Мініатюрна та досить просте завданняз розряду тих, які служать рятівним колом студенту, що плаває. На природі сонне царство середини липня, тому саме час влаштуватися з ноутбуком на пляжі. Рано-вранці заграв сонячний зайчик теорії, щоб незабаром сфокусуватися на практиці, яка, незважаючи на заявлену легкість, містить уламки скла в піску. У зв'язку з цим рекомендую сумлінно розглянути нечисленні приклади цієї сторінки. Для вирішення практичних завдань необхідно вміти знаходити похідніта розуміти матеріал статті Інтервали монотонності та екстремуми функції.

Спочатку коротко про головне. На уроці про безперервності функціїя наводив визначення безперервності у точці та безперервності на інтервалі. Зразково-показова поведінка функції на відрізку формулюється таким чином. Функція безперервна на відрізку якщо:

1) вона безперервна на інтервалі;
2) безперервна у точці справаі в точці зліва.

У другому пункті мова зайшла про так звану односторонньої безперервностіфункції у точці. Існує кілька підходів до її визначення, але я дотримуватимуся розпочатої раніше лінії:

Функція безперервна у точці справа, якщо вона визначена в цій точці та її правостороння межа збігається зі значенням функції у цій точці: . Вона ж безперервна у точці зліва, якщо визначена в даній точці та її лівостороння межа дорівнює значеннюу цій точці:

Уявіть, що зелені крапки – це цвяхи, на яких закріплена чарівна гумка:

Подумки візьміть червону лінію до рук. Очевидно, що як далеко ми не розтягували графік вгору і вниз (вздовж осі), функція все одно залишиться обмеженою– огорожа зверху, огорожа знизу, і наш виріб пасеться в загоні. Таким чином, безперервна на відрізку функція обмежена на ньому. У курсі матаналізу цей начебто простий факт констатується і суворо доводиться першою теоремою Вейєрштраса.…Багато хто дратує, що в математиці нудно обґрунтовуються елементарні твердження, однак у цьому є важливий зміст. Припустимо, якийсь житель махрового середньовіччя витягував графік у небо поза видимості ось це вставляло. До винаходу телескопа обмеженість функції у космосі була зовсім очевидна! Справді, звідки ви знаєте, що на нас чекає за обрієм? Адже колись і Земля вважалася плоскою, тому сьогодні навіть звичайна телепортація потребує доказів.

Згідно другий теоремі Вейєрштраса, безперервна на відрізкуфункція досягає своєї точної верхньої граніі своєю точної нижньої грані .

Число також називають максимальним значенням функції на відрізкуі позначають через , а число – мінімальним значенням функції на відрізкуз позначкою .

У нашому випадку:

Примітка : у теорії поширені записи .

Грубо кажучи, найбільше значеннязнаходиться там, де сама висока точкаграфіка, а найменше – де найнижча точка.

Важливо!Як уже загострювалася увага у статті про екстремумах функції, найбільше значення функціїі найменше значення функції – НЕ ТЕ Ж САМЕ, що максимум функціїі мінімум функції. Так, у прикладі число є мінімумом функції, але не мінімальним значенням.

До речі, а що відбувається поза відрізком? Та хоч потоп, у контексті завдання це нас абсолютно не цікавить. Завдання передбачає лише знаходження двох чисел і все!

Більше того, рішення чисто аналітичне, отже, креслення робити не треба!

Алгоритм лежить на поверхні та напрошується з наведеного малюнка:

1) Знаходимо значення функції у критичних точках, які належать даному відрізку.

Ловіть ще одну плюшку: тут відпадає необхідність перевіряти достатню умову екстремуму, оскільки, щойно було показано, наявність мінімуму або максимуму ще не гарантує, яке мінімальне чи максимальне значення. Демонстраційна функція досягає максимуму і волею долі це число є найбільшим значенням функції на відрізку. Але, зрозуміло, такий збіг має місце далеко не завжди.

Отже, на першому кроці швидше і простіше обчислити значення функції в критичних точках, що належать відрізку, не заморочуючись їсти в них екстремуми чи ні.

2) Обчислюємо значення функції кінцях відрізка.

3) Серед знайдених у 1-му та 2-му пунктах значень функції вибираємо найменше та найменше велике число, записуємо відповідь.

Сідаємо на берег синього моряі б'ємо п'ятами по мілководді:

Приклад 1

Знайти найбільше та найменше значенняфункції на відрізку

Рішення:
1) Обчислимо значення функції у критичних точках, що належать даному відрізку:

Обчислимо значення функції у другій критичній точці:

2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

3) «Жирні» результати отримані з експонентами та логарифмами, що суттєво ускладнює їх порівняння. Тому озброїмося калькулятором або Екселем і обчислимо наближені значення, не забуваючи, що :

Ось тепер все зрозуміло.

Відповідь:

Дробно-раціональний екземпляр для самостійного вирішення:

Приклад 6

Знайти максимальне та мінімальне значення функції на відрізку

Нехай функція $z=f(x,y)$ визначена та безперервна в деякій обмеженій замкнутої області$D$. Нехай у цій галузі задана функція має кінцеві приватні похідні першого порядку (крім, можливо, кінцевої кількості точок). Щоб знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних у цій замкнутій області потрібно виконати три кроки простого алгоритму.

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значень функції $z=f(x,y)$ у замкнутій області $D$.

1. Знайти критичні точки функції $ z = f (x, y) $, що належать області $ D $. Обчислити значення функції у критичних точках.
2. Дослідити поведінку функції $z=f(x,y)$ на межі області $D$, знайшовши точки можливого найбільшого та найменшого значень. Обчислити значення функції отриманих точках.
3. Зі значень функції, отриманих у попередніх двох пунктах, вибрати найбільше та найменше.

Що таке критичні точки? показати\сховати

Під критичними точкамимають на увазі такі точки, в яких обидві приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю (тобто $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ і $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) або хоча б одна приватна похідна не існує.

Часто точки, у яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, називають стаціонарними точками. Таким чином, стаціонарні точки є підмножина критичних точок.

Приклад №1

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+2xy-y^2-4x$ у замкнутій області, обмеженою лініями$x=3$, $y=0$ та $y=x+1$.

Наслідуватимемо вище, але для початку розберемося з кресленням заданої області, яку позначимо буквою $ D $. Нам поставлено рівняння трьохпрямих, які цю область обмежують. Пряма $x=3$ проходить через точку $(3;0)$ паралельно осі ординат (осі Oy). Пряма $y=0$ - це рівняння осі абсцис (осі Ox). Ну, а для побудови прямої $ y = x + 1 $ знайдемо дві точки, через які і проведемо цю пряму. Можна, звичайно, замість $x$ підставити парочку довільних значень. Наприклад, підставляючи $x=10$, отримаємо: $y=x+1=10+1=11$. Ми знайшли точку $(10;11)$, що лежить на прямій $y=x+1$. Однак краще знайдемо ті точки, в яких пряма $ y = x + 1 $ перетинається з лініями $ x = 3 $ і $ y = 0 $. Чому це краще? Тому що ми одним пострілом укладемо пару зайців: отримаємо дві точки для побудови прямої $ y = x + 1 $ і заразом з'ясуємо, в яких точках ця пряма перетинає інші лінії, що обмежують задану область. Пряма $y=x+1$ перетинає пряму $x=3$ у точці $(3;4)$, а пряму $y=0$ - у точці $(-1;0)$. Щоб не захаращувати хід рішення допоміжними поясненнями, то питання про отримання цих двох точок винесу до примітки.

Як було отримано точки $(3;4)$ і $(-1;0)$? показати\сховати

Почнемо з точки перетину прямих $y=x+1$ та $x=3$. Координати точки, що шукається, належать і першій, і другій прямій, тому для знаходження невідомих координат потрібно вирішити систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Рішення такої системи тривіальне: підставляючи $x=3$ у перше рівняння матимемо: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $x=3$.

Тепер знайдемо точку перетину прямих $ y = x + 1 $ і $ y = 0 $. Знову складемо і вирішимо систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Підставляючи $y=0$ у перше рівняння, отримаємо: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $y=0$ (осі абсцис).

Все готове для побудови креслення, який матиме такий вигляд:

Питання примітки здається очевидним, адже все видно на малюнку. Однак варто пам'ятати, що малюнок не може бути доказом. Малюнок – лише ілюстрація для наочності.

Наша область була задана за допомогою прямих рівнянь, які її обмежують. Очевидно, що ці прямі визначають трикутник, чи не так? Чи не зовсім очевидно? А може, нам задана інша область, обмежена тими самими прямими:

Звісно, ​​за умови сказано, що область замкнута, тому показаний малюнок неправильний. Але щоб уникати подібних двозначностей, області краще задавати нерівності. Нас цікавить частина площини, розташована під прямою $y=x+1$? Ок, отже, $y ≤ x+1$. Наша область повинна розташовуватись над прямою $y=0$? Відмінно, означає $ y ≥ 0 $. До речі, дві останні нерівності легко поєднуються в одну: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Ці нерівності і задають область $ D $, причому задають її однозначно, не допускаючи жодних двозначностей. Але як це допоможе нам у тому питанні, що вказано на початку примітки? Ще як допоможе:) Нам потрібно перевірити, чи належить точка $M_1(1;1)$ області $D$. Підставимо $x=1$ і $y=1$ у систему нерівностей, які цю область визначають. Якщо обидві нерівності будуть виконані, то точка лежить усередині області. Якщо хоча б одна з нерівностей буде не виконана, то точка області не належить. Отже:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.

Обидві нерівності справедливі. Крапка $M_1(1;1)$ належить області $D$.

Тепер настала черга досліджувати поведінку функції межі області, тобто. переходимо до. Почнемо з прямої $ y = 0 $.

Пряма $y=0$ (вісь абсцис) обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставимо $y=0$ у задану функцію $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Отриману в результаті підстановки функцію однієї змінної $x$ позначимо як $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Тепер для функції $f_1(x)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \;x=2. $$

Значення $x=2$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$, тому до списку точок додамо ще $M_2(2;0)$. З іншого боку, обчислимо значення функції $z$ на кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. в точках $M_3(-1;0)$ і $M_4(3;0)$. До речі, якби точка $M_2$ не належала розглянутому відрізку, то, очевидно, значення функції $z$ у ній обчислювати був потреби.

Отже, обчислимо значення функції $z$ у точках $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можна, звичайно, підставляти координати даних точок у вихідний вираз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Наприклад, для точки $M_2$ отримаємо:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Однак обчислення можна трохи спростити. І тому варто згадати, що у відрізку $M_3M_4$ маємо $z(x,y)=f_1(x)$. Розпишу це докладно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0) = f_1 (-1) = (-1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \ \ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Зрозуміло, що в докладних записах зазвичай немає потреби, і всі обчислення в подальшому будемо записувати коротше:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Тепер звернемося до прямої $x=3$. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $0 ≤ y ≤ 4$. Підставимо $x=3$ у задану функцію $z$. В результаті такої підстановки ми отримаємо функцію $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2cdot 3cdot y-y^2-4cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Для функції $f_2(y)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $0 ≤ y ≤ 4$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Значення $y=3$ належить відрізку $0 ≤ y ≤ 4$, тому до знайдених раніше точок додамо ще $M_5(3;3)$. З іншого боку, необхідно обчислити значення функції $z$ у точках кінцях відрізка $0 ≤ y ≤ 4$, тобто. у точках $M_4(3;0)$ і $M_6(3;4)$. У точці $M_4(3;0)$ ми вже обчислювали значення $z$. Обчислимо значення функції $z$ у точках $M_5$ та $M_6$. Нагадаю, що на відрізку $M_4M_6$ маємо $z(x,y)=f_2(y)$, тому:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

І, нарешті, розглянемо останню межу області $D$, тобто. пряму $ y = x + 1 $. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставляючи $y=x+1$ у функцію $z$, матимемо:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Знов ми отримали функцію однієї змінної $x$. І знову потрібно знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну функції $f_(3)(x)$ і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Значення $x=1$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Якщо $x=1$, то $y=x+1=2$. Додамо до списку точок ще й $M_7(1;2)$ і з'ясуємо, чому значення функції $z$ в цій точці. Крапки кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. точки $M_3(-1;0)$ і $M_6(3;4)$, було розглянуто раніше, значення функції у яких ми вже знаходили.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Другий крок рішення закінчено. Ми отримали сім значень:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Звернемося до . Вибираючи найбільше та найменше значення з тих чисел, що були отримані у третьому пункті, матимемо:

$ $ z_ (min) = -4; \; z_(max)=6.$$

Завдання вирішене, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Приклад №2

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+y^2-12x+16y$ в області $x^2+y^2 ≤ 25$.

Спочатку збудуємо креслення. Рівняння $x^2+y^2=25$ (це гранична лінія заданої області) визначає коло з центром на початку координат (тобто в точці $(0;0)$) і радіусом 5. Нерівності $x^2 +y^2 ≤ 25$ задовольняють усі точки всередині та на згаданому колі.

Діятимемо по . Знайдемо приватні похідні та з'ясуємо критичні точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Точок, у яких знайдені приватні похідні немає, немає. З'ясуємо, у яких точках обидві похідні одночасно рівні нулю, тобто. знайдемо стаціонарні точки.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\y=-8.

Ми отримали стаціонарну точку $(6;-8)$. Проте знайдена точка не належить до області $D$. Це легко показати, навіть не вдаючись до допомоги малюнку. Перевіримо, чи виконується нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$, яка визначає нашу область $D$. Якщо $x=6$, $y=-8$, то $x^2+y^2=36+64=100$, тобто. нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$ не виконано. Висновок: точка $(6;-8)$ не належить області $D$.

Отже, всередині $D$ немає критичних точок. Переходимо далі, до . Нам слід дослідити поведінку функції межі заданої області, тобто. на колі $x^2+y^2=25$. Можна, звичайно, висловити $y$ через $x$, а потім підставити отриманий вираз у нашу функцію $z$. З рівняння кола отримаємо: $y=\sqrt(25-x^2)$ або $y=-sqrt(25-x^2)$. Підставляючи, наприклад, $y=\sqrt(25-x^2)$ в задану функцію, матимемо:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Подальше рішення буде повністю ідентичне дослідженню поведінки функції на межі області у попередньому прикладі №1. Однак мені здається розумнішим у цій ситуації застосувати метод Лагранжа. Нас цікавитиме лише перша частина цього методу. Після застосування першої частини методу Лагранжа ми отримаємо точки, в яких досліджуємо функцію $z$ на предмет мінімального та максимального значень.

Складаємо функцію Лагранжа:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Знаходимо приватні похідні функції Лагранжа та складаємо відповідну систему рівнянь:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aligned) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x = 6; aligned) \right.

Щоб розв’язати цю систему, одразу зазначимо, що $\lambda\neq -1$. Чому $\lambda\neq -1$? Спробуємо підставити $\lambda=-1$ у перше рівняння:

$ $ x + (-1) \ cdot x = 6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$

Отримана суперечність $0=6$ свідчить, що значення $\lambda=-1$ неприпустимо. Висновок: $ \ lambda \ neq -1 $. Виразимо $x$ і $y$ через $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x = frac (6) (1 + lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y = frac (-8) (1 + lambda). \end(aligned)

Вважаю, що тут стає очевидним, навіщо ми спеціально обговорювали умову $lambda\neq -1$. Це було зроблено для того, щоб вираз $1+\lambda$ вписався в знаменники без перешкод. Тобто, щоб бути впевненим, що знаменник $1+lambda\neq 0$.

Підставимо отримані висловлювання для $x$ і $y$ на третє рівняння системи, тобто. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+lambda)^2)+frac(64)((1+lambda)^2)=25;\frac(100)((1+lambda)^2)=25 ; \; (1 + \ lambda) ^ 2 = 4. $$

З отриманої рівності випливає, що $1+lambda=2$ або $1+lambda=-2$. Звідси маємо два значення параметра $ lambda $, а саме: $ lambda_1 = 1 $, $ lambda_2 = -3 $. Відповідно, отримаємо і дві пари значень $x$ і $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=frac(-8)(1+lambda_1)=frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=frac(-8)(1+lambda_2)=frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Отже, отримали дві точки можливого умовного екстремуму, тобто. $M_1(3;-4)$ і $M_2(-3;4)$. Знайдемо значення функції $z$ у точках $M_1$ і $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \ & z_2 = z (M_2) = (-3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) + 16 \ cdot 4 = 125. \end(aligned)

На слід вибрати найбільше та найменше значення з тих, що ми отримали на першому та другому кроках. Але в даному випадку вибір невеликий :) Маємо:

$ $ z_ (min) = -75; \; z_(max)=125. $$

Відповідь: $ Z_ (min) = -75; \; z_(max) = 125 $.

З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.

У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функціїоднієї змінної y = f (x).

Навігація на сторінці.

Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.

Стисло зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.

Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.

Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.

Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.

Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі інтервалу X збігаються з границями області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.

На відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].

Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правому кордоніінтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.

На нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) у стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.

На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функційз дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, то переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4; -1].

Рішення.

Областью визначення функції є безліч дійсних чисел, крім нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1] .

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :

Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 а найменше значення - При x = 2 .

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):

Подивимося, як дослідити функцію з допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися про все, що нас цікавить, а саме:

• область визначення функції
• область значень функції
• нулі функції
• проміжки зростання та спадання
• точки максимуму та мінімуму
• найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

Абсцисса- Це координата точки по горизонталі.
Ордината- Координата по вертикалі.
Ось абсцис- горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
Вісь ординат- Вертикальна вісь, або вісь.

Аргумент- незалежна змінна, від якої залежить значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо , підставляємо у формулу функції та отримуємо .

Область визначенняфункції - безліч тих (і лише тих) значень аргументу, у яких функція існує.
Позначається: або .

На малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальовано графік функції. Тільки тут ця функція існує.

Область значень функції- це безліч значень, які набуває змінна . На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до самого верхнього значення.

Нулі функції- Точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто . На малюнку це точки і .

Значення функції позитивнітам де . На малюнку це проміжки і .
Значення функції негативнітам де . У нас це проміжок (або інтервал) від до .

Найважливіші поняття - зростання та зменшення функціїна деякій множині. Як безліч можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.

Функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо та вгору.

Функція зменшуєтьсяна множині, якщо для будь-яких і, що належать множині, з нерівності випливає нерівність.

Для спадної функції більшого значеннявідповідає менше значення. Графік йде вправо та вниз.

На малюнку функція зростає проміжку і зменшується на проміжках і .

Визначимо, що таке точки максимуму та мінімуму функції.

Точка максимуму- це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, ніж у сусідніх. Це локальний горбок на графіку.

На нашому малюнку – точка максимуму.

Точка мінімуму- Внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції у ній менше, ніж у сусідніх. На графіку це локальна "ямка".

На нашому малюнку – точка мінімуму.

Крапка – гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить для визначення точки максимуму. Адже вона не має сусідів ліворуч. Так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму та мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функціїна відрізку? У разі відповідь: . Тому що мінімум функції- це її значення у точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сміливо сказати, що екстремуми функції рівні і .

Іноді у завданнях потрібно знайти найбільше та найменше значення функціїна заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функціїна відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку дорівнює. Воно досягається у лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення безперервної функціїна відрізку досягаються або у точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

Що таке екстремум функції та яка необхідна умова екстремуму?

Екстремумом функції називається максимум і мінімум функції.

Необхідна умовамаксимуму і мінімуму (екстремуму) функції наступне: якщо функція f(x) має екстремум у точці х = а, то цій точці похідна або дорівнює нулю, або нескінченна, або немає.

Ця умова необхідна, але не достатня. Похідна в точці х = а може звертатися в нуль, у нескінченність або не існувати без того, щоб функція мала екстремум у цій точці.

Яка достатня умова екстремуму функції (максимум або мінімум)?

Перша умова:

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? максимум

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? мінімумза умови, що функція f(x) тут безперервна.

Натомість можна скористатися другою достатньою умовою екстремуму функції:

Нехай у точці х = а перша похідна f?(x) перетворюється на нуль; якщо у своїй друга похідна f??(а) негативна, то функція f(x) має у точці x = a максимум, якщо позитивна - то мінімум.

Що таке критична точка функції та як її знайти?

Це значення аргументу функції, у якому функція має екстремум (тобто максимум чи мінімум). Щоб його знайти, потрібно знайти похіднуфункції f?(x) і, прирівнявши її до нуля, вирішити рівняння f?(x) = 0. Коріння цього рівняння, і навіть ті точки, у яких немає похідна цієї функції, є критичними точками, т. е. значеннями аргументу, у яких може бути екстремум. Їх можна легко визначити, поглянувши на графік похідної: нас цікавлять ті значення аргументу, за яких графік функції перетинає вісь абсцис (вісь Ох) і ті, за яких графік зазнає розривів.

Наприклад знайдемо екстремум параболи.

Функція y(x) = 3x2 + 2x – 50.

Похідна функції: y? (x) = 6x + 2

Вирішуємо рівняння: y? (x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2/6 = -1/3

У разі критична точка - це х0=-1/3. Саме при цьому значенні аргументу функція має екстремум. Щоб його знайти, підставляємо для функції замість «х» знайдене число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Як визначити максимум і мінімум функції, тобто. її найбільше та найменше значення?

Якщо знак похідної під час переходу через критичну точку х0 змінюється з «плюсу» на «мінус», то х0 є точка максимуму; якщо ж знак похідної змінюється з мінуса на плюс, то х0 є точка мінімуму; якщо знак не змінюється, то у точці х0 ні максимуму, ні мінімуму немає.

Для розглянутого прикладу:

Беремо довільне значення аргументу зліва від критичної точки: х = -1

При х = -1 значення похідної буде у? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - "мінус").

Тепер беремо довільне значення аргументу праворуч від критичної точки: х = 1

При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - плюс).

Як бачимо, похідна під час переходу через критичну точку змінила знак із мінуса на плюс. Отже, за критичного значення х0 ми маємо точку мінімуму.

Найбільше та найменше значення функції на інтервалі(на відрізку) знаходять за такою ж процедурою тільки з урахуванням того, що, можливо, не всі критичні точки лежатимуть усередині зазначеного інтервалу. Ті критичні точки, що знаходяться за межею інтервалу, слід виключити з розгляду. Якщо всередині інтервалу знаходиться лише одна критична точка – у ній буде або максимум, або мінімум. У цьому випадку для визначення найбільшого та найменшого значень функції враховуємо також значення функції на кінцях інтервалу.

Наприклад, знайдемо найбільше та найменше значення функції

y(x) = 3sin(x) - 0,5х

на інтервалах:

Отже, похідна функції -

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Вирішуємо рівняння 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Знаходимо критичні точки на інтервалі [-9; 9]:

х = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (не входить в інтервал)

х = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687

х = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входить до інтервалу)

Знаходимо значення функції при критичних значеннях аргументу:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Видно, що на інтервалі [-9; 9] найбільше значення функція має за x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а найменше – при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На інтервалі [-6; -3] маємо лише одну критичну точку: х = -4,88. Значення функції при х = -4,88 дорівнює у = 5,398.

Знаходимо значення функції на кінцях інтервалу:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На інтервалі [-6; -3] маємо найбільше значення функції

у = 5,398 при x = -4,88

найменше значення -

у = 1,077 при x = -3

Як знайти точки перегину графіка функції та визначити сторони опуклості та увігнутості?

Щоб знайти всі точки перегину лінії y = f(x), треба знайти другу похідну, прирівняти її до нуля (вирішити рівняння) і випробувати всі значення х, для яких друга похідна дорівнює нулю, нескінченна або не існує. Якщо при переході через одне з цих значень друга похідна змінює знак, графік функції має в цій точці перегин. Якщо ж не змінює, то перегину немає.

Коріння рівняння f? (x) = 0, а також можливі точки розриву функції та другої похідної розбивають область визначення функції на ряд інтервалів. Випуклість на кожному їх інтервалі визначається знаком другої похідної. Якщо друга похідна в точці на досліджуваному інтервалі позитивна, лінія y = f(x) звернена тут увігнутістю догори, і якщо негативна - то донизу.

Як знайти екстремуми функції двох змінних?

Щоб знайти екстремуми функції f(x,y), що диференціюється в області її завдання, потрібно:

1) знайти критичні точки, а для цього вирішити систему рівнянь

fх? (x, y) = 0, f? (x, y) = 0

2) для кожної критичної точки Р0(a;b) дослідити, чи залишається незмінним знак різниці

всім точок (х;у), досить близьких до Р0. Якщо різницю зберігає позитивний знак, то точці Р0 маємо мінімум, якщо негативний - то максимум. Якщо різницю не зберігає знака, то точці Р0 екстремуму немає.

Аналогічно визначають екстремуми функції при більшій кількостіаргументів.

Про що мультфільм «Шрек назавжди»
Мультфільм: «Шрек назавжди» Рік випуску: 2010 Прем'єра (РФ): 20 травня 2010 р. Країна: США Режисер: Майкл Пітчел Сценарій: Джош Клауснер, Даррен Лемке Жанр: сімейна комедія, фентезі, пригоди Офіційний сайт: www. Сюжет муль

Чи можна здавати кров під час менструації
Лікарі не радять здавати кров під час місячних, т.к. втрати крові, хоч і не в значній кількості, загрожують зниженням рівня гемоглобіну та погіршенням самопочуття жінки. Під час процедури здачі крові ситуація із самопочуттям може загостритись аж до відкриття кровотечі. Тому жінкам слід утриматись від донації крові під час менструацій. І вже на 5-й день після їх закінчення

Скільки ккал/година витрачається під час миття підлоги
Види фізичної активностіВитрата енергії, ккал/год Приготування їжі 80 Одягання 30 Водіння автомобіля 50 Витирання пилу 80 Їжа 30 Робота в саду 135 Очищення білизни 45 Прибирання ліжка 130 Ходіння по магазинах 80 Сидяча робота 75 Колка дров 300 Миття підлог 10

Що означає слово "шахрай"
Шахрай - це злодій, що займається дрібними крадіжками, або шахрай людина, схильна до шахрайських витівок. Підтвердження цього визначення міститься в етимологічному словнику Крилова, згідно з яким слово «шахрай» утворено від слова «жуль» (злодій, шахрай), спорідненого дієслову

Як називається остання опублікована розповідь братів Стругацьких
Невелике оповідання Аркадія та Бориса Стругацьких "До питання про циклотацію" було вперше опубліковано у квітні 2008 року в альманасі фантастики "Полудень. XXI століття" (додаток до журналу "Навколо світу", видається під редакцією Бориса Стругацького). Публікація була присвячена 75-річчю Бориса Стругацького.

Де можна почитати оповідання учасників програми Work And Travel USA
Work and Travel USA (працюй та подорожуй у США) – популярна програма студентського обміну, за якою можна провести літо в Америці, легально працюючи у сфері обслуговування та подорожуючи. Історія програми Work & Travel входить до програми міжурядових обмінів Cultural Exchange Pro

Юшка. Кулінарно-історична довідка Протягом більш як двох з половиною століть словом «вуха» позначаються супи або відвар зі свіжої риби. Але був час, коли це слово тлумачилося ширше. Їм позначали суп — не лише рибний, а й м'ясний, гороховий і навіть солодкий. Так в історичному документі — «

Інформаційно-рекрутингові портали Superjob.ru - рекрутинговий портал Superjob.ru працює на російському ринку онлайн-рекрутменту з 2000 року і є лідером серед ресурсів, що пропонують пошук роботи та персоналу. Щодня до бази даних сайту додається понад 80 000 резюме фахівців та понад 10 000 вакансій.

Що таке мотивація
Визначення мотивації Мотивація (від латів. moveo - рухаю) - спонукання до дії; динамічний процес фізіологічного та психологічного плану, керуючий поведінкою людини, що визначає її спрямованість, організованість, активність та стійкість; здатність людини через працю задовольняти свої потреби. Мотивац

Хто такий Боб Ділана (Bob Dylan)
Боб Ділан (англ. Bob Dylan, справжнє ім'я - Роберт Аллен Циммерман англ. Robert Allen Zimmerman; нар. 24 травня 1941) - американський автор-виконавець пісень, який - за даними опитування журналу Rolling Stone - є другим (

Як транспортувати кімнатні рослини
Після покупки кімнатних рослин, перед садівником стоїть завдання – як доставити неушкодженими куплені екзотичні квіти. Вирішити цю проблему допоможуть знання основних правил упаковки та перевезення кімнатних рослин. Для перенесення чи перевезення рослини необхідно упаковувати. На яку б невелику відстань не переносилися рослини, вони можуть бути пошкоджені, можуть пересохнути, а взимку