Завдання 1(про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення.Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1. Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює \(f(x_k) \ cdot \ Delta x_k \), де \ ( \ Delta x_k \) - Довжина відрізка ; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. малюнок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Тут заради однаковості позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; \(\Delta x_0 \) - Довжина відрізка , \(\Delta x_1 \) - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Отже, (S \approx S_n \), причому це наближена рівність тим точніше, чим більше n.
За визначенням вважають, що потрібна площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Завдання 2(Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення крапки за проміжок часу [а; b].
Рішення.Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої завдання.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\(s \approx S_n \) де
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Підведемо підсумки. Розв'язання різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Значить, цю математичну модельтреба спеціально вивчити.

Поняття певного інтегралу

Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

У курсі математичного аналізу доведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b]і позначають так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний зміст певного інтегралу.

Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
де s(t) - первісна для v(t).

У курсі математичного аналізу доведено таку теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
де F(x) - первісна для f(x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніцана честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософаГотфріда Лейбніца (1646-1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.

Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис \(\left. F(x)\right|_a^b \) (її називають іноді подвійною підстановкою) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца в такому вигляді:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Маючи формулу Ньютона - Лейбніца, можна отримати дві властивості певного інтеграла.

Властивість 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює суміінтегралів:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Властивість 2.Постійний множник можна винести за знак інтегралу:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

За допомогою інтегралу можна обчислювати площі не тільки криволінійних трапецій, а й плоских фігур. складного виглядунаприклад такого, який представлений на малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \), обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$

Починаємо розглядати власне процес обчислення подвійного інтеграла та знайомитися з його геометричним змістом.

Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площіплоскої фігури (області інтегрування). Це найпростіший вид подвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці: .

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді. Зараз ви здивуєтеся, наскільки все дійсно просто! Обчислимо площу плоскої фігури, обмеженою лініями. Для певності вважаємо, що у відрізку . Площа цієї фігури чисельно дорівнює:

Зобразимо область на кресленні:

Виберемо перший спосіб обходу області:

Таким чином:

І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім зовнішній інтеграл. Цей спосібрекомендую початківцям у темі чайникам.

1) Обчислимо внутрішній інтеграл, у своїй інтегрування проводиться у разі змінної «гравець»:

Невизначений інтеграл тут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією різницею, що межами інтегрування не числа, а функції. Спочатку підставили в «ігрок» ( первісну функцію) верхня межа, потім – нижня межа

2) Результат, отриманий у першому пункті, необхідно підставити у зовнішній інтеграл:

Більш компактний запис всього рішення виглядає так:

Отримана формула – це точно робоча формуладля обчислення площі плоскої фігури за допомогою звичайного певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою певного інтегралу, Там вона на кожному кроці!

Тобто, завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтегралу мало чим відрізняєтьсявід завдання знаходження площі за допомогою певного інтегралу!Фактично це те саме!

Відповідно ніяких труднощів виникнути не повинно! Я розгляну небагато прикладів, оскільки ви, по суті, неодноразово стикалися з цим завданням.

Приклад 9

Рішення:Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Тут і далі я не зупинятимусь на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.

Таким чином:

Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу дотримуватимуся і я:

1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:

2) Результат, отриманий першому кроці, підставляємо у зовнішній інтеграл:

Пункт 2 – фактично перебування площі плоскої постаті з допомогою певного інтеграла.

Відповідь:

Ось таке дурне і наївне завдання.

Цікавий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 10

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями , ,

Зразковий зразокчистового оформлення рішення наприкінці уроку.

У Прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу та обчислити площі другим способом. Якщо не припуститеся помилки, то, природно, вийдуть ті ж самі значення площ.

Але в ряді випадків ефективніший другий спосіб обходу області, і на закінчення курсу молодого ботана розглянемо ще пару прикладів на цю тему:

Приклад 11

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями ,

Рішення:На нас з нетерпінням чекають дві параболи з бзиком, які лежать на боці. Посміхатися не треба, схожі речі в кратних інтегралах трапляються часто.

Як найпростіше зробити креслення?

Представимо параболу у вигляді двох функцій:
– верхня гілка та – нижня гілка.

Аналогічно, представимо параболу у вигляді верхньої та нижньої гілок.

Далі керує поточкове побудова графіків, в результаті чого виходить ось така химерна фігура:

Площу фігури обчислимо за допомогою подвійного інтегралу за формулою:

Що буде, якщо ми оберемо перший спосіб обходу області? По-перше, цю область доведеться розділити на дві частини. А по-друге, ми спостерігатимемо за цією сумною картиною: . Інтеграли, звичайно, не надскладного рівня, але... існує стара математична приказка: хто з корінням дружний, тому залік не потрібен.

Тому з непорозуміння, яке дано в умові, висловимо зворотні функції:

Зворотні функціїв даному прикладі мають ту перевагу, що задають відразу всю параболу цілком без будь-яких там листя, жолудів гілок і коренів.

Згідно з другим способом, обхід області буде наступним:

Таким чином:

Як кажуть, відчуйте різницю.

1) Розправляємось із внутрішнім інтегралом:

Результат підставляємо у зовнішній інтеграл:

Інтегрування по змінній «гравець» не повинно бентежити, була б буква «зю» – чудово проінтегрувалося б і по ній. Хоча хтось прочитав другий параграф уроку Як обчислити об'єм тіла обертання, Той вже не відчуває жодної незручності з інтегруванням по «ігрок».

Також зверніть увагу на перший крок: підінтегральна функція є парною, а відрізок інтегрування симетричний щодо нуля. Тому відрізок можна споловинити, а результат – подвоїти. Даний прийом докладно закоментований на уроці Ефективні методиобчислення певного інтегралу.

Що добавити…. Всі!

Відповідь:

Для перевірки своєї техніки інтегрування можете спробувати обчислити . Відповідь має вийти точно такою ж.

Приклад 12

За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури, обмеженою лініями

Це приклад самостійного рішення. Цікаво відзначити, що якщо ви спробуєте використовувати перший спосіб обходу області, то фігуру доведеться розділити не на дві, а на три частини! І, відповідно, вийде три пари повторних інтегралів. Буває й таке.

Майстер клас підійшов до завершення, і час переходити на гросмейстерський рівень – Як визначити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Постараюсь у другій статті так не маньячить =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення: Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Таким чином:
Перейдемо до зворотних функцій:


Таким чином:
Відповідь:

Приклад 4:Рішення: Перейдемо до прямих функцій:


Виконаємо креслення:

Змінимо порядок обходу області:

Відповідь:

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання обчислення площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу. Нарешті всі, хто шукає сенс у вищої математики- Нехай знайдуть його. Мало чи. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями і знаходити її площу за допомогою певного інтегралу.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися в невизначеному інтеграліхоч би на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись з уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. Приклади рішень. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому актуальним питанням будуть також ваші знання та навички побудови креслень. Як мінімум, треба вміти будувати пряму, параболу та гіперболу.

Почнемо з криволінійної трапеції. Криволінійна трапеція - це плоска фігура, обмежена графіком деякої функції y = f(x), віссю OXта лініями x = a; x = b.

Площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу

Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці Визначений інтеграл. Приклади рішеньми говорили, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА. Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Розглянемо певний інтеграл

Підінтегральна функція

задає на площині криву (її за бажання можна накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

, , , .

Це типове формулювання завдання. Найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. З технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій . Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може мати такий вигляд.

Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння y= 0 задає вісь OX):

Штрихувати криволінійну трапецію не будемо, тут очевидно, про яку площу йде мова. Рішення продовжується так:

На відрізку [-2; 1] графік функції y = x 2 + 2 розташований над віссюOXтому:

Відповідь: .

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца

,

зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень. Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка – у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями xy = 4, x = 2, x= 4 та віссю OX.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссюOX?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = e - x, x= 1 та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю OX , то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

.

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній напівплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями y = 2x – x 2 , y = -x.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. При побудові креслення завдання на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи y = 2x – x 2 та прямий y = -x. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування a= 0, верхня межа інтегрування b= 3. Часто вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторимося, що з поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматоматично».

А тепер робоча формула:

Якщо на відрізку [ a; b] деяка безперервна функція f(x) більше або дорівнюєдеякою безперервної функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать – над віссю чи під віссю, а важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з 2 x – x 2 необхідно відняти - x.

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою y = 2x – x 2 зверху та прямий y = -xзнизу.

На відрізку 2 x – x 2 ≥ -x. За відповідною формулою:

Відповідь: .

Насправді, шкільна формуладля площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. приклад №3) – окремий випадокформули

.

Оскільки вісь OXзадається рівнянням y= 0, а графік функції g(x) розташований нижче осі OX, то

.

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями

У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але, за неуважністю,… знайдено площу не тієї фігури.

Приклад 7

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці, через неуважність, нерідко вирішують, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:

1) На відрізку [-1; 1] над віссю OXрозташований графік прямий y = x+1;

2) На відрізку над віссю OXрозташований графік гіперболи y = (2/x).

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Представимо рівняння у «шкільному» вигляді

і виконаємо крапковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороша»: b = 1.

Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке?

Може бути, a=(-1/3)? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися, що a=(-1/4). А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину графіків

Для цього розв'язуємо рівняння:

.

Отже, a=(-1/3).

Подальше рішення тривіальне. Головне, не заплутатися у підстановках та знаках. Обчислення тут не найпростіші. На відрізку

, ,

за відповідною формулою:

Відповідь:

На закінчення уроку розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточкового побудови креслення необхідно знати зовнішній виглядсинусоїди. Взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій, а також деякі значення синуса. Їх можна знайти у таблиці значень тригонометричних функцій . У ряді випадків (наприклад, у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають прямо з умови:

- "ікс" змінюється від нуля до "пі". Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції y= sin 3 xрозташований над віссю OXтому:

(1) Як інтегруються синуси та косинуси у непарних ступенях, можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричне тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної t= cos x, тоді: розташований над віссю , тому:

.

.

Примітка:зверніть увагу, як береться інтеграл від тангенсу в кубі, тут використано наслідок основного тригонометричного тотожності

.

а)

Рішення.

Перший і найважливіший моментрішення - побудова креслення.

Виконаємо креслення:

Рівняння y=0 задає вісь «іксів»;

- х=-2 і х = 1 - Прямі, паралельні осі Оу;

- у = х 2 +2 - парабола, гілки якої спрямовані вгору, з вершиною у точці (0; 2).

Зауваження.Для побудови параболи досить визначити точки її перетину з координатними осями, тобто. поклавши х = 0 знайти перетин з віссю Оу та вирішивши відповідне квадратне рівняннязнайти перетин з віссю Ох .

Вершину параболи можна знайти за формулами:

Можна побудувати лінії та крапково.

На відрізку [-2; 1] графік функції y=x 2 +2 розташований над віссю Ox тому:

Відповідь: S = 9 кв.

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю Ох?

b)Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y=-e x , x=1 та координатними осями.

Рішення.

Виконаємо креслення.

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю Ох , то її площу можна знайти за формулою:

Відповідь: S=(e-1) кв.од.»1,72 кв.од.

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині.

с)Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями у=2х-х 2, у=-х.

Рішення.

Спочатку потрібно виконати креслення. Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи і прямий Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний.

Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування а=0 , верхня межа інтегрування b=3 .

Будуємо задані лінії: 1. Парабола – вершина в точці (1; 1); перетин з віссю Ох -точки (0; 0) та (0; 2). 2. Пряма – бісектриса 2-го та 4-го координатних кутів. А тепер Увага! Якщо на відрізку [ a;b] деяка безперервна функція f(x)більше або дорівнює певній безперервній функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою: . І не важливо, де розташована фігура - над віссю або під віссю, а важливо, який графік Вище (щодо іншого графіка), а який-НИЖЧЕ. У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Можна побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними).

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.

На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь: S = 4,5 кв.

Фігура, обмежена графіком безперервної неотрицательной на відрізку $$ функції $f(x)$ і прямими $y=0, \x=a$ і $x=b$, називається криволінійною трапецією.

Площа відповідної криволінійної трапеції обчислюється за такою формулою:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Завдання на перебування площі криволінійної трапеції ми умовно ділитимемо на $4$ типу. Розглянемо кожен тип докладніше.

І тип: криволінійна трапеція задана явно.Тоді одразу застосовуємо формулу (*).

Наприклад, знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції $y=4-(x-2)^(2)$, і прямими $y=0, \x=1$ і $x=3$.

Намалюємо цю криволінійну трапецію.

Застосовуючи формулу (*), знайдемо площу цієї криволінійної трапеції.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

ІІ тип: криволінійна трапеція задана неявно.У цьому випадку зазвичай не задаються або частково задаються прямі $x=a, \ x=b$. У цьому випадку потрібно знайти точки перетину функцій $y=f(x)$ та $y=0$. Ці точки будуть точками $a$ і $b$.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій $y=1-x^(2)$ і $y=0$.

Знайдемо точки перетину. Для цього прирівняємо праві частини функцій.

Отже, $a=-1$, а $b=1$. Намалюємо цю криволінійну трапецію.

Знайдемо площу цієї криволінійної трапеції.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1) ^ (1) = $

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 - \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

III тип: площа фігури, обмеженої перетином двох безперервних невід'ємних функцій.Ця фігура не буде криволінійною трапецією, а значить за допомогою формули (*) її площу не обчислиш. Як же бути?Виявляється, площу цієї фігури можна знайти як різницю площ криволінійних трапецій, обмежених верхньою функцією і $y=0$ ($S_(uf)$), і нижньою функцієюі $y=0$ ($S_(lf)$), де у ролі $x=a, \ x=b$ виступають координати по $x$ точок перетину даних функцій, тобто.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Найголовніше при обчисленні таких площ – не промахнутися з вибором верхньої і нижньої функції.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої функціями $y=x^(2)$ та $y=x+6$.

Знайдемо точки перетину цих графіків:

За теоремою Вієта,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Тобто, $a=-2, \b=3$. Зобразимо фігуру:

Отже, верхня функція – $y=x+6$, а нижня – $y=x^(2)$. Далі, знайдемо $S_(uf)$ і $S_(lf)$ за формулою (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5 $ (од. $ ^ (2) $).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (од.$^(2)$).

Підставимо знайдене в (**) та отримаємо:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (од.$^(2)$).

IV тип: площа фігури, обмеженою функцією(-ями), що не задовольняє (-ими) умові невід'ємності.Для того, щоб знайти площу такої фігури, потрібно симетрично щодо осі $Ox$ ( іншими словами,поставити "мінуси" перед функціями) відобразити область і за допомогою способів, викладених у типах I - III, знайти площу відображеної області. Ця площа і буде площею. Попередньо, можливо, вам доведеться знайти точки перетину графіків функцій.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій $y=x^(2)-1$ та $y=0$.

Знайдемо точки перетину графіків функцій:

тобто. $a=-1$, а $b=1$. Накреслимо область.

Симетрично відобразимо область:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Вийде криволінійна трапеція, обмежена графіком функції $y=1-x^(2)$ і $y=0$. Це завдання знаходження криволінійної трапеції другого типу. Ми її вирішували. Відповідь була така: $S= 1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$). Отже, площа шуканої криволінійної трапеції дорівнює:

$S=1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).