Метод інтервалів: вирішення найпростіших суворих нерівностей. Система нерівностей

Представлені основні види нерівностей, включаючи нерівності Бернуллі, Коші – Буняковського, Мінківського, Чебишева. Розглянуто властивості нерівностей та події з них. Дано основні методи вирішення нерівностей.

Формули основних нерівностей

Формули універсальних нерівностей

Універсальні нерівності виконуються за будь-яких значень входять до них величин. Нижче наведено основні види універсальних нерівностей.

1) | a b | ≤ |a| + | b | ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + | a 2 | + ... + | a n |

2) |a| + | b | ≥ | a - b | ≥ | |a| - | b | |

3)
Рівність має місце лише за a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Нерівність Коші – Буняковського

Рівність має місце тоді й тільки тоді, коли a k = b k для всіх k = 1, 2, ..., n і деяких α, β, |α| + |β| >0.

5) Нерівність Мінковськогопри p ≥ 1

Формули здійсненних нерівностей

Виконувані нерівності виконуються при певних значенняхвходять до них величин.

1) Нерівність Бернуллі:
.
У більш загальному вигляді:
,
де , числа одного знака і більше, ніж -1 : .
Лемма Бернуллі:
.
Див. «Докази нерівностей та леми Бернуллі».

2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).

3) Нерівність Чебишева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n і 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n і b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Узагальнені нерівності Чебишева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n і 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n і k натуральному
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n і b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Властивості нерівностей

Властивості нерівностей - це набір тих правил, які виконуються за її перетворення. Нижче представлені властивості нерівностей. Мається на увазі, що вихідні нерівності виконуються при значеннях x i (i = 1, 2, 3, 4), що належать деякому, наперед визначеному інтервалу.

1) При зміні порядку слідування сторін знак нерівності змінюється на протилежний.
Якщо x 1< x 2 , то x 2 >х 1 .
Якщо x 1 ≤ x 2 то x 2 ≥ x 1 .
Якщо x 1 ≥ x 2 то x 2 ≤ x 1 .
Якщо x 1 > x 2 то x 2< x 1 .

2) Одна рівність еквівалентна двом несуворим нерівностям різного знаку.
Якщо x 1 = x 2 , то x 1 ≤ x 2 та x 1 ≥ x 2 .
Якщо x 1 ≤ x 2 і x 1 ≥ x 2 то x 1 = x 2 .

3) Властивість транзитивності
Якщо x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Якщо x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Якщо x 1 ≤ x 2 та x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Якщо x 1 ≤ x 2 і x 2 ≤ x 3 , то x 1 ≤ x 3 .

4) До обох частин нерівності можна додати (відняти) одне й те число.
Якщо x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Якщо x 1 ≤ x 2 то x 1 + A ≤ x 2 + A .
Якщо x 1 ≥ x 2 то x 1 + A ≥ x 2 + A .
Якщо x 1 > x 2 то x 1 + A > x 2 + A .

5) Якщо є дві або більше нерівностей зі знаком одного напрямку, то їх ліві та праві частини можна скласти.
Якщо x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Якщо x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Якщо x 1 ≤ x 2 x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Якщо x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Аналогічні вирази мають місце знаків ≥, >.
Якщо у вихідних нерівностях є знаки не строгих нерівностей і хоча б одна строга нерівність (але всі знаки мають однаковий напрямок), то при складанні виходить сувора нерівність.

6) Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на позитивне число.
Якщо x 1< x 2 и A >0 , то A · x 1< A · x 2 .
Якщо x 1 ≤ x 2 і A > 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Якщо x 1 ≥ x 2 та A > 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Якщо x 1 > x 2 та A > 0 , то A · x 1 > A · x 2 .

7) Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на від'ємне число. У цьому знак нерівності зміниться протилежний.
Якщо x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2 .
Якщо x 1 ≤ x 2 та A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Якщо x 1 ≥ x 2 та A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Якщо x 1 > x 2 та A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Якщо є дві або більше нерівностей із позитивними членами, зі знаком одного напрямку, то їх ліві та праві частини можна помножити одна на одну.
Якщо x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 то x 1 · x 3< x 2 · x 4 .
Якщо x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 то x 1 · x 3< x 2 · x 4 .
Якщо x 1 ≤ x 2 x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 то x 1 · x 3< x 2 · x 4 .
Якщо x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4 .
Аналогічні вирази мають місце знаків ≥, >.
Якщо у вихідних нерівностях є знаки не строгих нерівностей і хоча б одна сувора нерівність (але всі знаки мають однаковий напрямок), то при множенні виходить сувора нерівність.

9) Нехай f(x) - монотонно зростаюча функція. Тобто за будь-яких x 1 > x 2 f (x 1) > f (x 2) .
Якщо x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Тоді до обох частин нерівності можна застосувати цю функцію, від чого знак нерівності не зміниться.
Якщо x 1 ≤ x 2 то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Якщо x 1 ≥ x 2 то f(x 1) ≥ f(x 2) .

Якщо x 1 > x 2 то f(x 1) > f(x 2) .< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Якщо x 1< x 2 , то f(x 1) >10) Нехай f(x) - монотонно спадна функція, Тобто за будь-яких x 1 > x 2 , f(x 1)
f(x 2) .
Якщо x 1 ≤ x 2 то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Якщо x 1 ≥ x 2 то f(x 1) ≤ f(x 2) .< f(x 2) .

Якщо x 1 > x 2 то f(x 1)

Методи вирішення нерівностей

Розв'язання нерівностей методом інтервалів
Метод інтервалів застосуємо, якщо в нерівність входить одна змінна, яку позначимо як x, і вона має вигляд:
f(x) > 0 де f(x) -безперервна функція<, ≤ .

, що має кінцеве число точок розривів Знак нерівності може бути будь-яким: >, ≥,

Метод інтервалів ось у чому.

1) Знаходимо область визначення функції f(x) і відзначаємо її інтервалами на числовій осі.

2) Знаходимо точки розриву функції f(x).
Наприклад, якщо це дріб, то знаходимо точки, в яких знаменник перетворюється на нуль. Зазначаємо ці точки на числовій осі.
3) Вирішуємо рівняння

4) У результаті числова вісь виявиться розбитою точками на інтервали (відрізки). Усередині кожного інтервалу, що входить в область визначення, вибираємо будь-яку точку і в цій точці обчислюємо значення функції. Якщо це значення більше за нуль, то над відрізком (інтервалом) ставимо знак „+“ .

Якщо це значення менше за нуль, то над відрізком (інтервалом) ставимо знак „-“ .
5) Якщо нерівність має вигляд: f(x) > 0, то вибираємо інтервали зі знаком „+“.
Рішенням нерівності буде об'єднання цих інтервалів, до яких не входять їхні межі.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Якщо нерівність має вигляд: f(x) ≥ 0 то до рішення додаємо точки, в яких f(x) = 0 .

Тобто частина інтервалів, можливо, матимуть закриті межі (кордон належить інтервалу). інша частина може мати відкриті межі (кордон не належить до інтервалу).

Аналогічно, якщо нерівність має вигляд: f(x)

Якщо нерівність має вигляд: f(x) ≤ 0 то до рішення додаємо точки, в яких f(x) = 0 .
Вирішення нерівностей, застосовуючи їх властивості

Цей метод застосовується для нерівностей будь-якої складності. Він полягає в тому, щоб, застосовуючи властивості (представлені вище), привести нерівності до більш простого вигляду та отримати рішення. Цілком можливо, що при цьому вийде не одна, а система нерівностей. Це – універсальний метод. Він застосовується для будь-яких нерівностей.

Використана література:

І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги та посидючості, це вирішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при цьому сильно відрізняються від них. Тому що до їхнього вирішення потрібен особливий підхід.
Властивості, які потрібні для знаходження відповіді
Всі вони застосовуються для того, щоб замінити наявний запис рівносильним. Більшість їх схожа на те, що було в рівняннях. Але є й відмінності.
Функцію, визначену в ОДЗ, або будь-яке число можна додати до обох частин вихідної нерівності.

Аналогічним чином можливе множення, але тільки позитивну функцію чи число. Якщо це дію виконується з негативними функцією чи числом, то знак нерівності слід замінити протилежний.Функції, які є невід'ємними, можна зводити на позитивний ступінь.

Іноді вирішення нерівностей супроводжується діями, що дають сторонні відповіді. Їх потрібно виключити, порівнявши

Його суть полягає в тому, щоб звести нерівність до рівняння, в якому в правій частині стоїть нуль.

Визначити область, де лежать допустимі значення змінних, тобто ОДЗ.
Перетворити нерівність з допомогою математичних операцій те щоб його правої частини стояв нуль.
Знак нерівності замінити на "=" і розв'язати відповідне рівняння.
На числовій осі відзначити всі відповіді, які вийшли під час рішення, а також інтервали ОДЗ. При суворій нерівності точки потрібно намалювати виколотими. Якщо є знак рівності, їх потрібно зафарбувати.
Визначити знак вихідної функції на кожному інтервалі, що вийшов з точок ОДЗ і відповідей, що ділять його. Якщо під час переходу через точку знак функції не змінюється, вона входить у відповідь. Інакше виключається.
Граничні для ОДЗ точки потрібно додатково перевірити і потім вмикати чи ні у відповідь.
Відповідь, яку виходить, потрібно записати у вигляді об'єднаних множин.

Трохи про подвійні нерівності

Вони використовують у записі одразу два знаки нерівності. Тобто деяка функція обмежена умовами одразу двічі. Такі нерівності вирішуються, як система із двох, коли вихідне розбито на частини. І методі інтервалів вказуються відповіді рішення обох рівнянь.

Для їх вирішення також можна використовувати властивості, зазначені вище. З їхньою допомогою зручно приводити нерівність до рівності нулю.

Як справи з нерівностями, в яких є модуль?

І тут рішення нерівностей використовує такі властивості, причому вони справедливі для позитивного значення «а».

Якщо «х» приймає алгебраїчний вираз, то справедливі такі заміни:

|х|< a на -a < х < a;
|х| > a на х< -a или х >a.

Якщо нерівності несуворі, то формули теж вірні, тільки в них, крім знака більше або менше, з'являється "=".

Як здійснюється розв'язання системи нерівностей?

Це знання знадобиться у випадках, коли дано таке завдання чи є запис подвійного нерівності чи запису з'явився модуль. У такій ситуації рішенням будуть такі значення змінних, які б задовольняли всім нерівностям, що є в записі. Якщо таких чисел немає, система рішень немає.

План, яким виконується розв'язання системи нерівностей:

вирішити кожне з них окремо;
зобразити на числовій осі всі інтервали та визначити їх перетин;
записати відповідь системи, яка і буде об'єднанням того, що вийшло у другому пункті.

Як бути з дрібними нерівностями?

Оскільки під час їх розв'язання може знадобитися зміна знака нерівності, потрібно дуже ретельно і уважно виконувати всі пункти плану. Інакше може вийти протилежна відповідь.

Вирішення дробових нерівностей теж використовує метод інтервалів. І план дій буде таким:

Використовуючи описані властивості, надати дробу такий вигляд, щоб праворуч від знака залишився лише нуль.
Замінити нерівність на «=» і визначити точки, в яких функція дорівнюватиме нулю.
Відзначити їх на координатній осі. При цьому числа, що вийшли в результаті розрахунків у знаменнику, завжди виколоти. Усі інші — з умови нерівності.
Визначити інтервали знаковості.
У відповідь записати об'єднання тих проміжків, знак яких відповідає тому, що був у вихідній нерівності.

Ситуації, коли у нерівності з'являється ірраціональність

Іншими словами, в записі є математичний корінь. Оскільки у шкільному курсі алгебри більша частиназавдань йде для квадратного кореня, саме він і буде розглянутий.

Рішення ірраціональних нерівностейзводиться до того щоб отримати систему з двох або трьох, які будуть рівносильні вихідному.

Вихідна нерівність	умова	рівносильна система
√ n(х)< m(х)	m(х) менше або дорівнює 0	рішень немає
√ n(х)< m(х)	m(х) більше 0	n(х) більше або дорівнює 0 n(х)< (m(х)) 2
√ n(х) > m(х)		m(х) більше або дорівнює 0 n(х) > (m(х)) 2
√ n(х) > m(х)		n(х) більше або дорівнює 0 m(х) менше 0
√n(х) ≤ m(х)	m(х) менше 0	рішень немає
√n(х) ≤ m(х)	m(х) більше або дорівнює 0	n(х) більше або дорівнює 0 n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(х) ≥ m(х)		m(х) більше або дорівнює 0 n(х) ≥ (m(х)) 2
√n(х) ≥ m(х)		n(х) більше або дорівнює 0 m(х) менше 0
√ n(х)< √ m(х)		n(х) більше або дорівнює 0 n(х) менше m(х)
√n(х) * m(х)< 0		n(х) більше 0 m(х) менше 0
√n(х) * m(х) > 0		n(х) більше 0 m(х) більше 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(х) більше 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(х) дорівнює 0 m(х) -будь-яке
√n(х) * m(х) ≥ 0		n(х) більше 0
√n(х) * m(х) ≥ 0		n(х) дорівнює 0 m(х) -будь-яке

Приклади розв'язання різних видів нерівностей

Для того щоб додати наочності в теорію для розв'язання нерівностей, наведені нижче приклади.

Перший приклад. 2х - 4> 1 + х

Рішення: щоб визначити ОДЗ, досить просто уважно подивитися на нерівність. Воно утворено з лінійних функційтому визначено при всіх значеннях змінної.

Тепер із обох частин нерівності потрібно відняти (1 + х). Виходить: 2х - 4 - (1 + х) > 0. Після того як будуть розкриті дужки і наведені подібні складові нерівність набуде такого вигляду: х - 5 > 0.

Прирівнявши його до нуля, легко знайти його рішення: x = 5.

Тепер цю точку з цифрою 5 потрібно відзначити на координатному промені. Потім перевірити знаки вихідної функції. На першому інтервалі від мінус нескінченності до 5 можна взяти число 0 і підставити його в нерівність, що вийшла після перетворень. Після розрахунків виходить -7> 0. під дугою інтервалу слід підписати знак мінуса.

На наступному інтервалі від 5 до нескінченності можна вибрати число 6. Тоді виходить, що 1 > 0. Під дугою підписано знак +. Цей другий інтервал буде відповіддю нерівності.

Відповідь: x лежить в інтервалі (5; ∞).

Другий приклад. Потрібно вирішити систему двох рівнянь: 3х + 3 ≤ 2х + 1 та 3х - 2 ≤ 4х + 2.

Рішення. ОДЗ цих нерівностей теж лежить у сфері будь-яких чисел, оскільки дано лінійні функції.

Друга нерівність набуде вигляду такого рівняння: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. Після перетворення: -х - 4 =0. З нього виходить значення для змінної, що дорівнює -4.

Ці два числа слід відзначити на осі, зобразивши інтервали. Оскільки нерівність несувора, то всі точки потрібно зафарбувати. Перший інтервал від мінус нескінченності до -4. Нехай буде обрано число -5. Перша нерівність дасть значення -3, а друга 1. Отже, цей проміжок не входить у відповідь.

Другий інтервал від -4 до -2. Можна вибрати число -3 і підставити його в обидві нерівності. У першому та у другому виходить значення -1. Значить, під дугою "-".

На останньому інтервалі від -2 до нескінченності найкращим числом є нуль. Його і слід підставити і знайти значення нерівностей. У першому виходить позитивне число, а другому нуль. Цей проміжок також потрібно виключити з відповіді.

Із трьох інтервалів розв'язанням нерівності є лише один.

Відповідь: x належить [-4; -2].

Третій приклад. |1 - x| > 2 | x - 1 |.

Рішення. Насамперед потрібно визначити точки, в яких функції звертаються до нуля. Для лівого цим числом буде 2, для правого — 1. їх слід зазначити на промені та визначити проміжки знакопостійності.

У першому інтервалі, від мінус нескінченності до 1, функція з лівої частини нерівності приймає позитивні значення, та якщо з правої — негативні. Під дугою потрібно записати поруч два знаки «+» та «-».

Наступний проміжок від 1 до 2. На ньому обидві функції набувають позитивних значень. Значить, під дугою два плюси.

Третій інтервал від 2 до нескінченності дасть такий результат: ліва функція- Від'ємна, права - позитивна.

З урахуванням знаків необхідно обчислити значення нерівності всім проміжків.

У першому виходить така нерівність: 2 - х > - 2 (х - 1). Мінус перед двійкою у другій нерівності вийшов через те, що ця функція є негативною.

Після перетворення нерівність виглядає так: х > 0. Воно відразу дає значення змінної. Тобто із цього інтервалу у відповідь піде лише проміжок від 0 до 1.

На другому: 2 – х > 2 (х – 1). Перетворення дадуть таку нерівність: -3х + 4 більше за нуль. Його нулем буде значення x = 4/3. З урахуванням знака нерівності виходить, що їх має бути менше цього числа. Це інтервал зменшується до проміжку від 1 до 4/3.

Останній дає такий запис нерівності: - (2 – х) > 2 (х – 1). Його перетворення призводить до такого: -х > 0. Тобто рівняння вірно при меншому нуля. Це означає, що на проміжку, що шукається, нерівність не дає рішень.

На перших двох проміжках граничним виявилося число 1. Його потрібно перевірити окремо. Тобто підставити у вихідну нерівність. Виходить: | 2 - 1 | > 2 |1 - 1|. Підрахунок дає що 1 більше 0. Це вірне твердження, тому одиниця входить у відповідь.

Відповідь: x лежить у проміжку (0; 4/3).

Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.

Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.

Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, в яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися і в молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.

Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічних проблем зводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.

Деякі нерівності служать єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести чи спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.

Числові нерівності

Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.

Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.

Визначення.Число а більше числа b, якщо різницю а-bпозитивна. Число а менше числа b якщо різниця а-b негативна.

Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.

Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.

Ви знаєте, що числові рівності можна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.

При вирішенні різних завдань часто доводиться складати або множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.

При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:

Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.

Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто . а не менше b.

Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.

Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і Ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завдань доводиться складати математичну модель у вигляді рівняння або системи рівнянь. Далі ви дізнаєтесь, що математичними моделямина вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є дане число рішенням конкретної нерівності.

Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностями з одним невідомим.

Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.

Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень .Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору чи вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.

Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена (ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Області визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)

З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.

Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:

Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 x 2 ... x n є нулями функції. У кожному з проміжків, куди область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а під час переходу через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа

Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.

Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.

Вирішити нерівність:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, що нулями функції f(x) = x(0,5-x)(x+4) є точки \(x=0, \; x= \frac(1)(2) , \;

Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:

Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.

Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Що потрібно знати про значки нерівностей? Нерівності зі значком більше (> ), або менше (< ) називаються суворими.Зі значками більше або дорівнює (≥ ), менше або дорівнює (≤ ) називаються несуворими.Значок не дорівнює (≠ ) стоїть окремо, але вирішувати приклади з таким значком теж доводиться постійно. І ми вирішуємо.)

Сам значок не має особливого впливу на процес розв'язання. А ось наприкінці рішення, при виборі остаточної відповіді, сенс значка проявляється на повну силу! Що ми побачимо нижче, на прикладах. Є там свої приколи.

Нерівності, як і рівності, бувають вірні та невірні.Тут просто, без фокусів. Скажімо, 5 > 2 - правильна нерівність. 5 < 2 – неправильне.

Така підготовка працює для нерівностей будь-якого видуі проста до жаху.) Потрібно, лише правильно виконувати дві (всього два!) елементарних дії. Ці дії знайомі всім. Але, що характерно, косяки у цих діях - і є основна помилка у вирішенні нерівностей, так... Отже, треба повторити ці дії. Називаються ці дії ось як:

Тотожні перетворення нерівностей.

Тотожні перетворення нерівностей дуже схожі на тотожні перетворення рівнянь. Власне, у цьому є основна проблема. Відмінності проскакують повз голову і... приїхали.) Тому я особливо виокремлю ці відмінності. Отже, перше тотожне перетворення нерівностей:

1. До обох частин нерівності можна додати (відібрати) одне й те саме число, або вираз. Будь-яке. Знак нерівності від цього зміниться.

Насправді це правило застосовується як перенесення членів з лівої частини нерівності в праву (і навпаки) зі зміною знака. Зі зміною знака члена, а не нерівності! Правило один на один збігається із правилом для рівнянь. А ось наступні тотожні перетворення в нерівностях суттєво відрізняється від таких у рівняннях. Тому я виділяю їх червоним кольором:

2. Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на те самепозитивнечисло. на будь-якепозитивне не зміниться.

3. Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на одне й те саменегативнечисло. на будь-якенегативнечисло. Знак нерівності від цьогозміниться на протилежний.

Ви пам'ятаєте (сподіваюся...), що рівняння можна множити/ділити на будь-що. І на будь-яке число, і на вираз із іксом. Аби не на нуль. Йому, рівнянню, від цього ні спекотно, ні холодно. Не змінюється воно. А ось нерівності більш чутливі до множення/поділу.

Наочний приклад довгої пам'яті. Напишемо нерівність, не викликає сумніви:

5 > 2

Помножимо обидві частини на +3, отримаємо:

15 > 6

Заперечення є? Заперечень немає.) А якщо помножимо обидві частини вихідної нерівності на -3, отримаємо:

15 > -6

А це вже відверта брехня.) Повна брехня! Обман народу! Але варто змінити знак нерівності на протилежний, як усе стає на свої місця:

15 < -6

Про брехню і обман - це я не просто так лаюся.) "Забув змінити знак нерівності..."- це головнапомилка у вирішенні нерівностей. Це дріб'язкове і нескладне правило стільки людей забило! Які забули...) Ось і лаюся. Може, запам'ятається...)

Особливо уважні зауважать, що нерівність не можна множити на вираз з іксом. Респект уважний!) А чому не можна? Відповідь проста. Ми ж не знаємо знак цього виразу з іксом. Воно може бути позитивним, негативним... Отже, ми не знаємо, який знак нерівності ставити після множення. Міняти його, чи ні? Невідомо. Зрозуміло, це обмеження (заборона множення/поділу нерівності на вираз з іксом) можна обійти. Якщо треба буде дуже. Але це тема інших уроків.

Ось і всі тотожні перетворення нерівностей. Ще раз нагадаю, що вони працюють для будь-якихнерівностей. А тепер можна переходити до конкретних видів.

Лінійні нерівності. Рішення, приклади.

Лінійними нерівностями називаються нерівності, в яких ікс знаходиться в першому ступені і немає поділу на ікс. Типу:

х+3 > 5х-5

Як вирішуються такі нерівності? Вони наважуються дуже просто! А саме: за допомогою зводимо саму заморочену лінійну нерівність прямо до відповіді.Ось і все рішення. Головні моменти рішення я виділятиму. Щоб уникнути безглуздих помилок.)

Вирішуємо цю нерівність:

х+3 > 5х-5

Вирішуємо так само, як і лінійне рівняння. З єдиною відмінністю:

Уважно стежимо за знаком нерівності!

Перший крок звичайнісінький. З іксами - вліво, без іксів - вправо... Це перше тотожне перетворення, просте і безвідмовне.) Тільки знаки у членів, що переносяться, не забуваємо міняти.

Знак нерівності зберігається:

х-5х > -5-3

Наводимо такі.

Знак нерівності зберігається:

4х > -8

Залишилося застосувати останнє тотожне перетворення: розділити обидві частини на -4.

Ділимо на негативнечисло.

Знак нерівності зміниться на протилежний:

х < 2

Це відповідь.

Так вирішуються всі лінійні нерівності.

Увага! Крапка 2 малюється білою, тобто. незафарбовані. Порожній всередині. Це означає, що вона у відповідь не входить! Я її спеціально такою здоровою намалював. Така точка (порожня, а не здорова!) у математиці називається виколотий точкою.

Інші числа на осі відзначати можна, але не потрібно. Сторонні числа, які не належать до нашої нерівності, можуть і заплутати, так... Треба пам'ятати, збільшення чисел йде за стрілкою, тобто. числа 3, 4, 5 і т.д. знаходяться правішедвійки, а числа 1, 0, -1 тощо. - ліворуч.

Нерівність х < 2 - Суворе. Ікс строго менше двох. Якщо виникають сумніви, перевірка є простою. Підставляємо сумнівне число в нерівність і розмірковуємо: "Два менше двох? Ні, звичайно!" Саме так. Нерівність 2 < 2 неправильне.Не годиться двійка у відповідь.

А одиниця годиться? Звичайно. Менше ж ... І нуль годиться, і -17, і 0,34 ... Та всі числа, які менше двох - годяться! І навіть 1,9999.... Хоч трохи, та менше!

Ось і відзначимо всі ці числа на числовій осі. Як? Тут бувають варіанти. Варіант перший – штрихування. Наводимо мишку на малюнок (або торкаємося картинки на планшеті) і бачимо, що заштрихована область всіх іксів, що підходять під умову х < 2 . От і все.

Другий варіант розглянемо на другому прикладі:

х ≥ -0,5

Малюємо вісь, відзначаємо число -0,5. Ось так:

Помітили різницю?) Ну так, важко не помітити... Ця точка – чорна! Зафарбовані. Це означає, що -0,5 входить у відповідь.Тут, до речі, перевірка та збентежити може когось. Підставляємо:

-0,5 ≥ -0,5

Як так? -0,5 не більше -0,5! А значок є...

Нічого страшного. У суворій нерівності годиться все, що підходить під значок. І одногодиться, і більшегодиться. Отже, -0,5 у відповідь включається.

Отже, -0,5 ми відзначили на осі, залишилося відзначити всі числа, які більше -0,5. На цей раз я відзначаю область відповідних значень ікса дужкою(від слова дуга), а не штрихуванням. Наводимо курсор на малюнок і бачимо цю дужку.

Особливої різниці між штрихуванням та дужками немає. Робіть, як учитель сказав. Якщо вчителя немає – малюйте дужки. У складніших завданнях штрихування менш наочна. Заплутатися можна.

Ось так малюються лінійні нерівності на осі. Переходимо до наступної особливості нерівностей.

Запис відповіді для нерівностей.

В рівняннях було добре.) Знайшли ікс та й записали відповідь, наприклад: х=3. У нерівностях є дві форми запису відповідей. Одна – у вигляді остаточної нерівності. Хороша для найпростіших випадків. Наприклад:

х< 2.

Це повноцінна відповідь.

Іноді потрібно записати те саме, але в іншій формі, через числові проміжки. Тоді запис починає виглядати дуже науково):

х ∈ (-∞; 2)

Під значком ∈ ховається слово "належить".

Читається запис так: ікс належить проміжку від мінус нескінченності до двох не включаючи. Цілком логічно. Ікс може бути будь-яким числом із усіх можливих чисел від мінус нескінченності до двох. Двійкою ікс бути не може, про що нам і каже слово "не включаючи".

А де це у відповіді видно, що "не включаючи"? Цей факт наголошується у відповіді круглийдужкою відразу після двійки. Якби двійка вмикалася, дужка була б квадратний.Ось такий: ]. У такому прикладі така дужка використовується.

Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи,до плюс нескінченності.

Нескінченність не може включатися ніколи. Не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.

Така форма запису зручна для складних відповідей, які з кількох проміжків. Але – саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму у вигляді простої нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Поняття математичної нерівності виникло в давнину. Це сталося тоді, коли у первісної людини з'явилася потреба при рахунку та діях з різними предметами порівнювати їх кількість та величину. Починаючи з античних часів нерівностями користувалися у своїх міркуваннях Архімед, Евклід та інші уславлені діячі науки: математики, астрономи, конструктори та філософи.

Але вони зазвичай застосовували у своїх роботах словесну термінологію. Вперше сучасні знаки для позначення понять «більше» і «менше» у тому вигляді, як їх сьогодні знає кожен школяр, придумали і застосували на практиці в Англії. Надав таку послугу нащадкам математик Томас Гарріот. А сталося це близько чотирьох століть тому.

Відомо безліч видів нерівностей. Серед них прості, що містять одну, дві і більше змінних, квадратні, дробові, складні співвідношення і навіть представлені системою виразів. А зрозуміти, як вирішувати нерівності, найкраще на різних прикладах.

Чи не запізнитися на поїзд

Для початку уявімо, що мешканець сільської місцевості поспішає на залізничну станцію, яка знаходиться на відстані 20 км від його села. Щоб не спізнитися на поїзд, що відходить об 11 годині, він має вчасно вийти з дому. О котрій годині це необхідно зробити, якщо швидкість його руху становить 5 км/год? Рішення цієї практичного завданнязводиться до виконання умов вираження: 5 (11 - Х) ≥ 20 де Х - час відправлення.

Це зрозуміло, адже відстань, яку необхідно подолати селянинові до станції, дорівнює швидкості руху, помноженої на кількість годин у дорозі. Прийти раніше людина може, але от запізнитись їй ніяк не можна. Знаючи, як вирішувати нерівності, і застосувавши свої вміння на практиці, в результаті отримаємо Х ≤ 7, що є відповіддю. Це означає, що селянину слід вирушити на залізничну станцію о сьомій ранку або дещо раніше.

Числові проміжки на координатній прямій

Тепер з'ясуємо, як відобразити описувані співвідношення на Отриману вище нерівність не є суворим. Воно означає, що змінна може набувати значення менше 7, а може дорівнювати цьому числу. Наведемо інші приклади. Для цього уважно розглянемо чотири малюнки, наведені нижче.

На першому з них можна побачити графічне зображенняпроміжок [-7; 7]. Він складається з множини чисел, розміщених на координатній прямій і що знаходяться між -7 і 7, включаючи межі. При цьому точки на графіку зображуються у вигляді зафарбованих кіл, а запис проміжку здійснюється з використанням

Другий малюнок є графічним уявленням суворої нерівності. У цьому випадку прикордонні числа -7 і 7, показані виколотими (не зафарбованими) точками, не включаються до зазначеної множини. А запис самого проміжку проводиться у круглих дужках так: (-7; 7).

Тобто, з'ясувавши, як вирішувати нерівності такого типу, і отримавши подібну відповідь, можна зробити висновок, що вона складається з чисел, що знаходяться між розглянутими межами, крім -7 і 7. Наступні два випадки необхідно оцінювати аналогічним чином. На третьому малюнку даються зображення проміжків (-∞; -7] U )

Метод інтервалів: вирішення найпростіших суворих нерівностей. Система нерівностей – рішення. Система лінійних нерівностей