Ose aritmetika është një lloj sekuence numerike e renditur, vetitë e së cilës studiohen në një kurs algjebër shkollore. Ky artikull diskuton në detaje pyetjen se si të gjeni shumën progresion aritmetik.

Çfarë lloj progresi është ky?

Para se të kaloni në pyetjen (si të gjeni shumën e një progresion aritmetik), ia vlen të kuptoni se për çfarë po flasim.

Çdo sekuencë e numrave realë që fitohet duke shtuar (zbritur) ndonjë vlerë nga çdo numër i mëparshëm quhet progresion algjebrik (aritmetik). Ky përkufizim, kur përkthehet në gjuhën matematikore, merr formën:

Ketu une - numër serik elementi i serisë a i . Kështu, duke ditur vetëm një numër fillestar, mund ta riktheni lehtësisht të gjithë serinë. Parametri d në formulë quhet ndryshim i progresionit.

Mund të tregohet lehtësisht se për serinë e numrave në shqyrtim vlen barazia e mëposhtme:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Kjo do të thotë, për të gjetur vlerën e elementit të n-të me radhë, duhet të shtoni ndryshimin d në elementin e parë a 1 n-1 herë.

Sa është shuma e një progresion aritmetik: formula

Para se të jepni formulën për shumën e treguar, ia vlen të merrni parasysh një të thjeshtë rast i veçantë. Progresioni është dhënë numrat natyrorë nga 1 në 10, ju duhet të gjeni shumën e tyre. Meqenëse ka pak terma në progresion (10), është e mundur të zgjidhet problemi kokë më kokë, domethënë të mblidhen të gjithë elementët në rend.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vlen të merret në konsideratë një gjë interesante: meqenëse çdo term ndryshon nga tjetri me të njëjtën vlerë d = 1, atëherë mbledhja në çift e të parit me të dhjetën, të dytën me të nëntën, e kështu me radhë do të japë të njëjtin rezultat. Vërtet:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Siç mund ta shihni, janë vetëm 5 nga këto shuma, domethënë saktësisht dy herë më pak se numri i elementeve të serisë. Pastaj duke shumëzuar numrin e shumave (5) me rezultatin e secilës shumë (11), do të arrini në rezultatin e marrë në shembullin e parë.

Nëse i përgjithësojmë këto argumente, mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Kjo shprehje tregon se nuk është aspak e nevojshme të përmblidhen të gjithë elementët në një rresht, mjafton të dihet vlera e të parit a 1 dhe të fundit a n, si dhe numri total n terma.

Besohet se Gauss ishte i pari që mendoi për këtë barazi kur ai po kërkonte një zgjidhje për një problem të caktuar. mësues shkolle detyrë: mbledh 100 numrat e parë të plotë.

Shuma e elementeve nga m në n: formula

Formula e dhënë në paragrafin e mëparshëm i përgjigjet pyetjes se si të gjendet shuma e një progresion aritmetik (elementet e parë), por shpesh në problema është e nevojshme të përmblidhet një seri numrash në mes të progresionit. Si ta bëjmë atë?

Mënyra më e lehtë për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje është duke shqyrtuar shembullin e mëposhtëm: le të jetë e nevojshme të gjendet shuma e termave nga m-ta në n-të. Për të zgjidhur problemin, duhet të paraqisni segmentin e dhënë nga m në n të progresionit në formën e një serie të re numrash. Në të tilla përfaqësimi m-të termi a m do të jetë i pari dhe a n do të numërohet n-(m-1). Në këtë rast, duke zbatuar formulën standarde për shumën, do të merret shprehja e mëposhtme:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Shembull i përdorimit të formulave

Duke ditur se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik, ia vlen të merret parasysh një shembull i thjeshtë i përdorimit të formulave të mësipërme.

Më poshtë jepet sekuenca e numrave, duhet të gjeni shumën e termave të tij, duke filluar nga data 5 dhe duke përfunduar me datën 12:

Numrat e dhënë tregojnë se ndryshimi d është i barabartë me 3. Duke përdorur shprehjen për elementin e n-të, mund të gjeni vlerat e termave të 5-të dhe të 12-të të progresionit. Doli qe:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Njohja e vlerave të numrave në fund të të dhënave progresion algjebrik, dhe gjithashtu duke ditur se cilët numra në rresht zënë, mund të përdorni formulën për shumën e marrë në paragrafin e mëparshëm. Do të rezultojë:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vlen të përmendet se kjo vlerë mund të merret ndryshe: së pari gjeni shumën e 12 elementëve të parë duke përdorur formulën standarde, më pas llogaritni shumën e 4 elementëve të parë duke përdorur të njëjtën formulë, pastaj zbrisni të dytin nga shuma e parë.

Para se të fillojmë të vendosim problemet e progresionit aritmetik, le të shqyrtojmë se çfarë është një sekuencë numrash, pasi një progresion aritmetik është një rast i veçantë i një sekuence numrash.

Një sekuencë numrash është një grup numrash, secili element i të cilit ka numrin e vet serial. Elementet e këtij grupi quhen anëtarë të sekuencës. Numri serial i një elementi të sekuencës tregohet nga një indeks:

Elementi i parë i sekuencës;

Elementi i pestë i sekuencës;

- elementi "n" i sekuencës, d.m.th. elementi "qëndron në radhë" në numrin n.

Ekziston një marrëdhënie midis vlerës së një elementi të sekuencës dhe numrit të sekuencës së tij. Prandaj, ne mund ta konsiderojmë një sekuencë si një funksion, argumenti i të cilit është numri rendor i elementit të sekuencës. Me fjalë të tjera, mund të themi se sekuenca është një funksion i argumentit natyror:

Sekuenca mund të vendoset në tre mënyra:

1 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një tabelë. Në këtë rast, ne thjesht vendosim vlerën e secilit anëtar të sekuencës.

Për shembull, Dikush vendosi të merrte menaxhimin personal të kohës dhe për të filluar, të llogarisë sa kohë shpenzon në VKontakte gjatë javës. Duke regjistruar kohën në tabelë, ai do të marrë një sekuencë të përbërë nga shtatë elementë:

Rreshti i parë i tabelës tregon numrin e ditës së javës, e dyta - kohën në minuta. Ne shohim që, domethënë, të hënën Dikush kaloi 125 minuta në VKontakte, domethënë të enjten - 248 minuta, dhe, domethënë, të Premten vetëm 15.

2 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur formulën e termit të n-të.

Në këtë rast, varësia e vlerës së një elementi të sekuencës nga numri i tij shprehet drejtpërdrejt në formën e një formule.

Për shembull, nëse , atëherë

Për të gjetur vlerën e një elementi të sekuencës me një numër të caktuar, ne e zëvendësojmë numrin e elementit në formulën e termit të n-të.

Ne bëjmë të njëjtën gjë nëse duhet të gjejmë vlerën e një funksioni nëse dihet vlera e argumentit. Ne e zëvendësojmë vlerën e argumentit në ekuacionin e funksionit:

Nëse, për shembull, , Kjo

Më lejoni të vërej edhe një herë se në një sekuencë, ndryshe nga një funksion numerik arbitrar, argumenti mund të jetë vetëm një numër natyror.

3 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e vlerës së numrit të anëtarit të sekuencës n nga vlerat e anëtarëve të mëparshëm. Në këtë rast, nuk mjafton të dimë vetëm numrin e anëtarit të sekuencës për të gjetur vlerën e tij. Duhet të specifikojmë anëtarin e parë ose anëtarët e parë të sekuencës.

Për shembull, merrni parasysh sekuencën ,

Mund të gjejmë vlerat e anëtarëve të sekuencës në sekuencë, duke filluar nga e treta:

Kjo do të thotë, çdo herë, për të gjetur vlerën e termit të n-të të sekuencës, kthehemi te dy të mëparshmet. Kjo metodë e specifikimit të një sekuence quhet të përsëritura, nga fjala latine recurro- Kthehu.

Tani mund të përcaktojmë një progresion aritmetik. Një progresion aritmetik është një rast i thjeshtë i veçantë i një sekuence numrash.

Progresioni aritmetik është një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër.

Numri thirret dallimi i progresionit aritmetik. Diferenca e një progresioni aritmetik mund të jetë pozitiv, negativ ose i barabartë me zero.

Nëse title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} në rritje.

Për shembull, 2; 5; 8; njëmbëdhjetë;...

Nëse , atëherë çdo term i një progresioni aritmetik është më i vogël se ai i mëparshmi, dhe progresioni është në rënie.

Për shembull, 2; -1; -4; -7;...

Nëse , atëherë të gjithë kushtet e progresionit janë të barabartë me të njëjtin numër, dhe progresioni është stacionare.

Për shembull, 2; 2; 2; 2; ...

Vetia kryesore e një progresion aritmetik:

Le të shohim foton.

Ne e shohim atë

, dhe në të njëjtën kohë

Duke shtuar këto dy barazi, marrim:

.

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 2:

Pra, çdo anëtar i progresionit aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy fqinjëve:

Për më tepër, që nga

, dhe në të njëjtën kohë

, Kjo

, dhe për këtë arsye

Çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar me title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula e termit të th.

Ne shohim se termat e progresionit aritmetik plotësojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

dhe në fund

Ne kemi formula e termit të n-të.

E RËNDËSISHME!Çdo anëtar i një progresion aritmetik mund të shprehet përmes dhe. Duke ditur termin e parë dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjeni cilindo nga termat e tij.

Shuma e n termave të një progresion aritmetik.

Në një progresion aritmetik arbitrar, shumat e termave të barabarta nga ato ekstreme janë të barabarta me njëra-tjetrën:

Konsideroni një progresion aritmetik me n terma. Le të jetë shuma e n kushteve të këtij progresioni e barabartë me .

Le t'i rregullojmë termat e progresionit së pari në rendin rritës të numrave dhe më pas në rend zbritës:

Le të shtojmë në dyshe:

Shuma në çdo kllapa është , numri i çifteve është n.

Ne marrim:

Kështu që, shuma e n termave të një progresion aritmetik mund të gjendet duke përdorur formulat:

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemeve të progresionit aritmetik.

1 . Sekuenca jepet me formulën e termit të n-të: . Vërtetoni se kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

Le të vërtetojmë se ndryshimi midis dy termave ngjitur të sekuencës është i barabartë me të njëjtin numër.

Ne zbuluam se ndryshimi midis dy anëtarëve ngjitur të sekuencës nuk varet nga numri i tyre dhe është një konstante. Prandaj, sipas përkufizimit, kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

2 . Jepet një progresion aritmetik -31; -27;...

a) Gjeni 31 terma të progresionit.

b) Përcaktoni nëse numri 41 përfshihet në këtë progresion.

A) Ne shohim se;

Le të shkruajmë formulën për termin e n-të për progresionin tonë.

Në përgjithësi

Në rastin tonë , Kjo është arsyeja pse

Ne marrim:

b) Supozoni se numri 41 është një anëtar i sekuencës. Le të gjejmë numrin e tij. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim ekuacionin:

Ne morëm vlerën natyrore të n, prandaj, po, numri 41 është një anëtar i progresionit. Nëse vlera e gjetur e n-së nuk do të ishte një numër natyror, atëherë do të përgjigjeshim se numri 41 NUK është anëtar i progresionit.

3 . a) Ndërmjet numrave 2 dhe 8, vendosni 4 numra në mënyrë që ata së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

b) Gjeni shumën e termave të progresionit që rezulton.

A) Le të fusim katër numra midis numrave 2 dhe 8:

Ne morëm një progresion aritmetik me 6 terma.

Le të gjejmë ndryshimin e këtij progresi. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën për termin e n-të:

Tani është e lehtë të gjesh kuptimet e numrave:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Përgjigje: a) po; b) 30

4. Kamioni transporton një ngarkesë guri të grimcuar me peshë 240 tonë, duke rritur shkallën e transportit me të njëjtin numër tonësh çdo ditë. Bëhet e ditur se ditën e parë janë transportuar 2 tonë gurë të grimcuar. Përcaktoni sa tonë gurë të grimcuar u transportuan në ditën e dymbëdhjetë nëse e gjithë puna përfundoi në 15 ditë.

Sipas gjendjes së problemit, sasia e gurit të grimcuar që transporton kamioni rritet çdo ditë me të njëjtin numër. Prandaj, kemi të bëjmë me një progresion aritmetik.

Le ta formulojmë këtë problem në termat e një progresion aritmetik.

Gjatë ditës së parë janë transportuar 2 tonë gurë të grimcuar: a_1=2.

E gjithë puna u krye në 15 ditë: .

Kamioni po transporton një grumbull guri të grimcuar me peshë 240 tonë:

Duhet të gjejmë.

Së pari, le të gjejmë ndryshimin e progresionit. Le të përdorim formulën për shumën e n kushteve të një progresion.

Në rastin tonë:

Po, po: përparimi aritmetik nuk është një lodër për ju :)

Epo, miq, nëse po e lexoni këtë tekst, atëherë kapaku-dëshmia e brendshme më thotë se ju nuk e dini ende se çfarë është një progresion aritmetik, por vërtet (jo, kështu: SOOOOO!) dëshironi të dini. Prandaj, nuk do t'ju mundoj me prezantime të gjata dhe do të shkoj direkt në temë.

Së pari, disa shembuj. Le të shohim disa grupe numrash:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Çfarë kanë të përbashkët të gjitha këto grupe? Në pamje të parë, asgjë. Por në fakt ka diçka. Gjegjësisht: çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër.

Gjykojeni vetë. Seti i parë është thjesht numra të njëpasnjëshëm, secili i radhës është një më shumë se ai i mëparshmi. Në rastin e dytë, ndryshimi midis numrave ngjitur tashmë është pesë, por ky ndryshim është ende konstant. Në rastin e tretë, ka rrënjë krejtësisht. Megjithatë, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dhe $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.m.th. dhe në këtë rast, çdo element tjetër thjesht rritet me $\sqrt(2)$ (dhe mos kini frikë se ky numër është irracional).

Pra: të gjitha sekuencat e tilla quhen progresione aritmetike. Le të japim një përkufizim të rreptë:

Përkufizimi. Një sekuencë numrash në të cilat secili tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me saktësisht të njëjtën sasi quhet progresion aritmetik. Vetë shuma me të cilën ndryshojnë numrat quhet ndryshim i progresionit dhe më së shpeshti shënohet me shkronjën $d$.

Shënim: $\left(((a)_(n)) \djathtas)$ është vetë progresioni, $d$ është ndryshimi i tij.

Dhe vetëm disa shënime të rëndësishme. Së pari, progresi konsiderohet vetëm porositur sekuenca e numrave: ato lejohen të lexohen në mënyrë rigoroze sipas rendit në të cilin janë shkruar - dhe asgjë tjetër. Numrat nuk mund të riorganizohen ose të ndërrohen.

Së dyti, sekuenca në vetvete mund të jetë ose e fundme ose e pafundme. Për shembull, grupi (1; 2; 3) është padyshim një progresion aritmetik i fundëm. Por nëse shkruani diçka në shpirt (1; 2; 3; 4; ...) - kjo është tashmë përparim i pafund. Elipsi pas të katërt duket se lë të kuptohet se ka edhe shumë numra të tjerë për të ardhur. Pafundësisht shumë, për shembull.

Do të doja gjithashtu të vërej se përparimet mund të jenë në rritje ose në rënie. Ne kemi parë tashmë ato në rritje - të njëjtin grup (1; 2; 3; 4; ...). Këtu janë shembuj të progresioneve në rënie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Mirë, në rregull: shembulli i fundit mund të duket tepër i ndërlikuar. Por pjesa tjetër, mendoj, ju e kuptoni. Prandaj, ne prezantojmë përkufizime të reja:

Përkufizimi. Një progresion aritmetik quhet:

1. duke u rritur nëse çdo element tjetër është më i madh se ai i mëparshmi;
2. duke u ulur nëse, përkundrazi, çdo element pasues është më i vogël se ai i mëparshmi.

Për më tepër, ekzistojnë të ashtuquajturat sekuenca "stacionare" - ato përbëhen nga i njëjti numër përsëritës. Për shembull, (3; 3; 3; ...).

Mbetet vetëm një pyetje: si të dallojmë një progresion në rritje nga një në rënie? Për fat të mirë, gjithçka këtu varet vetëm nga shenja e numrit $d$, d.m.th. Dallimet e progresionit:

1. Nëse $d \gt 0$, atëherë progresion rritet;
2. Nëse $d \lt 0$, atëherë progresioni është dukshëm në rënie;
3. Së fundi, ekziston rasti $d=0$ - në këtë rast i gjithë progresioni reduktohet në një sekuencë stacionare të numrave identikë: (1; 1; 1; 1; ...), etj.

Le të përpiqemi të llogarisim ndryshimin $d$ për tre progresionet në rënie të dhëna më sipër. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh dy elementë ngjitur (për shembull, i pari dhe i dyti) dhe të zbresësh numrin në të majtë nga numri në të djathtë. Do të duket kështu:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Siç mund ta shohim, në të tre rastet diferenca në fakt rezultoi negative. Dhe tani që pak a shumë i kemi kuptuar përkufizimet, është koha të kuptojmë se si përshkruhen progresionet dhe cilat veçori kanë ato.

Termat e progresionit dhe formula e përsëritjes

Meqenëse elementët e sekuencave tona nuk mund të ndërrohen, ato mund të numërohen:

\[\majtas(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \djathtas\)\]

Elementet individuale të këtij grupi quhen anëtarë të një progresion. Ato tregohen me një numër: anëtari i parë, anëtari i dytë, etj.

Për më tepër, siç e dimë tashmë, termat fqinjë të progresionit lidhen me formulën:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Djathtas ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Shkurtimisht, për të gjetur termin $n$th të një progresioni, duhet të dini termin $n-1$th dhe ndryshimin $d$. Kjo formulë quhet e përsëritur, sepse me ndihmën e saj mund të gjeni çdo numër vetëm duke ditur atë të mëparshëm (dhe në fakt, të gjithë të mëparshmit). Kjo është shumë e papërshtatshme, kështu që ekziston një formulë më dinake që redukton çdo llogaritje në termin e parë dhe ndryshimin:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d\]

Ju ndoshta keni hasur tashmë në këtë formulë. Ata pëlqejnë ta japin atë në të gjitha llojet e librave të referencës dhe librave të zgjidhjeve. Dhe në çdo tekst të arsyeshëm të matematikës është një nga të parët.

Megjithatë, ju sugjeroj të praktikoni pak.

Detyra nr. 1. Shkruani tre termat e parë të progresionit aritmetik $\left((a)_(n)) \djathtas)$ nëse $((a)_(1))=8,d=-5$.

Zgjidhje. Pra, ne e dimë termin e parë $((a)_(1))=8$ dhe ndryshimin e progresionit $d=-5$. Le të përdorim formulën e sapo dhënë dhe të zëvendësojmë $n=1$, $n=2$ dhe $n=3$:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d; \\ & ((a)_(1))=(a)_(1))+\majtas(1-1 \djathtas)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\majtas(2-1 \djathtas)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+\majtas(3-1 \djathtas)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: (8; 3; −2)

Kjo eshte e gjitha! Ju lutemi vini re: progresi ynë është në rënie.

Natyrisht, $n=1$ nuk mund të zëvendësohej - termi i parë është tashmë i njohur për ne. Megjithatë, duke zëvendësuar unitetin, ne u bindëm se edhe për mandatin e parë formula jonë funksionon. Në raste të tjera, gjithçka zbriste në aritmetikë banale.

Detyra nr. 2. Shkruani tre termat e parë të një progresion aritmetik nëse mandati i shtatë është i barabartë me -40 dhe ai i shtatëmbëdhjetë është i barabartë me -50.

Zgjidhje. Le të shkruajmë kushtin e problemit në terma të njohur:

\[((a)_(7))=-40;\katër ((a)_(17))=-50.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \fund (radhis) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \fund (radhis) \ drejtë.\]

Unë vendos shenjën e sistemit sepse këto kërkesa duhet të plotësohen njëkohësisht. Tani le të vërejmë se nëse e zbresim të parën nga ekuacioni i dytë (ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë, pasi kemi një sistem), marrim këtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))+16d-\majtas(((a)_(1))+6d \djathtas)=-50-\majtas(-40 \djathtas); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fund (radhis)\]

Ja sa e lehtë është të gjesh ndryshimin e progresionit! Gjithçka që mbetet është të zëvendësohet numri i gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Për shembull, në të parën:

\[\fillimi(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Poshtë \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fund (matricë)\]

Tani, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, mbetet të gjejmë termat e dytë dhe të tretë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=(a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fund (radhis)\]

Gati! Problemi është zgjidhur.

Përgjigje: (−34; −35; −36)

Vini re vetinë interesante të progresionit që zbuluam: nëse marrim termat $n$th dhe $m$th dhe i zbresim nga njëri-tjetri, marrim diferencën e progresionit të shumëzuar me numrin $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \majtas(n-m \djathtas)\]

E thjeshtë por shumë veti e dobishme, të cilën patjetër duhet ta dini - me ndihmën e saj mund të shpejtoni ndjeshëm zgjidhjen e shumë problemeve të përparimit. Këtu është një shembull i qartë i kësaj:

Detyra nr. 3. Termi i pestë i një progresion aritmetik është 8.4, dhe termi i tij i dhjetë është 14.4. Gjeni termin e pesëmbëdhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje. Meqenëse $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ dhe ne duhet të gjejmë $((a)_(15))$, shënojmë sa vijon:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fund (radhis)\]

Por sipas kushtit $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, pra $5d=6$, nga e cila kemi:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: 20.4

Kjo eshte e gjitha! Ne nuk kishim nevojë të krijonim asnjë sistem ekuacioni dhe të llogarisnim termin e parë dhe ndryshimin - gjithçka u zgjidh në vetëm disa rreshta.

Tani le të shohim një lloj tjetër problemi - kërkimi i termave negativë dhe pozitivë të një progresi. Nuk është sekret që nëse një progresion rritet, dhe termi i tij i parë është negativ, atëherë herët a vonë termat pozitivë do të shfaqen në të. Dhe anasjelltas: kushtet e një progresion në rënie herët a vonë do të bëhen negative.

Në të njëjtën kohë, nuk është gjithmonë e mundur të gjesh këtë moment "përballë" duke kaluar në mënyrë sekuenciale nëpër elementë. Shpesh, problemet shkruhen në atë mënyrë që pa i ditur formulat, llogaritjet do të merrnin disa fletë letre - thjesht do të bieshim në gjumë ndërsa gjenim përgjigjen. Prandaj, le të përpiqemi t'i zgjidhim këto probleme në një mënyrë më të shpejtë.

Detyra nr 4. Sa terma negativë ka në progresionin aritmetik −38,5; −35,8; ...?

Zgjidhje. Pra, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, nga ku gjejmë menjëherë ndryshimin:

Vini re se ndryshimi është pozitiv, kështu që përparimi rritet. Termi i parë është negativ, kështu që në një moment do të ngecim te numrat pozitivë. Pyetja e vetme është se kur do të ndodhë kjo.

Le të përpiqemi të zbulojmë se sa kohë (d.m.th. deri në cilin numër natyror $n$) mbetet negativiteti i termave:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n)) \lt 0\Djathtas shigjetë ((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d \lt 0; \\ & -38.5+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 2.7 \lt 0;\katër \majtas| \cdot 10 \djathtas. \\ & -385+27\cdot \majtas(n-1 \djathtas) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Djathtas shigjete ((n)_(\max ))=15. \\ \fund (radhis)\]

Rreshti i fundit kërkon një shpjegim. Pra, ne e dimë se $n \lt 15\frac(7)(27)$. Nga ana tjetër, ne jemi të kënaqur vetëm me vlerat e plota të numrit (për më tepër: $n\in \mathbb(N)$), kështu që numri më i madh i lejuar është saktësisht $n=15$, dhe në asnjë rast 16 .

Detyra nr 5. Në progresionin aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Gjeni numrin e termit të parë pozitiv të këtij progresioni.

Ky do të ishte saktësisht i njëjti problem si ai i mëparshmi, por ne nuk e dimë $((a)_(1))$. Por termat fqinjë janë të njohur: $((a)_(5))$ dhe $((a)_(6))$, kështu që ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

Për më tepër, le të përpiqemi të shprehim termin e pestë përmes të parës dhe ndryshimin duke përdorur formulën standarde:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=(a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpika 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fund (radhis)\]

Tani vazhdojmë në analogji me detyrën e mëparshme. Le të zbulojmë se në cilën pikë të sekuencës sonë do të shfaqen numrat pozitivë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=-162+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Djathtas ((n)_(\min ))=56. \\ \fund (radhis)\]

Zgjidhja minimale e numrit të plotë për këtë pabarazi është numri 56.

Ju lutemi vini re: në detyrën e fundit gjithçka erdhi deri te pabarazi e rreptë, kështu që opsioni $n=55$ nuk do të na përshtatet.

Tani që kemi mësuar se si të zgjidhim probleme të thjeshta, le të kalojmë në ato më komplekse. Por së pari, le të studiojmë një veçori tjetër shumë të dobishme të progresioneve aritmetike, e cila do të na kursejë shumë kohë dhe qeliza të pabarabarta në të ardhmen.

Mesatarja aritmetike dhe dhëmbëzimi i barabartë

Le të shqyrtojmë disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik në rritje $\left(((a)_(n)) \right)$. Le të përpiqemi t'i shënojmë ato në vijën numerike:

Kushtet e një progresion aritmetik në vijën numerike

Kam shënuar në mënyrë specifike terma arbitrare $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dhe jo disa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etj. Sepse rregulli për të cilin do t'ju tregoj tani funksionon njësoj për çdo "segment".

Dhe rregulli është shumë i thjeshtë. Le të kujtojmë formulën e përsëritur dhe ta shkruajmë atë për të gjithë termat e shënuar:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fund (radhis)\]

Megjithatë, këto barazi mund të rishkruhen ndryshe:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=(a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fund (radhis)\]

Epo, çfarë? Dhe fakti që termat $((a)_(n-1))$ dhe $((a)_(n+1))$ qëndrojnë në të njëjtën distancë nga $((a)_(n)) $ . Dhe kjo distancë është e barabartë me $d$. E njëjta gjë mund të thuhet për termat $((a)_(n-2))$ dhe $((a)_(n+2))$ - ato janë hequr gjithashtu nga $((a)_(n) )$ në të njëjtën distancë të barabartë me $2d$. Mund të vazhdojmë pafundësisht, por kuptimi ilustrohet mirë nga fotografia

Kushtet e progresionit shtrihen në të njëjtën distancë nga qendra

Çfarë do të thotë kjo për ne? Kjo do të thotë se $((a)_(n))$ mund të gjendet nëse numrat fqinjë janë të njohur:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne kemi nxjerrë një pohim të shkëlqyer: çdo term i një progresion aritmetik është i barabartë me mesataren aritmetike të termave fqinjë të tij! Për më tepër: ne mund të tërhiqemi nga $((a)_(n))$-ja jonë majtas dhe djathtas jo me një hap, por me hapa $k$ - dhe formula do të jetë ende e saktë:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ato. ne mund të gjejmë lehtësisht disa $((a)_(150))$ nëse dimë $((a)_(100))$ dhe $((a)_(200))$, sepse $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Në pamje të parë, mund të duket se ky fakt nuk na jep asgjë të dobishme. Megjithatë, në praktikë, shumë probleme janë përshtatur posaçërisht për të përdorur mesataren aritmetike. Hidhi nje sy:

Detyra nr. 6. Gjeni të gjitha vlerat e $x$ për të cilat numrat $-6((x)^(2))$, $x+1$ dhe $14+4((x)^(2))$ janë terma të njëpasnjëshëm të një progresion aritmetik (në rendin e treguar).

Zgjidhje. Meqenëse këta numra janë anëtarë të një progresioni, kushti mesatar aritmetik është i plotësuar për ta: elementi qendror $x+1$ mund të shprehet në terma të elementeve fqinjë:

\[\filloj(rreshtoj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fund (radhis)\]

Doli klasik ekuacioni kuadratik. Rrënjët e tij: $x=2$ dhe $x=-3$ janë përgjigjet.

Përgjigje: −3; 2.

Detyra nr 7. Gjeni vlerat e $$ për të cilat numrat $-1;4-3;(()^(2))+1$ formojnë një progresion aritmetik (në atë renditje).

Zgjidhje. Le të shprehim përsëri termin e mesëm përmes mesatares aritmetike të termave fqinjë:

\[\fillim(lidhoj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\katër \majtas| \cdot 2 \djathtas.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fund (radhis)\]

Përsëri ekuacion kuadratik. Dhe përsëri ka dy rrënjë: $x=6$ dhe $x=1$.

Përgjigje: 1; 6.

Nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi dilni me disa numra brutalë, ose nuk jeni plotësisht të sigurt për saktësinë e përgjigjeve të gjetura, atëherë ekziston një teknikë e mrekullueshme që ju lejon të kontrolloni: a e kemi zgjidhur problemin saktë?

Le të themi në problemin nr. 6 morëm përgjigjet −3 dhe 2. Si mund të kontrollojmë që këto përgjigje janë të sakta? Le t'i lidhim ato në gjendjen origjinale dhe të shohim se çfarë ndodh. Më lejoni t'ju kujtoj se kemi tre numra ($-6(()^(2))$, $+1$ dhe $14+4(()^(2))$), të cilët duhet të formojnë një progresion aritmetik. Le të zëvendësojmë $x=-3$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=-3\Djathtas \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fund (radhis)\]

Morëm numrat −54; −2; 50 që ndryshojnë me 52 është padyshim një progresion aritmetik. E njëjta gjë ndodh për $x=2$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=2\Djathtas shigjetë \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fund (radhis)\]

Përsëri një progresion, por me një diferencë prej 27. Kështu, problemi u zgjidh saktë. Ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë vetë problemin e dytë, por unë do të them menjëherë: gjithçka është e saktë edhe atje.

Në përgjithësi, gjatë zgjidhjes së problemeve të fundit, hasëm në një tjetër fakt interesant, e cila gjithashtu duhet të mbahet mend:

Nëse tre numra janë të tillë që i dyti është mesi aritmetika së pari dhe së fundi, atëherë këta numra formojnë një progresion aritmetik.

Në të ardhmen, të kuptuarit e kësaj deklarate do të na lejojë të "ndërtojmë" fjalë për fjalë përparimet e nevojshme bazuar në kushtet e problemit. Por, përpara se të përfshihemi në një "ndërtim" të tillë, duhet t'i kushtojmë vëmendje një fakti tjetër, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga ajo që tashmë është diskutuar.

Grupimi dhe përmbledhja e elementeve

Le të kthehemi përsëri në boshtin e numrave. Le të vërejmë atje disa anëtarë të progresionit, midis të cilëve, ndoshta. vlen për shumë anëtarë të tjerë:

Janë 6 elementë të shënuar në vijën numerike

Le të përpiqemi të shprehim "bishtin e majtë" përmes $((a)_(n))$ dhe $d$, dhe "bishtin e djathtë" përmes $((a)_(k))$ dhe $d$. Është shumë e thjeshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fund (radhis)\]

Tani vini re se shumat e mëposhtme janë të barabarta:

\[\fillim(radhis) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fund (radhis)\]

E thënë thjesht, nëse konsiderojmë si fillim dy elementë të progresionit, të cilët në total janë të barabartë me një numër $S$, dhe më pas fillojmë të kalojmë nga këta elementë në anët e kundërta(në drejtim të njëri-tjetrit ose anasjelltas për t'u larguar), pastaj do të jenë të barabarta edhe shumat e elementeve mbi të cilat do të pengohemi$S$. Kjo mund të paraqitet më qartë grafikisht:

Dhimbjet e barabarta japin sasi të barabarta

Kuptimi i këtij fakti do të na lejojë të zgjidhim probleme të një niveli kompleksiteti thelbësisht më të lartë se ato që kemi konsideruar më sipër. Për shembull, këto:

Detyra nr 8. Përcaktoni ndryshimin e një progresioni aritmetik në të cilin termi i parë është 66, dhe prodhimi i termit të dytë dhe të dymbëdhjetë është më i vogli i mundshëm.

Zgjidhje. Le të shkruajmë gjithçka që dimë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \fund (radhis)\]

Pra, ne nuk e dimë ndryshimin e progresionit $d$. Në fakt, e gjithë zgjidhja do të ndërtohet rreth diferencës, pasi produkti $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=(a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\majtas(66+d \djathtas)\cdot \majtas(66+11d \djathtas)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \djathtas)\cdot \left(d+6 \djathtas). \fund (radhis)\]

Për ata në rezervuar: Kam marrë shumëzuesin total prej 11 nga kllapa e dytë. Kështu, produkti i dëshiruar është një funksion kuadratik në lidhje me variablin $d$. Prandaj, merrni parasysh funksionin $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiku i tij do të jetë një parabolë me degë lart, sepse nëse zgjerojmë kllapat, marrim:

\[\fillim(rreshtoj) & f\left(d \djathtas)=11\majtas(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \djathtas)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpika 72d+11\cpika 66\cpika 6 \fund(radhis)\]

Siç mund ta shihni, koeficienti i termit më të lartë është 11 - ky është një numër pozitiv, kështu që vërtet kemi të bëjmë me një parabolë me degë lart:

orarin funksion kuadratik- parabolë

Ju lutemi vini re: kjo parabolë merr vlerën e saj minimale në kulmin e saj me abshissa $((d)_(0))$. Natyrisht, ne mund ta llogarisim këtë abshisë duke përdorur skemën standarde (ekziston formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), por do të ishte shumë më e arsyeshme të shënohet se kulmi i dëshiruar shtrihet në simetrinë e boshtit të parabolës, prandaj pika $((d)_(0))$ është e barabartë nga rrënjët e ekuacionit $f\left(d \right)=0$:

\[\fillim(rreshtoj) & f\majtas(d \djathtas)=0; \\ & 11\cdot \majtas(d+66 \djathtas)\cdot \majtas(d+6 \djathtas)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\katër ((d)_(2))=-6. \\ \fund (radhis)\]

Kjo është arsyeja pse nuk nxitova të hapja kllapat: në formën e tyre origjinale, rrënjët ishin shumë, shumë të lehta për t'u gjetur. Prandaj, abshisa është e barabartë me mesataren numrat aritmetikë−66 dhe −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Çfarë na jep numri i zbuluar? Me të, produkti i kërkuar merr vlera më e vogël(nga rruga, ne kurrë nuk kemi llogaritur $((y)_(\min ))$ - kjo nuk kërkohet nga ne). Në të njëjtën kohë, ky numër është diferenca e progresionit origjinal, d.m.th. gjetëm përgjigjen. :)

Përgjigje: -36

Detyra nr. 9. Ndërmjet numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac(1)(6)$ futni tre numra në mënyrë që së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

Zgjidhje. Në thelb, ne duhet të bëjmë një sekuencë prej pesë numrash, me numrin e parë dhe të fundit të njohur tashmë. Le të shënojmë numrat që mungojnë me variablat $x$, $y$ dhe $z$:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \djathtas\ )\]

Vini re se numri $y$ është "mesi" i sekuencës sonë - është i barabartë nga numrat $x$ dhe $z$, dhe nga numrat $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac (1)(6)$. Dhe nëse aktualisht nuk mund të marrim $y$ nga numrat $x$ dhe $z$, atëherë situata është e ndryshme me skajet e progresionit. Le të kujtojmë mesataren aritmetike:

Tani, duke ditur $y$, do të gjejmë numrat e mbetur. Vini re se $x$ ndodhet midis numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $y=-\frac(1)(3)$ që sapo gjetëm. Kjo është arsyeja pse

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, gjejmë numrin e mbetur:

Gati! I gjetëm të tre numrat. Le t'i shkruajmë në përgjigje sipas radhës në të cilën duhet të futen midis numrave origjinalë.

Përgjigje: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Detyra nr 10. Ndërmjet numrave 2 dhe 42, vendosni disa numra që së bashku me këta numra formojnë një progresion aritmetik, nëse e dini se shuma e numrave të parë, të dytë dhe të fundit është 56.

Zgjidhje. Një problem edhe më kompleks, i cili, megjithatë, zgjidhet sipas të njëjtës skemë si ato të mëparshme - përmes mesatares aritmetike. Problemi është se ne nuk e dimë saktësisht se sa numra duhet të futen. Prandaj, le të supozojmë me saktësi se pas futjes së gjithçkaje do të ketë saktësisht numra $n$, dhe i pari prej tyre është 2, dhe i fundit është 42. Në këtë rast, progresioni i kërkuar aritmetik mund të paraqitet në formën:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \djathtas\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

Megjithatë, vini re se numrat $((a)_(2))$ dhe $((a)_(n-1))$ janë marrë nga numrat 2 dhe 42 në skajet me një hap drejt njëri-tjetrit, dmth. në qendër të sekuencës. Dhe kjo do të thotë se

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Por atëherë shprehja e shkruar më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \djathtas)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fund (radhis)\]

Duke ditur $((a)_(3))$ dhe $((a)_(1))$, ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\majtas(3-1 \djathtas)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Djathtas shigjetë d=5. \\ \fund (radhis)\]

Gjithçka që mbetet është të gjesh kushtet e mbetura:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpika 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpika 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpika 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpika 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpika 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpika 5=42; \\ \fund (radhis)\]

Kështu, tashmë në hapin e 9-të do të arrijmë në skajin e majtë të sekuencës - numrin 42. Gjithsej duheshin futur vetëm 7 numra: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Përgjigje: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme me fjalë me përparime

Si përfundim, do të doja të konsideroja disa relativisht detyra të thjeshta. Epo, kaq e thjeshtë: për shumicën e studentëve që studiojnë matematikë në shkollë dhe nuk kanë lexuar atë që është shkruar më sipër, këto probleme mund të duken të vështira. Sidoqoftë, këto janë llojet e problemeve që shfaqen në OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, kështu që ju rekomandoj që të njiheni me to.

Detyra nr. 11. Ekipi prodhoi 62 pjesë në janar, dhe në çdo muaj pasardhës ata prodhoi 14 pjesë më shumë se në muajin e kaluar. Sa pjesë prodhoi ekipi në nëntor?

Zgjidhje. Natyrisht, numri i pjesëve të renditura sipas muajve do të përfaqësojë një progresion aritmetik në rritje. Për më tepër:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=62;\katër d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 14. \\ \fund (rreshtoj)\]

Nëntori është muaji i 11-të i vitit, kështu që ne duhet të gjejmë $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpika 14=202\]

Prandaj, 202 pjesë do të prodhohen në nëntor.

Detyra nr. 12. Punëtoria e libërlidhjes ka lidhur 216 libra në janar dhe në çdo muaj pasardhës ka lidhur 4 libra më shumë se një muaj më parë. Sa libra lidhi seminari në dhjetor?

Zgjidhje. Te gjitha njesoj:

$\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 4. \\ \fund (rreshtoj)$

Dhjetori është muaji i fundit, i 12-të i vitit, kështu që ne po kërkojmë për $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Kjo është përgjigja - 260 libra do të lidhen në dhjetor.

Epo, nëse keni lexuar deri këtu, unë nxitoj t'ju përgëzoj: ju keni përfunduar me sukses "kursin e luftëtarëve të rinj" në përparimet aritmetike. Mund të kaloni me siguri në mësimin tjetër, ku do të studiojmë formulën për shumën e progresionit, si dhe pasojat e rëndësishme dhe shumë të dobishme prej saj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Një progresion aritmetik është një seri numrash në të cilët secili numër është më i madh (ose më i vogël) se ai i mëparshmi për të njëjtën sasi.

Kjo temë shpesh duket komplekse dhe e pakuptueshme. Indekset e shkronjave mandati i nëntë progresionet, ndryshimet e progresionit - e gjithë kjo është disi konfuze, po... Le të kuptojmë kuptimin e progresionit aritmetik dhe gjithçka do të përmirësohet menjëherë.)

Koncepti i progresionit aritmetik.

Progresioni aritmetik është një koncept shumë i thjeshtë dhe i qartë. A keni ndonjë dyshim? Më kot.) Shihni vetë.

Do të shkruaj një seri numrash të papërfunduar:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Mund ta zgjeroni këtë seri? Cilët numra do të vijnë më pas, pas pesëshit? Të gjithë... uh..., me pak fjalë, të gjithë do të kuptojnë se numrat 6, 7, 8, 9, etj. do të vijnë më pas.

Le ta komplikojmë detyrën. Unë ju jap një seri numrash të papërfunduar:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ju do të jeni në gjendje të kapni modelin, të zgjeroni serinë dhe emrin i shtati numri i rreshtit?

Nëse e keni kuptuar që ky numër është 20, urime! Jo vetëm që ndjeve Pikat kryesore progresion aritmetik, por edhe i përdori me sukses në biznes! Nëse nuk e keni kuptuar, lexoni më tej.

Tani le të përkthejmë pikat kryesore nga ndjesitë në matematikë.)

Pika e parë kyçe.

Progresioni aritmetik merret me seri numrash. Kjo është konfuze në fillim. Jemi mësuar të zgjidhim ekuacione, të vizatojmë grafikë e të gjitha këto... Por këtu zgjerojmë serinë, gjejmë numrin e serisë...

Është në rregull. Vetëm se progresionet janë njohja e parë me një degë të re të matematikës. Seksioni quhet "Seri" dhe punon në mënyrë specifike me seri numrash dhe shprehjesh. Mësohu me të.)

Pika e dytë kyçe.

Në një progresion aritmetik, çdo numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Në shembullin e parë, ky ndryshim është një. Çfarëdo numri që merrni, është një më shumë se ai i mëparshmi. Në të dytën - tre. Çdo numër është tre më shumë se ai i mëparshmi. Në fakt, është ky moment që na jep mundësinë të kuptojmë modelin dhe të llogarisim numrat pasues.

Pika e tretë kyçe.

Ky moment nuk bie në sy, po... Por është shumë, shumë i rëndësishëm. Këtu është ai: Çdo numër progresioni është në vendin e vet. Aty është numri i parë, është i shtati, është dyzet e pesta etj. Nëse i përzieni rastësisht, modeli do të zhduket. Progresioni aritmetik gjithashtu do të zhduket. Ajo që ka mbetur është vetëm një seri numrash.

Kjo është e gjithë çështja.

Sigurisht, në temë e re shfaqen terma dhe emërtime të reja. Ju duhet t'i njihni ato. Përndryshe nuk do ta kuptoni detyrën. Për shembull, do të duhet të vendosni diçka si:

Shkruani gjashtë termat e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2,5.

Frymëzuese?) Letrat, disa indekse... Dhe detyra, meqë ra fjala, nuk mund të ishte më e thjeshtë. Thjesht duhet të kuptoni kuptimin e termave dhe emërtimeve. Tani do ta zotërojmë këtë çështje dhe do t'i kthehemi detyrës.

Termat dhe emërtimet.

Progresioni aritmetikështë një seri numrash në të cilat secili numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Kjo sasi quhet . Le ta shohim këtë koncept në më shumë detaje.

Diferenca e progresionit aritmetik.

Diferenca e progresionit aritmetikështë shuma me të cilën çdo numër progresion më shumë e mëparshme.

Një pikë e rëndësishme. Ju lutemi kushtojini vëmendje fjalës "më shumë". Matematikisht, kjo do të thotë se çdo numër progresion është duke shtuar ndryshimi i progresionit aritmetik me numrin e mëparshëm.

Për të llogaritur, le të themi e dyta numrat e serisë, ju duhet të së pari numri shtoni pikërisht kjo diferencë e një progresion aritmetik. Për llogaritjen e pesta- dallimi është i nevojshëm shtoni te e katërta, mirë, etj.

Diferenca e progresionit aritmetik Ndoshta pozitive, atëherë çdo numër në seri do të dalë real më shumë se ai i mëparshmi. Ky progresion quhet në rritje. Për shembull:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Këtu merret çdo numër duke shtuar numër pozitiv, +5 nga ai i mëparshmi.

Dallimi mund të jetë negativ, atëherë çdo numër në seri do të jetë më pak se ai i mëparshmi. Ky përparim quhet (nuk do ta besoni!) në rënie.

Për shembull:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Këtu fitohet edhe çdo numër duke shtuar tek ai i mëparshmi, por tashmë numër negativ, -5.

Nga rruga, kur punoni me progresion, është shumë e dobishme të përcaktoni menjëherë natyrën e tij - nëse është në rritje apo në rënie. Kjo ndihmon shumë për të lundruar në vendim, për të dalluar gabimet tuaja dhe për t'i korrigjuar ato para se të jetë tepër vonë.

Diferenca e progresionit aritmetik zakonisht shënohet me shkronjë d.

Si të gjeni d? Shume e thjeshte. Është e nevojshme të zbritet nga çdo numër në seri e mëparshme numri. Zbrit. Nga rruga, rezultati i zbritjes quhet "ndryshim".)

Le të përcaktojmë, për shembull, d për rritjen e progresionit aritmetik:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ne marrim çdo numër në serinë që duam, për shembull, 11. Ne zbresim prej tij numri i mëparshëm ato. 8:

Kjo është përgjigja e saktë. Për këtë progresion aritmetik, diferenca është tre.

Mund ta marrësh çdo numër progresi, sepse për një përparim specifik d-gjithmonë e njëjta. Të paktën diku në fillim të rreshtit, të paktën në mes, të paktën kudo. Nuk mund të marrësh vetëm numrin e parë. Thjesht sepse numri i parë asnjë i mëparshëm.)

Nga rruga, duke e ditur këtë d=3, gjetja e numrit të shtatë të këtij progresioni është shumë e thjeshtë. Le t'i shtojmë 3 numrit të pestë - marrim të gjashtën, do të jetë 17. Le të shtojmë tre në numrin e gjashtë, marrim numrin e shtatë - njëzet.

Le të përcaktojmë d për progresionin aritmetik zbritës:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ju kujtoj se, pavarësisht nga shenjat, për të përcaktuar d nevojiten nga çdo numër hiq atë të mëparshmen. Zgjidhni çdo numër progresioni, për shembull -7. Numri i tij i mëparshëm është -2. Pastaj:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Dallimi i një progresion aritmetik mund të jetë çdo numër: numër i plotë, thyesor, irracional, çdo numër.

Terma dhe emërtime të tjera.

Çdo numër në seri quhet pjesëtar i një progresion aritmetik.

Secili anëtar i progresionit ka numrin e vet. Numrat janë rreptësisht në rregull, pa asnjë mashtrim. E para, e dyta, e treta, e katërta etj. Për shembull, në progresionin 2, 5, 8, 11, 14, ... dy është termi i parë, pesë është i dyti, njëmbëdhjetë është i katërti, mirë, e kuptoni ...) Ju lutem kuptoni qartë - vetë numrat mund të jetë absolutisht çdo gjë, e tërë, e pjesshme, negative, çfarëdo qoftë, por numërimi i numrave- rreptësisht në rregull!

Si të shkruani një progresion në formë të përgjithshme? Nuk ka problem! Çdo numër në një seri shkruhet si një shkronjë. Për të treguar një progresion aritmetik, zakonisht përdoret shkronja a. Numri i anëtarit tregohet nga një indeks në fund djathtas. Ne shkruajmë terma të ndarë me presje (ose pikëpresje), si kjo:

një 1, një 2, një 3, një 4, një 5, .....

a 1- ky është numri i parë, a 3- e treta, etj. Asgjë e zbukuruar. Kjo seri mund të shkruhet shkurtimisht si kjo: (a n).

Përparimet ndodhin të fundme dhe të pafundme.

Ultimate progresion ka një numër të kufizuar anëtarësh. Pesë, tridhjetë e tetë, çfarëdo. Por është një numër i kufizuar.

E pafundme progresion - ka një numër të pafund anëtarësh, siç mund ta merrni me mend.)

Ju mund të shkruani përparimin përfundimtar përmes një serie si kjo, të gjitha termat dhe një pikë në fund:

një 1, një 2, një 3, një 4, një 5.

Ose si kjo, nëse ka shumë anëtarë:

një 1, një 2, ... një 14, një 15.

Në hyrjen e shkurtër do të duhet të tregoni gjithashtu numrin e anëtarëve. Për shembull (për njëzet anëtarë), si kjo:

(a n), n = 20

Një progresion i pafund mund të njihet nga elipsa në fund të rreshtit, si në shembujt në këtë mësim.

Tani mund të zgjidhni detyrat. Detyrat janë të thjeshta, thjesht për të kuptuar kuptimin e një progresion aritmetik.

Shembuj detyrash mbi progresionin aritmetik.

Le të shohim në detaje detyrën e dhënë më lart:

1. Shkruani gjashtë termat e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2,5.

Ne e transferojmë detyrën në gjuhë e qartë. Jepet një progresion aritmetik i pafund. Numri i dytë i këtij progresi është i njohur: a 2 = 5. Dallimi i progresionit është i njohur: d = -2,5. Ne duhet të gjejmë termat e parë, të tretë, të katërt, të pestë dhe të gjashtë të këtij progresi.

Për qartësi, do të shkruaj një seri sipas kushteve të problemit. Gjashtë termat e parë, ku mandati i dytë është pesë:

një 1, 5, një 3, një 4, një 5, një 6, ....

a 3 = a 2 + d

Zëvendësoni në shprehje a 2 = 5 Dhe d = -2,5. Mos harroni për minusin!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Termi i tretë doli të ishte më i vogël se i dyti. Gjithçka është logjike. Nëse numri është më i madh se ai i mëparshmi negativ vlera, që do të thotë se vetë numri do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Progresi është në rënie. Mirë, le ta marrim parasysh.) Ne numërojmë termin e katërt të serisë sonë:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Pra, u llogaritën termat nga e treta në të gjashtin. Rezultati është seria e mëposhtme:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Mbetet për të gjetur termin e parë a 1 sipas të dytës së njohur. Ky është një hap në drejtimin tjetër, në të majtë.) Pra, diferenca e progresionit aritmetik d nuk duhet shtuar në a 2, A heq:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Kjo eshte. Përgjigja e detyrës:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Në kalim, dua të vërej se ne e zgjidhëm këtë detyrë të përsëritura mënyrë. Kjo fjalë e tmerrshme nënkupton vetëm kërkimin e një anëtari të progresionit sipas numrit të mëparshëm (të ngjitur). Më poshtë do të shqyrtojmë mënyra të tjera për të punuar me progresion.

Një përfundim i rëndësishëm mund të nxirret nga kjo detyrë e thjeshtë.

Mbani mend:

Nëse dimë të paktën një term dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjejmë çdo term të këtij progresioni.

Të kujtohet? Ky përfundim i thjeshtë ju lejon të zgjidhni shumicën e problemeve të kursit shkollor për këtë temë. Të gjitha detyrat rrotullohen rreth tre parametrave kryesorë: anëtar i një progresion aritmetik, ndryshim i një progresion, numri i një anëtari të progresionit. Të gjitha.

Natyrisht, e gjithë algjebra e mëparshme nuk është anuluar.) Pabarazitë, ekuacionet dhe gjëra të tjera i bashkëngjiten progresionit. Por sipas vetë progresionit- gjithçka rrotullohet rreth tre parametrave.

Si shembull, le të shohim disa detyra të njohura në këtë temë.

2. Shkruani progresionin e fundëm aritmetik si seri nëse n=5, d = 0,4 dhe a 1 = 3,6.

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Gjithçka tashmë është dhënë. Duhet të mbani mend se si numërohen anëtarët e një progresion aritmetik, t'i numëroni dhe t'i shkruani. Këshillohet të mos humbisni fjalët në kushtet e detyrës: "përfundimtar" dhe " n=5". Për të mos llogaritur derisa të jeni plotësisht blu në fytyrë.) Ka vetëm 5 (pesë) anëtarë në këtë progresion:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Mbetet për të shkruar përgjigjen:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Një detyrë tjetër:

3. Përcaktoni nëse numri 7 do të jetë anëtar i progresionit aritmetik (a n), nëse a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm... Kush e di? Si të përcaktoni diçka?

Si-si... Shkruani progresionin në formën e një serie dhe shikoni nëse do të ketë një shtatë atje apo jo! Ne numërojmë:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Tani është qartë e dukshme që jemi vetëm shtatë rrëshqiti midis 6.5 dhe 7.7! Shtatë nuk hynë në serinë tonë të numrave, dhe, për rrjedhojë, shtatë nuk do të jenë anëtare të progresionit të dhënë.

Përgjigje: jo.

Dhe këtu është një problem i bazuar në një version real të GIA:

4. Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:

...; 15; X; 9; 6; ...

Këtu është një seri e shkruar pa fund dhe fillim. Asnjë numër anëtarësh, asnjë ndryshim d. Është në rregull. Për të zgjidhur problemin, mjafton të kuptojmë kuptimin e një progresion aritmetik. Le të shohim dhe të shohim se çfarë është e mundur të dish nga ky serial? Cilët janë tre parametrat kryesorë?

Numrat e anëtarëve? Këtu nuk ka asnjë numër të vetëm.

Por ka tre numra dhe - vëmendje! - fjalë "konsistente" ne gjendje. Kjo do të thotë që numrat janë rreptësisht të rregullt, pa boshllëqe. A janë dy në këtë rresht? fqinje numrat e njohur? Po, kam! Këto janë 9 dhe 6. Prandaj, ne mund të llogarisim diferencën e progresionit aritmetik! Zbrit nga gjashtë e mëparshme numri, d.m.th. nëntë:

Kanë mbetur thjesht gjëra të vogla. Cili do të jetë numri i mëparshëm për X? Pesëmbëdhjetë. Kjo do të thotë se X mund të gjendet lehtësisht me mbledhje të thjeshtë. Shto ndryshimin e progresionit aritmetik në 15:

Kjo eshte e gjitha. Përgjigje: x=12

Ne i zgjidhim vetë problemet e mëposhtme. Shënim: këto probleme nuk bazohen në formula. Thjesht për të kuptuar kuptimin e një progresioni aritmetik.) Thjesht shkruajmë një seri numrash dhe shkronjash, shikojmë dhe kuptojmë.

5. Gjeni termin e parë pozitiv të progresionit aritmetik nëse a 5 = -3; d = 1.1.

6. Dihet se numri 5,5 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 = 1,6; d = 1.3. Përcaktoni numrin n të këtij anëtari.

7. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Gjeni një 3.

8. Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Gjeni termin e progresionit të treguar me shkronjën x.

9. Treni filloi të lëvizte nga stacioni, duke rritur në mënyrë uniforme shpejtësinë me 30 metra në minutë. Sa do të jetë shpejtësia e trenit pas pesë minutash? Jepni përgjigjen tuaj në km/orë.

10. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Gjeni një 1.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Gjithçka funksionoi? E mahnitshme! Ju mund të zotëroni përparimin aritmetik për më shumë nivel të lartë, në mësimet e mëposhtme.

A nuk funksionoi gjithçka? Nuk ka problem. Në Seksionin Special 555, të gjitha këto probleme zgjidhen pjesë-pjesë.) Dhe, natyrisht, përshkruhet një teknikë e thjeshtë praktike që nxjerr menjëherë në pah zgjidhjen e detyrave të tilla qartë, qartë, me një shikim!

Nga rruga, në enigmën e trenit ka dy probleme që njerëzit shpesh pengohen. Njëra është thjesht në aspektin e progresionit, dhe e dyta është e përgjithshme për çdo problem në matematikë dhe fizikë gjithashtu. Ky është një përkthim i dimensioneve nga njëri në tjetrin. Ajo tregon se si duhet të zgjidhen këto probleme.

Në këtë mësim ne shikuam kuptimin elementar të një progresion aritmetik dhe parametrat kryesorë të tij. Kjo është e mjaftueshme për të zgjidhur pothuajse të gjitha problemet në këtë temë. Shtoni d numrave, shkruani një seri, gjithçka do të zgjidhet.

Zgjidhja e gishtave funksionon mirë për pjesë shumë të shkurtra të një rreshti, si në shembujt në këtë tutorial. Nëse seria është më e gjatë, llogaritjet bëhen më të ndërlikuara. Për shembull, nëse në problemin 9 në pyetje zëvendësojmë "pesë minuta" në "tridhjetë e pesë minuta" problemi do të përkeqësohet ndjeshëm.)

Dhe ka edhe detyra që janë të thjeshta në thelb, por absurde për sa i përket llogaritjeve, për shembull:

Është dhënë një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 =3 dhe d=1/6.

Po çfarë, a do të shtojmë 1/6 shumë e shumë herë?! Mund të vrasësh veten!?

Ju mundeni.) Nëse nuk dini një formulë të thjeshtë me të cilën mund të zgjidhni detyra të tilla në një minutë. Kjo formulë do të jetë në mësimin e ardhshëm. Dhe ky problem zgjidhet atje. Ne nje minut.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Niveli i parë

Progresioni aritmetik. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Sekuenca e numrave

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca e numrave
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i th) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet termi i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull:

etj.
Kjo sekuencë numrash quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius në shekullin e 6-të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numerike e pafundme. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, e cila u studiua nga grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numrash, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër. Ky numër quhet diferenca e një progresion aritmetik dhe është caktuar.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:

a)
b)
c)
d)

E kuptova? Le të krahasojmë përgjigjet tona:
Është progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e termit të tij të th. ekziston dy mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund të shtojmë numrin e progresionit në vlerën e mëparshme derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, termi i th i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Metoda

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na merrte më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të bënim gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk është e nevojshme të shtohet diferenca e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni më nga afër foton e vizatuar... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se nga përbëhet vlera e termit të th të këtij progresioni aritmetik:


Me fjale te tjera:

Përpiquni të gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresioni të caktuar aritmetik në këtë mënyrë.

E keni llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur kemi shtuar në mënyrë sekuenciale termat e progresionit aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta sjellim atë formë e përgjithshme dhe marrim:

Ekuacioni i progresionit aritmetik.

Progresionet aritmetike mund të jenë në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë këtë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm: Le të kontrollojmë se cili do të jetë numri i th i këtij progresioni aritmetik nëse përdorim formulën tonë për ta llogaritur atë:

Që atëherë:

Kështu, ne jemi të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Mundohuni të gjeni vetë termat e th dhe të të këtij progresi aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë problemin - do të nxjerrim vetinë e progresionit aritmetik.
Le të themi se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Lehtë, thoni dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le, ah, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë një gabim në llogaritjet.
Tani mendoni nëse është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht që po, dhe kjo është ajo që ne do të përpiqemi të nxjerrim në pah tani.

Le të shënojmë termin e kërkuar të progresionit aritmetik si, formula për gjetjen e tij është e njohur për ne - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, Pastaj:

• termi i mëparshëm i progresionit është:
• termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim termat e mëparshëm dhe të mëvonshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është vlera e dyfishtë e termit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një termi progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, duhet t'i shtoni ato dhe t'i ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të sigurojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për progresin, nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, e cila, sipas legjendës, u konkludua lehtësisht nga një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - ​​Karl Gauss...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, një mësues, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve në klasat e tjera, caktoi detyrën e mëposhtme në klasë: "Llogaritni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera) përfshirëse." Imagjinoni habinë e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ky ishte Karl Gauss) një minutë më vonë i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit, pas llogaritjeve të gjata, morën rezultatin e gabuar...

I riu Carl Gauss vuri re një model të caktuar që edhe ju mund ta vini re lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga -të terma: Duhet të gjejmë shumën e këtyre termave të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse detyra kërkon gjetjen e shumës së termave të saj, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni më nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.


E keni provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani më thuaj, sa çifte të tilla ka gjithsej në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy termave të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çiftet e ngjashme janë të barabarta, marrim se shuma totale është e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme nuk e dimë termin e th, por dimë dallimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni formulën e termit të th në formulën e shumës.
Çfarë more?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu drejtua Karl Gausit: llogarisni vetë se sa është e barabartë shuma e numrave që fillojnë nga th dhe shuma e numrave që fillojnë nga th.

Sa keni marrë?
Gausi zbuloi se shuma e termave është e barabartë dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e termave të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën plotësisht vetitë e progresionit aritmetik.
Për shembull, imagjinoni Egjipti i lashte dhe projekti më i madh ndërtimor i asaj kohe - ndërtimi i një piramide... Fotoja tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu, ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.


Pse jo një progresion aritmetik? Llogaritni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni ndërsa lëvizni gishtin nëpër monitor, ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

Në këtë rast, përparimi duket si ky: .
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i termave të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (llogaritni numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. E kuptova? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të n-të të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Trajnimi

Detyrat:

1. Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të bëjë Masha squats në një javë nëse ajo bën squats në seancën e parë stërvitore?
2. Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
3. Gjatë ruajtjes së shkrimeve, regjistruesit i grumbullojnë ato në mënyrë të tillë që secili shtresa e sipërme përmban një regjistër më pak se ai i mëparshmi. Sa trungje ka në një muraturë, nëse themeli i muraturës është trungje?

Përgjigjet:

1. Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
   (javë = ditë).

   Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të bëjë squats një herë në ditë.

2. Numri i parë tek, numri i fundit.
   Diferenca e progresionit aritmetik.
   Numri i numrave tek është gjysma, megjithatë, le ta kontrollojmë këtë fakt duke përdorur formulën për të gjetur termin e th të një progresion aritmetik:

   Numrat përmbajnë numra tek.
   Le të zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

   Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë.

3. Le të kujtojmë problemin për piramidat. Për rastin tonë, një , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, atëherë në total ka një bandë shtresash, domethënë.
   Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

   Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Le ta përmbledhim

1. - një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Mund të jetë në rritje ose në ulje.
2. Gjetja e formulës Termi i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
3. Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku është numri i numrave në progresion.
4. Shuma e termave të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:
   
   , ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI MESATAR

Sekuenca e numrave

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë aq sa të doni. Por ne gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti e kështu me radhë, domethënë mund t'i numërojmë ato. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca e numraveështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror dhe një unik. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Është shumë i përshtatshëm nëse termi i th i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë, dhe ndryshimi është). Ose (, dallimi).

formula e termit të ntë

Ne e quajmë një formulë të përsëritur në të cilën, për të gjetur termin e th, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur këtë formulë, do të duhet të llogarisim nëntë e mëparshme. Për shembull, lëreni. Pastaj:

Epo, a është e qartë tani cila është formula?

Në çdo rresht që i shtojmë, shumëzuar me një numër. Cila? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më i përshtatshëm tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Termi i parë është i barabartë. Qfare eshte dallimi? Ja çfarë:

(Kjo është arsyeja pse quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e termave të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra, formula:

Atëherë termi i njëqindtë është i barabartë me:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikani i madh Carl Gauss, si një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka gjithsej? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithave numra dyshifrorë, të shumëfishta.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është ky. Çdo numër i mëpasshëm fitohet duke i shtuar numrin e mëparshëm. Kështu, numrat që na interesojnë formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula e termit të th për këtë progresion:

Sa terma ka në progresion nëse të gjithë duhet të jenë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

1. Çdo ditë atleti vrapon më shumë metra se një ditë më parë. Sa kilometra gjithsej do të vrapojë në javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
2. Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se një ditë më parë. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë i duhen të udhëtojë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë ai gjatë ditës së fundit të udhëtimit të tij?
3. Çmimi i një frigoriferi në një dyqan ulet me të njëjtën sasi çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigoriferi çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

1. Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
   .
   Përgjigje:
2. Këtu jepet: , duhet gjetur.
   Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
   .
   Zëvendësoni vlerat:

   Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja është.
   Le të llogarisim shtegun e përshkuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit të th:
   (km).
   Përgjigje:

3. Jepet: . Gjej: .
   Nuk mund të ishte më e thjeshtë:
   (fshij).
   Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Kjo është një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik mund të jetë në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e mandatit të n-të të një progresion aritmetik

shkruhet me formula, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

Kjo ju lejon të gjeni me lehtësi një term të një progresion nëse dihen termat fqinjë të tij - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e termave të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

Ku është numri i vlerave.