Uno de los problemas más interesantes de la geometría, cuyo resultado es importante en la física, la química y otros campos, es la determinación de volúmenes. Mientras estudian matemáticas en la escuela, los niños a menudo se preguntan: "¿Por qué necesitamos esto?" El mundo que nos rodea parece tan simple y comprensible que ciertos conocimientos escolares se clasifican como "innecesarios". Pero una vez que nos enfrentamos, por ejemplo, al transporte, surge la pregunta de cómo calcular el volumen de carga. ¿Dirías que no hay nada más sencillo? Está usted equivocado. Se hace necesario el conocimiento de fórmulas de cálculo, conceptos de “densidad de sustancias”, “densidad volumétrica de cuerpos”.

Conocimiento escolar - base práctica

Los profesores de escuela, al enseñar los fundamentos de la geometría, nos ofrecen la siguiente definición de volumen: la parte del espacio que ocupa un cuerpo. Al mismo tiempo, las fórmulas para determinar los volúmenes se han escrito hace mucho tiempo y se pueden encontrar en libros de referencia. La humanidad aprendió a determinar el volumen de un cuerpo de forma regular mucho antes de la aparición de los tratados de Arquímedes. Pero sólo este gran pensador griego introdujo una técnica que permite determinar el volumen de cualquier figura. Sus conclusiones se convirtieron en la base del cálculo integral. Las figuras tridimensionales son las que se obtienen al girar objetos planos.

La geometría euclidiana permite determinar el volumen con cierta precisión:

La diferencia entre figuras planas y volumétricas no nos permite responder a la pregunta de algunos pacientes sobre cómo calcular el volumen de un rectángulo. Esto es más o menos lo mismo que encontrar algo que no sé qué. Es posible la confusión en el material geométrico, mientras que a un rectángulo a veces se le llama cuboide.

¿Qué hacer si la forma de tu cuerpo no está tan claramente definida?

Determinar el volumen de estructuras geométricas complejas no es una tarea fácil. Vale la pena guiarse por varios principios inquebrantables.

• Cualquier cuerpo se puede descomponer en partes más simples. Volumen igual a la suma volúmenes de sus partes individuales.
• Los cuerpos de igual tamaño tienen volúmenes iguales; el traslado paralelo de cuerpos no cambia su volumen.
• Una unidad de volumen es el volumen de un cubo con una arista de longitud unitaria.

La presencia de cuerpos de formas irregulares (recordemos la famosa corona del rey Garza) no supone un problema. Es bastante posible determinar los volúmenes de los cuerpos. Este es el proceso de medir directamente el volumen de un líquido con un cuerpo sumergido en él, que se comentará a continuación.

Varias aplicaciones volumétricas

Volvamos al problema: cómo calcular el volumen de mercancías transportadas. ¿Qué tipo de carga es: empaquetada o a granel? ¿Cuáles son los parámetros del contenedor? Hay más preguntas que respuestas. La cuestión del peso de la carga será de gran importancia, ya que el transporte difiere en su capacidad de carga y las rutas tienen un peso máximo. vehículo. La violación de las reglas de transporte puede resultar en sanciones.

Problema 1. Supongamos que la carga sean contenedores rectangulares llenos de mercancías. Conociendo el peso de la mercancía y del contenedor, se puede determinar fácilmente el peso total. El volumen del contenedor se define como el volumen de un paralelepípedo rectangular.

Conociendo la capacidad de carga de un vehículo y sus dimensiones, se puede calcular el posible volumen de carga transportada. La proporción correcta de estos parámetros le permite evitar catástrofes y fallas prematuras del transporte.

Tarea 2. Carga - material a granel: arena, piedra triturada y similares. En esta etapa, solo un especialista calificado puede prescindir de conocimientos de física, cuya experiencia en el transporte de carga le permita determinar intuitivamente el volumen máximo permitido para el transporte.

El método científico presupone el conocimiento de un parámetro como la carga.

Se utiliza la fórmula V=m/ρ, donde m es la masa de la carga, ρ es la densidad del material. Antes de calcular el volumen, conviene conocer la densidad de la carga, lo que tampoco es nada difícil (tablas, determinación de laboratorio).

Esta técnica también funciona muy bien para determinar el volumen de carga líquida. En este caso se utiliza el litro como unidad de medida.

Determinación de volúmenes de formas de construcción.

La cuestión de la determinación de volúmenes juega un papel importante en la construcción. La construcción de casas y otras estructuras es un negocio costoso; los materiales de construcción requieren una atención cuidadosa y cálculos extremadamente precisos.

La base del edificio, los cimientos, suele ser una estructura fundida rellena de hormigón. Antes de eso, es necesario determinar el tipo de base.

Cimentación de losa: una losa en forma de paralelepípedo rectangular. Base de columnas: pilares rectangulares o cilíndricos de una determinada sección. Al determinar el volumen de una columna y multiplicarlo por la cantidad, se puede calcular la capacidad cúbica de hormigón para toda la base.

Al calcular el volumen de hormigón para paredes o techos, proceden de manera bastante simple: determinen el volumen de toda la pared multiplicando la longitud por el ancho y la altura, luego determinen por separado los volúmenes de las aberturas de ventanas y puertas. La diferencia entre el volumen del muro y el volumen total de las aberturas es el volumen de hormigón.

¿Cómo determinar el volumen de un edificio?

Algunas tareas aplicadas requieren conocimiento del volumen de edificios y estructuras. Estos incluyen problemas de reparación, reconstrucción, determinación de la humedad del aire, cuestiones relacionadas con el suministro de calor y ventilación.

Antes de responder a la pregunta de cómo calcular el volumen de un edificio, se toman medidas en su lado exterior: área de la sección transversal (largo multiplicado por el ancho), altura del edificio desde la parte inferior del primer piso hasta el ático.

La determinación de los volúmenes internos de las instalaciones con calefacción se realiza mediante contornos internos.

Instalación de sistemas de calefacción.

No se pueden imaginar apartamentos y oficinas modernos sin un sistema de calefacción. La parte principal de los sistemas son baterías y tuberías de conexión. ¿Cómo calcular el volumen de un sistema de calefacción? Al volumen de las tuberías se le debe sumar el volumen total de todas las secciones de calefacción, que se indica en el propio radiador.

Y en esta etapa surge el problema: cómo calcular el volumen de la tubería. Imaginemos que el tubo es un cilindro, la solución es natural: utilizamos la fórmula del cilindro. En los sistemas de calefacción, las tuberías se llenan de agua, por lo que es necesario conocer el área de la sección transversal interna de la tubería. Para ello, determinamos su radio interno (R). Fórmula para determinar el área de un círculo: S=πR 2. La longitud total de las tuberías está determinada por su longitud en la habitación.

Alcantarillado en la casa - sistema de tuberías

Al colocar tuberías para drenaje, también vale la pena conocer el volumen de la tubería. En esta etapa se requiere un diámetro exterior; los pasos son similares a los anteriores.

Determinar el volumen de metal que se utiliza para fabricar una tubería también es una tarea interesante. Geométricamente, una tubería es un cilindro con huecos. Determinar el área del anillo que se encuentra en su sección transversal es una tarea bastante complicada, pero se puede resolver. Una salida más sencilla es determinar los volúmenes externo e interno de la tubería; la diferencia entre estos valores será el volumen de metal.

Determinación de volúmenes en problemas de física.

La famosa leyenda sobre la corona del rey Garza se hizo famosa no solo por resolver el problema de deducir “de agua limpia» joyeros ladrones. El resultado de una difícil actividad mental Arquímedes: determinación de los volúmenes de cuerpos de formas geométricas irregulares. La idea principal extraída por el filósofo es que el volumen de fluido desplazado por un cuerpo es igual al volumen del cuerpo.

EN investigación de laboratorio utilice una probeta graduada (vaso de precipitados). Se determina el volumen de líquido (V 1), se sumerge el cuerpo en él y se realizan mediciones secundarias (V 2). Volumen igual a la diferencia Medidas secundarias y primarias: V t = V 2 - V 1.

Este método para determinar los volúmenes de cuerpos se utiliza para calcular la densidad volumétrica de materiales insolubles a granel. Es extremadamente conveniente para determinar la densidad de aleaciones.

Puedes calcular el volumen de un alfiler usando este método. Parece bastante difícil determinar el volumen de tales cuerpo pequeño, como un alfiler o una bolita. No se puede medir con regla; la probeta también es bastante grande.

Pero si usa varios pines (n) completamente idénticos, entonces puede usar una probeta graduada para determinar su volumen total (V t = V 2 - V 1). Luego divida el valor resultante por el número de pines. V= Vt\n.

Esta tarea queda clara si es necesario fundir muchos perdigones a partir de un gran trozo de plomo.

Unidades de volumen de líquido

El Sistema Internacional de Unidades implica medir volúmenes en m3. EN la vida cotidiana Se utilizan con mayor frecuencia unidades no sistémicas: litro, mililitro. Para determinar cómo calcular el volumen en litros, se utiliza el sistema de conversión: 1 m 3 = 1000 litros.

Usar en La vida cotidiana otras medidas no sistémicas pueden causar dificultades. Los británicos utilizan barriles, galones y fanegas, que les resultan más familiares.

Sistema de traducción:

Tareas con datos no estándar.

Problema 1. ¿Cómo calcular el volumen, conociendo la altura y el área? Este problema generalmente se resuelve determinando el volumen de cobertura. varias partes galvánicamente. En este caso se conoce la superficie de la pieza (S). Espesor de capa (h) - altura. El volumen está determinado por el producto del área y la altura: V=Sh.

Problema 2. Para los cubos, el problema de determinar el volumen puede parecer interesante, desde un punto de vista matemático, si se conoce el área de una cara. Se sabe que el volumen de un cubo es: V=a 3, donde a es la longitud de su cara. El área de la superficie lateral del cubo es S=a 2. Extrayendo del área obtenemos la longitud de la cara del cubo. Usamos la fórmula del volumen y calculamos su valor.

Tarea 3. Calcula el volumen de una figura si se conoce el área y se dan algunos parámetros. Los parámetros adicionales incluyen las condiciones de relación de aspecto, alturas, diámetros de base y mucho más.

Para resolver problemas específicos, no sólo necesitará conocimientos de fórmulas de cálculo de volumen, sino también de otras fórmulas geométricas.

Determinar los volúmenes de memoria

Una tarea completamente ajena a la geometría: determinar la cantidad de memoria dispositivos electrónicos. En el mundo moderno, bastante informatizado, este problema no es superfluo. Los dispositivos precisos, como las computadoras personales, no toleran la aproximación.

Conocer la capacidad de memoria de una unidad flash u otro dispositivo de almacenamiento es útil al copiar y mover información.

Es importante conocer la cantidad de RAM y memoria permanente de su computadora. A menudo, el usuario se enfrenta a una situación en la que "el juego no funciona", "el programa se congela". El problema es muy posible con poca memoria.

Se cuentan un byte y sus derivados (kilobyte, megabyte, terabyte).

1kB = 1024B

1MB = 1024kB

1GB = 1024MB

La extrañeza de este sistema de recálculo se deriva de sistema binario codificar información.

El tamaño de la memoria de un dispositivo de almacenamiento es su principal característica. Al comparar el volumen de información transferida y la capacidad de almacenamiento de la unidad, puede determinar la posibilidad de su funcionamiento posterior.

El concepto de "volumen" es de tan gran escala que sólo es posible comprender plenamente su versatilidad resolviendo problemas aplicados que sean interesantes y apasionantes.

Los tanques y cisternas se utilizan para el transporte y almacenamiento. varios tipos combustible, petróleo, agua y gas, algunos materiales de construcción, sustancias químicas, y productos alimenticios. Muchas personas no saben calcular el volumen de un recipiente, porque pueden tener diferentes formas geométricas:

• Cono;
• Cilindro;
• Esferas;
• Paralelepípedo rectangular.

En nuestro artículo nos familiarizaremos con los matices de los cálculos para cuerpos geométricos específicos.

Cómo saber el volumen de un recipiente rectangular.

En la industria de la construcción, todos los indicadores de volumen se reducen a valores específicos. Los cálculos se pueden realizar en litros o dm. 3 , pero la mayoría de las veces se utilizan metros cúbicos para determinar la cantidad de un material en particular. Describiremos con más detalle cómo calcular la capacidad cúbica de los contenedores rectangulares más simples usando un ejemplo específico.

Para trabajar necesitaremos un recipiente, una cinta métrica de construcción y un bloc de notas con bolígrafo o lápiz para realizar cálculos. Por un curso de geometría sabemos que el volumen de dichos cuerpos se calcula multiplicando el largo, el ancho y el alto del producto. La fórmula de cálculo es la siguiente.

V=a*b*c, donde a, byc son los lados del contenedor.

Por ejemplo, la longitud de nuestro producto es de 150 centímetros, el ancho de 80 centímetros y la altura de 50 centímetros. Para calcular correctamente la cilindrada convertimos los valores indicados a metros y realizamos cálculos necesarios V=1,5*0,8*0,5=0,6m3.

Cómo determinar el volumen de un producto esférico.

Los productos esféricos se encuentran en nuestras vidas casi todos los días. Podría tratarse de un elemento de soporte, de un balón de fútbol o de la parte de escritura de un bolígrafo. En algunos casos, necesitamos aprender a calcular la capacidad cúbica de una esfera para determinar la cantidad de líquido que contiene.

Según los expertos, la fórmula sirve para calcular el volumen de esta figura. V=4/3′r3, Dónde:

• V – volumen calculado de la pieza;
• R es el radio de la esfera;
• ′ es un valor constante que es igual a 3,14.

Para realizar los cálculos necesarios, debemos tomar una cinta métrica, fijar el comienzo de la escala de medición y tomar medidas, y la cinta métrica debe pasar a lo largo del ecuador de la bola. Después de esto, averigüe el diámetro de la pieza dividiendo el tamaño por el número ։.

Ahora conozcamos ejemplo concreto cálculos para una esfera si su circunferencia es de 2,5 metros. Primero, determinemos el diámetro 2,5/3,14=0,8 metros. Ahora sustituimos este valor en la fórmula:

V= (4*3,14*0,8³)/3=2,14m³

Cómo calcular el volumen de un tanque fabricado en forma de cilindro.

Se utilizan formas geométricas similares para almacenar alimentos, transportar combustible y otros fines. Mucha gente no sabe cómo calcular el volumen de agua, pero describiremos los principales matices de este proceso en nuestro artículo.

La altura del líquido en un recipiente cilíndrico se determina mediante un dispositivo especial llamado varilla medidora. En este caso, la capacidad del tanque se calcula mediante tablas especiales. Los productos con tablas de medición de volumen especiales son raros en la vida, así que abordemos el problema de una manera diferente y describamos cómo calcular el volumen de un cilindro usando una fórmula especial: V=S*L, donde

• V es el volumen de un cuerpo geométrico;
• S – área de la sección transversal del producto en unidades de medida específicas (m³);
• L es la longitud del tanque.

El indicador L se puede medir con la misma cinta métrica, pero será necesario calcular el área de la sección transversal del cilindro. El indicador S se calcula mediante la fórmula S=3,14*d*d/4, donde d es el diámetro de la circunferencia del cilindro.

Ahora veamos un ejemplo específico. Digamos que la longitud de nuestro tanque es de 5 metros y su diámetro es de 2,8 metros. Primero, calculemos el área de la sección transversal de la figura geométrica S = 3,14 * 2,8 * 2,8/4 = 6,15 m. Y ahora puedes empezar a calcular el volumen del tanque 6,15 * 5 = 30,75 m³.

¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de comenzar a leer el artículo, preste atención a nuestro navegador para conocer los recursos más útiles para

Así como las figuras planas, además del largo y el ancho, tienen una característica como el área, los cuerpos tridimensionales tienen... volumen. Y así como las discusiones sobre el área comienzan con un cuadrado, ahora comenzaremos con un cubo.

El volumen de un cubo de arista de un metro es igual a un metro cúbico.

Recuerde, un metro cuadrado era el área de un cuadrado y se designaba como metro cuadrado. Bueno, el volumen de un cubo con arista se llama metro cúbico y se designa como m.sq.

¿Qué son los metros cuadrados? Pero mira:

Estos son dos cubos con una arista.

¿Cuál es el volumen de un cubo con arista?

¿Cuántos cubos pequeños (con arista) hay en un cubo grande (con arista)?

Ciertamente, . Por tanto, el volumen de un cubo con arista es igual a metros cúbicos, es decir, metros cuadrados. Pero esto.

E imagínese, esta fórmula es correcta para cualquier cubo, incluso con arista.

Área de la base

Esta fórmula es válida para cualquier prisma, pero si prisma recto, luego “se convierte” en costilla lateral. Y luego

Lo mismo que

Fórmula inusual para el volumen de un prisma.

Imagínese, hay otra fórmula "invertida" para el volumen de un prisma.

Área de sección perpendicular a la nervadura lateral,

Longitud de las costillas laterales.

¿Se utiliza esta fórmula en problemas? Para ser honesto, es bastante raro, por lo que puedes limitarte a conocer la fórmula básica del volumen.

La fórmula principal para el volumen de una pirámide:

¿De dónde vino exactamente? Esto no es tan simple y al principio solo debes recordar que la pirámide y el cono tienen volumen en la fórmula, pero la pirámide y el cilindro no.

Ahora calculemos el volumen de las pirámides más populares.

Volumen de una pirámide triangular regular.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual. Necesitamos encontrar y.

Esta es la zona triangulo regular.

Recordemos cómo buscar esta zona. Usamos la fórmula del área:

Para nosotros “” es esto, y “” es también esto, eh.

Ahora encontrémoslo.

Según el teorema de Pitágoras para

¿Cual es la diferencia? Este es el circunradio porque pirámidecorrecto y, por tanto, el centro.

Desde entonces, el punto de intersección de las medianas también.

(Teorema de Pitágoras para)

Sustituyámoslo en la fórmula de.

Y sustituyamos todo en la fórmula del volumen:

Atención: Si tienes un tetraedro regular (es decir), entonces la fórmula resulta así:

Volumen de una pirámide cuadrangular regular.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual.

No hay necesidad de mirar aquí; Después de todo, la base es un cuadrado, y por tanto.

Lo encontraremos. Según el teorema de Pitágoras para

¿Sabemos? Casi. Mirar:

(vimos esto mirándolo).

Sustituye en la fórmula por:

Y ahora sustituimos y en la fórmula del volumen.

Volumen de una pirámide hexagonal regular.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral.

¿Como encontrar? Mira, un hexágono consta exactamente de seis triángulos regulares idénticos. Ya hemos buscado el área de un triángulo regular al calcular el volumen de un triángulo regular. Pirámide triangular, aquí usamos la fórmula encontrada.

Ahora vamos a buscarlo.

Según el teorema de Pitágoras para

Pero que importa? Es simple porque (y todos los demás también) tienen razón.

Sustituyamos:

Cuerpos de rotación. Fórmula de volumen

Volumen de bola

Esta es otra fórmula complicada que tendrás que memorizar sin entender de dónde viene.

Volumen del cilindro

Volumen del cono

VOLUMEN. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Volumen del cilindro

Radio base

Volumen del cono

Radio base

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Todos los valores están indicados en mm.

h- Nivel liquido.

Y— El tanque es alto.

l— Longitud del contenedor.

X— El embalse es ancho.

Este programa calcula el volumen de líquido en recipientes rectangulares de varios tamaños, también ayudará a calcular la superficie del depósito, el volumen libre y total;

Según los resultados del cálculo, aprenderá:

• El área total del tanque;
• Superficie lateral;
• Zona inferior;
• Volumen libre;
• Cantidad de líquido;
• Volumen de capacidad.

Tecnología para calcular la cantidad de líquido en tanques de varias formas.

Cuando un contenedor tiene una forma geométrica irregular (por ejemplo, en forma de pirámide, paralelepípedo, rectángulo, etc.), primero es necesario medir las dimensiones lineales internas y solo luego realizar los cálculos.

El cálculo del volumen de líquido en un recipiente rectangular pequeño se puede realizar manualmente de la siguiente manera. Es necesario llenar todo el tanque con líquido hasta el borde. Entonces el volumen de agua en este caso será igual al volumen del depósito. A continuación, debes drenar con cuidado toda el agua en recipientes separados. Por ejemplo, en un tanque especial con la forma geométrica correcta o en un cilindro medidor. Con la escala de medición podrá determinar visualmente el volumen de su tanque. Para calcular la cantidad de líquido en un recipiente rectangular, lo mejor es que utilices nuestro programa en línea, que realiza todos los cálculos de forma rápida y precisa.

si el tanque talla grande, y es imposible medir la cantidad de líquido manualmente, entonces puede usar la fórmula para la masa de un gas con una masa molar conocida. Por ejemplo, la masa de nitrógeno M = 0,028 kg/mol. Estos cálculos son posibles cuando el tanque se puede cerrar herméticamente. Ahora, usando un termómetro, medimos la temperatura dentro del tanque, y la presión interna con un manómetro. La temperatura debe expresarse en Kelvin y la presión en Pascales. El volumen de gas interno se puede calcular utilizando la siguiente fórmula (V=(m∙R∙T)/(M∙P)). Es decir, multiplicamos la masa del gas (m) por su temperatura (T) y constante del gas (R). A continuación, el resultado obtenido debe dividirse en presión del gas (P) y masa molar (M). El volumen se expresará en m³.

Cómo calcular y averiguar usted mismo el volumen de un acuario por tamaño

Los acuarios son recipientes de vidrio que llenan agua limpia hasta cierto nivel. Muchos propietarios de acuarios se han preguntado repetidamente qué tamaño tiene su tanque y cómo se pueden realizar los cálculos. El método más simple y confiable es usar una cinta métrica y medir todos los parámetros necesarios, que deben ingresarse en las celdas correspondientes de nuestra calculadora, e inmediatamente obtendrá el resultado final.

Sin embargo, existe otra forma de determinar el volumen de un acuario, que implica un proceso más largo, utilizando un tarro de un litro, llenando poco a poco todo el recipiente hasta el nivel adecuado.

El tercer método para calcular el volumen de un acuario es una fórmula especial. Medimos la profundidad del tanque, alto y ancho en centímetros. Por ejemplo, obtuvimos los siguientes parámetros: profundidad – 50 cm, altura – 60 cm y ancho – 100 cm. Según estas dimensiones, el volumen del acuario se calcula mediante la fórmula (V=X*Y*H) o 100x50x60. =3000000 cm³. A continuación, debemos convertir el resultado resultante a litros. Para hacer esto, multiplique el valor final por 0,001. De aquí se deduce: 0,001x3000000 centímetros, y obtenemos que el volumen de nuestro tanque será de 300 litros. Hemos calculado la capacidad total del contenedor, luego necesitamos calcular el nivel de agua real.

Cada acuario se llena significativamente por debajo de su altura real, para evitar que el agua se desborde, y se cierra con una tapa teniendo en cuenta la regla. Por ejemplo, cuando nuestro acuario tenga una altura de 60 centímetros, las ataduras pegadas se ubicarán entre 3 y 5 centímetros más abajo. Con nuestro tamaño de 60 centímetros, algo menos del 10% del volumen del contenedor recae en bridas de 5 centímetros. A partir de aquí podemos calcular el volumen real de 300 litros - 10% = 270 litros.

¡Importante! Se debe restar un pequeño porcentaje, teniendo en cuenta el volumen del vaso; las dimensiones del acuario o de cualquier otro recipiente se toman del exterior (sin tener en cuenta el grosor del vaso).

A partir de aquí el volumen de nuestro depósito será de 260 litros.