Kichkina va chiroyli oddiy vazifa suzuvchi talaba uchun qutqaruvchi bo'lib xizmat qiladiganlar toifasidan. Tabiatda iyul oyining o'rtalarida, shuning uchun plyajda noutbuk bilan yashash vaqti keldi. Erta tongda nazariyaning quyosh nurlari o'ynay boshladi, tez orada amaliyotga e'tibor qaratish uchun, e'lon qilingan qulaylikka qaramay, qumda shisha parchalari mavjud. Shu munosabat bilan, men ushbu sahifaning bir nechta misollarini vijdonan ko'rib chiqishingizni tavsiya qilaman. Amaliy muammolarni hal qilish uchun siz qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak hosilalarni toping va maqolaning materialini tushuning Funksiyaning monotonlik intervallari va ekstremallari.

Birinchidan, asosiy narsa haqida qisqacha. Haqida darsda funksiyaning uzluksizligi Men bir nuqtada uzluksizlik va intervalda uzluksizlik ta'rifini berdim. Segmentdagi funksiyaning namunali xatti-harakati ham xuddi shunday shakllantirilgan. Funktsiya intervalda uzluksiz bo'ladi, agar:

1) intervalda uzluksiz;
2) bir nuqtada uzluksiz o'ngda va nuqtada chap.

Ikkinchi xatboshida biz deb atalmish haqida gapirdik bir tomonlama davomiylik bir nuqtada ishlaydi. Uni aniqlashning bir nechta yondashuvlari mavjud, ammo men ilgari boshlagan chiziqqa sodiq qolaman:

Funktsiya nuqtada uzluksizdir o'ngda, agar u berilgan nuqtada aniqlangan boʻlsa va uning oʻng chegarasi berilgan nuqtadagi funksiya qiymatiga toʻgʻri kelsa: . U nuqtada uzluksizdir chap, agar berilgan nuqtada va uning chap tomoni chegarasida aniqlangan bo'lsa qiymatiga teng ayni paytda:

Tasavvur qiling-a, yashil nuqtalar sehrli elastik tasmali mixlardir:

Qo'llaringizga qizil chiziqni aqliy ravishda oling. Shubhasiz, biz grafikni qanchalik yuqoriga va pastga (o'q bo'ylab) cho'zmasak ham, funktsiya saqlanib qoladi. cheklangan– tepada to‘siq, pastda to‘siq va mahsulotimiz o‘tloqda o‘tlanadi. Shunday qilib, oraliqda uzluksiz funksiya unga chegaralangan. Matematik tahlil jarayonida bu oddiy ko'ringan haqiqat aytiladi va qat'iy isbotlanadi. Veyershtrasning birinchi teoremasi....Matematikada elementar gaplar zerikarli asoslanayotgani ko‘pchilikni bezovta qiladi, ammo bu muhim ma’noga ega. Aytaylik, terri o'rta asrlarining ma'lum bir aholisi osmonga ko'rinadigan chegaradan tashqarida grafik tortdi, bu kiritilgan. Teleskop ixtiro qilinishidan oldin, kosmosdagi cheklangan funktsiya umuman aniq emas edi! Haqiqatan ham, ufqda bizni nima kutayotganini qaerdan bilasiz? Axir, bir paytlar Yer tekis hisoblangan, shuning uchun bugungi kunda oddiy teleportatsiya ham isbot talab qiladi =)

Ga binoan Veyershtrasning ikkinchi teoremasi, segmentda uzluksizfunktsiya o'z darajasiga etadi aniq yuqori chegara siznikini ham; siznikichi aniq pastki chet .

Raqam ham chaqiriladi segmentdagi funksiyaning maksimal qiymati va bilan belgilanadi, soni esa segmentdagi funksiyaning minimal qiymati belgilangan.

Bizning holatda:

Eslatma : nazariy jihatdan, yozuvlar keng tarqalgan .

Qo'pol qilib aytganda, eng yuqori qiymat eng ko'p joylashgan joyda joylashgan yuqori nuqta grafik va eng kichigi eng past nuqta bo'lgan joy.

Muhim! Maqolada allaqachon ta'kidlanganidek funktsiyaning ekstremal qismi, eng katta funktsiya qiymati Va eng kichik funktsiya qiymati – BIR XIL EMAS, Nima maksimal funktsiya Va minimal funktsiya. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda raqam funktsiyaning minimal qiymatidir, lekin minimal qiymat emas.

Aytgancha, segmentdan tashqarida nima sodir bo'ladi? Ha, hatto toshqin ham, ko'rib chiqilayotgan muammo kontekstida bu bizni umuman qiziqtirmaydi. Vazifa faqat ikkita raqamni topishni o'z ichiga oladi va tamom!

Bundan tashqari, yechim faqat analitikdir chizmachilik qilish shart emas!

Algoritm sirtda yotadi va yuqoridagi rasmdan o'zini ko'rsatadi:

1) Funktsiyaning qiymatlarini toping tanqidiy nuqtalar, ushbu segmentga tegishli.

Yana bir bonusni qo'lga kiriting: bu erda ekstremum uchun etarli shartni tekshirishning hojati yo'q, chunki ko'rsatilgandek, minimal yoki maksimal mavjud. hali kafolat bermaydi, minimal yoki maksimal qiymat nima. Namoyish funktsiyasi maksimal darajaga etadi va taqdirning irodasi bilan bir xil raqam segmentdagi funktsiyaning eng katta qiymati hisoblanadi. Lekin, albatta, bunday tasodif har doim ham bo'lavermaydi.

Shunday qilib, birinchi bosqichda segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiya qiymatlarini ularda ekstremal bor yoki yo'qligini bezovta qilmasdan hisoblash tezroq va osonroqdir.

2) Biz segmentning oxiridagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz.

3) 1 va 2-bandlarda joylashgan funktsiya qiymatlari orasida eng kichik va eng ko'pini tanlang. katta raqam, javobni yozing.

Biz qirg'oqqa o'tiramiz moviy dengiz va tovonimiz bilan sayoz suvga urib:

1-misol

Eng kattasini toping va eng kichik qiymat oraliqda ishlaydi

Yechim:
1) Keling, ushbu segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaylik:

Ikkinchi kritik nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblaymiz:

2) Segment oxiridagi funksiya qiymatlarini hisoblaylik:

3) Ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan "qalin" natijalar olingan, bu ularni taqqoslashni sezilarli darajada murakkablashtiradi. Shu sababli, keling, kalkulyator yoki Excel bilan qurollanamiz va taxminiy qiymatlarni hisoblaymiz, buni unutmang:

Endi hamma narsa aniq.

Javob:

Mustaqil yechim uchun kasr-ratsional misol:

6-misol

Segmentdagi funksiyaning maksimal va minimal qiymatlarini toping

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati

Funktsiyaning eng katta qiymati uning barcha qiymatlari ichida eng kattasi, eng kichik qiymati esa eng kichigidir.

Funktsiya faqat bitta eng katta va faqat bitta eng kichik qiymatga ega bo'lishi mumkin yoki umuman bo'lmasligi mumkin. Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish uzluksiz funktsiyalar Ushbu funktsiyalarning quyidagi xususiyatlariga asoslanadi:

1) Agar ma'lum oraliqda (cheklangan yoki cheksiz) y=f(x) funksiya uzluksiz bo'lsa va faqat bitta ekstremumga ega bo'lsa va bu maksimal (minimal) bo'lsa, u holda u funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati bo'ladi. bu oraliqda.

2) Agar f(x) funktsiyasi ma'lum bir segmentda uzluksiz bo'lsa, u albatta ushbu segmentda eng katta va eng kichik qiymatlarga ega bo'ladi. Ushbu qiymatlarga segment ichida joylashgan ekstremum nuqtalarda yoki ushbu segment chegaralarida erishiladi.

Segmentdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni topish uchun quyidagi sxemadan foydalanish tavsiya etiladi:

1. Hosilni toping.

2. Funktsiyaning =0 yoki mavjud bo'lmagan kritik nuqtalarini toping.

3. Segmentning kritik nuqtalari va uchlaridagi funksiya qiymatlarini toping va ulardan eng katta f max va eng kichik f maxni tanlang.

Amaliy masalalarni, xususan, optimallashtirishni hal qilishda, X oralig'ida funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini (global maksimal va global minimum) topish masalalari muhim ahamiyatga ega , mustaqil o'zgaruvchini tanlang va o'rganilayotgan qiymatni ushbu o'zgaruvchi orqali ifodalang. Keyin olingan funksiyaning kerakli eng katta yoki eng kichik qiymatini toping. Bunda mustaqil o'zgaruvchining chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin bo'lgan o'zgarish oralig'i ham masala shartlaridan aniqlanadi.

Misol. Usti ochiq to'rtburchaklar parallelepiped shakliga ega bo'lgan tank, pastki qismi to'rtburchaklar, ichkarida qalay bilan qoplangan bo'lishi kerak. Agar uning hajmi 108 litr bo'lsa, tankning o'lchamlari qanday bo'lishi kerak? uni qalaylash narxi minimal bo'lishi uchun suv?

Yechim. Tankni qalay bilan qoplash narxi minimal bo'ladi, agar ma'lum bir quvvat uchun uning sirt maydoni minimal bo'lsa. Poydevor tomonini a dm, tank balandligini b dm bilan belgilaymiz. U holda uning sirtining S maydoni teng bo'ladi

VA

Olingan bog'liqlik S rezervuarining sirt maydoni (funktsiya) va poydevorning a tomoni (argument) o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. S funktsiyani ekstremum uchun ko'rib chiqamiz. Birinchi hosilani topamiz, uni nolga tenglashtiramiz va hosil bo‘lgan tenglamani yechamiz:

Demak, a = 6. a > 6 uchun (a) > 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Misol. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping intervalda.

Yechim: Belgilangan funktsiya butun son qatorida uzluksiz. Funktsiyaning hosilasi

va uchun hosilasi. Keling, ushbu nuqtalarda funktsiya qiymatlarini hisoblaylik:

.

Berilgan oraliq oxiridagi funksiya qiymatlari teng. Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati at ga, eng kichik qiymati esa at ga teng.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

1. Shaklning noaniqliklarini aniqlash uchun L'Hopital qoidasini tuzing. L'Hopital qoidasi hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan turli xil noaniqliklarni sanab o'ting.

2. Funksiyalarning ortish va kamayish belgilarini tuzing.

3. Funksiyaning maksimal va minimumini aniqlang.

4. Formulalash zarur shart ekstremumning mavjudligi.

5. Argumentning qanday qiymatlari (qaysi nuqtalar) tanqidiy deb ataladi? Ushbu nuqtalarni qanday topish mumkin?

6. Funksiya ekstremumining mavjudligining yetarli belgilari qanday? Birinchi hosila yordamida ekstremumdagi funktsiyani o'rganish sxemasini ko'rsating.

7. Ekstremumdagi funksiyani ikkinchi hosila yordamida o‘rganish sxemasini tuzing.

8. Egri chiziqning qavariq va botiqligini aniqlang.

9. Funksiya grafigining burilish nuqtasi nima deyiladi? Ushbu nuqtalarni topish usulini ko'rsating.

10. Berilgan segmentdagi egri chiziqning qavariqligi va botiqligining zaruriy va yetarli belgilarini tuzing.

11. Egri chiziqning asimptotasini aniqlang. Funksiya grafigining vertikal, gorizontal va qiya asimptotalari qanday topiladi?

12. Kontur umumiy sxema funksiyani tadqiq qilish va uning grafigini tuzish.

13. Berilgan oraliqda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish qoidasini tuzing.

Segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini izlash jarayoni vertolyotda ob'ekt (funktsiya grafigi) atrofida qiziqarli parvozni eslatadi, uzoq masofali to'pdan ma'lum nuqtalarda o'q uzadi va juda ko'p narsani tanlang. nazorat zarbalari uchun ushbu nuqtalardan maxsus nuqtalar. Ballar ma'lum bir tarzda va shunga ko'ra tanlanadi muayyan qoidalar. Qaysi qoidalar bilan? Bu haqda batafsilroq gaplashamiz.

Agar funktsiya y = f(x) oraliqda uzluksiz [ a, b] boʻlsa, u bu segmentga yetib boradi kamida Va eng yuqori qiymatlar . Bu ham sodir bo'lishi mumkin ekstremal nuqtalar, yoki segmentning oxirida. Shuning uchun, topish uchun kamida Va funktsiyaning eng katta qiymatlari , intervalda uzluksiz [ a, b] , siz uning barcha qiymatlarini hisoblashingiz kerak tanqidiy nuqtalar va segmentning uchlarida, so'ngra ulardan eng kichik va eng kattasini tanlang.

Keling, masalan, siz funktsiyaning eng katta qiymatini aniqlamoqchisiz f(x) segmentida [ a, b]. Buni amalga oshirish uchun siz uning barcha muhim nuqtalarini [[ a, b] .

Kritik nuqta nuqtani chaqirdi funksiya aniqlangan, va u hosila nolga teng yoki mavjud emas. Keyin kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblashingiz kerak. Va nihoyat, kritik nuqtalarda va segmentning oxirida funksiya qiymatlarini solishtirish kerak ( f(a) Va f(b)). Bu raqamlarning eng kattasi bo'ladi segmentdagi funksiyaning eng katta qiymati [a, b] .

Topish muammolari eng kichik funktsiya qiymatlari .

Biz birgalikda funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini qidiramiz

Misol 1. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida [-1, 2] .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini toping. Keling, hosilani nolga () tenglashtiramiz va ikkita kritik nuqtani olamiz: va . Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun uning segment uchlaridagi va nuqtadagi qiymatlarini hisoblash kifoya, chunki nuqta segmentga tegishli emas [-1, 2]. Bu funksiya qiymatlari: , , . Bundan kelib chiqadi eng kichik funktsiya qiymati(quyidagi grafikda qizil rang bilan ko'rsatilgan), -7 ga teng, segmentning o'ng uchida - nuqtada erishiladi va eng buyuk(shuningdek, grafikda qizil), 9 ga teng, - kritik nuqtada.

Agar funktsiya ma'lum bir oraliqda uzluksiz bo'lsa va bu oraliq segment bo'lmasa (lekin, masalan, interval bo'lsa; oraliq va segment o'rtasidagi farq: intervalning chegara nuqtalari intervalga kiritilmaydi, lekin segmentning chegara nuqtalari segmentga kiritilgan), keyin funktsiya qiymatlari orasida eng kichik va eng katta bo'lmasligi mumkin. Masalan, quyidagi rasmda ko'rsatilgan funksiya ]-∞, +∞[ da uzluksiz va eng katta qiymatga ega emas.

Biroq, har qanday interval uchun (yopiq, ochiq yoki cheksiz) uzluksiz funktsiyalarning quyidagi xossasi to'g'ri bo'ladi.

4-misol. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida [-1, 3] .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini qismning hosilasi sifatida topamiz:

.

Biz lotinni nolga tenglashtiramiz, bu bizga bitta beradi tanqidiy nuqta: . U [-1, 3] segmentiga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Keling, ushbu qiymatlarni taqqoslaylik. Xulosa: -5/13 ga teng, nuqtada va eng yuqori qiymat nuqtada 1 ga teng.

Biz birgalikda funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini qidirishda davom etamiz

Shunday o'qituvchilar borki, ular funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish mavzusida o'quvchilarga hozirgi muhokama qilinganidan ko'ra murakkabroq, ya'ni funktsiya ko'phadli yoki ko'phadli bo'lganlarni echish uchun misollar bermaydilar. soni va maxraji ko'phadli kasr. Ammo biz bunday misollar bilan cheklanib qolmaymiz, chunki o'qituvchilar orasida talabalarni to'liq o'ylashga majburlashni yaxshi ko'radiganlar bor (hosilalar jadvali). Shuning uchun logarifm va trigonometrik funktsiyadan foydalaniladi.

Misol 6. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini quyidagicha topamiz mahsulotning hosilasi :

Biz lotinni nolga tenglashtiramiz, bu bitta kritik nuqtani beradi: . Bu segmentga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segment oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Barcha harakatlar natijasi: funktsiya minimal qiymatiga etadi, 0 ga teng, nuqtada va nuqtada va eng yuqori qiymat, teng e², nuqtada.

Misol 7. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini toping:

Biz hosilani nolga tenglashtiramiz:

Yagona tanqidiy nuqta segmentga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Xulosa: funktsiya minimal qiymatiga etadi, ga teng, nuqtada va eng yuqori qiymat, teng, nuqtada.

Amaliy ekstremal masalalarda funktsiyaning eng kichik (maksimal) qiymatlarini topish, qoida tariqasida, minimal (maksimal) ni topishga to'g'ri keladi. Ammo minimal yoki maksimallarning o'zi emas, balki ularga erishiladigan dalillarning qiymatlari ko'proq amaliy qiziqish uyg'otadi. Amaliy muammolarni hal qilishda qo'shimcha qiyinchilik paydo bo'ladi - ko'rib chiqilayotgan hodisa yoki jarayonni tavsiflovchi funktsiyalarni tuzish.

8-misol. To'rtburchak asosli parallelepiped shakliga ega va tepasi ochiq bo'lgan sig'imi 4 bo'lgan tank qalaylangan bo'lishi kerak. Tankning o'lchami qanday bo'lishi kerak, shunda uni qoplash uchun eng kam material sarflanadi?

Yechim. Mayli x- tayanch tomoni, h- tank balandligi, S- qoplamasiz sirt maydoni; V- uning hajmi. Tankning sirt maydoni formula bilan ifodalanadi, ya'ni. ikki o'zgaruvchining funktsiyasidir. ifodalash uchun S bitta o'zgaruvchining funksiyasi sifatida biz bu faktni, qaerdan foydalanamiz. Topilgan ifodani almashtirish h uchun formulaga kiradi S:

Keling, ushbu funktsiyani maksimal darajada ko'rib chiqaylik. U hamma joyda ]0, +∞[ va da aniqlangan va differensiallanadi

.

Biz hosilani nolga () tenglashtiramiz va kritik nuqtani topamiz. Bundan tashqari, da , hosilasi mavjud emas, lekin bu qiymat belgilash sohasiga kiritilmagan va shuning uchun ekstremum nuqta bo'la olmaydi. Demak, bu yagona muhim nuqta. Keling, ikkinchi etarli belgisi yordamida ekstremum mavjudligini tekshirib ko'raylik. Keling, ikkinchi hosilani topamiz. Ikkinchi hosila noldan katta bo'lganda (). Bu funktsiya minimal darajaga yetganda, degan ma'noni anglatadi . Shundan beri minimal - bu funktsiyaning yagona ekstremumi, u eng kichik qiymati. Shunday qilib, tank poydevorining yon tomoni 2 m, balandligi esa bo'lishi kerak.

9-misol. Nuqtai nazardan A temir yo'l liniyasida joylashgan, nuqtaga BILAN, undan uzoqda joylashgan l, yuk tashish kerak. Og'irlik birligini birlik masofaga temir yo'lda tashish narxi teng, avtomobil yo'lida esa teng. Qaysi nuqtaga M chiziqlar temir yo'l dan yuk tashish uchun avtomobil yo'li qurilishi kerak A V BILAN eng tejamkor edi (bo'lim AB temir yo'l to'g'ri deb taxmin qilinadi)?

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini qanday topish mumkin?

Buning uchun Biz taniqli algoritmga amal qilamiz:

1 . ODZ funksiyalarini topish.

2 . Funktsiyaning hosilasini topish

3 . Hosilni nolga tenglashtirish

4 . Biz hosila o'z belgisini saqlaydigan oraliqlarni topamiz va ulardan funktsiyaning ortish va kamayish oraliqlarini aniqlaymiz:

Agar I oraliqda funktsiyaning hosilasi 0" title="f^(prime)(x)>0 bo'lsa.">, то функция !} bu oraliqda ortadi.

Agar I oraliqda funktsiyaning hosilasi bo'lsa, u holda funktsiya bu oraliqda kamayadi.

5 . topamiz funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari.

IN funktsiyaning maksimal nuqtasida hosila belgisini "+" dan "-" ga o'zgartiradi..

IN funktsiyaning minimal nuqtasilotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi.

6 . Funktsiyaning qiymatini segment oxirida topamiz,

• keyin segment uchlaridagi va maksimal nuqtalardagi funksiya qiymatini solishtiramiz va funktsiyaning eng katta qiymatini topish kerak bo'lsa, ulardan eng kattasini tanlang
• yoki segmentning uchlaridagi va minimal nuqtalardagi funksiya qiymatini solishtiring va funktsiyaning eng kichik qiymatini topish kerak bo'lsa, ulardan eng kichigini tanlang

Biroq, funksiya segmentda qanday harakat qilishiga qarab, bu algoritmni sezilarli darajada kamaytirish mumkin.

Funktsiyani ko'rib chiqing . Ushbu funktsiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Keling, Ochiq vazifalar bankidan muammolarni hal qilishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik

1 . B15-topshiriq (№ 26695)

Segmentda.

1. Funktsiya x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlanadi

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q va hosila x ning barcha qiymatlari uchun ijobiydir. Binobarin, funktsiya ortib boradi va intervalning o'ng uchida, ya'ni x=0 da eng katta qiymatni oladi.

Javob: 5.

2 . B15-topshiriq (№ 26702)

Funktsiyaning eng katta qiymatini toping segmentida.

1. ODZ funktsiyalari title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

hosila nolga teng, lekin bu nuqtalarda u ishorasini o'zgartirmaydi:

Shuning uchun, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} ortadi va intervalning o'ng oxirida eng katta qiymatni oladi, da.

Nega hosila belgisini o'zgartirmasligini tushunish uchun hosila ifodasini quyidagicha o'zgartiramiz:

Sarlavha="y^(asosiy)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Javob: 5.

3. B15-topshiriq (№ 26708)

Segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

1. ODZ funksiyalari: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Keling, bu tenglamaning ildizlarini trigonometrik doirada topamiz.

Intervalda ikkita raqam mavjud: va

Keling, belgilar qo'yaylik. Buning uchun hosilaning x=0 nuqtadagi belgisini aniqlaymiz: . Nuqtalardan o'tganda va, hosila belgisi o'zgaradi.

Funktsiya hosilasi belgilarining koordinata chizig'ida o'zgarishini tasvirlaymiz:

Shubhasiz, nuqta minimal nuqtadir (bunda hosila belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi) va segmentdagi funktsiyaning eng kichik qiymatini topish uchun funktsiyaning qiymatlarini taqqoslash kerak. minimal nuqta va segmentning chap uchida, .

Bunday masalalarni yechishning standart algoritmi funksiyaning nollarini topgach, hosila belgilarini intervallar bo‘yicha aniqlashni o‘z ichiga oladi. Keyin topilgan maksimal (yoki minimal) nuqtalarda va oraliq chegarasida qiymatlarni hisoblash, vaziyat qanday savolga bog'liq.

Men sizga narsalarni biroz boshqacha qilishni maslahat beraman. Nega? Men bu haqda yozganman.

Men bunday muammolarni hal qilishni taklif qilaman:

1. Hosilni toping.
2. Hosilaning nollarini toping.
3. Ulardan qaysi biri ushbu intervalga tegishli ekanligini aniqlang.
4. 3-bosqichning interval va nuqtalari chegaralarida funksiya qiymatlarini hisoblaymiz.
5. Biz xulosa chiqaramiz (qo'yilgan savolga javob bering).

Taqdim etilgan misollarni echishda yechim batafsil ko'rib chiqilmagan kvadrat tenglamalar, buni qila olishingiz kerak. Ular ham bilishlari kerak.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

77422. y=x funksiyaning eng katta qiymatini toping[–2;0] segmentida 3 –3x+4.

Keling, hosilaning nollarini topamiz:

X = –1 nuqta shartda belgilangan intervalga tegishli.

Funktsiyaning qiymatlarini -2, -1 va 0 nuqtalarda hisoblaymiz:

Funktsiyaning eng katta qiymati 6 ga teng.

Javob: 6

77425. y = x 3 – 3x 2 + 2 funksiyaning segmentdagi eng kichik qiymatini toping.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Keling, hosilaning nollarini topamiz:

Shartda ko'rsatilgan interval x = 2 nuqtasini o'z ichiga oladi.

Funktsiyaning qiymatlarini 1, 2 va 4 nuqtalarda hisoblaymiz:

Funktsiyaning eng kichik qiymati -2 ga teng.

Javob: -2

77426. [–3;3] segmentida y = x 3 – 6x 2 funksiyaning eng katta qiymatini toping.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Keling, hosilaning nollarini topamiz:

X = 0 nuqtasi shartda ko'rsatilgan intervalga tegishli.

Funktsiyaning qiymatlarini -3, 0 va 3 nuqtalarda hisoblaymiz:

Funktsiyaning eng kichik qiymati 0 ga teng.

Javob: 0

77429. y = x 3 – 2x 2 + x +3 funksiyaning segmentdagi eng kichik qiymatini toping.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Biz ildizlarni olamiz: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Shartda ko'rsatilgan interval faqat x = 1 ni o'z ichiga oladi.

1 va 4 nuqtalardagi funksiya qiymatlarini topamiz:

Biz funktsiyaning eng kichik qiymati 3 ekanligini aniqladik.

Javob: 3

77430. [– 4” segmentidagi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 funksiyaning eng katta qiymatini toping; -1].

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Keling, hosilaning nollarini topamiz va kvadrat tenglamani yechamiz:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Keling, ildizlarni olamiz:

Ildiz x = –1 shartda belgilangan intervalga tegishli.

Funktsiyaning qiymatlarini -4, -1, -1/3 va 1 nuqtalarda topamiz:

Biz funktsiyaning eng katta qiymati 3 ekanligini aniqladik.

Javob: 3

77433. y = x 3 – x 2 – 40x +3 funksiyaning segmentdagi eng kichik qiymatini toping.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Keling, hosilaning nollarini topamiz va kvadrat tenglamani yechamiz:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Keling, ildizlarni olamiz:

Shartda ko'rsatilgan intervalda x = 4 ildiz mavjud.

0 va 4 nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini toping:

Funktsiyaning eng kichik qiymati -109 ekanligini aniqladik.

Javob: –109

Keling, hosilasiz funktsiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlash usulini ko'rib chiqaylik. Agar mavjud bo'lsa, ushbu yondashuvdan foydalanish mumkin katta muammolar. Printsip oddiy - biz intervaldagi barcha butun qiymatlarni funktsiyaga almashtiramiz (haqiqat shundaki, barcha bunday prototiplarda javob butun sondir).

77437. [–2;2] segmentdagi y=7+12x–x 3 funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

Ballarni -2 dan 2 gacha almashtiring: Yechimni ko'rish

77434. [–2;0] segmentida y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 funksiyaning eng katta qiymatini toping.

Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.