Con questo servizio puoi trovare il valore massimo e minimo di una funzione una variabile f(x) con la soluzione formattata in Word. Se è data la funzione f(x,y), occorre quindi trovare l'estremo della funzione a due variabili. Puoi anche trovare gli intervalli delle funzioni crescenti e decrescenti.
Regole per l'immissione delle funzioni:
Condizione necessaria per l'estremo di una funzione di una variabile
L'equazione f" 0 (x *) = 0 è condizione necessaria estremo di una funzione di una variabile, cioè nel punto x* la derivata prima della funzione deve annullarsi. Individua i punti stazionari x c in cui la funzione non aumenta né diminuisce.Condizione sufficiente per l'estremo di una funzione di una variabile
Sia f 0 (x) due volte differenziabile rispetto a x appartenente all'insieme D. Se al punto x* la condizione è soddisfatta:F"0(x*) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Allora il punto x * è il punto di minimo locale (globale) della funzione.
Se al punto x* la condizione è soddisfatta:
F"0(x*) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Allora il punto x * è un massimo locale (globale).
Esempio n.1. Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione: sul segmento.
Soluzione. 
Il punto critico è uno x 1 = 2 (f’(x)=0). Questo punto appartiene al segmento. (Il punto x=0 non è critico, poiché 0∉).
Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento e nel punto critico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Risposta: f min = 5 / 2 in x=2; fmax =9 in x=1
Esempio n.2. Utilizzando le derivate di ordine superiore, trova l'estremo della funzione y=x-2sin(x) .
Soluzione.
Trova la derivata della funzione: y’=1-2cos(x) . Troviamo i punti critici: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Troviamo y’’=2sin(x), calcola , che significa x= π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti di minimo della funzione; 
, che significa che x=- π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti di massimo della funzione.
Esempio n.3. Studiare la funzione estremo in prossimità del punto x=0.
Soluzione. Qui è necessario trovare gli estremi della funzione. Se l'estremo x=0, scoprine il tipo (minimo o massimo). Se tra i punti trovati non c'è x = 0, allora calcola il valore della funzione f(x=0).
È da notare che quando la derivata da ciascun lato di un dato punto non cambia segno, le situazioni possibili non sono esaurite anche per funzioni differenziabili: può accadere che per un intorno arbitrariamente piccolo da un lato del punto x 0 oppure da entrambi i lati la derivata cambia segno. A questi punti è necessario utilizzare altri metodi per studiare le funzioni estreme.
L'algoritmo standard per risolvere tali problemi prevede, dopo aver trovato gli zeri della funzione, determinare i segni della derivata sugli intervalli. Quindi il calcolo dei valori nei punti massimi (o minimi) trovati e al limite dell'intervallo, a seconda della domanda nella condizione.
Ti consiglio di fare le cose in modo leggermente diverso. Perché? Ho scritto su questo.
Propongo di risolvere tali problemi come segue:
1. Trova la derivata.
2. Trova gli zeri della derivata.
3. Determina quale di essi appartiene a questo intervallo.
4. Calcoliamo i valori della funzione ai confini dell'intervallo e ai punti del passaggio 3.
5. Traiamo una conclusione (rispondi alla domanda posta).
Durante la risoluzione degli esempi presentati, la soluzione non è stata considerata in dettaglio equazioni quadratiche, dovresti essere in grado di farlo. Dovrebbero anche saperlo.
Diamo un'occhiata agli esempi:
77422. Trova il valore più grande della funzione y=x 3 –3x+4 sul segmento [–2;0].
Troviamo gli zeri della derivata:
Il punto x = –1 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.
Calcoliamo i valori della funzione ai punti –2, –1 e 0:
Il valore più grande della funzione è 6.
Risposta: 6
77425. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 3 – 3x 2 + 2 sul segmento.
Troviamo la derivata della funzione data:
Troviamo gli zeri della derivata:
L'intervallo specificato nella condizione contiene il punto x = 2.
Calcoliamo i valori della funzione ai punti 1, 2 e 4:
Il valore più piccolo della funzione è –2.
Risposta: –2
77426. Trova il valore più grande della funzione y = x 3 – 6x 2 sul segmento [–3;3].
Troviamo la derivata della funzione data:
Troviamo gli zeri della derivata:
L'intervallo specificato nella condizione contiene il punto x = 0.
Calcoliamo i valori della funzione ai punti –3, 0 e 3:
Il valore più piccolo della funzione è 0.
Risposta: 0
77429. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 3 – 2x 2 + x +3 sul segmento.
Troviamo la derivata della funzione data:
3x2 – 4x + 1 = 0
Otteniamo le radici: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
L'intervallo specificato nella condizione contiene solo x = 1.
Troviamo i valori della funzione ai punti 1 e 4:
Abbiamo scoperto che il valore più piccolo della funzione è 3.
Risposta: 3
77430. Trova il valore più grande della funzione y = x 3 + 2x 2 + x + 3 sul segmento [– 4; -1].
Troviamo la derivata della funzione data:
Troviamo gli zeri della derivata e risolviamo l'equazione quadratica:
3x2 + 4x + 1 = 0
Prendiamo le radici:
La radice x = –1 appartiene all'intervallo specificato nella condizione.
Troviamo i valori della funzione ai punti –4, –1, –1/3 e 1:
Abbiamo scoperto che il valore più grande della funzione è 3.
Risposta: 3
77433. Trova il valore più piccolo della funzione y = x 3 – x 2 – 40x +3 sul segmento.
Troviamo la derivata della funzione data:
Troviamo gli zeri della derivata e risolviamo l'equazione quadratica:
3x2 – 2x – 40 = 0
Prendiamo le radici:
L'intervallo specificato nella condizione contiene la radice x = 4.
Trova i valori della funzione nei punti 0 e 4:
Abbiamo scoperto che il valore più piccolo della funzione è –109.
Risposta: –109
Consideriamo un metodo per determinare il più grande e valore più basso funzioni senza derivata. Questo approccio può essere utilizzato se lo hai grossi problemi. Il principio è semplice: sostituiamo tutti i valori interi dall'intervallo nella funzione (il fatto è che in tutti questi prototipi la risposta è un numero intero).
77437. Trova il valore più piccolo della funzione y=7+12x–x 3 sul segmento [–2;2].
Punti sostitutivi da –2 a 2: Visualizza la soluzione
77434. Trova il valore più grande della funzione y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 sul segmento [–2;0].
È tutto. Buona fortuna a te!
Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.
P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.
Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?
Per questo seguiamo un algoritmo ben noto:
1 . Troviamo le funzioni ODZ.
2 . Trovare la derivata della funzione
3 . Uguagliando la derivata a zero
4 . Troviamo gli intervalli su cui la derivata mantiene il segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:
Se nell'intervallo I la derivata della funzione è 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.
Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.
5 . Noi troviamo Punti di massimo e minimo della funzione.
IN nel punto massimo della funzione la derivata cambia segno da “+” a “-”.
IN punto minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".
6 . Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,
- quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande se devi trovare il valore più grande della funzione
- oppure confrontare il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti minimi, e scegli il più piccolo se devi trovare il valore più piccolo della funzione
Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sul segmento, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.
Considera la funzione 
. Il grafico di questa funzione è simile al seguente:
Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione dei problemi dalla Open Task Bank per
1 . Compito B15 (n. 26695)
Sul segmento.
1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x
Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Di conseguenza la funzione aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, cioè in x=0.
Risposta: 5.
2 . Compito B15 (n. 26702)
Trova il valore più grande della funzione 
sul segmento.
1. Funzioni ODZ titolo="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
La derivata è uguale a zero in , però in questi punti non cambia segno:
Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .
Per rendere ovvio il motivo per cui la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione della derivata come segue:
Titolo="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3peccato^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Risposta: 5.
3. Compito B15 (n. 26708)
Trova il valore più piccolo della funzione sul segmento.
1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Posizioniamo le radici di questa equazione sul cerchio trigonometrico.
L'intervallo contiene due numeri: e
Mettiamo i cartelli. Per fare ciò determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: 
. Passando per i punti e la derivata cambia segno.
Rappresentiamo il cambio di segno della derivata di una funzione sulla linea delle coordinate:
Ovviamente il punto è un punto di minimo (in cui la derivata cambia segno da “-” a “+”), e per trovare il valore più piccolo della funzione sul segmento è necessario confrontare i valori della funzione in il punto minimo e all'estremità sinistra del segmento, .
In questo articolo parlerò di algoritmo per trovare il valore più grande e quello più piccolo funzioni, punti di minimo e massimo.
In teoria ci sarà sicuramente utile tabella delle derivate E regole di differenziazione. È tutto su questo piatto:
Algoritmo per trovare il valore più grande e quello più piccolo.
È più conveniente per me spiegare esempio specifico. Prendere in considerazione:
Esempio: Trova il valore più grande della funzione y=x^5+20x^3–65x sul segmento [–4;0].
Passo 1. Prendiamo la derivata.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Passo 2. Trovare i punti estremi.
Punto estremo chiamiamo quei punti in cui la funzione raggiunge il suo valore massimo o minimo.
Per trovare i punti estremi, è necessario uguagliare la derivata della funzione a zero (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Ora risolviamo questa equazione biquadratica e le radici trovate sono i nostri punti estremi.
Risolvo tali equazioni sostituendo t = x^2, quindi 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Riduciamo l'equazione di 5, otteniamo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - quadrato(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Facciamo la modifica inversa x^2 = t:
X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (escludiamo, non può esserci numeri negativi, a meno che ovviamente non si parli di numeri complessi)
Totale: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - questi sono i nostri punti estremi.
Passaggio 3. Determinare il valore più grande e quello più piccolo.
Metodo di sostituzione.
Nella condizione ci è stato assegnato il segmento [b][–4;0]. Il punto x=1 non è incluso in questo segmento. Quindi non lo stiamo considerando. Ma oltre al punto x=-1 bisogna considerare anche la sinistra e confine destro del nostro segmento, cioè i punti -4 e 0. Per fare ciò, sostituiamo tutti e tre i punti nella funzione originale. Nota che quello originale è quello indicato nella condizione (y=x^5+20x^3–65x), alcune persone iniziano a sostituirlo nella derivata...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Ciò significa che il valore più grande della funzione è [b]44 e si ottiene nel punto [b]-1, che è chiamato punto massimo della funzione sul segmento [-4; 0].
Abbiamo deciso e ricevuto risposta, stiamo benissimo, puoi stare tranquillo. Ma fermati! Non pensi che calcolare y(-4) sia in qualche modo troppo difficile? In condizioni di tempo limitato è meglio utilizzare un altro metodo, io lo chiamo così:
Attraverso intervalli di costanza di segno.
Questi intervalli si trovano per la derivata della funzione, cioè per la nostra equazione biquadratica.
Lo faccio così. Disegno un segmento diretto. Metto i punti: -4, -1, 0, 1. Nonostante 1 non sia compreso nel segmento indicato, è comunque opportuno annotarlo per determinare correttamente gli intervalli di costanza di segno. Prendiamo un numero molte volte più grande di 1, diciamo 100, e sostituiamolo mentalmente nella nostra equazione biquadratica 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Anche senza contare nulla, diventa ovvio che al punto 100 il la funzione ha il segno più. Ciò significa che per gli intervalli da 1 a 100 ha un segno più. Passando per 1 (andiamo da destra a sinistra), la funzione cambierà segno in meno. Passando per il punto 0, la funzione manterrà il suo segno, poiché questo è solo il confine del segmento e non la radice dell'equazione. Passando per -1, la funzione cambierà nuovamente segno in più.
Dalla teoria sappiamo che dove si trova la derivata della funzione (e l'abbiamo disegnata proprio per questo) cambia segno da più a meno (punto -1 nel nostro caso) la funzione raggiunge il suo massimo locale (y(-1)=44, come calcolato in precedenza) su questo segmento (questo è logicamente molto comprensibile, la funzione ha smesso di aumentare perché ha raggiunto il suo massimo e ha iniziato a diminuire).
Di conseguenza, dove la derivata della funzione cambia segno da meno a più, è raggiunto minimo locale di una funzione. Sì, sì, abbiamo anche scoperto che il punto di minimo locale è 1, e y(1) è il valore minimo della funzione sul segmento, diciamo da -1 a +∞. Tieni presente che questo è solo un MINIMO LOCALE, cioè un minimo su un determinato segmento. Poiché il minimo reale (globale) della funzione raggiungerà da qualche parte lì, in -∞.
A mio avviso, il primo metodo è teoricamente più semplice, e il secondo è più semplice dal punto di vista delle operazioni aritmetiche, ma molto più complesso dal punto di vista della teoria. Dopotutto, a volte ci sono casi in cui la funzione non cambia segno quando passa attraverso la radice dell'equazione, e in generale puoi confonderti con questi massimi e minimi locali e globali, anche se dovrai comunque padroneggiarlo bene se lo fai pianificare di entrare in un'università tecnica (e per quale altro motivo sostenere il profilo dell'Esame di Stato Unificato e risolvere questo compito). Ma la pratica, e solo la pratica, ti insegnerà a risolvere tali problemi una volta per tutte. E puoi allenarti sul nostro sito web. Qui .
Se hai domande o qualcosa non è chiaro, assicurati di chiedere. Sarò felice di risponderti e apportare modifiche e integrazioni all'articolo. Ricorda che stiamo realizzando questo sito insieme!
Spesso in fisica e matematica è necessario trovare il valore più piccolo di una funzione. Ora ti diremo come farlo.
Come trovare il valore più piccolo di una funzione: istruzioni
- Per calcolare il valore più piccolo funzione continua su un dato segmento, è necessario seguire il seguente algoritmo:
- Trova la derivata della funzione.
- Trova su un dato segmento i punti in cui la derivata è uguale a zero, nonché tutti i punti critici. Quindi scopri i valori della funzione in questi punti, ovvero risolvi l'equazione in cui x è uguale a zero. Scopri quale valore è il più piccolo.
- Identificare quale valore ha una funzione sugli endpoint. Determina il valore più piccolo della funzione in questi punti.
- Confronta i dati ottenuti con il valore più basso. Il più piccolo dei numeri risultanti sarà il valore più piccolo della funzione.
Tieni presente che se una funzione su un segmento non ha punti più piccoli, ciò significa che in un dato segmento aumenta o diminuisce. Pertanto, il valore più piccolo dovrebbe essere calcolato sui segmenti finiti della funzione.
In tutti gli altri casi, il valore della funzione viene calcolato secondo l'algoritmo specificato. In ogni punto dell'algoritmo dovrai risolvere un semplice equazione lineare con una radice. Risolvi l'equazione utilizzando un'immagine per evitare errori.
Come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento semiaperto? Su un periodo semiaperto o aperto della funzione, il valore più piccolo dovrebbe essere trovato come segue. Nei punti finali del valore della funzione, calcolare il limite unilaterale della funzione. In altre parole, risolvi un'equazione in cui i punti tendenti sono dati dai valori a+0 e b+0, dove a e b sono i nomi punti critici.
Ora sai come trovare il valore più piccolo di una funzione. La cosa principale è eseguire tutti i calcoli correttamente, accuratamente e senza errori.
