adalah fungsi cembung ke atas pada suatu interval tertentu jika grafik suatu fungsi tertentu terletak tidak lebih tinggi dari garis singgungnya pada titik mana pun dalam interval tersebut.

Fungsi cembung ke bawah bisa juga disebut fungsi cekung. Kedua definisi tersebut terlihat jelas pada grafik di bawah ini:

Definisi 3

Titik belok suatu fungsi– ini adalah titik M (x 0 ; f (x 0)), yang bersinggungan dengan grafik fungsi tersebut, asalkan ada turunan di sekitar titik x 0, dimana dari kiri Dan sisi kanan grafik fungsi mengambil arah konveksitas yang berbeda.

Sederhananya, titik belok adalah suatu tempat pada suatu grafik yang terdapat garis singgung, dan arah cembung grafik tersebut apabila melewati tempat tersebut akan mengubah arah cembung tersebut. Jika Anda tidak ingat dalam kondisi apa keberadaan garis singgung vertikal dan non-vertikal dimungkinkan, kami sarankan untuk mengulangi bagian garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik.

Di bawah ini adalah grafik suatu fungsi yang memiliki beberapa titik belok yang disorot dengan warna merah. Mari kita perjelas bahwa keberadaan titik belok tidak wajib. Pada grafik suatu fungsi bisa terdapat satu, dua, beberapa, banyak tak terhingga, atau tidak ada sama sekali.

Pada bagian ini, kita akan membahas teorema yang dapat digunakan untuk menentukan interval konveksitas pada grafik fungsi tertentu.

Definisi 4

Grafik suatu fungsi akan cembung ke bawah atau ke atas jika fungsi yang bersesuaian y = f (x) mempunyai turunan berhingga kedua pada interval tertentu x, dengan ketentuan pertidaksamaan f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) benar.

Dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat mencari interval kecekungan dan kecembungan pada grafik suatu fungsi. Untuk melakukannya, Anda hanya perlu menyelesaikan pertidaksamaan f "" (x) ≥ 0 dan f "" (x) ≤ 0 pada domain definisi fungsi yang bersesuaian.

Mari kita perjelas bahwa titik-titik di mana turunan kedua tidak ada, tetapi fungsi y = f (x) terdefinisi, akan dimasukkan dalam interval kecembungan dan kecekungan.

Mari kita lihat contoh masalah tertentu untuk mengetahui cara menerapkan teorema ini dengan benar.

Contoh 1

Kondisi: diketahui fungsinya y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Tentukan pada interval berapa grafiknya akan mengalami kecembungan dan kecekungan.

Larutan

Daerah definisi fungsi ini adalah seluruh himpunan bilangan real. Mari kita mulai dengan menghitung turunan kedua.

y" = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Kita melihat bahwa domain definisi turunan kedua bertepatan dengan domain fungsi itu sendiri. Artinya, untuk mengidentifikasi interval konveksitas, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan f "" (x) ≥ 0 dan f "" (x). ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Kami mendapat jadwal itu fungsi yang diberikan akan mempunyai cekungan pada ruas [ 2 ; + ∞) dan konveksitas pada segmen (- ∞; 2 ] .

Untuk lebih jelasnya, mari kita menggambar grafik fungsi dan menandai bagian cembung dengan warna biru dan bagian cekung dengan warna merah.

Menjawab: grafik fungsi yang diberikan akan memiliki kecekungan pada segmen [ 2 ; + ∞) dan konveksitas pada segmen (- ∞; 2 ] .

Namun apa yang harus dilakukan jika domain definisi turunan kedua tidak sesuai dengan domain definisi fungsi? Di sini pernyataan di atas akan berguna bagi kita: kita juga akan memasukkan titik-titik di mana turunan kedua berhingga tidak ada pada segmen cekung dan cembung.

Contoh 2

Kondisi: diketahui fungsinya y = 8 x x - 1 . Tentukan pada interval mana grafiknya cekung dan pada interval mana grafiknya cembung.

Larutan

Pertama, mari kita cari tahu domain definisi fungsi tersebut.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Sekarang kita menghitung turunan keduanya:

y" = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2" = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Daerah definisi turunan keduanya adalah himpunan x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Kita melihat bahwa x sama dengan nol akan menjadi milik domain fungsi aslinya, tetapi tidak termasuk dalam domain turunan keduanya. Titik ini harus termasuk dalam ruas cekung atau cembung.

Setelah ini, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan f "" (x) ≥ 0 dan f "" (x) ≤ 0 pada domain definisi fungsi yang diberikan. Kita menggunakan metode interval untuk ini: dengan x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 atau x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 pembilang 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 menjadi 0, dan penyebutnya adalah 0 jika x nol atau satu.

Mari kita gambarkan titik-titik yang dihasilkan pada grafik dan tentukan tanda ekspresi pada semua interval yang akan dimasukkan dalam domain definisi fungsi aslinya. Area ini ditandai dengan arsiran pada grafik. Jika nilainya positif, kita tandai intervalnya dengan plus, jika negatif, maka dengan minus.

Karena itu,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , dan f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Kami menyertakan titik x = 0 yang telah ditandai sebelumnya dan mendapatkan jawaban yang diinginkan. Grafik fungsi aslinya akan cembung ke bawah pada 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , dan ke atas – untuk x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Mari kita menggambar grafik, menandai bagian cembung dengan warna biru dan bagian cekung dengan warna merah. Asimtot vertikal ditandai dengan garis putus-putus berwarna hitam.

Menjawab: Grafik fungsi aslinya akan cembung ke bawah pada 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , dan ke atas – untuk x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Kondisi infleksi grafik fungsi

Mari kita mulai dengan merumuskan kondisi yang diperlukan untuk infleksi grafik suatu fungsi tertentu.

Definisi 5

Katakanlah kita mempunyai fungsi y = f (x), yang grafiknya mempunyai titik belok. Pada x = x 0 mempunyai turunan kedua kontinu, sehingga persamaan f "" (x 0) = 0 berlaku.

Mempertimbangkan keadaan ini, kita harus mencari titik belok di antara titik-titik di mana turunan keduanya akan berubah menjadi 0. Kondisi ini tidak akan cukup: tidak semua poin tersebut cocok untuk kita.

Perhatikan juga itu, menurut definisi umum, kita membutuhkan garis singgung, vertikal atau non-vertikal. Dalam praktiknya, ini berarti bahwa untuk mencari titik belok, Anda harus mengambil titik belok yang turunan kedua dari suatu fungsi berubah menjadi 0. Oleh karena itu, untuk mencari absis titik belok, kita perlu mengambil semua x 0 dari domain definisi fungsi tersebut, di mana lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ dan lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Paling sering, ini adalah titik di mana penyebut turunan pertamanya menjadi 0.

Syarat cukup pertama adanya titik belok pada grafik suatu fungsi

Kami telah menemukan semua nilai x 0 yang dapat diambil sebagai absis titik belok. Setelah ini, kita perlu menerapkan kondisi infleksi cukup pertama.

Definisi 6

Katakanlah kita mempunyai fungsi y = f (x) yang kontinu di titik M (x 0 ; f (x 0)). Selain itu, ia mempunyai garis singgung di titik ini, dan fungsinya sendiri memiliki turunan kedua di sekitar titik ini x 0. Dalam hal ini, jika pada ruas kiri dan kanan turunan keduanya mempunyai tanda yang berlawanan, maka titik tersebut dapat dianggap sebagai titik belok.

Kita melihat bahwa kondisi ini tidak mengharuskan adanya turunan kedua pada titik ini; keberadaannya di sekitar titik x 0 sudah cukup.

Akan lebih mudah untuk menyajikan semua hal di atas dalam bentuk serangkaian tindakan.

1. Pertama, Anda perlu mencari semua absis x 0 dari kemungkinan titik belok, di mana f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Mari kita cari tahu di titik mana turunannya akan berubah tanda. Nilai-nilai ini adalah absis titik belok, dan titik M (x 0 ; f (x 0)) yang bersesuaian dengannya adalah titik belok itu sendiri.

Untuk lebih jelasnya, kami akan menganalisis dua masalah.

Contoh 3

Kondisi: diketahui fungsi y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Tentukan di mana grafik fungsi ini akan mempunyai titik belok dan titik konveksitas.

Larutan

Fungsi yang ditentukan didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Kami menghitung turunan pertama:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Sekarang mari kita cari domain definisi turunan pertama. Ini juga merupakan himpunan semua bilangan real. Artinya persamaan lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ dan lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ tidak dapat dipenuhi untuk nilai x 0 apa pun.

Kami menghitung turunan kedua:

y " " = = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y"" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Kami menemukan absis dari dua kemungkinan titik belok - 2 dan 3. Yang perlu kita lakukan hanyalah memeriksa pada titik mana turunannya berubah tanda. Mari kita menggambar garis bilangan dan memplot titik-titik ini di atasnya, setelah itu kita akan menempatkan tanda-tanda turunan kedua pada interval yang dihasilkan.

Busur menunjukkan arah konveksitas grafik pada setiap interval.

Turunan kedua berubah tanda menjadi kebalikannya (dari plus ke minus) di titik dengan absis 3, melewatinya dari kiri ke kanan, dan juga melakukan hal yang sama (dari minus ke plus) di titik dengan absis 3. Artinya kita dapat menyimpulkan bahwa x = - 2 dan x = 3 adalah absis titik belok grafik fungsi. Mereka akan sesuai dengan titik grafik - 2; - 4 3 dan 3; - 15 8 .

Mari kita lihat kembali gambar sumbu bilangan dan tanda-tanda yang dihasilkan pada intervalnya untuk menarik kesimpulan tentang tempat cekung dan cembung. Ternyata konveksitasnya akan terletak pada ruas - 2; 3, dan cekungan pada ruas (- ∞; - 2 ] dan [ 3; + ∞).

Solusi dari masalah tersebut digambarkan dengan jelas dalam grafik: Warna biru– cembung, merah – cekung, warna hitam berarti titik belok.

Menjawab: konveksitas akan terletak pada segmen - 2; 3, dan cekungan pada ruas (- ∞; - 2 ] dan [ 3; + ∞).

Contoh 4

Kondisi: hitung absis seluruh titik belok grafik fungsi y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Larutan

Daerah definisi suatu fungsi adalah himpunan semua bilangan real. Kami menghitung turunannya:

y" = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Berbeda dengan suatu fungsi, turunan pertamanya tidak akan ditentukan pada nilai x sama dengan 3, tetapi:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Artinya garis singgung vertikal grafik akan melalui titik tersebut. Oleh karena itu, 3 mungkin merupakan absis dari titik belok.

Kami menghitung turunan kedua. Kami juga menemukan domain definisinya dan titik-titik yang berubah menjadi 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5" (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y" " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Kami sekarang memiliki dua kemungkinan titik belok lagi. Mari kita gambarkan semuanya pada garis bilangan dan tandai interval yang dihasilkan dengan tanda:

Tanda tersebut akan berubah ketika melewati setiap titik yang ditunjukkan, artinya semuanya merupakan titik belok.

Menjawab: Mari kita menggambar grafik fungsinya, menandai cekungan dengan warna merah, cembung dengan warna biru, dan titik belok dengan warna hitam:

Mengetahui kondisi cukup pertama untuk infleksi, kita dapat menentukan titik-titik yang diperlukan dimana keberadaan turunan kedua tidak diperlukan. Berdasarkan hal ini, kondisi pertama dapat dianggap paling universal dan cocok untuk diselesaikan jenis yang berbeda tugas.

Perhatikan bahwa ada dua kondisi infleksi lagi, namun kondisi tersebut hanya dapat diterapkan jika terdapat turunan berhingga pada titik tertentu.

Jika kita mempunyai f "" (x 0) = 0 dan f """ (x 0) ≠ 0, maka x 0 adalah absis titik belok grafik y = f (x).

Contoh 5

Kondisi: fungsi y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 diberikan. Tentukan apakah grafik fungsi tersebut mempunyai titik belok di titik 3; 4 5 .

Larutan

Hal pertama yang harus dilakukan adalah memastikan bahwa titik ini umumnya termasuk dalam grafik fungsi ini.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Fungsi yang diberikan didefinisikan untuk semua argumen yang berupa bilangan real. Mari kita hitung turunan pertama dan kedua:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Kami menemukan bahwa turunan kedua akan menjadi 0 jika x sama dengan 0. Artinya, kondisi belok yang diperlukan untuk titik ini akan terpenuhi. Sekarang kita menggunakan kondisi kedua: kita mencari turunan ketiga dan mencari tahu apakah turunan tersebut akan berubah menjadi 0 pada 3:

kamu " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Turunan ketiga tidak akan hilang untuk nilai x berapa pun. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa titik ini akan menjadi titik belok grafik fungsi.

Menjawab: Mari kita tunjukkan solusinya dalam ilustrasi:

Misalkan f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 dan f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . Dalam hal ini, untuk n genap, kita peroleh bahwa x 0 adalah absis titik belok grafik y = f (x).

Contoh 6

Kondisi: diketahui fungsinya y = (x - 3) 5 + 1. Hitung titik belok grafiknya.

Larutan

Fungsi ini didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Kita hitung turunannya: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Karena ini juga akan didefinisikan untuk semua nilai argumen yang sebenarnya, garis singgung non-vertikal akan ada di titik mana pun dalam grafiknya.

Sekarang mari kita hitung pada nilai berapa turunan kedua akan berubah menjadi 0:

y"" = 5 · (x - 3) 4" = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Kami menemukan bahwa pada x = 3 grafik fungsi tersebut mungkin memiliki titik belok. Mari gunakan kondisi ketiga untuk mengonfirmasi hal ini:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2" = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Kita mempunyai n = 4 pada syarat cukup ketiga. Ini adalah bilangan genap, artinya x = 3 adalah absis titik belok dan titik grafik fungsi (3; 1) bersesuaian dengannya.

Menjawab: Berikut adalah grafik fungsi ini dengan tanda kecembungan, kecekungan, dan titik belok:

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

instruksi

Poin infleksi fungsi harus termasuk dalam domain definisinya, yang harus ditemukan terlebih dahulu. Jadwal fungsi adalah garis yang dapat kontinu atau putus-putus, menurun atau bertambah secara monoton, mempunyai nilai minimum atau maksimum poin(asimtot), berbentuk cembung atau cekung. Perubahan mendadak dua negara bagian terbaru dan disebut infleksi.

Prasyarat adanya infleksi fungsi terdiri dari persamaan detik dengan nol. Jadi, dengan mendiferensiasikan fungsi tersebut dua kali dan menyamakan ekspresi yang dihasilkan dengan nol, kita dapat mencari absis dari titik-titik yang mungkin infleksi.

Kondisi ini mengikuti definisi sifat-sifat kecembungan dan kecekungan grafik fungsi, yaitu nilai negatif dan positif dari turunan kedua. Pada intinya infleksi perubahan tajam pada sifat-sifat ini berarti turunannya melewati tanda nol. Namun, angka nol belum cukup untuk menunjukkan adanya infleksi.

Ada dua syarat yang cukup agar absis yang ditemukan pada tahap sebelumnya termasuk dalam titik infleksi:Melalui titik ini Anda dapat menggambar garis singgung fungsi. Turunan kedua memiliki tanda-tanda yang berbeda ke kanan dan kiri dari yang diharapkan poin infleksi. Jadi, keberadaannya pada titik itu sendiri tidak perlu; cukup untuk menentukan bahwa ia berubah tanda fungsi sama dengan nol, dan yang ketiga tidak.

Solusi: Temukan. Dalam hal ini tidak ada batasan, oleh karena itu, ini adalah seluruh ruang bilangan real. Hitung turunan pertama: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Perhatikan. Oleh karena itu, domain definisi turunan terbatas. Titik x = 5 tertusuk, artinya dapat dilewati garis singgung, yang sebagian sesuai dengan tanda kecukupan pertama infleksi.

Tentukan hasil ekspresi untuk x → 5 – 0 dan x → 5 + 0. Keduanya sama dengan -∞ dan +∞. Anda telah membuktikan bahwa garis singgung vertikal melalui titik x=5. Poin ini mungkin bisa menjadi sebuah poin infleksi, tapi hitung dulu turunan keduanya: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Hilangkan penyebutnya karena Anda sudah memperhitungkan titik x = 5. Selesaikan persamaan 2 x – 22 = 0. Persamaannya mempunyai akar tunggal x = 11. Langkah terakhir adalah memastikan bahwa poin x=5 dan x=11 adalah titik infleksi. Analisis perilaku turunan kedua di sekitarnya. Jelasnya, di titik x = 5 berubah tanda dari “+” menjadi “-”, dan di titik x = 11 - sebaliknya. Kesimpulan: keduanya poin adalah poin infleksi. Kondisi cukup pertama terpenuhi.

Grafik suatu fungsi kamu=f(x) ditelepon cembung pada interval (a;b), jika terletak di bawah salah satu garis singgungnya pada interval ini.

Grafik suatu fungsi kamu=f(x) ditelepon cekung pada interval (a;b), jika terletak di atas salah satu garis singgungnya pada interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan kurva yang cembung di (a;b) dan cekung (b;c).

Contoh.

Mari kita pertimbangkan kriteria cukup yang memungkinkan kita menentukan apakah grafik suatu fungsi dalam interval tertentu akan cembung atau cekung.

Dalil. Membiarkan kamu=f(x) dapat dibedakan oleh (a;b). Jika di semua titik interval (a;b) turunan kedua dari fungsi tersebut kamu = f(x) negatif, yaitu F ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 – cekung.

Bukti. Mari kita asumsikan dengan pasti hal itu F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Mari kita ambil fungsi pada grafik kamu = f(x) titik sewenang-wenang M0 dengan absis x 0 Î ( A; B) dan gambarlah titik tersebut M0 garis singgung. Persamaannya. Kita harus menunjukkan bahwa grafik fungsi tersebut aktif (a;b) terletak di bawah garis singgung ini, yaitu. pada nilai yang sama X ordinat kurva kamu = f(x) akan lebih kecil dari ordinat garis singgungnya.

Jadi, persamaan kurvanya adalah kamu = f(x). Mari kita nyatakan ordinat garis singgung yang bersesuaian dengan absis X. Kemudian . Oleh karena itu, selisih antara ordinat kurva dan garis singgung adalah besaran yang sama X akan .

Perbedaan f(x) – f(x 0) bertransformasi menurut teorema Lagrange, dimana C di antara X Dan x 0.

Dengan demikian,

Kami sekali lagi menerapkan teorema Lagrange pada ekspresi dalam tanda kurung siku: , di mana c 1 di antara c 0 Dan x 0. Sesuai dengan kondisi teorema F ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Jadi, setiap titik pada kurva terletak di bawah garis singgung kurva untuk semua nilai X Dan x 0 Î ( A; B), yang berarti kurvanya cembung. Bagian kedua dari teorema dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh.

Titik grafik fungsi berkelanjutan, yang memisahkan bagian cembung dari bagian cekungnya disebut titik belok.

Jelasnya, pada titik belok, garis singgung, jika ada, memotong kurva, karena di satu sisi titik ini kurva terletak di bawah garis singgung, dan di sisi lain - di atasnya.

Mari kita tentukan kondisi yang memadai agar suatu titik tertentu pada kurva merupakan titik belok.

Dalil. Biarkan kurva ditentukan oleh persamaan kamu = f(x). Jika F ""(X 0) = 0 atau F ""(X 0) tidak ada bahkan ketika melewati nilai X = x 0 turunan F ""(X) berubah tanda, maka titik pada grafik fungsi tersebut dengan absis X = x 0 ada titik belok.

Bukti. Membiarkan F ""(X) < 0 при X < x 0 Dan F ""(X) > 0 jam X > x 0. Lalu di X < x 0 kurvanya cembung, dan kapan X > x 0– cekung. Oleh karena itu, intinya A, terletak pada kurva, dengan absis x 0 ada titik belok. Kasus kedua dapat dianggap serupa, kapan F ""(X) > 0 jam X < x 0 Dan F ""(X) < 0 при X > x 0.

Oleh karena itu, titik belok harus dicari hanya di antara titik-titik di mana turunan keduanya hilang atau tidak ada.

Contoh. Temukan titik belok dan tentukan interval kecembungan dan kecekungan kurva.

ASIMTOTE GRAFIK FUNGSI

Saat mempelajari suatu fungsi, penting untuk menetapkan bentuk grafiknya pada jarak titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.

Yang menarik adalah kasus ketika grafik suatu fungsi, ketika titik variabelnya dipindahkan hingga tak terhingga, mendekati garis lurus tertentu tanpa batas.

Garis lurus disebut asimtot grafik fungsi kamu = f(x), jika jarak dari titik variabel M grafik ke baris ini saat menghapus suatu titik M hingga tak terhingga cenderung nol, yaitu suatu titik pada grafik suatu fungsi, karena cenderung tak terhingga, harus mendekati asimtotnya tanpa batas.

Sebuah kurva dapat mendekati asimtotnya, tetap berada di satu sisi atau di sisi yang berbeda, melintasi asimtot tersebut berkali-kali dan berpindah dari satu sisi ke sisi lainnya.

Jika kita menyatakan dengan d jarak dari titik tersebut M kurva ke asimtot, maka jelas bahwa d cenderung nol ketika titik menjauh M hingga tak terbatas.

Kami selanjutnya akan membedakan antara asimtot vertikal dan miring.

ASIMTOTE VERTIKAL

Biarkan di X→ x 0 dari fungsi sampingan mana pun kamu = f(x) meningkat tanpa batas dalam nilai absolut, mis. atau atau . Kemudian dari pengertian asimtot diperoleh garis lurus X = x 0 adalah asimtot. Kebalikannya juga terlihat jelas, jika garisnya X = x 0 adalah asimtot, mis. .

Jadi, asimtot vertikal dari grafik fungsi tersebut kamu = f(x) disebut garis lurus jika f(x)→ ∞ pada setidaknya salah satu kondisi X→ x 0– 0 atau X → x 0 + 0, X = x 0

Oleh karena itu, untuk mencari asimtot vertikal dari grafik fungsi tersebut kamu = f(x) perlu menemukan nilai-nilai itu X = x 0, di mana fungsinya menuju tak terhingga (mengalami diskontinuitas tak terhingga). Kemudian asimtot vertikal memiliki persamaan X = x 0.

Contoh.

ASIMTOTE SLANT

Karena asimtotnya berupa garis lurus, maka jika berbentuk kurva kamu = f(x) mempunyai asimtot miring, maka persamaannya adalah kamu = kx + B. Tugas kita adalah mencari koefisiennya k Dan B.

Dalil. Lurus kamu = kx + B berfungsi sebagai asimtot miring di X→ +∞ untuk grafik fungsi kamu = f(x) saat itu dan hanya kapan . Pernyataan serupa juga berlaku untuk X → –∞.

Bukti. Membiarkan anggota parlemen– panjang suatu segmen sama dengan jarak dari suatu titik M menjadi asimtot. Dengan syarat. Mari kita nyatakan dengan φ sudut kemiringan asimtot terhadap sumbu Sapi. Lalu dari ΔMNP mengikuti itu. Karena φ adalah sudut konstan (φ ≠ π/2), maka , tapi

Masih perlu dipertimbangkan konveksitas, cekung dan kekusutan grafik. Mari kita mulai dengan situs yang sangat disukai pengunjung Latihan fisik. Silakan berdiri dan condongkan tubuh ke depan atau ke belakang. Ini adalah tonjolan. Sekarang rentangkan tangan Anda di depan Anda, telapak tangan menghadap ke atas, dan bayangkan Anda sedang memegang sebuah balok kayu besar di dada Anda... ...baiklah, jika Anda tidak menyukai balok tersebut, biarkan sesuatu/orang lain yang melakukannya = ) Ini adalah cekungan. Sejumlah sumber memuat istilah-istilah yang sinonim menonjol Dan menonjol ke bawah, tapi saya penggemar judul pendek.

! Perhatian : beberapa penulis menentukan kecembungan dan kecekungan justru sebaliknya. Hal ini juga benar secara matematis dan logis, namun sering kali sepenuhnya salah dari sudut pandang substantif, termasuk pada tingkat pemahaman awam kita terhadap istilah-istilah tersebut. Jadi, misalnya lensa yang memiliki tuberkel disebut lensa bikonveks, tetapi tidak dengan lensa cekung (bikonkaf).
Dan, katakanlah, tempat tidur "cekung" - masih jelas tidak "menempel" =) (namun, jika Anda naik ke bawahnya, maka kita akan berbicara tentang cembung; =)) Saya menganut pendekatan yang sesuai dengan alam asosiasi manusia.

Definisi formal kecembungan dan kecekungan suatu graf cukup sulit untuk sebuah teko, jadi kami akan membatasi diri pada interpretasi geometris dari konsep tentang contoh spesifik. Perhatikan grafik suatu fungsi itu kontinu pada seluruh garis bilangan:

Sangat mudah untuk membangunnya transformasi geometri, dan, mungkin, banyak pembaca yang mengetahui cara memperolehnya dari parabola kubik.

Mari kita menelepon akord penghubung garis dua titik berbeda seni grafis.

Grafik suatu fungsi adalah cembung pada interval tertentu, jika berada tidak kurang akord apa pun pada interval tertentu. Garis percobaannya cembung pada , dan, tentu saja, di sini setiap bagian grafik terletak DI ATAS garis tersebut akord. Untuk mengilustrasikan definisinya, saya menggambar tiga garis hitam.

Fungsi grafik adalah cekung pada interval, jika berada tidak lebih tinggi akord apa pun pada interval ini. Dalam contoh yang dipertimbangkan, pasien berbentuk cekung pada intervalnya. Sepasang segmen berwarna coklat dengan meyakinkan menunjukkan bahwa di sini setiap bagian grafik terletak DI BAWAHnya akord.

Titik pada grafik yang berubah dari cembung ke cekung atau cekung ke cembung disebut titik belok. Kami memilikinya dalam satu salinan (kasus pertama), dan, dalam praktiknya, yang dimaksud dengan titik belok adalah titik hijau milik garis itu sendiri dan nilai “X”.

PENTING! Kekusutan grafik harus digambar dengan hati-hati dan sangat lembut. Segala bentuk “ketidakberesan” dan “kekasaran” tidak dapat diterima. Ini hanya membutuhkan sedikit pelatihan.

Pendekatan kedua untuk menentukan konveksitas/cekungan dalam teori diberikan melalui garis singgung:

Cembung pada interval grafik tersebut berada tidak lebih tinggi garis singgung yang ditarik padanya pada suatu titik sembarang pada interval tertentu. Cekung pada grafik interval – tidak kurang setiap garis singgung pada interval ini.

Hiperbola tersebut cekung pada intervalnya dan cembung pada:

Ketika melewati titik asal, cekungan berubah menjadi cembung, tetapi titik JANGAN DIHITUNG titik belok, karena fungsinya tidak ditentukan di dalamnya.

Pernyataan dan teorema yang lebih teliti mengenai topik ini dapat ditemukan di buku teks, dan kita beralih ke bagian praktis yang intens:

Cara mencari interval konveksitas, interval cekung
dan titik belok grafik?

Bahannya sederhana, diberi stensil, dan berulang secara struktural studi tentang fungsi ekstrem.

Ciri-ciri grafik yang cembung/cekung turunan kedua fungsi.

Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi dua kali pada interval tertentu. Kemudian:

– jika turunan keduanya berada pada suatu interval, maka grafik fungsinya cembung pada interval tersebut;

– jika turunan keduanya berada pada suatu interval, maka grafik fungsinya cekung pada interval tersebut.

Mengenai tanda-tanda turunan kedua, sebuah asosiasi prasejarah berjalan di sekitar lembaga pendidikan: “–” menunjukkan bahwa “Anda tidak dapat menuangkan air ke dalam grafik suatu fungsi” (konveksitas),
dan “+” – “memberikan peluang seperti itu” (cekung).

Kondisi belok yang diperlukan

Jika pada suatu titik terdapat titik belok pada grafik fungsinya, Itu:
atau nilainya tidak ada(mari kita selesaikan, baca!).

Frasa ini menyiratkan bahwa fungsinya kontinu pada suatu titik dan dalam kasus – terdiferensiasi dua kali di lingkungan tertentu.

Perlunya kondisi tersebut menunjukkan bahwa hal sebaliknya tidak selalu benar. Artinya, dari kesetaraan (atau tidak adanya nilai) belum seharusnya adanya infleksi pada grafik suatu fungsi di suatu titik. Namun dalam kedua situasi tersebut mereka menelepon titik kritis turunan kedua.

Kondisi yang cukup untuk belok

Jika turunan keduanya berubah tanda ketika melalui suatu titik, maka pada titik tersebut terjadi infleksi pada grafik fungsinya.

Mungkin tidak ada titik belok (contoh telah ditemukan) sama sekali, dan dalam hal ini beberapa contoh dasar bersifat indikatif. Mari kita analisis turunan kedua dari fungsi tersebut:

Diperoleh fungsi konstanta positif, yaitu untuk setiap nilai "x". Fakta yang ada di permukaan: seluruh parabola cekung domain definisi, tidak ada titik belok. Sangat mudah untuk melihat bahwa koefisien negatif di “membalikkan” parabola dan membuatnya cembung (seperti yang ditunjukkan oleh turunan kedua, fungsi konstanta negatif).

Fungsi eksponensial juga cekung di:

untuk setiap nilai "x".

Tentu saja grafik tersebut tidak memiliki titik belok.

Kita periksa grafik fungsi logaritma untuk konveksitas/cekung:

Jadi, cabang logaritmanya cembung pada intervalnya. Turunan kedua juga ditentukan pada interval tersebut, tetapi pertimbangkanlah ITU DILARANG, karena interval ini tidak termasuk dalam domain fungsi Persyaratannya jelas - karena tidak ada grafik logaritma di sana, tentu saja tidak ada pembicaraan tentang konveksitas/cekungan/infleksi.

Seperti yang Anda lihat, semuanya sangat mengingatkan pada cerita naik, turun, dan ekstrem dari fungsi tersebut. Mirip dengan diriku sendiri algoritma untuk mempelajari grafik suatu fungsiuntuk konveksitas, cekungan dan adanya kekusutan:

2) Kami mencari nilai-nilai kritis. Untuk melakukan ini, ambil turunan kedua dan selesaikan persamaannya. Titik-titik yang tidak mempunyai turunan ke-2, tetapi termasuk dalam domain definisi fungsi itu sendiri, juga dianggap kritis!

3) Tandai pada garis bilangan semua titik diskontinuitas yang ditemukan dan poin kritis (mungkin tidak ada satu atau yang lain - maka tidak perlu menggambar apa pun (seperti dalam kasus yang terlalu sederhana), cukup membatasi diri pada komentar tertulis). Metode interval tentukan tanda-tanda pada interval yang dihasilkan. Seperti yang baru saja dijelaskan, kita harus mempertimbangkannya hanya itu interval yang termasuk dalam domain definisi fungsi. Kami menarik kesimpulan tentang konveksitas/cekungan dan titik belok grafik fungsi. Kami memberikan jawabannya.

Cobalah untuk menerapkan algoritma secara lisan ke fungsi . Dalam kasus kedua, ada contoh ketika tidak ada titik belok pada grafik di titik kritis. Namun, mari kita mulai dengan tugas yang sedikit lebih sulit:

Contoh 1

Larutan:
1) Fungsi terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan. Sangat bagus.

2) Mari kita cari turunan keduanya. Anda dapat melakukan konstruksi kubus terlebih dahulu, tetapi jauh lebih menguntungkan untuk menggunakannya aturan untuk diferensiasi fungsi kompleks:

Harap dicatat bahwa , yang berarti fungsinya adalah tidak menurun. Meskipun hal ini tidak relevan dengan tugas, selalu disarankan untuk memperhatikan fakta-fakta tersebut.

Mari kita cari titik kritis turunan keduanya:

- titik kritis

3) Mari kita periksa apakah kondisi belok cukup terpenuhi. Mari kita tentukan tanda turunan kedua pada interval yang dihasilkan.

Perhatian! Sekarang kita bekerja dengan turunan kedua (dan bukan dengan fungsi!)

Hasilnya, satu titik kritis diperoleh: .

3) Tandai dua titik diskontinuitas pada garis bilangan, suatu titik kritis, dan tentukan tanda turunan keduanya pada interval yang dihasilkan:

Saya mengingatkan Anda tentang teknik penting metode interval, memungkinkan Anda mempercepat solusi secara signifikan. Turunan kedua ternyata sangat merepotkan, sehingga tidak perlu menghitung nilainya, cukup membuat “perkiraan” pada setiap interval. Mari kita pilih, misalnya, sebuah titik yang termasuk dalam interval kiri,
dan lakukan substitusi:

Sekarang mari kita menganalisis penggandanya:

Dua “minus” dan “plus” menghasilkan “plus”, yang berarti turunan keduanya positif pada seluruh interval.

Tindakan yang dikomentari mudah dilakukan secara lisan. Selain itu, ada baiknya untuk mengabaikan faktor tersebut sama sekali - faktor tersebut positif untuk sembarang “x” dan tidak memengaruhi tanda turunan kedua kita.

Jadi, informasi apa yang Anda berikan kepada kami?

Menjawab: Grafik fungsinya cekung di dan cembung . Di tempat asal (sudah jelas bahwa ) ada titik belok pada grafik.

Ketika melewati suatu titik, turunan keduanya juga berubah tanda, tetapi tidak dianggap sebagai titik belok, karena fungsinya menderita pada titik tersebut. istirahat tanpa akhir.

Dalam contoh yang dianalisis, turunan pertama memberi tahu kita tentang pertumbuhan fungsi secara keseluruhan domain definisi. Akan selalu ada freebie seperti itu =) Selain itu, jelas ada tiga asimtot. Banyak data telah diperoleh, yang memungkinkan tingkat tinggi keandalan saat ini penampilan seni grafis. Untuk heap, fungsinya juga ganjil. Berdasarkan fakta yang ada, cobalah membuat sketsa kasar. Gambar di akhir pelajaran.

Tugas untuk solusi mandiri:

Contoh 6

Periksa grafik suatu fungsi untuk kecembungan, kecekungan dan temukan titik belok grafik tersebut, jika ada.

Tidak ada gambar dalam sampel, namun tidak dilarang untuk mengajukan hipotesis;)

Kami menggiling materi tanpa memberi nomor pada poin algoritma:

Contoh 7

Periksa grafik suatu fungsi untuk kecembungan, kecekungan dan temukan titik belok, jika ada.

Larutan: fungsi dapat ditoleransi kesenjangan yang tak ada habisnya pada titik.

Seperti biasa, semuanya baik-baik saja dengan kami:

Turunan bukanlah yang paling sulit, yang utama adalah berhati-hati dengan “gaya rambut” mereka.
Dalam maraton terinduksi, dua titik kritis dari turunan kedua terungkap:

Mari kita tentukan tanda-tanda pada interval yang dihasilkan:

Ada titik belok pada grafik di suatu titik; mari kita cari ordinat titik tersebut:

Ketika melewati suatu titik, turunan keduanya tidak berubah tanda, sehingga TIDAK ada infleksi pada grafik.

Menjawab: interval konveksitas: ; interval kecekungan: ; titik belok: .

Mari kita pertimbangkan contoh terakhir dengan lonceng dan peluit tambahan:

Contoh 8

Tentukan interval kecembungan, kecekungan, dan titik belok pada grafik tersebut

Larutan: dengan temuan domain definisi Tidak ada masalah khusus:
, sedangkan fungsinya mengalami diskontinuitas di titik-titiknya.

Mari kita menempuh jalan yang sulit:

- titik kritis.

Mari kita definisikan tanda-tandanya dan pertimbangkan intervalnya hanya dari domain fungsi:

Ada titik belok pada suatu titik pada grafik; mari kita hitung ordinatnya: