เมื่อเริ่มพูดถึงค่าเฉลี่ย คนส่วนใหญ่มักจะจำได้ว่าพวกเขาเรียนจบและเข้าสถาบันการศึกษาได้อย่างไร จากนั้นจึงคำนวณคะแนนเฉลี่ยตามใบรับรอง โดยนำเกรดทั้งหมด (ทั้งดีและไม่ดี) มาบวกกัน จำนวนผลลัพธ์ที่ได้จะถูกหารด้วยจำนวน นี่คือวิธีคำนวณค่าเฉลี่ยประเภทที่ง่ายที่สุด ซึ่งเรียกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย ในทางปฏิบัติจะใช้สถิติ ประเภทต่างๆค่าเฉลี่ย: เลขคณิต, ฮาร์มอนิก, เรขาคณิต, กำลังสอง, ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง มีการใช้ประเภทใดประเภทหนึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลและวัตถุประสงค์ของการศึกษา

ค่าเฉลี่ยเป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติที่พบบ่อยที่สุด โดยให้ลักษณะทั่วไปของชุดปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันตามลักษณะที่แตกต่างกันอย่างใดอย่างหนึ่ง โดยแสดงระดับคุณลักษณะต่อหน่วยประชากร ด้วยความช่วยเหลือของค่าเฉลี่ย ประชากรต่างๆ จะถูกเปรียบเทียบตามลักษณะที่แตกต่างกัน และศึกษารูปแบบของการพัฒนาปรากฏการณ์และกระบวนการของชีวิตทางสังคม

ในสถิติ มีการใช้ค่าเฉลี่ยสองประเภท: กำลัง (เชิงวิเคราะห์) และเชิงโครงสร้าง ส่วนหลังใช้เพื่อกำหนดลักษณะโครงสร้างของซีรีส์รูปแบบต่างๆ และจะกล่าวถึงต่อไปในบทที่ 8.

กลุ่มของค่าเฉลี่ยกำลังประกอบด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต ฮาร์มอนิก เรขาคณิต และกำลังสอง แต่ละสูตรสำหรับการคำนวณสามารถลดลงเป็นรูปแบบทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ยพลังงานทั้งหมดกล่าวคือ

โดยที่ m คือเลขชี้กำลังของค่าเฉลี่ยกำลัง: เมื่อ m = 1 เราได้สูตรสำหรับคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยที่ m = 0 - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต, m = -1 - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกโดย m = 2 - ค่าเฉลี่ยกำลังสอง ;

x i - ตัวเลือก (ค่าที่แอตทริบิวต์ใช้);

ฉ ฉัน - ความถี่

เงื่อนไขหลักที่สามารถใช้ค่าเฉลี่ยพลังงานในการวิเคราะห์ทางสถิติได้คือความเป็นเนื้อเดียวกันของประชากรซึ่งไม่ควรมีข้อมูลเริ่มต้นที่แตกต่างกันอย่างมากในค่าเชิงปริมาณ (ในวรรณคดีเรียกว่าการสังเกตที่ผิดปกติ)

ให้เราแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6.1 มาคำนวณค่าเฉลี่ยกัน ค่าจ้างพนักงานขององค์กรขนาดเล็ก

ตารางที่ 6.1. ค่าจ้างพนักงาน

เลขที่	เงินเดือนถู	เลขที่	เงินเดือนถู
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

ในการคำนวณค่าจ้างเฉลี่ย จำเป็นต้องรวมค่าจ้างที่เกิดขึ้นกับพนักงานทุกคนขององค์กร (เช่น ค้นหากองทุนค่าจ้าง) และหารด้วยจำนวนพนักงาน:

ทีนี้มาเพิ่มเพียงคนเดียว (ผู้อำนวยการขององค์กรนี้) ในจำนวนทั้งหมดของเรา แต่มีเงินเดือน 50,000 รูเบิล ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้จะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง:

อย่างที่เราเห็นมันเกิน 7,000 รูเบิล เป็นต้น มันมากกว่าค่าแอตทริบิวต์ทั้งหมด ยกเว้นการสังเกตเดียว

เพื่อให้แน่ใจว่ากรณีดังกล่าวจะไม่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติและค่าเฉลี่ยจะไม่สูญเสียความหมาย (ในตัวอย่างที่ 6.1 จะไม่มีบทบาทเป็นลักษณะทั่วไปของประชากรที่ควรจะเป็นอีกต่อไป) เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ผิดปกติ อย่างรวดเร็ว ข้อสังเกตที่โดดเด่นควรแยกออกจากการวิเคราะห์และหัวข้อทำให้ประชากรเป็นเนื้อเดียวกันหรือแบ่งประชากรออกเป็นกลุ่มเนื้อเดียวกันและคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละกลุ่มและวิเคราะห์ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยโดยรวม แต่เป็นค่าเฉลี่ยของกลุ่ม

6.1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและคุณสมบัติของมัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณเป็นแบบง่ายหรือแบบถ่วงน้ำหนัก

เมื่อคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยตามข้อมูลในตารางตัวอย่าง 6.1 เราได้รวมค่าทั้งหมดของแอตทริบิวต์แล้วหารด้วยตัวเลข เราจะเขียนความคืบหน้าของการคำนวณของเราในรูปแบบของสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

โดยที่ x i - ตัวเลือก (ค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะ);

n คือจำนวนหน่วยโดยรวม

ตัวอย่างที่ 6.2 ตอนนี้เรามาจัดกลุ่มข้อมูลจากตารางในตัวอย่าง 6.1 เป็นต้น มาสร้างชุดการกระจายตัวของคนงานตามระดับค่าจ้างในรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่องกัน ผลลัพธ์การจัดกลุ่มจะแสดงในตาราง

ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับคำนวณระดับค่าจ้างเฉลี่ยในรูปแบบที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น:

ในตัวอย่างที่ 6.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

โดยที่ f คือความถี่ที่แสดงจำนวนครั้งที่ค่าของคุณลักษณะ x i y เกิดขึ้นในหน่วยประชากร

สะดวกในการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์ในตารางดังที่แสดงด้านล่าง (ตาราง 6.3):

ตารางที่ 6.3. การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง

ข้อมูลเบื้องต้น	ตัวบ่งชี้โดยประมาณ
เงินเดือนถู	จำนวนพนักงานคน	กองทุนค่าจ้างถู
x ฉัน	ฉ ฉัน	x ฉัน ฉ ฉัน
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
ทั้งหมด	20	132 080

ควรสังเกตว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายใช้ในกรณีที่ข้อมูลไม่ได้ถูกจัดกลุ่มหรือจัดกลุ่ม แต่ความถี่ทั้งหมดเท่ากัน

บ่อยครั้งที่ผลการสังเกตถูกนำเสนอในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงตามช่วงเวลา (ดูตารางในตัวอย่างที่ 6.4) จากนั้น เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย จุดกึ่งกลางของช่วงเวลาจะถูกใช้เป็น x i หากช่วงแรกและช่วงสุดท้ายเปิดอยู่ (ไม่มีขอบเขตใดขอบเขตหนึ่ง) แสดงว่า "ปิด" ตามเงื่อนไขโดยรับค่าของช่วงเวลาที่ติดกันเป็นค่าของช่วงเวลานี้ ฯลฯ อันแรกจะถูกปิดตามค่าของอันที่สองและอันสุดท้าย - ตามค่าของอันสุดท้าย

ตัวอย่างที่ 6.3 จากผลการสำรวจตัวอย่างของกลุ่มประชากรกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง เราจะคำนวณจำนวนรายได้ทางการเงินเฉลี่ยต่อหัว

ในตารางด้านบน ค่าตรงกลางของช่วงแรกคือ 500 แท้จริงแล้ว ค่าของช่วงที่สองคือ 1000 (2000-1000) จากนั้นขีด จำกัด ล่างของอันแรกคือ 0 (1,000-1,000) และตรงกลางคือ 500 เราทำเช่นเดียวกันกับช่วงเวลาสุดท้าย เราใช้ 25,000 เป็นจุดกึ่งกลาง: ค่าของช่วงสุดท้ายคือ 10,000 (20,000-10,000) จากนั้นขีดจำกัดบนคือ 30,000 (20,000 + 10,000) และค่ากลางตามลำดับคือ 25,000

ตารางที่ 6.4. การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดช่วงเวลา

รายได้เงินสดเฉลี่ยต่อหัว, ถู ต่อเดือน	ประชากรทั้งหมด, % f i	จุดกึ่งกลางของช่วง x i	x ฉัน ฉ ฉัน
มากถึง 1,000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20,000 ขึ้นไป	10,4	25 000	260 000
ทั้งหมด	100,0	-	892 850

จากนั้นรายได้เฉลี่ยต่อหัวต่อเดือนจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาพูดถึง วิธีการนับ ค่าเฉลี่ย .
ในรูปแบบคลาสสิก ทฤษฎีสถิติทั่วไปเสนอกฎเวอร์ชันหนึ่งสำหรับการเลือกค่าเฉลี่ยให้เราทราบ
ขั้นแรก คุณต้องสร้างสูตรตรรกะที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย (AFV) สำหรับค่าเฉลี่ยแต่ละค่าจะมีสูตรตรรกะเพียงสูตรเดียวในการคำนวณเสมอ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะทำผิดพลาดที่นี่ แต่เราต้องจำไว้เสมอว่าในตัวเศษ (นี่คือสิ่งที่อยู่ด้านบนของเศษส่วน) ผลรวมของปรากฏการณ์ทั้งหมด และในตัวส่วน (นี่คือสิ่งที่อยู่ด้านล่างสุดของเศษส่วน) ทั้งหมดองค์ประกอบ

หลังจากรวบรวมสูตรตรรกะแล้ว คุณสามารถใช้กฎต่างๆ ได้ (เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ เราจะย่อให้เล็กลง):
1. หากข้อมูลต้นฉบับ (กำหนดโดยความถี่) มีส่วนของสูตรตรรกะ การคำนวณจะดำเนินการโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก
2. หากข้อมูลต้นฉบับแสดงตัวเศษของสูตรลอจิคัล การคำนวณจะดำเนินการโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก
3. หากปัญหาแสดงทั้งตัวเศษและตัวส่วนของสูตรตรรกะ (ซึ่งไม่ค่อยเกิดขึ้น) เราจะดำเนินการคำนวณโดยใช้สูตรนี้หรือสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย
นี่เป็นแนวคิดคลาสสิกในการเลือกสูตรที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย ต่อไปเราจะนำเสนอลำดับของการดำเนินการเมื่อแก้ไขปัญหาในการคำนวณค่าเฉลี่ย

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการคำนวณค่าเฉลี่ย

ก. กำหนดวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ย - เรียบง่ายหรือถ่วงน้ำหนัก - หากข้อมูลถูกนำเสนอในตาราง เราจะใช้วิธีการถ่วงน้ำหนัก หากข้อมูลถูกนำเสนอโดยการแจงนับอย่างง่าย เราก็ใช้วิธีการคำนวณอย่างง่าย

ข. กำหนดหรือจัดเตรียม สัญลักษณ์ – x - ตัวเลือก, ฉ - ความถี่ - ตัวเลือกนี้ใช้สำหรับปรากฏการณ์ที่คุณต้องการหาค่าเฉลี่ย ข้อมูลที่เหลือในตารางจะเป็นความถี่

B. เรากำหนดรูปแบบการคำนวณค่าเฉลี่ย - เลขคณิตหรือฮาร์มอนิก - การกำหนดจะดำเนินการโดยใช้คอลัมน์ความถี่ รูปแบบเลขคณิตจะใช้หากมีการระบุความถี่ด้วยปริมาณที่ชัดเจน (ตามเงื่อนไขคุณสามารถแทนที่คำว่าชิ้นจำนวนองค์ประกอบ "ชิ้น") รูปแบบฮาร์มอนิกจะใช้หากความถี่ไม่ได้ระบุด้วยปริมาณที่ชัดเจน แต่โดยตัวบ่งชี้ที่ซับซ้อน (ผลคูณของปริมาณและความถี่เฉลี่ย)

สิ่งที่ยากที่สุดคือการเดาว่าจะได้รับที่ไหนและในปริมาณเท่าใด โดยเฉพาะสำหรับนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์ในเรื่องดังกล่าว ในสถานการณ์ดังกล่าว คุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ สำหรับงานบางอย่าง (ทางเศรษฐกิจ) ข้อความที่พัฒนาขึ้นจากการปฏิบัติเป็นเวลาหลายปีนั้นเหมาะสม (ข้อ B.1) ในสถานการณ์อื่นๆ คุณจะต้องใช้จุด B.2

B.1 หากกำหนดความถี่ในหน่วยการเงิน (เป็นรูเบิล) จะใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกในการคำนวณคำสั่งนี้เป็นจริงเสมอหากระบุความถี่ที่ระบุเป็นเงิน ในสถานการณ์อื่น ๆ กฎนี้ใช้ไม่ได้

B.2 ใช้กฎในการเลือกค่าเฉลี่ยที่ระบุไว้ข้างต้นในบทความนี้ ถ้าความถี่ถูกกำหนดโดยตัวส่วนของสูตรตรรกะในการคำนวณค่าเฉลี่ย เราจะคำนวณโดยใช้รูปแบบค่าเฉลี่ยเลขคณิต หากตัวเศษกำหนดความถี่ของสูตรตรรกะในการคำนวณค่าเฉลี่ย เราจะคำนวณโดยใช้ รูปแบบค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ลองดูตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมนี้

A. เนื่องจากข้อมูลถูกนำเสนอเป็นเส้น เราจึงใช้วิธีการคำนวณแบบง่ายๆ

B.V. เรามีข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเงินบำนาญเท่านั้นและพวกเขาจะเป็นตัวเลือกของเรา - x ข้อมูลจะแสดงเป็นตัวเลขธรรมดา (12 คน) ในการคำนวณเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

เงินบำนาญเฉลี่ยสำหรับผู้รับบำนาญคือ 9208.3 รูเบิล

B. เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาการชำระเงินเฉลี่ยต่อเด็กหนึ่งคน ตัวเลือกจึงอยู่ในคอลัมน์แรก เราจึงใส่การกำหนด x ไว้ที่นั่น คอลัมน์ที่สองจะกลายเป็นความถี่ f โดยอัตโนมัติ

B. ความถี่ (จำนวนลูก) ถูกกำหนดโดยปริมาณที่ชัดเจน (คุณสามารถแทนที่คำชิ้นของเด็ก ๆ จากมุมมองของภาษารัสเซียนี่เป็นวลีที่ไม่ถูกต้อง แต่ในความเป็นจริงมันสะดวกมากที่จะ ตรวจสอบ) ซึ่งหมายความว่าจะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักในการคำนวณ

ปัญหาเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ไม่ใช่โดยวิธีสูตร แต่โดยวิธีแบบตารางนั่นคือการป้อนข้อมูลทั้งหมดของการคำนวณขั้นกลางลงในตาราง

ด้วยเหตุนี้ สิ่งที่ต้องทำตอนนี้คือแยกผลรวมทั้งสองออกตามลำดับที่ถูกต้อง

การชำระเงินเฉลี่ยต่อเด็กต่อเดือนคือ 1,910 รูเบิล

A. เนื่องจากข้อมูลถูกนำเสนอในตาราง เราจึงใช้แบบฟอร์มถ่วงน้ำหนักในการคำนวณ

B. ความถี่ (ต้นทุนการผลิต) กำหนดโดยปริมาณโดยนัย (ความถี่ระบุใน รูเบิล ของอัลกอริทึม B1) ซึ่งหมายความว่าจะใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักในการคำนวณ โดยทั่วไปแล้วโดยพื้นฐานแล้วต้นทุนการผลิตเป็นตัวบ่งชี้ที่ซับซ้อนซึ่งได้มาจากการคูณต้นทุนของหน่วยของผลิตภัณฑ์ด้วยจำนวนของผลิตภัณฑ์ดังกล่าวนี่คือสาระสำคัญของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

เพื่อให้ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตจำเป็นต้องมีจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีต้นทุนที่สอดคล้องกันแทนต้นทุนการผลิต

โปรดทราบว่าผลรวมในตัวส่วนที่ได้รับหลังจากการคำนวณคือ 410 (120+80+210) นี่คือจำนวนผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผลิต

ราคาเฉลี่ยต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์คือ 314.4 รูเบิล

A. เนื่องจากข้อมูลถูกนำเสนอในตาราง เราจึงใช้แบบฟอร์มถ่วงน้ำหนักในการคำนวณ

B. เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาต้นทุนเฉลี่ยต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์ ตัวเลือกจึงอยู่ในคอลัมน์แรก เราจึงใส่การกำหนด x ไว้ที่นั่น คอลัมน์ที่สองจะกลายเป็นความถี่ f โดยอัตโนมัติ

B. ความถี่ (จำนวนการขาดเรียนทั้งหมด) กำหนดโดยปริมาณโดยนัย (นี่คือผลคูณของตัวบ่งชี้สองตัวของจำนวนการขาดเรียนและจำนวนนักเรียนที่มีการขาดงานตามจำนวนนั้น) ซึ่งหมายความว่าจะใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักถูกนำมาใช้ สำหรับการคำนวณ เราจะใช้จุดของอัลกอริทึม B2

เพื่อให้ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงจำเป็นต้องทำเช่นนั้นแทน จำนวนทั้งหมดจำนวนนักเรียนหายไป

เราสร้างสูตรเชิงตรรกะสำหรับการคำนวณจำนวนการขาดเรียนโดยเฉลี่ยต่อนักเรียนหนึ่งคน

ความถี่ตามเงื่อนไขงาน จำนวนการละเว้นทั้งหมด ในสูตรตรรกะ ตัวบ่งชี้นี้จะอยู่ในตัวเศษ ซึ่งหมายความว่าเราใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

โปรดทราบว่าผลรวมในตัวส่วนซึ่งเป็นผลมาจากการคำนวณ 31 (18+8+5) คือจำนวนนักเรียนทั้งหมด

จำนวนการขาดเรียนโดยเฉลี่ยต่อนักเรียนหนึ่งคนคือ 13.8 วัน

หัวข้อเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตรวมอยู่ในโปรแกรมคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6-7 เนื่องจากย่อหน้านี้ค่อนข้างเข้าใจง่าย จึงถูกส่งต่ออย่างรวดเร็ว และเมื่อถึงสิ้นปีการศึกษา นักเรียนก็ลืมไป แต่ความรู้พื้นฐานทางสถิติจำเป็นสำหรับ ผ่านการสอบ Unified Stateและสำหรับด้วย การสอบระดับนานาชาตินั่ง. ใช่และสำหรับ ชีวิตประจำวันการคิดเชิงวิเคราะห์ที่พัฒนาแล้วไม่เคยเจ็บปวด

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข

สมมติว่ามีชุดตัวเลข 11, 4 และ 3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยจำนวนตัวเลขที่กำหนด นั่นคือในกรณีของตัวเลข 11, 4, 3 คำตอบจะเป็น 6 คุณจะได้ 6 ได้อย่างไร?

วิธีแก้ปัญหา: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

ตัวส่วนจะต้องมีตัวเลขเท่ากับจำนวนตัวเลขที่ต้องการหาค่าเฉลี่ย ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากมีสามพจน์

ตอนนี้เราต้องหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิต สมมติว่ามีชุดตัวเลข: 4, 2 และ 8

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขคือผลคูณของตัวเลขที่กำหนดทั้งหมด ซึ่งอยู่ใต้รากที่มีกำลังเท่ากับจำนวนตัวเลขที่กำหนด นั่นคือในกรณีของตัวเลข 4, 2 และ 8 คำตอบจะเป็น 4 ดังนี้ มันกลับกลายเป็นว่า:

วิธีแก้: ∛(4 × 2 × 8) = 4

ในทั้งสองตัวเลือก เราได้คำตอบทั้งหมด เนื่องจากมีการนำตัวเลขพิเศษมาเป็นตัวอย่าง สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป ในกรณีส่วนใหญ่ คำตอบจะต้องถูกปัดเศษหรือทิ้งไว้ที่ราก ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข 11, 7 และ 20 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ data 12.67 และค่าเฉลี่ยเรขาคณิตคือ ∛1540 และสำหรับเลข 6 และ 5 คำตอบจะเป็น 5.5 และ √30 ตามลำดับ

เป็นไปได้ไหมที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต?

แน่นอนมันสามารถ แต่มีเพียงสองกรณีเท่านั้น หากมีชุดตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขหรือศูนย์เท่านั้น เป็นที่น่าสังเกตว่าคำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนของพวกเขา

พิสูจน์ด้วยหน่วย: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต)

พิสูจน์ด้วยศูนย์: (0 + 0) / 2=0 (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

√(0 × 0) = 0 (ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต)

ไม่มีทางเลือกอื่นและไม่สามารถเป็นได้

คำนี้มีความหมายอื่น ดูความหมายเฉลี่ย

เฉลี่ย(ในคณิตศาสตร์และสถิติ) ชุดตัวเลข - ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยตัวเลข เป็นหนึ่งในมาตรการที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดสำหรับแนวโน้มจากศูนย์กลาง

มันถูกเสนอโดยชาวพีทาโกรัส (พร้อมด้วยค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก)

กรณีพิเศษของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ย (ประชากรทั่วไป) และค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ตัวอย่าง)

การแนะนำ

ให้เราแสดงชุดของข้อมูล เอ็กซ์ = (x 1 , x 2 , …, x n) จากนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างมักจะระบุด้วยแถบแนวนอนเหนือตัวแปร (x mac (\displaystyle (\bar (x))) อ่านว่า " xด้วยเส้น")

ตัวอักษรกรีก μ ใช้เพื่อแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรทั้งหมด สำหรับตัวแปรสุ่มที่กำหนดค่าเฉลี่ย μ คือ ค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นหรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ถ้าเป็นชุด เอ็กซ์คือชุดของตัวเลขสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็น µ จากนั้นสำหรับตัวอย่างใดๆ x ฉันจากเซตนี้ μ = E( x ฉัน) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวอย่างนี้

ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง μ และ x zel (\displaystyle (\bar (x))) ก็คือ μ เป็นตัวแปรทั่วไปเพราะคุณสามารถเห็นตัวอย่างมากกว่าจำนวนประชากรทั้งหมด ดังนั้น หากตัวอย่างถูกแสดงแบบสุ่ม (ในแง่ของทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดังนั้น x mac (\displaystyle (\bar (x))) (แต่ไม่ใช่ μ) สามารถถือเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นบนตัวอย่าง ( การกระจายความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ย)

ปริมาณทั้งสองนี้คำนวณในลักษณะเดียวกัน:

X mac = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

ถ้า เอ็กซ์เป็นตัวแปรสุ่ม จากนั้นจึงเป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็กซ์ถือได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าในการวัดปริมาณซ้ำ ๆ เอ็กซ์- นี่คือการแสดงธรรม จำนวนมาก- ดังนั้นจึงใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเพื่อประมาณค่าที่คาดหวังที่ไม่ทราบ

ได้รับการพิสูจน์แล้วในพีชคณิตเบื้องต้นว่าค่าเฉลี่ย n+ 1 หมายเลขสูงกว่าค่าเฉลี่ย nตัวเลขก็ต่อเมื่อตัวเลขใหม่มากกว่าค่าเฉลี่ยเดิม น้อยลงก็ต่อเมื่อตัวเลขใหม่น้อยกว่าค่าเฉลี่ย และไม่เปลี่ยนแปลงหากและต่อเมื่อตัวเลขใหม่เท่ากับค่าเฉลี่ย ยิ่ง nยิ่งความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยใหม่และเก่ายิ่งน้อยลง

โปรดทราบว่ายังมี "ค่าเฉลี่ย" อื่นๆ อีกหลายประการ รวมถึงค่าเฉลี่ยกำลัง ค่าเฉลี่ยโคลโมโกรอฟ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต และค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่างๆ (เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก)

ตัวอย่าง

• สำหรับตัวเลขสามตัว คุณต้องบวกและหารด้วย 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• สำหรับตัวเลขสี่ตัว คุณต้องบวกและหารด้วย 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

หรือง่ายกว่า: 5+5=10, 10:2 เพราะเราบวกเลข 2 ตัว ซึ่งหมายถึงจำนวนที่เราบวก เราจึงหารด้วยจำนวนนั้น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

สำหรับปริมาณที่กระจายอย่างต่อเนื่อง f (x) (\displaystyle f(x)) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในช่วงเวลา [ a ; b ] (\displaystyle ) ถูกกำหนดโดยอินทิกรัลจำกัดเขต:

F (x) Â [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) เอฟ(x)ดีเอ็กซ์)

ปัญหาบางประการในการใช้ค่าเฉลี่ย

ขาดความแข็งแกร่ง

บทความหลัก: ความคงทนในด้านสถิติ

แม้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักใช้เป็นค่าเฉลี่ยหรือแนวโน้มศูนย์กลาง แต่แนวคิดนี้ไม่ใช่สถิติที่ชัดเจน ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก "ค่าเบี่ยงเบนมาก" เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้สูงค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจไม่สอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง "ค่าเฉลี่ย" และค่าของค่าเฉลี่ยจากสถิติที่แข็งแกร่ง (เช่นค่ามัธยฐาน) อาจอธิบายค่ากลางได้ดีกว่า แนวโน้ม

ตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณรายได้เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถตีความผิดว่าเป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งอาจนำไปสู่ข้อสรุปว่ามีคนมีรายได้สูงกว่าที่มีอยู่จริงเป็นจำนวนมาก รายได้ "เฉลี่ย" ตีความว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้ประมาณจำนวนนี้ รายได้ “เฉลี่ย” (ในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) นี้สูงกว่ารายได้ของคนส่วนใหญ่ เนื่องจากรายได้ที่สูงโดยมีส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเบี่ยงเบนไปมาก (ในทางตรงกันข้าม รายได้เฉลี่ยที่ค่ามัธยฐาน “ต่อต้าน” ความเบ้ดังกล่าว) อย่างไรก็ตาม รายได้ "เฉลี่ย" นี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนคนที่ใกล้กับรายได้มัธยฐาน (และไม่พูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนคนที่ใกล้กับรายได้กิริยา) อย่างไรก็ตาม หากคุณพิจารณาแนวคิดเรื่อง “คนทั่วไป” และ “คนส่วนใหญ่” เพียงเล็กน้อย ก็สามารถสรุปผลที่ไม่ถูกต้องได้ว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้สูงกว่าความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น รายงานรายได้สุทธิ "เฉลี่ย" ในเมืองเมดินา รัฐวอชิงตัน ซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้สุทธิต่อปีของผู้พักอาศัย จะให้ผลตอบแทนจำนวนมากอย่างน่าประหลาดใจเนื่องมาจากคำพูดของบิล เกตส์ พิจารณาตัวอย่าง (1, 2, 2, 2, 3, 9) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 3.17 แต่ค่าห้าในหกค่าอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนี้

ดอกเบี้ยทบต้น

บทความหลัก: ผลตอบแทนการลงทุน

ถ้าเป็นตัวเลข คูณ, แต่ไม่ พับคุณต้องใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เหตุการณ์นี้มักเกิดขึ้นเมื่อคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุนในการเงิน

ตัวอย่างเช่น หากหุ้นลดลง 10% ในปีแรกและเพิ่มขึ้น 30% ในปีที่สอง การคำนวณการเพิ่มขึ้น “เฉลี่ย” ในช่วงสองปีนั้นไม่ถูกต้องเนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต (−10% + 30%) / 2 = 10%; ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องในกรณีนี้กำหนดโดยอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น ซึ่งให้อัตราการเติบโตต่อปีเพียงประมาณ 8.16653826392% กลับไปยัง 8.2%

เหตุผลก็คือเปอร์เซ็นต์มีจุดเริ่มต้นใหม่ทุกครั้ง: 30% คือ 30% จากจำนวนที่ต่ำกว่าราคาต้นปีแรก:หากหุ้นเริ่มต้นที่ 30 ดอลลาร์และลดลง 10% จะมีมูลค่า 27 ดอลลาร์ในช่วงต้นปีที่สอง หากหุ้นเพิ่มขึ้น 30% จะมีมูลค่า 35.1 ดอลลาร์ในช่วงสิ้นปีที่สอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเติบโตนี้คือ 10% แต่เนื่องจากหุ้นเพิ่มขึ้นเพียง 5.1 ดอลลาร์ในช่วง 2 ปี การเติบโตเฉลี่ย 8.2% จึงให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 35.1 ดอลลาร์:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1] หากเราใช้ค่าเฉลี่ยในลักษณะเดียวกัน ค่าเลขคณิต 10% เราจะไม่ได้มูลค่าจริง: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]

ดอกเบี้ยทบต้น ณ สิ้นปี 2: 90% * 130% = 117% กล่าวคือ เพิ่มขึ้นทั้งหมด 17% และดอกเบี้ยทบต้นเฉลี่ยต่อปีคือ 117% ความเข้มข้น 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\ประมาณ 108.2\%) กล่าวคือ เพิ่มขึ้นเฉลี่ย 8.2% ต่อปี

ทิศทาง

บทความหลัก: สถิติจุดหมายปลายทาง

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรบางตัวที่เปลี่ยนแปลงเป็นวงจร (เช่น เฟสหรือมุม) จะต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของ 1° และ 359° จะเป็น 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° หมายเลขนี้ไม่ถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ

• ประการแรก การวัดเชิงมุมถูกกำหนดไว้สำหรับช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 360° เท่านั้น (หรือตั้งแต่ 0 ถึง 2π เมื่อวัดเป็นเรเดียน) ดังนั้นตัวเลขคู่เดียวกันสามารถเขียนเป็น (1° และ −1°) หรือเป็น (1° และ 719°) ค่าเฉลี่ยของแต่ละคู่จะแตกต่างกัน: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ วงกลม )) .
• ประการที่สอง ในกรณีนี้ ค่า 0° (เทียบเท่า 360°) จะเป็นค่าเฉลี่ยที่ดีกว่าทางเรขาคณิต เนื่องจากตัวเลขเบี่ยงเบนจาก 0° น้อยกว่าค่าอื่นๆ (ค่า 0° มีความแปรปรวนน้อยที่สุด) เปรียบเทียบ:
  • ตัวเลข 1° เบี่ยงเบนจาก 0° เพียง 1°;
  • ตัวเลข 1° เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้ 180° x 179°

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรไซคลิกที่คำนวณโดยใช้สูตรข้างต้นจะถูกเลื่อนโดยสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยจริงไปตรงกลางของช่วงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ ค่าเฉลี่ยจึงถูกคำนวณด้วยวิธีอื่น กล่าวคือ จำนวนที่มีค่าความแปรปรวนน้อยที่สุด ( จุดศูนย์กลาง- นอกจากนี้ แทนที่จะลบ ระบบจะใช้ระยะห่างแบบโมดูลาร์ (นั่นคือ ระยะห่างเส้นรอบวง) ตัวอย่างเช่น ระยะโมดูลาร์ระหว่าง 1° ถึง 359° คือ 2° ไม่ใช่ 358° (บนวงกลมระหว่าง 359° ถึง 360°==0° - หนึ่งองศา ระหว่าง 0° ถึง 1° - รวม 1° ด้วย - 2 °)

4.3. ค่าเฉลี่ย สาระสำคัญและความหมายของค่าเฉลี่ย

ขนาดเฉลี่ยในสถิติเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงลักษณะระดับทั่วไปของปรากฏการณ์ในเงื่อนไขเฉพาะของสถานที่และเวลา ซึ่งสะท้อนถึงมูลค่าของลักษณะที่แตกต่างกันไปต่อหน่วยของประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ ในทางปฏิบัติทางเศรษฐกิจ มีการใช้ตัวบ่งชี้ที่หลากหลาย โดยคำนวณเป็นค่าเฉลี่ย

เช่น ตัวชี้วัดทั่วไปของรายได้ของคนงาน การร่วมทุน(JSC) คือรายได้เฉลี่ยของคนงาน 1 คน ซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของกองทุนค่าจ้างและการจ่ายเงินทางสังคมสำหรับช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา (ปี ไตรมาส เดือน) ต่อจำนวนคนงานใน JSC

การคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นหนึ่งในเทคนิคทั่วไปทั่วไป ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงสิ่งที่พบบ่อย (ทั่วไป) สำหรับทุกหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา ขณะเดียวกันก็ไม่สนใจความแตกต่างของแต่ละหน่วย ในทุกปรากฏการณ์และการพัฒนาของมันจะมีการรวมกัน อุบัติเหตุและ จำเป็น.เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเนื่องจากการกระทำของกฎจำนวนมาก การสุ่มจะถูกยกเลิกและสมดุล ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสรุปจากลักษณะที่ไม่สำคัญของปรากฏการณ์ จากค่าเชิงปริมาณของลักษณะเฉพาะในแต่ละกรณีเฉพาะ . ความสามารถในการสรุปจากการสุ่มของแต่ละค่า ความผันผวนอยู่ที่มูลค่าทางวิทยาศาสตร์ของค่าเฉลี่ย เช่น การสรุปทั่วไปลักษณะของประชากร

ในกรณีที่จำเป็นต้องมีการวางนัยทั่วไปการคำนวณลักษณะดังกล่าวจะนำไปสู่การแทนที่ค่าคุณลักษณะแต่ละค่าที่แตกต่างกันมากมาย เฉลี่ยตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะของปรากฏการณ์ทั้งชุด ซึ่งทำให้สามารถระบุรูปแบบที่มีอยู่ในปรากฏการณ์ทางสังคมมวลชนที่ไม่สามารถมองเห็นได้ในปรากฏการณ์ส่วนบุคคล

ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงลักษณะเฉพาะ ระดับจริงของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา ระบุลักษณะระดับเหล่านี้และการเปลี่ยนแปลงในเวลาและพื้นที่

ค่าเฉลี่ยเป็นคุณลักษณะโดยสรุปของกฎของกระบวนการในเงื่อนไขที่เกิดขึ้น

4.4. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

การเลือกประเภทค่าเฉลี่ยจะพิจารณาจากเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้และแหล่งข้อมูลที่แน่นอน ในแต่ละกรณีจะใช้ค่าเฉลี่ยค่าใดค่าหนึ่ง: เลขคณิต การ์โมนิค, เรขาคณิต, กำลังสอง, ลูกบาศก์ฯลฯ ค่าเฉลี่ยที่แสดงอยู่ในชั้นเรียน ใจเย็นเฉลี่ย.

นอกจากค่าเฉลี่ยกำลังแล้ว ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้างยังใช้ในทางปฏิบัติทางสถิติอีกด้วย ซึ่งถือเป็นค่าปานกลางและค่ามัธยฐาน

ให้เราดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยพลังงาน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุดคือ เฉลี่ย เลขคณิตใช้ในกรณีที่ปริมาตรของลักษณะที่แตกต่างกันสำหรับประชากรทั้งหมดคือผลรวมของค่าของลักษณะเฉพาะของแต่ละหน่วย ปรากฏการณ์ทางสังคมมีลักษณะเฉพาะจากการบวก (ผลรวม) ของปริมาตรของคุณลักษณะที่แตกต่างกัน สิ่งนี้จะกำหนดขอบเขตของการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและอธิบายความชุกของมันในฐานะตัวบ่งชี้ทั่วไป ตัวอย่างเช่น กองทุนค่าจ้างทั้งหมดคือผลรวมของค่าจ้างของ คนงานทั้งหมด การเก็บเกี่ยวรวมคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตได้จากพื้นที่หว่านทั้งหมด

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณต้องหารผลรวมของค่าคุณลักษณะทั้งหมดด้วยตัวเลข

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกใช้ในรูปแบบ ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักรูปแบบการกำหนดเริ่มต้นคือค่าเฉลี่ยอย่างง่าย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายเท่ากับผลรวมอย่างง่ายของค่าแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะที่ถูกเฉลี่ยหารด้วยจำนวนรวมของค่าเหล่านี้ (ใช้ในกรณีที่มีค่าเฉพาะของลักษณะที่ไม่ได้จัดกลุ่ม):

ที่ไหน
- แต่ละค่าของตัวแปร (ตัวแปร) ม - จำนวนหน่วยในประชากร

นอกจากนี้ ขีดจำกัดการรวมจะไม่ระบุไว้ในสูตร ตัวอย่างเช่น คุณต้องค้นหาผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของคนงาน 1 คน (ช่างเครื่อง) หากคุณรู้ว่าคนงาน 15 คนผลิตชิ้นส่วนได้กี่ชิ้น เช่น มีการระบุค่าคุณลักษณะเฉพาะจำนวนหนึ่งชิ้น:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยใช้สูตร (4.1) 1 ชิ้น:

ค่าเฉลี่ยของตัวเลือกที่ทำซ้ำในจำนวนครั้งที่ต่างกันหรือตามที่พวกเขาบอกว่ามีน้ำหนักต่างกันเรียกว่า ถ่วงน้ำหนักน้ำหนักคือจำนวนหน่วยใน กลุ่มต่างๆมวลรวม (ตัวเลือกที่เหมือนกันจะรวมกันเป็นกลุ่ม)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- ค่าเฉลี่ยของค่าที่จัดกลุ่ม - คำนวณโดยใช้สูตร:

, (4.2)

ที่ไหน
- น้ำหนัก (ความถี่ของการทำซ้ำของสัญญาณที่เหมือนกัน)

- ผลรวมของผลิตภัณฑ์ขนาดของคุณสมบัติและความถี่

- จำนวนหน่วยประชากรทั้งหมด

เราแสดงเทคนิคการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์โดยใช้ตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น ในการทำเช่นนี้ เราจะจัดกลุ่มข้อมูลต้นฉบับและวางไว้ในตาราง 4.1.

ตารางที่ 4.1

กระจายคนงานเพื่อผลิตชิ้นส่วน

ตามสูตร (4.2) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักเท่ากับ ชิ้น:

ในบางกรณี น้ำหนักอาจไม่แสดงเป็นค่าสัมบูรณ์ แต่เป็นค่าสัมพัทธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์หรือเศษส่วนของหน่วย) จากนั้นสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้:

ที่ไหน
- ลักษณะเฉพาะเช่น ส่วนแบ่งของแต่ละความถี่ในผลรวมของทั้งหมด

หากนับความถี่เป็นเศษส่วน (สัมประสิทธิ์) แล้ว
= 1 และสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์มีรูปแบบดังนี้

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม ดำเนินการตามสูตร:

,

ที่ไหน ฉ- จำนวนหน่วยในแต่ละกลุ่ม

ผลการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากค่าเฉลี่ยกลุ่มแสดงไว้ในตาราง 4.2.

ตารางที่ 4.2

การกระจายตัวของคนงานตามระยะเวลาการทำงานโดยเฉลี่ย

ในตัวอย่างนี้ ตัวเลือกไม่ใช่ข้อมูลส่วนบุคคลเกี่ยวกับระยะเวลาการให้บริการของพนักงานแต่ละคน แต่เป็นค่าเฉลี่ยสำหรับเวิร์กช็อปแต่ละแห่ง ราศีตุลย์ ฉคือจำนวนคนงานในร้านค้า ดังนั้น ประสบการณ์การทำงานโดยเฉลี่ยของคนงานทั่วทั้งองค์กรจะเป็นปี:

.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดการแจกแจง

หากมีการระบุค่าของลักษณะที่เป็นค่าเฉลี่ยในรูปแบบของช่วงเวลา ("จาก - ถึง") เช่น อนุกรมช่วงเวลาของการแจกแจงจากนั้นเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาเหล่านี้จะถูกนำมาใช้เป็นค่าของคุณลักษณะในกลุ่มซึ่งส่งผลให้เกิดการก่อตัวของอนุกรมที่ไม่ต่อเนื่อง ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ (ตารางที่ 4.3)

ย้ายจากอนุกรมช่วงเวลาไปเป็นอนุกรมแยกกันโดยแทนที่ค่าช่วงเวลาด้วยค่าเฉลี่ย/(ค่าเฉลี่ยอย่างง่าย

ตารางที่ 4.3

การกระจายตัวของคนงาน JSC ตามระดับค่าจ้างรายเดือน

กลุ่มคนงาน	จำนวนคนงาน	ตรงกลางของช่วงเวลา
ค่าจ้างถู	ประชากร, ฉ	ถู., เอ็กซ์
900 ขึ้นไป

ค่าของช่วงเวลาที่เปิด (ครั้งแรกและสุดท้าย) จะถูกบรรจุตามเงื่อนไขกับช่วงเวลาที่อยู่ติดกัน (วินาทีและสุดท้าย)

ด้วยการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้ อนุญาตให้มีความไม่ถูกต้องบางประการได้ เนื่องจากมีสมมติฐานเกี่ยวกับการกระจายหน่วยของคุณลักษณะภายในกลุ่มที่สม่ำเสมอ อย่างไรก็ตาม ยิ่งช่วงเวลาที่แคบลงและมีหน่วยในช่วงเวลามากขึ้น ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงตามไปด้วย

หลังจากพบจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาแล้ว การคำนวณจะทำในลักษณะเดียวกับในชุดข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่อง - ตัวเลือกจะคูณด้วยความถี่ (น้ำหนัก) และผลรวมของผลิตภัณฑ์หารด้วยผลรวมของความถี่ (น้ำหนัก) , พันรูเบิล:

.

ดังนั้น, ระดับเฉลี่ยค่าตอบแทนสำหรับคนงาน JSC คือ 729 รูเบิล ต่อเดือน.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักต้องใช้เวลาและแรงงานมาก อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี ขั้นตอนการคำนวณค่าเฉลี่ยสามารถลดความซับซ้อนและอำนวยความสะดวกได้หากคุณใช้คุณสมบัติของมัน ให้เรานำเสนอ (โดยไม่ต้องพิสูจน์) คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คุณสมบัติ 1. หากค่าส่วนบุคคลทั้งหมดของคุณลักษณะ (เช่น ตัวเลือกทั้งหมด) ลดหรือเพิ่มขึ้น ฉันเท่า แล้วจึงเท่ากับค่าเฉลี่ย ลักษณะใหม่จะลดลงหรือเพิ่มขึ้นตามลำดับ ฉันครั้งหนึ่ง.

คุณสมบัติ 2. ถ้าตัวแปรทั้งหมดของลักษณะเฉพาะที่ถูกเฉลี่ยลดลงเย็บหรือเพิ่มขึ้นตามหมายเลข A จากนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะสอดคล้องกันจริงๆ แล้วจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นตามเลข A เท่าเดิม

คุณสมบัติ 3. หากน้ำหนักของออปชั่นเฉลี่ยทั้งหมดลดลง หรือเพิ่มขึ้นใน ถึง ครั้งแล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง

เนื่องจากน้ำหนักเฉลี่ย แทนที่จะใช้ตัวบ่งชี้สัมบูรณ์ คุณสามารถใช้น้ำหนักเฉพาะในผลรวมโดยรวมได้ (หุ้นหรือเปอร์เซ็นต์) สิ่งนี้ทำให้การคำนวณค่าเฉลี่ยง่ายขึ้น

เพื่อให้การคำนวณค่าเฉลี่ยง่ายขึ้น ให้ปฏิบัติตามเส้นทางการลดค่าของตัวเลือกและความถี่ การทำให้เข้าใจง่ายที่สุดจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ กค่าของหนึ่งในตัวเลือกกลางซึ่งมีความถี่สูงสุดจะถูกเลือกเป็น / - ค่าของช่วงเวลา (สำหรับชุดข้อมูลที่มีช่วงเวลาที่เท่ากัน) ปริมาณ A เรียกว่าจุดอ้างอิง ดังนั้น วิธีคำนวณค่าเฉลี่ยนี้จึงเรียกว่า “วิธีนับจากศูนย์แบบมีเงื่อนไข” หรือ "ในช่วงเวลานั้น"

สมมติว่าตัวเลือกทั้งหมด เอ็กซ์ตอนแรกลดลงด้วยเลข A เท่าเดิม แล้วลดลงด้วย ฉันครั้งหนึ่ง. เราได้รับซีรีย์การกระจายตัวเลือกใหม่ที่หลากหลาย .

แล้ว ตัวเลือกใหม่จะแสดง:

,

และค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ , -ช่วงเวลาสั่งซื้อครั้งแรก-สูตร:

.

มันเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวเลือกดั้งเดิม ลดลงก่อน เอ,แล้วเข้า ฉันครั้งหนึ่ง.

เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง จำเป็นต้องมีช่วงเวลาลำดับแรก ม 1 , คูณด้วย ฉันและเพิ่ม ตอบ:

.

วิธีการนี้การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากอนุกรมการแปรผันเรียกว่า "ในช่วงเวลานั้น"วิธีนี้ใช้ในแถวในช่วงเวลาเท่ากัน

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้วิธีโมเมนต์แสดงโดยข้อมูลในตาราง 4.4.

ตารางที่ 4.4

การกระจายตัวของวิสาหกิจขนาดเล็กในภูมิภาคตามมูลค่าของสินทรัพย์การผลิตคงที่ (FPF) ในปี พ.ศ. 2543

กลุ่มวิสาหกิจตามมูลค่า OPF พันรูเบิล	จำนวนวิสาหกิจ ฉ	จุดกึ่งกลางของช่วงเวลา x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

ค้นหาช่วงเวลาการสั่งซื้อครั้งแรก

.

แล้วเอา A = 19 มาก็รู้เลย ฉัน= 2 คำนวณ เอ็กซ์,พันรูเบิล:

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

บนเวที การประมวลผลทางสถิติสามารถกำหนดปัญหาการวิจัยได้หลากหลาย สำหรับการแก้ปัญหาจำเป็นต้องเลือกค่าเฉลี่ยที่เหมาะสม ในกรณีนี้ จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้: ปริมาณที่แสดงถึงตัวเศษและส่วนของค่าเฉลี่ยจะต้องสัมพันธ์กันในเชิงตรรกะ

• ค่าเฉลี่ยพลังงาน;
• ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง.

ให้เราแนะนำอนุสัญญาต่อไปนี้:

ปริมาณที่คำนวณค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย โดยที่แถบด้านบนระบุว่ามีค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าเกิดขึ้น

ความถี่ (การทำซ้ำของค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่า)

ค่าเฉลี่ยต่างๆ ได้มาจากสูตรค่าเฉลี่ยกำลังทั่วไป:

(5.1)

เมื่อ k = 1 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต; k = -1 - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก; k = 0 - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต k = -2 - รากกำลังสองเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยอาจเป็นแบบง่ายหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักค่าเหล่านี้เป็นค่าที่พิจารณาว่าค่าแอตทริบิวต์บางค่าอาจมีตัวเลขที่แตกต่างกัน ดังนั้นแต่ละตัวเลือกจึงต้องคูณด้วยตัวเลขนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง “สเกล” คือจำนวนหน่วยรวมในกลุ่มต่างๆ เช่น แต่ละตัวเลือกจะ "ถ่วงน้ำหนัก" ตามความถี่ ความถี่ f เรียกว่า น้ำหนักทางสถิติหรือ น้ำหนักเฉลี่ย.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต- ประเภทค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุด ใช้เมื่อมีการคำนวณข้อมูลทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่มซึ่งคุณต้องได้รับคำเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะ เมื่อได้ปริมาตรรวมของลักษณะเฉพาะในผลรวมแล้วยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( เรียบง่าย) มีรูปแบบ

โดยที่ n คือขนาดประชากร

ตัวอย่างเช่น เงินเดือนโดยเฉลี่ยของพนักงานขององค์กรจะคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตัวชี้วัดที่กำหนดที่นี่คือเงินเดือนของพนักงานแต่ละคนและจำนวนพนักงานขององค์กร เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย จำนวนค่าจ้างทั้งหมดยังคงเท่าเดิม แต่แบ่งเท่าๆ กันระหว่างพนักงานทุกคน ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของคนงานในบริษัทขนาดเล็กที่มีพนักงาน 8 คน:

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยสามารถทำซ้ำแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะที่มีการเฉลี่ยได้ ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงคำนวณโดยใช้ข้อมูลที่จัดกลุ่ม ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการใช้งาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักซึ่งมีรูปแบบ

(5.3)

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องคำนวณราคาเฉลี่ยของหุ้นของบริษัทร่วมทุนในการซื้อขายหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ เป็นที่รู้กันว่าการทำธุรกรรมเกิดขึ้นภายใน 5 วัน (5 รายการ) จำนวนหุ้นที่จำหน่ายในอัตราขายแบ่งดังนี้

1 - 800 อค - 1,010 ถู

2 - 650 อค - 990 ถู

3 - 700 อค - 1,015 ถู

4 - 550 อค - 900 ถู

5 - 850 อค - 1,150 ถู

อัตราส่วนเริ่มต้นในการกำหนดราคาเฉลี่ยของหุ้นคืออัตราส่วนของจำนวนธุรกรรมทั้งหมด (TVA) ต่อจำนวนหุ้นที่ขายได้ (KPA)

5.1. แนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ย

มูลค่าเฉลี่ย -นี่เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงถึงระดับทั่วไปของปรากฏการณ์ เป็นการแสดงมูลค่าของลักษณะเฉพาะต่อหน่วยของประชากร

ค่าเฉลี่ยจะสรุปความแปรผันเชิงปริมาณของคุณลักษณะเสมอ เช่น ในค่าเฉลี่ย ความแตกต่างระหว่างหน่วยในประชากรเนื่องจากสถานการณ์สุ่มจะถูกตัดออก ตรงกันข้ามกับค่าเฉลี่ย ค่าสัมบูรณ์ที่แสดงลักษณะของระดับคุณลักษณะของแต่ละหน่วยของประชากร ไม่อนุญาตให้เปรียบเทียบค่าของคุณลักษณะระหว่างหน่วยที่เป็นของประชากรที่แตกต่างกัน ดังนั้น หากคุณต้องการเปรียบเทียบระดับค่าตอบแทนของคนงานในสององค์กร ก็ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ ลักษณะนี้คนงานสองคนจากบริษัทต่างๆ ค่าตอบแทนของพนักงานที่ได้รับการคัดเลือกเพื่อเปรียบเทียบอาจไม่เป็นเรื่องปกติสำหรับองค์กรเหล่านี้ หากเราเปรียบเทียบขนาดของกองทุนค่าจ้างในสถานประกอบการที่พิจารณา จำนวนพนักงานจะไม่ถูกนำมาพิจารณา ดังนั้นจึงไม่สามารถระบุได้ว่าระดับค่าจ้างจะสูงกว่าที่ใด ท้ายที่สุดแล้ว สามารถเปรียบเทียบได้เฉพาะตัวบ่งชี้เฉลี่ยเท่านั้น เช่น พนักงานหนึ่งคนมีรายได้โดยเฉลี่ยเท่าไรในแต่ละองค์กร? ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของประชากร

การคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นหนึ่งในเทคนิคทั่วไปทั่วไป ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยจะปฏิเสธสิ่งที่พบบ่อย (ทั่วไป) สำหรับทุกหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา ขณะเดียวกันก็ไม่สนใจความแตกต่างของแต่ละหน่วย ในทุกปรากฏการณ์และการพัฒนาของมัน ย่อมมีการผสมผสานระหว่างโอกาสและความจำเป็น เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเนื่องจากการกระทำของกฎจำนวนมาก การสุ่มจะถูกยกเลิกและสมดุล ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสรุปจากลักษณะที่ไม่สำคัญของปรากฏการณ์ จากค่าเชิงปริมาณของลักษณะเฉพาะในแต่ละกรณีเฉพาะ . ความสามารถในการสรุปจากการสุ่มของค่าแต่ละค่าและความผันผวนนั้นเป็นค่าทางวิทยาศาสตร์ของค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของมวลรวม

เพื่อให้ค่าเฉลี่ยสามารถเป็นตัวแทนได้อย่างแท้จริง จะต้องคำนวณโดยคำนึงถึงหลักการบางประการ

มาดูกันบ้างครับ หลักการทั่วไปการประยุกต์ใช้ค่าเฉลี่ย
1. ต้องกำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ
2. ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยความเพียงพอ จำนวนมากหน่วย
3. ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่มีหน่วยอยู่ในสภาพปกติและเป็นธรรมชาติ
4. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยโดยคำนึงถึงเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษาอยู่

5.2. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

ให้เราพิจารณาประเภทของค่าเฉลี่ยคุณลักษณะของการคำนวณและพื้นที่การใช้งาน ค่าเฉลี่ยแบ่งออกเป็นสองคลาสใหญ่: ค่าเฉลี่ยกำลัง, ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

ถึง พลังงานเฉลี่ยซึ่งรวมถึงประเภทที่เป็นที่รู้จักและใช้บ่อยที่สุด เช่น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และค่าเฉลี่ยกำลังสอง

เช่น ค่าเฉลี่ยโครงสร้างพิจารณาโหมดและค่ามัธยฐาน

เรามาเน้นที่ค่าเฉลี่ยพลังงานกัน ค่าเฉลี่ยพลังงาน อาจเป็นแบบธรรมดาหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ขึ้นอยู่กับการนำเสนอข้อมูลต้นฉบับ ค่าเฉลี่ยง่ายๆคำนวณตามข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มและมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้:

โดยที่ X i คือตัวแปร (ค่า) ของคุณลักษณะที่กำลังหาค่าเฉลี่ย

n – ตัวเลือกตัวเลข

ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณตามข้อมูลที่จัดกลุ่มและมีลักษณะทั่วไป

,

โดยที่ X i คือตัวแปร (ค่า) ของคุณลักษณะที่จะหาค่าเฉลี่ยหรือค่าตรงกลางของช่วงเวลาที่ตัวแปรถูกวัด
ม. – ดัชนีระดับเฉลี่ย;
f i คือความถี่ที่แสดงว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้นกี่ครั้ง ฉันมีค่าลักษณะเฉลี่ย

ให้เรายกตัวอย่างการคำนวณอายุเฉลี่ยของนักเรียนในกลุ่ม 20 คน:

เราคำนวณอายุเฉลี่ยโดยใช้สูตรเฉลี่ยอย่างง่าย:

มาจัดกลุ่มแหล่งข้อมูลกัน เราได้รับซีรีย์การจัดจำหน่ายดังต่อไปนี้:

จากการจัดกลุ่มเราได้รับตัวบ่งชี้ใหม่ - ความถี่ซึ่งระบุจำนวนนักเรียนอายุ X ปี ดังนั้นอายุเฉลี่ยของนักเรียนในกลุ่มจะคำนวณโดยใช้สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยกำลังมีเลขชี้กำลัง (m) ค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทต่อไปนี้จะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้:
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ้า m = -1;
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ถ้า m –> 0;
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ้า m = 1;
รากหมายถึงกำลังสองถ้า m = 2;
ลูกบาศก์เฉลี่ยถ้า m = 3

สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยกำลังแสดงอยู่ในตาราง 4.4.

หากคุณคำนวณค่าเฉลี่ยทุกประเภทสำหรับข้อมูลเริ่มต้นเดียวกัน ค่าของมันจะแตกต่างออกไป กฎของค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่จะใช้ที่นี่: เมื่อเลขชี้กำลัง m เพิ่มขึ้น ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน:

ในทางปฏิบัติทางสถิติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกถูกใช้บ่อยกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักประเภทอื่นๆ

ตารางที่ 5.1

ประเภทของอำนาจหมายถึง

ชนิดของพลัง เฉลี่ย	ดัชนี องศา (ม.)	สูตรการคำนวณ
		เรียบง่าย	ถ่วงน้ำหนัก
ฮาร์มอนิก	-1
เรขาคณิต	0
เลขคณิต	1
สมการกำลังสอง	2
คิวบิก	3

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีมากกว่านั้น การออกแบบที่ซับซ้อนกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกใช้สำหรับการคำนวณเมื่อไม่ใช่หน่วยของประชากร - พาหะของลักษณะ - ถูกใช้เป็นน้ำหนัก แต่ใช้ผลคูณของหน่วยเหล่านี้ตามค่าของคุณลักษณะ (เช่น m = Xf) ควรใช้ฮาร์มอนิกธรรมดาโดยเฉลี่ยในกรณีของการกำหนดเช่นต้นทุนแรงงานโดยเฉลี่ยเวลาวัสดุต่อหน่วยการผลิตต่อหนึ่งส่วนสำหรับสอง (สาม, สี่ ฯลฯ ) องค์กรคนงานที่มีส่วนร่วมในการผลิต ของผลิตภัณฑ์ประเภทเดียวกัน, ชิ้นส่วนเดียวกัน, สินค้า.

ข้อกำหนดหลักสำหรับสูตรในการคำนวณค่าเฉลี่ยคือทุกขั้นตอนของการคำนวณมีเหตุผลที่มีความหมายอย่างแท้จริง ค่าเฉลี่ยที่ได้ควรแทนที่แต่ละค่าของคุณลักษณะสำหรับแต่ละวัตถุโดยไม่รบกวนการเชื่อมต่อระหว่างตัวบ่งชี้แต่ละรายการและตัวบ่งชี้สรุป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยจะต้องคำนวณในลักษณะที่เมื่อแต่ละค่าของตัวบ่งชี้เฉลี่ยถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ย ตัวบ่งชี้สรุปสุดท้ายบางตัวที่เชื่อมต่อไม่ทางใดก็ทางหนึ่งด้วยค่าเฉลี่ยจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง รวมนี้เรียกว่า การกำหนดเนื่องจากลักษณะของความสัมพันธ์กับค่าแต่ละค่าจะกำหนดสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย ให้เราสาธิตกฎนี้โดยใช้ตัวอย่างของค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

สูตรค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ใช้บ่อยที่สุดเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยตามไดนามิกสัมพันธ์ของแต่ละบุคคล

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะใช้หากให้ลำดับของไดนามิกสัมพัทธ์ของลูกโซ่ ซึ่งระบุ เช่น การผลิตที่เพิ่มขึ้นเมื่อเทียบกับระดับของปีที่แล้ว: i 1, i 2, i 3,..., i n จะเห็นได้ว่าปริมาณการผลิตใน ปีที่แล้วถูกกำหนดโดยระดับเริ่มต้น (q 0) และการเพิ่มขึ้นในภายหลังในช่วงหลายปีที่ผ่านมา:

q n =q 0 × ผม 1 × ผม 2 ×...×ผม n

การใช้ q n เป็นตัวบ่งชี้การกำหนดและแทนที่ค่าแต่ละค่าของตัวบ่งชี้ไดนามิกด้วยค่าเฉลี่ยเรามาถึงความสัมพันธ์

จากที่นี่

5.3. ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

ในการศึกษาจะใช้ค่าเฉลี่ยประเภทพิเศษ - ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง โครงสร้างภายในชุดการกระจายค่าแอตทริบิวต์ตลอดจนการประมาณค่าเฉลี่ย (ประเภทพลังงาน) หากไม่สามารถคำนวณตามข้อมูลทางสถิติที่มีอยู่ได้ (เช่นหากในตัวอย่างนี้ถือว่าไม่มีข้อมูลทั้งปริมาณ ของการผลิตและปริมาณต้นทุนสำหรับกลุ่มวิสาหกิจ)

ตัวชี้วัดมักใช้เป็นค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง แฟชั่น -ค่าที่ซ้ำกันบ่อยที่สุดของแอตทริบิวต์ – และ ค่ามัธยฐาน –ค่าของคุณลักษณะที่แบ่งลำดับการเรียงลำดับของค่าออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เป็นผลให้ครึ่งหนึ่งของหน่วยในประชากรค่าของคุณลักษณะไม่เกินระดับมัธยฐาน และอีกครึ่งหนึ่งก็ไม่น้อยกว่าค่านั้น

หากคุณลักษณะที่กำลังศึกษามีค่าไม่ต่อเนื่อง ก็ไม่มีปัญหาในการคำนวณโหมดและค่ามัธยฐาน หากข้อมูลเกี่ยวกับค่าของคุณลักษณะ X แสดงในรูปแบบของช่วงเวลาที่เรียงลำดับของการเปลี่ยนแปลง (ชุดช่วง) การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานจะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากค่ามัธยฐานแบ่งประชากรทั้งหมดออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ค่ามัธยฐานจึงสิ้นสุดที่ช่วงใดช่วงหนึ่งของคุณลักษณะ X เมื่อใช้การประมาณค่า ค่ามัธยฐานจึงพบได้ในช่วงค่ามัธยฐานนี้:

,

โดยที่ X Me คือขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน
ฉัน – คุณค่าของมัน;
(ผลรวม m)/2 – ครึ่งหนึ่งของจำนวนการสังเกตทั้งหมดหรือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของตัวบ่งชี้ที่ใช้เป็นการถ่วงน้ำหนักในสูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย (ในแง่สัมบูรณ์หรือเชิงสัมพันธ์)
S Me-1 – ผลรวมของการสังเกต (หรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนัก) ที่สะสมก่อนจุดเริ่มต้นของช่วงค่ามัธยฐาน
m Me – จำนวนการสังเกตหรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนักในช่วงค่ามัธยฐาน (รวมถึงในแง่สัมบูรณ์หรือเงื่อนไขสัมพันธ์ด้วย)

ในตัวอย่างของเราสามารถรับค่ามัธยฐานได้สามค่า โดยขึ้นอยู่กับจำนวนองค์กร ปริมาณการผลิต และต้นทุนการผลิตทั้งหมด:

ดังนั้นในครึ่งหนึ่งขององค์กรต้นทุนต่อหน่วยการผลิตเกิน 125.19 พันรูเบิลครึ่งหนึ่งของปริมาณผลิตภัณฑ์ทั้งหมดผลิตโดยมีต้นทุนต่อผลิตภัณฑ์มากกว่า 124.79 พันรูเบิล และ 50% ของต้นทุนทั้งหมดเกิดขึ้นเมื่อต้นทุนของผลิตภัณฑ์หนึ่งรายการสูงกว่า 125.07 พันรูเบิล โปรดทราบว่ามีแนวโน้มที่จะเพิ่มต้นทุนเนื่องจาก Me 2 = 124.79 พันรูเบิลและระดับเฉลี่ยอยู่ที่ 123.15 พันรูเบิล

เมื่อคำนวณค่าโมดอลของคุณลักษณะตามข้อมูลของอนุกรมช่วงเวลาจำเป็นต้องให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าช่วงเวลานั้นเหมือนกันเนื่องจากตัวบ่งชี้ความสามารถในการทำซ้ำของค่าของคุณลักษณะ X ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ อนุกรมช่วงเวลาที่มีช่วงเวลาเท่ากัน ขนาดของโหมดจะถูกกำหนดเป็น

โดยที่ X Mo คือค่าที่ต่ำกว่าของช่วงโมดอล
m Mo – จำนวนการสังเกตหรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนักในช่วงเวลาโมดอล (ในแง่สัมบูรณ์หรือเชิงสัมพันธ์)
m Mo -1 – เหมือนกันสำหรับช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล
m Mo+1 – เหมือนกันสำหรับช่วงเวลาถัดจากโมดอล
h คือค่าของช่วงการเปลี่ยนแปลงคุณลักษณะในกลุ่ม

สำหรับตัวอย่างของเรา เราสามารถคำนวณค่ากิริยาช่วยได้สามค่าตามลักษณะของจำนวนองค์กร ปริมาณของผลิตภัณฑ์ และจำนวนต้นทุน ในทั้งสามกรณี ช่วงเวลาโมดอลจะเท่ากัน เนื่องจากในช่วงเวลาเดียวกัน จำนวนองค์กร ปริมาณการผลิต และจำนวนต้นทุนการผลิตทั้งหมดจะยิ่งใหญ่ที่สุด:

ดังนั้นส่วนใหญ่มักจะมีองค์กรที่มีระดับต้นทุน 126.75 พันรูเบิลส่วนใหญ่มักผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีระดับต้นทุน 126.69 พันรูเบิลและส่วนใหญ่มักจะอธิบายต้นทุนการผลิตด้วยระดับต้นทุน 123.73 พันรูเบิล

5.4. ตัวชี้วัดการเปลี่ยนแปลง

เงื่อนไขเฉพาะซึ่งแต่ละวัตถุที่ศึกษาตั้งอยู่ตลอดจนคุณลักษณะของการพัฒนาของตนเอง (สังคม เศรษฐกิจ ฯลฯ) จะแสดงด้วยตัวบ่งชี้ทางสถิติในระดับตัวเลขที่สอดคล้องกัน ดังนั้น, การเปลี่ยนแปลง,เหล่านั้น. ความแตกต่างระหว่างระดับของตัวบ่งชี้เดียวกันในวัตถุที่แตกต่างกันนั้นเป็นไปตามธรรมชาติและช่วยให้เข้าใจสาระสำคัญของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา

มีหลายวิธีที่ใช้ในการวัดความแปรผันของสถิติ

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการคำนวณตัวบ่งชี้ ช่วงของการเปลี่ยนแปลง H เป็นความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุด (X สูงสุด) และค่าต่ำสุด (X นาที) ที่สังเกตได้ของคุณลักษณะ:

H=X สูงสุด - X นาที

อย่างไรก็ตาม ช่วงของการแปรผันจะแสดงเฉพาะค่าสุดขีดของลักษณะเท่านั้น ที่นี่ไม่ได้คำนึงถึงความสามารถในการทำซ้ำของค่ากลาง

คุณลักษณะที่เข้มงวดมากขึ้นคือตัวบ่งชี้ความแปรปรวนที่สัมพันธ์กับระดับเฉลี่ยของคุณลักษณะ ตัวบ่งชี้ที่ง่ายที่สุดของประเภทนี้คือ ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย L เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของคุณลักษณะจากระดับเฉลี่ย:

เมื่อค่า X แต่ละค่าสามารถทำซ้ำได้ ให้ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก:

(จำไว้ ผลรวมพีชคณิตการเบี่ยงเบนจากระดับเฉลี่ยเป็นศูนย์)

ตัวบ่งชี้ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือของมัน เช่น องค์ประกอบของคนงาน จังหวะการผลิต ความสม่ำเสมอของการจัดหาวัสดุได้รับการวิเคราะห์ และพัฒนาระบบแรงจูงใจด้านวัสดุ แต่น่าเสียดายที่ตัวบ่งชี้นี้ทำให้การคำนวณความน่าจะเป็นซับซ้อนและทำให้การใช้วิธีสถิติทางคณิตศาสตร์ซับซ้อนขึ้น ดังนั้นในทางสถิติ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ตัวบ่งชี้ที่ใช้บ่อยที่สุดในการวัดความแปรผันคือ ความแตกต่าง

ความแปรปรวนของคุณลักษณะ (s 2) ถูกกำหนดโดยอาศัยค่าเฉลี่ยกำลังสอง:

.

ตัวบ่งชี้ที่เท่ากับเรียกว่า เฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง.

ในทฤษฎีทั่วไปของสถิติ ตัวบ่งชี้การกระจายตัวคือการประมาณของตัวบ่งชี้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในชื่อเดียวกัน และ (เป็นผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสอง) การประมาณการกระจายตัวในสถิติทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้สามารถใช้ข้อกำหนดของสิ่งเหล่านี้ได้ สาขาวิชาทฤษฎีเพื่อการวิเคราะห์กระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคม

หากประเมินความแปรผันจากการสังเกตจำนวนเล็กน้อยจากประชากรไม่จำกัด ค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะจะถูกกำหนดโดยมีข้อผิดพลาดบางประการ ค่าที่คำนวณได้ของการกระจายตัวจะเปลี่ยนไปสู่การลดลง เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่เป็นกลาง ความแปรปรวนตัวอย่างที่ได้รับโดยใช้สูตรที่กำหนดก่อนหน้านี้จะต้องคูณด้วยค่า n / (n - 1) ส่งผลให้มีข้อสังเกตเพียงเล็กน้อย (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

โดยปกติแล้วสำหรับ n > (15-20) ความแตกต่างระหว่างการประมาณค่าแบบเอนเอียงและไม่เอนเอียงจะไม่มีนัยสำคัญ ด้วยเหตุผลเดียวกัน อคติมักไม่นำมาพิจารณาในสูตรการบวกผลต่าง

หากนำตัวอย่างหลายตัวอย่างจากประชากรทั่วไปและแต่ละครั้งที่มีการกำหนดค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ ปัญหาก็จะเกิดขึ้นจากการประเมินความแปรปรวนของค่าเฉลี่ย ประมาณความแปรปรวน ค่าเฉลี่ยเป็นไปได้จากการสังเกตตัวอย่างเพียงครั้งเดียวโดยใช้สูตร

,

โดยที่ n คือขนาดตัวอย่าง s 2 – ความแปรปรวนของคุณลักษณะที่คำนวณจากข้อมูลตัวอย่าง

ขนาด ถูกเรียก ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยและเป็นคุณลักษณะของการเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างของคุณลักษณะ X จากค่าเฉลี่ยที่แท้จริง ตัวบ่งชี้ข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยใช้เพื่อประเมินความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์จากการสังเกตตัวอย่าง

ตัวบ่งชี้การกระจายสัมพัทธ์เพื่อระบุลักษณะการวัดความแปรปรวนของคุณลักษณะที่กำลังศึกษา ตัวบ่งชี้ความแปรปรวนจะถูกคำนวณเป็นค่าสัมพัทธ์ ทำให้สามารถเปรียบเทียบธรรมชาติของการกระจายตัวในการแจกแจงที่แตกต่างกัน (หน่วยการสังเกตที่แตกต่างกันที่มีลักษณะเหมือนกันในสองประชากรด้วย ความหมายที่แตกต่างกันค่าเฉลี่ยเมื่อเปรียบเทียบประชากรที่แตกต่างกัน) การคำนวณตัวชี้วัดของการวัดการกระจายสัมพัทธ์จะดำเนินการเป็นอัตราส่วน ตัวบ่งชี้ที่แน่นอนการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยเลขคณิต คูณด้วย 100%

1. ค่าสัมประสิทธิ์การสั่นสะท้อนถึงความผันผวนสัมพัทธ์ของค่าสุดขีดของลักษณะเฉพาะรอบๆ ค่าเฉลี่ย

.

2. การปิดระบบเชิงเส้นแบบสัมพัทธ์แสดงลักษณะของสัดส่วนของค่าเฉลี่ยของเครื่องหมายของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์จากค่าเฉลี่ย

.

3. ค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลง:

เป็นการวัดความแปรปรวนที่ใช้บ่อยที่สุดเพื่อประเมินลักษณะทั่วไปของค่าเฉลี่ย

ในสถิติ ประชากรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความแปรปรวนมากกว่า 30–35% ถือว่าต่างกัน

วิธีการประเมินความแปรผันนี้มีข้อเสียเปรียบอย่างมากเช่นกัน อันที่จริง ตัวอย่างเช่น ให้ประชากรเดิมของคนงานที่มีประสบการณ์เฉลี่ย 15 ปี โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ s = 10 ปี “มีอายุมากขึ้น” อีก 15 ปี ตอนนี้ = 30 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยังคงเป็น 10 ประชากรต่างกันก่อนหน้านี้ (10/15 × 100 = 66.7%) จึงกลายเป็นเนื้อเดียวกันเมื่อเวลาผ่านไป (10/30 × 100 = 33.3%)

Boyarsky A.Ya. การศึกษาเชิงทฤษฎีทางสถิติ: เสาร์. ทางวิทยาศาสตร์ ทรูดอฟ – ม.: สถิติ, 2517 หน้า 19–57.

ก่อนหน้า