Frakcijas

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Frakcijas vidusskolā īpaši netraucē. Pagaidām. Līdz brīdim, kad jūs saskaraties ar pilnvarām ar racionāliem eksponentiem un logaritmiem. Un tur... Jūs nospiežat un nospiežat kalkulatoru, un tas parāda pilnu dažu skaitļu displeju. Ar galvu jādomā kā trešajā klasē.

Beidzot izdomāsim daļskaitļus! Nu cik tajos var apjukt!? Turklāt tas viss ir vienkārši un loģiski. Tātad, kādi ir frakciju veidi?

Frakciju veidi. Pārvērtības.

Ir trīs veidu frakcijas.

1. Kopējās frakcijas , Piemēram:

Dažreiz horizontālas līnijas vietā viņi ievieto slīpsvītru: 1/2, 3/4, 19/5, labi utt. Šeit mēs bieži izmantosim šo pareizrakstību. Tiek izsaukts augšējais numurs skaitītājs, zemāks - saucējs. Ja jūs pastāvīgi jaucat šos vārdus (tas notiek...), sakiet sev frāzi: " Zzzzz atceries! Zzzzz saucējs - paskaties zzzzz uh!" Skaties, viss paliks atmiņā.)

Svītra, vai nu horizontāla, vai slīpa, nozīmē nodaļa augšējais skaitlis (skaitītājs) līdz apakšējam (saucējs). Tas ir viss! Domuzīmes vietā ir pilnīgi iespējams ievietot dalījuma zīmi - divus punktus.

Kad ir iespējama pilnīga sadalīšana, tas ir jādara. Tātad daļskaitļa “32/8” vietā daudz patīkamāk ir rakstīt skaitli “4”. Tie. 32 vienkārši dala ar 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Es pat nerunāju par frakciju "4/1". Kas arī ir tikai "4". Un, ja tas nav pilnībā dalāms, mēs to atstājam kā daļu. Dažreiz jums ir jāveic pretēja darbība. Pārvērst veselu skaitli par daļu. Bet vairāk par to vēlāk.

2. Decimālzīmes , Piemēram:

Šajā formā jums būs jāpieraksta atbildes uz uzdevumiem “B”.

3. Jaukti skaitļi , Piemēram:

Jauktos skaitļus vidusskolā praktiski neizmanto. Lai ar tiem strādātu, tie jāpārvērš parastajās frakcijās. Bet jums tas noteikti ir jāspēj! Citādi tu sastapsies ar tādu numuru problēmā un nosalsi... Nez no kurienes. Bet mēs atcerēsimies šo procedūru! Nedaudz zemāk.

Vispusīgākā parastās frakcijas. Sāksim ar viņiem. Starp citu, ja daļskaitlī ir visādi logaritmi, sinusi un citi burti, tas neko nemaina. Tādā ziņā, ka viss darbības ar daļskaitļu izteiksmēm neatšķiras no darbībām ar parastajām daļām!

Daļas galvenā īpašība.

Tātad, ejam! Sākumā es jūs pārsteigšu. Visu frakciju pārveidojumu daudzveidību nodrošina viens vienīgs īpašums! Tā to sauc frakcijas galvenā īpašība. Atcerieties: Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina (dala) ar vienu un to pašu skaitli, daļa nemainās. Tie:

Skaidrs, ka var turpināt rakstīt līdz zilam sejā. Neļaujiet sinusiem un logaritmiem jūs sajaukt, mēs tos aplūkosim tālāk. Galvenais ir saprast, ka visi šie dažādie izteicieni ir tā pati frakcija . 2/3.

Vai mums tas ir vajadzīgs, visas šīs pārvērtības? Un kā! Tagad jūs redzēsiet paši. Sākumā izmantosim daļskaitļa pamatīpašību for samazināšanas frakcijas. Šķiet, ka tā ir elementāra lieta. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli un viss! Kļūdīties nav iespējams! Bet... cilvēks ir radoša būtne. Kļūdīties var jebkur! It īpaši, ja jāsamazina nevis daļskaitlis kā 5/10, bet daļskaitļa izteiksme ar visādiem burtiem.

Kā pareizi un ātri samazināt frakcijas, neveicot papildu darbu, var lasīt speciālajā 555. sadaļā.

Normāls skolēns netraucē dalīt skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli (vai izteiksmi)! Viņš vienkārši izsvītro visu, kas ir vienāds augšā un apakšā! Šeit slēpjas tipiska kļūda, ja vēlaties, kļūda.

Piemēram, jums ir jāvienkāršo izteiksme:

Šeit nav par ko domāt, izsvītrojiet burtu “a” augšpusē un “2” apakšā! Mēs iegūstam:

Viss ir pareizi. Bet tiešām jūs sadalījāt visi skaitītājs un visi saucējs ir "a". Ja esat pieradis vienkārši izsvītrot, tad steigā varat izsvītrot "a".

un iegūstiet to vēlreiz

Kas būtu kategoriski nepatiess. Jo šeit visi skaitītājs uz "a" jau ir nav koplietots! Šo daļu nevar samazināt. Starp citu, šāds samazinājums ir... nopietns izaicinājums skolotājam. Tas nav piedots! Vai tu atceries? Samazinot, jums ir nepieciešams sadalīt visi skaitītājs un visi saucējs!

Frakciju samazināšana padara dzīvi daudz vieglāku. Jūs kaut kur iegūsit daļu, piemēram, 375/1000. Kā es varu turpināt strādāt ar viņu tagad? Bez kalkulatora? Reiziniet, sakiet, saskaitiet, kvadrātā!? Un, ja neesat pārāk slinks, tad uzmanīgi samaziniet to par pieciem, vēl par pieciem un pat... īsi sakot, kamēr tas tiek saīsināts. Saņemsim 3/8! Daudz jaukāk, vai ne?

Daļas galvenā īpašība ļauj pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās un otrādi bez kalkulatora! Tas ir svarīgi vienotajam valsts eksāmenam, vai ne?

Kā pārvērst frakcijas no viena veida uz citu.

Ar decimāldaļskaitļiem viss ir vienkārši. Kā dzirdēts, tā rakstīts! Teiksim 0,25. Tas ir nulle divdesmit piecas simtdaļas. Tātad mēs rakstām: 25/100. Samazinām (skaitītāju un saucēju dalām ar 25), iegūstam parasto daļskaitli: 1/4. Visi. Tas notiek, un nekas netiek samazināts. Tāpat kā 0,3. Tas ir trīs desmitdaļas, t.i. 3/10.

Ko darīt, ja veseli skaitļi nav nulle? Ir labi. Mēs pierakstām visu daļu bez komatiem skaitītājā un saucējā - dzirdētais. Piemēram: 3.17. Tās ir trīs komata septiņpadsmit simtdaļas. Skaitītājā ierakstām 317 un saucējā 100. Iegūstam 317/100. Nekas netiek samazināts, tas nozīmē visu. Šī ir atbilde. Elementārais Vatsons! No visa teiktā noderīgs secinājums: jebkuru decimāldaļu var pārvērst parastā daļskaitlī .

Bet daži cilvēki nevar veikt apgriezto konvertēšanu no parastā uz decimāldaļu bez kalkulatora. Un tas ir nepieciešams! Kā tu pierakstīsi atbildi uz vienoto valsts eksāmenu!? Uzmanīgi izlasiet un apgūstiet šo procesu.

Kāda ir decimāldaļskaitļa īpašība? Viņas saucējs ir Vienmēr maksā 10, 100, 1000, 10 000 un tā tālāk. Ja jūsu parastajai daļskaitlim ir šāds saucējs, nav problēmu. Piemēram, 4/10 = 0,4. Vai 7/100 = 0,07. Vai 12/10 = 1,2. Ko darīt, ja atbilde uz uzdevumu sadaļā “B” izrādījās 1/2? Ko rakstīsim atbildē? Decimāldaļas ir obligātas...

Atcerēsimies frakcijas galvenā īpašība ! Matemātika labvēlīgi ļauj reizināt skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli. Starp citu, jebkas! Protams, izņemot nulli. Tāpēc izmantosim šo īpašumu savā labā! Ar ko var reizināt saucēju, t.i. 2, lai tas kļūtu par 10, vai 100, vai 1000 (mazāks, jo labāk, protams...)? Acīmredzot pulksten 5. Jūtieties brīvi reizināt saucēju (tas ir mums nepieciešams) ar 5. Bet tad arī skaitītājs jāreizina ar 5. Tas jau ir matemātika prasības! Mēs iegūstam 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Tas ir viss.

Tomēr visādi saucēji sanāk. Jūs saskarsities, piemēram, ar daļskaitli 3/16. Izmēģiniet un izdomājiet, ar ko reizināt 16, lai iegūtu 100 vai 1000... Vai tas nedarbojas? Tad jūs varat vienkārši dalīt 3 ar 16. Ja nav kalkulatora, jums būs jādala ar stūri, uz papīra, kā viņi mācīja pamatskolā. Mēs iegūstam 0,1875.

Un ir arī ļoti slikti saucēji. Piemēram, daļskaitli 1/3 nevar pārvērst labā decimāldaļā. Gan uz kalkulatora, gan uz lapiņas iegūstam 0,3333333... Tas nozīmē, ka 1/3 ir precīza decimāldaļdaļa netulko. Tas pats, kas 1/7, 5/6 un tā tālāk. To ir daudz, netulkojami. Tas mūs noved pie cita noderīga secinājuma. Ne katru daļu var pārvērst decimāldaļā !

Starp citu, šī ir noderīga informācija pašpārbaudei. Sadaļā "B" atbildē ir jāpieraksta decimāldaļdaļa. Un jūs saņēmāt, piemēram, 4/3. Šī daļa netiek pārveidota par decimāldaļu. Tas nozīmē, ka jūs kaut kur pieļāvāt kļūdu! Dodieties atpakaļ un pārbaudiet risinājumu.

Tātad, mēs izdomājām parastās un decimāldaļas. Atliek tikai tikt galā ar jauktiem skaitļiem. Lai strādātu ar tiem, tie jāpārvērš parastajās frakcijās. Kā to izdarīt? Jūs varat noķert sestās klases skolēnu un pajautāt viņam. Bet sestās klases skolnieks ne vienmēr būs pa rokai... Tas būs jādara pašam. Tas nav grūti. Daļējās daļas saucējs jāreizina ar visu daļu un jāpievieno daļdaļas skaitītājs. Tas būs kopējās daļskaitļa skaitītājs. Kā ar saucēju? Saucējs paliks nemainīgs. Izklausās sarežģīti, bet patiesībā viss ir vienkārši. Apskatīsim piemēru.

Pieņemsim, ka jūs šausmās redzējāt problēmas ciparu:

Mierīgi, bez panikas, domājam. Visa daļa ir 1. Vienība. Daļējā daļa ir 3/7. Tāpēc daļdaļas saucējs ir 7. Šis saucējs būs parastās daļas saucējs. Mēs saskaitām skaitītāju. Mēs reizinām 7 ar 1 (veselā skaitļa daļa) un pievienojam 3 (daļdaļas skaitītājs). Mēs iegūstam 10. Tas būs kopējās daļskaitļa skaitītājs. Tas ir viss. Matemātiskajā apzīmējumā tas izskatās vēl vienkāršāk:

Vai tas ir skaidrs? Tad nodrošiniet savus panākumus! Pārvērst par parastajām daļskaitļiem. Jums vajadzētu saņemt 10/7, 7/2, 23/10 un 21/4.

Apgrieztā darbība - nepareizas daļskaitļa pārvēršana jauktā skaitlī - vidusskolā ir reti nepieciešama. Nu ja tā... Un ja neesi vidusskolā, vari ieskatīties speciālajā 555.pantā. Starp citu, tur uzzināsiet arī par nepareizajām daļskaitļiem.

Nu tas arī praktiski viss. Jūs atcerējāties daļskaitļu veidus un sapratāt Kā pārnes tos no viena veida uz citu. Jautājums paliek: Par ko dari to? Kur un kad pielietot šīs dziļās zināšanas?

ES atbildu. Jebkurš piemērs pats par sevi liecina par nepieciešamajām darbībām. Ja piemērā parastās daļskaitļi, decimāldaļas un pat jaukti skaitļi ir sajaukti kopā, mēs visu pārvēršam parastās daļskaitļos. To vienmēr var izdarīt. Nu, ja tur ir rakstīts kaut kas līdzīgs 0,8 + 0,3, tad mēs to uzskaitām tā, bez tulkojuma. Kāpēc mums vajadzīgs papildu darbs? Izvēlamies ērtāko risinājumu mums !

Ja uzdevums ir visas decimāldaļas, bet hm... kaut kādas ļaunas, ej pie parastajām un izmēģini! Paskaties, viss izdosies. Piemēram, jums būs jāliek kvadrātā skaitlis 0,125. Tas nav tik vienkārši, ja neesi pieradis lietot kalkulatoru! Ne tikai jāreizina skaitļi kolonnā, bet arī jādomā, kur ievietot komatu! Tas noteikti nedarbosies jūsu galvā! Ko darīt, ja mēs pārietu uz parasto daļu?

0,125 = 125/1000. Mēs to samazinām par 5 (tas ir iesācējiem). Mēs iegūstam 25/200. Vēlreiz pa 5. Iegūstam 5/40. Ak, tas joprojām sarūk! Atpakaļ uz 5! Mēs iegūstam 1/8. Mēs viegli to kvadrātā (mūsu prātā!) un iegūstam 1/64. Visi!

Apkoposim šo nodarbību.

1. Ir trīs veidu frakcijas. Parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi.

2. Decimāldaļas un jaukti skaitļi Vienmēr var pārvērst parastajās daļās. Apgrieztā pārsūtīšana ne vienmēr pieejams.

3. Daļskaitļu veida izvēle darbam ar uzdevumu ir atkarīga no paša uzdevuma. Ja vienā uzdevumā ir dažāda veida daļskaitļi, visdrošāk ir pāriet uz parastajām frakcijām.

Tagad jūs varat praktizēt. Vispirms pārveidojiet šīs decimāldaļas par parastajām daļām:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Jums vajadzētu saņemt šādas atbildes (nekārtībā!):

Beigsim šeit. Šajā nodarbībā mēs atsvaidzinājām atmiņu par galvenajiem punktiem par daļskaitļiem. Gadās taču, ka nav ko īpaši atsvaidzināt...) Ja kāds ir pavisam aizmirsis, vai vēl nav apguvis... Tad var doties uz speciālu 555. nodaļu. Tur ir sīki aprakstīti visi pamati. Daudzi pēkšņi visu saprast sākas. Un viņi lidojumā atrisina frakcijas).

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Daļa ir skaitlis, kas sastāv no vienas vai vairākām vienībām. Matemātikā ir trīs veidu daļskaitļi: kopējā, jauktā un decimāldaļa.

• 
  Kopējās frakcijas

Parasta daļa tiek uzrakstīta kā attiecība, kurā skaitītājs atspoguļo to, cik daļas ir ņemtas no skaitļa, un saucējs parāda, cik daļās vienība ir sadalīta. Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad mums ir pareiza daļa, piemēram: ½, 3/5, 8/9.

Ja skaitītājs ir vienāds ar saucēju vai lielāks par to, tad mums ir darīšana ar nepareizu daļskaitli. Piemēram: 5/5, 9/4, 5/2 Dalot skaitītāju, var iegūt galīgu skaitli. Piemēram, 40/8 = 5. Tāpēc jebkuru veselu skaitli var uzrakstīt kā parastu nepareizo daļskaitli vai šādu daļskaitļu virkni. Apskatīsim viena un tā paša skaitļa ierakstus vairāku atšķirīgu ierakstu veidā.

• Jauktas frakcijas

Parasti jauktu frakciju var attēlot ar formulu:

Tādējādi jauktu daļu raksta kā veselu skaitli un parasto daļskaitli, un šāds apzīmējums tiek saprasts kā veseluma un tā daļdaļas summa.

• Decimālzīmes

Decimāldaļskaitlis ir īpašs daļskaitļu veids, kurā saucēju var attēlot kā pakāpju 10. Ir bezgalīgi un galīgi decimālskaitļi. Rakstot šāda veida daļskaitli, vispirms tiek norādīta visa daļa, pēc tam ar atdalītāju (punktu vai komatu) tiek ierakstīta daļdaļa.

Daļējas daļas apzīmējumu vienmēr nosaka tās dimensija. Decimāldaļas apzīmējums izskatās šādi:

Noteikumi konvertēšanai starp dažādiem frakciju veidiem

• Jauktas frakcijas pārvēršana parastā frakcijā

Jauktu frakciju var pārvērst tikai par nepareizu frakciju. Lai tulkotu, visa daļa ir jāsadala ar tādu pašu saucēju kā daļējai daļai. Kopumā tas izskatīsies šādi:
Apskatīsim šī noteikuma izmantošanu, izmantojot konkrētus piemērus:

• Parastās frakcijas pārvēršana jauktā frakcijā

Nepareizu daļu var pārvērst par jauktu frakciju, vienkārši sadalot, kā rezultātā tiek iegūta visa daļa un atlikusī daļa (daļdaļa).

Piemēram, pārveidosim daļu 439/31 par jauktu:
​​

• Daļskaitļu konvertēšana

Dažos gadījumos daļskaitļa pārvēršana decimāldaļā ir pavisam vienkārša. Šajā gadījumā tiek izmantota daļskaitļa pamatīpašība: skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar vienu un to pašu skaitli, lai dalītāju panāktu pakāpē 10.

Piemēram:

Dažos gadījumos jums var būt nepieciešams atrast koeficientu, dalot ar stūriem vai izmantojot kalkulatoru. Un dažas daļskaitļus nevar samazināt līdz pēdējam decimālam. Piemēram, daļdaļa 1/3, ja tā ir sadalīta, nekad nedos gala rezultātu.

Šajā rakstā mēs apskatīsim, kā daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās, kā arī apsveriet apgriezto procesu - decimāldaļskaitļu pārvēršanu parastajās daļās. Šeit mēs izklāstīsim daļskaitļu konvertēšanas noteikumus un sniegsim detalizētus risinājumus tipiskajiem piemēriem.

Lapas navigācija.

Daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Apzīmēsim secību, kādā mēs to izskatīsim daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās.

Vispirms apskatīsim, kā daļskaitļus ar saucējiem 10, 100, 1000, ... attēlot kā decimālskaitļus. Tas izskaidrojams ar to, ka decimāldaļskaitļi būtībā ir kompakta parasto daļskaitļu rakstīšanas forma ar saucējiem 10, 100, ....

Pēc tam mēs dosimies tālāk un parādīsim, kā uzrakstīt jebkuru parasto daļskaitli (ne tikai tos, kuru saucēji ir 10, 100, ...) kā decimālo daļu. Šādi apstrādājot parastās daļas, tiek iegūtas gan galīgas decimāldaļas, gan bezgalīgas periodiskas decimāldaļas.

Tagad parunāsim par visu kārtībā.

Kopējo daļskaitļu ar saucēju 10, 100, ... pārvēršana decimāldaļās

Dažām pareizām daļskaitļiem ir nepieciešama "iepriekšēja sagatavošana", pirms tās pārvērš decimāldaļās. Tas attiecas uz parastajām daļām, kuru ciparu skaits skaitītājā ir mazāks par nulles skaitu saucējā. Piemēram, parastā daļdaļa 2/100 vispirms jāsagatavo pārvēršanai decimāldaļskaitlī, bet daļdaļai 9/10 nekāda sagatavošana nav nepieciešama.

Pareizo parasto daļskaitļu “iepriekšēja sagatavošana” pārvēršanai decimāldaļdaļās sastāv no tik daudz nulles pievienošanas skaitītājā pa kreisi, lai kopējais ciparu skaits tur kļūst vienāds ar nulles skaitu saucējā. Piemēram, daļa pēc nulles pievienošanas izskatīsies kā .

Kad esat sagatavojis pareizu daļskaitli, varat sākt to pārvērst decimāldaļās.

Dosim noteikums pareizas parastās daļskaitļa ar saucēju 10, 100 vai 1000 ... konvertēšanai decimāldaļdaļā. Tas sastāv no trim soļiem:

• rakstīt 0;
• aiz tā liekam komatu;
• Mēs pierakstām skaitli no skaitītāja (kopā ar pievienotajām nullēm, ja tās pievienojām).

Apsvērsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus.

Piemērs.

Pārvērtiet pareizo daļu 37/100 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Saucējs satur skaitli 100, kurā ir divas nulles. Skaitītājā ir skaitlis 37, tā apzīmējumā ir divi cipari, tāpēc šī daļdaļa nav jāsagatavo pārvēršanai decimāldaļskaitlī.

Tagad mēs rakstām 0, ieliekam decimālzīmi un no skaitītāja ierakstām skaitli 37, un mēs iegūstam decimāldaļu 0,37.

Atbilde:

0,37 .

Lai stiprinātu prasmes pārvērst parastās daļskaitļus ar skaitītājiem 10, 100, ... decimāldaļdaļās, mēs analizēsim risinājumu citā piemērā.

Piemērs.

Ierakstiet pareizo daļu 107/10 000 000 kā decimāldaļu.

Risinājums.

Skaitītāja ciparu skaits ir 3, un nulles saucējā ir 7, tāpēc šī parastā daļdaļa ir jāsagatavo konvertēšanai uz decimāldaļu. Skaitītājā pa kreisi jāpievieno 7-3=4 nulles, lai kopējais ciparu skaits tur būtu vienāds ar nulles skaitu saucējā. Mēs saņemam.

Atliek tikai izveidot nepieciešamo decimāldaļu. Lai to izdarītu, pirmkārt, mēs rakstām 0, otrkārt, mēs ievietojam komatu, treškārt, mēs rakstām skaitli no skaitītāja kopā ar nullēm 0000107, kā rezultātā mums ir decimāldaļdaļa 0,0000107.

Atbilde:

0,0000107 .

Nepareizām daļskaitļiem nav nepieciešama sagatavošana, pārvēršot decimāldaļās. Jāievēro sekojošais noteikumi nepareizu daļskaitļu ar saucējiem 10, 100, ... konvertēšanai decimāldaļās:

• pierakstiet skaitli no skaitītāja;
• Mēs izmantojam decimālzīmi, lai labajā pusē atdalītu tik daudz ciparu, cik sākotnējās daļdaļas saucējā ir nulles.

Apskatīsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemēru.

Piemērs.

Pārvērtiet nepareizo daļskaitli 56 888 038 009/100 000 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pierakstām skaitli no skaitītāja 56888038009, un, otrkārt, mēs atdalām 5 ciparus labajā pusē ar decimālzīmi, jo sākotnējās daļas saucējā ir 5 nulles. Rezultātā mums ir decimāldaļdaļa 568880.38009.

Atbilde:

568 880,38009 .

Lai jauktu skaitli pārvērstu decimāldaļdaļā, kuras daļdaļas saucējs ir skaitlis 10 vai 100, vai 1000, ..., varat pārvērst jaukto skaitli par nepareizu parasto daļskaitli un pēc tam pārvērst iegūto daļskaitli. daļu decimāldaļskaitlī. Bet jūs varat arī izmantot tālāk norādīto noteikums jauktu skaitļu ar daļskaitļu saucēju 10, 100 vai 1000 ... konvertēšanai decimāldaļdaļās:

• ja nepieciešams, veicam sākotnējā jauktā skaitļa daļdaļas “iepriekš sagatavošanu”, skaitītājā pa kreisi pievienojot vajadzīgo nulles;
• pierakstiet sākotnējā jauktā skaitļa veselo daļu;
• ielieciet decimālzīmi;
• Mēs pierakstām skaitli no skaitītāja kopā ar pievienotajām nullēm.

Apskatīsim piemēru, kurā mēs veicam visas nepieciešamās darbības, lai jauktu skaitli attēlotu kā decimāldaļskaitli.

Piemērs.

Pārvērtiet jaukto skaitli par decimāldaļu.

Risinājums.

Daļējās daļas saucējam ir 4 nulles, bet skaitītājs satur skaitli 17, kas sastāv no 2 cipariem, tāpēc skaitītājā jāpievieno divas nulles pa kreisi, lai ciparu skaits tajā būtu vienāds ar nulles saucējā. Kad tas ir izdarīts, skaitītājs būs 0017.

Tagad mēs pierakstām sākotnējā skaitļa veselo skaitļa daļu, tas ir, skaitli 23, ieliekam komatu, pēc kura mēs ierakstām skaitli no skaitītāja kopā ar pievienotajām nullēm, tas ir, 0017, un iegūstam vēlamo decimāldaļu. daļa 23.0017.

Īsi pierakstīsim visu risinājumu: .

Protams, bija iespējams jaukto skaitli vispirms attēlot kā nepareizu daļskaitli un pēc tam pārvērst to decimāldaļskaitlī. Izmantojot šo pieeju, risinājums izskatās šādi: .

Atbilde:

23,0017 .

Daļskaitļu pārvēršana par ierobežotām un bezgalīgām periodiskām decimāldaļām

Jūs varat pārvērst ne tikai parastās daļskaitļus ar saucējiem 10, 100, ... decimāldaļdaļās, bet arī parastās daļdaļas ar citiem saucējiem. Tagad mēs sapratīsim, kā tas tiek darīts.

Dažos gadījumos sākotnējo parasto daļskaitli var viegli reducēt līdz vienam no saucējiem 10, 100, vai 1000, ... (skatiet parastās daļskaitļa pārnešanu uz jaunu saucēju), pēc kura nav grūti attēlot iegūto daļu. kā decimāldaļdaļa. Piemēram, ir acīmredzams, ka daļu 2/5 var samazināt līdz daļdaļai ar saucēju 10, lai to izdarītu, skaitītājs un saucējs jāreizina ar 2, kas iegūs daļskaitli 4/10, kas saskaņā ar Iepriekšējā rindkopā aprakstītie noteikumi ir viegli konvertējami decimāldaļdaļā 0, 4 .

Citos gadījumos jums ir jāizmanto cita metode parastās daļskaitļa pārvēršanai decimāldaļā, kuru mēs tagad apskatīsim.

Lai parastu daļskaitli pārvērstu decimāldaļskaitlī, daļskaitļa skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, skaitītājs vispirms tiek aizstāts ar vienādu decimāldaļskaitli ar jebkuru nulles skaitu aiz komata (par to mēs runājām sadaļā vienāds un nevienādas decimāldaļdaļas). Šajā gadījumā dalīšanu veic tāpat kā dalīšanu ar naturālu skaitļu kolonnu, un koeficientā tiek likts decimālpunkts, kad beidzas visas dividendes daļas dalīšana. Tas viss kļūs skaidrs no tālāk sniegto piemēru risinājumiem.

Piemērs.

Pārvērtiet daļu 621/4 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Attēlosim skaitli skaitītājā 621 kā decimāldaļskaitli, saskaitot aiz komata un vairākas nulles. Vispirms pievienosim 2 ciparus 0, vēlāk, ja nepieciešams, vienmēr varam pievienot vēl nulles. Tātad mums ir 621,00.

Tagad dalīsim skaitli 621 000 ar 4 ar kolonnu. Pirmie trīs soļi neatšķiras no naturālu skaitļu dalīšanas ar kolonnu, pēc kura mēs nonākam pie šāda attēla:

Tādā veidā mēs nonākam līdz komatam dividendēs, un atlikums atšķiras no nulles. Šajā gadījumā koeficientā ievietojam komatu un turpinām dalīšanu kolonnā, nepievēršot uzmanību komatiem:

Tas pabeidz dalīšanu, un rezultātā iegūstam decimāldaļdaļu 155,25, kas atbilst sākotnējai parastajai daļai.

Atbilde:

155,25 .

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet cita piemēra risinājumu.

Piemērs.

Pārvērtiet daļskaitli 21/800 uz decimāldaļu.

Risinājums.

Lai pārvērstu šo kopējo daļskaitli par decimāldaļu, mēs dalām ar decimāldaļas kolonnu 21 000... ar 800. Pēc pirmā soļa mums koeficientā būs jāievieto decimālzīme un pēc tam jāturpina dalīšana:

Visbeidzot, mēs saņēmām atlikušo 0, tas pabeidz parastās daļdaļas 21/400 pārvēršanu par decimāldaļskaitli, un mēs nonācām pie decimāldaļskaitļa 0,02625.

Atbilde:

0,02625 .

Var gadīties, ka, dalot skaitītāju ar parastās daļskaitļa saucēju, mēs joprojām nesaņemam atlikumu 0. Šajos gadījumos sadalīšanu var turpināt bezgalīgi. Tomēr, sākot no noteikta soļa, atlikumi sāk periodiski atkārtot, un atkārtojas arī koeficienta skaitļi. Tas nozīmē, ka sākotnējā daļa tiek pārveidota par bezgalīgu periodisku decimālo daļu. Parādīsim to ar piemēru.

Piemērs.

Ierakstiet daļskaitli 19/44 kā decimāldaļu.

Risinājums.

Lai parastu daļskaitli pārvērstu par decimāldaļu, veiciet dalīšanu pa kolonnu:

Jau tagad ir skaidrs, ka dalīšanas laikā 8. un 36. atlikumi sāka atkārtoties, savukārt koeficientā atkārtojas skaitļi 1 un 8. Tādējādi sākotnējā kopējā daļdaļa 19/44 tiek pārveidota par periodisku decimāldaļu 0,43181818...=0,43(18).

Atbilde:

0,43(18) .

Noslēdzot šo punktu, mēs noskaidrosim, kuras parastās daļskaitļus var pārvērst galīgās decimāldaļdaļās un kuras var pārvērst tikai periodiskajās.

Lai mums priekšā ir nereducējama parastā daļdaļa (ja daļa ir reducējama, tad vispirms mēs to samazinām), un mums ir jānoskaidro, kurā decimāldaļskaitlī to var pārvērst - galīgā vai periodiskā.

Ir skaidrs, ka, ja parasto daļskaitli var reducēt uz vienu no saucējiem 10, 100, 1000, ..., tad iegūto daļu var viegli pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli saskaņā ar noteikumiem, kas tika apspriesti iepriekšējā punktā. Bet uz saucējiem 10, 100, 1000 utt. Ne visas parastās frakcijas ir norādītas. Līdz tādiem saucējiem var reducēt tikai tās daļdaļas, kuru saucēji ir vismaz viens no skaitļiem 10, 100, ... Un kādi skaitļi var būt dalītāji 10, 100, ...? Uz šo jautājumu varēs atbildēt skaitļi 10, 100, ..., un tie ir šādi: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... No tā izriet, ka dalītāji ir 10, 100, 1000 utt. Var būt tikai skaitļi, kuru sadalīšanās pirmfaktoros satur tikai skaitļus 2 un (vai) 5.

Tagad mēs varam izdarīt vispārīgu secinājumu par parasto daļskaitļu pārvēršanu decimāldaļās:

• ja saucēja sadalīšanā pirmfaktoros ir tikai skaitļi 2 un (vai) 5, tad šo daļskaitli var pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli;
• ja saucēja izvērsumā bez divniekiem un pieciniekiem ir arī citi pirmskaitļi, tad šo daļskaitli pārvērš par bezgalīgu decimāldaļu periodisko daļu.

Piemērs.

Nepārvēršot parastās daļskaitļus decimāldaļās, pasakiet man, kuras no daļdaļām 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 var pārvērst par pēdējo decimāldaļu, bet kuras var pārvērst tikai par periodisko daļu.

Risinājums.

Daļas 47/20 saucējs tiek faktorizēts pirmajos faktoros kā 20=2·2·5. Šajā izvērsumā ir tikai divi un piecinieki, tāpēc šo daļskaitli var samazināt līdz vienam no saucējiem 10, 100, 1000, ... (šajā piemērā līdz saucējam 100), tāpēc to var pārvērst par pēdējo decimāldaļu. frakcija.

Daļas 7/12 saucēja sadalīšanai pirmfaktoros ir forma 12=2·2·3. Tā kā tajā ir primārais koeficients 3, kas atšķiras no 2 un 5, šo daļskaitli nevar attēlot kā galīgu decimāldaļu, bet to var pārvērst periodiskā decimāldaļā.

Frakcija 21/56 – saraušanās, pēc kontrakcijas iegūst formu 3/8. Sadevēja faktorēšana primārajos faktoros satur trīs faktorus, kas vienādi ar 2, tāpēc parasto daļskaitli 3/8 un līdz ar to arī vienādo daļu 21/56 var pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli.

Visbeidzot, daļskaitļa 31/17 saucēja izvērsums pats par sevi ir 17, tāpēc šo daļskaitli nevar pārvērst galīgā decimāldaļskaitlī, bet gan var pārvērst par bezgalīgu periodisku daļu.

Atbilde:

47/20 un 21/56 var pārvērst par galīgu decimālo daļu, bet 7/12 un 31/17 var pārvērst tikai par periodisku daļu.

Parastās daļskaitļus nepārvērš par bezgalīgiem neperiodiskiem decimālskaitļiem

Iepriekšējā rindkopā sniegtā informācija liek uzdot jautājumu: "Vai, dalot daļskaitļa skaitītāju ar saucēju, var iegūt bezgalīgu neperiodisku daļu?"

Atbilde: nē. Pārvēršot parasto daļskaitli, rezultāts var būt vai nu galīga decimāldaļdaļa, vai bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa. Paskaidrosim, kāpēc tas tā ir.

No teorēmas par dalāmību ar atlikumu ir skaidrs, ka atlikums vienmēr ir mazāks par dalītāju, tas ir, ja mēs dalām kādu veselu skaitli ar veselu skaitli q, tad atlikums var būt tikai viens no skaitļiem 0, 1, 2 , ..., q−1. No tā izriet, ka pēc tam, kad kolonna ir pabeigusi parastās daļas skaitītāja veselās skaitļa daļas dalīšanu ar saucēju q, ne vairāk kā q soļos radīsies viena no šādām divām situācijām:

• vai mēs iegūsim atlikumu 0, tas beigs dalīšanu un mēs iegūsim pēdējo decimāldaļdaļu;
• vai arī iegūsim atlikumu, kas jau ir parādījies iepriekš, pēc kura atlikumi sāks atkārtot kā iepriekšējā piemērā (jo, dalot vienādus skaitļus ar q, tiek iegūti vienādi atlikumi, kas izriet no jau minētās dalāmības teorēmas), šis rezultātā tiks iegūta bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa.

Citas iespējas nevar būt, tāpēc, pārvēršot parasto daļu decimāldaļskaitlī, nevar iegūt bezgalīgu neperiodisku decimālo daļu.

No šajā punktā sniegtā argumentācijas arī izriet, ka decimāldaļskaitļa perioda garums vienmēr ir mazāks par atbilstošās parastās daļskaitļa saucēja vērtību.

Decimāldaļu pārvēršana daļskaitļos

Tagad izdomāsim, kā decimāldaļu pārvērst parastā daļskaitlī. Sāksim, pārvēršot pēdējās decimāldaļdaļas parastajās daļās. Pēc tam mēs apsvērsim metodi bezgalīgu periodisku decimālo daļu invertēšanai. Nobeigumā teiksim par neiespējamību bezgalīgas neperiodiskas decimāldaļas pārvērst parastajās daļās.

Beigu decimāldaļu pārveidošana par daļdaļām

Daļskaitļa iegūšana, kas tiek rakstīta kā pēdējais decimālskaitlis, ir diezgan vienkārša. Noteikums galīgās decimāldaļskaitļa pārvēršanai parastā daļskaitlī sastāv no trim soļiem:

• vispirms skaitītājā ierakstiet doto decimāldaļu, iepriekš atmetot decimāldaļu un visas nulles kreisajā pusē, ja tādas ir;
• otrkārt, saucējā ierakstiet vienu un pievienojiet tam tik nulles, cik ciparu ir aiz komata sākotnējā decimāldalībā;
• treškārt, ja nepieciešams, samaziniet iegūto frakciju.

Apskatīsim piemēru risinājumus.

Piemērs.

Pārvērtiet decimāldaļu 3,025 par daļu.

Risinājums.

Ja no sākotnējās decimāldaļskaitļa noņemam komatu, iegūstam skaitli 3025. Kreisajā pusē nav nulles, kuras mēs atmestu. Tātad vajadzīgās daļdaļas skaitītājā ierakstām 3025.

Mēs ierakstām saucējā skaitli 1 un pa labi no tā pievienojam 3 nulles, jo sākotnējā decimāldaļdaļā aiz komata ir 3 cipari.

Tātad mēs saņēmām parasto daļskaitli 3025/1000. Šo daļu var samazināt par 25, mēs iegūstam .

Atbilde:

.

Piemērs.

Pārvērtiet decimāldaļu 0,0017 par daļu.

Risinājums.

Bez komata sākotnējā decimāldaļdaļa izskatās kā 00017, atmetot nulles kreisajā pusē, iegūstam skaitli 17, kas ir vēlamās parastās daļas skaitītājs.

Mēs rakstām vienu ar četrām nullēm saucējā, jo sākotnējā decimāldaļskaitlī ir 4 cipari aiz komata.

Rezultātā mums ir parasta daļa 17/10 000. Šī daļa ir nesamazināma, un decimāldaļskaitļa pārvēršana parastā daļskaitlī ir pabeigta.

Atbilde:

.

Ja sākotnējās pēdējās decimāldaļskaitļa veselā daļa nav nulle, to var nekavējoties pārvērst par jauktu skaitli, apejot parasto daļu. Dosim noteikums galīgās decimāldaļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli:

• skaitlis pirms komata jāraksta kā vēlamā jauktā skaitļa vesela daļa;
• daļdaļas skaitītājā jums jāieraksta skaitlis, kas iegūts no sākotnējās decimāldaļas daļdaļas, izmetot visas nulles kreisajā pusē;
• daļdaļas saucējā jums jāpieraksta skaitlis 1, kuram pa labi jāpievieno tik nulles, cik sākotnējā decimāldaļdaļā ir ciparu aiz komata;
• ja nepieciešams, samaziniet iegūtā jauktā skaitļa daļējo daļu.

Apskatīsim piemēru decimāldaļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli.

Piemērs.

Decimāldaļu 152.06005 izsaka kā jauktu skaitli

Sausajā matemātiskajā valodā daļskaitlis ir skaitlis, kas tiek attēlots kā viena daļa. Daļskaitļi tiek plaši izmantoti cilvēka dzīvē: mēs izmantojam daļskaitļus, lai norādītu proporcijas kulinārijas receptēs, dodam decimālskaitļus konkursos vai ar tiem aprēķinām atlaides veikalos.

Daļiņu attēlojums

Viena daļskaitļa rakstīšanai ir vismaz divas formas: decimāldaļā vai parastās daļskaitļa formā. Decimāldaļā skaitļi izskatās kā 0,5; 0,25 vai 1,375. Mēs varam attēlot jebkuru no šīm vērtībām kā parastu daļskaitli:

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

Un, ja mēs viegli pārvēršam 0,5 un 0,25 no parastās daļskaitļa uz decimāldaļu un atpakaļ, tad skaitļa 1,375 gadījumā viss nav acīmredzams. Kā ātri pārvērst jebkuru decimālo skaitli par daļskaitli? Ir trīs vienkārši veidi.

Atbrīvošanās no komata

Vienkāršākais algoritms ietver skaitļa reizināšanu ar 10, līdz komats pazūd no skaitītāja. Šī transformācija tiek veikta trīs posmos:

1. darbība: Sākumā mēs rakstām decimālo skaitli kā daļskaitli “skaitlis/1”, tas ir, mēs iegūstam 0,5/1; 0,25/1 un 1,375/1.

2. darbība: pēc tam reiziniet jauno daļskaitļu skaitītāju un saucēju, līdz no skaitītājiem pazūd komats:

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

3. darbība: Mēs samazinām iegūtās frakcijas līdz sagremojamai formai:

• 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

Skaitlis 1,375 bija trīs reizes jāreizina ar 10, kas vairs nav īpaši ērti, bet kas mums jādara, ja mums ir jāpārvērš skaitlis 0,000625? Šajā situācijā mēs izmantojam šādu frakciju konvertēšanas metodi.

Atbrīvoties no komatiem vēl vienkāršāk

Pirmā metode sīki apraksta algoritmu komata “noņemšanai” no decimāldaļas, taču mēs varam vienkāršot šo procesu. Atkal mēs veicam trīs darbības.

1. darbība: Mēs saskaitām, cik ciparu ir aiz komata. Piemēram, skaitlim 1,375 ir trīs šādi cipari, bet 0,000625 - seši. Šo daudzumu apzīmēsim ar burtu n.

2. darbība: Tagad mums vienkārši jāattēlo daļskaitlis formā C/10 n, kur C ir daļdaļas nozīmīgie cipari (bez nullēm, ja tādas ir), un n ir ciparu skaits aiz komata. Piemēram:

• skaitlim 1,375 C = 1375, n = 3, galīgā daļa pēc formulas 1375/10 3 = 1375/1000;
• skaitlim 0,000625 C = 625, n = 6, galīgā daļa pēc formulas 625/10 6 = 625/1000000.

Būtībā 10n ir 1 ar n nullēm, tāpēc jums nav jāuztraucas ar desmitnieka paaugstināšanu līdz pakāpēm — tikai 1 ar n nullēm. Pēc tam vēlams samazināt nullēm tik bagāto frakciju.

3. darbība: Samazinām nulles un iegūstam gala rezultātu:

• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

Daļa 11/8 ir nepareiza daļa, jo tās skaitītājs ir lielāks par saucēju, kas nozīmē, ka mēs varam izolēt visu daļu. Šajā situācijā mēs no 11/8 atņemam visu 8/8 daļu un atlikušo iegūstam 3/8, tāpēc daļa izskatās kā 1 un 3/8.

Pārvēršana pēc auss

Tiem, kuri prot pareizi lasīt decimāldaļas, vienkāršākais veids, kā tos pārvērst, ir dzirde. Ja jūs lasāt 0,025 nevis kā "nulle, nulle, divdesmit piecas", bet kā "25 tūkstošdaļas", tad jums nebūs problēmu pārvērst decimāldaļas daļdaļās.

0,025 = 25/1000 = 1/40

Tādējādi, pareizi nolasot decimālskaitli, varat to nekavējoties pierakstīt kā daļu un, ja nepieciešams, samazināt.

Daļskaitļu izmantošanas piemēri ikdienas dzīvē

No pirmā acu uzmetiena parastās daļskaitļus praktiski neizmanto ne ikdienā, ne darbā, un ir grūti iedomāties situāciju, kad ārpus skolas uzdevumiem decimāldaļdaļa jāpārvērš parastajā daļskaitlī. Apskatīsim pāris piemērus.

Darbs

Tātad, jūs strādājat konfekšu veikalā un pārdodat halvu pēc svara. Lai produktu būtu vieglāk pārdot, halvu sadala kilogramu briketēs, taču tikai daži pircēji vēlas iegādāties veselu kilogramu. Tāpēc katru reizi cienasts ir jāsadala gabalos. Un, ja nākamais pircējs tev prasīs 0,4 kg halvas, tu viņam bez problēmām pārdosi vajadzīgo porciju.

0,4 = 4/10 = 2/5

Dzīve

Piemēram, jums ir jāizgatavo 12% šķīdums, lai krāsotu modeli sev vēlamajā ēnā. Lai to izdarītu, jums jāsajauc krāsa un šķīdinātājs, bet kā to izdarīt pareizi? 12% ir 0,12 decimāldaļdaļa. Pārvērtiet skaitli par kopējo daļskaitli un iegūstiet:

0,12 = 12/100 = 3/25

Frakciju zināšana palīdzēs pareizi sajaukt sastāvdaļas un iegūt vēlamo krāsu.

Secinājums

Daļskaitļus parasti izmanto ikdienas dzīvē, tādēļ, ja jums bieži ir jāpārvērš decimāldaļas par daļskaitļiem, ieteicams izmantot tiešsaistes kalkulatoru, kas var uzreiz iegūt rezultātu kā samazinātu daļu.

Ja 497 vajag dalīt ar 4, tad dalot redzēsim, ka 497 nedalās vienmērīgi ar 4, t.i. pārējais sadalījums paliek. Šādos gadījumos saka, ka tas ir pabeigts sadalīšana ar atlikumu, un risinājums ir uzrakstīts šādi:
497: 4 = 124 (1 atlikums).

Vienādības kreisajā pusē esošās dalīšanas sastāvdaļas sauc par tādām pašām kā dalīšanas bez atlikuma: 497 - dalāmais, 4 - sadalītājs. Tiek izsaukts dalīšanas rezultāts, dalot ar atlikumu nepilnīgs privātais. Mūsu gadījumā tas ir skaitlis 124. Un visbeidzot, pēdējais komponents, kas neatrodas parastajā sadalījumā, ir atlikumu. Gadījumos, kad atlikuma nav, viens skaitlis tiek dalīts ar citu bez pēdām vai pilnīgi. Tiek uzskatīts, ka ar šādu sadalījumu atlikums ir nulle. Mūsu gadījumā atlikums ir 1.

Atlikums vienmēr ir mazāks par dalītāju.

Dalīšanu var pārbaudīt, reizinot. Ja, piemēram, ir vienādība 64: 32 = 2, tad pārbaudi var veikt šādi: 64 = 32 * 2.

Bieži gadījumos, kad tiek veikta dalīšana ar atlikumu, ir ērti izmantot vienādību
a = b * n + r,
kur a ir dividende, b ir dalītājs, n ir daļējais koeficients, r ir atlikums.

Dabisko skaitļu koeficientu var uzrakstīt kā daļu.

Daļas skaitītājs ir dividende, un saucējs ir dalītājs.

Tā kā daļdaļas skaitītājs ir dividende un saucējs ir dalītājs, uzskata, ka daļskaitļa līnija nozīmē dalīšanas darbību. Dažreiz ir ērti rakstīt dalījumu kā daļu, neizmantojot zīmi ":".

Dabisko skaitļu m un n dalījuma koeficientu var uzrakstīt kā daļu \(\frac(m)(n)\), kur skaitītājs m ir dividende, bet saucējs n ir dalītājs:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Šie noteikumi ir patiesi:

Lai iegūtu daļu \(\frac(m)(n)\), jums ir jāsadala vienība n vienādās daļās (akcijās) un jāņem m šādas daļas.

Lai iegūtu daļskaitli \(\frac(m)(n)\), skaitlis m jādala ar skaitli n.

Lai atrastu veseluma daļu, veselumam atbilstošais skaitlis jādala ar saucēju un rezultāts jāreizina ar daļskaitļa skaitītāju, kas izsaka šo daļu.

Lai no tās daļas atrastu veselumu, šai daļai atbilstošais skaitlis jādala ar skaitītāju un rezultāts jāreizina ar daļskaitļa saucēju, kas izsaka šo daļu.

Ja gan daļskaitļa skaitītāju, gan saucēju reizina ar vienu un to pašu skaitli (izņemot nulli), daļdaļas vērtība nemainīsies:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ja gan daļskaitļa skaitītāju, gan saucēju dala ar vienu un to pašu skaitli (izņemot nulli), daļdaļas vērtība nemainīsies:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Šo īpašumu sauc frakcijas galvenā īpašība.

Tiek sauktas pēdējās divas transformācijas samazinot daļu.

Ja frakcijas ir jāattēlo kā daļskaitļi ar vienu un to pašu saucēju, tad šī darbība tiek izsaukta reducējot daļskaitļus līdz kopsaucējam.

Pareizās un nepareizās frakcijas. Jaukti skaitļi

Jūs jau zināt, ka daļu var iegūt, sadalot veselu vienādās daļās un ņemot vairākas šādas daļas. Piemēram, daļskaitlis \(\frac(3)(4)\) nozīmē trīs ceturtdaļas no viena. Daudzās iepriekšējās rindkopas problēmās daļskaitļi tika izmantoti, lai attēlotu veseluma daļas. Veselais saprāts nosaka, ka daļai vienmēr jābūt mazākai par veselumu, bet kā ar daļdaļām, piemēram, \(\frac(5)(5)\) vai \(\frac(8)(5)\)? Ir skaidrs, ka tas vairs neietilpst vienībā. Iespējams, tāpēc tiek izsauktas daļas, kuru skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju nepareizās frakcijas. Pārējās daļas, t.i., daļas, kuru skaitītājs ir mazāks par saucēju, sauc pareizās frakcijas.

Kā jūs zināt, jebkuru kopējo daļskaitli, gan pareizu, gan nepareizu, var uzskatīt par rezultātu, dalot skaitītāju ar saucēju. Tāpēc matemātikā, atšķirībā no parastās valodas, termins “nepareiza daļa” nenozīmē, ka mēs kaut ko izdarījām nepareizi, bet tikai to, ka šīs daļdaļas skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju.

Ja skaitlis sastāv no veselas daļas un daļskaitļa, tad tāds frakcijas sauc par jauktām.

Piemēram:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ir vesela skaitļa daļa, un \(\frac(2)(3) \) ir daļēja daļa.

Ja daļskaitļa \(\frac(a)(b) \) skaitītājs dalās ar naturālu skaitli n, tad, lai dalītu šo daļskaitli ar n, tā skaitītājs jādala ar šo skaitli:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ja daļskaitļa \(\frac(a)(b)\) skaitītājs nedalās ar naturālu skaitli n, tad, lai dalītu šo daļu ar n, tā saucējs jāreizina ar šo skaitli:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Ņemiet vērā, ka otrais noteikums ir patiess arī tad, ja skaitītājs dalās ar n. Tāpēc mēs to varam izmantot, ja no pirmā acu uzmetiena ir grūti noteikt, vai daļskaitļa skaitītājs dalās ar n vai nē.

Darbības ar daļskaitļiem. Frakciju pievienošana.

Jūs varat veikt aritmētiskās darbības ar daļskaitļiem, tāpat kā ar naturāliem skaitļiem. Vispirms apskatīsim daļskaitļu pievienošanu. Ir viegli pievienot daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Atradīsim, piemēram, \(\frac(2)(7)\) un \(\frac(3)(7)\) summu. Ir viegli saprast, ka \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jums jāpievieno to skaitītāji un saucējs jāatstāj tāds pats.

Izmantojot burtus, noteikumu par daļskaitļu pievienošanu ar līdzīgiem saucējiem var uzrakstīt šādi:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ja jums ir jāpievieno daļskaitļi ar dažādiem saucējiem, tie vispirms jāsamazina līdz kopsaucējam. Piemēram:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Daļskaitļiem, tāpat kā naturālajiem skaitļiem, ir spēkā saskaitīšanas komutatīvas un asociatīvās īpašības.

Jaukto frakciju pievienošana

Tiek izsaukti tādi apzīmējumi kā \(2\frac(2)(3)\). jauktas frakcijas. Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs 2 visa daļa jaukta daļa, un skaitlis \(\frac(2)(3)\) ir tā daļēja daļa. Ierakstu \(2\frac(2)(3)\) lasa šādi: "divas un divas trešdaļas".

Dalot skaitli 8 ar skaitli 3, var iegūt divas atbildes: \(\frac(8)(3)\) un \(2\frac(2)(3)\). Tie izsaka vienu un to pašu daļskaitli, t.i., \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Tādējādi nepareizā daļa \(\frac(8)(3)\) tiek attēlota kā jaukta daļa \(2\frac(2)(3)\). Šādos gadījumos viņi saka, ka no nepareizas daļas izcēla visu daļu.

Daļskaitļu atņemšana (daļskaitļi)

Daļskaitļu atņemšana, tāpat kā naturālie skaitļi, tiek noteikta, pamatojoties uz saskaitīšanas darbību: no viena skaitļa atņemt citu nozīmē atrast skaitli, kuru pievienojot otrajam, iegūst pirmo. Piemēram:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) kopš \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Noteikums daļskaitļu atņemšanai ar līdzīgiem saucējiem ir līdzīgs šādu daļskaitļu pievienošanas noteikumam:
Lai atrastu atšķirību starp daļskaitļiem ar vienādiem saucējiem, jums ir jāatņem otrās daļas skaitītājs no pirmās daļas skaitītāja un saucējs jāatstāj tāds pats.

Izmantojot burtus, šis noteikums ir uzrakstīts šādi:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Daļskaitļu reizināšana

Lai reizinātu daļskaitli ar daļskaitli, jums jāreizina to skaitītāji un saucēji un pirmais reizinājums jāraksta kā skaitītājs, bet otrais kā saucējs.

Izmantojot burtus, daļskaitļu reizināšanas noteikumu var uzrakstīt šādi:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Izmantojot formulēto noteikumu, jūs varat reizināt daļu ar naturālu skaitli, ar jauktu daļskaitli, kā arī reizināt jauktās daļas. Lai to izdarītu, jums jāraksta naturāls skaitlis kā daļskaitlis ar saucēju 1, jaukta daļa - kā nepareiza daļa.

Reizināšanas rezultāts ir jāvienkāršo (ja iespējams), samazinot daļu un izolējot visu nepareizās daļas daļu.

Daļskaitļiem, tāpat kā naturālajiem skaitļiem, ir spēkā reizināšanas komutatīvas un kombinatīvas īpašības, kā arī reizināšanas sadalījuma īpašība attiecībā pret saskaitīšanu.

Frakciju dalīšana

Ņemsim daļskaitli \(\frac(2)(3)\) un “apvērsim” to, apmainot skaitītāju un saucēju. Mēs iegūstam daļu \(\frac(3)(2)\). Šo frakciju sauc otrādi daļdaļas \(\frac(2)(3)\).

Ja mēs tagad “apvērsīsim” daļu \(\frac(3)(2)\), mēs iegūsim sākotnējo daļu \(\frac(2)(3)\). Tāpēc tādas frakcijas kā \(\frac(2)(3)\) un \(\frac(3)(2)\) tiek sauktas savstarpēji apgriezti.

Piemēram, daļskaitļi \(\frac(6)(5) \) un \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) un \(\frac (18) )(7)\).

Izmantojot burtus, apgrieztās daļas var uzrakstīt šādi: \(\frac(a)(b) \) un \(\frac(b)(a) \)

Ir skaidrs ka apgriezto daļu reizinājums ir vienāds ar 1. Piemēram: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Izmantojot apgrieztās daļskaitļus, jūs varat samazināt daļu dalīšanu līdz reizināšanai.

Daļas dalīšanas ar daļskaitli noteikums ir šāds:
Lai dalītu vienu daļu ar citu, dividende jāreizina ar dalītāja apgriezto skaitli.

Izmantojot burtus, daļskaitļu dalīšanas noteikumu var uzrakstīt šādi:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ja dividende vai dalītājs ir naturāls skaitlis vai jaukta daļdaļa, tad, lai izmantotu daļskaitļu dalīšanas noteikumu, tas vispirms ir jāattēlo kā nepareiza daļdaļa.