Gjeni përkufizimin e secilës matricë 2x2.Çdo element i çdo matrice, duke përfshirë një të transpozuar, shoqërohet me një matricë përkatëse 2x2. Për të gjetur një matricë 2x2 që korrespondon me një element specifik, kaloni rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet elementi i dhënë, domethënë, duhet të kryqëzoni pesë elementë të matricës origjinale 3x3. Katër elementë do të mbeten të pakryqëzuara, të cilët janë elementë të matricës përkatëse 2x2.

• Për shembull, për të gjetur një matricë 2x2 për elementin që ndodhet në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së parë, kryqëzoni pesë elementët që janë në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë. Katër elementët e mbetur janë elementë të matricës përkatëse 2x2.
• Gjeni përcaktorin e secilës matricë 2x2. Për ta bërë këtë, zbritni produktin e elementeve të diagonales dytësore nga produkti i elementeve të diagonales kryesore (shih figurën).
• Informacione të hollësishme rreth matricave 2x2 që korrespondojnë me elementë specifikë të një matrice 3x3 mund të gjenden në internet.

Krijoni një matricë kofaktori. Shkruani rezultatet e marra më parë në formën e një matrice të re kofaktori. Për ta bërë këtë, shkruani përcaktorin e gjetur të secilës matricë 2x2 ku ndodhej elementi përkatës i matricës 3x3. Për shembull, nëse po konsideroni një matricë 2x2 për elementin (1,1), shkruani përcaktuesin e tij në pozicionin (1,1). Më pas ndryshoni shenjat e elementeve përkatës sipas një skeme të caktuar, e cila tregohet në figurë.

• Skema e ndryshimit të shenjave: shenja e elementit të parë të rreshtit të parë nuk ndryshon; shenja e elementit të dytë të rreshtit të parë është e kundërt; shenja e elementit të tretë të rreshtit të parë nuk ndryshon, dhe kështu rresht pas rreshti. Ju lutemi vini re se shenjat "+" dhe "-" që tregohen në diagram (shih figurën) nuk tregojnë se elementi përkatës do të jetë pozitiv ose negativ. Në këtë rast, shenja "+" tregon se shenja e elementit nuk ndryshon, dhe shenja "-" tregon një ndryshim në shenjën e elementit.
• Informacione të hollësishme rreth matricave të kofaktorëve mund të gjenden në internet.
• Në këtë mënyrë do të gjeni matricën e bashkuar të matricës origjinale. Nganjëherë quhet matricë komplekse e konjuguar. Një matricë e tillë shënohet si adj(M).

Ndani çdo element të matricës së bashkuar me përcaktorin e tij. Përcaktori i matricës M është llogaritur që në fillim për ta kontrolluar atë matricë e anasjelltë ekziston. Tani ndajeni çdo element të matricës së bashkuar me këtë përcaktor. Shkruani rezultatin e çdo operacioni të ndarjes ku ndodhet elementi përkatës. Në këtë mënyrë do të gjeni matricën e kundërt me atë origjinale.

• Përcaktori i matricës që tregohet në figurë është 1. Kështu, këtu matrica e bashkuar është matrica e kundërt (sepse kur një numër pjesëtohet me 1, ai nuk ndryshon).
• Në disa burime, operacioni i pjesëtimit zëvendësohet nga operacioni i shumëzimit me 1/det(M). Megjithatë, rezultati përfundimtar nuk ndryshon.

Shkruani matricën e anasjelltë. Shkruani elementët e vendosur në gjysmën e djathtë të matricës së madhe si një matricë e veçantë, e cila është matrica e kundërt.

Fusni matricën origjinale në kujtesën e kalkulatorit. Për ta bërë këtë, klikoni butonin Matrix, nëse është i disponueshëm. Për një kalkulator Texas Instruments, mund t'ju duhet të shtypni butonat 2 dhe Matrix.

Zgjidhni menunë Edit. Bëni këtë duke përdorur butonat e shigjetave ose butonin e duhur të funksionit që ndodhet në krye të tastierës së makinës llogaritëse (vendndodhja e butonit ndryshon në varësi të modelit të kalkulatorit).

Futni shënimin e matricës. Shumica e kalkulatorëve grafikë mund të punojnë me 3-10 matrica, të cilat mund të caktohen shkronjat A-J. Në mënyrë tipike, thjesht zgjidhni [A] për të përcaktuar matricën origjinale. Më pas shtypni butonin Enter.

Futni madhësinë e matricës. Ky artikull flet për matricat 3x3. Por kalkulatorët grafikë mund të punojnë me matrica madhësive të mëdha. Futni numrin e rreshtave, shtypni Enter, më pas futni numrin e kolonave dhe shtypni përsëri Enter.

Futni çdo element matricë. Një matricë do të shfaqet në ekranin e kalkulatorit. Nëse keni futur më parë një matricë në kalkulator, ajo do të shfaqet në ekran. Kursori do të nxjerrë në pah elementin e parë të matricës. Futni vlerën për elementin e parë dhe shtypni Enter. Kursori do të kalojë automatikisht në elementin tjetër të matricës.

Përkufizimi 1: një matricë quhet njëjës nëse përcaktorja e saj është zero.

Përkufizimi 2: një matricë quhet jo njëjës nëse përcaktorja e saj nuk është e barabartë me zero.

Matrica "A" quhet matricë e anasjelltë, nëse plotësohet kushti A*A-1 = A-1 *A = E (matrica e njësisë).

Një matricë katrore është e kthyeshme vetëm nëse është jo njëjës.

Skema për llogaritjen e matricës së kundërt:

1) Llogaritni përcaktorin e matricës "A" nëse ∆ A = 0, atëherë matrica e kundërt nuk ekziston.

2) Gjeni të gjithë plotësuesit algjebrikë të matricës "A".

3) Krijo një matricë të shtesave algjebrike (Aij)

4) Transpozoni matricën e komplementeve algjebrike (Aij )T

5) Shumëzoni matricën e transpozuar me inversin e përcaktorit të kësaj matrice.

6) Kryeni kontrollin:

Në pamje të parë mund të duket e ndërlikuar, por në fakt gjithçka është shumë e thjeshtë. Të gjitha zgjidhjet bazohen në operacione të thjeshta aritmetike, gjëja kryesore gjatë zgjidhjes është të mos ngatërroheni me shenjat "-" dhe "+" dhe të mos i humbni ato.

Tani le të zgjidhim një problem praktik së bashku duke llogaritur matricën e kundërt.

Detyrë: gjeni matricën e kundërt "A" të paraqitur në figurën më poshtë:

1. Gjëja e parë që duhet të bëni është të gjeni përcaktorin e matricës "A":

Shpjegim:

Ne kemi thjeshtuar përcaktorin tonë duke përdorur funksionet e tij bazë. Së pari, ne shtuam në rreshtat e 2-të dhe të 3-të elementët e rreshtit të parë, të shumëzuar me një numër.

Së dyti, ndryshuam kolonën e dytë dhe të tretë të përcaktorit dhe sipas vetive të saj, ndryshuam shenjën përpara saj.

Së treti, ne hoqëm faktorin e përbashkët (-1) të rreshtit të dytë, duke ndryshuar përsëri shenjën dhe ai u bë pozitiv. Ne gjithashtu thjeshtuam rreshtin 3 në të njëjtën mënyrë si në fillim të shembullit.

Kemi një përcaktor trekëndor, elementet e së cilës nën diagonale janë të barabarta me zero, dhe nga vetia 7 është e barabartë me prodhimin e elementeve diagonale. Në fund morëm ∆ A = 26, prandaj ekziston matrica e kundërt.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Hapi tjetër është përpilimi i një matrice nga shtesat që rezultojnë:

5. Shumëzojeni këtë matricë me inversin e përcaktorit, domethënë me 1/26:

6. Tani na duhet vetëm të kontrollojmë:

Gjatë testit, ne morëm një matricë identiteti, prandaj, zgjidhja u krye absolutisht në mënyrë korrekte.

2 mënyra për të llogaritur matricën e kundërt.

1. Transformimi i matricës elementare

2. Matrica e anasjelltë përmes një konverteri elementar.

Transformimi i matricës elementare përfshin:

1. Shumëzimi i një vargu me një numër që nuk është i barabartë me zero.

2. Shtimi në çdo rresht tjetër të shumëzuar me një numër.

3. Ndërroni rreshtat e matricës.

4. Duke aplikuar një zinxhir transformimesh elementare, marrim një matricë tjetër.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Le të shohim këtë shembull praktik me numra realë.

Ushtrimi: Gjeni matricën e anasjelltë.

Zgjidhja:

Le të kontrollojmë:

Pak sqarim për zgjidhjen:

Së pari, ne riorganizuam rreshtat 1 dhe 2 të matricës, pastaj shumëzuam rreshtin e parë me (-1).

Pas kësaj, ne e shumëzuam rreshtin e parë me (-2) dhe e shtuam atë me rreshtin e dytë të matricës. Pastaj shumëzuam rreshtin 2 me 1/4.

Faza e fundit e transformimit ishte shumëzimi i rreshtit të dytë me 2 dhe shtimi i tij me të parën. Si rezultat, ne kemi matricën e identitetit në të majtë, prandaj, matrica e kundërt është matrica në të djathtë.

Pas kontrollit u bindëm se vendimi ishte i saktë.

Siç mund ta shihni, llogaritja e matricës së kundërt është shumë e thjeshtë.

Në fund të këtij leksioni, do të doja gjithashtu të kaloja pak kohë në vetitë e një matrice të tillë.

Matrica e anasjelltë për një matricë të dhënë është një matricë e tillë, duke shumëzuar atë origjinale me të cilën jep matricën e identitetit: Një kusht i detyrueshëm dhe i mjaftueshëm për praninë e një matrice të kundërt është që përcaktori i matricës origjinale të jetë jo e barabartë me zero (që nga ana tjetër nënkupton se matrica duhet të jetë katrore). Nëse përcaktori i një matrice është i barabartë me zero, atëherë ai quhet njëjës dhe një matricë e tillë nuk ka një invers. NË matematikë e lartë matricat e anasjellta janë të rëndësishme dhe përdoren për të zgjidhur një sërë problemesh. Për shembull, në gjetja e matricës së kundërt u ndërtua një metodë matrice për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve. Faqja jonë e shërbimit lejon llogaritni matricën e anasjelltë në internet dy metoda: metoda Gauss-Jordan dhe duke përdorur matricën e shtesave algjebrike. Ndërprerja nënkupton nje numer i madh i transformimet elementare brenda matricës, e dyta është llogaritja e përcaktorit dhe shtesat algjebrike për të gjithë elementët. Për të llogaritur përcaktuesin e një matrice në internet, mund të përdorni shërbimin tonë tjetër - Llogaritja e përcaktorit të një matrice në internet

Gjeni matricën e anasjelltë për sitin

faqe interneti ju lejon të gjeni matricë e kundërt në internet shpejt dhe falas. Në faqe, llogaritjet bëhen duke përdorur shërbimin tonë dhe rezultati jepet me një zgjidhje të detajuar për gjetje matricë e anasjelltë. Serveri gjithmonë jep vetëm një përgjigje të saktë dhe të saktë. Në detyra sipas definicionit matricë e kundërt në internet, është e nevojshme që përcaktorja matricat ishte jo zero, përndryshe faqe interneti do të raportojë pamundësinë e gjetjes së matricës së kundërt për faktin se përcaktori i matricës origjinale është i barabartë me zero. Detyra e gjetjes matricë e anasjelltë që gjendet në shumë degë të matematikës, duke qenë një nga konceptet më themelore të algjebrës dhe një mjet matematikor në problemet e aplikuara. I pavarur përkufizimi i matricës së kundërt kërkon përpjekje të konsiderueshme, shumë kohë, llogaritje dhe kujdes të madh për të shmangur gabimet e shtypit ose gabimet e vogla në llogaritje. Prandaj shërbimi ynë gjetja e matricës së kundërt në internet do ta bëjë detyrën tuaj shumë më të lehtë dhe do të bëhet një mjet i domosdoshëm për zgjidhjen e problemeve matematikore. Edhe nëse ju gjeni matricën e anasjelltë vetë, ju rekomandojmë të kontrolloni zgjidhjen tuaj në serverin tonë. Futni matricën tuaj origjinale në faqen tonë të internetit Llogaritni matricën e anasjelltë në internet dhe kontrolloni përgjigjen tuaj. Sistemi ynë nuk bën kurrë gabime dhe gjen matricë e anasjelltë dimensioni i dhënë në modalitet online Menjëherë! Në faqen e internetit faqe interneti hyrjet e karaktereve lejohen në elemente matricat, në këtë rast matricë e kundërt në internet do të paraqitet në formë të përgjithshme simbolike.

Ngjashëm me të kundërtën në shumë veti.

YouTube Enciklopedike

1 / 5

✪ Si të gjeni inversin e një matrice - bezbotvy

✪ Matrica e anasjelltë (2 mënyra për të gjetur)

✪ Matrica e anasjelltë #1

✪ 28-01-2015. Matrica e anasjelltë 3x3

✪ 27-01-2015. Matrica e anasjelltë 2x2

Titra

Vetitë e një matrice të anasjelltë

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Ku det (\displaystyle \\det) tregon përcaktorin.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) për dy matrica katrore të kthyeshme A (\displaystyle A) Dhe B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Ku (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) tregon një matricë të transpozuar.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\stil ekrani \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) për çdo koeficient k ≠ 0 (\stil ekrani k\jo =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Nëse është e nevojshme të zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare, (b është një vektor jo zero) ku x (\displaystyle x)është vektori i dëshiruar, dhe nëse A − 1 (\displaystyle A^(-1)) ekziston atëherë x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Përndryshe, ose dimensioni i hapësirës së zgjidhjes është më i madh se zero, ose nuk ka zgjidhje fare.

Metodat për gjetjen e matricës së kundërt

Nëse matrica është e kthyeshme, atëherë për të gjetur matricën e kundërt mund të përdorni një nga metodat e mëposhtme:

Metoda të sakta (të drejtpërdrejta).

Metoda Gauss-Jordan

Le të marrim dy matrica: A dhe beqare E. Le të paraqesim matricën A në matricën e identitetit duke përdorur metodën Gauss-Jordan, duke aplikuar transformime përgjatë rreshtave (mund të aplikoni gjithashtu transformime përgjatë kolonave, por jo të përziera). Pas aplikimit të çdo operacioni në matricën e parë, aplikoni të njëjtin operacion në të dytën. Kur të përfundojë reduktimi i matricës së parë në formën e njësisë, matrica e dytë do të jetë e barabartë me A−1.

Kur përdorni metodën Gaussian, matrica e parë do të shumëzohet në të majtë me një nga matricat elementare. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(matrica e transveksionit ose diagonale me ato në diagonalen kryesore, përveç një pozicioni):

Matrica e dytë pas aplikimit të të gjitha operacioneve do të jetë e barabartë me Λ (\displaystyle \Lambda), domethënë do të jetë e dëshiruara. Kompleksiteti i algoritmit - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Përdorimi i matricës së komplementit algjebrik

Matrica e anasjelltë e matricës A (\displaystyle A), mund të paraqitet në formë

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Ku adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matricë adjoint;

Kompleksiteti i algoritmit varet nga kompleksiteti i algoritmit për llogaritjen e përcaktorit O det dhe është i barabartë me O(n²)·O det.

Përdorimi i zbërthimit LU/LUP

Ekuacioni i matricës A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) për matricën e anasjelltë X (\displaystyle X) mund të konsiderohet si një koleksion n (\displaystyle n) sistemet e formës A x = b (\displaystyle Ax=b). Le të shënojmë i (\displaystyle i) kolona e matricës X (\displaystyle X) përmes X i (\displaystyle X_(i)); Pastaj A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\lddots ,n),sepse i (\displaystyle i) kolona e matricës I n (\displaystyle I_(n))është vektori njësi e i (\displaystyle e_(i)). me fjalë të tjera, gjetja e matricës së kundërt zbret në zgjidhjen e n ekuacioneve me të njëjtën matricë dhe me anë të djathta të ndryshme. Pas kryerjes së zbërthimit të LUP (koha O(n³), zgjidhja e secilit prej n ekuacioneve kërkon kohë O(n²), kështu që kjo pjesë e punës kërkon edhe kohë O(n³).

Nëse matrica A është jo njëjës, atëherë për të mund të llogaritet zbërthimi i LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Le P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Pastaj nga vetitë e matricës së kundërt mund të shkruajmë: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Nëse e shumëzoni këtë barazi me U dhe L, mund të merrni dy barazi të formës U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Dhe D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). E para nga këto barazi përfaqëson një sistem prej n² ekuacionet lineare Për n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) nga të cilat njihen anët e djathta (nga vetitë e matricave trekëndore). E dyta gjithashtu paraqet një sistem n² ekuacionesh lineare për n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) nga të cilat njihen anët e djathta (edhe nga vetitë e matricave trekëndore). Së bashku ato përfaqësojnë një sistem barazish n². Duke përdorur këto barazi, ne mund të përcaktojmë në mënyrë rekursive të gjithë elementët n² të matricës D. Pastaj nga barazia (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. fitojmë barazinë A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Në rastin e përdorimit të dekompozimit LU, nuk kërkohet ndërrim i kolonave të matricës D, por zgjidhja mund të ndryshojë edhe nëse matrica A është josingulare.

Kompleksiteti i algoritmit është O(n³).

Metodat përsëritëse

Metodat e Schultz-it

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\fillimi(rastet)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\shuma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\fund(rastet)))

Vlerësimi i gabimit

Zgjedhja e një përafrimi fillestar

Problemi i zgjedhjes së përafrimit fillestar në proceset e përmbysjes së matricës përsëritëse të konsideruara këtu nuk na lejon t'i trajtojmë ato si metoda të pavarura universale që konkurrojnë me metodat e përmbysjes direkte të bazuara, për shembull, në zbërthimin e LU të matricave. Ka disa rekomandime për zgjedhjen U 0 (\displaystyle U_(0)), duke siguruar përmbushjen e kushtit ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (rrezja spektrale e matricës është më e vogël se uniteti), e cila është e nevojshme dhe e mjaftueshme për konvergjencën e procesit. Megjithatë, në këtë rast, së pari, kërkohet të dihet nga lart vlerësimi për spektrin e matricës së kthyeshme A ose matricës A A T (\displaystyle AA^(T))(domethënë, nëse A është një matricë e caktuar pozitive simetrike dhe ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), atëherë mund të merrni U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alfa )E), Ku ; nëse A është një matricë arbitrare jo njëjës dhe ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), atëherë ata besojnë U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alfa )A^(T)), ku edhe α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alfa \në \left(0,(\frac (2)(\beta ))\djathtas)); Ju, sigurisht, mund ta thjeshtoni situatën dhe të përfitoni nga fakti që ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), vënë U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Së dyti, kur specifikohet matrica fillestare në këtë mënyrë, nuk ka asnjë garanci që ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) do të jetë i vogël (ndoshta edhe do të rezultojë të jetë ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dhe një shkallë e lartë konvergjence nuk do të zbulohet menjëherë.

Shembuj

Matrica 2x2

Përmbysja e një matrice 2x2 është e mundur vetëm me kusht që a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).