në shtëpi

Metodat për vërtetimin e teoremës së Pitagorës.

G. Glaser,
Akademiku i Akademisë Ruse të Arsimit, Moskë

Rreth teoremës së Pitagorës dhe metodave të vërtetimit të saj

Sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbët e tij...

Kjo është një nga teoremat gjeometrike më të famshme të antikitetit, e quajtur teorema e Pitagorës. Pothuajse të gjithë ata që kanë studiuar planimetri e dinë edhe tani. Më duket se nëse duam t'ju njoftojmë qytetërimet jashtëtokësore për ekzistencën e jetës inteligjente në Tokë, atëherë një imazh i figurës së Pitagorës duhet të dërgohet në hapësirë. Unë mendoj se nëse qeniet që mendojnë mund ta pranojnë këtë informacion, atëherë pa dekodim kompleks të sinjalit ata do të kuptojnë se ekziston një qytetërim mjaft i zhvilluar në Tokë.

Filozofi dhe matematikani i famshëm grek Pitagora i Samosit, pas të cilit është emëruar teorema, ka jetuar rreth 2.5 mijë vjet më parë. Informacioni biografik që na ka arritur për Pitagorën është i fragmentuar dhe jo i besueshëm. Me emrin e tij lidhen shumë legjenda. Dihet me siguri se Pitagora udhëtoi shumë në vendet e Lindjes, duke vizituar Egjiptin dhe Babiloninë. Në një nga kolonitë greke Italia jugore themeloi të famshmen “shkollën e Pitagorës”, e cila luajti një rol të rëndësishëm në shkencën dhe jeta politike Greqia e lashte. Është Pitagora ai që vlerësohet me vërtetimin e teoremës së famshme gjeometrike. Bazuar në legjendat e përhapura nga matematikanët e famshëm (Proclus, Plutarku, etj.), kohe e gjate Besohej se kjo teoremë nuk ishte e njohur para Pitagorës, prandaj emri - teorema e Pitagorës.

Megjithatë, nuk ka dyshim se kjo teoremë ishte e njohur shumë vite përpara Pitagorës. Kështu, 1500 vjet para Pitagorës, egjiptianët e lashtë e dinin se një trekëndësh me brinjët 3, 4 dhe 5 është kënddrejtë, dhe e përdorën këtë veti (d.m.th. teorema anasjellta e teoremës Pitagora) për ndërtimin e këndeve të drejta gjatë planifikimit parcelat e tokës dhe strukturat e ndërtimit. Edhe sot, ndërtuesit dhe marangozët fshatarë, kur hedhin themelet e një kasolle dhe bëjnë pjesët e saj, vizatojnë këtë trekëndësh për të marrë një kënd të drejtë. E njëjta gjë u bë mijëra vjet më parë në ndërtimin e tempujve të mrekullueshëm në Egjipt, Babiloni, Kinë dhe ndoshta në Meksikë. Puna më e vjetër matematikore dhe astronomike kineze që na ka ardhur, Zhou Bi, e shkruar rreth 600 vjet para Pitagorës, përmban, midis propozimeve të tjera që lidhen me trekëndëshin kënddrejtë, teoremën e Pitagorës. Edhe më herët kjo teoremë ishte e njohur për hindusët. Kështu, Pitagora nuk e zbuloi këtë veti të një trekëndëshi kënddrejtë; ai ishte ndoshta i pari që e përgjithësoi dhe vërtetoi atë, duke e transferuar atë nga fusha e praktikës në fushën e shkencës. Nuk e dimë si e bëri. Disa historianë të matematikës supozojnë se prova e Pitagorës nuk ishte themelore, por vetëm një konfirmim, një provë e kësaj vetie në një numër të llojeve të veçanta të trekëndëshave, duke filluar me një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh, për të cilin rrjedh qartë nga Fig. 1.

ME Që nga kohërat e lashta, matematikanët kanë gjetur gjithnjë e më shumë prova të reja të teoremës së Pitagorës, gjithnjë e më shumë ide të reja për vërtetimin e saj. Më shumë se njëqind e pesëdhjetë prova të tilla - pak a shumë strikte, pak a shumë vizuale - dihen, por dëshira për të shtuar numrin e tyre ka mbetur. Unë mendoj se "zbulimi" i pavarur i provave të teoremës së Pitagorës do të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave moderne.

Le të shohim disa shembuj të provave që mund të sugjerojnë drejtimin e kërkimeve të tilla.

Prova e Pitagorës

"Një katror i ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të ndërtuar në këmbët e tij." Vërtetimi më i thjeshtë i teoremës përftohet në rastin më të thjeshtë të një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh. Këtu ndoshta filloi teorema. Në fakt, mjafton vetëm të shikojmë mozaikun e trekëndëshave kënddrejtë dykëndësh për t'u bindur për vlefshmërinë e teoremës. Për shembull, për DABC: një katror i ndërtuar mbi hipotenuzë AC, përmban 4 trekëndësha origjinalë dhe katrorë të ndërtuar mbi këmbët e dy. Teorema është vërtetuar.

Vërtetime të bazuara në përdorimin e konceptit të madhësisë së barabartë të figurave.

Në këtë rast, ne mund të konsiderojmë prova në të cilat një katror i ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi të caktuar kënddrejtë është "i përbërë" nga të njëjtat figura si katrorët e ndërtuar në anët. Mund të shqyrtojmë gjithashtu prova që përdorin rirregullime të përmbledhjeve të figurave dhe marrin parasysh një sërë idesh të reja.

Në Fig. 2 tregon dy katrorë të barabartë. Gjatësia e brinjëve të çdo katrori është a + b. Secili prej katrorëve është i ndarë në pjesë të përbëra nga katrorë dhe trekëndësha kënddrejtë. Është e qartë se nëse ne katërfishojmë sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë me këmbët a, b nga sipërfaqja e katrorit, atëherë do të mbetemi me sipërfaqe të barabarta, pra c 2 = a 2 + b 2 . Sidoqoftë, hinduët e lashtë, të cilëve u përket ky arsyetim, zakonisht nuk e shkruanin atë, por e shoqëruan vizatimin vetëm me një fjalë: "shikoni!" Është shumë e mundur që Pitagora të ofroi të njëjtën provë.

Dëshmi shtesë.

Këto prova bazohen në zbërthimin e katrorëve të ndërtuar mbi këmbët në figura nga të cilat mund të shtohet një katror i ndërtuar mbi hipotenuzë.

Këtu: ABC është një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Vërtetoni në mënyrë të pavarur barazinë në çift të trekëndëshave të përftuar duke ndarë katrorët e ndërtuar në këmbë dhe hipotenuzë.

Vërtetoni teoremën duke përdorur këtë ndarje.

 Bazuar në provën e al-Nayriziyah, u krye një zbërthim tjetër i katrorëve në figura të barabarta në çift (Fig. 5, këtu ABC është një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C).

 Një tjetër provë me metodën e zbërthimit të katrorëve në pjesë të barabarta, e quajtur "rrota me tehe", është paraqitur në Fig. 6. Këtu: ABC është një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C; O është qendra e një sheshi të ndërtuar në një anë të madhe; vijat me pika që kalojnë nëpër pikën O janë pingul ose paralele me hipotenuzën.

 Ky zbërthim i katrorëve është interesant sepse katërkëndëshat e tij të barabartë në çift mund të vendosen në hartë me njëri-tjetrin me anë të përkthimit paralel. Shumë prova të tjera të teoremës së Pitagorës mund të ofrohen duke përdorur zbërthimin e katrorëve në figura.

Dëshmia me metodën e plotësimit.

Thelbi i kësaj metode është që katrorëve të ndërtuar në këmbë dhe katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë të shtohen figura të barabarta në atë mënyrë që të fitohen shifra të barabarta.

Vlefshmëria e teoremës së Pitagorës rrjedh nga madhësia e barabartë e gjashtëkëndëshave AEDFPB dhe ACBNMQ. Këtu CEP, drejtëza EP ndan gjashtëkëndëshin AEDFPB në dy katërkëndësha të barabartë, rreshti CM ndan gjashtëkëndëshin ACBNMQ në dy katërkëndësha të barabartë; Rrotullimi i rrafshit 90° rreth qendrës A harton katërkëndëshin AEPB në katërkëndëshin ACMQ.

Në Fig. 8 Figura e Pitagorës plotësohet në një drejtkëndësh, brinjët e të cilit janë paralele me brinjët përkatëse të katrorëve të ndërtuar në anët. Le ta ndajmë këtë drejtkëndësh në trekëndësha dhe drejtkëndësha. Nga drejtkëndëshi që rezulton, ne fillimisht zbresim të gjithë shumëkëndëshat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, duke lënë një katror të ndërtuar mbi hipotenuzë. Pastaj nga i njëjti drejtkëndësh zbresim drejtkëndëshat 5, 6, 7 dhe drejtkëndëshat me hije, marrim katrorë të ndërtuar në këmbë.

Tani le të vërtetojmë se shifrat e zbritura në rastin e parë janë të barabarta në madhësi me shifrat e zbritura në rastin e dytë.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

pra c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Metoda algjebrike e vërtetimit.

	Oriz. 12 ilustron provën e matematikanit të madh indian Bhaskari (autori i famshëm Lilavati, X shekulli II). Vizatimi shoqërohej vetëm me një fjalë: SHIKO! Ndër provat e teoremës së Pitagorës metodë algjebrike Vendin e parë (ndoshta më i vjetri) e zë prova që përdor ngjashmërinë.
	Le të paraqesim në një prezantim modern një nga këto prova, për shkak të Pitagorës.

N dhe fig. 13 ABC – drejtkëndëshe, C – kënd i drejtë, CMAB, b 1 – projeksion i këmbës b në hipotenuzë, a 1 – projeksion i këmbës a në hipotenuzë, h – lartësia e trekëndëshit të tërhequr në hipotenuzë.

Nga fakti që ABC është i ngjashëm me ACM rrjedh

b 2 = cb 1 ; (1)

nga fakti që ABC është i ngjashëm me BCM rrjedh

a 2 = rreth 1. (2)

Duke shtuar barazitë (1) dhe (2) term pas termi, marrim një 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Nëse Pitagora ofroi një provë të tillë, atëherë ai ishte gjithashtu i njohur me një numër teoremash të rëndësishme gjeometrike që historianët modernë të matematikës zakonisht ia atribuojnë Euklidit.

Prova e Moehlmann-it (Fig. 14). Sipërfaqja e një trekëndëshi të dhënë kënddrejtë, nga njëra anë, është e barabartë me tjetrën, ku p është gjysmëperimetri i trekëndëshit, r është rrezja e rrethit të gdhendur në të. Ne kemi:

prej nga rrjedh se c 2 =a 2 +b 2.

në të dytën

Duke barazuar këto shprehje, marrim teoremën e Pitagorës.

Metoda e kombinuar

Barazia e trekëndëshave

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Duke krahasuar marrëdhëniet (3) dhe (4), marrim se

c 1 2 = c 2, ose c 1 = c.

Kështu, trekëndëshat - të dhënë dhe të ndërtuar - janë të barabartë, pasi kanë përkatësisht tre anët e barabarta. Këndi C 1 është i drejtë, kështu që këndi C i këtij trekëndëshi është gjithashtu i drejtë.

Dëshmi të lashta indiane.

Matematikanët e Indisë së Lashtë vunë re se për të vërtetuar teoremën e Pitagorës mjafton të përdoret pjesa e brendshme vizatim i lashtë kinez. Në traktatin "Siddhanta Shiromani" ("Kurora e dijes") shkruar në gjethe palme nga matematikani më i madh indian i shekullit të 19-të. Bha-skarat vendosen në një vizatim (Fig. 4)

karakteristikë e provave indiane është fjala "shikoni!" Siç mund ta shihni, këtu vendosen trekëndësha kënddrejtë me hipotenuzën e kthyer nga jashtë dhe një katror Me 2 transferohet në "karrigen e nuses" Me 2 -b 2 . Vini re se raste të veçanta të teoremës së Pitagorës (për shembull, ndërtimi i një katrori sipërfaqja e të cilit është dy herë më e madhe Fig.4 zona e një sheshi të caktuar) gjenden në traktatin e lashtë indian "Sulva"

Ne zgjidhëm një trekëndësh kënddrejtë dhe katrorë të ndërtuar në këmbët e tij, ose, me fjalë të tjera, figura të përbëra nga 16 trekëndësha identikë dykëndësh kënddrejtë dhe për këtë arsye përshtaten në një katror. Kështu është zambaku. një pjesë e vogël e pasurisë së fshehur në perlën e matematikës antike - teorema e Pitagorës.

Dëshmi të lashta kineze.

Traktatet matematikore Kina e lashtë erdhi tek ne në edicionin e P.V. para Krishtit. Fakti është se në vitin 213 p.e.s. Perandori kinez Shi Huang Di, duke u përpjekur të eliminonte traditat e mëparshme, urdhëroi të digjen të gjithë librat e lashtë. Në shekullin P para Krishtit. Në Kinë u shpik letra dhe në të njëjtën kohë filloi rindërtimi i librave të lashtë.Më e rëndësishmja nga veprat astronomike të mbijetuara është libri "Matematika" që përmban një vizatim (Fig. 2, a) që vërteton teoremën e Pitagorës. Çelësi i kësaj prove nuk është i vështirë për t'u gjetur. Në fakt, në vizatimin e lashtë kinez ka katër trekëndësha të barabartë kënddrejtë me brinjë a, b dhe hipotenuzë. Me stivosur G) në mënyrë që kontura e tyre e jashtme të formojë Fig. 2 një katror me anë a+b, dhe ai i brendshëm është katror me brinjë c, i ndërtuar mbi hipotenuzë (Fig. 2, b). Nëse një katror me brinjën c pritet dhe 4 trekëndëshat e mbetur me hije vendosen në dy drejtkëndësha (Fig. 2, V), atëherë është e qartë se zbrazëtia që rezulton, nga njëra anë, është e barabartë me ME 2 , dhe nga ana tjetër - Me 2 +b 2 , ato. c 2=  2 +b 2 . Teorema është vërtetuar. Vini re se me këtë vërtetim, ndërtimet brenda katrorit në hipotenuzë, të cilat i shohim në vizatimin e lashtë kinez (Fig. 2, a), nuk përdoren. Me sa duket, matematikanët e lashtë kinezë kishin një provë tjetër. Pikërisht nëse në një katror me anë Me dy trekëndësha me hije (Fig. 2, b) Pritini dhe lidhni hipotenuset me dy hipotenuset e tjera (Fig. 2, G), atëherë është e lehtë ta zbulosh atë

Figura që rezulton, e quajtur ndonjëherë "karrigia e nuses", përbëhet nga dy katrorë me anët A Dhe b, ato. c 2 == a 2 +b 2 .

N dhe Figura 3 riprodhon një vizatim nga traktati "Zhou-bi...". Këtu merret parasysh teorema e Pitagorës për trekëndëshin egjiptian me këmbët 3, 4 dhe një hipotenuzë prej 5 njësive matëse. Sheshi në hipotenuzë përmban 25 qeliza, dhe katrori i gdhendur në të në këmbën më të madhe përmban 16. Është e qartë se pjesa e mbetur përmban 9 qeliza. Ky do të jetë katrori në anën më të vogël.

Potenciali për kreativitet zakonisht i atribuohet shkencat humane, natyrshëm shkencor, duke lënë analizën, qasjen praktike dhe gjuhën e thatë të formulave dhe numrave. Matematika për të lëndët humanitare Ju nuk mund të lidheni me të në asnjë mënyrë. Por pa kreativitet nuk do të shkoni larg në "mbretëreshën e të gjitha shkencave" - ​​njerëzit e kanë ditur këtë për një kohë të gjatë. Që nga koha e Pitagorës, për shembull.

Tekstet shkollore, për fat të keq, zakonisht nuk shpjegojnë se në matematikë është e rëndësishme jo vetëm të grumbullohen teorema, aksioma dhe formula. Është e rëndësishme të kuptoni dhe ndjeni parimet e tij themelore. Dhe në të njëjtën kohë, përpiquni të çlironi mendjen tuaj nga klishe dhe të vërteta elementare - vetëm në kushte të tilla lindin të gjitha zbulimet e mëdha.

Zbulime të tilla përfshijnë atë që ne sot e njohim si teorema e Pitagorës. Me ndihmën e saj, ne do të përpiqemi të tregojmë se matematika jo vetëm që mundet, por duhet të jetë emocionuese. Dhe se kjo aventurë është e përshtatshme jo vetëm për budallenj me syze të trasha, por për të gjithë ata që janë të fortë në mendje dhe të fortë në shpirt.

Nga historia e çështjes

Në mënyrë të rreptë, megjithëse teorema quhet "teorema e Pitagorës", vetë Pitagora nuk e zbuloi atë. Trekëndëshi kënddrejtë dhe vetitë e tij të veçanta janë studiuar shumë përpara tij. Ekzistojnë dy këndvështrime polare për këtë çështje. Sipas një versioni, Pitagora ishte i pari që gjeti një provë të plotë të teoremës. Sipas një tjetri, prova nuk i përket autorësisë së Pitagorës.

Sot nuk mund të kontrolloni më se kush ka të drejtë dhe kush e ka gabim. Ajo që dihet është se prova e Pitagorës, nëse ka ekzistuar ndonjëherë, nuk ka mbijetuar. Sidoqoftë, ka sugjerime se prova e famshme nga Elementet e Euklidit mund t'i përkasë Pitagorës dhe Euklidi vetëm e regjistroi atë.

Dihet gjithashtu sot se problemet në lidhje me një trekëndësh kënddrejtë gjenden në burimet egjiptiane nga koha e faraonit Amenemhat I, në pllaka balte babilonase nga mbretërimi i mbretit Hamurabi, në traktatin e lashtë indian "Sulva Sutra" dhe veprën e lashtë kineze " Zhou-bi suan jin”.

Siç mund ta shihni, teorema e Pitagorës ka pushtuar mendjet e matematikanëve që nga kohërat e lashta. Këtë e vërtetojnë rreth 367 prova të ndryshme që ekzistojnë sot. Në këtë, asnjë teoremë tjetër nuk mund të konkurrojë me të. Ndër autorët e famshëm të provave mund të kujtojmë Leonardo da Vincin dhe presidentin e njëzetë të SHBA-së James Garfield. E gjithë kjo flet për rëndësinë ekstreme të kësaj teoreme për matematikën: shumica e teoremave të gjeometrisë rrjedhin prej saj ose janë disi të lidhura me të.

Vërtetime të teoremës së Pitagorës

Tekstet shkollore japin kryesisht prova algjebrike. Por thelbi i teoremës është në gjeometri, kështu që le të shqyrtojmë së pari ato prova të teoremës së famshme që bazohen në këtë shkencë.

Dëshmia 1

Për vërtetimin më të thjeshtë të teoremës së Pitagorës për një trekëndësh kënddrejtë, duhet të vendosni kushte ideale: le të jetë trekëndëshi jo vetëm drejtkëndor, por edhe dykëndësh. Ka arsye për të besuar se ishte pikërisht ky lloj trekëndëshi që matematikanët e lashtë konsideruan fillimisht.

Deklaratë "Një katror i ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të ndërtuar në këmbët e tij" mund të ilustrohet me vizatimin e mëposhtëm:

Shikoni drejtkëndëshat izosceles trekëndëshi ABC: Në hipotenuzën AC, mund të ndërtoni një katror të përbërë nga katër trekëndësha të barabartë me ABC-në origjinale. Dhe në brinjët AB dhe BC është ndërtuar një katror, ​​secili prej të cilëve përmban dy trekëndësha të ngjashëm.

Nga rruga, ky vizatim formoi bazën e shakave dhe karikaturave të shumta kushtuar teoremës së Pitagorës. Më i famshmi është ndoshta "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet":

Dëshmia 2

Kjo metodë kombinon algjebrën dhe gjeometrinë dhe mund të konsiderohet si një variant i provës së lashtë indiane të matematikanit Bhaskari.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë me brinjë a, b dhe c(Fig. 1). Pastaj ndërtoni dy katrorë me brinjë të barabartë me shumën e gjatësive të dy këmbëve - (a+b). Në secilin nga katrorët, bëni ndërtime si në figurat 2 dhe 3.

Në katrorin e parë, ndërtoni katër trekëndësha të ngjashëm me ata në figurën 1. Rezultati është dy katrorë: njëri me brinjën a, i dyti me brinjën b.

Në sheshin e dytë, katër trekëndësha të ngjashëm të ndërtuar formojnë një katror me një brinjë e barabartë me hipotenuzën c.

Shuma e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në figurën 2 është e barabartë me sipërfaqen e katrorit që kemi ndërtuar me anën c në figurën 3. Kjo mund të kontrollohet lehtësisht duke llogaritur sipërfaqen e katrorëve në Fig. 2 sipas formulës. Dhe sipërfaqja e katrorit të gdhendur në figurën 3. duke zbritur sipërfaqet e katër trekëndëshave të barabartë kënddrejtë të gdhendur në katror nga sipërfaqja e një katrori të madh me një anë (a+b).

Duke shkruar të gjitha këto, ne kemi: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Hapni kllapat, kryeni të gjitha llogaritjet e nevojshme algjebrike dhe merrni atë a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Në këtë rast, zona e gdhendur në Fig. 3. katrori mund të llogaritet edhe duke përdorur formulën tradicionale S=c 2. Ato. a 2 +b 2 =c 2– ju keni vërtetuar teoremën e Pitagorës.

Dëshmia 3

Vetë prova e lashtë indiane u përshkrua në shekullin e 12-të në traktatin "Kurora e dijes" ("Siddhanta Shiromani") dhe si argument kryesor autori përdor një apel drejtuar talenteve matematikore dhe aftësive vëzhguese të studentëve dhe ndjekësve: " Shikoni!”

Por ne do ta analizojmë këtë provë më në detaje:

Brenda katrorit, ndërtoni katër trekëndësha kënddrejtë siç tregohet në vizatim. Le të shënojmë anën e katrorit të madh, i njohur gjithashtu si hipotenuzë, Me. Le t'i quajmë këmbët e trekëndëshit A Dhe b. Sipas vizatimit, ana e katrorit të brendshëm është (a-b).

Përdorni formulën për sipërfaqen e një katrori S=c 2 për të llogaritur sipërfaqen e katrorit të jashtëm. Dhe në të njëjtën kohë llogarisni të njëjtën vlerë duke shtuar sipërfaqen e katrorit të brendshëm dhe sipërfaqet e të katër trekëndëshave kënddrejtë: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ju mund të përdorni të dy opsionet për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori për t'u siguruar që ato japin të njëjtin rezultat. Dhe kjo ju jep të drejtën ta shkruani atë c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Si rezultat i zgjidhjes, do të merrni formulën e teoremës së Pitagorës c 2 =a 2 +b 2. Teorema është vërtetuar.

Prova 4

Kjo provë kurioze e lashtë kineze u quajt "Karrika e nuses" - për shkak të figurës si karrige që rezulton nga të gjitha ndërtimet:

Ai përdor vizatimin që kemi parë tashmë në Fig. 3 në provën e dytë. Dhe katrori i brendshëm me anën c është ndërtuar në të njëjtën mënyrë si në provën e lashtë indiane të dhënë më sipër.

Nëse këputni mendërisht dy trekëndësha kënddrejtë të gjelbër nga vizatimi në Fig. 1, zhvendosini ato në anët e kundërta bashkëngjitni një katror me anën c dhe hipotenus në hipotenuset e trekëndëshave jargavan, do të merrni një figurë të quajtur "karrige e nuses" (Fig. 2). Për qartësi, mund të bëni të njëjtën gjë me katrorë dhe trekëndësha letre. Do të siguroheni që "karrigia e nuses" të formohet nga dy katrorë: të vegjël me anë. b dhe i madh me një anë a.

Këto ndërtime i lejuan matematikanët e lashtë kinezë dhe ne, duke ndjekur ata, të arrinim në përfundimin se c 2 =a 2 +b 2.

Dëshmia 5

Kjo është një mënyrë tjetër për të gjetur një zgjidhje për teoremën e Pitagorës duke përdorur gjeometrinë. Quhet Metoda Garfield.

Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë ABC. Ne duhet ta vërtetojmë këtë BC 2 = AC 2 + AB 2.

Për ta bërë këtë, vazhdoni këmbën AC dhe ndërtoni një segment CD, e cila është e barabartë me këmbën AB. Ulni pingulen pas Krishtit segmenti i linjës ED. Segmentet ED Dhe AC janë të barabartë. Lidhni pikat E Dhe NË, dhe E Dhe ME dhe merrni një vizatim si në foton më poshtë:

Për të vërtetuar kullën, ne përsëri i drejtohemi metodës që kemi provuar tashmë: gjejmë zonën e figurës që rezulton në dy mënyra dhe barazojmë shprehjet me njëra-tjetrën.

Gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi NJË KREVAT mund të bëhet duke mbledhur sipërfaqet e tre trekëndëshave që e formojnë atë. Dhe një prej tyre, ERU, nuk është vetëm drejtkëndëshe, por edhe dykëndëshe. Le të mos e harrojmë gjithashtu AB=CD, AC=ED Dhe BC=SE– kjo do të na lejojë të thjeshtojmë regjistrimin dhe të mos e mbingarkojmë atë. Kështu që, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Në të njëjtën kohë, është e qartë se NJË KREVAT- Ky është një trapez. Prandaj, ne llogarisim zonën e saj duke përdorur formulën: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Për llogaritjet tona, është më e përshtatshme dhe më e qartë të përfaqësohet segmenti pas Krishtit si shuma e segmenteve AC Dhe CD.

Le të shkruajmë të dyja mënyrat për të llogaritur sipërfaqen e një figure, duke vendosur një shenjë të barabartë midis tyre: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ne përdorim barazinë e segmenteve tashmë të njohura për ne dhe të përshkruara më lart për të thjeshtuar anën e djathtë hyrjet: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Tani le të hapim kllapat dhe të transformojmë barazinë: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pasi të kemi përfunduar të gjitha transformimet, marrim pikërisht atë që na nevojitet: BC 2 = AC 2 + AB 2. Ne kemi vërtetuar teoremën.

Sigurisht, kjo listë e provave është larg të qenit e plotë. Teorema e Pitagorës gjithashtu mund të vërtetohet duke përdorur vektorë, numra kompleksë, ekuacione diferenciale, stereometri, etj. Dhe madje edhe fizikanët: nëse, për shembull, lëngu derdhet në vëllime katrore dhe trekëndore të ngjashme me ato të treguara në vizatime. Duke derdhur lëng, mund të vërtetoni barazinë e zonave dhe si rezultat vetë teoremën.

Disa fjalë për trenjakët e Pitagorës

Kjo çështje është pak ose aspak e studiuar në kurrikulën shkollore. Ndërkohë, ai është shumë interesant dhe ka rëndësi të madhe në gjeometri. Treshe të Pitagorës përdoren për të zgjidhur shumë probleme matematikore. Kuptimi i tyre mund të jetë i dobishëm për ju në edukimin e mëtejshëm.

Pra, çfarë janë trenjakët e Pitagorës? Kështu e quajnë numra të plotë, të mbledhura në treshe, shuma e katrorëve të dy prej të cilëve është e barabartë me numrin e tretë në katror.

Treshe të Pitagorës mund të jenë:

• primitiv (të tre numrat janë relativisht të thjeshtë);
• jo primitiv (nëse çdo numër i një treshe shumëzohet me të njëjtin numër, ju merrni një trefish të ri, i cili nuk është primitiv).

Edhe para epokës sonë, egjiptianët e lashtë ishin magjepsur nga mania për numrin e treshave të Pitagorës: në problematika ata konsideronin një trekëndësh kënddrejtë me brinjë 3, 4 dhe 5 njësi. Nga rruga, çdo trekëndësh, anët e të cilit janë të barabarta me numrat nga trefishi i Pitagorës është drejtkëndor si parazgjedhje.

Shembuj të treshave të Pitagorës: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etj.

Zbatimi praktik i teoremës

Teorema e Pitagorës përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në arkitekturë dhe ndërtim, astronomi dhe madje edhe letërsi.

Së pari, në lidhje me ndërtimin: teorema e Pitagorës përdoret gjerësisht në probleme të niveleve të ndryshme të kompleksitetit. Për shembull, shikoni një dritare romane:

Le të shënojmë gjerësinë e dritares si b, atëherë rrezja e gjysmërrethit të madh mund të shënohet si R dhe shprehin përmes b: R=b/2. Rrezja e gjysmërretheve më të vogla mund të shprehet edhe përmes b: r=b/4. Në këtë problem na intereson rrezja e rrethit të brendshëm të dritares (le ta quajmë atë fq).

Teorema e Pitagorës është thjesht e dobishme për t'u llogaritur R. Për ta bërë këtë, ne përdorim një trekëndësh kënddrejtë, i cili tregohet nga një vijë me pika në figurë. Hipotenuza e një trekëndëshi përbëhet nga dy rreze: b/4+p. Njëra këmbë përfaqëson rrezen b/4, një tjetër b/2-p. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, ne shkruajmë: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Më pas, hapim kllapat dhe marrim b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Le ta shndërrojmë këtë shprehje në bp/2=b 2 /4-bp. Dhe pastaj ne i ndajmë të gjitha termat me b, ne paraqesim të ngjashme për të marrë 3/2*p=b/4. Dhe në fund e gjejmë atë p=b/6- kjo është ajo që na duhej.

Duke përdorur teoremën, mund të llogarisni gjatësinë e mahijeve për një çati gable. Përcaktoni sa e gjatë është kulla komunikimet celulare sinjali duhet të arrijë një të caktuar zgjidhje. Dhe madje instaloni në mënyrë të qëndrueshme pema e Krishtlindjeve në sheshin e qytetit. Siç mund ta shihni, kjo teoremë jeton jo vetëm në faqet e teksteve shkollore, por shpesh është e dobishme në jetën reale.

Në letërsi, teorema e Pitagorës ka frymëzuar shkrimtarët që nga lashtësia dhe vazhdon të jetë kështu edhe në kohën tonë. Për shembull, shkrimtari gjerman i shekullit të nëntëmbëdhjetë Adelbert von Chamisso u frymëzua të shkruante një sonet:

Drita e së vërtetës nuk do të shuhet shpejt,
Por, pasi shkëlqeu, nuk ka gjasa të shpërndahet
Dhe, si mijëra vjet më parë,
Nuk do të shkaktojë dyshime apo mosmarrëveshje.

Më e mençura kur të prek shikimin
Drita e së vërtetës, falënderoj perënditë;
Dhe njëqind dema, të therur, gënjejnë -
Një dhuratë kthimi nga Pitagora me fat.

Që atëherë demat kanë ulëritur në mënyrë të dëshpëruar:
Përgjithmonë alarmoi fisin e demave
Ngjarja e përmendur këtu.

Atyre u duket se koha po vjen,
Dhe ata do të sakrifikohen përsëri
Një teoremë e madhe.

(përkthimi nga Viktor Toporov)

Dhe në shekullin e njëzetë, shkrimtari sovjetik Evgeny Veltistov, në librin e tij "Aventurat e Elektronikës", i kushtoi një kapitull të tërë provave të teoremës së Pitagorës. Dhe një gjysmë kapitulli tjetër në tregimin për botën dydimensionale që mund të ekzistonte nëse teorema e Pitagorës do të bëhej një ligj themelor dhe madje një fe për një botë të vetme. Të jetosh atje do të ishte shumë më e lehtë, por edhe shumë më e mërzitshme: për shembull, askush atje nuk e kupton kuptimin e fjalëve "të rrumbullakët" dhe "me gëzof".

Dhe në librin "Aventurat e Elektronikës", autori, përmes gojës së mësuesit të matematikës Taratar, thotë: "Gjëja kryesore në matematikë është lëvizja e mendimit, idetë e reja". Është pikërisht ky fluturim krijues i mendimit që krijon teoremën e Pitagorës - jo më kot ajo ka kaq shumë prova të ndryshme. Kjo ju ndihmon të shkoni përtej kufijve të të njohurës dhe t'i shikoni gjërat e njohura në një mënyrë të re.

konkluzioni

Ky artikull është krijuar për t'ju ndihmuar të shikoni përtej kurrikula shkollore në matematikë dhe mësoni jo vetëm ato prova të teoremës së Pitagorës që janë dhënë në tekstet shkollore "Gjeometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dhe "Gjeometria 7-11" (A.V. Pogorelov), por dhe mënyra të tjera interesante për të vërtetuar teorema e famshme. Dhe gjithashtu shihni shembuj se si mund të zbatohet teorema e Pitagorës në jetën e përditshme.

Së pari, ky informacion do t'ju lejojë të kualifikoheni për rezultate më të larta në mësimet e matematikës - informacioni mbi këtë temë nga burime shtesë vlerësohet gjithmonë shumë.

Së dyti, ne donim t'ju ndihmonim të kuptoni se si matematika shkencë interesante. Sigurohuni shembuj specifikë se në të ka gjithmonë vend për kreativitet. Shpresojmë që teorema e Pitagorës dhe ky artikull do t'ju frymëzojnë që në mënyrë të pavarur të eksploroni dhe të bëni zbulime emocionuese në matematikë dhe shkenca të tjera.

Na tregoni në komente nëse ju gjetën interesante provat e paraqitura në artikull. A ju duk i dobishëm ky informacion në studimet tuaja? Na shkruani se çfarë mendoni për teoremën e Pitagorës dhe këtë artikull - ne do të jemi të lumtur t'i diskutojmë të gjitha këto me ju.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Teorema e Pitagorës është deklarata më e rëndësishme e gjeometrisë. Teorema është formuluar si më poshtë: sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbët e tij.

Zbulimi i kësaj deklarate zakonisht i atribuohet filozof i lashtë grek dhe matematikani Pitagora (shekulli VI para Krishtit). Por një studim i pllakave kuneiforme babilonase dhe dorëshkrimeve të lashta kineze (kopje të dorëshkrimeve edhe më të vjetra) tregoi se kjo deklaratë ishte e njohur shumë përpara Pitagorës, ndoshta një mijëvjeçar para tij. Merita e Pitagorës ishte se ai zbuloi vërtetimin e kësaj teoreme.

Ka të ngjarë që fakti i deklaruar në teoremën e Pitagorës të jetë vendosur fillimisht për trekëndëshat kënddrejtë izosceles. Vetëm shikoni mozaikun e trekëndëshave të zinj dhe të lehta të paraqitur në Fig. 1, për të verifikuar vlefshmërinë e teoremës për një trekëndësh: një katror i ndërtuar mbi hipotenuzë përmban 4 trekëndësha dhe një katror që përmban 2 trekëndësha është i ndërtuar në secilën anë. Për të vërtetuar rastin e përgjithshëm në Indinë e Lashtë, ata përdorën dy metoda: në një katror me një anë, ata përshkruanin katër trekëndësha kënddrejtë me këmbë të gjata dhe (Fig. 2, a dhe 2, b), pas së cilës ata shkruan një fjalë " Shikoni!” Dhe në të vërtetë, duke parë këto vizatime, ne shohim se në të majtë ka një figurë pa trekëndësha, e përbërë nga dy katrorë me brinjë dhe, në përputhje me rrethanat, sipërfaqja e saj është e barabartë me , dhe në të djathtë ka një katror me një anë - sipërfaqja e saj është e barabartë me . Kjo do të thotë se kjo përbën pohimin e teoremës së Pitagorës.

Sidoqoftë, për dy mijë vjet, nuk ishte kjo provë vizuale që u përdor, por një provë më komplekse e shpikur nga Euklidi, e cila gjendet në librin e tij të famshëm "Elementet" (shih Euklidi dhe "Elementet" e tij), Euklidi uli lartësinë nga fillimi kënd i drejtë në hipotenuzë dhe vërtetoi se vazhdimi i saj e ndan katrorin e ndërtuar mbi hipotenuzë në dy drejtkëndësha, sipërfaqet e të cilëve janë të barabarta me sipërfaqet e katrorëve përkatës të ndërtuar mbi këmbët (Fig. 3). Vizatimi i përdorur për të vërtetuar këtë teoremë quhet me shaka "pantallonat e Pitagorës". Për një kohë të gjatë u konsiderua si një nga simbolet e shkencës matematikore.

Sot njihen disa dhjetëra prova të ndryshme të teoremës së Pitagorës. Disa prej tyre bazohen në ndarjen e katrorëve, në të cilat një katror i ndërtuar mbi hipotenuzë përbëhet nga pjesë të përfshira në ndarjet e katrorëve të ndërtuar mbi këmbët; të tjerët - në plotësimin e shifrave të barabarta; e treta - për faktin se lartësia e ulur nga kulmi i një këndi të drejtë në hipotenuzë ndan një trekëndësh kënddrejtë në dy trekëndësha të ngjashëm me të.

Teorema e Pitagorës qëndron në themel të shumicës së llogaritjeve gjeometrike. Edhe në Babiloninë e lashtë, ajo u përdor për të llogaritur gjatësinë e lartësisë së një trekëndëshi izosceles nga gjatësitë e bazës dhe anës, shigjetën e një segmenti nga diametri i rrethit dhe gjatësia e kordës dhe vendosi marrëdhëniet ndërmjet elementeve të disa shumëkëndëshave të rregullt. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, ne vërtetojmë përgjithësimin e tij, i cili na lejon të llogarisim gjatësinë e anës që shtrihet përballë një këndi akut ose të mpirë:

Nga ky përgjithësim rezulton se prania e një këndi të drejtë në jo vetëm është e mjaftueshme, por edhe një kusht i domosdoshëm që barazia të plotësohet. Nga formula (1) vijon relacioni ndërmjet gjatësive të diagonaleve dhe brinjëve të një paralelogrami, me ndihmën e të cilit është e lehtë të gjesh gjatësinë e medianes së një trekëndëshi nga gjatësitë e brinjëve të tij.

Bazuar në teoremën e Pitagorës, rrjedh një formulë që shpreh sipërfaqen e çdo trekëndëshi përmes gjatësive të brinjëve të tij (shih formulën e Heronit). Natyrisht, teorema e Pitagorës u përdor edhe për zgjidhjen e problemeve të ndryshme praktike.

Në vend të katrorëve, mund të ndërtoni çdo figurë të ngjashme (trekëndësha barabrinjës, gjysmërreth, etj.) në anët e një trekëndëshi kënddrejtë. Në këtë rast, sipërfaqja e figurës së ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të figurave të ndërtuara në këmbë. Një përgjithësim tjetër lidhet me kalimin nga rrafshi në hapësirë. Formulohet si më poshtë: katrori i gjatësisë së diagonales së një paralelepipedi drejtkëndor e barabartë me shumën katrorët e dimensioneve të tij (gjatësia, gjerësia dhe lartësia). Një teoremë e ngjashme është e vërtetë në rastet shumëdimensionale dhe madje edhe me dimensione të pafundme.

Teorema e Pitagorës ekziston vetëm në gjeometrinë Euklidiane. Nuk ndodh as në gjeometrinë Lobachevsky dhe as në gjeometritë e tjera jo-Euklidiane. Nuk ka asnjë analog të teoremës së Pitagorës mbi sferën. Dy meridianë që formojnë një kënd prej 90° dhe ekuatori lidh në një sferë një trekëndësh sferik barabrinjës, të tre këndet e të cilit janë kënde të drejta. Për të, jo si në aeroplan.

Duke përdorur teoremën e Pitagorës, llogaritni distancën midis pikave dhe planit koordinativ duke përdorur formulën

.

Pasi u zbulua teorema e Pitagorës, u ngrit pyetja se si të gjenden të gjitha trinjakët e numrave natyrorë që mund të jenë brinjë të trekëndëshave kënddrejtë (shih teoremën e fundit të Fermatit). Ato u zbuluan nga pitagorianët, por disa metoda të përgjithshme për gjetjen e treshe të tilla numrash ishin të njohura për babilonasit. Një nga pllakat kuneiforme përmban 15 treshe. Midis tyre ka trenjakë të përbërë nga kaq shumë numra të mëdhenj, se nuk mund të bëhet fjalë për gjetjen e tyre me përzgjedhje.

Fosa e Hipokratit

Lunat e Hipokratit janë figura të kufizuara nga harqet e dy rrathëve dhe, për më tepër, të tilla që duke përdorur rrezet dhe gjatësinë e kordës së përbashkët të këtyre rrathëve, duke përdorur një busull dhe një vizore, mund të ndërtohen katrorë me madhësi të barabartë me to.

Nga përgjithësimi i teoremës së Pitagorës në gjysmërreth, rrjedh se shuma e zonave të gungave rozë të paraqitur në figurën në të majtë është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit blu. Prandaj, nëse merrni një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh, do të merrni dy vrima, sipërfaqja e secilës prej të cilave do të jetë e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së trekëndëshit. Duke u përpjekur të zgjidhë problemin e katrorit të një rrethi (shih Problemet klasike të antikitetit), matematikani i lashtë grek Hipokrati (shek. V para Krishtit) gjeti disa vrima të tjera, zonat e të cilave shprehen në termat e zonave të figurave drejtvizore.

Një listë e plotë e lunulave hipomargjinale u mor vetëm në shekujt 19-20. falë përdorimit të metodave të teorisë Galois.

Sigurohuni që trekëndëshi që ju jepet të jetë një trekëndësh kënddrejtë, pasi teorema e Pitagorës zbatohet vetëm për trekëndëshat kënddrejtë. Në trekëndëshat kënddrejtë, njëri nga tre këndet është gjithmonë 90 gradë.

• Një kënd i drejtë në një trekëndësh kënddrejtë tregohet nga një ikonë katrore dhe jo nga kurba që përfaqëson këndet e zhdrejtë.

Etiketoni anët e trekëndëshit. Etiketoni këmbët si "a" dhe "b" (këmbët janë anët që kryqëzohen në kënde të drejta), dhe hipotenuza si "c" (hipotenuza është ana më e madhe e një trekëndëshi kënddrejtë, e shtrirë përballë këndit të drejtë).

Përcaktoni se cilën anë të trekëndëshit dëshironi të gjeni. Teorema e Pitagorës ju lejon të gjeni çdo anë të një trekëndëshi kënddrejtë (nëse njihen dy brinjët e tjera). Përcaktoni cilën anë (a, b, c) duhet të gjeni.

• Për shembull, jepet një hipotenuzë e barabartë me 5, dhe jepet një këmbë e barabartë me 3. Në këtë rast, është e nevojshme të gjendet këmba e dytë. Ne do t'i kthehemi këtij shembulli më vonë.
• Nëse dy anët e tjera janë të panjohura, ju duhet të gjeni gjatësinë e njërës prej anëve të panjohura për të zbatuar teoremën e Pitagorës. Për ta bërë këtë, përdorni bazën funksionet trigonometrike(nëse ju jepet vlera e njërit prej këndeve të zhdrejtë).

Zëvendësoni vlerat që ju janë dhënë (ose vlerat që keni gjetur) në formulën a 2 + b 2 = c 2. Mos harroni se a dhe b janë këmbë, dhe c është hipotenuza.

• Në shembullin tonë, shkruani: 3² + b² = 5².

Sheshoni secilën anë të njohur. Ose lini fuqitë - mund t'i vendosni numrat në katror më vonë.

• Në shembullin tonë, shkruani: 9 + b² = 25.

Izoloni anën e panjohur në njërën anë të ekuacionit. Për ta bërë këtë, lëvizni vlerat e njohura në anën tjetër të ekuacionit. Nëse gjeni hipotenuzën, atëherë në teoremën e Pitagorës ajo tashmë është e izoluar në njërën anë të ekuacionit (kështu që nuk keni nevojë të bëni asgjë).

• Në shembullin tonë, lëvizni 9 në anën e djathtë ekuacionet për të izoluar të panjohurën b². Do të merrni b² = 16.

Hiq Rrenja katrore nga të dyja anët e ekuacionit pasi e panjohura (katrore) është e pranishme në njërën anë të ekuacionit dhe termi i lirë (numri) është i pranishëm në anën tjetër.

• Në shembullin tonë, b² = 16. Merrni rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit dhe merrni b = 4. Kështu, pjesa e dytë është 4.

Përdorni teoremën e Pitagorës në Jeta e përditshme, pasi mund të përdoret në numer i madh situata praktike. Për ta bërë këtë, mësoni të njihni trekëndëshat kënddrejtë në jetën e përditshme - në çdo situatë në të cilën dy objekte (ose vija) kryqëzohen në kënde të drejta, dhe një objekt i tretë (ose vijë) lidh (diagonalisht) majat e dy objekteve të parë (ose linjat), mund të përdorni teoremën e Pitagorës për të gjetur anën e panjohur (nëse dy anët e tjera janë të njohura).

• Shembull: jepet një shkallë e mbështetur në një ndërtesë. Pjesa e poshtme e shkallëve është 5 metra nga baza e murit. Pjesa e sipërme Shkallët ndodhen 20 metra nga toka (lart murit). Sa është gjatësia e shkallëve?
  • “5 metra nga baza e murit” do të thotë se a = 5; "Ndodhet 20 metra nga toka" do të thotë se b = 20 (d.m.th., ju jepen dy këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë, pasi muri i ndërtesës dhe sipërfaqja e Tokës kryqëzohen në kënde të drejta). Gjatësia e shkallës është gjatësia e hipotenuzës, e cila nuk dihet.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Kështu, gjatësia e përafërt e shkallëve është 20.6 metra.

MATJA E SIPËRMARRJES SË FIGURAVE GJEOMETRIKE.

§ 58. Teorema e PITAGORËS 1.

__________
1 Pitagora është një shkencëtar grek që jetoi rreth 2500 vjet më parë (564-473 para Krishtit).
_________

Le të na jepet një trekëndësh kënddrejtë brinjët e të cilit A, b Dhe Me(vizatimi 267).

Le të ndërtojmë katrorë në anët e tij. Sipërfaqet e këtyre katrorëve janë përkatësisht të barabarta A 2 , b 2 dhe Me 2. Le ta vërtetojmë këtë Me 2 = a 2 +b 2 .

Të ndërtojmë dy katrorë MKOR dhe M"K"O"R" (vizatimet 268, 269), duke marrë si brinjë të secilit prej tyre një segment të barabartë me shumën e këmbëve të trekëndëshit kënddrejtë ABC.

Pasi të kemi përfunduar ndërtimet e paraqitura në vizatimet 268 dhe 269 në këto katrorë, do të shohim se sheshi MCOR është i ndarë në dy katrorë me sipërfaqe A 2 dhe b 2 dhe katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë, secili prej të cilëve është i barabartë me trekëndëshin kënddrejtë ABC. Katrori M"K"O"R" ndahej në një katërkëndësh (është i hijezuar në vizatimin 269) dhe në katër trekëndësha kënddrejtë, secili prej të cilëve është gjithashtu i barabartë me trekëndëshin ABC. Një katërkëndësh me hije është një katror, ​​pasi brinjët e tij janë të barabarta (secila është e barabartë me hipotenuzën e trekëndëshit ABC, d.m.th. Me), dhe këndet janë të drejta / 1 + / 2 = 90°, nga ku / 3 = 90°).

Kështu, shuma e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar mbi këmbët (në vizatimin 268 këto katrore janë të hijezuara) është e barabartë me sipërfaqen e katrorit MCOR pa shumën e sipërfaqeve të katër trekëndëshave të barabartë dhe sipërfaqen prej katrori i ndërtuar mbi hipotenuzë (në vizatimin 269 edhe ky katror është i hijezuar) është i barabartë me sipërfaqen e katrorit M"K"O"R", i barabartë me katrorin e MCOR, pa shumën e sipërfaqeve të katër trekëndësha të ngjashëm. Prandaj, sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar mbi këmbët.

Ne marrim formulën Me 2 = a 2 +b 2 ku Me- hipotenuzë, A Dhe b- këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e Pitagorës zakonisht formulohet shkurt si më poshtë:

Katrori i hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Nga formula Me 2 = a 2 +b 2 mund të merrni formulat e mëposhtme:

A 2 = Me 2 - b 2 ;
b 2 = Me 2 - A 2 .

Këto formula mund të përdoren për të gjetur brinjën e panjohur të një trekëndëshi kënddrejtë nga dy brinjët e dhëna të tij.
Për shembull:

a) nëse jepen këmbët A= 4 cm, b=3 cm, atëherë mund të gjeni hipotenuzën ( Me):
Me 2 = a 2 +b 2, d.m.th. Me 2 = 4 2 + 3 2 ; me 2 = 25, prej nga Me= √25 =5 (cm);

b) nëse jepet hipotenuza Me= 17 cm dhe këmbë A= 8 cm, atëherë mund të gjeni një këmbë tjetër ( b):

b 2 = Me 2 - A 2, d.m.th. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, nga ku b= √225 = 15 (cm).

Pasoja: Nëse dy trekëndësha kënddrejtë ABC dhe A kanë 1 B 1 C 1 hipotenuzë Me Dhe Me 1 janë të barabarta, dhe këmba b trekëndëshi ABC është më i gjatë se këmbët b 1 trekëndësh A 1 B 1 C 1,
pastaj këmbën A trekëndëshi ABC është më i vogël se këmbët A 1 trekëndësh A 1 B 1 C 1. (Bëni një vizatim që ilustron këtë pasojë.)

Në fakt, bazuar në teoremën e Pitagorës marrim:

A 2 = Me 2 - b 2 ,
A 1 2 = Me 1 2 - b 1 2

Në formulat e shkruara, minuendat janë të barabarta, dhe subtrahendi në formulën e parë është më i madh se nëntrahni në formulën e dytë, prandaj, diferenca e parë është më e vogël se e dyta,
dmth. A 2 < A 12 . Ku A< A 1 .

Ushtrime.

1. Duke përdorur vizatimin 270, provoni teoremën e Pitagorës për një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh.

2. Njëra këmbë e trekëndëshit kënddrejtë është 12 cm, tjetra 5 cm.Njehsoni gjatësinë e hipotenuzës së këtij trekëndëshi.

3. Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është 10 cm, njëra nga këmbët është 8 cm. Njehsoni gjatësinë e këmbës tjetër të këtij trekëndëshi.

4. Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është 37 cm, njëra këmbë e tij është 35 cm. Njehsoni gjatësinë e këmbës tjetër të këtij trekëndëshi.

5. Ndërtoni një katror me sipërfaqe dy herë më të madhe se ajo e dhënë.

6. Ndërtoni një katror me sipërfaqe sa gjysma e asaj të dhënë. Shënim. Vizatoni diagonale në këtë katror. Sheshet e ndërtuara në gjysmat e këtyre diagonaleve do të jenë ata që ne kërkojmë.

7. Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë janë përkatësisht 12 cm dhe 15 cm Llogaritni gjatësinë e hipotenuzës së këtij trekëndëshi me saktësi 0,1 cm.

8. Hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë është 20 cm, njëra këmbë e tij është 15 cm.Njehso gjatësinë e këmbës tjetër me sa më afër 0,1 cm.

9. Sa e gjatë duhet të jetë shkalla që të mund të ngjitet në një dritare të vendosur në lartësinë 6 m, nëse skaji i poshtëm i shkallës duhet të jetë 2,5 m nga ndërtesa? (Grafiku 271.)