Përkufizimi

Polyedron do të quajmë një sipërfaqe të mbyllur të përbërë nga shumëkëndësha dhe që kufizon një pjesë të caktuar të hapësirës.

Quhen segmentet që janë brinjët e këtyre shumëkëndëshave brinjët shumëkëndësh, dhe vetë shumëkëndëshat janë skajet. Kulmet e shumëkëndëshave quhen kulme shumëkëndëshe.

Ne do të konsiderojmë vetëm poliedra konveks (ky është një poliedron që ndodhet në njërën anë të çdo rrafshi që përmban fytyrën e tij).

Shumëkëndëshat që përbëjnë një shumëkëndësh formojnë sipërfaqen e tij. Pjesa e hapësirës që kufizohet nga një shumëfaqësh i caktuar quhet brendësi e saj.

Përkufizimi: prizëm

Konsideroni dy poligone të barabartë \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\) të vendosura në plane paralele në mënyrë që segmentet \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralele. Një shumëfaqësh i formuar nga poligonet \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\), si dhe nga paralelogramet \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), quhet (\(n\)-gonal) prizëm.

Shumëkëndëshat \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\) quhen bazat e prizmit, paralelogramet \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faqet anësore, segmentet \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- brinjë anësore.
Kështu, skajet anësore të prizmit janë paralele dhe të barabarta me njëra-tjetrën.

Le të shohim një shembull - një prizëm \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), në bazën e të cilit shtrihet një pesëkëndësh konveks.

Lartësia prizmat janë një pingul i rënë nga çdo pikë e një baze në rrafshin e një baze tjetër.

Nëse skajet anësore nuk janë pingul me bazën, atëherë një prizëm i tillë quhet të prirur(Fig. 1), përndryshe - drejt. Në një prizëm të drejtë, skajet anësore janë lartësitë, dhe fytyrat anësore- drejtkëndësha të barabartë.

Nëse një shumëkëndësh i rregullt shtrihet në bazën e një prizmi të drejtë, atëherë quhet prizmi korrekte.

Përkufizimi: koncepti i vëllimit

Njësia e matjes së vëllimit është një kub njësi (një kub që mat \(1\times1\times1\) njësi\(^3\), ku njësia është një njësi e caktuar matëse).

Mund të themi se vëllimi i një poliedri është sasia e hapësirës që kufizon ky shumëfaqësh. Përndryshe: kjo është një sasi vlera numerike e së cilës tregon se sa herë një kub njësi dhe pjesët e tij përshtaten në një shumëfaqësh të caktuar.

Vëllimi ka të njëjtat veti si zona:

1. Vëllimet e figurave të barabarta janë të barabarta.

2. Nëse një shumëfaqësh është i përbërë nga disa poliedra që nuk kryqëzohen, atëherë vëllimi i tij e barabartë me shumën vëllimet e këtyre poliedrave.

3. Vëllimi është një sasi jo negative.

4. Vëllimi matet në cm\(^3\) (centimetra kub), m\(^3\) ( Metra kub) etj.

Teorema

1. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të prizmit është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.
Sipërfaqja anësore është shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore të prizmit.

2. Vëllimi i prizmit është i barabartë me prodhimin e sipërfaqes bazë dhe lartësisë së prizmit: \

Përkufizimi: paralelipiped

Paralelepipedështë një prizëm me një paralelogram në bazën e tij.

Të gjitha faqet e paralelopipedit (ka \(6\) : \(4\) faqe anësore dhe \(2\) baza) janë paralelograme, dhe faqet e kundërta (paralele me njëra-tjetrën) janë paralelograme të barabarta (Fig. 2) .

Diagonalja e një paralelepipediështë një segment që lidh dy kulme të një paralelipipedi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe (ka \(8\) prej tyre: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etj.).

Paralelepiped drejtkëndësheështë një paralelipiped i drejtë me një drejtkëndësh në bazën e tij.
Sepse Meqenëse ky është një paralelipiped i drejtë, faqet anësore janë drejtkëndëshe. Kjo do të thotë që në përgjithësi të gjitha faqet e një paralelipipedi drejtkëndor janë drejtkëndësha.

Të gjitha diagonalet e një paralelipipedi drejtkëndor janë të barabarta (kjo rrjedh nga barazia e trekëndëshave \(\trekëndësh ACC_1=\trekëndësh AA_1C=\trekëndësh BDD_1=\trekëndësh BB_1D\) etj.).

Koment

Kështu, një paralelipiped ka të gjitha vetitë e një prizmi.

Teorema

Sipërfaqja anësore e një paralelepipedi drejtkëndor është \

Sipërfaqja e përgjithshme e një paralelepipedi drejtkëndor është \

Teorema

Vëllimi i një kuboidi është i barabartë me produktin e tre skajeve të tij që dalin nga një kulm (tre dimensionet e kuboidit): \

Dëshmi

Sepse Në një paralelipiped drejtkëndor, skajet anësore janë pingul me bazën, pastaj janë edhe lartësitë e saj, pra \(h=AA_1=c\) sepse atëherë baza është një drejtkëndësh \(S_(\tekst(kryesore))=AB\cdot AD=ab\). Nga këtu vjen kjo formulë.

Teorema

Diagonalja \(d\) e një paralelipipedi drejtkëndor gjendet duke përdorur formulën (ku \(a,b,c\) janë dimensionet e paralelopipedit) \

Dëshmi

Le të shohim Fig. 3. Sepse baza është një drejtkëndësh, atëherë \(\trekëndëshi ABD\) është drejtkëndësh, prandaj, nga teorema e Pitagorës \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Sepse të gjitha skajet anësore janë pingul me bazat, atëherë \(BB_1\perp (ABC) \Djathtas shigjetë BB_1\) pingul me çdo drejtëz në këtë rrafsh, d.m.th. \(BB_1\perp BD\) . Kjo do të thotë se \(\trekëndëshi BB_1D\) është drejtkëndor. Pastaj, nga teorema e Pitagorës \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Përkufizimi: kub

Kubështë një paralelipiped drejtkëndor, të gjitha faqet e të cilit janë katrorë të barabartë.

Kështu, tre dimensionet janë të barabarta me njëra-tjetrën: \(a=b=c\) . Pra, sa vijon janë të vërteta

Teorema

1. Vëllimi i një kubi me buzë \(a\) është i barabartë me \(V_(\tekst(kub))=a^3\) .

2. Diagonalja e kubit gjendet duke përdorur formulën \(d=a\sqrt3\) .

3. Sipërfaqja totale e një kubi \(S_(\tekst(kubik i plotë))=6a^2\).

Përkthyer nga greqishtja, paralelogram do të thotë aeroplan. Një paralelipiped është një prizëm me një paralelogram në bazën e tij. Ekzistojnë pesë lloje të paralelogramit: i zhdrejtë, i drejtë dhe kuboid. Kubi dhe rombohedroni gjithashtu i përkasin paralelepipedit dhe janë shumëllojshmëria e tij.

Para se të kalojmë te konceptet bazë, le të japim disa përkufizime:

Diagonalja e një paralelipipedi është një segment që bashkon kulmet e paralelepipedit që janë përballë njëri-tjetrit.
Nëse dy faqe kanë një skaj të përbashkët, atëherë mund t'i quajmë buzë ngjitur. Nëse nuk ka buzë të përbashkët, atëherë fytyrat quhen të kundërta.
Dy kulme që nuk shtrihen në të njëjtën fytyrë quhen të kundërta.

Çfarë veti ka një paralelipiped?

Fytyrat e një paralelepipedi të shtrirë në anët e kundërta janë paralele me njëra-tjetrën dhe të barabarta me njëra-tjetrën.
Nëse vizatoni diagonale nga një kulm në tjetrin, atëherë pika e kryqëzimit të këtyre diagonaleve do t'i ndajë ato në gjysmë.
Anët e paralelopipedit që shtrihen në të njëjtin kënd me bazën do të jenë të barabarta. Me fjalë të tjera, këndet e anëve të bashkëdrejtuara do të jenë të barabarta me njëra-tjetrën.

Cilat lloje të paralelepipedëve ekzistojnë?

Tani le të kuptojmë se çfarë lloj paralelipipedësh ekzistojnë. Siç u përmend më lart, ekzistojnë disa lloje të kësaj figure: të drejtë, drejtkëndëshe, paralelipiped të prirur, si dhe kub dhe rombohedron. Si ndryshojnë nga njëri-tjetri? Gjithçka ka të bëjë me rrafshet që i formojnë dhe këndet që formojnë.

Le të shohim më në detaje secilin nga llojet e listuara të paralelepipedit.

Siç është e qartë tashmë nga emri, një paralelipiped i prirur ka faqe të pjerrëta, përkatësisht ato faqe që nuk janë në një kënd prej 90 gradë në raport me bazën.
Por për një paralelipiped të drejtë, këndi midis bazës dhe skajit është saktësisht nëntëdhjetë gradë. Është për këtë arsye që ky lloj paralelepipedi ka një emër të tillë.
Nëse të gjitha fytyrat e paralelopipedit janë katrorë identikë, atëherë kjo shifër mund të konsiderohet një kub.
Një paralelipiped drejtkëndor e mori këtë emër për shkak të planeve që e formojnë atë. Nëse të gjithë janë drejtkëndësha (përfshirë bazën), atëherë ky është një kuboid. Ky lloj paralelipipedi nuk gjendet shumë shpesh. Përkthyer nga greqishtja, rombohedron do të thotë fytyrë ose bazë. Ky është emri që i është dhënë një figure tredimensionale, fytyrat e së cilës janë rombe.

Formulat bazë për një paralelipiped

Vëllimi i një paralelipipedi është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësinë e tij pingul me bazën.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore do të jetë e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë.
Duke ditur përkufizimet dhe formulat bazë, mund të llogarisni sipërfaqen dhe vëllimin bazë. Baza mund të zgjidhet sipas gjykimit tuaj. Sidoqoftë, si rregull, një drejtkëndësh përdoret si bazë.

Prizma dhe paralelepiped

Vetitë e një paralelepipedi

Për një paralelipiped:

1) fytyrat e kundërta janë të barabarta dhe paralele;

2) të katër diagonalet kryqëzohen në një pikë dhe përgjysmohen në të.

Dëshmi:

1) Konsideroni disa fytyra të kundërta të paralelepipedit, për shembull, dhe (Fig. 5).

Meqenëse të gjitha faqet e një paralelopipedi janë paralelograme, atëherë drejtëza AD është paralele me drejtëzën BC dhe drejtëza është paralele me drejtëzën. Nga kjo rezulton se rrafshet e fytyrave në shqyrtim janë paralele.

Nga fakti që faqet e një paralelepipedi janë paralelograme, rezulton se AB dhe CD janë paralele dhe të barabarta. Nga kjo arrijmë në përfundimin se fytyra është rreshtuar me përkthim paralel përgjatë skajit AB me fytyrën. Prandaj, këto fytyra janë të barabarta.

2) Le të marrim dy diagonale të paralelopipedit (Fig. 5), për shembull, dhe, dhe të vizatojmë vija të drejta shtesë dhe. AB dhe përkatësisht janë të barabarta dhe paralele me skajin DC, prandaj janë të barabartë dhe paralel me njëri-tjetrin; Si rezultat, figura është një paralelogram në të cilin vijat e drejta dhe janë diagonalet, dhe në një paralelogram diagonalet ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit. Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetojmë se dy diagonalet e tjera kryqëzohen në një pikë dhe përgjysmohen nga ajo pikë. Pika e kryqëzimit të çdo çifti diagonalesh shtrihet në mes të diagonales. Kështu, të katër diagonalet e paralelepipedit kryqëzohen në një pikë O dhe përgjysmohen nga kjo pikë. Kështu, pika e kryqëzimit të diagonaleve të një paralelipipedi është qendra e tij e simetrisë.

Katrori i diagonales së një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij.

Dëshmi:

Kjo del nga teorema hapësinore e Pitagorës. Nëse është diagonalja e një paralelipipedi drejtkëndor, atëherë janë projeksionet e tij në tre vija pingule në çift (Fig. 6). Prandaj, .

Shënim: në një paralelipiped drejtkëndor të gjitha diagonalet janë të barabarta.

Koeficientët binomialë

Numrat Cnk kanë një numër karakteristikash të jashtëzakonshme. Këto veti në fund të fundit shprehin marrëdhënie të ndryshme midis nëngrupeve të një grupi të caktuar X. Ato mund të vërtetohen drejtpërdrejt bazuar në formulën (1)...

Koeficientët binomialë

1. Shuma e koeficientëve të zgjerimit (a + b)n është e barabartë me 2n. Për ta vërtetuar mjafton të vendosim a = b = 1. Pastaj në anën e djathtë të zgjerimit binomial do të kemi shumën e koeficientëve binomialë, kurse në të majtë: (1 + 1)n = 2n. 2.Koeficientët e anëtarëve...

Llojet e poliedrave

Sipërfaqja anësore (ose thjesht sipërfaqe anësore) e një prizmi (paralelepiped) është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të saj anësore...

Sekuenca Fibonacci shumëdimensionale

Le të ndërtojmë një sekuencë dhe ta quajmë sekuenca tredimensionale Fibonacci. Kjo sekuencë do të përbëhet nga grupet M1, M2, ... e kështu me radhë. Kompleti M1 përbëhet nga vetëm një aditiv i trefishtë (2,1,1)...

Gjysmëgrupe shumëzuese të numrave realë jonegativë

Le të jetë S një gjysmëgrup i pakalueshëm shumëzues komutativ me 1 dhe pa pjesëtues të njësisë. Gjysmëgrupe të tilla quhen integrale ose konike. Elementet dhe të S thuhet se janë relativisht të thjeshtë nëse gcd(,)=1...

Gjeometria jo-Euklidiane

Le të shqyrtojmë disa veti, koncepte dhe fakte që mbahen në gjeometrinë e Lobachevsky. Në këtë rast, unë konsiderova pronat bazuar në modelin e Klein. Shumica e tyre do të kryhen në modele të tjera të gjeometrisë jo-Euklidiane...

Disa kthesa të mrekullueshme

Normalja e kokleës së Paskalit në pikën e saj M (Fig. 7) kalon në pikën N të rrethit kryesor K, diametralisht e kundërt me pikën P ku OM kryqëzohet me rrethin kryesor...

Përcaktorët dhe zbatimi i tyre në algjebër dhe gjeometri

Përcaktori ka një sërë veçorish: 1) Përcaktori nuk ndryshon gjatë transportimit të matricave (rreshtave dhe kolonave). 2) Nëse njëra prej kolonave (rreshtave) përbëhet nga zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero...

Shndërrime që rrisin rendin e kurbave algjebrike të rrafshët

Le të shqyrtojmë mënyra më e thjeshtë formimi i cisoidit - një kurbë e zbuluar nga të lashtët në kërkim të një zgjidhjeje për problemin e famshëm të dyfishimit të kubit. Le të marrim një rreth (të quajtur gjenerues) me një diametër dhe një tangjente me të...

Prizma dhe paralelepiped

Nëse baza e prizmit është një paralelogram, atëherë ai quhet paralelopiped. Të gjitha faqet e një paralelipipedi janë paralelograme. Figura 3 tregon një paralelipiped të pjerrët, dhe Figura 4 tregon një paralelipiped të drejtë. Fytyrat e një paralelipipedi...

Ndarja e serive natyrore

Në këtë seksion do të flasim për problemet që i kushtohen ndarjes së një serie natyrore në sekuenca dhe teorema që i vërteton ato...

Problem ekstrem në indeksimin e klasave

Do të na duhen dy fakte nga . 1. Për këdo ekziston një DF unike. 2. Nëse, atëherë grupi është me një element. Nëse, atëherë ka familje të vazhdueshme, me një parametra (d.m.th., për dhe (simboli tregon konvergjencë të dobët)) dhe DF të tilla...

Në këtë orë mësimi, të gjithë do të mund të studiojnë temën "Paralelepiped drejtkëndor". Në fillim të mësimit, ne do të përsërisim se çfarë janë paralelopipedët arbitrar dhe të drejtë, mbani mend vetitë e fytyrave të tyre të kundërta dhe diagonaleve të paralelepipedit. Pastaj do të shohim se çfarë është një kuboid dhe do të diskutojmë vetitë e tij themelore.

Tema: Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

Mësimi: Kuboid

Një sipërfaqe e përbërë nga dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 dhe katër paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 quhet paralelipiped(Fig. 1).

Oriz. 1 Paralelepiped

Dmth: kemi dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 (baza), ato shtrihen në plane paralele në mënyrë që skajet anësore AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 të jenë paralele. Kështu, një sipërfaqe e përbërë nga paralelogramë quhet paralelipiped.

Kështu, sipërfaqja e një paralelipipedi është shuma e të gjithë paralelogrameve që përbëjnë paralelopipedin.

1. Faqet e kundërta të një paralelipipedi janë paralele dhe të barabarta.

(format janë të barabarta, domethënë mund të kombinohen duke u mbivendosur)

Për shembull:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramë të barabartë sipas përkufizimit),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (pasi AA 1 B 1 B dhe DD 1 C 1 C janë faqe të kundërta të paralelepipedit),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (pasi AA 1 D 1 D dhe BB 1 C 1 C janë faqe të kundërta të paralelepipedit).

2. Diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe përgjysmohen nga kjo pikë.

Diagonalet e paralelepipedit AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B kryqëzohen në një pikë O, dhe secila diagonale ndahet përgjysmë me këtë pikë (Fig. 2).

Oriz. 2 Diagonalet e një paralelipipedi priten dhe ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

3. Ekzistojnë tre katërfisha të skajeve të barabarta dhe paralele të një paralelipipedi: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Përkufizimi. Një paralelipiped quhet i drejtë nëse skajet anësore të tij janë pingul me bazat.

Lëreni skajin anësor AA 1 të jetë pingul me bazën (Fig. 3). Kjo do të thotë se drejtëza AA 1 është pingul me drejtëzat AD dhe AB, të cilat shtrihen në rrafshin e bazës. Kjo do të thotë që faqet anësore përmbajnë drejtkëndësha. Dhe bazat përmbajnë paralelograme arbitrare. Le të shënojmë ∠ BAD = φ, këndi φ mund të jetë cilido.

Oriz. 3 Paralelepiped djathtas

Pra, një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped në të cilin skajet anësore janë pingul me bazat e paralelopipedit.

Përkufizimi. Paralelepipedi quhet drejtkëndor, nëse skajet anësore të tij janë pingul me bazën. Bazat janë drejtkëndëshe.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelipiped është drejtkëndëshe (Fig. 4), nëse:

1. AA 1 ⊥ ABCD (buza anësore pingul me rrafshin e bazës, pra një paralelipiped i drejtë).

2. ∠ BAD = 90°, pra baza është një drejtkëndësh.

Oriz. 4 Paralelepiped drejtkëndëshe

Një paralelipiped drejtkëndor ka të gjitha vetitë e një paralelepipedi arbitrar. Por ka veti shtesë që rrjedhin nga përkufizimi i një kuboidi.

Kështu që, kuboidështë një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me bazën. Baza e një paralelepipedi drejtkëndor është një drejtkëndësh.

1. Në një paralelipiped drejtkëndor, të gjashtë faqet janë drejtkëndësha.

ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 janë drejtkëndësha sipas përkufizimit.

2. Brinjë anësore pingul me bazën. Kjo do të thotë se të gjitha faqet anësore të një paralelipipedi drejtkëndor janë drejtkëndësha.

3. Të gjitha kënde dihedrale drejtkëndëshe drejtkëndëshe paralelipipedësh.

Le të shqyrtojmë, për shembull, këndin dihedral të një paralelipipedi drejtkëndor me buzë AB, d.m.th., këndin dihedral midis planeve ABC 1 dhe ABC.

AB është një skaj, pika A 1 shtrihet në një rrafsh - në rrafshin ABB 1, dhe pika D në tjetrën - në rrafshin A 1 B 1 C 1 D 1. Atëherë këndi dihedral në shqyrtim mund të shënohet edhe si më poshtë: ∠A 1 ABD.

Le të marrim pikën A në skajin AB. AA 1 është pingul me skajin AB në rrafshin АВВ-1, AD është pingul me skajin AB në rrafshin ABC. Kjo do të thotë se ∠A 1 AD është këndi linear i një këndi të caktuar dihedral. ∠A 1 AD = 90°, që do të thotë se këndi dihedral në skajin AB është 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Në mënyrë të ngjashme, është vërtetuar se çdo kënd dihedral i një paralelepipedi drejtkëndor është i drejtë.

Katrori i diagonales së një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij.

Shënim. Gjatësitë e tre skajeve që dalin nga një kulm i një kuboidi janë matjet e kuboidit. Ndonjëherë ato quhen gjatësi, gjerësi, lartësi.

Jepet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped drejtkëndor (Fig. 5).

Provoj: .

Oriz. 5 Paralelepiped drejtkëndëshe

Dëshmi:

Drejtëza CC 1 është pingul me rrafshin ABC, dhe rrjedhimisht me drejtëzën AC. Kjo do të thotë se trekëndëshi CC 1 A është kënddrejtë. Sipas teoremës së Pitagorës:

Le të shqyrtojmë trekëndësh kënddrejtë ABC. Sipas teoremës së Pitagorës:

Por para Krishtit dhe pas Krishtit - anët e kundërta drejtkëndësh. Pra para Krishtit = pas Krishtit. Pastaj:

Sepse , A , Kjo. Meqenëse CC 1 = AA 1, kjo është ajo që duhej vërtetuar.

Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta.

Le të shënojmë dimensionet e ABC paralelipiped si a, b, c (shih Fig. 6), pastaj AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =