Upang magsulat ng isang rational number m/n sa form decimal, kailangan mong hatiin ang numerator sa denominator. Sa kasong ito, ang quotient ay isinulat bilang isang may hangganan o walang katapusang decimal fraction.

Isulat ang numerong ito bilang isang decimal fraction.

Solusyon. Hatiin ang numerator ng bawat fraction sa isang hanay ng denominator nito: A) hatiin ang 6 sa 25; b) hatiin ang 2 sa 3; V) hatiin ang 1 sa 2, at pagkatapos ay idagdag ang resultang fraction sa isa - ang integer na bahagi ng pinaghalong numerong ito.

Hindi mababawasan mga karaniwang fraction, na ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga pangunahing salik maliban sa 2 At 5 , ay isinulat bilang isang panghuling bahagi ng decimal.

SA halimbawa 1 kailan A) denominator 25=5·5; kailan V) ang denominator ay 2, kaya nakukuha natin ang mga huling decimal na 0.24 at 1.5. Kailan b) ang denominator ay 3, kaya ang resulta ay hindi maaaring isulat bilang isang may hangganang decimal.

Posible ba, nang walang mahabang paghahati, na i-convert sa isang decimal na fraction tulad ng isang ordinaryong fraction, na ang denominator ay hindi naglalaman ng iba pang mga divisors maliban sa 2 at 5? Alamin natin ito! Anong fraction ang tinatawag na decimal at isinusulat nang walang fraction bar? Sagot: fraction na may denominator 10; 100; 1000, atbp. At ang bawat isa sa mga numerong ito ay isang produkto pantay bilang ng dalawa at lima. Sa katunayan: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 atbp.

Dahil dito, ang denominator ng isang hindi mababawasan na ordinaryong fraction ay kailangang katawanin bilang produkto ng "dalawa" at "lima", at pagkatapos ay i-multiply sa 2 at (o) 5 upang ang "dalawa" at "lima" ay maging pantay. Kung gayon ang denominator ng fraction ay magiging katumbas ng 10 o 100 o 1000, atbp. Upang matiyak na ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, i-multiply namin ang numerator ng fraction sa parehong numero kung saan namin pinarami ang denominator.

Ipahayag ang mga sumusunod na karaniwang fraction bilang mga decimal:

Solusyon. Ang bawat isa sa mga fraction na ito ay hindi mababawasan. I-factor natin ang denominator ng bawat fraction sa prime factor.

20=2·2·5. Konklusyon: isang "A" ang nawawala.

8=2·2·2. Konklusyon: tatlong "A" ang nawawala.

25=5·5. Konklusyon: dalawang "dalawa" ang nawawala.

Magkomento. Sa pagsasagawa, kadalasan ay hindi nila ginagamit ang factorization ng denominator, ngunit itanong lamang ang tanong: kung magkano ang dapat na i-multiply ang denominator upang ang resulta ay may mga zero (10 o 100 o 1000, atbp.). At pagkatapos ang numerator ay pinarami ng parehong numero.

Kaya, kung sakali A)(halimbawa 2) mula sa numero 20 maaari kang makakuha ng 100 sa pamamagitan ng pagpaparami ng 5, samakatuwid, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 5.

Kailan b)(halimbawa 2) mula sa numerong 8 ang bilang na 100 ay hindi makukuha, ngunit ang bilang na 1000 ay makukuha sa pamamagitan ng pag-multiply sa 125. Parehong ang numerator (3) at ang denominator (8) ng fraction ay i-multiply sa 125.

Kailan V)(halimbawa 2) mula sa 25 makakakuha ka ng 100 kung i-multiply mo sa 4. Nangangahulugan ito na ang numerator 8 ay dapat na i-multiply sa 4.

Ang isang walang katapusang decimal fraction kung saan ang isa o higit pang mga digit ay palaging umuulit sa parehong pagkakasunud-sunod ay tinatawag pana-panahon bilang isang decimal. Ang hanay ng mga umuulit na digit ay tinatawag na panahon ng fraction na ito. Para sa kaiklian, ang panahon ng isang fraction ay isinusulat nang isang beses, na nakapaloob sa mga panaklong.

Kailan b)(halimbawa 1) mayroon lamang isang umuulit na digit at katumbas ng 6. Samakatuwid, ang aming resulta 0.66... ​​​​ay isusulat nang ganito: 0,(6) . Nabasa nila: zero point, six in period.

Kung mayroong isa o higit pang mga hindi umuulit na digit sa pagitan ng decimal point at ng unang tuldok, ang naturang periodic fraction ay tinatawag na mixed periodic fraction.

Isang irreducible common fraction na ang denominator ay kasama ng iba multiplier ay naglalaman ng multiplier 2 o 5 , nagiging magkakahalo periodic fraction.

Isulat ang mga numero bilang isang decimal fraction:

Ang anumang rational na numero ay maaaring isulat bilang isang walang katapusang periodic decimal fraction.

Isulat ang mga numero bilang isang walang katapusang periodic fraction.

Periodic fraction

isang infinite decimal fraction kung saan, simula sa isang tiyak na punto, mayroon lamang pana-panahong inuulit ang ilang partikular na grupo ng mga digit. Halimbawa, 1.3181818...; Sa madaling salita, ang fraction na ito ay nakasulat nang ganito: 1.3(18), ibig sabihin, inilalagay nila ang tuldok sa mga bracket (at sinasabing: "18 sa tuldok"). P. ay tinatawag na dalisay kung ang tuldok ay nagsisimula kaagad pagkatapos ng decimal point, halimbawa 2(71) = 2.7171..., at halo-halong kung pagkatapos ng decimal point ay may mga numero na nauuna sa tuldok, halimbawa 1.3(18). Ang papel na ginagampanan ng mga decimal fraction sa arithmetic ay dahil sa katotohanan na kapag ang mga rational na numero, iyon ay, ordinaryong (simple) na mga fraction, ay kinakatawan ng mga decimal fraction, alinman sa finite o periodic fraction ay palaging nakuha. Mas tiyak: ang isang pangwakas na decimal fraction ay nakukuha kapag ang denominator ng isang hindi mababawasan na simpleng fraction ay hindi naglalaman ng iba pang prime factor maliban sa 2 at 5; sa lahat ng iba pang mga kaso, ang resulta ay isang P. fraction, at, bukod dito, ito ay dalisay kung ang denominator ng isang ibinigay na hindi mababawasan na fraction ay hindi naglalaman ng mga salik 2 at 5 sa lahat, at halo-halong kung hindi bababa sa isa sa mga salik na ito ay naglalaman sa denominator. Anumang P.D. ay maaaring ma-convert sa simpleng fraction(iyon ay, ito ay katumbas ng ilang rational na numero). Ang isang purong fraction ay katumbas ng isang simpleng fraction, ang numerator nito ay ang tuldok, at ang denominator ay kinakatawan ng numero 9, na isinulat nang maraming beses hangga't mayroong mga numero sa tuldok; Kapag nagko-convert ng mixed fraction sa isang simpleng fraction, ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng numerong kinakatawan ng mga numerong nauuna sa ikalawang tuldok at ang bilang na kinakatawan ng mga numerong nauuna sa unang tuldok; Upang mabuo ang denominator, kailangan mong isulat ang numero 9 nang maraming beses hangga't mayroong mga numero sa tuldok, at magdagdag ng maraming mga zero sa kanan dahil may mga numero bago ang tuldok. Ipinapalagay ng mga panuntunang ito na ang ibinigay na P. ay tama, iyon ay, hindi ito naglalaman ng buong mga yunit; kung hindi, ang buong bahagi ay binibigyan ng espesyal na pagsasaalang-alang.

Ang mga tuntunin para sa pagtukoy ng haba ng panahon ng isang fraction na tumutugma sa isang naibigay na ordinaryong fraction ay kilala rin. Halimbawa, para sa isang fraction a/p, Saan R - prime number at 1 ≤ a ≤ p- 1, ang haba ng panahon ay isang divisor R - 1. Kaya, para sa mga kilalang pagtatantya sa isang numero (tingnan ang Pi) Ang 22/7 at 355/113 na mga panahon ay katumbas ng 6 at 112 ayon sa pagkakabanggit.

Great Soviet Encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .

Mga kasingkahulugan:

Tingnan kung ano ang "Periodic fraction" sa iba pang mga diksyunaryo:

Isang infinite decimal fraction kung saan, simula sa isang partikular na lugar, ang isang partikular na pangkat ng mga digit (panahon) ay pana-panahong inuulit, halimbawa. 0.373737... puro periodic fraction o 0.253737... mixed periodic fraction... Malaking Encyclopedic Dictionary

Maliit na bahagi, walang katapusang fraction Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng Ruso. periodic fraction noun, bilang ng mga kasingkahulugan: 2 infinite fraction (2) ... diksyunaryo ng kasingkahulugan

Isang decimal fraction kung saan ang isang serye ng mga digit ay inuulit sa parehong pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang 0.135135135... ay isang p.d. na ang panahon ay 135 at katumbas ng simpleng fraction na 135/999 = 5/37. Diksyunaryo mga salitang banyaga, kasama sa wikang Ruso. Pavlenkov F... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

Ang decimal ay isang fraction na may denominator na 10n, kung saan n natural na numero. Mayroon itong espesyal na anyo ng notasyon: isang integer na bahagi sa sistemang desimal numero, pagkatapos ay isang kuwit at pagkatapos ay isang fractional na bahagi sa decimal na sistema ng numero, at ang bilang ng mga digit ng fractional na bahagi ... Wikipedia

Isang walang katapusang decimal fraction kung saan, simula sa isang tiyak na punto, ang isang partikular na pangkat ng mga digit (panahon) ay pana-panahong inuulit; halimbawa, 0.373737... puro periodic fraction o 0.253737... mixed periodic fraction. * * * PERIODIC… … encyclopedic Dictionary

Isang walang katapusang decimal fraction kung saan, simula sa isang tiyak na lugar, ang kahulugan ay pana-panahong inuulit. pangkat ng mga digit (panahon); halimbawa, 0.373737... puro P. d. o 0.253737... halong P. d. ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

Tingnan ang bahagi... Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng Ruso at mga katulad na expression. sa ilalim. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. fraction trifle, bahagi; dunst, bola, pagkain, buckshot; isang fractional number Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng Ruso... diksyunaryo ng kasingkahulugan

panaka-nakang decimal- - [L.G. Sumenko. English-Russian na diksyunaryo sa teknolohiya ng impormasyon. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Mga Paksa Teknolohiya ng impormasyon sa pangkalahatan EN nagpapalipat-lipat ng decimal na umuulit na decimalperioding decimalperiodic decimal periodical decimal ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin

Kung ang ilang integer a ay hinati ng isa pang integer b, ibig sabihin, hinahanap ang isang numerong x na nakakatugon sa kundisyon bx = a, kung gayon ang dalawang kaso ay maaaring lumitaw: alinman sa serye ng mga integer ay mayroong isang numerong x na nakakatugon sa kundisyong ito, o ito Kinalabasan ,… … Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus at I.A. Efron

Isang fraction na ang denominator ay isang integer na kapangyarihan ng 10. Ang mga fraction ay isinusulat nang walang denominator, na naghihiwalay ng maraming digit sa numerator sa kanan gamit ang kuwit dahil may mga zero sa denominator. Halimbawa, Sa ganoong talaan, ang bahagi sa kaliwa... ... Great Soviet Encyclopedia

Tandaan kung paano sa pinakaunang aralin tungkol sa mga decimal na sinabi ko na may mga numerical fraction na hindi maaaring katawanin bilang mga decimal (tingnan ang aralin "Mga Desimal")? Natutunan din namin kung paano i-factor ang mga denominator ng mga fraction upang makita kung mayroong anumang mga numero maliban sa 2 at 5.

Kaya: nagsinungaling ako. At ngayon matututunan natin kung paano ganap na isalin ang anuman numerical fraction hanggang decimal. Kasabay nito, makikilala natin ang isang buong klase ng mga fraction na may walang katapusang makabuluhang bahagi.

Ang periodic decimal ay anumang decimal na:

1. Ang makabuluhang bahagi ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga digit;
2. Sa ilang mga agwat, ang mga numero sa makabuluhang bahagi ay inuulit.

Isang hanay ng mga umuulit na numero na bumubuo makabuluhang bahagi, ay tinatawag na periodic na bahagi ng fraction, at ang bilang ng mga digit sa set na ito ay tinatawag na period ng fraction. Ang natitirang bahagi ng makabuluhang bahagi, na hindi nauulit, ay tinatawag na di-pana-panahong bahagi.

Dahil maraming mga kahulugan, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng ilan sa mga fraction na ito nang detalyado:

Ang fraction na ito ay madalas na lumilitaw sa mga problema. Hindi panaka-nakang bahagi: 0; pana-panahong bahagi: 3; haba ng panahon: 1.

Hindi panaka-nakang bahagi: 0.58; pana-panahong bahagi: 3; haba ng panahon: muli 1.

Hindi panaka-nakang bahagi: 1; pana-panahong bahagi: 54; haba ng panahon: 2.

Hindi panaka-nakang bahagi: 0; panaka-nakang bahagi: 641025; haba ng panahon: 6. Para sa kaginhawahan, ang mga paulit-ulit na bahagi ay pinaghihiwalay sa bawat isa ng isang puwang - hindi ito kinakailangan sa solusyon na ito.

Hindi panaka-nakang bahagi: 3066; pana-panahong bahagi: 6; haba ng panahon: 1.

Tulad ng makikita mo, ang kahulugan ng isang periodic fraction ay batay sa konsepto makabuluhang bahagi ng isang numero. Samakatuwid, kung nakalimutan mo kung ano ito, inirerekumenda kong ulitin ito - tingnan ang aralin "".

Transition sa periodic decimal fraction

Isaalang-alang ang isang ordinaryong bahagi ng anyong a /b. I-factorize natin ang denominator nito sa prime factors. Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ang pagpapalawak ay naglalaman lamang ng mga salik 2 at 5. Ang mga fraction na ito ay madaling ma-convert sa mga decimal - tingnan ang aralin na "Mga Desimal". Hindi kami interesado sa gayong mga tao;
2. May iba pa sa pagpapalawak maliban sa 2 at 5. Sa kasong ito, ang fraction ay hindi maaaring katawanin bilang isang decimal, ngunit maaari itong ma-convert sa isang periodic decimal.

Upang tukuyin ang isang periodic decimal fraction, kailangan mong hanapin ang periodic at non-periodic na bahagi nito. Paano? I-convert ang fraction sa hindi tamang fraction, at pagkatapos ay hatiin ang numerator sa denominator gamit ang isang sulok.

Ang mga sumusunod ay mangyayari:

1. Maghihiwalay muna buong bahagi, kung ito ay umiiral;
2. Maaaring may ilang numero pagkatapos ng decimal point;
3. Pagkaraan ng ilang sandali ay magsisimula na ang mga numero ulitin.

Iyon lang! Ang mga umuulit na numero pagkatapos ng decimal point ay tinutukoy ng periodic na bahagi, at ang nasa unahan ay tinutukoy ng non-periodic na bahagi.

Gawain. I-convert ang mga ordinaryong fraction sa periodic decimal:

Ang lahat ng mga fraction na walang integer na bahagi, kaya hinahati lang namin ang numerator sa denominator na may "sulok":

Tulad ng nakikita mo, ang mga natitira ay paulit-ulit. Isulat natin ang fraction sa “tama” na anyo: 1.733 ... = 1.7(3).

Ang resulta ay isang fraction: 0.5833 ... = 0.58(3).

Isinulat namin ito sa normal na anyo: 4.0909 ... = 4,(09).

Nakukuha namin ang fraction: 0.4141 ... = 0.(41).

Transition mula sa periodic decimal fraction tungo sa ordinaryong fraction

Isaalang-alang ang periodic decimal fraction X = abc (a 1 b 1 c 1). Kinakailangang i-convert ito sa isang klasikong "two-story" one. Upang gawin ito, sundin ang apat na simpleng hakbang:

1. Hanapin ang panahon ng fraction, i.e. bilangin kung ilang digit ang nasa periodic part. Hayaang ito ang bilang k;
2. Hanapin ang halaga ng expression na X · 10 k. Katumbas ito ng paglilipat ng decimal point sa kanan sa buong panahon - tingnan ang aralin na "Pagpaparami at paghahati ng mga decimal";
3. Ang orihinal na expression ay dapat ibawas mula sa resultang numero. Sa kasong ito, ang pana-panahong bahagi ay "nasusunog" at nananatili karaniwang fraction;
4. Hanapin ang X sa resultang equation. Kino-convert namin ang lahat ng decimal fraction sa ordinaryong fraction.

Gawain. I-convert ang numero sa isang ordinaryong improper fraction:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Nagtatrabaho kami sa unang bahagi: X = 9,(6) = 9.666 ...

Ang mga panaklong ay naglalaman lamang ng isang digit, kaya ang panahon ay k = 1. Susunod, i-multiply natin ang fraction na ito sa 10 k = 10 1 = 10. Mayroon tayong:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Ibawas ang orihinal na fraction at lutasin ang equation:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Ngayon tingnan natin ang pangalawang bahagi. Kaya X = 32,(39) = 32.393939...

Panahon k = 2, kaya i-multiply ang lahat sa 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Ibawas muli ang orihinal na fraction at lutasin ang equation:

100X − X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Lumipat tayo sa ikatlong bahagi: X = 0.30(5) = 0.30555... Ang diagram ay pareho, kaya ibibigay ko na lang ang mga kalkulasyon:

Panahon k = 1 ⇒ i-multiply ang lahat sa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Sa wakas, ang huling bahagi: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... Muli, para sa kaginhawahan, ang mga pana-panahong bahagi ay pinaghihiwalay sa bawat isa ng mga puwang. Meron kami:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X − X = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Ang operasyon ng dibisyon ay nagsasangkot ng paglahok ng ilang pangunahing bahagi. Ang una sa kanila ay ang tinatawag na dibidendo, iyon ay, isang numero na napapailalim sa pamamaraan ng paghahati. Ang pangalawa ay ang divisor, iyon ay, ang bilang kung saan isinasagawa ang paghahati. Ang pangatlo ay ang quotient, iyon ay, ang resulta ng operasyon ng paghahati ng dibidendo ng divisor.

Resulta ng dibisyon

Ang pinakasimpleng resulta na maaaring makuha kapag gumagamit ng dalawang positive integer bilang dividend at divisor ay isa pang positive integer. Halimbawa, kapag hinahati ang 6 sa 2, ang quotient ay magiging katumbas ng 3. Posible ang sitwasyong ito kung ang dibidendo ay ang divisor, ibig sabihin, ito ay hinati nito nang walang nalalabi.

Gayunpaman, may iba pang mga pagpipilian kapag imposibleng magsagawa ng operasyon ng dibisyon nang walang natitira. Sa kasong ito, ang isang non-integer na numero ay nagiging quotient, na maaaring isulat bilang kumbinasyon ng isang integer at isang fractional na bahagi. Halimbawa, kapag hinahati ang 5 sa 2, ang quotient ay 2.5.

Numero sa panahon

Isa sa mga opsyon na maaaring magresulta kung ang dibidendo ay hindi isang multiple ng divisor ay ang tinatawag na numero sa panahon. Ito ay maaaring lumitaw bilang isang resulta ng paghahati kung ang quotient ay lumabas na isang walang katapusang paulit-ulit na hanay ng mga numero. Halimbawa, maaaring lumitaw ang isang numero sa isang tuldok kapag hinahati ang numero 2 sa 3. Sa sitwasyong ito, ang resulta, bilang isang decimal fraction, ay ipapakita bilang kumbinasyon ng isang walang katapusang bilang ng 6 na numero pagkatapos ng decimal point.

Upang maipahiwatig ang resulta ng naturang dibisyon, ang isang espesyal na paraan ng pagsulat ng mga numero sa isang panahon ay naimbento: ang naturang numero ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng paglalagay ng isang umuulit na digit sa mga bracket. Halimbawa, ang resulta ng paghahati ng 2 sa 3 ay isusulat gamit ang paraang ito bilang 0,(6). Naaangkop din ang notasyong ito kung ang bahagi lamang ng bilang na nagreresulta mula sa paghahati ay umuulit.

Halimbawa, kapag hinahati ang 5 sa 6, ang resulta ay magiging periodic number ng form na 0.8(3). Ang paggamit ng pamamaraang ito, una, ay mas epektibo kumpara sa pagsubok na isulat ang lahat o bahagi ng mga digit ng isang numero sa isang tuldok, at pangalawa, ito ay may higit na katumpakan kumpara sa isa pang paraan ng pagpapadala ng mga naturang numero - rounding, at bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong makilala ang mga numero sa panahon mula sa isang eksaktong decimal fraction na may katumbas na halaga kapag inihahambing ang magnitude ng mga numerong ito. Kaya, halimbawa, malinaw na ang 0.(6) ay higit na malaki kaysa sa 0.6.