แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากก็หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น:

จำนวน 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12 ลงตัว;

เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่จำนวนหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (สำหรับ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารของตัวเลข- ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ ก- เป็นจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด กไร้ร่องรอย เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัว คอมโพสิต .

โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12 ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวนี้ กและ ข- คือจำนวนที่ใช้หารตัวเลขที่ให้มาทั้งสองจำนวนโดยไม่มีเศษเหลือ กและ ข.

ทวีคูณทั่วไปตัวเลขหลายตัวคือตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัว ตัวอย่างเช่นตัวเลข 9, 18 และ 45 มีผลคูณร่วมของ 180 แต่ 90 และ 360 ก็เป็นตัวคูณร่วมเช่นกัน ในบรรดาตัวคูณร่วมทั้งหมด จะมีตัวคูณที่เล็กที่สุดเสมอ ในกรณีนี้คือ 90 เรียกว่าหมายเลขนี้ ที่เล็กที่สุดตัวคูณร่วม (CMM).

LCM จะเป็นจำนวนธรรมชาติที่ต้องมากกว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนที่กำหนดไว้เสมอ

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสมบัติ.

การสับเปลี่ยน:

การเชื่อมโยง:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า และ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น:

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มสองตัว มและ nเป็นตัวหารของตัวคูณร่วมอื่นๆ ทั้งหมด มและ n- นอกจากนี้ เซตของตัวคูณร่วม มเกิดขึ้นพร้อมกับเซตทวีคูณของ LCM( ม).

เส้นกำกับสำหรับสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวนบางตัวได้

ดังนั้น, ฟังก์ชันเชบีเชฟ- และ:

ตามมาจากคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชัน Landau กรัม(n).

สิ่งที่ตามมาจากกฎการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ

การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

NOC( ก, ข) สามารถคำนวณได้หลายวิธี:

1. หากทราบตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงกับ LCM ได้:

2. ปล่อยให้การสลายตัวตามบัญญัติของตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

ที่ไหน หน้า 1 ,...,หน้า- จำนวนเฉพาะต่างๆ และ วัน 1 ,...,งและ อี 1 ,...,เช่น เค— จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (สามารถเป็นศูนย์ได้ถ้าจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกันไม่อยู่ในส่วนขยาย)

จากนั้น NOC ( ก,ข) คำนวณโดยสูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การสลายตัวของ LCM ประกอบด้วยปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งรายการ ก, ขและใช้เลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดจากสองตัวคูณของตัวคูณนี้

ตัวอย่าง:

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวสามารถลดลงเป็นการคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับได้หลายรายการ:

กฎ.หากต้องการค้นหา LCM ของชุดตัวเลข คุณต้องมี:

- แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

- โอนการขยายตัวที่ใหญ่ที่สุด (ผลคูณของปัจจัยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ) ไปเป็นปัจจัยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ จำนวนมากจากตัวที่กำหนดให้) แล้วบวกตัวประกอบจากการขยายตัวเลขอื่นที่ไม่ปรากฏเป็นเลขตัวแรกหรือปรากฏน้อยครั้ง

— ผลคูณผลลัพธ์ของตัวประกอบเฉพาะจะเป็น LCM ของตัวเลขที่กำหนด

อย่างใดอย่างหนึ่งตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ตัวเลขธรรมชาติมี NOC ของตัวเอง ถ้าตัวเลขไม่ทวีคูณกันหรือไม่มีตัวประกอบเหมือนกันในการขยาย LCM จะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

ตัวประกอบเฉพาะของหมายเลข 28 (2, 2, 7) จะถูกเสริมด้วยตัวประกอบ 3 (หมายเลข 21) ผลลัพธ์ที่ได้ (84) จะเป็น จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 21 และ 28 ลงตัว.

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากที่สุด 30 จะถูกเสริมด้วยตัวประกอบ 5 ของจำนวน 25 ผลลัพธ์ที่ได้ 150 จะมากกว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุด 30 และหารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งหมดโดยไม่มีเศษเหลือ นี้ สินค้าน้อยที่สุดของค่าที่เป็นไปได้ (150, 250, 300...) ซึ่งตัวเลขที่ระบุทั้งหมดจะเป็นจำนวนทวีคูณ

ตัวเลข 2,3,11,37 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น LCM ของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของตัวเลขที่กำหนด

กฎ- ในการคำนวณ LCM ของจำนวนเฉพาะ คุณต้องคูณตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตัวเลือกอื่น:

หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขหลายตัว คุณต้องมี:

1) แทนแต่ละตัวเลขเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) เขียนกำลังของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) เขียนตัวหารเฉพาะ (ตัวคูณ) ของแต่ละตัวเลขเหล่านี้

4) เลือกระดับที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของแต่ละอันซึ่งพบได้ในการขยายตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด

5) คูณพลังเหล่านี้

ตัวอย่าง- ค้นหา LCM ของตัวเลข: 168, 180 และ 3024

สารละลาย- 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

เราเขียนกำลังที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวหารเฉพาะทั้งหมดแล้วคูณมัน:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120

ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ ก้าวของเด็กชายคือ 75 ซม. และก้าวของเด็กหญิงคือ 60 ซม. จำเป็นต้องหาระยะทางที่น้อยที่สุดที่ทั้งคู่ก้าวเดินเป็นจำนวนเต็ม

สารละลาย.เส้นทางทั้งหมดที่เด็กๆ จะผ่านไปจะต้องหารด้วย 60 และ 70 ลงตัว เนื่องจากพวกเขาแต่ละคนจะต้องเดินเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบต้องเป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง 75 และ 60

ขั้นแรก เราจะเขียนผลคูณทั้งหมดของเลข 75 เราได้:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ทีนี้ลองเขียนตัวเลขที่จะเป็นตัวคูณของ 60 กัน เราได้:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ตอนนี้เราพบตัวเลขที่อยู่ในทั้งสองแถวแล้ว

• ผลคูณร่วมของตัวเลขจะเป็น 300, 600 เป็นต้น

จำนวนที่น้อยที่สุดคือ 300 ในกรณีนี้จะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60

เมื่อกลับไปสู่สภาพของปัญหา ระยะทางที่น้อยที่สุดที่ผู้ชายจะต้องเดินเป็นจำนวนเต็มคือ 300 ซม. เด็กชายจะครอบคลุมเส้นทางนี้ใน 4 ขั้นตอน และเด็กผู้หญิงจะต้องเดิน 5 ก้าว

การหาตัวคูณร่วมน้อย

• ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติสองตัว a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง a และ b

เพื่อที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวนั้น ไม่จำเป็นต้องจดเลขทวีคูณทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ติดกัน

คุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้

วิธีหาตัวคูณร่วมน้อย

ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั้งหมดที่อยู่ในส่วนขยายของตัวเลขแรก (2,2,3,5) แล้วบวกปัจจัยที่ขาดหายไปทั้งหมดจากการขยายตัวเลขที่สอง (5)

ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดของจำนวนเฉพาะ: 2,2,3,5,5 ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้จะเป็นตัวประกอบร่วมที่น้อยที่สุดสำหรับตัวเลขเหล่านี้ 2*2*3*5*5 = 300

รูปแบบทั่วไปสำหรับการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย

• 1. แบ่งตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
• 2. เขียนปัจจัยเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยเหล่านั้น
• 3. เพิ่มปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมดที่อยู่ในการขยายตัวของปัจจัยอื่น ๆ แต่ไม่ใช่ในปัจจัยที่เลือก
• 4. ค้นหาผลคูณของตัวประกอบที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมด

วิธีนี้เป็นสากล สามารถใช้ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติจำนวนเท่าใดก็ได้

คำนิยาม.เรียกจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยการนำจำนวน a และ b มาหารกันโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมาก (GCD)ตัวเลขเหล่านี้

มาหาที่ใหญ่ที่สุดกันเถอะ ตัวหารร่วมหมายเลข 24 และ 35
ตัวหารของ 24 คือตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 และตัวหารของ 35 คือตัวเลข 1, 5, 7, 35
เราจะเห็นว่าตัวเลข 24 และ 35 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือหมายเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า สำคัญซึ่งกันและกัน.

คำนิยาม.เรียกว่าจำนวนธรรมชาติ สำคัญซึ่งกันและกันถ้าตัวหารร่วมมาก (GCD) คือ 1

ตัวหารร่วมมาก (GCD)สามารถพบได้โดยไม่ต้องเขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด

แยกตัวประกอบตัวเลข 48 และ 36 เราจะได้:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
จากปัจจัยต่างๆ ที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวแรก เราจะขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวที่สอง (เช่น สองสอง)
ตัวประกอบที่เหลือคือ 2 * 2 * 3 ผลคูณของพวกมันเท่ากับ 12 จำนวนนี้เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 48 และ 36 นอกจากนี้ยังพบตัวหารร่วมมากของตัวเลขสามตัวขึ้นไปด้วย

การค้นหา ตัวหารร่วมมาก

2) จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขใดจำนวนหนึ่งเหล่านี้ ให้ขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขอื่น
3) ค้นหาผลคูณของปัจจัยที่เหลือ

หากตัวเลขที่ระบุทั้งหมดหารด้วยหนึ่งในนั้นลงตัว แสดงว่าจำนวนนี้คือ ตัวหารร่วมมากตัวเลขที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข 15, 45, 75 และ 180 ก็คือเลข 15 เนื่องจากตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดหารด้วยตัวมันเองได้: 45, 75 และ 180

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)จำนวนธรรมชาติ a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นผลคูณของทั้ง a และ b ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 75 และ 60 สามารถหาได้โดยไม่ต้องจดจำนวนทวีคูณของตัวเลขเหล่านี้ติดกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวประกอบ 75 และ 60 เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 75 = 3 * 5 * 5 และ 60 = 2 * 2 * 3 * 5
ลองเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวแรกและเพิ่มปัจจัยที่หายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวเลขที่สอง (เช่น เรารวมปัจจัยต่างๆ เข้าด้วยกัน)
เราได้ห้าปัจจัย 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ซึ่งผลคูณคือ 300 จำนวนนี้เป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60

นอกจากนี้ยังค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปด้วย

ถึง หาตัวคูณร่วมน้อยคุณต้องการ:
1) แยกปัจจัยเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
3) เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่เหลือ
4) ค้นหาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์

โปรดทราบว่าหากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดได้ จำนวนนี้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 12, 15, 20 และ 60 คือ 60 เพราะหารด้วยตัวเลขเหล่านั้นทั้งหมด

พีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) และนักเรียนของเขาศึกษาคำถามเรื่องการหารตัวเลขลงตัว ตัวเลข, เท่ากับผลรวมพวกเขาเรียกตัวหารทั้งหมด (โดยไม่มีตัวเลขนั้นเอง) ว่าเป็นจำนวนสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) นั้นสมบูรณ์แบบ จำนวนสมบูรณ์ถัดไปคือ 496, 8128, 33,550,336 ชาวพีทาโกรัสรู้เพียงเลขสมบูรณ์สามตัวแรกเท่านั้น ที่สี่ - 8128 - กลายเป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 1 n. จ. ที่ห้า - 33,550,336 - ถูกค้นพบในศตวรรษที่ 15 ภายในปี 1983 ตัวเลขสมบูรณ์ 27 ตัวเป็นที่รู้จักแล้ว แต่นักวิทยาศาสตร์ยังไม่ทราบว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่หรือมีจำนวนสมบูรณ์มากที่สุดหรือไม่
ความสนใจของนักคณิตศาสตร์โบราณในเรื่องจำนวนเฉพาะนั้นเกิดจากการที่จำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนเฉพาะหรือสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ กล่าวคือ จำนวนเฉพาะเป็นเหมือนก้อนอิฐที่ใช้สร้างจำนวนธรรมชาติที่เหลือ
คุณอาจสังเกตเห็นว่าจำนวนเฉพาะในชุดของจำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นไม่เท่ากัน ในบางส่วนของอนุกรมจะมีมากกว่า บางส่วนมีน้อยกว่า แต่ยิ่งเราเลื่อนไปตามชุดตัวเลขมากขึ้นเท่าใด จำนวนเฉพาะที่พบได้น้อยก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น คำถามเกิดขึ้น: มีจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย (ใหญ่ที่สุด) หรือไม่? Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในหนังสือของเขาเรื่อง Elements ซึ่งเป็นตำราคณิตศาสตร์หลักมาเป็นเวลาสองพันปี ได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน กล่าวคือ ด้านหลังจำนวนเฉพาะทุกตัวจะมีจำนวนเฉพาะที่มากกว่านั้นอีก ตัวเลข.
ในการค้นหาจำนวนเฉพาะ เอราทอสเธเนส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอีกคนหนึ่งในยุคเดียวกันได้คิดวิธีนี้ขึ้นมา เขาจดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนใดจำนวนหนึ่ง แล้วขีดฆ่าตัวหนึ่งซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนใดออก หมายเลขประกอบจากนั้นขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่ตามหลัง 2 ออกไป (ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 2 เช่น 4, 6, 8 เป็นต้น) ตัวเลขตัวแรกที่เหลือหลังจาก 2 คือ 3 จากนั้น หลังจากสอง ตัวเลขทั้งหมดที่ตามมาหลัง 3 (ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 3 เช่น 6, 9, 12 เป็นต้น) จะถูกขีดฆ่าออก ท้ายที่สุดแล้วมีเพียงจำนวนเฉพาะเท่านั้นที่ยังคงไม่ถูกข้าม

ทวีคูณทั่วไป

พูดง่ายๆ ก็คือ จำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วยตัวเลขที่กำหนดแต่ละตัวได้คือ หลายรายการทั่วไปให้จำนวนเต็ม

คุณสามารถค้นหาผลคูณร่วมของจำนวนเต็มตั้งแต่สองตัวขึ้นไปได้

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัว: $2$ และ $5$

สารละลาย.

ตามคำนิยาม ตัวคูณร่วมของ $2$ และ $5$ คือ $10$ เพราะว่า มันเป็นผลคูณของตัวเลข $2$ และตัวเลข $5$:

ผลคูณร่วมของตัวเลข $2$ และ $5$ จะเป็นตัวเลข $–10, 20, –20, 30, –30$ เป็นต้น เนื่องจาก ทั้งหมดแบ่งออกเป็นตัวเลข $2$ และ $5$

หมายเหตุ 1

0 คือตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนเท่าใดก็ได้

ตามคุณสมบัติของการหารลงตัว หากจำนวนหนึ่งเป็นตัวคูณร่วมของจำนวนหลายจำนวน จำนวนที่อยู่ตรงข้ามในเครื่องหมายก็จะเป็นตัวคูณร่วมของจำนวนที่กำหนดด้วย ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างที่พิจารณา

สำหรับจำนวนเต็มที่ระบุ คุณสามารถค้นหาตัวคูณร่วมได้เสมอ

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณผลคูณร่วมของ $111$ และ $55$

สารละลาย.

ลองคูณตัวเลขที่กำหนด: $111\div 55=6105$ เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวเลข $6105$ หารด้วยตัวเลข $111$ และตัวเลข $55$ ลงตัว:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111

ดังนั้น $6105$ จึงเป็นพหุคูณร่วมของ $111$ และ $55$

คำตอบ: ผลคูณร่วมของ $111$ และ $55$ คือ $6105$

แต่อย่างที่เราได้เห็นแล้วจากตัวอย่างที่แล้ว ตัวคูณร่วมนี้ไม่ใช่หนึ่ง ตัวคูณร่วมอื่นๆ ได้แก่ $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ เป็นต้น ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

โน้ต 2

จำนวนเต็มชุดใดๆ มีจำนวนตัวคูณร่วมร่วมไม่สิ้นสุด

ในทางปฏิบัติ พวกมันจำกัดอยู่เพียงการค้นหาตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มบวก (ธรรมชาติ) เท่านั้น เพราะว่า เซตของทวีคูณของจำนวนที่กำหนดและตรงข้ามกัน

การหาตัวคูณร่วมน้อย

จากจำนวนทวีคูณทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ถูกใช้บ่อยที่สุด

คำจำกัดความ 2

ตัวคูณร่วมบวกน้อยที่สุดของจำนวนเต็มที่กำหนดคือ ตัวคูณร่วมน้อยตัวเลขเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณ LCM ของตัวเลข $4$ และ $7$

สารละลาย.

เพราะ ตัวเลขเหล่านี้ไม่มีตัวหารร่วม ดังนั้น $LCM(4,7)=28$

คำตอบ: $NOK (4,7)=28$.

ค้นหา NOC ผ่าน GCD

เพราะ มีการเชื่อมต่อระหว่าง LCM และ GCD โดยคุณสามารถคำนวณได้ LCM ของจำนวนเต็มบวกสองตัว:

หมายเหตุ 3

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณ LCM ของตัวเลข $232$ และ $84$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรเพื่อค้นหา LCM ผ่าน GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

มาหา GCD ของตัวเลข $232$ และ $84$ โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cดอท 1+20$,

$64=20\cดอท 3+4$,

เหล่านั้น. $GCD(232, 84)=4$.

มาหา $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

คำตอบ: $NOK (232.84)=$4872.

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณ $LCD(23, 46)$

สารละลาย.

เพราะ $46$ หารด้วย $23$ แล้ว $gcd (23, 46)=23$ มาหา LOC กัน:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

คำตอบ: $NOK (23.46)=$46.

ดังนั้นใครๆ ก็สามารถกำหนดได้ กฎ:

หมายเหตุ 4

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวมีความสัมพันธ์โดยตรงกับตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านั้น นี้ การเชื่อมต่อระหว่าง GCD และ NOCถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

การพิสูจน์.

อนุญาต M เป็นผลคูณของจำนวน a และ b นั่นคือ M หารด้วย a ลงตัว และตามคำจำกัดความของการหารลงตัว จะมีจำนวนเต็ม k บางตัวที่ทำให้ความเท่าเทียมกัน M=a·k เป็นจริง แต่ M ก็หารด้วย b ลงตัวเช่นกัน แล้ว a·k ก็หารด้วย b ลงตัว

ลองแสดงว่า gcd(a, b) เป็น d จากนั้นเราสามารถเขียนค่าเท่ากัน a=a 1 ·d และ b=b 1 ·d และ a 1 =a:d และ b 1 =b:d จะเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก ดังนั้น เงื่อนไขที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าที่ว่า a · k หารด้วย b ลงตัวสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: a 1 · d · k หารด้วย b 1 · d และนี่ เนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัว จึงเทียบเท่ากับเงื่อนไข ว่า a 1 · k หารด้วย b 1 ลงตัว

คุณต้องเขียนข้อพิสูจน์ที่สำคัญสองประการจากทฤษฎีบทที่พิจารณาด้วย

ผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณของตัวคูณร่วมน้อย

เป็นเช่นนี้จริง เนื่องจากตัวคูณร่วมใดๆ ของ M ของ a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M=LMK(a, b)·t สำหรับค่าจำนวนเต็ม t

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน a และ b เท่ากับผลคูณของมัน

เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงข้อนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd(a, b)=1 ดังนั้น GCD(a, b)=ab: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

การค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถลดเป็นการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ วิธีการทำถูกระบุไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ a 1 , a 2 , …, a k ตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k-1 และ a k ดังนั้น จึงตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k และเนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของตัวเลข m k คือตัวเลข m k นั่นเอง ดังนั้นตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดของตัวเลข a 1, a 2, ..., a k ก็คือ m k

บรรณานุกรม.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่นๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: บทช่วยสอนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน