La raíz cuadrada de un número x es un número a, que multiplicado por sí mismo da el número x: a * a = a^2 = x, √x = a. Como ocurre con cualquier número, puedes realizar operaciones aritméticas de suma y resta con raíces cuadradas.

Instrucciones

• En primer lugar, al agregar raíces cuadradas Intente extraer estas raíces. Esto será posible si los números bajo el signo de la raíz son cuadrados perfectos. Por ejemplo, déjese dada la expresión √4 + √9. El primer número 4 es el cuadrado del número 2. El segundo número 9 es el cuadrado del número 3. Así resulta que: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Si no hay cuadrados completos debajo del signo de la raíz, intente eliminar el multiplicador del número debajo del signo de la raíz. Por ejemplo, déjese dada la expresión √24 + √54. Factoriza los números: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. El número 24 tiene un factor de 4, que se puede quitar bajo el signo de la raíz cuadrada. El número 54 tiene un factor de 9. Así, resulta que: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . En este ejemplo, como resultado de eliminar el multiplicador debajo del signo de la raíz, fue posible simplificar la expresión dada.
• Sea la suma de dos raíces cuadradas el denominador de una fracción, por ejemplo, A / (√a + √b). Y que su tarea sea "deshacerse de la irracionalidad en el denominador". Entonces puedes utilizar el siguiente método. Multiplica el numerador y denominador de la fracción por la expresión √a - √b. Así, en el denominador obtenemos la fórmula de multiplicación abreviada: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Por analogía, si el denominador contiene la diferencia entre las raíces: √a - √b, entonces el numerador y denominador de la fracción deben multiplicarse por la expresión √a + √b. Por ejemplo, sea la fracción 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Considere más ejemplo complejo deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Sea dada la fracción 12 / (√2 + √3 + √5). Es necesario multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Finalmente, si solo necesitas un valor aproximado, puedes utilizar una calculadora para calcular las raíces cuadradas. Calcule los valores por separado para cada número y escríbalos con la precisión requerida (por ejemplo, dos decimales). Y luego realice las operaciones aritméticas necesarias, como con los números ordinarios. Por ejemplo, digamos que necesitas saber el valor aproximado de la expresión √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy “no muy”. »
Y para los que “muchísimo. ")

En la lección anterior descubrimos qué es una raíz cuadrada. Es hora de descubrir cuáles existen. fórmulas para raíces¿cuáles son? propiedades de las raíces, y qué se puede hacer con todo esto.

Fórmulas de raíces, propiedades de raíces y reglas para trabajar con raíces.- esto es esencialmente lo mismo. Sorprendentemente existen pocas fórmulas para raíces cuadradas. ¡Lo cual ciertamente me hace feliz! O mejor dicho, puedes escribir muchas fórmulas diferentes, pero para un trabajo práctico y seguro con raíces, solo tres son suficientes. Todo lo demás surge de estos tres. Aunque mucha gente se confunde en las tres fórmulas raíz, sí.

Empecemos por el más sencillo. Aqui esta ella:

Déjame recordarte (de la lección anterior): a y b son números no negativos! De lo contrario la fórmula no tiene sentido.

Este propiedad de las raíces , como puedes ver, es simple, breve e inofensivo. ¡Pero hay tantas cosas maravillosas que puedes hacer con esta fórmula de raíz! Miremos a ejemplos todas estas cosas útiles.

Cosa útil primero. Esta fórmula nos permite multiplicar raíces.

¿Cómo multiplicar raíces?

Sí, muy sencillo. Directo a la fórmula. Por ejemplo:

Parecería que lo multiplicaron, ¿y qué? ¿Hay mucha alegría? Estoy de acuerdo, un poco. Como te gusta esto ejemplo?

Las raíces no se extraen exactamente de los factores. ¡Y el resultado es excelente! Así es mejor, ¿verdad? Por las dudas, déjame decirte que puede haber tantos multiplicadores como quieras. La fórmula para multiplicar raíces todavía funciona. Por ejemplo:

Entonces, con la multiplicación todo está claro, ¿por qué es necesario? propiedad de las raíces- también comprensible.

Lo segundo es útil. Ingresando un número debajo del signo raíz.

¿Cómo ingresar un número debajo de la raíz?

Supongamos que tenemos esta expresión:

¿Es posible ocultar el dos dentro de la raíz? ¡Fácilmente! Si haces una raíz a partir de dos, la fórmula para multiplicar raíces funcionará. ¿Cómo se puede hacer una raíz a partir de dos? ¡Sí, tampoco hay dudas! dos es raíz cuadrada de cuatro!

Por cierto, ¡se puede formar una raíz a partir de cualquier número no negativo! Esta será la raíz cuadrada del cuadrado de este número. 3 es la raíz de 9. 8 es la raíz de 64. 11 es la raíz de 121. Bueno, y así sucesivamente.

Por supuesto, no es necesario describirlo con tanto detalle. Bueno, para empezar. Basta darse cuenta de que cualquier número no negativo multiplicado por la raíz se puede sumar debajo de la raíz. ¡Pero no lo olvides! - bajo la raíz este número se convertirá cuadrado tú mismo. Esta acción (ingresar un número debajo de la raíz) también se puede llamar multiplicar el número por la raíz. En términos generales podemos escribir:

El procedimiento es sencillo, como puedes ver. ¿Por qué es necesario?

Como toda transformación, este procedimiento amplía nuestras capacidades. Oportunidades para convertir una expresión cruel e incómoda en una suave y esponjosa). Aquí tienes uno sencillo ejemplo:

Como se puede ver, propiedad de las raíces, que le permite ingresar un multiplicador bajo el signo de la raíz, es bastante adecuado para simplificar.

Además, agregar un factor a la raíz facilita la comparación de los valores de diferentes raíces. ¡Sin cálculos ni calculadora! La tercera cosa útil.

¿Cómo comparar raíces?

Esta habilidad es muy importante en tareas serias, al revelar módulos y otras cosas interesantes.

Compara estas expresiones. ¿Cuál es más grande? ¡Sin calculadora! Cada uno con una calculadora. uh-uh. En resumen, ¡todos pueden hacerlo!)

No puedes decir eso de inmediato. ¿Qué pasa si ingresa números debajo del signo raíz?

Recordemos (¿y si no lo supieras?): si el número debajo del signo de la raíz es mayor, ¡entonces la raíz misma es más grande! De ahí la respuesta correcta inmediatamente, sin ningún cálculos complejos y cálculos:

Genial, ¿verdad? ¡Pero eso no es todo! Recordemos que todas las fórmulas funcionan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. Hasta ahora hemos utilizado la fórmula para multiplicar raíces de izquierda a derecha. Ejecutemos esta propiedad de las raíces al revés, de derecha a izquierda. Como esto:

¿Y cuál es la diferencia? ¿Esto aporta algo? ¡Ciertamente! Ahora lo verás por ti mismo.

Supongamos que necesitamos extraer (¡sin calculadora!) la raíz cuadrada del número 6561. Algunas personas en esta etapa se encontrarán en una lucha desigual con la tarea. ¡Pero somos persistentes, no nos rendimos! La cuarta cosa útil.

¿Cómo extraer raíces de grandes cantidades?

Recordemos la fórmula para extraer raíces de un producto. El que escribí justo arriba. ¿Pero dónde está nuestro trabajo? Tenemos un número enorme 6561 y eso es todo. Sí, el trabajo no está aquí. Pero si lo necesitamos, lo haremos Vamos a hacerlo! Factoricemos este número. Tenemos el derecho.

Primero, averigüemos ¿por qué es divisible exactamente este número? ¿¡Qué, no lo sabes!? ¿¡Has olvidado los signos de divisibilidad!? En vano. Vaya a la Sección Especial 555, tema “Fracciones”, ahí están. Este número es divisible por 3 y 9. Porque la suma de los números (6+5+6+1=18) se divide por estos números. Este es uno de los signos de divisibilidad. No necesitamos dividir entre tres (ahora entenderás por qué), pero sí dividiremos entre 9. Al menos en un rincón. Obtenemos 729. ¡Así que hemos encontrado dos factores! El primero es nueve (lo elegimos nosotros mismos) y el segundo es 729 (así resultó). Ya puedes escribir:

¿Entiendes la idea? Haremos lo mismo con el número 729. También es divisible por 3 y 9. No volvemos a dividir por 3, dividimos por 9. Obtenemos 81. ¡Y conocemos este número! Anotamos:

¡Todo resultó fácil y elegante! Había que extraer la raíz trozo a trozo, pero bueno. Puedes hacer esto con cualquiera. números grandes. ¡Multiplícalos y adelante!

Por cierto, ¿por qué no tuviste que dividir entre 3? ¡Sí, porque la raíz de tres no se puede extraer exactamente! Tiene sentido incluirlo en factores tales que la raíz se pueda extraer bien de al menos uno. Estos son 4, 9, 16, etc. Divide tu enorme número por estos números uno por uno y ¡tendrás suerte!

Pero no necesariamente. Puede que no tengas suerte. Digamos que el número 432, cuando se factoriza y se usa la fórmula raíz del producto, dará el siguiente resultado:

Bueno esta bien. De todos modos, simplificamos la expresión. En matemáticas, se acostumbra dejar lo más número pequeño de lo posible. En el proceso de resolución, todo depende del ejemplo (tal vez todo se pueda acortar sin simplificación), pero en la respuesta es necesario dar un resultado que no se pueda simplificar más.

Por cierto, ¿sabes qué hicimos con la raíz del 432?

Nosotros sacó los factores de debajo del signo raíz ! Así se llama esta operación. De lo contrario, recibirá una tarea: " eliminar el factor de debajo del signo raíz"Pero los hombres ni siquiera lo saben.) Aquí tienes otra aplicación propiedades de las raíces. Lo útil quinto.

¿Cómo quitar el multiplicador de debajo de la raíz?

Fácilmente. Factorizar la expresión radical y extraer las raíces que se extraen. Miremos:

Nada sobrenatural. Es importante elegir los multiplicadores adecuados. Aquí hemos ampliado 72 como 36·2. Y todo salió bien. O podrían haberlo ampliado de otra manera: 72 = 6·12. ¿¡Y qué!? La raíz no se puede extraer ni de 6 ni de 12. ¡¿Qué hacer?!

Está bien. ¡Busque otras opciones de descomposición o continúe descomponiendo todo hasta que se detenga! Como esto:

Como puedes ver, todo salió bien. Este, por cierto, no es el más rápido, pero sí el más. manera confiable. Divide el número en los factores más pequeños y luego reúne los mismos en montones. El método también se utiliza con éxito al multiplicar raíces inconvenientes. Por ejemplo, necesitas calcular:

Multiplica todo: ¡obtendrás un número loco! ¿Y luego cómo extraerle la raíz? ¿Factorizar de nuevo? No, no necesitamos ningún trabajo extra. Inmediatamente lo factorizamos en factores y los recopilamos en grupos:

Eso es todo. Por supuesto, no es necesario ampliarlo por completo. Todo está determinado por tus habilidades personales. Llevamos el ejemplo al punto en que todo esta claro para ti Eso significa que ya podemos contar. Lo principal es no cometer errores. ¡No el hombre para las matemáticas, sino las matemáticas para el hombre!)

¿Aplicamos el conocimiento a la práctica? Comencemos con algo simple:

Regla para sumar raíces cuadradas

Propiedades de las raíces cuadradas

Hasta ahora hemos realizado cinco operaciones aritméticas con números: suma, resta, multiplicación, división y exponenciación, y en los cálculos se utilizaron activamente varias propiedades de estas operaciones, por ejemplo a + b = b + a, a n -b n = (ab) n, etc.

Este capítulo presenta una nueva operación: sacar la raíz cuadrada de un número no negativo. Para utilizarlo correctamente, debe familiarizarse con las propiedades de esta operación, lo cual haremos en esta sección.

Prueba. Introduzcamos la siguiente notación:
Necesitamos demostrar que para no números negativos x, y, z se cumple la igualdad x = yz.

Entonces, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Entonces x 2 = y 2 z 2, es decir, x 2 = (yz) 2.

Si cuadrícula dos números no negativos son iguales, entonces los números mismos son iguales, lo que significa que de la igualdad x 2 = (yz) 2 se sigue que x = yz, y esto era lo que había que demostrar.

Aquí hay un breve resumen de la demostración del teorema:

Nota 1. El teorema sigue siendo válido para el caso en que la expresión radical es el producto de más de dos factores no negativos.

Nota 2. Teorema 1 se puede escribir usando la construcción "si". , entonces” (como es habitual con los teoremas en matemáticas). Damos la formulación correspondiente: si a y b son números no negativos, entonces la igualdad es verdadera .

Así es exactamente como formularemos el siguiente teorema.

(Una formulación breve que es más conveniente de usar en la práctica: la raíz de una fracción es igual a la fracción de raíces, o la raíz del cociente es igual al cociente de raíces).

Esta vez daremos sólo un breve resumen de la demostración e intentaremos hacer comentarios apropiados similares a los que formaron la esencia de la demostración del Teorema 1.

Ejemplo 1. Calcular.
Solución. Usando la primera propiedad raíces cuadradas(Teorema 1), obtenemos

Nota 3. Por supuesto, este ejemplo se puede resolver de otra manera, especialmente si tienes una microcalculadora a mano: multiplica los números 36, 64, 9 y luego saca la raíz cuadrada del producto resultante. Sin embargo, estará de acuerdo en que la solución propuesta anteriormente parece más cultural.

Nota 4. En el primer método, realizamos cálculos "de frente". La segunda forma es más elegante:
aplicamos fórmula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) y utilizó la propiedad de las raíces cuadradas.

Nota 5. Algunos “exaltados” a veces ofrecen esta “solución” al Ejemplo 3:

Esto, por supuesto, no es cierto: verá, el resultado no es el mismo que en el ejemplo 3. El hecho es que no hay propiedad , ya que no hay propiedades Sólo hay propiedades relacionadas con la multiplicación y división de raíces cuadradas. Tenga cuidado y cuidado, no haga ilusiones.

Ejemplo 4. Calcular: a)
Solución. Cualquier fórmula en álgebra se utiliza no sólo "de derecha a izquierda", sino también "de izquierda a derecha". Así, la primera propiedad de las raíces cuadradas significa que, si es necesario, puede representarse en la forma , y viceversa, que puede sustituirse por la expresión. Lo mismo se aplica a la segunda propiedad de las raíces cuadradas. Teniendo esto en cuenta, resolvamos el ejemplo propuesto.

Para concluir este párrafo, observemos una cosa más que es bastante simple y al mismo tiempo propiedad importante:
si a > 0 y n - número natural , Eso

Ejemplo 5. Calcular sin utilizar una tabla de cuadrados de números y una microcalculadora.

Solución. Factoricemos el número radical en factores primos:

Nota 6. Este ejemplo podría resolverse de la misma manera que el ejemplo similar del § 15. Es fácil adivinar que la respuesta será “80 con cola”, ya que 80 2 2 . Busquemos la "cola", es decir el último dígito del número deseado. Hasta ahora sabemos que si se saca la raíz, entonces la respuesta puede ser 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 u 89. Sólo necesitamos verificar dos números: 84 y 86, ya que solo ellos, al cuadrado, dará como resultado cuatro dígitos un número que termina en 6, es decir el mismo dígito que termina el número 7056. Tenemos 84 2 = 7056; esto es lo que necesitamos. Medio,

Mordkovich A.G., Álgebra. 8vo grado: Libro de texto. para educación general instituciones. - 3ª ed., revisada. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: enfermo.

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Cómo sumar raíces cuadradas

Raíz cuadrada de un número X número llamado A, que en el proceso de multiplicarse por sí mismo ( AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO) puede dar un número X.
Aquellos. A * A = A 2 = X, Y √X = A.

Por encima de las raíces cuadradas ( √x), al igual que otros números, puedes realizar operaciones aritméticas como resta y suma. Para restar y sumar raíces, es necesario conectarlas mediante los signos correspondientes a estas acciones (por ejemplo √x— √y ).
Y luego traerles las raíces. la forma mas simple- Si hay similares entre ellos, es necesario hacer una reducción. Consiste en tomar los coeficientes de términos semejantes con los signos de los términos correspondientes, luego ponerlos entre paréntesis y deducir la raíz común fuera de los paréntesis del factor. El coeficiente que obtuvimos se simplifica según las reglas habituales.

Paso 1: extraer raíces cuadradas

En primer lugar, para sumar raíces cuadradas, primero debes extraer estas raíces. Esto se puede hacer si los números bajo el signo de la raíz son cuadrados perfectos. Por ejemplo, tome la expresión dada √4 + √9 . Primer número 4 es el cuadrado del numero 2 . segundo numero 9 es el cuadrado del numero 3 . Así, podemos obtener la siguiente igualdad: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Eso es todo, el ejemplo está solucionado. Pero no siempre sucede tan fácilmente.

Paso 2. Extraer el multiplicador del número de debajo de la raíz

Si no hay cuadrados perfectos debajo del signo de la raíz, puedes intentar eliminar el multiplicador del número debajo del signo de la raíz. Por ejemplo, tomemos la expresión √24 + √54 .

Factoriza los números:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Entre 24 tenemos un multiplicador 4 , se puede sacar de debajo del signo de la raíz cuadrada. Entre 54 tenemos un multiplicador 9 .

Obtenemos la igualdad:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Considerando este ejemplo, obtenemos la eliminación del multiplicador debajo del signo de la raíz, simplificando así la expresión dada.

Paso 3: Reducir el denominador

Considere la siguiente situación: la suma de dos raíces cuadradas es el denominador de la fracción, por ejemplo, A/(√a + √b).
Ahora nos enfrentamos a la tarea de "deshacernos de la irracionalidad en el denominador".
Usemos el siguiente método: multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión √a - √b.

Ahora obtenemos la fórmula de multiplicación abreviada en el denominador:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

De manera similar, si el denominador tiene una diferencia de raíces: √a - √b, el numerador y denominador de la fracción se multiplican por la expresión √a + √b.

Tomemos la fracción como ejemplo:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ejemplo de reducción de denominador complejo

Ahora consideraremos un ejemplo bastante complejo de cómo deshacerse de la irracionalidad en el denominador.

Por ejemplo, tomemos una fracción: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Necesitas tomar su numerador y denominador y multiplicar por la expresión. √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Paso 4. Calcula el valor aproximado en la calculadora.

Si solo necesitas un valor aproximado, puedes hacerlo en una calculadora calculando el valor de las raíces cuadradas. El valor se calcula por separado para cada número y se anota con la precisión requerida, que está determinada por el número de decimales. A continuación, se realizan todas las operaciones necesarias, como con los números ordinarios.

Ejemplo de cálculo de un valor aproximado.

Es necesario calcular el valor aproximado de esta expresión. √7 + √5 .

Como resultado obtenemos:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Tenga en cuenta: bajo ninguna circunstancia debe agregar raíces cuadradas como números primos, esto es completamente inaceptable. Es decir, si sumamos la raíz cuadrada de cinco y la raíz cuadrada de tres, no podemos obtener la raíz cuadrada de ocho.

Consejo útil: si decide factorizar un número, para obtener el cuadrado debajo del signo de la raíz, debe hacer una verificación inversa, es decir, multiplicar todos los factores que resultaron de los cálculos y el resultado final de este. El cálculo matemático debe ser el número que se nos dio originalmente.

Operación con raíces: suma y resta

Extraer la raíz del cuadrante de un número no es la única operación que se puede realizar con este fenómeno matemático. Al igual que los números normales, las raíces cuadradas suman y restan.

Reglas para sumar y restar raíces cuadradas

Operaciones como la suma y resta de raíces cuadradas solo son posibles si la expresión radical es la misma.

Puedes sumar o restar expresiones 2 3 y 6 3, pero no 5 6 Y 9 4. Si es posible simplificar la expresión y reducirla a raíces con el mismo radical, entonces simplifica y luego suma o resta.

Acciones con raíces: conceptos básicos

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Simplifica la expresión radical.. Para hacer esto, es necesario descomponer la expresión radical en 2 factores, uno de los cuales es un número cuadrado (el número del cual se extrae la raíz cuadrada completa, por ejemplo, 25 o 9).
2. Entonces necesitas sacar la raíz del número cuadrado. y escriba el valor resultante antes del signo raíz. Tenga en cuenta que el segundo factor se ingresa bajo el signo de la raíz.
3. Después del proceso de simplificación, es necesario enfatizar las raíces con las mismas expresiones radicales; solo se pueden sumar y restar.
4. Para raíces con las mismas expresiones radicales, es necesario sumar o restar los factores que aparecen antes del signo de la raíz. La expresión radical se mantiene sin cambios. ¡No puedes sumar ni restar números radicales!

Si tiene un ejemplo con una gran cantidad de expresiones radicales idénticas, subraye dichas expresiones con líneas simples, dobles y triples para facilitar el proceso de cálculo.

Intentemos resolver este ejemplo:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Primero debes descomponer 50 en 2 factores 25 y 2, luego sacar la raíz de 25, que es igual a 5, y sacar 5 de debajo de la raíz. Después de esto, debes multiplicar 5 por 6 (el factor de la raíz) y obtener 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Primero, debes descomponer 8 en 2 factores: 4 y 2. Luego, de 4, extrae la raíz, que es igual a 2, y quita 2 de debajo de la raíz. Después de esto, debes multiplicar 2 por 2 (el multiplicador en la raíz) y obtener 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Primero debes descomponer 12 en 2 factores: 4 y 3. Luego extrae la raíz de 4, que es igual a 2, y quítala de debajo de la raíz. Después de esto, debes multiplicar 2 por 5 (el factor de la raíz) y obtener 10 3.

Resultado de la simplificación: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Como resultado, vimos cuántas expresiones radicales idénticas están contenidas en este ejemplo. Ahora practiquemos con otros ejemplos.

• Simplifiquemos (45) . Factorizar 45: (45) = (9 × 5);
• Sacamos 3 de debajo de la raíz (9 = 3): 45 = 3 5;
• Suma los factores en las raíces: 3 5 + 4 5 = 7 5.
• Simplifiquemos 6 40 . Factorizamos 40: 6 40 = 6 (4 × 10);
• Sacamos 2 de debajo de la raíz (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Multiplicamos los factores que aparecen delante de la raíz: 12 10 ;
• Escribimos la expresión de forma simplificada: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Como los dos primeros términos tienen los mismos números radicales, podemos restarlos: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Como vemos, no es posible simplificar los números radicales, por lo que buscamos términos con los mismos números radicales en el ejemplo, realizamos Operaciones matemáticas(suma, resta, etc.) y anota el resultado:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Consejo:

• Antes de sumar o restar es necesario simplificar (si es posible) las expresiones radicales.
• Está estrictamente prohibido sumar y restar raíces con diferentes expresiones radicales.
• No debes sumar ni restar un número entero o raíz: 3 + (2 x) 1/2.
• Al realizar operaciones con fracciones, necesitas encontrar un número que sea divisible por cada denominador, luego llevar las fracciones a un denominador común, luego sumar los numeradores y dejar los denominadores sin cambios.

Propiedades de la raíz cuadrada aritmética. El poder de la raíz cuadrada aritmética

Conversión de raíces cuadradas aritméticas. Inversión de raíces cuadradas aritméticas

Extraer raíz cuadrada de un polinomio, necesitas calcular el polinomio y extraer la raíz del número resultante.

¡Atención! No se puede extraer la raíz de cada término (minuado y restado) por separado.

Shchob Vityagti raíz cuadrada de un polinomio, debe calcular el término rico y extraer la raíz del número eliminado.

¡Respeto! No es posible extraer la raíz del apéndice de la piel (cambiado o eliminado) okremo.

Sacar la raíz cuadrada de un producto (cociente), puedes calcular la raíz cuadrada de cada factor (dividendo y divisor) y tomar los valores resultantes como un producto (cociente).

Para restar la raíz cuadrada de la parte adicional (partes), puede calcular la raíz cuadrada del multiplicador de piel (dividido y dividido) y tomar el valor restado como una parte adicional (parte).

Para extraer la raíz cuadrada de una fracción., debe extraer la raíz cuadrada del numerador y el denominador por separado y dejar los valores resultantes como una fracción o calcularlos como un cociente (si esto es posible según la condición).

Para restar la raíz cuadrada de la fracción, debe extraer la raíz cuadrada del número y el signo del signo, y eliminar el valor de la fracción o calcularlo como una parte (como es posible para el cerebro).

Puedes sacar un multiplicador debajo del signo raíz y puedes poner un multiplicador debajo del signo raíz. Cuando se elimina un factor, se le extrae la raíz y, cuando se añade, se eleva a la potencia adecuada.

Puede ingresar un multiplicador detrás del signo raíz y puede ingresar un multiplicador debajo del signo raíz. Cuando se suma un multiplicador, se extrae la raíz de él, y cuando se suma, se extrae la raíz de él.

Ejemplos. Apliquelo

Para convertir la suma (diferencia) de raíces cuadradas, es necesario reducir las expresiones radicales a la misma base de grado, si es posible, extraer las raíces de las potencias y escribirlas delante de los signos de las raíces, y el resto Se pueden sumar raíces cuadradas con las mismas expresiones radicales, para lo cual se suman los coeficientes delante del signo y se suma la misma raíz cuadrada.

Para transformar la suma (tamaño) de raíces cuadradas es necesario llevar las expresiones radicales a una base del paso, lo cual es posible restando las raíces de los pasos y escribiéndolas delante de los signos de las raíces, y el Se pueden utilizar raíces cuadradas con las mismas para plegar, para lo cual se suman coeficientes antes del signo de la raíz y se suma la misma raíz cuadrada.

Reduzcamos todas las expresiones radicales a base 2.

Desde un grado par, la raíz se elimina por completo; desde un grado impar, la raíz de la base en la potencia de 1 se deja bajo el signo de la raíz.

Presentamos números enteros similares y sumamos los coeficientes con las mismas raíces. Escribamos el binomio como el producto de un número y un binomio suma.

Llevemos todas las raíces a la base 2.

Desde un paso emparejado, la raíz se extrae hacia afuera; desde un paso no emparejado, la raíz de la base en el paso 1 se elimina bajo el signo de la raíz.

Se suman números y coeficientes similares a las mismas raíces. Escribamos el binomio como la suma del número y la suma binomial.

Reducimos expresiones radicales a la base más pequeña o al producto de potencias con las bases más pequeñas. De potencias pares de expresiones radicales extraemos la raíz; los restos en forma de base del grado con exponente 1 o el producto de dichas bases se dejan bajo el signo de la raíz. Presentamos términos similares (sumamos los coeficientes de raíces idénticas).

Realizamos el enraizamiento de la expresión a la base más pequeña o la creación de escalones desde la base más pequeña. La raíz se extrae de dos pasos de variedades subarraíces, el exceso en forma de base del paso con indicador 1 o la adición de dichas bases se elimina bajo el signo de la raíz. Introducimos miembros similares (se suma el coeficiente de las nuevas raíces).

Reemplacemos la división de fracciones con la multiplicación (con reemplazo de la segunda fracción por su recíproco). Multipliquemos los numeradores y denominadores de las fracciones por separado. Debajo de cada signo raíz resaltamos los grados. Reduzcamos los mismos factores en el numerador y denominador. Echemos raíces en potencias pares.

Reemplazar la división de fracciones con multiplicación (reemplazando otra fracción con una fracción). Multipliquemos los números y los significantes de las fracciones. Los escalones son visibles bajo el signo cutáneo de la raíz. Sin embargo, rápidamente aparecen nuevos multiplicadores en el libro de números y en el libro de signos. Raíz de Vinesemo de los pasos de los chicos.

Para comparar dos raíces cuadradas, sus expresiones radicales deben reducirse a grados con la misma base, entonces cuantos más grados de la expresión radical se muestren, más mas valor raíz cuadrada.

En este ejemplo, es imposible reducir expresiones radicales a una base, ya que en la primera la base es 3 y en la segunda, 3 y 7.

La segunda forma de comparación es ingresar el coeficiente de la raíz en la expresión radical y comparar los valores numéricos de las expresiones radicales. Para una raíz cuadrada, cuanto mayor sea la expresión radical, mayor será el valor de la raíz.

Para igualar dos raíces cuadradas, sus expresiones raíz deben llevarse a un nivel con la misma base, por lo que cuanto mayor sea el grado de expresión raíz, mayor será el valor de la raíz cuadrada.

En un caso, no es posible reducir la raíz de la expresión a una base, ya que en el primero la base es 3, y en el otro, 3 y 7.

Otra forma de igualar es introducir el coeficiente raíz en la expresión raíz e igualar los valores numéricos de las expresiones raíz. En una raíz cuadrada, cuanto mayor sea el vértice de la subraíz, mayor será el valor de la raíz.

Usando la ley distributiva de la multiplicación y la regla para multiplicar raíces con los mismos exponentes (en nuestro caso, raíces cuadradas), obtuvimos la suma de dos raíces cuadradas con el producto bajo el signo de la raíz. Descompongamos 91 en factores primos y saquemos la raíz de los paréntesis con factores radicales comunes (13*5).

Hemos obtenido el producto de una raíz y un binomio, uno de cuyos monomios es un número entero (1).

La ley de multiplicación separada de Vikorist y la regla de multiplicar raíces con los mismos indicadores (en nuestro caso, raíces cuadradas), restan la suma de dos raíces cuadradas con una suma bajo el signo de la raíz. Colocamos 91 en multiplicadores simples y llevamos la raíz por los brazos desde los multiplicadores subyacentes (13*5).

Tomamos la suma de una raíz y un binomio, en el que uno de los monomios tiene un número entero (1).

Trasero 9:

En expresiones radicales seleccionamos por factores los números de los que se puede extraer la raíz cuadrada entera. Extraigamos las raíces cuadradas de las potencias y asignemos los números a los coeficientes de las raíces cuadradas.

Los términos de este polinomio tienen un factor común √3, que se puede quitar entre paréntesis. Presentemos términos similares.

En las expresiones de raíz, los números se ven como multiplicadores, de los cuales se puede restar la raíz cuadrada completa. Tomamos las raíces cuadradas de los pasos y ponemos los números como coeficientes de las raíces cuadradas.

Los términos de este polinomio tienen un multiplicador múltiplo √3, que puede llevarse por los brazos. Estamos haciendo adiciones similares.

El producto de la suma y la diferencia de dos. motivos idénticos(3 y √5) usando la fórmula de multiplicación abreviada se puede escribir como la diferencia de los cuadrados de las bases.

La raíz cuadrada al cuadrado siempre es igual a la expresión radical, por lo que eliminaremos el radical (el signo de la raíz) en la expresión.

La suma de la suma y la diferencia de dos nuevas bases (3 y √5) usando la fórmula corta de multiplicación se puede escribir como la diferencia de los cuadrados de las bases.

La raíz cuadrada del cuadrado siempre es más antigua que la raíz del virus, por eso recordaremos el radical (signo de la raíz) del virus.

De vuelta a la escuela. Adición de raíces

En nuestra época, con las computadoras electrónicas modernas, calcular la raíz de un número no parece una tarea difícil. Por ejemplo, √2704=52, cualquier calculadora calculará esto por usted. Afortunadamente, la calculadora está disponible no solo en Windows, sino también en un teléfono normal, incluso en el más simple. Es cierto que si de repente (con un pequeño grado de probabilidad, cuyo cálculo, por cierto, incluye sumar las raíces) te encuentras sin fondos disponibles Entonces, por desgracia, tendrás que confiar únicamente en tu cerebro.

El entrenamiento mental nunca falla. Especialmente para aquellos que no trabajan con números tan a menudo y mucho menos con raíces. Sumar y restar raíces es un buen ejercicio para una mente aburrida. También te mostraré cómo agregar raíces paso a paso. Ejemplos de expresiones pueden ser los siguientes.

Ecuación a simplificar:

Ésta es una expresión irracional. Para simplificarlo, es necesario reducir todas las expresiones radicales a apariencia general. Lo hacemos paso a paso:

El primer número ya no se puede simplificar. Pasemos al segundo mandato.

3√48 factorizamos 48: 48=2×24 o 48=3×16. La raíz cuadrada de 24 no es un número entero, es decir tiene un resto fraccionario. porque necesitamos valor exacto, entonces las raíces aproximadas no nos convienen. La raíz cuadrada de 16 es 4, sácala de debajo del signo de la raíz. Obtenemos: 3×4×√3=12×√3

Nuestra siguiente expresión es negativa, es decir escrito con un signo menos -4×√(27.) Factorizamos 27. Obtenemos 27=3×9. No utilizamos factores fraccionarios porque es más difícil calcular la raíz cuadrada de las fracciones. Sacamos 9 de debajo del cartel, es decir. calcular la raíz cuadrada. Obtenemos la siguiente expresión: -4×3×√3 = -12×√3

El siguiente término √128 calcula la parte que se puede sacar de debajo de la raíz. 128=64×2, donde √64=8. Si te lo pone más fácil, puedes imaginar esta expresión así: √128=√(8^2×2)

Reescribimos la expresión con términos simplificados:

Ahora sumamos los números usando la misma expresión radical. No se pueden sumar ni restar expresiones con diferentes expresiones radicales. Agregar raíces requiere el cumplimiento de esta regla.

Obtenemos la siguiente respuesta:

√2=1×√2 - Espero que el hecho de que en álgebra sea costumbre omitir tales elementos no sea una novedad para usted.

Las expresiones se pueden representar no solo por la raíz cuadrada, sino también por la raíz cúbica o enésima.

Sumar y restar raíces con diferentes indicadores grados, pero con una expresión radical equivalente, ocurre de la siguiente manera:

Si tenemos una expresión de la forma √a+∛b+∜b, entonces podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Trajimos a dos miembros similares a indicador general raíz Aquí se utilizó la propiedad de las raíces, que establece: si el número del grado de la expresión radical y el número del exponente de la raíz se multiplican por el mismo número, entonces su cálculo permanecerá sin cambios.

Nota: los exponentes sólo se suman al multiplicar.

Consideremos un ejemplo cuando la expresión contiene fracciones.

Decidiremos por etapas:

5√8=5*2√2 - sacamos la parte extraída de debajo de la raíz.

Si el cuerpo de la raíz está representado por una fracción, a menudo esta fracción no cambiará si tomas la raíz cuadrada del dividendo y el divisor. Como resultado, obtuvimos la igualdad descrita anteriormente.

Aquí está la respuesta.

Lo principal que hay que recordar es que una raíz con exponente par no se puede extraer de números negativos. Si la expresión radical de grado par es negativa, entonces la expresión no tiene solución.

La suma de raíces sólo es posible si las expresiones radicales coinciden, ya que son términos similares. Lo mismo se aplica a la diferencia.

La suma de raíces con distintos exponentes numéricos se realiza reduciendo ambos términos a un grado de raíz común. Esta ley funciona de la misma manera que la reducción a un denominador común al sumar o restar fracciones.

Si una expresión radical contiene un número elevado a una potencia, entonces esta expresión se puede simplificar siempre que exista un denominador común entre el exponente de la raíz y la potencia.

Raíz cuadrada de un producto y una fracción

La raíz cuadrada de un número es un número cuyo cuadrado es igual a a. Por ejemplo, los números -5 y 5 son raíces cuadradas del número 25. Es decir, las raíces de la ecuación x^2=25 son las raíces cuadradas del número 25. Ahora necesitas aprender a trabajar con el cuadrado. Operación raíz: estudia sus propiedades básicas.

Raíz cuadrada del producto

√(a*b) =√a*√b

La raíz cuadrada del producto de dos números no negativos es igual al producto de las raíces cuadradas de estos números. Por ejemplo, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Es importante entender que esta propiedad también se aplica al caso en que la expresión radical es producto de tres, cuatro, etc. factores no negativos.

A veces existe otra formulación de esta propiedad. Si a y b son números no negativos, entonces se cumple la siguiente igualdad: √(a*b) =√a*√b. No hay absolutamente ninguna diferencia entre ellos; puede utilizar una u otra formulación (que le resulte más conveniente recordar).

Raíz cuadrada de una fracción

Si a>=0 y b>0, entonces se cumple la siguiente igualdad:

√(a/b) =√a/√b.

Por ejemplo, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Esta propiedad también tiene una formulación diferente, que, en mi opinión, es más conveniente para la memorización.
La raíz cuadrada del cociente es igual al cociente de las raíces.

Vale la pena señalar que estas fórmulas funcionan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. Es decir, si es necesario, podemos representar el producto de raíces como raíz de un producto. Lo mismo se aplica a la segunda propiedad.

Como habrás notado, estas propiedades son muy convenientes y me gustaría tener las mismas propiedades para la suma y la resta:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Pero lamentablemente tales propiedades son cuadradas. no tener raíces, y por eso es tan no se puede hacer en los cálculos.

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La forma más sencilla de restar una raíz a un número es con una calculadora. Pero, si no tienes una calculadora, entonces necesitas conocer el algoritmo para calcular la raíz cuadrada. El hecho es que debajo de la raíz hay un número al cuadrado. Por ejemplo, 4 al cuadrado es 16. Es decir, la raíz cuadrada de 16 será igual a cuatro. Además, 5 al cuadrado es 25. Por lo tanto, la raíz de 25 será 5. Y así sucesivamente.

Si el número es pequeño, entonces se puede restar fácilmente verbalmente, por ejemplo, la raíz de 25 será igual a 5 y la raíz de 144-12. También puede calcular en la calculadora; hay un ícono de raíz especial; debe ingresar el número y hacer clic en el ícono.

Una tabla de raíces cuadradas también ayudará:

También existen métodos que son más complejos, pero muy efectivos:

La raíz de cualquier número se puede restar con una calculadora, especialmente porque hoy en día están disponibles en todos los teléfonos.

Puedes intentar estimar aproximadamente cómo puede resultar un número determinado multiplicando un número por sí mismo.



Calcular la raíz cuadrada de un número no es difícil, especialmente si tienes una tabla especial. Una tabla muy conocida de las lecciones de álgebra. Esta operación se llama sacar la raíz cuadrada de un número, en otras palabras, resolver una ecuación. Casi todas las calculadoras de los teléfonos inteligentes tienen una función para determinar la raíz cuadrada.



El resultado de sacar la raíz cuadrada de un número conocido será otro número, que elevado a la segunda potencia (cuadrado), dará el mismo número que conocemos. Veamos una de las descripciones de los cálculos, que parece breve y clara:







Aquí un vídeo sobre el tema:

Hay varias formas de calcular la raíz cuadrada de un número.

La forma más popular es utilizar una tabla raíz especial (ver más abajo).

Además, cada calculadora tiene una función con la que puedes averiguar la raíz.

O usando una fórmula especial.



Hay varias formas de extraer la raíz cuadrada de un número. Uno de ellos es el más rápido y utiliza una calculadora.

Pero si no tienes calculadora, puedes hacerlo manualmente.

El resultado será exacto.

El principio es casi el mismo que dividir por una columna:



















Intentemos encontrar la raíz cuadrada de un número sin calculadora, por ejemplo, 190969.







Así, todo es sumamente sencillo. En los cálculos, lo principal es cumplir con ciertos reglas simples y pensar lógicamente.

Para esto necesitas una tabla de cuadrados.



Por ejemplo, la raíz de 100 = 10, de 20 = 400 de 43 = 1849

Ahora casi todas las calculadoras, incluidas las de teléfonos inteligentes, pueden calcular la raíz cuadrada de un número. PERO si no tienes una calculadora, puedes encontrar la raíz de un número de varias formas sencillas:

factorización prima



Factoriza el número radical en factores que sean números cuadrados. Dependiendo del número radical obtendrás una respuesta aproximada o exacta. Los números cuadrados son números de los cuales se puede sacar la raíz cuadrada entera. Factores de un número que al multiplicarlos dan el número original. Por ejemplo, los factores del número 8 son 2 y 4, ya que 2 x 4 = 8, los números 25, 36, 49 son números cuadrados, ya que 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Los factores cuadrados son factores que son números cuadrados Primero, intenta factorizar el número radical en factores cuadrados.

Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 400 (a mano). Primero intenta factorizar 400 en factores cuadrados. 400 es múltiplo de 100, es decir, divisible por 25 es un número cuadrado. Al dividir 400 entre 25, se obtiene 16, que también es un número cuadrado. Por lo tanto, 400 se puede factorizar en los factores cuadrados de 25 y 16, es decir, 25 x 16 = 400.

Escríbelo como: 400 = (25 x 16).



La raíz cuadrada del producto de algunos términos es igual al producto de las raíces cuadradas de cada término, es decir (a x b) = a x b. Usando esta regla, toma la raíz cuadrada de cada factor cuadrado y multiplica los resultados para encontrar la respuesta.

En nuestro ejemplo, toma la raíz de 25 y 16.



Si el número radical no se descompone en dos factores cuadrados (y esto sucede en la mayoría de los casos), no podrás encontrar la respuesta exacta en forma de un número entero. Pero puedes simplificar el problema descomponiendo el número radical en un factor cuadrado y un factor ordinario (un número del que no se puede sacar la raíz cuadrada completa). Luego sacarás la raíz cuadrada del factor cuadrado y sacarás la raíz del factor común.

Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada del número 147. El número 147 no se puede factorizar en dos factores cuadrados, pero se puede factorizar en los siguientes factores: 49 y 3. Resuelve el problema de la siguiente manera:



Ahora puedes estimar el valor de la raíz (encontrar un valor aproximado) comparándolo con los valores de las raíces de los números cuadrados que están más cerca (a cada lado de la recta numérica) del número radical. Obtendrás el valor de la raíz como decimal, que debe multiplicarse por el número detrás del signo raíz.

Volvamos a nuestro ejemplo. El número radical es 3. Los números cuadrados más cercanos a él serán los números 1 (1 = 1) y 4 (4 = 2). Así, el valor de 3 se sitúa entre 1 y 2. Dado que el valor de 3 probablemente esté más cerca de 2 que de 1, nuestra estimación es: 3 = 1,7. Multiplicamos este valor por el número del signo raíz: 7 x 1,7 = 11,9. Si haces los cálculos con una calculadora, obtendrás 12,13, que se acerca bastante a nuestra respuesta.

Este método también funciona con números grandes. Por ejemplo, considere 35. El número radical es 35. Los números cuadrados más cercanos son los números 25 (25 = 5) y 36 (36 = 6). Así, el valor de 35 se sitúa entre 5 y 6. Como el valor de 35 está mucho más cerca de 6 que de 5 (porque 35 es sólo 1 menos que 36), podemos decir que 35 es ligeramente menor que 6. la calculadora nos da la respuesta 5,92; teníamos razón.



Otra forma es factorizar el número radical en factores primos. Factores primos de números que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos. Escribe los factores primos de una serie y encuentra pares de factores idénticos. Estos factores se pueden eliminar del signo raíz.

Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 45. Factorizamos el número radical en factores primos: 45 = 9 x 5 y 9 = 3 x 3. Por lo tanto, 45 = (3 x 3 x 5). 3 se puede sacar como signo raíz: 45 = 35. Ahora podemos evaluar 5.

Veamos otro ejemplo: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Recibiste tres multiplicadores de 2; toma un par de ellos y muévelos más allá del signo raíz.

2(2 x 11) = 22 x 11. Ahora puedes evaluar 2 y 11 y encontrar una respuesta aproximada.

Este vídeo de formación también puede resultar útil:

Para extraer la raíz de un número, debes usar una calculadora, o si no tienes una adecuada, te aconsejo que vayas a este sitio y resuelvas el problema usando calculadora online, que dará el valor correcto en segundos.

¡Saludos gatos! La última vez hablamos en detalle qué son las raíces (si no lo recuerdas, te recomiendo leerlo). La principal conclusión de esa lección: sólo existe una definición universal de raíces, que es lo que necesitas saber. El resto son tonterías y pérdida de tiempo.

Hoy vamos más allá. Aprenderemos a multiplicar raíces, estudiaremos algunos problemas asociados a la multiplicación (si no se resuelven estos problemas pueden llegar a ser fatales en el examen) y practicaremos adecuadamente. Así que abastecete de palomitas de maíz, ponte cómodo y comencemos :)

Tú tampoco lo has fumado todavía, ¿verdad?

La lección resultó bastante larga, así que la dividí en dos partes:

1. Primero veremos las reglas de la multiplicación. Cap parece insinuar: aquí es cuando hay dos raíces, entre ellas hay un signo de "multiplicar" y queremos hacer algo con él.
2. Entonces veamos la situación opuesta: hay una raíz grande, pero estábamos ansiosos por representarla como un producto de dos raíces más simples. ¿Por qué es esto necesario? Es una cuestión aparte. Sólo analizaremos el algoritmo.

Para aquellos que no pueden esperar para pasar inmediatamente a la segunda parte, son bienvenidos. Empecemos por el resto en orden.

Regla básica de multiplicación

Comencemos con lo más simple: las raíces cuadradas clásicas. Los mismos que se denotan por $\sqrt(a)$ y $\sqrt(b)$. Todo es obvio para ellos:

Regla de multiplicación. Para multiplicar una raíz cuadrada por otra, simplemente multiplicas sus expresiones radicales y escribes el resultado debajo del radical común:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

No se imponen restricciones adicionales a los números de la derecha o de la izquierda: si existen los factores raíz, entonces el producto también existe.

Ejemplos. Veamos cuatro ejemplos con números a la vez:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(alinear)\]

Como puedes ver, el significado principal de esta regla es simplificar expresiones irracionales. Y si en el primer ejemplo hubiésemos extraído las raíces de 25 y 4 sin ninguna regla nueva, entonces la cosa se pone difícil: $\sqrt(32)$ y $\sqrt(2)$ no se consideran por sí solos, sino su producto resulta ser un cuadrado perfecto, por lo que su raíz es igual a un número racional.

Me gustaría destacar especialmente la última línea. Allí, ambas expresiones radicales son fracciones. Gracias al producto, se cancelan muchos factores y la expresión completa se convierte en un número adecuado.

Por supuesto, las cosas no siempre serán tan hermosas. A veces habrá un completo desastre debajo de las raíces; no está claro qué hacer con él y cómo transformarlo después de la multiplicación. Un poco más tarde, cuando empieces a estudiar. ecuaciones irracionales y desigualdades, generalmente habrá todo tipo de variables y funciones. Y muy a menudo, los redactores de problemas cuentan con el hecho de que descubrirán algunos términos o factores de cancelación, después de lo cual el problema se simplificará muchas veces.

Además, no es necesario multiplicar exactamente dos raíces. ¡Puedes multiplicar tres, cuatro o incluso diez a la vez! Esto no cambiará la regla. Echar un vistazo:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(alinear)\]

Y de nuevo una pequeña nota sobre el segundo ejemplo. Como puede ver, en el tercer factor debajo de la raíz hay una fracción decimal; en el proceso de cálculo la reemplazamos por una normal, después de lo cual todo se reduce fácilmente. Entonces: recomiendo encarecidamente deshacerse de las fracciones decimales en cualquier expresión irracional (es decir, que contenga al menos un símbolo radical). Esto le ahorrará mucho tiempo y nervios en el futuro.

Pero esto fue una digresión lírica. Ahora consideremos un caso más general: cuando el exponente raíz contiene un número arbitrario $n$, y no solo los dos "clásicos".

El caso de un indicador arbitrario

Entonces, hemos ordenado las raíces cuadradas. ¿Qué hacer con los cúbicos? ¿O incluso con raíces de grado arbitrario $n$? Sí, todo es igual. La regla sigue siendo la misma:

Para multiplicar dos raíces de grado $n$, basta con multiplicar sus expresiones radicales y luego escribir el resultado bajo un radical.

En general, nada complicado. Excepto que la cantidad de cálculos puede ser mayor. Veamos un par de ejemplos:

Ejemplos. Calcular productos:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(alinear)\]

Y de nuevo, atención a la segunda expresión. Multiplicamos las raíces cúbicas, eliminamos la fracción decimal y terminamos con el producto de los números 625 y 25 en el denominador. Esto es bastante. Número grande- Personalmente, no puedo calcular de buenas a primeras a qué equivale.

Por lo tanto, simplemente aislamos el cubo exacto en el numerador y el denominador, y luego usamos una de las propiedades clave (o, si lo prefieres, la definición) de la raíz $n$ésima:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\izquierda| a\derecho|. \\ \end(alinear)\]

Estas "maquinaciones" pueden ahorrarle mucho tiempo en el examen o trabajo de prueba, así que recuerda:

No te apresures a multiplicar números usando expresiones radicales. Primero, verifique: ¿qué pasa si el grado exacto de cualquier expresión está "encriptado" allí?

A pesar de la obviedad de esta observación, debo admitir que la mayoría de los estudiantes no preparados no ven los grados exactos a quemarropa. En cambio, lo multiplican todo y luego se preguntan: ¿por qué obtuvieron cifras tan brutales :)

Sin embargo, todo esto son palabras infantiles en comparación con lo que estudiaremos ahora.

Multiplicar raíces con diferentes exponentes

Bien, ahora podemos multiplicar raíces con los mismos indicadores. ¿Qué pasa si los indicadores son diferentes? Digamos, ¿cómo multiplicar un $\sqrt(2)$ ordinario por alguna basura como $\sqrt(23)$? ¿Es siquiera posible hacer esto?

Sí por supuesto que puedes. Todo se hace según esta fórmula:

Regla para multiplicar raíces. Para multiplicar $\sqrt[n](a)$ por $\sqrt[p](b)$, basta con realizar la siguiente transformación:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Sin embargo, esta fórmula sólo funciona si las expresiones radicales no son negativas. Esta es una nota muy importante a la que volveremos un poco más adelante.

Por ahora, veamos un par de ejemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(alinear)\]

Como puedes ver, nada complicado. Ahora averigüemos de dónde viene el requisito de no negatividad y qué pasará si lo violamos :)

Multiplicar raíces es fácil

¿Por qué las expresiones radicales deben ser no negativas?

Por supuesto que puedes ser como maestros de escuela y cite inteligentemente el libro de texto:

El requisito de no negatividad está relacionado con diferentes definiciones raíces de grados pares e impares (en consecuencia, sus dominios de definición también son diferentes).

Bueno, ¿ha quedado más claro? Personalmente, cuando leí estas tonterías en octavo grado, entendí algo como lo siguiente: "El requisito de no negatividad está asociado con *#&^@(*#@^#)~%" - en resumen, no No entendí nada en ese momento :)

Así que ahora explicaré todo de forma normal.

Primero, averigüemos de dónde viene la fórmula de multiplicación anterior. Para ello, permítanme recordarles una propiedad importante de la raíz:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En otras palabras, podemos fácilmente elevar la expresión radical a cualquier grado natural$k$ - en este caso, el exponente raíz deberá multiplicarse por la misma potencia. Por lo tanto, podemos reducir fácilmente cualquier raíz a un exponente común y luego multiplicarlas. De aquí proviene la fórmula de multiplicación:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Pero hay un problema que limita drásticamente el uso de todas estas fórmulas. Considere este número:

Según la fórmula que acabamos de dar, podemos sumar cualquier grado. Intentemos agregar $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Eliminamos el menos precisamente porque el cuadrado quema el menos (como cualquier otro grado par). Ahora realicemos la transformación inversa: "reduzcamos" los dos en el exponente y la potencia. Después de todo, cualquier igualdad se puede leer tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(alinear)\]

Pero luego resulta ser una especie de tontería:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Esto no puede suceder, porque $\sqrt(-5) \lt 0$ y $\sqrt(5) \gt 0$. Esto significa que para potencias pares y números negativos nuestra fórmula ya no funciona. Luego de lo cual tenemos dos opciones:

1. Chocar contra la pared y afirmar que las matemáticas son una ciencia estúpida, donde “hay algunas reglas, pero estas son imprecisas”;
2. Introducir restricciones adicionales bajo las cuales la fórmula funcionará al 100%.

En la primera opción, tendremos que detectar constantemente casos "que no funcionan": es difícil, requiere mucho tiempo y, en general, es desagradable. Por tanto, los matemáticos prefirieron la segunda opción :)

¡Pero no te preocupes! En la práctica, esta limitación no afecta de ninguna manera los cálculos, porque todos los problemas descritos se refieren sólo a raíces de grado impar, y de ellas se pueden sacar desventajas.

Por lo tanto, formulemos una regla más, que generalmente se aplica a todas las acciones con raíces:

Antes de multiplicar raíces, asegúrese de que las expresiones radicales no sean negativas.

Ejemplo. En el número $\sqrt(-5)$ puedes eliminar el signo menos debajo del signo raíz; entonces todo será normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

¿Sientes la diferencia? Si deja un menos debajo de la raíz, cuando la expresión radical se eleva al cuadrado, desaparecerá y comenzará la mierda. Y si primero sacas el signo negativo, entonces puedes cuadrar/quitar hasta que tengas la cara azul; el número seguirá siendo negativo :)

Así, la forma más correcta y fiable de multiplicar raíces es la siguiente:

1. Elimina todos los negativos de los radicales. Los inconvenientes existen solo en raíces de multiplicidad impar; se pueden colocar delante de la raíz y, si es necesario, reducir (por ejemplo, si hay dos de estos inconvenientes).
2. Realice la multiplicación de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente en la lección de hoy. Si los indicadores de las raíces son iguales, simplemente multiplicamos las expresiones radicales. Y si son diferentes, usamos la fórmula malvada \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Disfruta del resultado y de las buenas notas. :)

¿Bien? ¿Practicamos?

Ejemplo 1: Simplifica la expresión:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \sqrt(64)=-4; \end(alinear)\]

Esta es la opción más sencilla: las raíces son iguales e impares, el único problema es que el segundo factor es negativo. Eliminamos este inconveniente de la imagen, después de lo cual todo se calcula fácilmente.

Ejemplo 2: Simplifica la expresión:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinear)\]

En este caso, muchos se confundirían por el hecho de que el resultado fuera un número irracional. Sí, sucede: no pudimos deshacernos completamente de la raíz, pero al menos simplificó significativamente la expresión.

Ejemplo 3: Simplifica la expresión:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Me gustaría llamar su atención sobre esta tarea. Hay dos puntos aquí:

1. La raíz no es un número o potencia específica, sino la variable $a$. A primera vista, esto es un poco inusual, pero en realidad, al resolver problemas matemáticos, la mayoría de las veces hay que lidiar con variables.
2. Al final logramos “reducir” el indicador radical y el grado de expresión radical. Esto sucede con bastante frecuencia. Y esto significa que era posible simplificar significativamente los cálculos si no se utilizaba la fórmula básica.

Por ejemplo, podrías hacer esto:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(alinear)\]

De hecho, todas las transformaciones se realizaron sólo con el segundo radical. Y si no describe en detalle todos los pasos intermedios, al final la cantidad de cálculos se reducirá significativamente.

De hecho, ya nos encontramos con una tarea similar arriba cuando resolvimos el ejemplo $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ahora se puede escribir mucho más sencillo:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(alinear)\]

Bueno, hemos resuelto la multiplicación de raíces. Ahora consideremos la operación inversa: ¿qué hacer cuando hay un producto debajo de la raíz?

Propiedades de las raíces cuadradas

Hasta ahora hemos realizado cinco operaciones aritméticas con números: suma, resta, multiplicación, división y exponenciación, y en los cálculos se utilizaron activamente varias propiedades de estas operaciones, por ejemplo a + b = b + a, an-bn = (ab)n, etc.

Este capítulo presenta una nueva operación: sacar la raíz cuadrada de un número no negativo. Para utilizarlo correctamente, debe familiarizarse con las propiedades de esta operación, lo cual haremos en esta sección.

Prueba. Introduzcamos la siguiente notación: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Igualdad" width="120" height="25 id=">!}.

Así es exactamente como formularemos el siguiente teorema.

(Una formulación breve que es más conveniente de usar en la práctica: la raíz de una fracción es igual a la fracción de raíces, o la raíz del cociente es igual al cociente de raíces).

Esta vez daremos sólo un breve resumen de la demostración e intentaremos hacer comentarios apropiados similares a los que formaron la esencia de la demostración del Teorema 1.

Nota 3. Por supuesto, este ejemplo se puede resolver de otra manera, especialmente si tienes una microcalculadora a mano: multiplica los números 36, 64, 9 y luego saca la raíz cuadrada del producto resultante. Sin embargo, estará de acuerdo en que la solución propuesta anteriormente parece más cultural.

Nota 4. En el primer método, realizamos cálculos "de frente". La segunda forma es más elegante:
aplicamos fórmula a2 - b2 = (a - b) (a + b) y utilizó la propiedad de las raíces cuadradas.

Nota 5. Algunos “exaltados” a veces ofrecen esta “solución” al Ejemplo 3:

Esto, por supuesto, no es cierto: verá, el resultado no es el mismo que en el ejemplo 3. El hecho es que no hay propiedad https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Tarea" width="148" height="26 id=">!} Sólo hay propiedades relacionadas con la multiplicación y división de raíces cuadradas. Tenga cuidado y cuidado, no haga ilusiones.

Para concluir esta sección, observemos otra propiedad bastante simple y al mismo tiempo importante:
si a > 0 y n - número natural, Eso

Convertir expresiones que contienen una operación de raíz cuadrada

Hasta ahora sólo hemos realizado transformaciones. expresiones racionales, utilizando para ello las reglas de acciones sobre polinomios y fracciones algebraicas, fórmulas de multiplicación abreviadas, etc. En este capítulo, presentamos nueva operación- operación de extracción de raíz cuadrada; hemos establecido que

donde, recordemos, a, b son números no negativos.

Usando estos fórmulas, puede realizar varias transformaciones en expresiones que contienen una operación de raíz cuadrada. Veamos varios ejemplos y en todos ellos asumiremos que las variables toman sólo valores no negativos.

Ejemplo 3. Ingrese el multiplicador debajo del signo de la raíz cuadrada:

Ejemplo 6. Simplifica la expresión Solución. Realicemos transformaciones secuenciales: