หลังจากได้รับข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกับตัวแปรแล้ว เราก็ไปยังคำถามที่ต้องแก้ไข เราจะวิเคราะห์คำตอบของอสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรเดียวและวิธีการแก้ไขทั้งหมดด้วยอัลกอริธึมและตัวอย่าง จะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวเท่านั้น

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

อสมการเชิงเส้นคืออะไร?

ขั้นแรก คุณต้องกำหนดสมการเชิงเส้นและค้นหารูปแบบมาตรฐานของสมการและจะแตกต่างจากสมการอื่นๆ อย่างไร จากหลักสูตรของโรงเรียนพบว่าไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างความไม่เท่าเทียมกันจึงจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความหลายคำ

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว x คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ a · x + b > 0 เมื่อใช้เครื่องหมายอสมการใดๆ แทน >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

คำจำกัดความ 2

อสมการ a x< c или a · x >c โดยที่ x เป็นตัวแปร และ a และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง เรียกว่า อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว.

เนื่องจากไม่มีการพูดถึงว่าสัมประสิทธิ์สามารถเท่ากับ 0 ได้หรือไม่ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดของรูปแบบ 0 x > c และ 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ความแตกต่างคือ:

• สัญกรณ์ในรูปแบบ a · x + b > 0 ในอันแรก และ a · x > c – ในวินาที;
• การยอมรับค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับศูนย์, ≠ 0 - ในอันแรกและ a = 0 - ในวินาที

เชื่อกันว่าอสมการ a · x + b > 0 และ a · x > c เท่ากัน เนื่องจากได้มาโดยการถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง การแก้ไขอสมการ 0 x + 5 > 0 จะนำไปสู่ความจริงที่ว่าจะต้องแก้ไข และกรณี a = 0 จะไม่ทำงาน

คำจำกัดความ 3

เชื่อกันว่าความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในตัวแปร x ตัวหนึ่งคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ ก x + ข< 0 , a · x + b >0, ก x + ข ≤ 0และ มี x + ข ≥ 0โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง แทนที่จะเป็น x สามารถเป็นตัวเลขปกติได้

ตามกฎแล้ว เรามี 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 เรียกว่า ลดเป็นเชิงเส้นได้

วิธีแก้อสมการเชิงเส้น

วิธีหลักในการแก้ไขอสมการดังกล่าวคือการใช้การแปลงที่เท่ากันเพื่อค้นหาอสมการเบื้องต้น x< p (≤ , >, ≥) , p ซึ่งเป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง สำหรับ ≠ 0 และอยู่ในรูปแบบ a< p (≤ , >, ≥) สำหรับ = 0

ในการแก้ไขอสมการในตัวแปรตัวเดียว คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาหรือแสดงค่าเป็นภาพก็ได้ สามารถใช้แยกกันได้

การใช้การแปลงที่เท่ากัน

เพื่อแก้อสมการเชิงเส้นในรูป a x + b< 0 (≤ , >, ≥) จำเป็นต้องใช้การแปลงอสมการที่เทียบเท่ากัน ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นหรือไม่ใช่ศูนย์ก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองกรณี หากต้องการทราบว่าคุณต้องปฏิบัติตามโครงร่างที่ประกอบด้วย 3 ประเด็น: สาระสำคัญของกระบวนการ อัลกอริทึม และวิธีแก้ปัญหา

คำจำกัดความที่ 4

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น ก x + ข< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0

• หมายเลข b จะถูกย้ายไปที่ ด้านขวาอสมการที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ซึ่งจะทำให้มาถึงจุด x ที่เทียบเท่ากัน< − b (≤ , > , ≥) ;
• อสมการทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยตัวเลขไม่เท่ากับ 0 ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อ a เป็นบวก เครื่องหมายจะยังคงอยู่ เมื่อ a เป็นลบ มันจะเปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม

ลองพิจารณาใบสมัคร ของอัลกอริทึมนี้ในการแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการของรูปแบบ 3 x + 12 ≤ 0

สารละลาย

อสมการเชิงเส้นนี้มี a = 3 และ b = 12 ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ a ของ x ไม่เท่ากับศูนย์ ลองใช้อัลกอริธึมข้างต้นแล้วแก้ไขมัน

มีความจำเป็นต้องย้ายภาคเรียนที่ 12 ไปยังส่วนอื่นของความไม่เท่าเทียมกันและเปลี่ยนป้ายด้านหน้า จากนั้นเราจะได้อสมการในรูปแบบ 3 x ≤ − 12 จำเป็นต้องหารทั้งสองส่วนด้วย 3 เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจาก 3 เป็นจำนวนบวก เราได้สิ่งนั้น (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ซึ่งให้ผลลัพธ์ x ≤ − 4

อสมการของรูปแบบ x ≤ − 4 เทียบเท่ากัน นั่นคือ ผลเฉลยของ 3 x + 12 ≤ 0 คือจำนวนจริงใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 คำตอบเขียนเป็นอสมการ x ≤ − 4 หรือช่วงตัวเลขในรูปแบบ (− ∞, − 4]

อัลกอริธึมทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นเขียนดังนี้:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ - 4 .

คำตอบ: x ≤ − 4 หรือ (− ∞ , − 4 ]

ตัวอย่างที่ 2

ระบุคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดสำหรับอสมการ − 2, 7 · z > 0

สารละลาย

จากเงื่อนไขเราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ a สำหรับ z เท่ากับ - 2.7 และ b ไม่มีอยู่อย่างชัดเจนหรือเท่ากับศูนย์ คุณไม่สามารถใช้ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมได้ แต่ไปยังขั้นตอนที่สองทันที

เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลข - 2, 7 เนื่องจากตัวเลขเป็นลบ จึงจำเป็นต้องกลับเครื่องหมายอสมการ นั่นคือเราได้สิ่งนั้น (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

เราจะเขียนอัลกอริทึมทั้งหมดลงไป แบบสั้น:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

คำตอบ: z< 0 или (− ∞ , 0) .

ตัวอย่างที่ 3

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน - 5 x - 15 22 ≤ 0

สารละลาย

ตามเงื่อนไขเราจะเห็นว่าจำเป็นต้องแก้อสมการด้วยสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x ซึ่งเท่ากับ - 5 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ b ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน - 15 22 จำเป็นต้องแก้ไขอสมการโดยทำตามอัลกอริธึมนั่นคือ: ย้าย - 15 22 ไปยังส่วนอื่นที่มีเครื่องหมายตรงข้ามหารทั้งสองส่วนด้วย - 5 เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการ:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ในช่วงการเปลี่ยนภาพครั้งสุดท้ายทางด้านขวา กฎสำหรับการแบ่งตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะใช้ 15 22: - 5 = - 15 22: 5 หลังจากนั้นเราจะทำการหาร เศษส่วนทั่วไปเป็นจำนวนธรรมชาติ - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

คำตอบ: x ≥ - 3 22 และ [ - 3 22 + ∞)

ลองพิจารณากรณีที่ a = 0 การแสดงออกเชิงเส้นของรูปแบบ a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับการกำหนดแนวทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับค่า x ใด ๆ เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

เราจะพิจารณาการตัดสินทั้งหมดในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

คำจำกัดความที่ 5

อสมการเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 (≤ , >, ≥) เป็นจริง ดังนั้นอสมการดั้งเดิมจะมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าใดๆ ก็ตาม และเป็นเท็จเมื่ออสมการดั้งเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการ 0 x + 7 > 0

สารละลาย

อสมการเชิงเส้นนี้ 0 x + 7 > 0 สามารถรับค่า x ใดๆ ก็ได้ จากนั้นเราจะได้อสมการในรูปแบบ 7 > 0 อสมการสุดท้ายถือเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าจำนวนใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้

คำตอบ: ช่วงเวลา (− ∞ , + ∞)

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาวิธีแก้อสมการ 0 x − 12, 7 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนตัวแปร x ของจำนวนใดๆ เราจะได้ว่าอสมการอยู่ในรูปแบบ − 12, 7 ≥ 0 มันไม่ถูกต้อง. นั่นคือ 0 x − 12, 7 ≥ 0 ไม่มีคำตอบ

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ลองพิจารณาแก้อสมการเชิงเส้นโดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่สามารถแก้ไขได้จาก 0 x + 0 > 0 และ 0 x + 0 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนที่ตัวเลขใดๆ แทน x เราจะได้ค่าอสมการสองรูปแบบคือ 0 > 0 และ 0 ≥ 0 อันแรกไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่า 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด นั่นคือจำนวนใดๆ ก็ได้

คำตอบ: อสมการ 0 x + 0 > 0 ไม่มีทางแก้ แต่ 0 x + 0 ≥ 0 มีคำตอบ

วิธีการนี้พิจารณาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน วิธีช่วงเวลาสามารถแก้ไขได้ ประเภทต่างๆอสมการและเป็นเส้นตรงด้วย

วิธีช่วงเวลาใช้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเมื่อค่าของสัมประสิทธิ์ x ไม่เท่ากับ 0 มิฉะนั้นคุณจะต้องคำนวณโดยใช้วิธีอื่น

คำนิยาม 6

วิธีช่วงเวลาคือ:

• แนะนำฟังก์ชัน y = a · x + b ;
• ค้นหาศูนย์เพื่อแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะ
• คำจำกัดความของสัญญาณสำหรับแนวคิดเกี่ยวกับช่วงเวลา

มาประกอบอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น a x + b กัน< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0 โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

• การหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = a · x + b เพื่อแก้สมการในรูปแบบ a · x + b = 0 ถ้า ≠ 0 แสดงว่าคำตอบจะเป็นรูตเดียวซึ่งจะใช้การกำหนด x 0
• การสร้างเส้นพิกัดด้วยรูปภาพของจุดที่มีพิกัด x 0 โดยมีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด จุดนั้นจะแสดงด้วยจุดที่ถูกเจาะ โดยมีความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด - ด้วยจุดแรเงา
• การกำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน y = a · x + b ในช่วงเวลานั้นจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดในช่วงเวลานั้น
• การแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > หรือ ≥ บนเส้นพิกัด โดยเพิ่มการแรเงาในช่วงเวลาบวก< или ≤ над отрицательным промежутком.

ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้อสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 6

แก้อสมการ − 3 x + 12 > 0

สารละลาย

จากอัลกอริธึมคุณต้องหารากของสมการก่อน - 3 x + 12 = 0 เราได้รับสิ่งนั้น − 3 · x = − 12 , x = 4 จำเป็นต้องวาดเส้นพิกัดที่เราทำเครื่องหมายจุดที่ 4 จะถูกเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมเข้มงวด พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

มีความจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณเป็นระยะ ในการกำหนดช่วงเวลา (− ∞, 4) จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน y = − 3 x + 12 ที่ x = 3 จากตรงนี้เราจะได้ว่า − 3 3 + 12 = 3 > 0 เครื่องหมายบนช่วงเวลาเป็นบวก

เรากำหนดเครื่องหมายจากช่วงเวลา (4, + ∞) จากนั้นแทนที่ค่า x = 5 เรามี − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > และการแรเงาจะดำเนินการในช่วงเวลาที่เป็นบวก พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

จากภาพวาดจะเห็นได้ชัดว่าสารละลายที่ต้องการมีรูปแบบ (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

คำตอบ: (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการแสดงภาพกราฟิก คุณต้องพิจารณาตัวอย่างที่ 4 อสมการเชิงเส้น: 0.5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 และ 0, 5 x − 1 ≥ 0 คำตอบของพวกเขาจะเป็นค่าของ x< 2 , x ≤ 2 , x >2 และ x ≥ 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาพลอตฟังก์ชันเชิงเส้น y = 0, 5 x − 1 ที่แสดงด้านล่าง

มันชัดเจนว่า

คำนิยาม 7

• การแก้อสมการ 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 x − 1 ≤ 0 ถือเป็นช่วงที่ฟังก์ชัน y = 0, 5 x − 1 ต่ำกว่า O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 · x − 1 > 0 ถือเป็นช่วงเวลา ฟังก์ชันจะอยู่เหนือ O x;
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 · x − 1 ≥ 0 ถือเป็นช่วงที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

จุดสำคัญของการแก้ไขอสมการเชิงกราฟิกคือการหาช่วงเวลาที่ต้องแสดงบนกราฟ ในกรณีนี้เราเข้าใจแล้ว ด้านซ้ายมี y = a · x + b และทางขวามี y = 0 และเกิดขึ้นพร้อมกับ O x

กราฟของฟังก์ชัน y = a x + b ถูกพล็อต:

• ขณะแก้อสมการ a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน a · x + b ≤ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่ใต้แกน O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน a · x + b > 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่เหนือ O x;
• เมื่อแก้อสมการ a · x + b ≥ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างที่ 7

แก้อสมการ - 5 · x - 3 > 0 โดยใช้กราฟ

สารละลาย

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น - 5 · x - 3 > 0 เส้นนี้ลดลงเพราะสัมประสิทธิ์ของ x เป็นลบ ในการกำหนดพิกัดของจุดตัดกับ O x - 5 · x - 3 > 0 เราได้รับค่า - 3 5 ลองพรรณนามันแบบกราฟิก

การแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > คุณต้องสนใจช่วงที่อยู่เหนือ O x ให้เราเน้นส่วนที่ต้องการของเครื่องบินด้วยสีแดงแล้วรับสิ่งนั้น

ช่องว่างที่ต้องการคือส่วน O x สีแดง ซึ่งหมายความว่าเลขเรย์เปิด - ∞ , - 3 5 จะเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน หากตามเงื่อนไขแล้ว เรามีอสมการแบบไม่เข้มงวด ค่าของจุด - 3 5 ก็เป็นวิธีแก้อสมการเช่นกัน และมันจะตรงกับ O x

คำตอบ: - ∞ , - 3 5 หรือ x< - 3 5 .

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกจะใช้เมื่อด้านซ้ายสอดคล้องกับฟังก์ชัน y = 0 x + b นั่นคือ y = b จากนั้นเส้นตรงจะขนานกับ O x หรือประจวบกันที่ b = 0 กรณีเหล่านี้แสดงว่าอสมการอาจไม่มีคำตอบ หรือคำตอบอาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดจากอสมการ 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

สารละลาย

การแทนค่า y = 0 x + 7 คือ y = 7 จากนั้นระนาบพิกัดจะมีเส้นขนานกับ O x และอยู่เหนือ O x ได้ 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

กราฟของฟังก์ชัน y = 0 x + 0 ถือเป็น y = 0 นั่นคือเส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับ O x ซึ่งหมายความว่าอสมการ 0 x + 0 ≥ 0 มีวิธีแก้ปัญหามากมาย

คำตอบ: อสมการที่สองมีคำตอบสำหรับค่า x ใดๆ

อสมการที่ลดลงเป็นเส้นตรง

การแก้อสมการสามารถลดลงเป็นการแก้ปัญหาได้ สมการเชิงเส้นซึ่งเรียกว่าอสมการที่ลดลงเป็นเส้นตรง

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรของโรงเรียน เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของการแก้ไขความไม่เท่าเทียม ซึ่งนำไปสู่การเปิดวงเล็บและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาว่า 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x

อสมการที่ให้ไว้ข้างต้นจะถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปของสมการเชิงเส้นเสมอ จากนั้นวงเล็บเหลี่ยมจะเปิดขึ้นและมีการมอบและโอนข้อกำหนดที่คล้ายกันออกไป ส่วนต่างๆโดยเปลี่ยนป้ายไปฝั่งตรงข้าม

เมื่อลดอสมการ 5 − 2 x > 0 ให้เป็นเชิงเส้น เราจะแทนมันในลักษณะที่มีรูปแบบ − 2 x + 5 > 0 และเพื่อลดวินาทีที่สอง เราได้ 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ นำคำที่คล้ายกัน ย้ายคำศัพท์ทั้งหมดไปทางซ้าย และนำคำศัพท์ที่คล้ายกัน ดูเหมือนว่านี้:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

สิ่งนี้นำไปสู่การแก้สมการเชิงเส้น

อสมการเหล่านี้ถือเป็นเชิงเส้น เนื่องจากมีหลักการแก้ปัญหาเดียวกัน หลังจากนั้นจึงสามารถลดอสมการเหล่านี้ให้เป็นอสมการเบื้องต้นได้

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้จำเป็นต้องลดให้เป็นแบบเส้นตรง ควรจะทำเช่นนี้:

คำนิยาม 9

• วงเล็บเปิด
• รวบรวมตัวแปรทางด้านซ้ายและตัวเลขทางด้านขวา
• ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน
• หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ของ x

ตัวอย่างที่ 9

แก้อสมการ 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1

สารละลาย

เราเปิดวงเล็บแล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 หลังจากลดพจน์ที่คล้ายกันแล้ว เราก็จะได้ 6 x + 15 ≤ 6 x − 17 หลังจากย้ายพจน์จากซ้ายไปขวา เราจะพบว่า 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 ดังนั้นจึงมีความไม่เท่ากันของรูปแบบ 32 ≤ 0 จากที่ได้จากการคำนวณ 0 x + 32 ≤ 0 จะเห็นได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดโดยเงื่อนไขไม่มีทางแก้ไขได้

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เป็นที่น่าสังเกตว่ามีความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่น ๆ อีกมากมายที่สามารถลดลงเป็นเชิงเส้นหรือความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่แสดงข้างต้น ตัวอย่างเช่น 5 2 x − 1 ≥ 1 เป็น สมการเลขชี้กำลังซึ่งลดเป็นสารละลายเชิงเส้น 2 x − 1 ≥ 0 กรณีเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หนึ่งในหัวข้อที่ต้องการความสนใจและความอุตสาหะสูงสุดจากนักเรียนคือการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คล้ายกับสมการมาก แต่ในขณะเดียวกันก็แตกต่างไปจากสมการมาก เพราะการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางพิเศษ

คุณสมบัติที่จำเป็นในการหาคำตอบ

ทั้งหมดนี้ใช้เพื่อแทนที่รายการที่มีอยู่ด้วยรายการเทียบเท่า ส่วนใหญ่คล้ายกับที่อยู่ในสมการ แต่ก็มีความแตกต่างเช่นกัน

• คุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันที่กำหนดไว้ใน ODZ หรือตัวเลขใดๆ ลงในทั้งสองด้านของอสมการเดิมได้
• ในทำนองเดียวกัน การคูณก็เป็นไปได้ แต่ต้องใช้ฟังก์ชันหรือจำนวนบวกเท่านั้น
• หากการกระทำนี้ดำเนินการด้วยฟังก์ชันลบหรือตัวเลข จะต้องแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
• ฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบสามารถยกกำลังบวกได้

บางครั้งการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมอาจมาพร้อมกับการกระทำที่ให้คำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง พวกเขาจำเป็นต้องได้รับการยกเว้นโดยการเปรียบเทียบ พื้นที่ ODZและโซลูชั่นมากมาย

ใช้วิธีเว้นช่วง

สาระสำคัญของมันคือการลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นสมการที่มีศูนย์ทางด้านขวา

1. กำหนดพื้นที่ซึ่งค่าที่อนุญาตของตัวแปรซึ่งก็คือ ODZ อยู่
2. แปลงความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ด้านขวามีศูนย์
3. แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วย “=” แล้วแก้สมการที่เกี่ยวข้อง
4. บนแกนตัวเลข ให้ทำเครื่องหมายคำตอบทั้งหมดที่ได้รับระหว่างการเฉลย รวมทั้งช่วง OD ในกรณีที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดจะต้องทำเครื่องหมายจุดให้เจาะ หากมีเครื่องหมายเท่ากันก็ควรทาสีทับ
5. หาเครื่องหมายของฟังก์ชันดั้งเดิมในแต่ละช่วงที่ได้มาจากจุดของ ODZ และคำตอบที่หารมัน หากเครื่องหมายของฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง แสดงว่าเครื่องหมายนั้นรวมอยู่ในคำตอบ มิฉะนั้นจะถูกยกเว้น
6. จุดขอบเขตสำหรับ ODZ จำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบเพิ่มเติม จากนั้นจึงรวมหรือไม่รวมอยู่ในคำตอบเท่านั้น
7. คำตอบที่ได้จะต้องเขียนในรูปของเซตรวม

เล็กน้อยเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

พวกเขาใช้เครื่องหมายอสมการสองอันพร้อมกัน นั่นคือฟังก์ชันบางอย่างถูกจำกัดด้วยเงื่อนไขสองครั้งในคราวเดียว ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้รับการแก้ไขด้วยระบบสองระบบ เมื่อต้นฉบับถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ และในวิธีแบบช่วงจะมีการระบุคำตอบจากการแก้สมการทั้งสอง

เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณสามารถใช้คุณสมบัติที่ระบุไว้ข้างต้นได้เช่นกัน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จะสะดวกในการลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นศูนย์

แล้วอสมการที่มีโมดูลัสล่ะ?

ในกรณีนี้ การแก้อสมการจะใช้คุณสมบัติต่อไปนี้ และใช้ได้กับค่าบวกของ "a"

ถ้า "x" ใช้เวลา การแสดงออกทางพีชคณิตดังนั้นการทดแทนต่อไปนี้จึงถูกต้อง:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > ก ถึง x< -a или х >ก.

หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวดสูตรก็จะถูกต้องเช่นกันเฉพาะในสูตรเท่านั้นที่นอกเหนือจากเครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่า "=" จะปรากฏขึ้น

ระบบความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขอย่างไร?

ความรู้นี้จำเป็นในกรณีที่มอบหมายงานดังกล่าว หรือมีบันทึกของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า หรือมีโมดูลปรากฏในบันทึก ในสถานการณ์เช่นนี้ วิธีแก้ไขจะเป็นค่าของตัวแปรที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดในบันทึก หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าระบบไม่มีวิธีแก้ไข

แผนตามที่ดำเนินการแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

• แก้ปัญหาแต่ละอย่างแยกกัน
• พรรณนาช่วงเวลาทั้งหมดบนแกนตัวเลขและกำหนดจุดตัด
• เขียนคำตอบของระบบซึ่งจะเป็นการรวมกันของสิ่งที่เกิดขึ้นในย่อหน้าที่สอง

จะทำอย่างไรกับความไม่เท่าเทียมกันของเศษส่วน?

เนื่องจากการแก้ปัญหาอาจต้องเปลี่ยนสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน คุณจึงต้องปฏิบัติตามทุกประเด็นของแผนอย่างระมัดระวังและรอบคอบ มิฉะนั้นคุณอาจได้รับคำตอบที่ตรงกันข้าม

การแก้อสมการเศษส่วนยังใช้วิธีช่วงเวลาอีกด้วย และแผนปฏิบัติการจะเป็นดังนี้:

• ใช้คุณสมบัติที่อธิบายไว้ ให้เศษส่วนดังกล่าวมีรูปแบบเหลือเพียงศูนย์ทางด้านขวาของเครื่องหมาย
• แทนที่ความไม่เท่าเทียมกันด้วย “=” และกำหนดจุดที่ฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์
• ทำเครื่องหมายไว้บนแกนพิกัด ในกรณีนี้ ตัวเลขที่ได้รับจากการคำนวณในตัวส่วนจะถูกตัดออกเสมอ อื่นๆ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกัน
• กำหนดช่วงเวลาความคงตัวของเครื่องหมาย
• ในการตอบสนอง ให้เขียนการรวมกันของช่วงเวลาที่มีเครื่องหมายตรงกับความไม่เท่าเทียมกันเริ่มแรก

สถานการณ์ที่ความไร้เหตุผลปรากฏในความไม่เท่าเทียมกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีรากทางคณิตศาสตร์อยู่ในสัญกรณ์ เนื่องจากในโรงเรียนวิชาพีชคณิต ส่วนใหญ่การมอบหมายมีไว้สำหรับสแควร์รูท ดังนั้นนี่คือสิ่งที่จะนำมาพิจารณา

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลนั้นอยู่ที่การได้รับระบบสองหรือสามระบบที่จะเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม

ตัวอย่างการแก้ไขอสมการประเภทต่างๆ

เพื่อที่จะเพิ่มความกระจ่างให้กับทฤษฎีเกี่ยวกับการแก้ไขอสมการ ดังตัวอย่างด้านล่าง

ตัวอย่างแรก. 2x - 4 > 1 + x

วิธีแก้ไข: ในการพิจารณา ADI สิ่งที่คุณต้องทำคือพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอย่างใกล้ชิด มันถูกสร้างขึ้นจาก ฟังก์ชันเชิงเส้นจึงกำหนดให้ทุกค่าของตัวแปร

ตอนนี้คุณต้องลบ (1 + x) จากทั้งสองข้างของอสมการ ปรากฎว่า: 2x - 4 - (1 + x) > 0 หลังจากเปิดวงเล็บและระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้ว ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: x - 5 > 0

เมื่อเท่ากับศูนย์ จึงง่ายต่อการหาคำตอบ: x = 5

ตอนนี้ต้องทำเครื่องหมายจุดนี้ด้วยเลข 5 บนรังสีพิกัด จากนั้นตรวจสอบสัญญาณการทำงานเดิม ในช่วงแรกจากลบอนันต์ถึง 5 คุณสามารถนำเลข 0 มาแทนที่เป็นอสมการที่ได้รับหลังการแปลง หลังจากการคำนวณปรากฎว่า -7 >0 ใต้ส่วนโค้งของช่วงเวลาคุณต้องเซ็นเครื่องหมายลบ

ในช่วงเวลาถัดไปจาก 5 ถึงอนันต์ คุณสามารถเลือกหมายเลข 6 ได้ จากนั้นปรากฎว่า 1 > 0 มีเครื่องหมาย “+” อยู่ใต้ส่วนโค้ง ช่วงที่สองนี้จะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบ: x อยู่ในช่วง (5; ∞)

ตัวอย่างที่สอง จำเป็นต้องแก้ระบบสองสมการ: 3x + 3 ≤ 2x + 1 และ 3x - 2 ≤ 4x + 2

สารละลาย. VA ของอสมการเหล่านี้ยังอยู่ในขอบเขตของตัวเลขใดๆ อีกด้วย เนื่องจากมีการกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นไว้

อสมการที่สองจะอยู่ในรูปของสมการต่อไปนี้: 3x - 2 - 4x - 2 = 0 หลังการแปลง: -x - 4 =0 สิ่งนี้จะสร้างค่าสำหรับตัวแปรเท่ากับ -4

ต้องทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งสองนี้ไว้บนแกนเพื่อแสดงช่วงเวลา เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด จึงจำเป็นต้องแรเงาทุกจุด ช่วงแรกคือจากลบอนันต์ถึง -4 ให้เลือกหมายเลข -5 อสมการแรกจะให้ค่า -3 และอันที่สองคือ 1 ซึ่งหมายความว่าช่วงนี้ไม่รวมอยู่ในคำตอบ

ช่วงที่สองคือจาก -4 ถึง -2 คุณสามารถเลือกหมายเลข -3 และแทนที่เป็นอสมการทั้งสองได้ ตัวแรกและตัวที่สองมีค่าเป็น -1 ซึ่งหมายความว่าใต้ส่วนโค้ง "-"

ในช่วงสุดท้ายจาก -2 ถึงอนันต์ จำนวนที่ดีที่สุดคือศูนย์ คุณต้องแทนที่มันและค้นหาค่าของอสมการ อันแรกให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก และอันที่สองเป็นศูนย์ ช่องว่างนี้จะต้องถูกแยกออกจากคำตอบด้วย

จากทั้งสามช่วง มีเพียงช่วงเดียวเท่านั้นที่แก้อสมการได้

คำตอบ: x เป็นของ [-4; -2].

ตัวอย่างที่สาม |1 - x| > 2 |x - 1|.

สารละลาย. ขั้นตอนแรกคือการกำหนดจุดที่ฟังก์ชันหายไป สำหรับทางซ้ายหมายเลขนี้จะเป็น 2 สำหรับทางขวา - 1 ต้องทำเครื่องหมายไว้บนลำแสงและต้องกำหนดช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณ

ในช่วงแรก จากลบอนันต์ถึง 1 ฟังก์ชันทางด้านซ้ายของอสมการจะใช้ค่าบวก และฟังก์ชันทางด้านขวาจะใช้ค่าลบ ใต้ส่วนโค้งคุณต้องเขียนเครื่องหมายสองตัว "+" และ "-" เคียงข้างกัน

ช่วงถัดไปคือตั้งแต่ 1 ถึง 2 ทั้งสองฟังก์ชันใช้ค่าบวก ซึ่งหมายความว่ามีข้อดีสองประการใต้ส่วนโค้ง

ช่วงที่สามจาก 2 ถึงอนันต์จะให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ฟังก์ชันด้านซ้าย- ลบ, ขวา - บวก

เมื่อคำนึงถึงสัญญาณผลลัพธ์คุณจะต้องคำนวณค่าอสมการสำหรับทุกช่วงเวลา

อันแรกทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2 - x > - 2 (x - 1) ลบก่อนทั้งสองในอสมการที่สองเกิดจากการที่ฟังก์ชันนี้เป็นลบ

หลังจากการแปลงความไม่เท่าเทียมกันจะมีลักษณะดังนี้: x > 0 โดยจะให้ค่าของตัวแปรทันที นั่นคือจากช่วงเวลานี้จะตอบเฉพาะช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 1 เท่านั้น

ในวันที่สอง: 2 - x > 2 (x - 1) การแปลงจะทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: -3x + 4 มากกว่าศูนย์ ศูนย์ของมันจะเป็น x = 4/3 เมื่อคำนึงถึงเครื่องหมายอสมการแล้ว ปรากฎว่า x ต้องน้อยกว่าจำนวนนี้ ซึ่งหมายความว่าช่วงเวลานี้จะลดลงเหลือช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 4/3

อย่างหลังให้ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: - (2 - x) > 2 (x - 1) การเปลี่ยนแปลงนำไปสู่สิ่งต่อไปนี้: -x > 0 นั่นคือ สมการเป็นจริงเมื่อ x น้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลาที่กำหนด ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้ให้วิธีแก้ปัญหา

ในสองช่วงแรก จำนวนขีดจำกัดกลายเป็น 1 จำเป็นต้องตรวจสอบแยกกัน นั่นคือแทนที่มันลงในความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ปรากฎว่า: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. การคำนวณแสดงว่า 1 มากกว่า 0 นี่เป็นข้อความที่เป็นจริง ดังนั้นจึงมีรายการหนึ่งรวมอยู่ในคำตอบ

คำตอบ: x อยู่ในช่วง (0; 4/3)

อสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันอยู่ใต้รูทจะถูกเรียกว่า ไม่มีเหตุผล- ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวมีสองประเภท:

ในกรณีแรกคือรูท ฟังก์ชั่นน้อยลง g (x) ในวินาที - มากกว่า ถ้า ก(x) - คงที่ความไม่เท่าเทียมกันนั้นง่ายขึ้นอย่างมาก โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันภายนอกเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันมาก แต่แผนการแก้ปัญหาต่างกันโดยพื้นฐาน

วันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลประเภทแรกซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้มากที่สุด เครื่องหมายอสมการอาจเป็นแบบเข้มงวดหรือไม่เข้มงวดก็ได้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับพวกเขา:

ทฤษฎีบท. ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผลของแบบฟอร์ม

เทียบเท่ากับระบบอสมการ:

ไม่อ่อนแอเหรอ? มาดูกันว่าระบบนี้มาจากไหน:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - ทุกอย่างชัดเจนที่นี่ นี่คืออสมการดั้งเดิมกำลังสอง
2. f (x) ≥ 0 คือ ODZ ของรูท ฉันขอเตือนคุณ: เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากเท่านั้น ไม่เป็นลบตัวเลข;
3. g(x) ≥ 0 คือพิสัยของรูต ด้วยการยกกำลังสองของความไม่เท่าเทียมกัน เราจะกำจัดสิ่งที่เป็นลบออกไป เป็นผลให้อาจมีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น อสมการ g(x) ≥ 0 จะตัดมันออกไป

นักเรียนหลายคน "จมอยู่กับ" กับความไม่เท่าเทียมกันแรกของระบบ: f (x) ≤ g 2 (x) - และลืมอีกสองคนไปโดยสิ้นเชิง ผลลัพธ์ที่คาดเดาได้: ตัดสินใจผิด, เสียคะแนน

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างซับซ้อน เรามาดู 4 ตัวอย่างพร้อมกันกัน ตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงซับซ้อนจริงๆ ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการสอบเข้าของ Moscow State University เอ็ม.วี. โลโมโนซอฟ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก่อนที่เราจะเป็นคลาสสิก ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผล: ฉ(x) = 2x + 3; g(x) = 2 เป็นค่าคงที่ เรามี:

จากความไม่เท่าเทียมกันทั้งสามประการ มีเพียงสองประการเท่านั้นที่ยังคงอยู่ที่จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา เพราะอสมการ 2 ≥ 0 ยังคงอยู่เสมอ ข้ามความไม่เท่าเทียมกันที่เหลือ:

ดังนั้น x ∈ [−1.5; 0.5]. ทุกจุดแรเงาเพราะว่า ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

เราใช้ทฤษฎีบท:

ลองแก้อสมการแรกกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะเปิดเผยกำลังสองของความแตกต่าง เรามี:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10)

ทีนี้ลองแก้อสมการที่สองกัน ที่นั่นด้วย ตรีโกณมิติกำลังสอง:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)