nilai rata-rata- ini adalah indikator umum yang mencirikan populasi yang homogen secara kualitatif menurut karakteristik kuantitatif tertentu. Misalnya, usia rata-rata orang yang dihukum karena pencurian.
Dalam statistik peradilan, nilai rata-rata digunakan untuk mengkarakterisasi:
Waktu rata-rata untuk mempertimbangkan kasus-kasus dalam kategori ini;
Ukuran klaim rata-rata;
Rata-rata jumlah terdakwa per kasus;
Kerusakan rata-rata;
Beban kerja rata-rata juri, dll.
Rata-rata selalu merupakan nilai yang diberi nama dan mempunyai dimensi yang sama dengan karakteristik suatu unit individu dalam populasi. Setiap nilai rata-rata mencirikan populasi yang diteliti menurut salah satu ciri yang berbeda-beda, oleh karena itu di balik setiap nilai rata-rata terdapat rangkaian sebaran satuan populasi tersebut menurut ciri yang diteliti. Pemilihan jenis rata-rata ditentukan oleh isi indikator dan data awal untuk perhitungan ukuran rata-rata.
Semua jenis rata-rata yang digunakan dalam penelitian statistik dibagi menjadi dua kategori:
1) rata-rata daya;
2) rata-rata struktural.
Kategori rata-rata pertama meliputi: mean aritmatika, mean harmonik, mean geometrik Dan akar rata-rata kuadrat . Kategori kedua adalah mode Dan median. Selain itu, masing-masing jenis rata-rata daya yang terdaftar dapat memiliki dua bentuk: sederhana Dan tertimbang . Bentuk sederhana Nilai rata-rata digunakan untuk memperoleh nilai rata-rata dari sifat yang diteliti, bila penghitungan dilakukan dengan menggunakan data statistik yang tidak dikelompokkan, atau bila setiap opsi dalam agregat hanya muncul satu kali. Rata-rata tertimbang adalah nilai yang memperhitungkan bahwa varian nilai atribut mungkin memiliki angka yang berbeda, oleh karena itu setiap varian harus dikalikan dengan frekuensi yang sesuai. Dengan kata lain, setiap opsi “ditimbang” berdasarkan frekuensinya. Frekuensi disebut bobot statistik.
Rata-rata aritmatika sederhana- jenis rata-rata yang paling umum. Itu sama dengan jumlah nilai individu dari suatu karakteristik dibagi jumlah total nilai-nilai ini:
Di mana x 1 ,x 2 , … ,x N adalah nilai individu dari karakteristik (varian) yang bervariasi, dan N adalah jumlah unit dalam populasi.
Rata-rata aritmatika tertimbang digunakan dalam kasus di mana data disajikan dalam bentuk rangkaian distribusi atau pengelompokan. Ini dihitung sebagai jumlah produk opsi dan frekuensi terkaitnya, dibagi dengan jumlah frekuensi semua opsi:
Di mana x saya- arti Saya varian karakteristik; f saya- frekuensi Saya pilihan.
Jadi, setiap nilai varian diberi bobot berdasarkan frekuensinya, itulah sebabnya frekuensi terkadang disebut bobot statistik.
Komentar. Kapan yang sedang kita bicarakan tentang mean aritmatika tanpa menunjukkan jenisnya, mean aritmatikanya sederhana.
Tabel 12.
Larutan. Untuk menghitungnya, kami menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:
Dengan demikian, rata-rata ada dua terdakwa dalam satu perkara pidana.
Jika perhitungan nilai rata-rata dilakukan dengan menggunakan data yang dikelompokkan dalam bentuk deret distribusi interval, maka terlebih dahulu perlu ditentukan nilai tengah setiap interval x"i, kemudian dihitung nilai rata-ratanya dengan menggunakan rata-rata tertimbang aritmatika. rumus, di mana x"i disubstitusikan sebagai pengganti xi.
Contoh. Data usia pelaku tindak pidana pencurian disajikan pada tabel:
Tabel 13.
Tentukan usia rata-rata penjahat yang dihukum karena pencurian.
Larutan. Untuk menentukan rata-rata umur penjahat berdasarkan deret variasi interval, perlu dicari terlebih dahulu nilai tengah interval tersebut. Karena kita diberikan deret interval dengan buka dulu dan interval terakhir, maka nilai interval tersebut diambil sama dengan nilai interval tertutup yang berdekatan. Dalam kasus kami, nilai interval pertama dan terakhir sama dengan 10.
Sekarang kita mencari rata-rata usia penjahat menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:
Dengan demikian, rata-rata usia pelaku kejahatan pencurian kurang lebih 27 tahun.
Berarti harmonik sederhana mewakili kebalikan dari mean aritmatika dari nilai kebalikan dari karakteristik:
dimana 1/ x saya adalah nilai kebalikan dari pilihan, dan N adalah jumlah unit dalam populasi.
Contoh. Untuk mengetahui rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri dalam mempertimbangkan perkara pidana, dilakukan kajian terhadap beban kerja 5 orang hakim pengadilan negeri tersebut. Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu perkara pidana untuk masing-masing hakim yang disurvei ternyata sama (dalam hari): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Tentukan biaya rata-rata untuk satu perkara pidana kasus pidana dan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri tertentu ketika mempertimbangkan kasus pidana.
Larutan. Untuk menentukan rata-rata waktu yang dihabiskan dalam satu perkara pidana, kita menggunakan rumus rata-rata harmonik:
Untuk menyederhanakan perhitungan, pada contoh kita mengambil jumlah hari dalam setahun menjadi 365, termasuk akhir pekan (ini tidak mempengaruhi metodologi perhitungan, dan ketika menghitung indikator serupa dalam praktiknya, perlu untuk mengganti jumlah hari kerja. hari pada tahun tertentu, bukan 365 hari). Maka rata-rata beban kerja tahunan hakim suatu pengadilan negeri ketika mempertimbangkan perkara pidana adalah: 365 (hari) : 5,56 ≈ 65,6 (kasus).
Jika kita menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana untuk menentukan rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana, kita akan mendapatkan:
365 (hari): 5,64 ≈ 64,7 (kasus), mis. rata-rata beban kerja hakim ternyata lebih sedikit.
Mari kita periksa validitas pendekatan ini. Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan data waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk setiap hakim dan menghitung jumlah kasus pidana yang dipertimbangkan oleh masing-masing hakim per tahun.
Kami mendapatkan yang sesuai:
365(hari): 6 ≈ 61 (kasus), 365(hari) : 5.6 ≈ 65.2 (kasus), 365(hari) : 6.3 ≈ 58 (kasus),
365(hari): 4.9 ≈ 74.5 (kasus), 365(hari): 5.4 ≈ 68 (kasus).
Sekarang mari kita hitung rata-rata beban kerja tahunan hakim di pengadilan negeri tertentu ketika mempertimbangkan kasus pidana:
Itu. rata-rata beban tahunan sama dengan bila menggunakan rata-rata harmonik.
Dengan demikian, penggunaan rata-rata aritmatika dalam hal ini adalah haram.
Dalam kasus di mana varian suatu karakteristik dan nilai volumetriknya (hasil kali varian dan frekuensi) diketahui, tetapi frekuensinya sendiri tidak diketahui, rumus rata-rata harmonik tertimbang digunakan:
,
Di mana x saya adalah nilai opsi atribut, dan w i adalah nilai volumetrik opsi ( w saya = x saya f saya).
Contoh. Data harga satuan produk sejenis yang diproduksi oleh berbagai lembaga sistem pemasyarakatan, dan volume penjualannya disajikan pada Tabel 14.
Tabel 14
Temukan harga jual rata-rata produk tersebut.
Larutan. Saat menghitung harga rata-rata, kita harus menggunakan perbandingan jumlah penjualan dengan jumlah unit yang terjual. Kita tidak tahu jumlah unit yang terjual, tapi kita tahu jumlah penjualan barangnya. Oleh karena itu, untuk mencari rata-rata harga barang terjual kita akan menggunakan rumus rata-rata harmonik tertimbang. Kita mendapatkan
Jika Anda menggunakan rumus rata-rata aritmatika di sini, Anda bisa mendapatkan harga rata-rata yang tidak realistis:
Rata-rata geometris dihitung dengan mengekstraksi akar derajat N dari produk semua nilai varian atribut:
,
Di mana x 1 ,x 2 , … ,x N- nilai individu dari karakteristik (varian) yang bervariasi, dan
N- jumlah unit dalam populasi.
Jenis rata-rata ini digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata deret waktu.
Berarti persegi digunakan untuk menghitung simpangan baku yang merupakan indikator variasi, dan akan dibahas di bawah.
Untuk mengetahui struktur penduduk digunakan indikator rata-rata khusus yang meliputi median Dan mode , atau yang disebut rata-rata struktural. Jika mean aritmatika dihitung berdasarkan penggunaan seluruh varian nilai atribut, maka median dan modus mencirikan nilai varian yang menempati posisi rata-rata tertentu dalam rangkaian rangking (terurut). Unit-unit populasi statistik dapat diurutkan dalam urutan menaik atau menurun dari varian karakteristik yang diteliti.
Median (Saya)- ini adalah nilai yang sesuai dengan opsi yang terletak di tengah rangkaian peringkat. Jadi, mediannya adalah varian dari rangkaian peringkat yang kedua sisinya seharusnya berada dalam rangkaian tersebut jumlah yang sama unit populasi.
Untuk mencari median, terlebih dahulu Anda perlu menentukan nomor urutnya pada deret rangking dengan menggunakan rumus:
dimana N adalah volume deret tersebut (jumlah satuan dalam populasi).
Jika suatu deret terdiri atas suku-suku ganjil, maka mediannya sama dengan varian bernomor N Me. Jika suatu deret terdiri dari sejumlah suku genap, maka median didefinisikan sebagai rata-rata aritmatika dari dua pilihan berdekatan yang terletak di tengah.
Contoh. Diberikan suatu deret yang diberi peringkat 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volume deret tersebut adalah N = 9, artinya N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Jadi, Me = 6, yaitu . pilihan kelima. Jika barisnya diberikan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, mis. deret yang banyak sukunya genap (N = 8), maka N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Artinya median sama dengan setengah jumlah pilihan keempat dan kelima, yaitu. Saya = (9 + 11) / 2 = 10.
Dalam rangkaian variasi diskrit, median ditentukan oleh akumulasi frekuensi. Frekuensi opsi, mulai dari yang pertama, dijumlahkan hingga angka median terlampaui. Nilai dari opsi yang dijumlahkan terakhir akan menjadi median.
Contoh. Temukan median jumlah terdakwa per kasus pidana dengan menggunakan data pada Tabel 12.
Larutan. Dalam hal ini volume deret variasi adalah N = 154, jadi N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Setelah menjumlahkan frekuensi pilihan pertama dan kedua, kita memperoleh: 75 + 43 = 118, mis. kami telah melampaui angka median. Jadi Saya = 2.
Dalam deret variasi interval, distribusinya terlebih dahulu menunjukkan interval di mana median akan ditempatkan. Dia dipanggil median . Ini adalah interval pertama yang frekuensi akumulasinya melebihi setengah volume rangkaian variasi interval. Kemudian nilai numerik median ditentukan dengan rumus:
Di mana x Saya- batas bawah interval median; i adalah nilai median interval; S Saya-1- akumulasi frekuensi interval sebelum median; f Saya- frekuensi interval median.
Contoh. Temukan median usia pelanggar yang dihukum karena pencurian berdasarkan statistik yang disajikan pada Tabel 13.
Larutan. Data statistik disajikan dalam deret variasi interval, artinya kita menentukan terlebih dahulu median intervalnya. Volume penduduknya adalah N = 162, maka median intervalnya adalah interval 18-28, karena ini adalah interval pertama yang frekuensi akumulasinya (15 + 90 = 105) melebihi setengah volume (162: 2 = 81) dari rangkaian variasi interval. Sekarang kita menentukan nilai numerik median menggunakan rumus di atas:
Dengan demikian, separuh dari terpidana pencurian berusia di bawah 25 tahun.
Mode (Bulan) Mereka menyebut nilai suatu karakteristik yang paling sering ditemukan dalam satuan populasi. Fashion digunakan untuk mengidentifikasi nilai suatu karakteristik yang paling tersebar luas. Untuk rangkaian diskrit, mode akan menjadi pilihan dengan frekuensi tertinggi. Misalnya untuk deret diskrit yang disajikan pada Tabel 3 Mo= 1, karena nilai ini sesuai dengan frekuensi tertinggi - 75. Untuk menentukan modus deret interval, tentukan terlebih dahulu modal interval (interval yang mempunyai frekuensi tertinggi). Kemudian, dalam interval tersebut ditemukan nilai fitur yang dapat menjadi mode.
Nilainya ditemukan menggunakan rumus:
Di mana xMo- batas bawah interval modal; i adalah nilai interval modal; f Mo- frekuensi interval modal; f Mo-1- frekuensi interval sebelum modal; f Mo+1- frekuensi interval setelah modal.
Contoh. Cari tahu umur pelaku pencurian yang datanya disajikan pada Tabel 13.
Larutan. Frekuensi tertinggi sesuai dengan interval 18-28, oleh karena itu mode harus berada dalam interval ini. Nilainya ditentukan oleh rumus di atas:
Dengan demikian, pelaku kejahatan pencurian terbanyak berusia 24 tahun.
Nilai rata-rata memberikan gambaran umum tentang keseluruhan fenomena yang diteliti. Akan tetapi, dua populasi yang mempunyai nilai rata-rata yang sama dapat berbeda secara signifikan satu sama lain dalam derajat fluktuasi (variasi) nilai karakteristik yang diteliti. Misalnya di satu pengadilan mereka menunjuk tanggal-tanggal berikutnya penjara: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 tahun, dan di lain waktu - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 tahun. Dalam kedua kasus tersebut, rata-rata aritmatikanya adalah 6,7 tahun. Namun, populasi-populasi ini berbeda secara signifikan satu sama lain dalam penyebaran nilai-nilai individu dari hukuman penjara yang ditetapkan relatif terhadap nilai rata-rata.
Dan untuk pengadilan pertama, dimana penyebarannya cukup besar, rata-rata hukuman penjara tidak mencerminkan seluruh populasi. Jadi, jika nilai individu suatu karakteristik sedikit berbeda satu sama lain, maka mean aritmatika akan menjadi karakteristik yang cukup indikatif dari sifat-sifat suatu populasi tertentu. Jika tidak, mean aritmatika akan menjadi karakteristik populasi tertentu yang tidak dapat diandalkan dan penggunaannya dalam praktik tidak akan efektif. Oleh karena itu, perlu diperhatikan variasi nilai karakteristik yang diteliti.
Variasi- ini adalah perbedaan nilai suatu karakteristik di antara unit-unit berbeda dari suatu populasi tertentu pada periode atau titik waktu yang sama. Istilah “variasi” berasal dari bahasa Latin - variatio, yang berarti perbedaan, perubahan, fluktuasi. Ini muncul sebagai akibat dari fakta bahwa nilai-nilai individu dari suatu karakteristik terbentuk di bawah pengaruh gabungan berbagai faktor (kondisi), yang digabungkan secara berbeda dalam setiap kasus. Berbagai absolut dan indikator relatif.
Indikator utama variasi adalah sebagai berikut:
1) ruang lingkup variasi;
2) deviasi linier rata-rata;
3) penyebaran;
4) rata-rata deviasi standar;
5) koefisien variasi.
Mari kita lihat secara singkat masing-masingnya.
Rentang variasi R adalah indikator absolut yang paling mudah diakses dalam hal kemudahan penghitungan, yang didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan terkecil dari suatu karakteristik untuk satuan populasi tertentu:
Rentang variasi (rentang fluktuasi) - indikator penting variabilitas tanda, tetapi hanya memungkinkan untuk melihat penyimpangan ekstrim, yang membatasi ruang lingkup penerapannya. Untuk lebih akurat mengkarakterisasi variasi suatu sifat berdasarkan variabilitasnya, digunakan indikator lain.
Deviasi linier rata-rata mewakili mean aritmatika dari nilai absolut deviasi nilai individu suatu karakteristik dari rata-rata dan ditentukan oleh rumus:
1) Untuk data yang tidak dikelompokkan
2) Untuk seri variasi
Namun, ukuran variasi yang paling banyak digunakan adalah penyebaran . Ini mencirikan ukuran penyebaran nilai-nilai karakteristik yang dipelajari relatif terhadap nilai rata-ratanya. Dispersi didefinisikan sebagai rata-rata deviasi yang dikuadratkan.
Varians sederhana untuk data yang tidak dikelompokkan:
.
Varians tertimbang untuk seri variasi:
Komentar. Dalam praktiknya, lebih baik menggunakan rumus berikut untuk menghitung varians:
Untuk varians sederhana
.
Untuk varian tertimbang
Deviasi standar adalah akar kuadrat dari varians:
Deviasi standar adalah ukuran reliabilitas mean. Semakin kecil simpangan bakunya, semakin homogen populasinya dan semakin baik rata-rata aritmatikanya mencerminkan seluruh populasi.
Ukuran hamburan yang dibahas di atas (kisaran variasi, dispersi, deviasi standar) adalah indikator absolut, yang tidak selalu memungkinkan untuk menilai tingkat variabilitas suatu karakteristik. Dalam beberapa permasalahan perlu digunakan indeks hamburan relatif, salah satunya adalah koefisien variasi.
Koefisien variasi- rasio deviasi standar terhadap mean aritmatika, dinyatakan dalam persentase:
Koefisien variasi digunakan tidak hanya untuk penilaian komparatif variasi sifat yang berbeda atau sifat yang sama pada populasi yang berbeda, tetapi juga untuk mencirikan homogenitas populasi. Suatu populasi statistik dianggap homogen secara kuantitatif jika koefisien variasinya tidak melebihi 33% (untuk distribusi yang mendekati distribusi normal).
Contoh. Berikut data masa hukuman penjara 50 orang terpidana yang menjalani pidana yang dijatuhkan oleh pengadilan di lembaga pemasyarakatan sistem pemasyarakatan: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Menyusun rangkaian pembagian berdasarkan hukuman penjara.
2. Temukan mean, varians, dan deviasi standar.
3. Menghitung koefisien variasi dan menarik kesimpulan tentang homogenitas atau heterogenitas populasi yang diteliti.
Larutan. Untuk membangun rangkaian distribusi diskrit, perlu ditentukan opsi dan frekuensi. Pilihan dalam permasalahan ini adalah lamanya pidana penjara, dan frekuensi adalah banyaknya pilihan individu. Setelah menghitung frekuensi, kita memperoleh deret distribusi diskrit berikut:
Mari kita cari mean dan variansnya. Karena data statistik diwakili oleh deret variasi diskrit, kami akan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang dan dispersi untuk menghitungnya. Kita mendapatkan:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Sekarang kita menghitung simpangan baku:
Menemukan koefisien variasi:
Akibatnya, populasi statistik secara kuantitatif heterogen.
Sifat rata-rata yang paling penting adalah bahwa rata-rata mencerminkan kesamaan semua unit populasi yang diteliti. Nilai-nilai karakteristik masing-masing unit populasi bervariasi di bawah pengaruh banyak faktor, di antaranya mungkin ada faktor dasar dan faktor acak. Inti dari rata-rata terletak pada kenyataan bahwa ia saling mengkompensasi penyimpangan nilai atribut yang disebabkan oleh aksi faktor acak, dan mengakumulasikan (memperhitungkan) perubahan yang disebabkan oleh aksi faktor utama. . Hal ini memungkinkan rata-rata untuk mencerminkan tingkat ciri yang khas dan mengabstraksikan karakteristik individu yang melekat pada unit individu.
Untuk rata-rata benar-benar melambangkan, harus diperhitungkan dengan memperhatikan prinsip-prinsip tertentu.
Prinsip dasar penggunaan rata-rata.
1. Rata-rata harus ditentukan untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang secara kualitatif homogen.
2. Rata-rata harus dihitung untuk jumlah penduduk yang cukup jumlah besar unit.
3. Rata-rata harus dihitung untuk populasi dalam kondisi stasioner (ketika faktor-faktor yang mempengaruhi tidak berubah atau tidak berubah secara signifikan).
4. Rata-rata harus dihitung dengan mempertimbangkan kandungan ekonomi dari indikator yang diteliti.
Penghitungan sebagian besar indikator statistik spesifik didasarkan pada penggunaan:
· agregat rata-rata;
· Daya rata-rata (harmonik, geometri, aritmatika, kuadrat, kubik);
· rata-rata kronologis (lihat bagian).
Semua rata-rata, kecuali rata-rata agregat, dapat dihitung dengan dua cara - sebagai tertimbang atau tidak tertimbang.
Agregat rata-rata. Rumus yang digunakan adalah:
Di mana dengan saya= x saya* f saya;
x saya- pilihan ke-i karakteristiknya dirata-ratakan;
f saya, - berat Saya- pilihan ke-.
Kekuatan sedang. DI DALAM pandangan umum rumus perhitungan:
dimana gelarnya k– tipe daya sedang.
Nilai rata-rata yang dihitung berdasarkan rata-rata pangkat untuk data awal yang sama tidaklah sama. Ketika eksponen k meningkat, nilai rata-rata yang sesuai juga meningkat:
Kronologis rata-rata. Untuk deret waktu sesaat yang interval antar tanggalnya sama, dihitung dengan rumus:
,
Di mana x 1 Dan XN nilai indikator pada tanggal mulai dan berakhir.
Rumus untuk menghitung rata-rata daya
Contoh. Menurut tabel. 2.1 memerlukan penghitungan gaji rata-rata untuk tiga perusahaan secara keseluruhan.
Tabel 2.1
Gaji perusahaan JSC
|
Perusahaan |
Jumlah industri produksipersonel (PPP), pers. |
Dana Bulanan upah, gosok. |
Rata-rata gaji, menggosok. |
|
564840 |
2092 |
||
|
332750 |
2750 |
||
|
517540 |
2260 |
||
|
Total |
1415130 |
Rumus perhitungan spesifiknya bergantung pada data apa yang ada dalam tabel. 7 adalah yang asli. Oleh karena itu, opsi berikut dimungkinkan: data dari kolom 1 (jumlah karyawan) dan 2 (penggajian bulanan); atau - 1 (jumlah KPBU) dan 3 (gaji rata-rata); atau 2 (gaji bulanan) dan 3 (gaji rata-rata).
Jika hanya data kolom 1 dan 2 yang tersedia. Hasil kolom ini berisi nilai yang diperlukan untuk menghitung rata-rata yang diinginkan. Rumus agregat rata-rata yang digunakan:
Jika hanya data kolom 1 dan 3 yang tersedia, maka penyebut perbandingan asal diketahui, tetapi pembilangnya tidak diketahui. Namun dana upah dapat diperoleh dengan mengalikan upah rata-rata dengan jumlah tenaga pengajar. Oleh karena itu, rata-rata keseluruhan dapat dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:
Harus diperhitungkan bahwa berat ( f saya) dalam beberapa kasus mungkin merupakan produk dari dua atau bahkan tiga nilai.
Selain itu, rata-rata juga digunakan dalam praktek statistik. aritmatika tidak tertimbang:
dimana n adalah volume penduduk.
Rata-rata ini digunakan ketika bobot ( f saya) tidak ada (setiap varian karakteristik hanya muncul satu kali) atau sama satu sama lain.
Jika yang ada hanya data dari kolom 2 dan 3., yaitu pembilang perbandingan asal diketahui, tetapi penyebutnya tidak diketahui. Jumlah karyawan setiap perusahaan dapat diperoleh dengan membagi gaji dengan gaji rata-rata. Kemudian rata-rata gaji ketiga perusahaan secara keseluruhan dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata harmonik tertimbang:
Jika bobotnya sama ( f saya) perhitungan rata-rata dapat dilakukan dengan cara harmonik rata-rata tidak tertimbang:
Dalam contoh kami, kami menggunakan berbeda bentuk rata-rata, tetapi mendapat jawaban yang sama. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa untuk data tertentu setiap kali diterapkan rasio rata-rata awal yang sama.
Indikator rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan rangkaian variasi diskrit dan interval. Dalam hal ini penghitungan dilakukan dengan menggunakan rata-rata aritmatika tertimbang. Untuk deret diskrit, rumus ini digunakan dengan cara yang sama seperti contoh di atas. Dalam deret interval, titik tengah interval ditentukan untuk perhitungan.
Contoh. Menurut tabel. 2.2 kita menentukan jumlah pendapatan moneter per kapita rata-rata per bulan di suatu wilayah bersyarat.
Tabel 2.2
Data awal (seri variasi)
| Pendapatan tunai rata-rata per kapita per bulan, x, gosok. | Populasi, % dari total/ |
| Hingga 400 | 30,2 |
| 400 — 600 | 24,4 |
| 600 — 800 | 16,7 |
| 800 — 1000 | 10,5 |
| 1000-1200 | 6,5 |
| 1200 — 1600 | 6,7 |
| 1600 — 2000 | 2,7 |
| 2000 ke atas | 2,3 |
| Total | 100 |
Dalam proses berbagai penghitungan dan pengerjaan data, seringkali perlu menghitung nilai rata-ratanya. Itu dihitung dengan menjumlahkan angka-angka dan membagi totalnya dengan jumlahnya. Mari cari tahu cara menghitung rata-rata sekumpulan angka menggunakan program ini Microsoft Excel cara yang berbeda.
Cara termudah dan paling terkenal untuk mencari mean aritmatika dari sekumpulan angka adalah dengan menggunakan tombol khusus pada pita Microsoft Excel. Pilih rentang angka yang terletak di kolom atau baris dokumen. Saat berada di tab “Beranda”, klik tombol “JumlahOtomatis”, yang terletak di pita di blok alat “Pengeditan”. Dari daftar drop-down, pilih “Rata-rata”.
Setelah ini, dengan menggunakan fungsi “AVERAGE”, penghitungan dilakukan. Rata-rata aritmatika dari sekumpulan angka tertentu ditampilkan di sel di bawah kolom yang dipilih, atau di sebelah kanan baris yang dipilih.
Metode ini bagus karena kesederhanaan dan kenyamanannya. Namun ia juga memiliki kelemahan yang signifikan. Dengan menggunakan metode ini, Anda dapat menghitung nilai rata-rata hanya dari angka-angka yang disusun dalam satu baris dalam satu kolom atau dalam satu baris. Tapi Anda tidak bisa bekerja dengan array sel, atau dengan sel yang tersebar di lembar, menggunakan metode ini.
Misalnya, jika Anda memilih dua kolom dan menghitung mean aritmatika menggunakan metode yang dijelaskan di atas, maka jawabannya akan diberikan untuk setiap kolom secara terpisah, dan bukan untuk seluruh larik sel.
Perhitungan menggunakan Function Wizard
Untuk kasus ketika Anda perlu menghitung rata-rata aritmatika dari array sel, atau sel yang tersebar, Anda bisa menggunakan Panduan Fungsi. Ia menggunakan fungsi “AVERAGE” yang sama, yang kita ketahui dari metode penghitungan pertama, namun melakukannya dengan cara yang sedikit berbeda.
Klik pada sel tempat kita ingin menampilkan hasil penghitungan nilai rata-rata. Klik tombol “Sisipkan Fungsi”, yang terletak di sebelah kiri bilah rumus. Atau, ketikkan kombinasi Shift+F3 pada keyboard.
Wizard Fungsi dimulai. Dalam daftar fungsi yang disajikan, cari “AVERAGE”. Pilih dan klik tombol "OK".
Jendela argumen untuk fungsi ini terbuka. Argumen fungsi dimasukkan ke dalam kolom “Nomor”. Ini bisa berupa nomor biasa atau alamat sel tempat nomor-nomor ini berada. Jika Anda merasa tidak nyaman memasukkan alamat sel secara manual, Anda harus mengklik tombol yang terletak di sebelah kanan kolom entri data.
Setelah ini, jendela argumen fungsi akan diminimalkan, dan Anda akan dapat memilih grup sel pada lembar yang Anda ambil untuk penghitungan. Kemudian, klik lagi tombol di sebelah kiri kolom entri data untuk kembali ke jendela argumen fungsi.
Jika Anda ingin menghitung rata-rata aritmatika antara angka-angka yang terletak di kelompok sel yang terpisah, lakukan tindakan yang sama seperti yang disebutkan di atas pada bidang “Nomor 2”. Begitu seterusnya sampai semuanya kelompok yang diperlukan tidak ada sel yang akan disorot.
Setelah itu, klik tombol “OK”.
Hasil penghitungan mean aritmatika akan disorot di sel yang Anda pilih sebelum meluncurkan Function Wizard.
Bilah rumus
Ada cara ketiga untuk meluncurkan fungsi AVERAGE. Untuk melakukan ini, buka tab “Rumus”. Pilih sel di mana hasilnya akan ditampilkan. Setelah itu, di grup alat “Perpustakaan Fungsi” di pita, klik tombol “Fungsi Lainnya”. Sebuah daftar akan muncul di mana Anda harus menelusuri item "Statistik" dan "RATA-RATA" secara berurutan.
Kemudian, jendela argumen fungsi yang persis sama diluncurkan seperti saat menggunakan Function Wizard, yang pekerjaannya telah kami jelaskan secara rinci di atas.
Tindakan selanjutnya persis sama.
Entri fungsi manual
Namun, jangan lupa bahwa Anda selalu dapat memasukkan fungsi “AVERAGE” secara manual jika diinginkan. Ini akan memiliki templat berikut: “=AVERAGE(cell_range_address(number); cell_range_address(number)).
Tentu saja, metode ini tidak senyaman metode sebelumnya, dan mengharuskan pengguna untuk mengingat rumus tertentu, tetapi lebih fleksibel.
Perhitungan nilai rata-rata berdasarkan kondisi
Selain penghitungan nilai rata-rata biasa, dimungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata berdasarkan kondisi. Dalam hal ini, hanya angka-angka dari rentang terpilih yang memenuhi kondisi tertentu yang akan diperhitungkan. Misalnya, jika angka-angka ini lebih besar atau lebih kecil dari nilai tertentu.
Untuk tujuan ini, fungsi “AVERAGEIF” digunakan. Seperti fungsi AVERAGE, Anda bisa meluncurkannya melalui Function Wizard, dari bilah rumus, atau dengan memasukkannya secara manual ke dalam sel. Setelah jendela argumen fungsi terbuka, Anda perlu memasukkan parameternya. Di bidang “Rentang”, masukkan rentang sel yang nilainya akan ikut serta dalam menentukan rata-rata bilangan aritmatika. Kami melakukan ini dengan cara yang sama seperti pada fungsi “AVERAGE”.
Namun di kolom “Kondisi” kita harus menunjukkan nilai tertentu, angka yang lebih besar atau lebih kecil dari yang akan ikut serta dalam penghitungan. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan tanda perbandingan. Misalnya, kita mengambil ekspresi “>=15000”. Artinya, untuk penghitungan, hanya sel dalam rentang yang berisi angka lebih besar dari atau sama dengan 15000 yang akan diambil. Jika perlu, alih-alih nomor tertentu, Anda dapat menentukan alamat sel tempat nomor terkait berada.
Bidang “Rentang rata-rata” bersifat opsional. Memasukkan data ke dalamnya hanya diperlukan saat menggunakan sel dengan konten teks.
Ketika semua data telah dimasukkan, klik tombol “OK”.
Setelah itu, hasil penghitungan rata-rata aritmatika untuk rentang yang dipilih ditampilkan di sel yang telah dipilih sebelumnya, kecuali sel yang datanya tidak memenuhi ketentuan.
Seperti yang bisa kita lihat, di program Microsoft Excel memiliki sejumlah alat yang dapat digunakan untuk menghitung rata-rata serangkaian angka yang dipilih. Selain itu, terdapat fungsi yang secara otomatis memilih angka dari rentang yang tidak memenuhi kriteria yang telah ditentukan pengguna. Ini melakukan perhitungan aplikasi Microsoft Excel bahkan lebih ramah pengguna.
Rata-rata aritmatika sederhana adalah suku rata-rata, yang dalam menentukan volume total suatu karakteristik tertentu keseluruhan data didistribusikan secara merata di antara semua unit yang termasuk dalam populasi ini. Jadi, rata-rata output tahunan per karyawan adalah jumlah output yang akan dihasilkan oleh setiap karyawan jika seluruh volume output didistribusikan secara merata kepada seluruh karyawan organisasi. Nilai rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan menggunakan rumus:
Rata-rata aritmatika sederhana- Sama dengan rasio jumlah nilai individu suatu karakteristik dengan jumlah karakteristik secara agregat
Contoh 1. Sebuah tim yang terdiri dari 6 pekerja menerima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 ribu rubel per bulan.
Temukan gaji rata-rata Solusi: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 ribu rubel.
Rata-rata aritmatika tertimbang
Jika volume kumpulan data besar dan mewakili deret distribusi, maka rata-rata aritmatika tertimbang dihitung. Beginilah cara harga rata-rata tertimbang per unit produksi ditentukan: total biaya produksi (jumlah produk dari kuantitasnya dengan harga satu unit produksi) dibagi dengan total kuantitas produksi.
Mari kita bayangkan dalam bentuk rumus berikut:
Rata-rata aritmatika tertimbang- sama dengan rasio (jumlah produk dari nilai suatu fitur dengan frekuensi pengulangan fitur ini) dengan (jumlah frekuensi semua fitur). terjadi dalam jumlah yang tidak sama.
Contoh 2. Temukan gaji rata-rata pekerja bengkel per bulan
|
Gaji satu pekerja seribu rubel; X |
Jumlah pekerja F |
Upah rata-rata dapat diperoleh dengan membagi total upah dengan jumlah pekerja:
Jawaban: 3,35 ribu rubel.
Rata-rata aritmatika untuk deret interval
Saat menghitung rata-rata aritmatika untuk deret variasi interval, pertama-tama tentukan rata-rata setiap interval sebagai setengah jumlah batas atas dan batas bawah, lalu rata-rata seluruh deret. Dalam kasus interval terbuka, nilai interval bawah atau atas ditentukan oleh ukuran interval yang berdekatan dengannya.
Rata-rata yang dihitung dari deret interval adalah perkiraan.
Contoh 3. Tentukan umur rata-rata siswa malam.
|
Umur dalam tahun!!x?? |
Jumlah siswa |
Nilai rata-rata interval |
Produk titik tengah interval (umur) dan jumlah siswa |
|
(18 + 20) / 2 =19 18 dalam hal ini batas interval bawah. Dihitung sebagai 20 - (22-20) | |||
|
(20 + 22) / 2 = 21 | |||
|
(22 + 26) / 2 = 24 | |||
|
(26 + 30) / 2 = 28 | |||
|
30 atau lebih |
(30 + 34) / 2 = 32 | ||
Rata-rata yang dihitung dari deret interval adalah perkiraan. Tingkat perkiraannya bergantung pada sejauh mana distribusi aktual unit populasi dalam interval tersebut mendekati distribusi seragam.
Saat menghitung rata-rata, tidak hanya nilai absolut tetapi juga nilai relatif (frekuensi) yang dapat digunakan sebagai bobot.
Nilai rata-rata mengacu pada indikator statistik umum yang memberikan ringkasan (akhir) karakteristik fenomena sosial massa, karena dibangun atas dasar jumlah besar nilai-nilai individu yang karakteristiknya berbeda-beda. Untuk memperjelas esensi nilai rata-rata, perlu mempertimbangkan kekhasan pembentukan nilai-nilai tanda-tanda fenomena tersebut, yang berdasarkan data nilai rata-rata dihitung.
Diketahui bahwa satuan setiap fenomena massa mempunyai banyak karakteristik. Apapun karakteristik yang kita ambil, nilainya akan berbeda untuk masing-masing unit; mereka berubah, atau, seperti yang mereka katakan dalam statistik, bervariasi dari satu unit ke unit lainnya. Misalnya, gaji seorang karyawan ditentukan oleh kualifikasinya, sifat pekerjaannya, masa kerja dan sejumlah faktor lainnya, dan oleh karena itu sangat bervariasi. Pengaruh gabungan dari semua faktor menentukan jumlah pendapatan setiap karyawan, namun kita dapat berbicara tentang gaji bulanan rata-rata pekerja di berbagai sektor ekonomi. Di sini kita beroperasi dengan nilai karakteristik yang khas dari suatu karakteristik yang bervariasi, yang ditetapkan pada suatu unit populasi yang besar.
Nilai rata-rata mencerminkan hal itu umum, yang khas untuk semua unit populasi yang diteliti. Pada saat yang sama, ia menyeimbangkan pengaruh semua faktor yang mempengaruhi nilai karakteristik masing-masing unit populasi, seolah-olah saling memadamkannya. Tingkat (atau ukuran) dari setiap fenomena sosial ditentukan oleh tindakan dua kelompok faktor. Beberapa di antaranya bersifat umum dan pokok, terus-menerus beroperasi, berkaitan erat dengan sifat fenomena atau proses yang dipelajari, dan berbentuk khas untuk seluruh satuan populasi yang diteliti, yang tercermin dalam nilai rata-rata. Yang lainnya adalah individu, efeknya kurang terasa dan bersifat episodik dan acak. Mereka bertindak dalam arah yang berlawanan, menyebabkan perbedaan antara karakteristik kuantitatif dari masing-masing unit populasi, mencoba mengubah nilai konstan dari karakteristik yang diteliti. Pengaruh karakteristik individu padam dalam nilai rata-rata. Dalam pengaruh gabungan faktor-faktor tipikal dan individual, yang seimbang dan saling meniadakan ciri-ciri umum, prinsip dasar yang diketahui dari statistik matematika diwujudkan dalam bentuk umum. hukum angka besar.
Secara agregat, nilai-nilai individu dari karakteristik bergabung menjadi massa umum dan, seolah-olah, larut. Karena itu nilai rata-rata bertindak sebagai “impersonal”, yang dapat menyimpang dari nilai-nilai karakteristik individu tanpa sesuai secara kuantitatif dengan salah satu dari karakteristik tersebut. Nilai rata-rata mencerminkan sifat-sifat umum, ciri-ciri dan ciri-ciri seluruh populasi karena saling menghilangkan perbedaan-perbedaan yang acak dan tidak lazim di antara ciri-ciri unit-unit individualnya, karena nilainya ditentukan seolah-olah oleh resultan umum dari semua sebab.
Namun, agar nilai rata-rata mencerminkan nilai paling khas dari suatu karakteristik, nilai tersebut tidak boleh ditentukan untuk populasi mana pun, tetapi hanya untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang secara kualitatif homogen. Persyaratan ini merupakan syarat utama bagi penggunaan rata-rata yang berbasis ilmiah dan menyiratkan adanya hubungan erat antara metode rata-rata dan metode pengelompokan dalam analisis fenomena sosial ekonomi. Oleh karena itu, nilai rata-rata merupakan indikator umum yang mencirikan tingkat khas dari suatu karakteristik yang bervariasi per unit populasi yang homogen dalam kondisi tempat dan waktu tertentu.
Dalam mendefinisikan esensi nilai rata-rata, perlu ditekankan bahwa perhitungan yang benar dari setiap nilai rata-rata memerlukan terpenuhinya persyaratan berikut:
- homogenitas kualitatif populasi yang menjadi dasar penghitungan nilai rata-rata. Artinya penghitungan nilai rata-rata harus didasarkan pada metode pengelompokan, yang menjamin teridentifikasinya fenomena-fenomena yang homogen dan serupa;
- tidak termasuk pengaruh penyebab dan faktor acak, murni individual pada perhitungan nilai rata-rata. Hal ini dicapai jika penghitungan rata-rata didasarkan pada materi yang cukup masif di mana hukum bilangan besar terwujud, dan semua keacakan dihilangkan;
- Saat menghitung nilai rata-rata, penting untuk menetapkan tujuan penghitungannya dan apa yang disebut indikator penentu(properti) yang harus diorientasikan.
Indikator penentu dapat berupa penjumlahan nilai-nilai karakteristik yang dirata-ratakan, jumlah nilai inversnya, hasil kali nilainya, dan lain-lain. Hubungan antara indikator penentu dan nilai rata-rata dinyatakan sebagai berikut: jika semua nilai karakteristik yang dirata-rata diganti dengan nilai rata-rata, maka jumlah atau produknya dalam hal ini tidak akan mengubah indikator penentu. Berdasarkan hubungan antara indikator penentu dan nilai rata-rata, hubungan kuantitatif awal dibangun untuk perhitungan langsung nilai rata-rata. Kemampuan nilai rata-rata untuk mempertahankan sifat-sifat populasi statistik disebut mendefinisikan properti.
Nilai rata-rata yang dihitung untuk seluruh populasi disebut Rata-rata umum; nilai rata-rata dihitung untuk setiap kelompok - rata-rata kelompok. Rata-rata keseluruhan mencerminkan fitur umum fenomena yang diteliti, rata-rata kelompok memberikan gambaran tentang fenomena yang berkembang dalam kondisi tertentu suatu kelompok tertentu.
Cara penghitungannya mungkin berbeda-beda, oleh karena itu dalam statistika terdapat beberapa jenis rata-rata, yang utama adalah mean aritmatika, mean harmonik, dan mean geometrik.
Dalam analisis ekonomi, penggunaan rata-rata merupakan alat utama untuk menilai hasil kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, peristiwa sosial, dan mencari cadangan untuk pembangunan ekonomi. Pada saat yang sama, harus diingat bahwa ketergantungan yang berlebihan pada indikator rata-rata dapat menyebabkan kesimpulan yang bias ketika melakukan analisis ekonomi dan statistik. Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa nilai rata-rata, sebagai indikator umum, menghilangkan dan mengabaikan perbedaan-perbedaan dalam karakteristik kuantitatif unit-unit individu populasi yang sebenarnya ada dan mungkin merupakan kepentingan independen.
Jenis rata-rata
Dalam statistik, berbagai jenis rata-rata digunakan, yang dibagi menjadi dua kelas besar:
- sarana pangkat (rata-rata harmonik, rata-rata geometri, rata-rata aritmatika, rata-rata kuadrat, rata-rata kubik);
- sarana struktural (mode, median).
Menghitung rata-rata daya perlu menggunakan semua nilai karakteristik yang tersedia. Mode Dan median hanya ditentukan oleh struktur distribusinya, oleh karena itu disebut rata-rata struktural dan posisional. Median dan modus sering digunakan sebagai karakteristik rata-rata pada populasi yang tidak mungkin atau tidak dapat menghitung rata-rata daya.
Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika. Di bawah rata-rata aritmatika dipahami sebagai nilai suatu sifat yang dimiliki oleh setiap satuan populasi jika jumlah seluruh nilai suatu sifat itu tersebar secara merata kepada semua satuan populasi. Perhitungan nilai ini dilakukan dengan menjumlahkan semua nilai dari karakteristik yang bervariasi dan membagi jumlah yang dihasilkan dengan total unit populasi. Misalnya, lima pekerja memenuhi pesanan produksi suku cadang, sedangkan pekerja pertama memproduksi 5 suku cadang, pekerja kedua - 7, pekerja ketiga - 4, pekerja keempat - 10, pekerja kelima - 12. Karena dalam data awal nilai masing-masing pilihan hanya terjadi satu kali, untuk menentukan output rata-rata seorang pekerja harus menerapkan rumus rata-rata aritmatika sederhana:
yaitu dalam contoh kita, output rata-rata satu pekerja sama dengan
Seiring dengan mean aritmatika sederhana, mereka belajar rata-rata aritmatika tertimbang. Sebagai contoh, mari kita hitung rata-rata usia siswa dalam kelompok yang terdiri dari 20 orang, yang usianya berkisar antara 18 hingga 22 tahun, di mana xi- varian karakteristik yang dirata-ratakan, fi- frekuensi, yang menunjukkan berapa kali hal itu terjadi saya-itu nilai agregat (Tabel 5.1).
Tabel 5.1
Usia rata-rata siswa
Dengan menerapkan rumus rata-rata aritmatika tertimbang, kita memperoleh:
Untuk memilih mean aritmatika tertimbang, ada aturan tertentu: jika terdapat rangkaian data pada dua indikator, yang salah satunya perlu dihitung
nilai rata-rata, dan sekaligus diketahui nilai numerik penyebut rumus logikanya, dan nilai pembilangnya tidak diketahui, tetapi dapat dicari sebagai hasil kali indikator-indikator tersebut, maka nilai rata-ratanya harus dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang.
Dalam beberapa kasus, sifat data statistik awal sedemikian rupa sehingga penghitungan rata-rata aritmatika kehilangan maknanya dan satu-satunya indikator generalisasi hanyalah jenis rata-rata lain - rata-rata harmonik. Saat ini, sifat komputasi mean aritmatika telah kehilangan relevansinya dalam penghitungan indikator statistik umum karena meluasnya pengenalan teknologi komputasi elektronik. Nilai rata-rata harmonik, yang juga bisa sederhana dan berbobot, telah menjadi sangat penting secara praktis. Jika nilai numerik pembilang suatu rumus logika diketahui, dan nilai penyebutnya tidak diketahui, tetapi dapat dicari dengan membagi sebagian indikator yang satu dengan indikator yang lain, maka nilai rata-rata dihitung dengan menggunakan harmonik. rumus rata-rata tertimbang.
Misalnya, diketahui bahwa mobil menempuh 210 km pertama dengan kecepatan 70 km/jam, dan 150 km sisanya dengan kecepatan 75 km/jam. Tidak mungkin menentukan kecepatan rata-rata sebuah mobil sepanjang perjalanan 360 km dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika. Karena opsinya adalah kecepatan di masing-masing bagian xj= 70 km/jam dan X2= 75 km/jam, dan bobot (fi) dianggap sebagai bagian jalan yang bersesuaian, maka hasil kali pilihan dan bobot tidak mempunyai arti fisik maupun ekonomi. Dalam hal ini, hasil bagi memperoleh makna dengan membagi segmen jalur menjadi kecepatan yang sesuai (pilihan xi), yaitu waktu yang diperlukan untuk menempuh perjalanan daerah individu jalan (fi / xi). Jika ruas-ruas lintasan dilambangkan dengan fi, maka seluruh lintasan dinyatakan sebagai Σfi, dan waktu yang dihabiskan untuk seluruh lintasan dinyatakan sebagai Σ fi / xi , Kemudian kecepatan rata-rata dapat dicari sebagai hasil bagi seluruh lintasan dibagi dengan total waktu yang dihabiskan:
Dalam contoh kita, kita mendapatkan:
Jika, saat menggunakan mean harmonik, bobot semua opsi (f) adalah sama, maka alih-alih menggunakan bobot, Anda dapat menggunakan rata-rata harmonik sederhana (tidak tertimbang):
dimana xi adalah pilihan individual; N- jumlah varian dari karakteristik rata-rata. Dalam contoh kecepatan, mean harmonik sederhana dapat diterapkan jika segmen jalur yang dilalui pada kecepatan berbeda adalah sama.
Setiap nilai rata-rata harus dihitung sehingga ketika setiap varian dari karakteristik rata-rata diganti, nilai beberapa indikator umum akhir yang terkait dengan indikator rata-rata tidak berubah. Jadi, ketika mengganti kecepatan aktual pada masing-masing bagian rute dengan nilai rata-ratanya ( kecepatan rata-rata) jarak total tidak boleh berubah.
Bentuk (rumus) nilai rata-rata ditentukan oleh sifat (mekanisme) hubungan indikator akhir ini dengan rata-rata, oleh karena itu indikator akhir yang nilainya tidak boleh berubah ketika mengganti opsi dengan nilai rata-ratanya, adalah ditelepon indikator penentu. Untuk mendapatkan rumus rata-rata, Anda perlu membuat dan menyelesaikan persamaan menggunakan hubungan antara indikator rata-rata dan indikator penentu. Persamaan ini dibangun dengan mengganti varian karakteristik (indikator) yang dirata-ratakan dengan nilai rata-ratanya.
Selain mean aritmatika dan mean harmonik, jenis (bentuk) mean lainnya juga digunakan dalam statistik. Itu semua adalah kasus khusus rata-rata daya. Jika kita menghitung semua jenis rata-rata daya untuk data yang sama, maka nilainya
hasilnya akan sama, aturannya berlaku di sini tingkat utama rata-rata. Ketika eksponen rata-rata meningkat, nilai rata-rata itu sendiri juga meningkat. Rumus perhitungan yang paling sering digunakan dalam penelitian praktis berbagai jenis nilai rata-rata daya disajikan pada tabel. 5.2.
Tabel 5.2
Rata-rata geometrik digunakan jika ada N koefisien pertumbuhan, sedangkan nilai individual dari suatu karakteristik, pada umumnya, adalah nilai dinamika relatif, yang dikonstruksikan dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio terhadap level sebelumnya dari setiap level dalam deret dinamika. Dengan demikian, rata-rata mencirikan tingkat pertumbuhan rata-rata. Rata-rata geometris sederhana dihitung dengan rumus
Rumus rata-rata geometri tertimbang memiliki bentuk berikut:
Rumus yang diberikan identik, tetapi digunakan satu rumus kapan peluang saat ini atau tingkat pertumbuhan, dan yang kedua - dengan nilai absolut tingkat seri.
Berarti persegi digunakan dalam perhitungan dengan nilai fungsi kuadrat, digunakan untuk mengukur derajat fluktuasi nilai individu suatu karakteristik di sekitar mean aritmatika dalam deret distribusi dan dihitung dengan rumus
Rata-rata tertimbang persegi dihitung menggunakan rumus lain:
Rata-rata kubik digunakan saat menghitung dengan kuantitas fungsi kubik dan dihitung dengan rumus
rata-rata tertimbang kubik:
Semua nilai rata-rata yang dibahas di atas dapat direpresentasikan sebagai rumus umum:
dimana nilai rata-ratanya; - makna individu; N- jumlah unit populasi yang diteliti; k- eksponen yang menentukan jenis rata-rata.
Bila menggunakan sumber data yang sama, semakin banyak k pada rumus rata-rata daya umum, semakin besar nilai rata-ratanya. Oleh karena itu, terdapat hubungan alami antara nilai rata-rata daya:
Nilai rata-rata yang dijelaskan di atas memberikan gambaran umum tentang populasi yang diteliti, dan dari sudut pandang ini, signifikansi teoretis, terapan, dan pendidikannya tidak dapat disangkal. Tetapi kebetulan nilai rata-rata tidak sesuai dengan salah satu opsi yang sebenarnya ada, oleh karena itu, selain rata-rata yang dipertimbangkan, dalam analisis statistik disarankan untuk menggunakan nilai opsi spesifik yang menempati posisi yang sangat spesifik di pasar. rangkaian nilai atribut yang diurutkan (diurutkan). Di antara besaran-besaran tersebut, yang paling umum digunakan adalah struktural, atau deskriptif, rata-rata- modus (Mo) dan median (Saya).
Mode- nilai suatu karakteristik yang paling sering ditemukan pada suatu populasi tertentu. Sehubungan dengan deret variasi, modus adalah nilai yang paling sering muncul dari deret rangking, yaitu opsi dengan frekuensi tertinggi. Fashion dapat digunakan dalam menentukan toko yang paling sering dikunjungi, harga paling umum untuk suatu produk. Ini menunjukkan ukuran suatu fitur yang merupakan karakteristik sebagian besar populasi dan ditentukan oleh rumus
dimana x0 adalah batas bawah interval; H- ukuran interval; fm- frekuensi interval; fm_ 1 - frekuensi interval sebelumnya; fm+ 1 - frekuensi interval berikutnya.
median opsi yang terletak di tengah baris peringkat disebut. Median membagi deret tersebut menjadi dua bagian yang sama sehingga terdapat jumlah unit populasi yang sama di kedua sisinya. Dalam hal ini, separuh unit dalam populasi memiliki nilai karakteristik bervariasi yang lebih kecil dari median, dan separuh lainnya memiliki nilai lebih besar dari median. Median digunakan ketika mempelajari suatu elemen yang nilainya lebih besar atau sama dengan, atau sekaligus kurang dari atau sama dengan, setengah elemen suatu deret distribusi. Median memberi Ide umum tentang di mana nilai-nilai atribut terkonsentrasi, dengan kata lain, di mana pusatnya berada.
Sifat deskriptif median dimanifestasikan dalam kenyataan bahwa ia mencirikan batas kuantitatif nilai-nilai karakteristik yang bervariasi yang dimiliki oleh setengah unit populasi. Masalah mencari median deret variasi diskrit dapat diselesaikan dengan mudah. Jika semua satuan deret tersebut diberikan nomor serial, maka bilangan urut pilihan median didefinisikan sebagai (n +1) / 2 dengan jumlah suku ganjil n. Jika banyaknya anggota deret tersebut bilangan genap, maka mediannya adalah nilai rata-rata dua pilihan yang memiliki nomor urut N/ 2 dan N / 2 + 1.
Saat menentukan median dalam deret variasi interval, tentukan dulu interval tempatnya berada (interval median). Interval ini dicirikan oleh fakta bahwa jumlah akumulasi frekuensinya sama dengan atau melebihi setengah jumlah seluruh frekuensi rangkaian. Median deret variasi interval dihitung menggunakan rumus
Di mana X0- batas bawah interval; H- ukuran interval; fm- frekuensi interval; F- jumlah anggota seri;
∫m-1 adalah jumlah akumulasi suku-suku deret sebelum deret tertentu.
Seiring dengan median untuk informasi lebih lanjut karakteristik penuh struktur populasi yang diteliti juga menggunakan nilai-nilai pilihan lain yang menempati posisi yang sangat spesifik dalam rangkaian peringkat. Ini termasuk kuartil Dan desil. Kuartil membagi rangkaian menurut jumlah frekuensi menjadi 4 bagian yang sama, dan desil - menjadi 10 bagian yang sama. Ada tiga kuartil dan sembilan desil.
Median dan modus, tidak seperti mean aritmatika, tidak menghilangkan perbedaan individu dalam nilai suatu karakteristik variabel dan oleh karena itu merupakan karakteristik tambahan dan sangat penting dari populasi statistik. Dalam praktiknya, mereka sering digunakan sebagai pengganti rata-rata atau bersamaan dengan itu. Sangat disarankan untuk menghitung median dan modus jika populasi yang diteliti berisi sejumlah unit tertentu dengan nilai karakteristik yang bervariasi yang sangat besar atau sangat kecil. Nilai-nilai pilihan ini, yang tidak terlalu khas dari populasi, meskipun mempengaruhi nilai mean aritmatika, tidak mempengaruhi nilai median dan modus, yang menjadikan nilai median dan modus sebagai indikator yang sangat berharga bagi ekonomi dan statistik. analisis.
Indikator variasi
Tujuan penelitian statistik adalah untuk mengidentifikasi sifat dan pola dasar populasi statistik yang sedang dipelajari. Dalam proses pengolahan ringkasan data observasi statistik, mereka membangun seri distribusi. Ada dua jenis rangkaian distribusi - atributif dan variasional, bergantung pada apakah karakteristik yang dijadikan dasar pengelompokannya bersifat kualitatif atau kuantitatif.
Variasi disebut deret distribusi yang dibangun atas dasar kuantitatif. Nilai-nilai sifat kuantitatif pada satuan individu suatu populasi tidaklah konstan, sedikit banyak berbeda satu sama lain. Perbedaan nilai suatu sifat disebut variasi. Nilai numerik individu dari suatu karakteristik yang terdapat pada populasi yang diteliti disebut varian nilai. Adanya variasi pada satuan individu suatu populasi disebabkan oleh pengaruh sejumlah besar faktor terhadap pembentukan tingkat sifat tersebut. Ilmu yang mempelajari sifat dan derajat variasi ciri-ciri pada satuan individu suatu populasi masalah yang paling penting penelitian statistik apa pun. Indeks variasi digunakan untuk menggambarkan ukuran variabilitas sifat.
Tugas penting lainnya dari penelitian statistik adalah menentukan peran faktor individu atau kelompoknya dalam variasi karakteristik tertentu dari suatu populasi. Untuk mengatasi masalah ini dalam statistik, kami menggunakan metode khusus studi tentang variasi berdasarkan penggunaan sistem indikator yang digunakan untuk mengukur variasi. Dalam praktiknya, seorang peneliti dihadapkan pada varian nilai atribut yang cukup banyak, sehingga tidak memberikan gambaran sebaran unit berdasarkan nilai atribut secara agregat. Untuk melakukannya, susun semua varian nilai atribut dalam urutan menaik atau menurun. Proses ini disebut memberi peringkat pada seri tersebut. Seri yang diperingkat segera memberikan gambaran umum tentang nilai agregat yang diambil fitur tersebut.
Kurangnya nilai rata-rata untuk gambaran populasi yang menyeluruh memaksa kita untuk melengkapi nilai rata-rata dengan indikator yang memungkinkan kita menilai kekhasan rata-rata tersebut dengan mengukur variabilitas (variasi) dari karakteristik yang diteliti. Penggunaan indikator variasi ini memungkinkan analisis statistik menjadi lebih lengkap dan bermakna sehingga memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang esensi fenomena sosial yang diteliti.
Yang paling tanda-tanda sederhana variasinya adalah minimum Dan maksimum - ini yang terkecil dan nilai tertinggi tanda-tanda secara agregat. Jumlah pengulangan varian individu dari nilai karakteristik disebut frekuensi pengulangan. Mari kita nyatakan frekuensi pengulangan nilai atribut fi, jumlah frekuensi yang sama dengan volume populasi yang diteliti adalah:
Di mana k- jumlah opsi untuk nilai atribut. Lebih mudah untuk mengganti frekuensi dengan frekuensi - wi. Frekuensi- indikator frekuensi relatif - dapat dinyatakan dalam pecahan satuan atau persentase dan memungkinkan Anda membandingkan rangkaian variasi dengan jumlah pengamatan yang berbeda. Secara formal kami memiliki:
Untuk mengukur variasi suatu karakteristik, digunakan berbagai indikator absolut dan relatif. Indikator variasi absolut meliputi deviasi linier rata-rata, rentang variasi, dispersi, dan deviasi standar.
Rentang variasi(R) mewakili selisih antara nilai maksimum dan minimum suatu atribut pada populasi yang diteliti: R= Xmaks - Xmin. Indikator ini hanya memberikan gambaran paling umum tentang variabilitas karakteristik yang dipelajari, karena indikator ini hanya menunjukkan perbedaan antara nilai maksimum opsi. Ini sama sekali tidak ada hubungannya dengan frekuensi dalam deret variasi, yaitu dengan sifat distribusi, dan ketergantungannya dapat memberikan karakter acak yang tidak stabil hanya pada nilai ekstrim dari karakteristik tersebut. Kisaran variasi tidak memberikan informasi apapun tentang karakteristik populasi yang diteliti dan tidak memungkinkan kita menilai derajat kekhasan nilai rata-rata yang diperoleh. Ruang lingkup penerapan indikator ini terbatas pada populasi yang cukup homogen; lebih tepatnya mencirikan variasi suatu karakteristik, suatu indikator yang didasarkan pada memperhitungkan variabilitas semua nilai karakteristik.
Untuk mengkarakterisasi variasi suatu karakteristik, perlu dilakukan generalisasi penyimpangan semua nilai dari nilai apa pun yang khas untuk populasi yang diteliti. Indikator seperti itu
variasi, seperti deviasi linier rata-rata, dispersi, dan deviasi standar, didasarkan pada pertimbangan deviasi nilai karakteristik unit individu populasi dari mean aritmatika.
Deviasi linier rata-rata mewakili mean aritmatika dari nilai absolut deviasi opsi individu dari mean aritmatikanya:
Nilai mutlak(modulus) deviasi varian dari mean aritmatika; F- frekuensi.
Rumus pertama diterapkan jika masing-masing opsi muncul secara agregat hanya satu kali, dan rumus kedua diterapkan secara seri dengan frekuensi yang tidak sama.
Ada cara lain untuk merata-ratakan deviasi pilihan dari mean aritmatika. Metode ini, yang sangat umum dalam statistik, adalah menghitung deviasi kuadrat opsi dari nilai rata-rata, diikuti dengan rata-ratanya. Dalam hal ini, kita memperoleh indikator variasi baru - dispersi.
Penyebaran(σ 2) - rata-rata deviasi kuadrat pilihan nilai atribut dari nilai rata-ratanya:
Rumus kedua diterapkan jika opsi memiliki bobotnya sendiri (atau frekuensi rangkaian variasi).
Dalam analisis ekonomi dan statistik, biasanya mengevaluasi variasi suatu karakteristik paling sering menggunakan standar deviasi. Deviasi standar(σ) adalah akar kuadrat dari varians:
Deviasi linier dan standar rata-rata menunjukkan seberapa besar fluktuasi rata-rata nilai suatu karakteristik di antara unit-unit populasi yang diteliti, dan dinyatakan dalam satuan pengukuran yang sama dengan pilihannya.
Dalam praktik statistik sering kali terdapat kebutuhan untuk membandingkan variasi berbagai tanda. Misalnya, sangat menarik untuk membandingkan variasi usia personel dan kualifikasi mereka, masa kerja dan upah, dll. Untuk perbandingan seperti itu, indikator variabilitas absolut karakteristik - rata-rata linier dan deviasi standar - tidak cocok. Faktanya, tidak mungkin membandingkan variabilitas masa kerja, yang dinyatakan dalam tahun, dengan variabilitas upah, yang dinyatakan dalam rubel dan kopeck.
Saat membandingkan variabilitas berbagai karakteristik secara bersamaan, akan lebih mudah jika menggunakan ukuran variasi relatif. Indikator-indikator ini dihitung sebagai rasio indikator absolut terhadap mean aritmatika (atau median). Menggunakan sebagai indikator mutlak variasi, rentang variasi, deviasi linier rata-rata, deviasi standar, indikator variabilitas relatif diperoleh:
Indikator variabilitas relatif yang paling umum digunakan, yang mencirikan homogenitas populasi. Suatu populasi dianggap homogen jika koefisien variasinya tidak melebihi 33% untuk sebaran mendekati normal.
