Энэ нийтлэл нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэлийг хэрхэн үүсгэх талаар санааг өгдөг. Өгөгдсөн алгоритмыг ердийн асуудлыг шийдэх жишээн дээр шинжилье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох

Түүнд гурван хэмжээст орон зай ба тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгье. М 1 цэг (x 1, y 1, z 1), a шулуун ба M 1 цэгийг дайран өнгөрөх α хавтгайг а шулуунд перпендикуляр өгөв. α хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө 10-11-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт дурдсан геометрийн теоремыг санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Гурван хэмжээст орон зайн өгөгдсөн цэгээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр нэг хавтгай өнгөрдөг.

Одоо өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр, эхлэл цэгийг дайран өнгөрөх энэ ганц хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн олохыг харцгаая.

Үүнийг бичих боломжтой ерөнхий тэгшитгэлхавтгай, хэрэв энэ хавтгайд хамаарах цэгийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол хавтгайн хэвийн векторын координатууд.

Бодлогын нөхцөлүүд нь α хавтгай өнгөрөх M 1 цэгийн x 1, y 1, z 1 координатуудыг бидэнд өгнө. Хэрэв бид α хавтгайн хэвийн векторын координатыг тодорхойлох юм бол шаардлагатай тэгшитгэлийг бичих боломжтой болно.

α хавтгайд перпендикуляр а шулуун дээр оршдог тул α хавтгайн хэвийн вектор нь а шулууны дурын чиглэлийн вектор байх болно. Ийнхүү α хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох бодлого а шулууны чиглүүлэх векторын координатыг тодорхойлох бодлого болж хувирав.

Шулуун а-ын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойлохдоо янз бүрийн аргуудыг ашиглан хийж болно: энэ нь эхний нөхцөлд шулуун шугамыг зааж өгөх сонголтоос хамаарна. Жишээ нь, хэрэв асуудлын өгүүлбэр дэх шулуун а нь хэлбэрийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

эсвэл хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлүүд:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

тэгвэл шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь a x, a y, a z координатуудтай болно. А шулуун шугамыг M 2 (x 2, y 2, z 2) ба M 3 (x 3, y 3, z 3) гэсэн хоёр цэгээр дүрсэлсэн тохиолдолд чиглэлийн векторын координатыг дараах байдлаар тодорхойлно. x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Тодорхойлолт 2

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох алгоритм:

Бид a шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойлно. a → = (a x, a y, a z) ;

Бид α хавтгайн хэвийн векторын координатыг a шулууны чиглүүлэх векторын координат гэж тодорхойлно.

n → = (A , B , C) , хаана A = a x , B = a y , C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийг дайран өнгөрөх, хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ. n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 хэлбэрээр. Энэ нь огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх, өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэл байх болно.

Үүний үр дүнд хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 нь сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл эсвэл хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг авах боломжтой болгодог.

Дээр олж авсан алгоритмыг ашиглан хэд хэдэн жишээг шийдье.

Жишээ 1

M 1 (3, - 4, 5) цэг өгөгдсөн ба түүгээр хавтгай өнгөрөх ба энэ хавтгай нь координатын шугам O z-д перпендикуляр байна.

Шийдэл

координатын шулууны чиглэлийн вектор O z нь координатын вектор k ⇀ = (0, 0, 1) болно. Тиймээс онгоцны хэвийн вектор нь координаттай (0, 0, 1) байна. Өгөгдсөн M 1 (3, - 4, 5) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичье, түүний хэвийн вектор нь координат (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Хариулт: z – 5 = 0 .

Энэ асуудлыг шийдэх өөр аргыг авч үзье:

Жишээ 2

O z шулуунд перпендикуляр байгаа хавтгайг C z + D = 0, C ≠ 0 хэлбэрийн бүрэн бус ерөнхий хавтгай тэгшитгэлээр өгнө. C ба D утгыг тодорхойлно уу: онгоц өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх утгууд. Энэ цэгийн координатыг C z + D = 0 тэгшитгэлд орлуулбал: C · 5 + D = 0 болно. Тэдгээр. тоонууд, C ба D нь хамаарлаар хамааралтай - D C = 5. C = 1-ийг авснаар бид D = - 5 болно.

Эдгээр утгыг C z + D = 0 тэгшитгэлд орлуулж, O z шулуун шугамд перпендикуляр, M 1 (3, - 4, 5) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн шаардлагатай тэгшитгэлийг авъя.

Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно: z – 5 = 0.

Хариулт: z – 5 = 0 .

Жишээ 3

Эхийг дайран өнгөрөх, x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 шулуунд перпендикуляр байх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн өгөгдсөн шулуун шугамын чиглэлийн векторыг өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор n → болгон авч болно гэж үзэж болно. Тиймээс: n → = (- 3 , - 7 , 2) . О (0, 0, 0) цэгийг дайран өнгөрөх, n → = (- 3, - 7, 2) хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичье.

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр координатын эхийг дайран өнгөрөх онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг бид олж авлаа.

Хариулт:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Жишээ 4

Тэгш өнцөгт координатын систем O x y z нь гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн бөгөөд дотор нь A (2, - 1, - 2) ба B (3, - 2, 4) гэсэн хоёр цэг байдаг. α хавтгай нь A B шулуунд перпендикуляр А цэгийг дайран өнгөрдөг. Сегментүүдэд α хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх шаардлагатай.

Шийдэл

α хавтгай нь A B шулуунтай перпендикуляр байвал A B → вектор нь α хавтгайн хэвийн вектор болно. Энэ векторын координатыг B (3, - 2, 4) ба А (2, - 1, - 2) цэгүүдийн харгалзах координатын зөрүүгээр тодорхойлно:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Одоо онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг сегментээр байгуулъя:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Хариулт:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх, өгөгдсөн хоёр хавтгайд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлага байдаг асуудлууд байдгийг бас тэмдэглэх нь зүйтэй. Ерөнхийдөө энэ асуудлын шийдэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулах явдал юм. огтлолцсон хоёр хавтгай шулуун шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 5

Тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгөгдсөн бөгөөд дотор нь M 1 (2, 0, - 5) цэг байна. a шулууны дагуу огтлолцох 3 x + 2 y + 1 = 0 ба x + 2 z – 1 = 0 хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг мөн өгөв. А шулуунд перпендикуляр М 1 цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх шаардлагатай.

Шийдэл

Шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг тодорхойлъё a. Энэ нь n → (1, 0, 2) хавтгайн хэвийн вектор n 1 → (3, 2, 0) ба x + 2 z -ийн хэвийн вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 хоёуланд нь перпендикуляр байна. 1 = 0 хавтгай.

Дараа нь чиглүүлэх вектор α → a шугамын хувьд n 1 → ба n 2 → векторуудын вектор үржвэрийг авна.

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Ийнхүү n → = (4, - 6, - 2) вектор нь а шулуунд перпендикуляр хавтгайн хэвийн вектор болно. Онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг бичье.

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 у - z - 9 = 0

Хариулт: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

13. Хавтгай хоорондын өнцөг, цэгээс хавтгай хүртэлх зай.

α ба β хавтгайг шулуун c шулуунаар огтолцгооё.
Хавтгай хоорондын өнцөг нь эдгээр хавтгайд зурсан огтлолцлын шугамтай перпендикуляр хоорондын өнцөг юм.

Өөрөөр хэлбэл, α хавтгайд бид c-д перпендикуляр шулуун шугамыг зурсан. β хавтгайд - шулуун b, мөн c-тэй перпендикуляр. α ба β хавтгайн хоорондох өнцөг өнцөгтэй тэнцүү a ба b мөрүүдийн хооронд.

Хоёр хавтгай огтлолцох үед дөрвөн өнцөг үүсдэг гэдгийг анхаарна уу. Та тэдгээрийг зурган дээр харж байна уу? Онгоцны хоорондох өнцгийн хувьд бид авдаг халуун ногоотойбулан.

Хэрэв онгоцны хоорондох өнцөг 90 градус байвал онгоцууд перпендикуляр,

Энэ бол онгоцны перпендикуляр байдлын тодорхойлолт юм. Стереометрийн асуудлыг шийдэхдээ бид бас ашигладаг хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын тэмдэг:

Хэрэв α хавтгай β хавтгайд перпендикуляр дамжин өнгөрвөл α ба β хавтгайнууд перпендикуляр байна..

цэгээс хавтгай хүртэлх зай

Түүний координатаар тодорхойлогдсон T цэгийг авч үзье.

T = (x 0 , y 0 , z 0)

Мөн тэгшитгэлээр өгөгдсөн α хавтгайг авч үзье.

Ax + By + Cz + D = 0

Дараа нь T цэгээс α хавтгай хүртэлх L зайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Өөрөөр хэлбэл, бид цэгийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь энэ тэгшитгэлийг n хэвийн векторын уртаар хавтгайд хуваана.

Үр дүнгийн тоо нь зай юм. Энэ теорем практикт хэрхэн хэрэгжиж байгааг харцгаая.

Бид аль хэдийн хавтгай дээрх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг гаргаж авсан, гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлогдсон шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг авъя.

Тэгш өнцөгт координатын системийг гурван хэмжээст орон зайд тогтооё Оксиз. Үүний дотор шулуун шугамыг тодорхойлъё а(Орон зай дахь шугамыг тодорхойлох аргуудын хэсгийг үзнэ үү), шугамын чиглэлийн векторыг заана шулуун дээрх зарим цэгийн координатууд . Орон зайд шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг зурахдаа бид эдгээр өгөгдлөөс эхэлнэ.

Гурван хэмжээст орон зайд дурын цэг байцгаая. Хэрэв бид цэгийн координатаас хасвал Мхаргалзах цэгийн координатууд М 1, дараа нь бид векторын координатыг авах болно (векторын координатыг түүний төгсгөл ба эхлэлийн цэгүүдийн координатаас олох өгүүллийг үзнэ үү), өөрөөр хэлбэл, .

Мэдээжийн хэрэг, цэгүүдийн багц нь шугамыг тодорхойлдог Азөвхөн ба векторууд нь коллинеар байвал.

Векторуудын коллинеар байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг бичье Тэгээд : , зарим бодит тоо хаана байна. Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ шугамын вектор-параметрийн тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын системд Оксизгурван хэмжээст орон зайд. Координат хэлбэрийн шулуун шугамын вектор-параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна болон төлөөлдөг шугамын параметрийн тэгшитгэл а. Параметрийн тусламжтайгаар шугам дээрх бүх цэгүүдийн координатыг зааж өгсөн тул "параметр" нэр нь санамсаргүй биш юм.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийн жишээг өгье Оксизсансарт: . Энд

15. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг. Шугамын хавтгайтай огтлолцох цэг.

Координаттай холбоотой эхний зэргийн тэгшитгэл бүр x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

хавтгайг тодорхойлдог ба эсрэгээр: дурын хавтгайг тэгшитгэлээр (3.1) төлөөлж болно. хавтгай тэгшитгэл.

Вектор n(A, B, C) хавтгайд ортогональ гэж нэрлэдэг хэвийн векторонгоц. (3.1) тэгшитгэлд A, B, C коэффициентүүд нэгэн зэрэг 0-тэй тэнцүү биш байна.

Онцгой тохиолдлуудтэгшитгэл (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - онгоц эхийг дайран өнгөрнө.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - хавтгай нь Оз тэнхлэгтэй параллель байна.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - онгоц Oz тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - хавтгай нь Ойз хавтгайтай параллель байна.

Координатын хавтгайн тэгшитгэл: x = 0, y = 0, z = 0.

Орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлж болно:

1) хоёр хавтгайн огтлолцох шугам хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэлийн систем:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

3) түүнд хамаарах M 1 (x 1, y 1, z 1) цэг ба вектор а(m, n, p), үүнтэй collinear. Дараа нь шулуун шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

. (3.4)

(3.4) тэгшитгэлийг дуудна шугамын каноник тэгшитгэл.

Вектор адуудсан чиглэлийн вектор шулуун.

(3.4) хамаарал бүрийг t параметртэй тэнцүүлэх замаар бид шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Системийг (3.2) систем болгон шийдвэрлэх шугаман тэгшитгэлхарьцангуй үл мэдэгдэх xТэгээд y, бид шугамын тэгшитгэлд хүрнэ төсөөлөлэсвэл шулуун шугамын өгөгдсөн тэгшитгэлүүд:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) тэгшитгэлээс бид каноник тэгшитгэл рүү очиж олох боломжтой zтэгшитгэл бүрээс гаргаж авсан утгыг тэнцүүлэх:

.

Ерөнхий тэгшитгэлээс (3.2) хэрэв та энэ шулуун ба түүний чиглэлийн векторын аль нэг цэгийг олвол өөр аргаар каноник тэгшитгэл рүү очиж болно. n= [n 1 , n 2 ], хаана n 1 (A 1, B 1, C 1) ба n 2 (A 2, B 2, C 2) - хэвийн векторууд өгсөн онгоцууд. Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь бол м, нэсвэл Р(3.4) тэгшитгэл нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах бутархайн тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. систем

системтэй тэнцүү байна ; ийм шулуун шугам нь Үхрийн тэнхлэгт перпендикуляр байна.

Систем x = x 1, y = y 1 системтэй тэнцүү байна; шулуун шугам нь Оз тэнхлэгтэй параллель байна.

Жишээ 1.15. A(1,-1,3) цэг нь эхээс энэ хавтгайд татсан перпендикулярын суурь болж байгааг мэдэж, хавтгайд тэгшитгэл бич.

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу вектор О.А(1,-1,3) нь хавтгайн хэвийн вектор бол түүний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно
x-y+3z+D=0. Хавтгайд хамаарах A(1,-1,3) цэгийн координатыг орлуулбал D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11 болно. Тэгэхээр x-y+3z-11=0.

Жишээ 1.16. Оз тэнхлэгийг дайран өнгөрч, 2x+y-z-7=0 хавтгайтай 60 градусын өнцөг үүсгэсэн хавтгайд тэгшитгэл байгуул.

Шийдэл.Оз тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайг Ax+By=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд энд A ба B нь нэгэн зэрэг алга болдоггүй. B болохгүй
тэнцүү 0, A/Bx+y=0. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглах

.

Шийдвэрлэж байна квадрат тэгшитгэл 3м 2 + 8м - 3 = 0, үндсийг нь ол
m 1 = 1/3, m 2 = -3, эндээс бид 1/3x+y = 0 ба -3x+y = 0 гэсэн хоёр хавтгайг авна.

Жишээ 1.17.Шугамын каноник тэгшитгэлийг зохио:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Шийдэл.Шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана м, н, х- шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координат, x 1 , y 1 , z 1- шулуунд хамаарах аливаа цэгийн координат. Шулуун шугамыг хоёр хавтгайн огтлолцох шугам гэж тодорхойлдог. Шулуунд хамаарах цэгийг олохын тулд координатуудын аль нэгийг нь тогтоодог (хамгийн хялбар арга бол x=0 тохируулах явдал юм) ба үүссэн системийг хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн систем болгон шийддэг. Тэгэхээр x=0, тэгвэл y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, тэгэхээр у=-1, z=1 болно. Бид энэ шулуунд хамаарах M(x 1, y 1, z 1) цэгийн координатуудыг олсон: M (0,-1,1). Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олоход хялбар бөгөөд анхны хавтгайнуудын хэвийн векторуудыг мэддэг n 1 (5,1,1) ба n 2 (2,3,-2). Дараа нь

Шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Жишээ 1.18. 2x-y+5z-3=0 ба x+y+2z+1=0 хавтгайгаар тодорхойлогдсон цацрагт нэг нь М(1,0,1) цэгийг дайран өнгөрөх хоёр перпендикуляр хавтгайг ол.

Шийдэл.Эдгээр хавтгайгаар тодорхойлсон цацрагийн тэгшитгэл нь u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 хэлбэртэй байх ба энд u ба v нь нэгэн зэрэг арилдаггүй. Цацрагийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

М цэгийг дайран өнгөрч буй цацрагаас хавтгайг сонгохын тулд бид М цэгийн координатыг цацрагийн тэгшитгэлд орлуулна. Бид авах:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, эсвэл v = - u.

Дараа нь цацрагийн тэгшитгэлд v = - u-ийг орлуулах замаар M агуулсан хавтгайн тэгшитгэлийг олно.

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Учир нь u¹0 (өөрөөр v=0, энэ нь цацрагийн тодорхойлолттой зөрчилддөг) тэгвэл бид x-2y+3z-4=0 хавтгайн тэгшитгэлтэй болно. Цацрагт хамаарах хоёр дахь хавтгай нь перпендикуляр байх ёстой. Хавтгайнуудын ортогональ байдлын нөхцөлийг бичье.

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, эсвэл v = - 19/5u.

Энэ нь хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 эсвэл 9x +24y + 13z + 34 = 0

Эхний түвшин

Координат ба векторууд. Цогц гарын авлага (2019)

Энэ нийтлэлд бид геометрийн олон асуудлыг энгийн арифметик болгон багасгах боломжийг олгодог нэг "шидэт саваа" -ын талаар ярилцаж эхлэх болно. Энэ "зөөгч" нь таны амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно, ялангуяа орон зайн дүрс, хэсэг гэх мэтийг бүтээхдээ итгэлгүй байгаа үед. Энэ бүхэн нь тодорхой төсөөлөл, практик ур чадвар шаарддаг. Бидний энд авч үзэх арга нь бүх төрлийн геометрийн бүтэц, үндэслэлээс бараг бүрэн хийсвэрлэх боломжийг танд олгоно. арга гэж нэрлэдэг "координатын арга". Энэ нийтлэлд бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Координатын хавтгай
2. Хавтгай дээрх цэг ба векторууд
3. Хоёр цэгээс вектор байгуулах
4. Вектор урт (хоёр цэгийн хоорондох зай).
5. Сегментийн дунд хэсгийн координатууд
6. Векторуудын цэгийн үржвэр
7. Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Координатын аргыг яагаад ингэж нэрлэдэгийг та аль хэдийн таасан байх гэж бодож байна? Тийм ээ, энэ нь геометрийн объектуудтай биш, харин тэдгээрийн тусламжтайгаар ажилладаг тул ийм нэртэй болсон тоон шинж чанар(координат). Геометрээс алгебр руу шилжих боломжийг олгодог өөрчлөлт нь координатын системийг нэвтрүүлэхээс бүрддэг. Хэрэв анхны зураг хавтгай байсан бол координат нь хоёр хэмжээст, хэрэв зураг гурван хэмжээст бол координат нь гурван хэмжээст байна. Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хоёр хэмжээст тохиолдлыг авч үзэх болно. Өгүүллийн гол зорилго бол координатын аргын зарим үндсэн техникийг хэрхэн ашиглахыг заах явдал юм (Тэд заримдаа Улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсэгт байгаа планиметрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болдог). Энэ сэдвийн дараагийн хоёр хэсэг нь C2 (стереоометрийн асуудал) асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын талаар хэлэлцэхэд зориулагдсан болно.

Координатын аргын талаар ярилцаж эхлэх нь хаанаас логиктой байх вэ? Координатын системийн тухай ойлголтоос л гарсан байх. Түүнтэй анх уулзаж байснаа санаарай. 7-р ангид байхдаа оршин тогтнох тухай мэдсэн юм шиг санагддаг шугаман функц, Жишээлбэл. Та үүнийг цэгээс нь босгосон гэдгийг сануулъя. Чи санаж байна уу? Та дурын тоог сонгоод, томъёонд орлуулж, ийм байдлаар тооцоолсон. Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл, хэрэв, тэгвэл гэх мэт.. Эцэст нь та юу авсан бэ? Мөн та координаттай оноо авсан: ба. Дараа нь та "загалмай" (координатын систем) зурж, түүн дээр масштабыг сонгоод (нэгж хэсэг болгон хэдэн нүдтэй байх вэ) түүн дээр олж авсан цэгүүдийг тэмдэглэж, дараа нь шулуун шугамаар холбоно шугам нь функцийн график юм.

Энд танд илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах хэд хэдэн зүйл байна:

1. Та ая тухтай байх үүднээс нэг сегментийг сонгосон бөгөөд ингэснээр зураг дээр бүх зүйл сайхан, нягт нийцдэг.

2. Тэнхлэг нь зүүнээс баруун тийш, тэнхлэг нь доороос дээш явдаг гэж хүлээн зөвшөөрдөг

3. Тэд зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг эхлэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг захидлаар зааж өгсөн болно.

4. Цэгийн координатыг бичихдээ жишээлбэл, зүүн талд нь тэнхлэгийн дагуух цэгийн координатыг хаалтанд, баруун талд нь тэнхлэгийн дагуу тэмдэглэнэ. Ялангуяа, энэ нь зүгээр л цэг дээр гэсэн үг юм

5. Координатын тэнхлэгийн аль нэг цэгийг зааж өгөхийн тулд түүний координатыг (2 тоо) зааж өгөх шаардлагатай.

6. Тэнхлэг дээр хэвтэж буй аливаа цэгийн хувьд,

7. Тэнхлэг дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд,

8. Тэнхлэгийг х тэнхлэг гэж нэрлэдэг

9. Тэнхлэгийг у тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Одоо дараагийн алхамаа хийцгээе: хоёр цэгийг тэмдэглэ. Энэ хоёр цэгийг сегментээр холбоно. Мөн бид сумыг цэгээс цэг рүү сегмент зурж байгаа мэт байрлуулна: өөрөөр хэлбэл бид сегментээ чиглүүлэх болно!

Өөр чиглэлтэй сегментийг юу гэж нэрлэдэгийг санаж байна уу? Энэ нь зөв, үүнийг вектор гэж нэрлэдэг!

Хэрэв бид цэгийг цэг рүү холбовол эхлэл нь А цэг, төгсгөл нь В цэг байх болно,Дараа нь бид векторыг авна. Чи ч бас 8-р ангидаа энэ бүтээн байгуулалтыг хийж байсныг санаж байна уу?

Векторуудыг цэгүүд шиг хоёр тоогоор тэмдэглэж болно: эдгээр тоог вектор координат гэж нэрлэдэг. Асуулт: Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатыг мэдэх нь координатыг нь олоход хангалттай гэж та бодож байна уу? Тийм гэж харагдаж байна! Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Тиймээс векторын цэг нь эхлэл, цэг нь төгсгөл байдаг тул вектор нь дараах координаттай байна.

Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл векторын координатууд

Одоо эсрэгээр нь векторын координатыг олъё. Үүний тулд бид юуг өөрчлөх хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, та эхлэл ба төгсгөлийг солих хэрэгтэй: одоо векторын эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх болно. Дараа нь:

Анхааралтай харна уу, векторуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Тэдний цорын ганц ялгаа нь координат дахь тэмдэг юм. Тэд эсрэг тэсрэг хүмүүс. Энэ баримтыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

Заримдаа, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг тусгайлан заагаагүй бол векторуудыг хоёр том үсгээр биш, харин нэг жижиг үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: гэх мэт.

Одоо жаахан дадлага хийхДараах векторуудын координатыг өөрөө ол.

Шалгалт:

Одоо арай илүү хэцүү асуудлыг шийд:

Нэг цэг дээр эхлэх цэгтэй вектор нь ко-ор-ди-на-та-тай байна. Abs-cis-su цэгүүдийг ол.

Бүгд ижил төстэй: Цэгийн координат байцгаая. Дараа нь

Би векторын координат гэж юу вэ гэсэн тодорхойлолт дээр үндэслэн системийг эмхэтгэсэн. Дараа нь цэг нь координаттай болно. Бид абсциссыг сонирхож байна. Дараа нь

Хариулт:

Та векторуудаас өөр юу хийж чадах вэ? Тийм ээ, бараг бүх зүйл энгийн тоонуудтай адил байна (та хуваах боломжгүй, гэхдээ та хоёр аргаар үржүүлж болно, тэдгээрийн аль нэгийг бид дараа нь хэлэлцэх болно)

1. Векторуудыг бие биедээ нэмж болно
2. Векторуудыг бие биенээсээ хасаж болно
3. Векторуудыг дурын тэг биш тоогоор үржүүлж (эсвэл хувааж) болно
4. Векторуудыг өөр хоорондоо үржүүлж болно

Эдгээр бүх үйлдлүүд нь маш тодорхой геометрийн дүрслэлтэй байдаг. Жишээлбэл, гурвалжин (эсвэл параллелограмм) нэмэх, хасах дүрэм:

Векторыг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваахад сунадаг, агшдаг эсвэл чиглэлээ өөрчилдөг.

Гэсэн хэдий ч, энд бид координат юу болох вэ гэсэн асуултыг сонирхох болно.

1. Хоёр векторыг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийн координатын элементийг элемент тус бүрээр нь нэмнэ (хасах). Тэр бол:

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх (хуваах) үед түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ (хуваагдана).

Жишээлбэл:

· co-or-di-nat зууны-to-ra хэмжээг ол.

Эхлээд вектор тус бүрийн координатыг олъё. Тэд хоёулаа ижил гарал үүсэлтэй байдаг - гарал үүслийн цэг. Тэдний төгсгөл нь өөр өөр байдаг. Дараа нь, . Одоо векторын координатыг тооцоолбол үүссэн векторын координатуудын нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлыг өөрөө шийд.

· Векторын координатын нийлбэрийг ол

Бид шалгаж байна:

Дараах асуудлыг авч үзье: координатын хавтгайд хоёр цэг байна. Тэдний хоорондох зайг хэрхэн олох вэ? Эхний цэг, хоёр дахь нь байг. Тэдгээрийн хоорондох зайг үүгээр тэмдэглэе. Тодорхой болгохын тулд дараах зургийг хийцгээе.

Би юу хийчихэв ээ? Юуны өмнө би холбогдсон цэгүүд ба, aмөн нэг цэгээс би тэнхлэгтэй параллель шугам, нэг цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам татсан. Тэд нэг цэг дээр огтлолцон, гайхалтай дүрс үүсгэсэн үү? Түүний юугаараа онцлог вэ? Тийм ээ, та бид хоёр бараг бүх зүйлийг мэддэг зөв гурвалжин. За, Пифагорын теорем нь гарцаагүй. Шаардлагатай сегмент нь энэ гурвалжны гипотенуз, сегментүүд нь хөл юм. Цэгийн координат хэд вэ? Тиймээ, тэдгээрийг зургаас олоход хялбар байдаг: Сегментүүд нь тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийн уртыг олоход хялбар байдаг: хэрвээ бид сегментүүдийн уртыг тус тусад нь тэмдэглэвэл, дараа нь

Одоо Пифагорын теоремыг ашиглая. Бид хөлний уртыг мэддэг тул гипотенузыг олох болно.

Ийнхүү хоёр цэгийн хоорондох зай нь координатуудын квадратын зөрүүний нийлбэрийн үндэс юм. Эсвэл - хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Цэгүүдийн хоорондох зай нь чиглэлээс хамаардаггүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Дараа нь:

Эндээс бид гурван дүгнэлт гаргаж байна.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох талаар бага зэрэг дадлага хийцгээе.

Жишээлбэл, хэрэв, дараа нь ба хоорондын зай нь тэнцүү байна

Эсвэл өөр замаар явъя: векторын координатыг ол

Мөн векторын уртыг ол:

Таны харж байгаагаар энэ нь ижил зүйл юм!

Одоо өөрөө бага зэрэг дасгал хий:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

Бид шалгаж байна:

Хэдий арай өөр сонсогдож байгаа ч гэсэн ижил томъёог ашигласан хэд хэдэн асуудлыг энд оруулав.

1. Зовхины уртын квадратыг ол.

2. Зовхины уртын квадратыг ол

Та тэдэнтэй төвөггүй харьцсан гэж бодож байна уу? Бид шалгаж байна:

1. Мөн энэ нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм) Бид өмнө нь векторуудын координатыг олсон: . Дараа нь вектор координаттай байна. Түүний уртын квадрат нь дараахтай тэнцүү байна.

2. Векторын координатыг ол

Дараа нь түүний уртын квадрат нь байна

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Энгийн арифметик, өөр юу ч биш.

Дараахь асуудлуудыг хоёрдмол утгагүйгээр ангилах боломжгүй бөгөөд эдгээр нь ерөнхий мэдлэг, энгийн зураг зурах чадвар юм.

1. Цэгийг абсцисса тэнхлэгтэй холбосон зүсэлтээс өнцгийн синусыг ол.

Тэгээд

Бид энд яаж цааш явах вэ? Бид тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Бид синусыг хаанаас хайх вэ? Энэ нь зөв, тэгш өнцөгт гурвалжинд. Тэгэхээр бид юу хийх хэрэгтэй вэ? Энэ гурвалжинг бүтээ!

Цэгийн координатууд нь ба, тэгвэл хэрчим нь тэнцүү, ба хэрчим болно. Бид өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синус бол эсрэг талын гипотенузын харьцаа гэдгийг сануулъя

Бидэнд юу хийх үлдэв? Гипотенузыг ол. Та үүнийг хоёр аргаар хийж болно: Пифагорын теоремыг ашиглан (хөл нь мэдэгдэж байна!) эсвэл хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан (үнэндээ эхний аргатай ижил зүйл!). Би хоёр дахь замаар явна:

Хариулт:

Дараагийн даалгавар танд илүү хялбар санагдах болно. Тэр цэгийн координат дээр байна.

Даалгавар 2.Цэгээс per-pen-di-ku-lyar нь ab-ciss тэнхлэг рүү доошилно. Най-ди-тэ абс-цис-су ос-но-ва-ния пер-пен-ди-ку-ла-ра.

Зураг зурцгаая:

Перпендикулярын суурь нь х тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэг бөгөөд миний хувьд энэ нь цэг юм. Зураг нь координаттай болохыг харуулж байна: . Бид abscissa буюу "x" бүрэлдэхүүн хэсгийг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт: .

Даалгавар 3.Өмнөх бодлогын нөхцөлд цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх зайны нийлбэрийг ол.

Хэрэв та цэгээс тэнхлэг хүртэлх зай ямар байхыг мэддэг бол даалгавар нь ерөнхийдөө энгийн зүйл юм. Та мэдэх үү? Би найдаж байна, гэхдээ би танд сануулах болно:

Тэгэхээр, яг дээрх зурган дээрээ би ийм перпендикуляр зурсан уу? Аль тэнхлэг дээр байна вэ? Тэнхлэг рүү. Тэгээд түүний урт хэд вэ? Тэр тэнцүү. Одоо тэнхлэгт перпендикуляр зурж, уртыг нь ол. Энэ нь тэнцүү байх болно, тийм үү? Дараа нь тэдний нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт: .

Даалгавар 4. 2-р даалгаврын нөхцөлд абсцисса тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийн ординатыг ол.

Тэгш хэм гэж юу болох нь танд ойлгомжтой байх гэж бодож байна уу? Олон объектууд үүнд байдаг: олон барилга байгууламж, ширээ, онгоц, олон геометрийн хэлбэрүүд: бөмбөг, цилиндр, дөрвөлжин, ромбус гэх мэт. Ойролцоогоор тэгш хэмийг дараах байдлаар ойлгож болно: дүрс нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ижил хагасаас бүрдэнэ. Энэ тэгш хэмийг тэнхлэгийн тэгш хэм гэж нэрлэдэг. Тэгвэл тэнхлэг гэж юу вэ? Энэ нь дүрсийг харьцангуйгаар тэнцүү хагас болгон "тайрах" боломжтой яг шугам юм (энэ зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг шулуун байна):

Одоо даалгавартаа буцаж орцгооё. Бид тэнхлэгт тэгш хэмтэй цэгийг хайж байгаагаа мэдэж байна. Тэгвэл энэ тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Энэ нь бид тэнхлэг нь сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Ийм цэгийг өөрөө тэмдэглэхийг хичээ. Одоо миний шийдэлтэй харьцуул:

Энэ нь танд яг адилхан үр дүнд хүрсэн үү? Сайн байна! Бид олсон цэгийн ординатыг сонирхож байна. Энэ нь тэнцүү юм

Хариулт:

Одоо надад хэлээч, хэдэн секунд бодсоны дараа ординаттай харьцуулахад А цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн абсцисса хэд байх вэ? Таны хариулт юу вэ? Зөв хариулт: .

Ерөнхийдөө дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

Абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

Ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

За, одоо энэ нь бүрэн аймшигтай болсон даалгавар: цэгийн эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол. Та эхлээд өөрийнхөөрөө бодоод дараа нь миний зургийг хараарай!

Хариулт:

Одоо параллелограммын асуудал:

Даалгавар 5: Цэгүүд вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма гарч ирнэ. Тэр цэгийг олоорой.

Та энэ асуудлыг логик болон координатын арга гэсэн хоёр аргаар шийдэж болно. Би эхлээд координатын аргыг ашиглаад дараа нь яаж өөрөөр шийдэж болохыг хэлье.

Цэгийн абсцисс нь тэнцүү байх нь тодорхой байна. (энэ нь цэгээс абсцисса тэнхлэг рүү татсан перпендикуляр дээр байрладаг). Бид ординатыг олох хэрэгтэй. Бидний зураг параллелограмм гэдгийг ашиглацгаая, энэ нь гэсэн үг юм. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан сегментийн уртыг олъё.

Бид цэгийг тэнхлэгт холбосон перпендикулярыг буулгана. Би огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ.

Сегментийн урт нь тэнцүү байна. (энэ цэгийг хэлэлцсэн асуудлыг өөрөө ол), тэгвэл бид Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно.

Сегментийн урт нь түүний ординаттай яг таарч байна.

Хариулт: .

Өөр нэг шийдэл (би үүнийг харуулсан зураг л өгнө)

Шийдлийн явц:

1. Зан төлөв

2. Цэг ба уртын координатыг ол

3. Үүнийг нотлох.

Өөр нэг сегментийн урттай холбоотой асуудал:

Гурвалжны орой дээр цэгүүд гарч ирнэ. Түүний зэрэгцээ шугамын уртыг ол.

Энэ юу болохыг санаж байна уу дунд шугамгурвалжин? Тэгвэл энэ даалгавар таны хувьд энгийн зүйл юм. Хэрэв та санахгүй байгаа бол би танд сануулах болно: гурвалжны дунд шугам нь дунд цэгүүдийг холбосон шугам юм. эсрэг талууд. Энэ нь суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь сегмент юм. Бид түүний уртыг эрт хайх хэрэгтэй байсан, энэ нь тэнцүү байна. Дараа нь дунд шугамын урт нь хагас том, тэнцүү байна.

Хариулт: .

Тайлбар: Энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд үүнийг бид дараа нь авч үзэх болно.

Энэ хооронд танд хэд хэдэн асуудал байна, тэдэн дээр дадлага хий, тэдгээр нь маш энгийн боловч координатын аргыг илүү сайн ашиглахад тусална!

1. Цэгүүд нь тра-пе-ционы дээд хэсэг юм. Дунд шугамын уртыг ол.

2. Оноо ба харагдах байдал вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Тэр цэгийг олоорой.

3. Цэгийг холбосон зүсэлтээс уртыг ол

4. Координат хавтгай дээрх өнгөт дүрсийн ард байгаа хэсгийг ол.

5. На-ча-ле ко-ор-ди-нат дахь төвтэй тойрог цэгээр дамжин өнгөрдөг. Түүнийг ra-di-us-г олоорой.

6. Тойргийн олд-ди-тэ ра-ди-ус, зөв ​​өнцгийн-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-эсвэл -ди-на-чи маш хариуцлагатай байдаг.

Шийдэл:

1. Трапецын дунд шугам нь суурийнх нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурь нь тэнцүү, суурь нь. Дараа нь

Хариулт:

2. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол үүнийг тэмдэглэх явдал юм (параллелограммын дүрэм). Векторуудын координатыг тооцоолоход хэцүү биш: . Вектор нэмэх үед координатууд нэмэгддэг. Дараа нь координатууд байна. Векторын гарал үүсэл нь координаттай цэг тул цэг нь мөн эдгээр координатуудтай. Бид ординатыг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт:

3. Бид хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёоны дагуу нэн даруй ажиллана.

Хариулт:

4. Зургийг хараад, сүүдэрлэсэн хэсэг нь аль хоёр дүрсийн хооронд "сэндвич" байгааг хэлээрэй? Энэ нь хоёр квадратын хооронд хавчуулагдсан байна. Дараа нь хүссэн зургийн талбай нь том дөрвөлжингийн талбайгаас жижиг квадратын талбайг хассантай тэнцүү байна. Жижиг дөрвөлжингийн тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь юм

Дараа нь жижиг талбайн талбай байна

Бид том дөрвөлжинтэй ижил зүйлийг хийдэг: түүний тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь юм

Дараа нь том талбайн талбай байна

Хүссэн зургийн талбайг бид дараах томъёогоор олно.

Хариулт:

5. Хэрэв тойрог нь эхийг төв болгож, нэг цэгийг дайран өнгөрвөл түүний радиус нь сегментийн урттай яг тэнцүү байх болно (зураг зурж, энэ нь яагаад тодорхой болохыг ойлгох болно). Энэ сегментийн уртыг олъё:

Хариулт:

6. Тэгш өнцөгтийг тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь түүний диагональ талтай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Хоёр диагональуудын аль нэгнийх нь уртыг олцгооё (эцсийн эцэст тэгш өнцөгт нь тэд тэнцүү байна!)

Хариулт:

За, чи бүх зүйлийг даван туулж чадсан уу? Үүнийг ойлгоход тийм ч хэцүү байгаагүй, тийм үү? Энд зөвхөн нэг дүрэм бий - визуал зураг хийж, үүнээс бүх өгөгдлийг "унших" боломжтой.

Бидэнд маш бага үлдлээ. Би ярихыг хүсч байгаа хоёр зүйл байна.

Энэ энгийн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе. Хоёр оноо өгье. Сегментийн дунд цэгийн координатыг ол. Энэ асуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна: цэгийг хүссэн дунд нь байг, дараа нь координаттай болно.

Тэр бол: сегментийн дунд хэсгийн координат = сегментийн төгсгөлийн харгалзах координатуудын арифметик дундаж.

Энэ дүрэм нь маш энгийн бөгөөд ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаггүй. Үүнийг ямар асуудал, хэрхэн ашиглахыг харцгаая.

1. Зүссэн хэсгээс олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту се-ре-ди-ны, цэгийг холбох ба

2. Цоонууд нь дэлхийн хамгийн дээд цэг мэт харагдаж байна. Түүний dia-go-na-ley-ийн per-re-se-che-niya олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту оноо.

3. Хай-di-te abs-cis-su дугуй төв, дүрслэх-сан-ной тухай тэгш өнцөгт-но-ка, ямар нэг зүйлийн орой хамтран эсвэл-ди-на-та маш хариуцлагатай-гэхдээ байна.

Шийдэл:

1. Эхний асуудал бол зүгээр л сонгодог. Бид сегментийн дунд хэсгийг тодорхойлохын тулд нэн даруй үргэлжлүүлнэ. Энэ нь координаттай. Ординат тэнцүү байна.

Хариулт:

2. Энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм (ромбус ч гэсэн!) гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үүнийг талуудын уртыг тооцоолж, бие биентэйгээ харьцуулах замаар өөрөө баталж болно. Параллелограммын талаар би юу мэдэх вэ? Түүний диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагддаг! Тиймээ! Тэгэхээр диагональуудын огтлолцох цэг юу вэ? Энэ бол аль ч диагональуудын дунд юм! Би ялангуяа диагональ сонгох болно. Дараа нь цэг нь координаттай байна Цэгийн ординат нь тэнцүү байна.

Хариулт:

3. Тэгш өнцөгтийг тойрсон тойргийн төв нь юутай давхцаж байна вэ? Энэ нь диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ? Тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд огтлолцох цэг нь тэдгээрийг хагасаар хуваадаг. Даалгаврыг өмнөх ажил болгон бууруулсан. Жишээлбэл, диагональыг авч үзье. Хэрэв тойргийн төв бол дунд цэг болно. Би координат хайж байна: Абсцисса тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо бие даан бага зэрэг дадлага хий, би зүгээр л асуудал бүрийн хариултыг өгье, ингэснээр та өөрийгөө туршиж үзээрэй.

1. Тойргийн олдох-ди-тэ ра-ди-ус, гурвалсан өнцөг-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-ор-ди-но мистер

2. Тойргийн төвийг олоод орой нь координаттай-но-ка гурвалжны талаар-сан-нойыг дүрсэл.

3. Аб-цисс тэнхлэгт хүрэхийн тулд нэг цэг дээр төвтэй тойрог ямар төрлийн ра-ди-у-са байх ёстой вэ?

4. Тэнхлэгийн дахин сэлэлтийн цэг ба зүсэлтээс, цэгийг холбох ба

Хариултууд:

Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Би үүнд үнэхээр найдаж байна! Одоо - сүүлчийн түлхэлт. Одоо ялангуяа болгоомжтой байгаарай. Миний одоо тайлбарлах материал нь зөвхөн түүнтэй шууд холбоотой биш юм энгийн даалгаваруудБ хэсгээс координатын арга руу, гэхдээ С2 асуудлын хаа сайгүй олддог.

Би амлалтуудынхаа алийг нь хараахан биелүүлээгүй вэ? Би векторууд дээр ямар үйлдлүүдийг танилцуулна гэж амлаж, эцэст нь алийг нь нэвтрүүлсэнээ санаж байна уу? Би юу ч мартаагүй гэдэгт итгэлтэй байна уу? Мартсан! Вектор үржүүлэх гэж юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахаа мартав.

Векторыг вектороор үржүүлэх хоёр арга бий. Сонгосон аргаас хамааран бид янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг авах болно.

Загалмайн бүтээгдэхүүнийг нэлээд ухаалаг хийдэг. Үүнийг хэрхэн хийх, яагаад хэрэгтэй вэ гэдгийг бид дараагийн өгүүллээр хэлэлцэх болно. Мөн энэ хэсэгт бид скаляр бүтээгдэхүүн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий:

Таны таамаглаж байгаагаар үр дүн нь ижил байх ёстой! Тиймээс эхлээд эхний аргыг харцгаая:

Координатаар цэгэн бүтээгдэхүүн

Олно: - скаляр үржвэрийн нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр = вектор координатын үржвэрийн нийлбэр!

Жишээ:

Хай-ди-тэ

Шийдэл:

Вектор тус бүрийн координатыг олъё.

Бид скаляр бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хариулт:

Хараач, ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй!

За, одоо өөрөө үзээрэй:

· Зууны скаляр про-из-ве-де-ни болон

Та удирдаж чадсан уу? Магадгүй та бага зэрэг барьсныг анзаарсан уу? Шалгацгаая:

Өмнөх асуудлын нэгэн адил вектор координат! Хариулт: .

Координатын нэгээс гадна векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар дамжуулан скаляр үржвэрийг тооцоолох өөр нэг арга бий.

ба векторуудын хоорондох өнцгийг илэрхийлнэ.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв бидэнд эхнийх нь байгаа бол илүү энгийн бөгөөд энэ нь агуулагддаг бол энэ хоёр дахь томьёо яагаад бидэнд хэрэгтэй байна вэ? ядажкосинус байхгүй. Энэ нь эхний болон хоёр дахь томьёоноос та бид хоёр векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдэхийн тулд шаардлагатай байна!

Дараа нь векторын уртын томъёог санаарай!

Хэрэв би энэ өгөгдлийг скаляр бүтээгдэхүүний томъёонд орлуулах юм бол би дараахийг авна:

Гэхдээ өөр аргаар:

Тэгэхээр та бид хоёр юу авсан бэ? Одоо бидэнд хоёр векторын хоорондох өнцгийг тооцоолох томьёо байна! Заримдаа үүнийг товчлох үүднээс ингэж бичдэг.

Өөрөөр хэлбэл, векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Скаляр үржвэрийг координатаар тооцоол
2. Векторуудын уртыг олоод үржүүл
3. 1-р цэгийн үр дүнг 2-р цэгийн үр дүнд хуваана

Жишээн дээр дадлага хийцгээе:

1. Зовхи болон хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хариултыг grad-du-sah хэлээр өг.

2. Өмнөх бодлогын нөхцөлд векторуудын хоорондох косинусыг ол

Үүнийг хийцгээе: Би чамд эхний асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална, харин хоёр дахь асуудлыг өөрөө хийхийг хичээ! Зөвшөөрч байна уу? Дараа нь эхэлцгээе!

1. Эдгээр векторууд нь бидний эртний найзууд юм. Бид аль хэдийн тэдний скаляр үржвэрийг тооцоолсон бөгөөд энэ нь тэнцүү байсан. Тэдний координат нь: , . Дараа нь бид тэдгээрийн уртыг олно:

Дараа нь бид векторуудын хоорондох косинусыг хайна.

Өнцгийн косинус хэд вэ? Энэ бол булан.

Хариулт:

За, одоо хоёр дахь асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь харьцуулаарай! Би маш богино шийдлийг өгөх болно:

2. солбицолтой, координаттай.

Дараа нь векторуудын хоорондох өнцөг гэж үзье

Хариулт:

Шалгалтын хуудасны В хэсэгт шууд векторууд болон координатын аргатай холбоотой асуудал нэлээд ховор байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч C2 асуудлын дийлэнх хэсгийг координатын системийг нэвтрүүлснээр хялбархан шийдэж болно. Тиймээс та энэ өгүүллийг бид нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай нэлээд ухаалаг барилга байгууламжийг бий болгох үндэс суурь гэж үзэж болно.

КОРДИНАТ БА ВЕКТОР. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Та бид хоёр координатын аргыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Сүүлийн хэсэгт бид цуврал гаргалаа чухал томъёонууд, энэ нь:

1. Вектор координатыг ол
2. Векторын уртыг ол (өөр нэг хувилбар: хоёр цэгийн хоорондох зай)
3. Векторуудыг нэмэх, хасах. Тэдгээрийг бодит тоогоор үржүүлнэ
4. Сегментийн дунд цэгийг ол
5. Векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоол
6. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Мэдээжийн хэрэг, координатын бүх арга нь эдгээр 6 цэгт тохирохгүй. Энэ нь аналитик геометр гэх мэт шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог бөгөөд та үүнийг их сургуульд сурч мэдэх болно. Ганц мужид асуудлыг шийдэх боломжийг олгох суурийг л бий болгомоор байна. шалгалт. Бид В хэсгийн даалгавруудыг гүйцэтгэсэн. Одоо цоо шинэ түвшинд шилжих цаг боллоо! Энэ нийтлэлийг координатын арга руу шилжүүлэх нь зүйтэй гэж үзсэн C2 асуудлыг шийдвэрлэх аргачлалд зориулах болно. Энэ үндэслэл нь тухайн асуудалд юуг олох шаардлагатай, ямар тоогоор тодорхойлогддог. Тиймээс, хэрэв асуултууд байвал би координатын аргыг ашиглах болно.

1. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг ол
2. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол
3. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол
4. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол
5. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол
6. Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг ол
7. Хоёр шугамын хоорондох зайг ол

Хэрэв асуудлын тайлбарт өгөгдсөн дүрс нь эргэлтийн бие юм бол (бөмбөг, цилиндр, конус ...)

Координатын аргын тохиромжтой тоонууд нь:

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт)

Мөн миний туршлагаас координатын аргыг хэрэглэх нь зохисгүй:

1. Хөндлөн огтлолын талбайг олох
2. Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох

Гэсэн хэдий ч координатын аргын гурван "тааламжгүй" нөхцөл байдал практикт нэлээд ховор байдаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх ажлуудад энэ нь таны аврагч болж чадна, ялангуяа та гурван хэмжээст бүтээцэд тийм ч сайн биш бол (энэ нь заримдаа нэлээд төвөгтэй байж болно).

Миний дээр дурдсан бүх тоо юу вэ? Тэд хавтгай байхаа больсон, жишээ нь дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэх мэт, гэхдээ их хэмжээний! Үүний дагуу бид хоёр хэмжээст биш, харин гурван хэмжээст координатын системийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг бүтээхэд маш хялбар: зүгээр л абсцисса ба ординатын тэнхлэгээс гадна бид өөр тэнхлэг болох хэрэглээний тэнхлэгийг нэвтрүүлэх болно. Зурагт тэдгээрийн харьцангуй байрлалыг бүдүүвчээр харуулав.

Тэд бүгд харилцан перпендикуляр бөгөөд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд бид үүнийг координатын гарал үүсэл гэж нэрлэх болно. Өмнөхтэй адил бид абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэгийг - , танилцуулсан хэрэглээний тэнхлэгийг - гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнө нь хавтгай дээрх цэг бүрийг абсцисса ба ординат гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлдог байсан бол орон зайн цэг бүрийг абсцисса, ординат, аппликат гэсэн гурван тоогоор аль хэдийн тодорхойлсон байдаг. Жишээлбэл:

Үүний дагуу цэгийн абсцисс тэнцүү, ординат нь , хэрэглүүр нь .

Заримдаа цэгийн абсциссыг цэгийн абсцисса тэнхлэг рүү, ордината - ординат тэнхлэг рүү чиглэсэн проекц, хэрэглээний тэнхлэг дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу, хэрэв цэг өгөгдсөн бол координат бүхий цэг:

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

Байгалийн асуулт гарч ирнэ: хоёр хэмжээст тохиолдлоор гаргаж авсан бүх томьёо нь орон зайд хүчинтэй юу? Хариулт нь тийм ээ, тэд шударга бөгөөд ижил дүр төрхтэй байдаг. Жижиг нарийн ширийн зүйлийн хувьд. Аль нь болохыг та аль хэдийн таамагласан байх гэж бодож байна. Бүх томъёонд бид хэрэглээний тэнхлэгийг хариуцах өөр нэг нэр томъёо нэмэх шаардлагатай болно. Тухайлбал.

1. Хоёр оноо өгвөл: , тэгвэл:

• Вектор координатууд:
• Хоёр цэгийн хоорондох зай (эсвэл векторын урт)
• Сегментийн дунд цэг нь координаттай

2. Хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба, тэгвэл:

• Тэдний скаляр үржвэр нь дараахтай тэнцүү байна.
• Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь дараахтай тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч орон зай нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Таны ойлгож байгаагаар дахин нэг координат нэмэх нь энэ орон зайд "амьдрах" дүрсүүдийн спектрт ихээхэн ялгаатай байдлыг бий болгодог. Цаашид өгүүлэхийн тулд би шулуун шугамын "ерөнхийлэл"-ийн заримыг танилцуулах хэрэгтэй болно. Энэ "ерөнхийлэл" нь онгоц байх болно. Та онгоцны талаар юу мэдэх вэ? Онгоц гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулахыг хичээгээрэй. Үүнийг хэлэхэд маш хэцүү. Гэсэн хэдий ч бид бүгд энэ нь юу болохыг зөн совингоор төсөөлдөг:

Товчхондоо энэ бол огторгуйд наалдсан эцэс төгсгөлгүй "хуудас" юм. "Хязгааргүй" гэдэг нь онгоц бүх чиглэлд сунадаг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч энэхүү "гар"-ын тайлбар нь онгоцны бүтцийн талаар өчүүхэн ч гэсэн ойлголт өгөхгүй. Тэр бол биднийг сонирхох болно.

Геометрийн үндсэн аксиомуудын нэгийг санацгаая.

• Шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх ба зөвхөн нэг нь:

Эсвэл түүний сансар дахь аналог:

Мэдээжийн хэрэг, та өгөгдсөн хоёр цэгээс шугамын тэгшитгэлийг яаж гаргахаа санаж байгаа байх, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв эхний цэг нь координаттай бол: хоёр дахь нь шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Та үүнийг 7-р ангидаа авсан. Орон зайд шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна: координаттай хоёр цэг өгье: , тэгвэл тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг:

Үүнийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ? Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: хэрэв цэг нь координат нь дараах системийг хангаж байвал шулуун дээр байрладаг.

Шугамын тэгшитгэлийг бид тийм ч их сонирхохгүй ч шугамын чиглэлийн векторын тухай маш чухал ойлголтод анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. - өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор.

Жишээлбэл, хоёр вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн векторууд юм. Шулуун дээр хэвтэж буй цэг, түүний чиглэлийн вектор байг. Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Дахин хэлэхэд, би шулуун шугамын тэгшитгэлийг тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ чиглэлийн вектор гэж юу болохыг санах хэрэгтэй байна! Дахин: Энэ нь шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор юм.

Татаж авах өгөгдсөн гурван цэг дээр суурилсан хавтгайн тэгшитгэлЭнэ нь тийм ч энгийн зүйл байхаа больсон бөгөөд ихэвчлэн энэ асуудлыг хичээл дээр авч үздэггүй ахлах сургууль. Гэхдээ дэмий хоосон! Нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд координатын аргыг ашиглахад энэ техник нь амин чухал юм. Гэсэн хэдий ч та шинэ зүйл сурах хүсэлтэй байгаа гэж бодож байна уу? Түүгээр ч зогсохгүй аналитик геометрийн курст ихэвчлэн судалдаг техникийг хэрхэн ашиглахаа мэддэг болсон бол та их сургуулийн багшдаа сэтгэгдэл төрүүлэх боломжтой болно. Ингээд эхэлцгээе.

Хавтгайн тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлээс тийм ч их ялгаатай биш, тухайлбал дараахь хэлбэртэй байна.

зарим тоонууд (бүгд тэгтэй тэнцүү биш), харин хувьсагч, жишээлбэл: гэх мэт. Таны харж байгаагаар хавтгайн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэлээс (шугаман функц) тийм ч их ялгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч та бид хоёр юу маргаж байсныг санаж байна уу? Хэрэв бид нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгтэй бол тэдгээрээс онгоцны тэгшитгэлийг өвөрмөц байдлаар сэргээж болно гэж бид хэлсэн. Гэхдээ яаж? Би танд тайлбарлахыг хичээх болно.

Хавтгайн тэгшитгэл нь:

Мөн цэгүүд нь энэ хавтгайд хамаарах тул цэг бүрийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулахдаа бид зөв таних тэмдгийг олж авах ёстой.

Тиймээс үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байна! Дилемма! Гэсэн хэдий ч та үүнийг үргэлж таамаглаж болно (үүнийг хийхийн тулд та хуваах хэрэгтэй). Тиймээс бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч бид ийм системийг шийдэхгүй, харин үүнээс үүдэлтэй нууцлаг илэрхийлэлийг бичих болно.

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(массив)) \баруун| = 0\]

Зогс! Энэ юу вэ? Зарим маш ер бусын модуль! Гэсэн хэдий ч таны өмнө харж буй объект нь модультай ямар ч холбоогүй юм. Энэ объектыг гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Одооноос эхлэн та хавтгай дээрх координатын аргатай харьцахдаа эдгээр ижил тодорхойлогчтой байнга тулгарах болно. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Хачирхалтай нь энэ бол зүгээр л тоо. Тодорхойлогчтой ямар тодорхой тоо харьцуулахыг ойлгоход л үлдлээ.

Эхлээд гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг дэлгэрэнгүй бичье ерөнхий үзэл:

Зарим тоо хаана байна. Түүнээс гадна эхний индексээр бид мөрийн дугаарыг, индексээр баганын дугаарыг хэлнэ. Жишээлбэл, энэ тоо нь хоёр дахь мөр, гурав дахь баганын огтлолцол дээр байна гэсэн үг юм. Өмсгөөд үзье дараагийн асуулт: Ийм тодорхойлогчийг яг яаж тооцох вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид үүнтэй ямар тодорхой тоогоор харьцуулах вэ? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд эвристик (харааны) гурвалжны дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

1. Үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэр (зүүн дээд булангаас баруун доод тал руу) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь үндсэн диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэгч элементүүдийн үржвэр юм. үндсэн диагональ
2. Хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэр (баруун дээд булангаас зүүн доод тал хүртэл) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь хоёрдогч диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр юм. хоёрдогч диагональ
3. Дараа нь тодорхойлогч зөрүүтэй тэнцүү байнаалхам дээр олж авсан утгууд ба

Хэрэв бид энэ бүгдийг тоогоор бичвэл дараах илэрхийлэл гарч ирнэ.

Гэсэн хэдий ч, та энэ хэлбэрээр тооцоолох аргыг санах шаардлагагүй, зөвхөн гурвалжингууд, юу нэмж, юунаас юуг хасах тухай санааг толгойдоо хадгалахад хангалттай).

Гурвалжингийн аргыг жишээгээр тайлбарлая.

1. Тодорхойлогчийг тооцоол:

Юу нэмж, юуг хасахаа олж мэдье.

Нэмэлттэй хамт ирдэг нөхцлүүд:

Энэ бол гол диагональ: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "үндсэн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Хоёрдахь гурвалжин, "гол диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Гурван тоог нэмнэ үү:

Хасах тэмдэгтэй ирдэг нэр томъёо

Энэ нь хажуугийн диагональ юм: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Хоёр дахь гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Гурван тоог нэмнэ үү:

Үлдсэн зүйл бол "хасах" нөхцлүүдийн нийлбэрээс "нэмэх" нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах явдал юм.

Тиймээс,

Таны харж байгаагаар гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолоход төвөгтэй, ер бусын зүйл байхгүй. Гурвалжны талаар санаж, арифметик алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. Одоо үүнийг өөрөө тооцоолж үзээрэй:

Бид шалгаж байна:

1. Үндсэн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
2. Үндсэн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
3. Нэмэх нэр томъёоны нийлбэр:
4. Хоёрдогч диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
5. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
6. Хасах нэр томъёоны нийлбэр:
7. Нэмэхтэй нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах нь хасахтай нөхцлүүдийн нийлбэр:

Энд хэд хэдэн тодорхойлогч хүчин зүйлүүд байна, тэдгээрийн утгыг өөрөө тооцоолж, хариулттай харьцуулна уу.

Хариултууд:

За, бүх зүйл давхцсан уу? Гайхалтай, тэгвэл та цаашаа явж болно! Хэрэв бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол: Интернет дээр тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох олон програмууд байдаг. Танд хэрэгтэй зүйл бол өөрийн тодорхойлогчийг гаргаж, өөрөө тооцоолж, дараа нь програмын тооцоолсон зүйлтэй харьцуулах явдал юм. Үр дүн нь давхцаж эхлэх хүртэл. Энэ мөч ирэхэд удаан хугацаа шаардагдахгүй гэдэгт би итгэлтэй байна!

Одоо гурвыг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийн тухай ярихдаа миний бичсэн тодорхойлогч руу буцъя. оноо өгсөн:

Танд хэрэгтэй зүйл бол түүний утгыг шууд (гурвалжингийн аргыг ашиглан) тооцоолж, үр дүнг тэг болгох явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь хувьсагч тул та тэдгээрээс хамаарах зарим илэрхийлэлийг авах болно. Энэ илэрхийлэл нь нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл болно!

Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая:

1. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул

Бид эдгээр гурван цэгийн тодорхойлогчийг эмхэтгэдэг.

Хялбарчилъя:

Одоо бид гурвалжингийн дүрмийг ашиглан шууд тооцоолно.

\[(\left| (\begin(массив)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\төгсгөл(массив)) \ баруун|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Тиймээс цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл нь:

Одоо нэг асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй, дараа нь бид үүнийг хэлэлцэх болно:

2. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол

За, одоо шийдлийн талаар ярилцъя:

Тодорхойлогчийг үүсгэцгээе:

Мөн түүний утгыг тооцоолох:

Дараа нь онгоцны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо өөрийгөө хянах хоёр даалгавар:

1. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуул.

Хариултууд:

Бүх зүйл давхцсан уу? Дахин хэлэхэд, хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол толгойноосоо гурван оноо ав (ижил шулуун дээр хэвтэхгүй байх магадлал өндөртэй), тэдгээрийн үндсэн дээр онгоц бүтээ. Тэгээд та өөрийгөө онлайнаар шалгана уу. Жишээлбэл, сайт дээр:

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын тусламжтайгаар бид зөвхөн хавтгайн тэгшитгэлийг бүтээх болно. Зөвхөн цэгэн үржвэр нь векторуудад тодорхойлогддоггүй гэдгийг би та нарт хэлснийг санаарай. Мөн вектор бүтээгдэхүүн, түүнчлэн холимог бүтээгдэхүүн байдаг. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо бол хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор байх ба энэ вектор нь өгөгдсөн векторуудад перпендикуляр байх болно.

Түүнээс гадна түүний модуль байх болно талбайтай тэнцүүвекторууд дээр баригдсан параллелограмм ба. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолохын тулд бидэнд энэ вектор хэрэгтэй болно. Векторуудын вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох вэ, хэрэв тэдгээрийн координат нь өгөгдсөн бол? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч бидэнд дахин туслахаар ирлээ. Гэсэн хэдий ч, би вектор үржвэрийг тооцоолох алгоритм руу шилжихээсээ өмнө жижиг ухралт хийх хэрэгтэй.

Энэ хазайлт нь суурь векторуудад хамаатай.

Тэдгээрийг схемийн дагуу зурагт үзүүлэв:

Тэднийг яагаад үндсэн гэж нэрлэдэг гэж та бодож байна вэ? Баримт нь:

Эсвэл зураг дээр:

Энэ томъёоны хүчин төгөлдөр байдал нь ойлгомжтой, учир нь:

Вектор урлагийн бүтээл

Одоо би хөндлөн бүтээгдэхүүнийг танилцуулж эхэлж болно:

Хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор бөгөөд үүнийг дараах дүрмийн дагуу тооцоолно.

Одоо хөндлөн үржвэрийг тооцоолох зарим жишээг өгье.

Жишээ 1: Векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол:

Шийдэл: Би тодорхойлогчийг бүрдүүлж байна:

Тэгээд би үүнийг тооцоолно:

Одоо суурь векторуудаар дамжуулан бичихдээ би ердийн вектор тэмдэглэгээ рүү буцах болно.

Тиймээс:

Одоо оролдоод үз.

Бэлэн үү? Бид шалгаж байна:

Уламжлал ёсоор хоёр хяналтын даалгавар:

1. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.
2. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.

Хариултууд:

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн

Надад хамгийн сүүлд хэрэгтэй зүйл бол гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь скаляр шиг тоо юм. Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий. - тодорхойлогчоор, - холимог бүтээгдэхүүнээр.

Тухайлбал, бидэнд гурван вектор өгье:

Дараа нь гурван векторын холимог үржвэрийг дараах байдлаар тооцоолж болно.

1. - өөрөөр хэлбэл холимог үржвэр нь векторын скаляр үржвэр ба бусад хоёр векторын вектор үржвэр юм.

Жишээлбэл, гурван векторын холимог үржвэр нь:

Үүнийг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан өөрөө тооцоолж, үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай!

Дахин хэлэхэд бие даасан шийдлүүдийн хоёр жишээ:

Хариултууд:

Координатын системийг сонгох

За, одоо бид стереометрийн геометрийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдлэгийн үндэстэй болсон. Гэсэн хэдий ч, жишээнүүд болон тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритм руу шууд орохын өмнө дараахь асуултанд анхаарлаа хандуулах нь ашигтай байх болно гэж би бодож байна: яг яаж вэ? тодорхой дүрсийн координатын системийг сонгох.Эцсийн эцэст энэ бол сонголт юм харьцангуй байрлалСансар огторгуй дахь координатын систем, хэлбэрүүд нь эцсийн дүндээ тооцоолол хэр төвөгтэй болохыг тодорхойлох болно.

Энэ хэсэгт бид дараах тоон үзүүлэлтүүдийг авч үзэхийг сануулъя.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Шулуун призм (гурвалжин, зургаан өнцөгт ...)
3. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин)
4. Тетраэдр (гурвалжин пирамидтай ижил)

Тэгш өнцөгт параллелепипед эсвэл шоо дөрвөлжин хэлбэртэй хэлбэрийн хувьд би танд дараахь зүйлийг хийхийг зөвлөж байна.

Өөрөөр хэлбэл, би дүрсийг "буланд" байрлуулна. Шоо болон параллелепипед бол маш сайн дүрс юм. Тэдний хувьд та түүний оройн координатыг үргэлж хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв (зурагт үзүүлсэн шиг)

Дараа нь оройнуудын координатууд дараах байдалтай байна.

Мэдээжийн хэрэг, та үүнийг санах шаардлагагүй, гэхдээ шоо эсвэл тэгш өнцөгт параллелепипедийг хэрхэн зөв байрлуулахаа санах нь зүйтэй.

Шулуун призм

Призм бол илүү хор хөнөөлтэй дүрс юм. Орон зайд янз бүрийн аргаар байрлуулж болно. Гэсэн хэдий ч дараахь сонголт надад хамгийн тохиромжтой гэж бодож байна.

Гурвалжин призм:

Өөрөөр хэлбэл, бид гурвалжны нэг талыг бүхэлд нь тэнхлэгт байрлуулж, нэг орой нь координатын эхлэлтэй давхцдаг.

Зургаан өнцөгт призм:

Өөрөөр хэлбэл, оройнуудын нэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж, талуудын нэг нь тэнхлэг дээр байрладаг.

Дөрвөн ба зургаан өнцөгт пирамид:

Нөхцөл байдал нь шоотой төстэй: бид суурийн хоёр талыг координатын тэнхлэгүүдтэй уялдуулж, оройн аль нэгийг нь координатын гарал үүсэлтэй тэгшлэнэ. Цорын ганц бэрхшээл бол цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын хувьд - зургаан өнцөгт призмтэй адил. Гол ажил бол оройн координатыг олох явдал юм.

Тетраэдр (гурвалжин пирамид)

Нөхцөл байдал нь гурвалжин призмийн хувьд миний өгсөнтэй маш төстэй юм: нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

За, одоо та бид хоёр асуудлыг шийдэж эхлэхэд ойрхон байна. Өгүүллийн эхэнд миний хэлсэн зүйлээс та дараах дүгнэлтийг хийж болно: С2 бодлогуудын ихэнх нь өнцгийн бодлого, зайны бодлого гэсэн 2 ангилалд хуваагддаг. Эхлээд бид өнцгийг олох асуудлыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь эргээд дараахь ангилалд хуваагдана (тэдгээрийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэх тусам):

Өнцөг олох асуудал

1. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох
2. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

Эдгээр бодлогуудыг дараалан авч үзье: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох замаар эхэлье. За, санаж байна уу, та бид хоёр өмнө нь ижил төстэй жишээг шийдэж байгаагүй гэж үү? Та санаж байна уу, бидэнд аль хэдийн ижил төстэй зүйл байсан ... Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Хэрэв хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамаарлаас олохыг танд сануулъя.

Одоо бидний зорилго бол хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох явдал юм. "Хавтгай зураг" -ыг харцгаая:

Хоёр шулуун огтлолцоход бид хэдэн өнцөгтэй болсон бэ? Хэдхэн зүйл. Үнэн бол тэдгээрийн зөвхөн хоёр нь тэнцүү биш, бусад нь босоо байрлалтай (тиймээс тэдэнтэй давхцдаг). Тэгэхээр бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг аль өнцгөөр тооцох ёстой вэ: эсвэл? Энд дүрэм нь: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь үргэлж градусаас ихгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр өнцгөөс хамгийн бага хэмжигдэхүүнтэй өнцгийг сонгох болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ зураг дээр хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг тэнцүү байна. Хоёр өнцгийн хамгийн жижигийг олох гэж төвөг удахгүйн тулд зальтай математикчид модуль ашиглахыг санал болгов. Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Анхааралтай уншигчийн хувьд танд өнцгийн косинусыг тооцоолоход шаардлагатай эдгээр тоог яг хаанаас авах вэ гэсэн асуулт гарч ирэх ёстой байсан. Хариулт: Бид тэдгээрийг шугамын чиглэлийн векторуудаас авах болно! Ийнхүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид 1-р томъёог ашигладаг.

Эсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

1. Бид эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
2. Бид хоёр дахь шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
3. Бид тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний модулийг тооцоолно
4. Бид эхний векторын уртыг хайж байна
5. Бид хоёр дахь векторын уртыг хайж байна
6. 4-р цэгийн үр дүнг 5-р цэгийн үр дүнгээр үржүүлнэ
7. Бид 3-р цэгийн үр дүнг 6-р цэгийн үр дүнд хуваана. Шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг бид авна.
8. Хэрэв энэ үр дүнөнцгийг нарийн тооцоолох, хайх боломжийг танд олгоно
9. Үгүй бол бид нуман косинусаар бичдэг

За, одоо асуудал руу шилжих цаг боллоо: Би эхний хоёрын шийдлийг нарийвчлан харуулах болно, би өөр нэг шийдлийг танилцуулах болно. Товчхондоо, мөн сүүлийн хоёр асуудалд би зөвхөн хариулт өгөх болно, та тэдгээрийн бүх тооцоог өөрөө хийх ёстой;

Даалгаварууд:

1. Баруун тэт-ра-эд-рэ-д тет-ра-эд-рагийн өндөр ба дунд талын хоорондох өнцгийг ол.

2. Баруун гар талын зургаан өнцөгт пи-ра-ми-дэ, зуун ос-но-ва-ниас тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү, ба шугамын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун дөрвөн нүүрсний пи-ра-ми-дын бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол, хэрвээ зүсэлтээс авсан бол - та өгөгдсөн пи-ра-ми-ди-тэй байгаа бол цэг нь түүний бо-ко- хоёр дахь хавирга дээр се-ре-ди-байна.

4. Шоо дөрвөлжин ирмэг дээр шулуун ба хоорондын өнцгийг олох цэг байдаг

5. Цэг - шоо ирмэг дээр Шулуун ба хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Би даалгавруудыг ийм дарааллаар зохион байгуулсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Та координатын аргыг хараахан удирдаж эхлээгүй байгаа ч би өөрөө хамгийн "асуудалтай" тоонуудыг задлан шинжилж, хамгийн энгийн шоотой ажиллахыг танд үлдээх болно! Аажмаар та бүх тоонуудтай хэрхэн ажиллахаа сурах хэрэгтэй болно, би сэдвээс сэдэв рүү даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх болно.

Асуудлыг шийдэж эхэлцгээе:

1. Тетраэдр зурж, миний түрүүн санал болгосны дагуу координатын системд байрлуул. Тетраэдр нь тогтмол байдаг тул түүний бүх нүүр (суурийг оруулаад) байдаг тогтмол гурвалжин. Бидэнд талын уртыг өгөөгүй тул би үүнийг тэнцүү гэж үзэж болно. Энэ өнцөг нь манай тетраэдр хэр их “суналтаас” хамаарахгүй гэдгийг та ойлгож байна гэж бодож байна? Би мөн тетраэдр дэх өндөр ба медианыг зурах болно. Замдаа би түүний суурийг зурах болно (энэ нь бидэнд бас хэрэгтэй болно).

Би хоёрын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байна. Бид юу мэдэх вэ? Бид зөвхөн цэгийн координатыг л мэднэ. Энэ нь бид цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Одоо бид бодож байна: цэг нь гурвалжны өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг юм. Мөн цэг бол өргөгдсөн цэг юм. Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид эцэст нь олох хэрэгтэй: цэгүүдийн координат: .

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе: цэгийн координат. Зургийг харна уу: Цэгийн хэрэглээ нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна (цэг нь хавтгай дээр байрладаг). Ординат нь тэнцүү байна (энэ нь медиан учраас). Түүний абсциссыг олох нь илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнийг Пифагорын теорем дээр үндэслэн хялбархан хийж болно: Гурвалжинг авч үзье. Түүний гипотенуз нь тэнцүү ба нэг хөл нь тэнцүү Дараа нь:

Эцэст нь бидэнд: .

Одоо цэгийн координатыг олъё. Түүний хэрэглүүр дахин тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой бөгөөд ординат нь цэгийнхтэй ижил байна, өөрөөр хэлбэл. Түүний абсциссыг олъё. Хэрэв та үүнийг санаж байвал энэ нь маш энгийн зүйл юм тэгш талт гурвалжны өндрийг огтлолцох цэгээр нь хуваана, дээрээс нь тоолж байна. Учир нь: , тэгвэл сегментийн урттай тэнцүү цэгийн шаардлагатай абсцисса нь: -тэй тэнцүү байна. Тиймээс цэгийн координатууд нь:

Цэгийн координатыг олъё. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Мөн өргөдөл нь сегментийн урттай тэнцүү байна. - энэ бол гурвалжны хөлүүдийн нэг юм. Гурвалжны гипотенуз нь сегмент - хөл юм. Үүнийг тодоор тэмдэглэсэн шалтгааны улмаас хайж байна.

Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог санах хэрэгтэй.

Ингээд л бид чиглэлийн векторуудын координатыг хайж болно.

За, бүх зүйл бэлэн боллоо: бид бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Тиймээс,

Хариулт:

Ийм "аймшигтай" хариултаас та айх ёсгүй: C2 даалгаврын хувьд энэ нь нийтлэг практик юм. Энэ хэсэгт байгаа "сайхан" хариултыг хараад гайхах нь дээр. Таны анзаарсанчлан би Пифагорын теорем ба тэгш талт гурвалжны өндрийн шинж чанараас өөр зүйлд хандаагүй. Өөрөөр хэлбэл, стереометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд би хамгийн бага стереометрийг ашигласан. Үүний ашиг нь нэлээд төвөгтэй тооцооллоор хэсэгчлэн "унтарсан". Гэхдээ тэд маш алгоритмтай!

2. Ердийн зургаан өнцөгт пирамидыг координатын систем, мөн суурийнх нь хамт дүрсэлцгээе.

Бид ба шугамын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Тиймээс бидний даалгавар бол цэгүүдийн координатыг олох явдал юм. Бид сүүлийн гурвын координатыг жижиг зураг ашиглан олох бөгөөд цэгийн координатаар оройн координатыг олох болно. Хийх ажил их байгаа ч бид эхлэх хэрэгтэй!

a) Координат: түүний хэрэглээний болон ординат нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна. Абсциссыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Харамсалтай нь бид зөвхөн гипотенузыг мэддэг бөгөөд энэ нь тэнцүү юм. Бид хөлөө олохыг хичээх болно (учир нь хөлний урт нь хоёр дахин их байх нь бидэнд цэгийн абсцисса өгөх нь тодорхой юм). Бид үүнийг яаж хайх вэ? Пирамидын ёроолд ямар дүрс байгааг санацгаая? Энэ бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүх талууд ба бүх өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг юм. Бид нэг ийм өнцгийг олох хэрэгтэй. Ямар нэгэн санаа байна уу? Маш олон санаа байдаг, гэхдээ томъёо байдаг:

Энгийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь .

Тиймээс ердийн зургаан өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь өнцөг бүр нь тэнцүү байна:

Зургийг дахин харцгаая. Сегмент нь өнцгийн биссектрис гэдэг нь тодорхой байна. Дараа нь өнцөг нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь:

Тэгээд хаанаас.

Тиймээс координатууд байна

б) Одоо бид цэгийн координатыг хялбархан олох боломжтой: .

в) Цэгийн координатыг ол. Түүний абсцисса нь сегментийн урттай давхцаж байгаа тул энэ нь тэнцүү байна. Ординатыг олох нь бас тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв бид цэгүүдийг холбож, шугамын огтлолцлын цэгийг жишээлбэл, . (энэ нь өөрөө энгийн барилгын ажил). Тэгвэл В цэгийн ординат нь хэрчмүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг дахин харцгаая. Дараа нь

Тэр цагаас хойш цэг нь координаттай болсон

d) Одоо цэгийн координатыг олъё. Тэгш өнцөгтийг авч үзээд цэгийн координатууд нь:

д) Оройн координатыг олоход л үлддэг. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Програмаа олцгооё. Түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын нөхцлийн дагуу хажуугийн хавирга. Энэ бол миний гурвалжны гипотенуз юм. Дараа нь пирамидын өндөр нь хөл юм.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

За ингээд л болоо, миний сонирхсон бүх цэгийн координат надад байна. Би шулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын координатыг хайж байна.

Бид эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийг хайж байна.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд, энэ асуудлыг шийдэхдээ би ердийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томьёо, мөн тэгш өнцөгт гурвалжны косинус, синусын тодорхойлолтоос өөр нарийн төвөгтэй аргыг ашиглаагүй.

3. Пирамидын ирмэгийн уртыг бидэнд дахин өгөөгүй тул би тэдгээрийг нэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. Тиймээс, зөвхөн хажуугийн ирмэгүүд биш, БҮХ ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү тул пирамидын ёроолд бид дөрвөлжин байна. хажуугийн нүүрнүүд- ердийн гурвалжин. Асуудлын текстэд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэж, ийм пирамид, түүний суурийг хавтгай дээр зурцгаая.

Бид хоёрын хоорондох өнцгийг хайж байна. Би цэгүүдийн координатыг хайхдаа маш товч тооцоолол хийх болно. Та тэдгээрийг "тайлах" хэрэгтэй болно:

б) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд:

в) Би гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно. Би үүнийг гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан олж чадна.

Координат:

d) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд нь

e) Вектор координат

f) Вектор координат

g) Өнцөг хайх:

Шоо бол хамгийн энгийн дүрс юм. Та үүнийг өөрөө шийднэ гэдэгт итгэлтэй байна. 4 ба 5-р асуудлын хариултууд дараах байдалтай байна.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох

За, энгийн оньсого хийх цаг дууслаа! Одоо жишээнүүд нь бүр ч төвөгтэй байх болно. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулна
   ,
   Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашиглан.
2. Хоёр цэгийг ашиглан бид шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг хайж байна.
3. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар энэ томьёо нь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олоход ашигладаг томъёотой маш төстэй юм. Баруун талын бүтэц нь зүгээр л адилхан бөгөөд зүүн талд бид өмнөх шигээ косинус биш харин синусыг хайж байна. За, нэг муухай үйлдэл нэмсэн - онгоцны тэгшитгэлийг хайх.

Хойшлуулахаа больё шийдлийн жишээ:

1. Үндсэн-гэхдээ-ва-ни-эм шууд призм-бид ядуутай тэнцүү гурвалжин юм. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол

2. Баруун талаас тэгш өнцөгт хэлбэртэй par-ral-le-le-pi-pe-de-д Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

4. Мэдэгдэж байгаа хавирганы ос-но-ва-ни-эм бүхий баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ-д Саарал өнгөтөөр дамжин өнгөрч буй булангийн, ob-ra-zo-van - хавтгай суурь ба шулуун, тэгш өнцөгтийг ол. хавирга ба

5. Оройтой зөв дөрвөлжин пи-ра-ми-дигийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Хэрэв цэг нь пи-ра-ми-дигийн ирмэг дээр байгаа бол шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Дахин хэлэхэд би эхний хоёр асуудлыг нэг бүрчлэн, гурав дахь асуудлыг товч, харин сүүлийн хоёр асуудлыг өөрөө шийдэхийг танд үлдээе. Үүнээс гадна, та аль хэдийн гурвалжин болон шийдвэрлэх хэрэгтэй болсон дөрвөлжин пирамидууд, гэхдээ призмтэй - хараахан биш.

Шийдэл:

1. Призм болон түүний суурийг дүрсэлцгээе. Үүнийг координатын системтэй нэгтгэж, асуудлын мэдэгдэлд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэе.

Пропорцийг дагаж мөрдөөгүйд хүлцэл өчье, гэхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ нь үнэндээ тийм ч чухал биш юм. Онгоц бол зүгээр л миний призмийн "арын хана" юм. Ийм хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж таахад хангалттай.

Гэхдээ үүнийг шууд харуулж болно:

Энэ хавтгай дээрх дурын гурван цэгийг сонгоцгооё: жишээлбэл, .

Хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя:

Танд зориулсан дасгал: энэ тодорхойлогчийг өөрөө тооцоол. Та амжилтанд хүрсэн үү? Дараа нь онгоцны тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Эсвэл зүгээр л

Тиймээс,

Жишээг шийдэхийн тулд шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг олох хэрэгтэй. Цэг нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байгаа тул векторын координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай давхцах болно.

Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинг анхаарч үзээрэй. Оройноос өндрийг (мөн медиан ба биссектрис гэж нэрлэдэг) зуръя. Учир нь цэгийн ординат нь тэнцүү байна. Энэ цэгийн абсциссыг олохын тулд сегментийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Пифагорын теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Цэг нь "босгосон" цэг юм:

Дараа нь вектор координатууд нь:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү зүйл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, призм гэх мэт дүрсийн "шулуун байдал" нь процессыг арай хялбаршуулдаг. Одоо дараагийн жишээ рүү шилжье:

2. Параллелепипед зурж, дотор нь хавтгай ба шулуун шугамыг зурж, мөн түүний доод суурийг тусад нь зур.

Эхлээд бид хавтгайн тэгшитгэлийг олно: Түүнд байрлах гурван цэгийн координатууд:

(эхний хоёр координатыг тодорхой аргаар олж авсан бөгөөд та хамгийн сүүлийн координатыг зурган дээрээс хялбархан олох боломжтой). Дараа нь бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Бид тооцоолно:

Бид чиглүүлэгч векторын координатыг хайж байна: Түүний координат нь тухайн цэгийн координаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна, тийм үү? Координатыг хэрхэн олох вэ? Эдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгийн дагуу нэгээр өргөгдсөн цэгийн координатууд юм! . Дараа нь бид хүссэн өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

3. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид зурж, дараа нь хавтгай ба шулуун шугамыг зур.

Энэ асуудлыг шийдэх нь битгий хэл онгоц зурах нь ч хэцүү байдаг, гэхдээ координатын арга нь хамаагүй! Түүний олон талт байдал нь түүний гол давуу тал юм!

Онгоц гурван цэгийг дайран өнгөрдөг: . Бид тэдгээрийн координатыг хайж байна:

1) . Сүүлийн хоёр цэгийн координатыг өөрөө олж мэдээрэй. Үүний тулд та зургаан өнцөгт пирамидын асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно!

2) Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Бид векторын координатыг хайж байна: . (Гурвалжин пирамидын асуудлыг дахин үзнэ үү!)

3) Өнцөг хайх:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар эдгээр ажилд ер бусын хэцүү зүйл байдаггүй. Та зүгээр л үндэстэй маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Би зөвхөн сүүлийн хоёр асуудалд хариулт өгөх болно:

Таны харж байгаагаар асуудлыг шийдэх техник нь хаа сайгүй ижил байдаг: гол ажил бол оройн координатыг олж, тэдгээрийг тодорхой томъёонд орлуулах явдал юм. Бид өнцгийг тооцоолох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй, тухайлбал:

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох

Шийдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид эхний хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
2. Бусад гурван цэгийг ашиглан бид хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
3. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Таны харж байгаагаар томьёо нь өмнөх хоёр томьёотой маш төстэй бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид шулуун шугам, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг хайсан. Тиймээс үүнийг санах нь танд хэцүү биш байх болно. Даалгавруудын дүн шинжилгээ рүү шилжье:

1. Баруун гурвалжин призмийн суурийн тал тэнцүү, хажуугийн нүүрний диагональ тэнцүү байна. Призмийн тэнхлэгийн хавтгай ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

2. Баруун дөрвөн өнцөгт пи-ра-ми-дэ, бүх ирмэг нь тэнцүү, хавтгай ба хавтгай ясны хоорондох өнцгийн синусыг ол per-pen-di-ku- цэгээр дамжин өнгөрнө. лай - гэхдээ шулуун.

3. Энгийн дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Ирмэг дээр цэг байдаг нь-me-che-on тийм болохоор. ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол

4. Баруун дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Цэгээс ирмэг дээр цэг байдаг тул хавтгай хоорондын өнцгийг олох ба.

5. Шоо дөрвөлжинд ба хавтгайнуудын хоорондох өнцгийн ко-си нусыг ол

Асуудлын шийдэл:

1. Би ердийн (суурь дээр нь тэгш талт гурвалжин) гурвалжин призмийг зурж, түүн дээр асуудлын тайлбарт харагдах хавтгайг тэмдэглэв.

Бид хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй: Суурийн тэгшитгэл нь өчүүхэн: та гурван цэгийг ашиглан харгалзах тодорхойлогчийг зохиож болно, гэхдээ би тэр даруй тэгшитгэлийг зохиох болно.

Одоо тэгшитгэлийг олцгооё Цэг нь координаттай Цэг - Гурвалжны дундаж ба өндөр нь гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан амархан олно. Дараа нь цэг нь координаттай байна: Цэгийн хэрэглээний хэсгийг олъё

Дараа нь бид дараах координатуудыг авна: Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолно.

Хариулт:

2. Зураг зурах:

Хамгийн хэцүү зүйл бол энэ цэгээр перпендикуляр өнгөрч байгаа ямар нууцлаг онгоц болохыг ойлгох явдал юм. За, гол нь юу вэ? Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм! Үнэн хэрэгтээ шугам нь перпендикуляр юм. Шулуун шугам нь мөн перпендикуляр байна. Дараа нь эдгээр хоёр шугамыг дайран өнгөрч буй онгоц нь шулуунтай перпендикуляр байх бөгөөд дашрамд хэлэхэд, цэгээр дамжин өнгөрөх болно. Энэ онгоц мөн пирамидын оройгоор дамжин өнгөрдөг. Дараа нь хүссэн онгоц - Тэгээд онгоцыг бидэнд аль хэдийн өгсөн. Бид цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Бид цэгээр дамжин тухайн цэгийн координатыг олно. Бяцхан зургаас тухайн цэгийн координатууд дараах байдалтай байна гэсэн дүгнэлт хийхэд хялбар байдаг: Пирамидын оройн координатыг олохын тулд одоо юу үлдэх вэ? Та мөн түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг Пифагорын ижил теорем ашиглан хийдэг: эхлээд үүнийг нотлох (суурь дээр квадрат үүсгэдэг жижиг гурвалжнуудаас). Нөхцөлөөр бид:

Одоо бүх зүйл бэлэн боллоо: оройн координатууд:

Бид онгоцны тэгшитгэлийг бүтээдэг:

Та аль хэдийн тодорхойлогчийг тооцоолох мэргэжилтэн болсон. Та ямар ч хүндрэлгүйгээр хүлээн авах болно:

Эсвэл өөрөөр (хэрэв бид хоёр талыг хоёрын үндэсээр үржүүлбэл)

Одоо онгоцны тэгшитгэлийг олъё:

(Бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн олж авдагийг та мартаагүй байна, тийм ээ? Хэрэв та энэ хасах нь хаанаас гарсныг ойлгохгүй байгаа бол онгоцны тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу буцаж ор! Миний онгоц координатын гарал үүсэлтэй байсан!)

Бид тодорхойлогчийг тооцоолно:

(Онцгойн тэгшитгэл нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлтэй давхцаж байгааг та анзаарч магадгүй! Яагаад гэдгийг бодоорой!)

Одоо өнцгийг тооцоолъё:

Бид синусыг олох хэрэгтэй:

Хариулт:

3. Залхуу асуулт: тэгш өнцөгт призм гэж юу гэж бодож байна вэ? Энэ бол зүгээр л таны сайн мэдэх параллелепипед юм! Тэр даруй зураг зурцгаая! Энд та суурийг тусад нь дүрслэх шаардлагагүй;

Онгоцыг бид өмнө нь тэмдэглэснээр тэгшитгэл хэлбэрээр бичсэн болно.

Одоо онгоц бүтээцгээе

Бид нэн даруй онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэнэ.

Өнцөг хайж байна:

Одоо сүүлийн хоёр асуудлын хариултууд:

За, одоо жаахан завсарлага авах цаг нь болсон, учир нь та бид хоёр гайхалтай бөгөөд маш сайн ажил хийсэн!

Координат ба векторууд. Ахисан түвшин

Энэ нийтлэлд бид тантай координатын аргыг ашиглан шийдэж болох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх болно: зайны тооцооллын асуудлууд. Тухайлбал, бид дараах тохиолдлуудыг авч үзэх болно.

1. огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох.

Би эдгээр даалгаврыг улам хүндрүүлэхийн тулд захиалсан. Энэ нь олоход хамгийн хялбар юм цэгээс хавтгай хүртэлх зай, хамгийн хэцүү зүйл бол олох явдал юм огтлолцох шугам хоорондын зай. Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг боломжгүй зүйл гэж үгүй! Хойшлуулахгүй, нэн даруй эхний ангиллын асуудлыг авч үзье.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Цэгийн координат

Тиймээс, шаардлагатай бүх өгөгдлийг хүлээн авмагц бид дараах томъёог хэрэглэнэ.

Миний сүүлийн хэсэгт ярилцсан өмнөх асуудлуудаас бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн яаж байгуулдгийг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой. Даалгаврууддаа шууд орцгооё. Схем нь дараах байдалтай байна: 1, 2 - Би танд шийдвэр гаргахад тусална, зарим талаараа 3, 4 - зөвхөн хариулт, та шийдлийг өөрөө хийж, харьцуулна. Эхэлцгээе!

Даалгаварууд:

1. Шоо өгөгдсөн. Кубын ирмэгийн урт нь тэнцүү байна. Се-ре-ди-нагаас зүсэлтээс хавтгай хүртэлх зайг ол

2. Баруун дөрвөн нүүрсний pi-ra-mi-yes өгөгдсөн бол хажуугийн тал нь суурьтай тэнцүү байна. Се-re-di-on ирмэг дээр байгаа цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

3. Ос-но-ва-ни-эмтэй баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү, os-no-vania-н зуун-ро-он нь тэнцүү байна. Дээд талаас хавтгай хүртэлх зайг ол.

4. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Нэг ирмэгтэй шоо зурж, хэрчим ба хавтгайг барьж, сегментийн дунд хэсгийг үсгээр тэмдэглэ.

.

Эхлээд энгийн зүйлээс эхэлье: цэгийн координатыг олоорой. Түүнээс хойш (сегментийн дунд хэсгийн координатыг санаарай!)

Одоо бид гурван цэгийг ашиглан онгоцны тэгшитгэлийг зохио

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(массив)) \баруун| = 0\]

Одоо би зайг хайж эхэлж болно:

2. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн зургаар дахин эхэлдэг!

Пирамидын хувьд түүний суурийг тусад нь зурах нь ашигтай байх болно.

Би сарвуугаараа тахиа шиг зурсан нь ч энэ асуудлыг хялбархан шийдвэрлэхэд саад болохгүй!

Одоо цэгийн координатыг олоход хялбар боллоо

Тухайн цэгийн координатаас хойш

2. А цэгийн координатууд нь хэрчмийн дунд байдаг тул

Ямар ч асуудалгүйгээр бид хавтгай дээрх хоёр цэгийн координатыг олж болно.

\[\зүүн| (\left| (\begin(массив)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\төгсгөл(массив)) \баруун|) \баруун| = 0\]

Цэг нь координаттай тул зайг тооцоолно:

Хариулт (маш ховор!):

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Өмнөх хэсэгт авч үзсэн жишээнүүдийн нэгэн адил энд байгаа бүх зүйл техникийн шинжтэй юм шиг надад санагдаж байна. Тиймээс хэрэв та тэр материалыг эзэмшсэн бол үлдсэн хоёр асуудлыг шийдвэрлэхэд танд хэцүү биш байх болно гэдэгт би итгэлтэй байна. Би танд зөвхөн хариултуудыг өгөх болно:

Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга. Шулуун ба хавтгай хоёрыг бие биенээсээ хэрхэн байрлуулах вэ? Тэд огтлолцох, эсвэл шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байх цорын ганц боломж юм. Шулуун шугамаас энэ шулуун огтлолцох хавтгай хүртэлх зай ямар байх ёстой гэж та бодож байна вэ? Ийм зай тэгтэй тэнцүү байх нь энд ойлгомжтой юм шиг надад санагдаж байна. Сонирхолтой тохиолдол биш.

Хоёр дахь тохиолдол нь илүү төвөгтэй юм: энд зай аль хэдийн тэг биш байна. Гэсэн хэдий ч шугам нь хавтгайтай параллель байх тул шугамын цэг бүр энэ хавтгайгаас ижил зайд байна.

Тиймээс:

Энэ нь миний даалгавар өмнөх ажил руу буурсан гэсэн үг юм: бид шулуун шугамын аль ч цэгийн координатыг хайж, хавтгайн тэгшитгэлийг хайж, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолж байна. Үнэн хэрэгтээ Улсын нэгдсэн шалгалтад ийм даалгавар маш ховор байдаг. Би зөвхөн нэг асуудлыг олж чадсан бөгөөд үүн доторх өгөгдөл нь координатын арга нь тийм ч тохиромжтой биш байсан!

Одоо өөр, илүү чухал ангиллын асуудал руу шилжье:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолох

Бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Бидний зайг хайж буй цэгийн координатууд:

2. Шулуун дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд

3. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатууд

Бид ямар томъёог ашигладаг вэ?

Энэ бутархайн хуваагч нь юу гэсэн үг вэ гэдэг нь танд ойлгомжтой байх ёстой: энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх векторын урт юм. Энэ бол маш төвөгтэй тоологч юм! Илэрхийлэл нь векторуудын вектор үржвэрийн модуль (урт) гэсэн үг бөгөөд вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох талаар бид ажлын өмнөх хэсэгт судалсан. Мэдлэгээ сэргээ, бидэнд одоо маш их хэрэгтэй болно!

Тиймээс асуудлыг шийдэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бид зайг хайж буй цэгийн координатыг хайж байна:

2. Бид зайг хайж буй шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг хайж байна.

3. Векторыг байгуул

4. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг байгуул

5. Вектор үржвэрийг тооцоол

6. Бид үүссэн векторын уртыг хайна:

7. Зайг тооцоол:

Бидэнд хийх ажил маш их байгаа бөгөөд жишээнүүд нь нэлээд төвөгтэй байх болно! Тиймээс одоо бүх анхаарлаа төвлөрүүл!

1. Дээд тал нь тэгш өнцөгт гурвалжин пи-ра-ми-да өгөгдсөн. Пи-ра-ми-ды үндсэн дээр зуун-ро- тэнцүү байна, та тэнцүү байна. Саарал ирмэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг олох ба энд цэгүүд нь саарал ирмэг ба мал эмнэлгийн цэг юм.

2. Хавирганы урт ба шулуун өнцөг-но-го par-ral-le-le-pi-pe-da нь тэнцүү бөгөөд дээд талаас шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү, цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн цэвэрхэн зураг зурдаг.

Бидэнд хийх ажил их байна! Юуны өмнө би юуг эрэлхийлж, ямар дарааллаар эрэлхийлэхээ үгээр тайлбарлахыг хүсч байна.

1. Цэгүүдийн координат ба

2. Цэгийн координат

3. Цэгүүдийн координат ба

4. Векторуудын координат ба

5. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүн

6. Векторын урт

7. Вектор үржвэрийн урт

8. хүртэлх зай

За, биднийг маш их ажил хүлээж байна! Ханцуй шамлан орцгооё!

1. Пирамидын өндрийн координатыг олохын тулд бид цэгийн координатыг мэдэх шаардлагатай бөгөөд түүний ординат нь түүний абсциссатай тэнцүү, учир нь түүний өндөр нь тэгш талт гурвалжин, энэ нь оройноос эхлэн тоолох харьцаагаар хуваагдана. Эцэст нь бид координатуудыг олж авлаа:

Цэгийн координат

2. - сегментийн дунд хэсэг

3. - сегментийн дунд хэсэг

Сегментийн дунд цэг

4. Координат

Вектор координат

5. Вектор үржвэрийг тооцоол:

6. Векторын урт: солих хамгийн хялбар арга бол сегмент нь гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь суурийн хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгэхээр.

7. Вектор үржвэрийн уртыг тооцоол.

8. Эцэст нь бид зайг олно:

Өө, тэгээд л болоо! Би та нарт чин сэтгэлээсээ хэлье: энэ асуудлыг шийдэх арга зам юм уламжлалт аргууд(барилга байгууламжаар дамжуулан), энэ нь илүү хурдан байх болно. Гэхдээ энд би бүх зүйлийг бэлэн алгоритм болгон бууруулсан! Шийдлийн алгоритм танд ойлгомжтой гэж бодож байна уу? Тиймээс үлдсэн хоёр асуудлаа өөрсдөө шийдээч гэж хэлье. Хариултуудыг харьцуулж үзье?

Дахин хэлэхэд би давтан хэлье: эдгээр асуудлыг шийдэхээс илүүтэйгээр барилга байгууламжаар дамжуулан шийдвэрлэх нь илүү хялбар (илүү хурдан) юм. координатын арга. Би зөвхөн "юу ч барьж дуусгахгүй" гэсэн бүх нийтийн аргыг харуулахын тулд энэхүү шийдлийн аргыг харуулсан.

Эцэст нь, асуудлын сүүлийн ангиллыг авч үзье.

огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох

Энд асуудлыг шийдэх алгоритм нь өмнөхтэй төстэй байх болно. Бидэнд байгаа зүйл:

3. Нэг ба хоёрдугаар шугамын цэгүүдийг холбосон дурын вектор:

Шугам хоорондын зайг хэрхэн олох вэ?

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тоолуур нь холимог үржвэрийн модуль (бид өмнөх хэсэгт танилцуулсан), хуваагч нь өмнөх томьёоны адил (шулуун шугамын чиглэлийн векторуудын вектор үржвэрийн модуль, тэдгээрийн хоорондох зай) юм. хайж байна).

Би танд сануулъя

Дараа нь зайны томъёог дахин бичиж болно:

Энэ нь тодорхойлогчоор хуваагдсан тодорхойлогч юм! Үнэнийг хэлэхэд надад энд хошигнох цаг алга! Энэ томъёо нь үнэн хэрэгтээ маш төвөгтэй бөгөөд нэлээд хүргэдэг нарийн төвөгтэй тооцоолол. Хэрэв би чиний оронд байсан бол эцсийн арга хэмжээ болгон л үүнийг хийх байсан!

Дээрх аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

1. Бүх ирмэг нь тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин призмд ба шулуунуудын хоорондох зайг ол.

2. Тэгш өнцөгт гурвалжин призм өгвөл суурийн бүх ирмэгүүд нь биеийн хавиргаар дамжин өнгөрөх хэсэгтэй тэнцүү бөгөөд се-ре-ди-худаг хавирга нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. ба шулуун шугамын хоорондох зайг ол

Би эхнийхийг нь шийднэ, үүний үндсэн дээр та хоёрыг шийднэ!

1. Би призм зурж, шулуун ба тэмдэглэнэ

С цэгийн координат: тэгвэл

Цэгийн координат

Вектор координат

Цэгийн координат

Вектор координат

Вектор координат

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(массив)(*(20)(l))(\begin(массив)(*(20)(c))0&1&0\төгсгөл(массив))\\(\begin(массив)(*(20) (c))0&0&1\төгсгөл(массив))\\(\эхлэх(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\төгсгөл(массив))\төгс(массив)) \баруун| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Бид векторуудын хоорондох вектор үржвэрийг тооцоолно

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(массив)(l)\begin(массив)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(массив)\\\begin(массив) )(*(20)(c))0&0&1\төгсгөл(массив)\\\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\төгсгөл(массив)\төгс(массив) \баруун| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Одоо бид түүний уртыг тооцоолно:

Хариулт:

Одоо хоёр дахь даалгавраа анхааралтай хийж үзээрэй. Үүний хариулт нь: .

Координат ба векторууд. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм. - векторын эхлэл, - векторын төгсгөл.
Векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэвектор - векторыг илэрхийлэх сегментийн урт. гэж тэмдэглэсэн.

Вектор координатууд:

,
векторын төгсгөлүүд хаана байна \displaystyle a .

Векторуудын нийлбэр: .

Векторуудын бүтээгдэхүүн:

Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн:

Нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Тэдний радиус векторыг, гүйдлийн радиус векторыг -ээр тэмдэглэвэл бид шаардлагатай тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр хялбархан гаргаж чадна. Үнэн хэрэгтээ векторууд нь хоорондоо уялдаатай байх ёстой (тэд бүгд хүссэн хавтгайд байрладаг). Тиймээс эдгээр векторуудын вектор-скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой.

Энэ бол вектор хэлбэрээр өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл юм.

Координат руу шилжихэд бид координат дахь тэгшитгэлийг олж авна.

Хэрэв өгөгдсөн гурван цэг нэг шулуун дээр байвал векторууд нь коллинеар болно. Тиймээс (18) тэгшитгэлийн тодорхойлогчийн сүүлийн хоёр мөрийн харгалзах элементүүд нь пропорциональ байх ба тодорхойлогч нь тэгтэй ижил тэнцүү байх болно. Үүний үр дүнд (18) тэгшитгэл нь x, y, z-ийн аль ч утгуудын хувьд ижил болно. Геометрийн хувьд энэ нь сансар огторгуйн цэг бүрээр өгөгдсөн гурван цэг байрлах хавтгай дамждаг гэсэн үг юм.

Тайлбар 1. Вектор ашиглахгүйгээр ижил асуудлыг шийдэж болно.

Өгөгдсөн гурван цэгийн координатыг тус тус тэмдэглэж, эхний цэгээр дамжин өнгөрөх аливаа хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ.

Хүссэн хавтгайн тэгшитгэлийг олж авахын тулд (17) тэгшитгэлийг өөр хоёр цэгийн координатаар хангах шаардлагатай.

Тэгшитгэлээс (19) хоёр коэффициентийн гурав дахь харьцааг тодорхойлж, олсон утгыг тэгшитгэлд (17) оруулах шаардлагатай.

Жишээ 1. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Эдгээр цэгүүдийн эхнийх нь дундуур өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл нь:

Онгоц (17) өөр хоёр цэг ба эхний цэгээр дамжин өнгөрөх нөхцөл нь:

Эхний тэгшитгэл дээр хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмбэл бид дараахь зүйлийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

(17) тэгшитгэлд A, B, C-ийн оронд 1, 5, -4 (тэдгээртэй пропорциональ тоо) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 2. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

(0, 0, 0) цэгийг дайран өнгөрөх аливаа хавтгайн тэгшитгэл нь] болно.

Энэ хавтгай (1, 1, 1) ба (2, 2, 2) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх нөхцөл нь:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор бууруулснаар хоёр үл мэдэгдэхийг тодорхойлохын тулд нэг тэгшитгэл байгааг бид харж байна.

Эндээс бид авдаг. Одоо тэгшитгэлд хавтгайн утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Энэ бол хүссэн онгоцны тэгшитгэл юм; дур зоргоороо л шалтгаална

B, C хэмжигдэхүүнүүд (өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх хязгааргүй тооны хавтгай байдаг (3 өгөгдсөн цэг нь нэг шулуун дээр байрладаг).

Тайлбар 2. Нэг шулуун дээр хэвтэхгүй өгөгдсөн гурван цэгээр хавтгай зурах асуудлыг тодорхойлогчийг ашиглавал ерөнхий хэлбэрээр хялбархан шийдэж болно. Үнэн хэрэгтээ (17) ба (19) тэгшитгэлийн A, B, C коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж чадахгүй тул эдгээр тэгшитгэлийг дараах байдлаар авч үзэх болно. нэгэн төрлийн системГурван үл мэдэгдэх A, B, C-тэй бид энэ системийн тэгээс ялгаатай шийдэл байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг бичнэ (1-р хэсэг, VI бүлэг, § 6):

Энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлсний дараа бид одоогийн координаттай холбоотой нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь ялангуяа өгөгдсөн гурван цэгийн координатаар хангагдах болно.

Та мөн эдгээр цэгүүдийн аль нэгнийх нь координатыг оронд нь орлуулах замаар үүнийг шууд баталгаажуулж болно. Зүүн талд бид эхний эгнээний элементүүд тэг эсвэл хоёр ижил мөр байх тодорхойлогчийг авна. Ийнхүү байгуулсан тэгшитгэл нь өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг илэрхийлнэ.

Энэ материалд бид нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван өөр цэгийн координатыг мэддэг бол хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн олох талаар авч үзэх болно. Үүнийг хийхийн тулд бид гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын систем гэж юу болохыг санах хэрэгтэй. Эхлэхийн тулд бид энэ тэгшитгэлийн үндсэн зарчмыг танилцуулж, тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Эхлээд бид нэг аксиомыг санах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:

Тодорхойлолт 1

Гурван цэг нь хоорондоо давхцахгүй, нэг шулуун дээр оршдоггүй бол гурван хэмжээст орон зайд зөвхөн нэг хавтгай тэдгээрээр дамжин өнгөрдөг.

Өөрөөр хэлбэл, координат нь давхцдаггүй, шулуун шугамаар холбогдож болохгүй гурван өөр цэг байвал түүгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тодорхойлж болно.

Тэгш өнцөгт координатын системтэй гэж бодъё. Үүнийг O x y z гэж тэмдэглэе. Энэ нь M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) координаттай гурван M цэгийг агуулдаг бөгөөд тэдгээрийг холбох боломжгүй. шулуун шугам. Эдгээр нөхцөл дээр үндэслэн бид шаардлагатай онгоцны тэгшитгэлийг бичиж болно. Энэ асуудлыг шийдэх хоёр арга бий.

1. Эхний арга нь ерөнхий хавтгай тэгшитгэлийг ашигладаг. Үсгийн хэлбэрээр A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 гэж бичнэ. Үүний тусламжтайгаар та тэгш өнцөгт координатын системд эхний өгөгдсөн M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгээр дамжин өнгөрөх тодорхой альфа хавтгайг тодорхойлж болно. α хавтгайн хэвийн вектор нь A, B, C координатуудтай байх болно.

Н-ийн тодорхойлолт

Хэвийн векторын координат ба хавтгай өнгөрөх цэгийн координатыг мэдсэнээр бид энэ хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг бичиж болно.

Энэ бол цаашдаа бид цааш явах болно.

Тиймээс, асуудлын нөхцлийн дагуу бид онгоц дамжин өнгөрөх хүссэн цэгийн (гурван ч гэсэн) координатуудтай болно. Тэгшитгэлийг олохын тулд түүний хэвийн векторын координатыг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг n → гэж тэмдэглэе.

Дүрмийг санацгаая: өгөгдсөн хавтгайн тэг биш вектор нь ижил хавтгайн хэвийн векторт перпендикуляр байна. Дараа нь бид n → анхны M 1 M 2 → ба M 1 M 3 → цэгүүдээс бүрдсэн векторуудад перпендикуляр байх болно. Дараа нь бид n → -г M 1 M 2 → · M 1 M 3 → хэлбэрийн вектор үржвэр гэж тэмдэглэж болно.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ба M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 байх тул (эдгээр тэгш байдлын нотолгоог цэгүүдийн координатаас векторын координатыг тооцоолоход зориулагдсан нийтлэлд өгсөн болно), дараа нь дараахь зүйл гарч ирнэ.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Хэрэв бид тодорхойлогчийг тооцоолох юм бол бидэнд хэрэгтэй n → хэвийн векторын координатыг олж авна. Одоо бид өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэлээ бичиж болно.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) -аар дамжин өнгөрөх тэгшитгэлийг олох хоёр дахь арга. векторуудын харьцуулалт гэх мэт ойлголт дээр суурилдаг.

Хэрэв бид M (x, y, z) цэгүүдтэй бол тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийн хавтгайг тодорхойлно. , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) зөвхөн M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 векторууд байх тохиолдолд. → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ба M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) хос хавтгай байх болно. .

Диаграммд энэ нь иймэрхүү харагдах болно.

Энэ нь M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → векторуудын холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх болно: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0. , учир нь энэ нь харилцан уялдаатай байх үндсэн нөхцөл юм: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) ба M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Гарсан тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье.

Тодорхойлогчийг тооцоолсны дараа бид M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) нэг шулуун дээр ороогүй гурван цэгт шаардлагатай хавтгай тэгшитгэлийг гаргаж чадна. ), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Үүссэн тэгшитгэлээс хэрвээ асуудлын нөхцөл шаардлагатай бол сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл эсвэл ердийн тэгшитгэл рүү очиж болно.

Дараагийн догол мөрөнд бидний заасан арга барил практикт хэрхэн хэрэгжиж байгаа жишээг өгөх болно.

3 цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл зохиох асуудлын жишээ

Өмнө нь бид хүссэн тэгшитгэлийг олоход ашиглаж болох хоёр аргыг тодорхойлсон. Асуудлыг шийдвэрлэхэд тэдгээрийг хэрхэн ашигладаг, аль нэгийг нь хэзээ сонгох ёстойг харцгаая.

Жишээ 1

М 1 (- 3, 2, - 1), М 2 (- 1, 2, 4), М 3 (3, 3, - 1) координатуудтай нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг байдаг. Тэдгээрийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Бид хоёр аргыг ээлжлэн ашигладаг.

1. Бидэнд хэрэгтэй M 1 M 2 →, M 1 M 3 → хоёр векторын координатыг ол:

М 1 М 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ М 1 М 2 → = (2 , 0 , 5) М 1 М 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ М 1 М 3 → = 6 , 1 , 0

Одоо тэдний вектор үржвэрийг тооцоолъё. Бид тодорхойлогчийн тооцоог тайлбарлахгүй.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Бидэнд гурван шаардлагатай цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны хэвийн вектор байна: n → = (- 5, 30, 2) . Дараа нь бид цэгүүдийн аль нэгийг, жишээлбэл, M 1 (- 3, 2, - 1) авч, n → = (- 5, 30, 2) вектор бүхий хавтгайн тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид үүнийг олж авна: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Энэ бол гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд хэрэгтэй тэгшитгэл юм.

2. Өөр хандлагыг авч үзье. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) гурван цэгтэй хавтгайн тэгшитгэлийг бичье. дараах хэлбэр:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Энд та асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг орлуулж болно. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, үр дүнд нь бид:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Бид шаардлагатай тэгшитгэлээ авсан.

Хариулт:- 5 х + 30 у + 2 з - 73 .

Гэхдээ өгөгдсөн цэгүүд нэг шулуун дээр байгаа хэвээр байгаа бөгөөд бид тэдгээрийн хавтгай тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай бол яах вэ? Энэ нөхцөл байдал бүрэн зөв биш гэдгийг шууд хэлэх ёстой. Ийм цэгүүдээр хязгааргүй олон онгоц өнгөрч болох тул ганц хариултыг тооцоолох боломжгүй юм. Асуултыг ийм томъёолсон нь буруу гэдгийг батлахын тулд ийм асуудлыг авч үзье.

Жишээ 2

Бид гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системтэй бөгөөд гурван цэгийг M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) координатуудаар байрлуулсан байдаг. , 1) . Үүнийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Эхний аргыг хэрэглэж, M 1 M 2 → ба M 1 M 3 → хоёр векторын координатыг тооцоолж эхэлье. Тэдний координатыг тооцоолъё: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Хөндлөн бүтээгдэхүүн нь дараахтай тэнцүү байх болно.

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → тул бидний векторууд хоорондоо уялдаатай байх болно (хэрэв та энэ ойлголтын тодорхойлолтыг мартсан бол тэдгээрийн тухай нийтлэлийг дахин уншина уу). Тиймээс M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) эхний цэгүүд нэг шулуун дээр байгаа бөгөөд бидний бодлого хязгааргүй олон байна. сонголтуудын хариулт.

Хэрэв бид хоёр дахь аргыг ашиглавал бид дараахь зүйлийг авна.

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Үүссэн тэгшитгэлээс харахад өгөгдсөн цэгүүд M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) ижил шулуун дээр байна.

Хэрэв та энэ асуудлын хязгааргүй олон сонголтоос дор хаяж нэг хариулт олохыг хүсвэл дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

1. M 1 M 2, M 1 M 3 эсвэл M 2 M 3 шугамын тэгшитгэлийг бич (шаардлагатай бол энэ үйлдлийн талаархи материалыг харна уу).

2. M 1 M 2 шулуун дээр хэвтэхгүй M 4 (x 4, y 4, z 4) цэгийг ав.

3. Нэг шулуун дээр оршдоггүй M 1, M 2, M 4 өөр гурван цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу