Udhëzimet

Nëse një trekëndësh i caktuar është dykëndësh ose i rregullt, atëherë ai ka
dy ose tre anët, pastaj përgjysmuesja e saj, sipas pasurisë trekëndëshi, do të jetë gjithashtu mediana. Prandaj, e kundërta do të ndahet në gjysmë me përgjysmues.

Matni anën e kundërt me një vizore trekëndëshi, ku do të priret përgjysmuesi. Ndani këtë anë në gjysmë dhe vendosni një pikë në mes të anës.

Vizatoni një vijë të drejtë që kalon nëpër pikën e ndërtuar dhe kulmin e kundërt. Kjo do të jetë përgjysmues trekëndëshi.

Burimet:

• Medianat, përgjysmuesit dhe lartësitë e një trekëndëshi

Ndarja e një këndi përgjysmë dhe llogaritja e gjatësisë së një vije të tërhequr nga maja e saj në anën e kundërt është diçka që duhet të jenë në gjendje të bëjnë prerësit, gjeodetët, instaluesit dhe njerëzit e disa profesioneve të tjera.

Do t'ju duhet

• Mjetet Vizitor i lapsit Këndimtari Tabelat e sinuseve dhe kosinuseve Formulat dhe konceptet matematikore: Përkufizimi i një përgjysmues Teorema e sinusit dhe kosinusit Teorema e përgjysmimit

Udhëzimet

Ndërtoni një trekëndësh të madhësisë së kërkuar, në varësi të asaj që ju jepet? brinjët dfe dhe këndi ndërmjet tyre, tri brinjë ose dy kënde dhe brinja që ndodhet ndërmjet tyre.

Emërtoni kulmet e qosheve dhe anëve me shkronjat tradicionale latine A, B dhe C. Kulmet e qosheve shënohen me , kurse anët e kundërta me shkronja të vogla. Etiketoni këndet me shkronja greke?,? Dhe?

Duke përdorur teoremat e sinuseve dhe kosinuseve, llogaritni këndet dhe brinjët trekëndëshi.

Mbani mend përgjysmorët. Përgjysmues - pjesëtimi i një këndi në gjysmë. Përgjysmues këndi trekëndëshi ndan të kundërtën në dy segmente, të cilat janë të barabarta me raportin e dy anëve ngjitur trekëndëshi.

Vizatoni përgjysmorët e këndeve. Etiketoni segmentet që rezultojnë me emrat e këndeve të shkruara shkronja te vogla, me nënshkrim l. Ana c ndahet në segmente a dhe b me indekse l.

Llogaritni gjatësinë e segmenteve që rezultojnë duke përdorur ligjin e sinuseve.

Video mbi temën

shënim

Gjatësia e segmentit, i cili është njëkohësisht brinja e trekëndëshit e formuar nga njëra nga anët e trekëndëshit origjinal, përgjysmuesja dhe vetë segmenti, llogaritet duke përdorur ligjin e sinuseve. Për të llogaritur gjatësinë e një segmenti tjetër të së njëjtës anë, përdorni raportin e segmenteve që rezultojnë dhe anëve ngjitur të trekëndëshit origjinal.

Këshilla të dobishme

Për të shmangur konfuzionin, vizatoni përgjysmues kënde të ndryshme ngjyra të ndryshme.

përgjysmues këndi quhet rreze që fillon në kulm këndi dhe e ndan në dy pjesë të barabarta. Ato. për të shpenzuar përgjysmues, ju duhet të gjeni mesin këndi. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është me një busull. Në këtë rast, nuk keni nevojë të bëni ndonjë llogaritje dhe rezultati nuk do të varet nga fakti nëse sasia është këndi një numër i plotë.

Do t'ju duhet

• busull, laps, vizore.

Udhëzimet

Duke e lënë gjerësinë e hapjes së busullës të njëjtë, vendosni gjilpërën në fund të segmentit në njërën nga anët dhe vizatoni një pjesë të rrethit në mënyrë që të vendoset brenda këndi. Bëni të njëjtën gjë me të dytën. Do të përfundoni me dy pjesë rrathësh që do të kryqëzohen brenda këndi- afërsisht në mes. Pjesët e rrathëve mund të kryqëzohen në një ose dy pika.

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Për të ndërtuar përgjysmuesin e një këndi, mund të përdorni një raportor, por kjo metodë kërkon më shumë saktësi. Për më tepër, nëse vlera e këndit nuk është një numër i plotë, gjasat e gabimeve në ndërtimin e përgjysmuesit rriten.

Kur ndërtoni ose zhvilloni projekte të projektimit të shtëpisë, shpesh është e nevojshme të ndërtoni qoshe, e barabartë me atë që është tashmë në dispozicion. Modelet dhe njohuritë shkollore të gjeometrisë vijnë në shpëtim.

Udhëzimet

Një kënd formohet nga dy vija të drejta që dalin nga një pikë. Kjo pikë do të quhet kulm i këndit, dhe vijat do të jenë anët e këndit.

Përdorni tre për të treguar qoshet: një në krye, dy në anët. I thirrur qoshe, duke filluar me germën që qëndron në njërën anë, pastaj quhet shkronja që qëndron në krye dhe pastaj shkronja në anën tjetër. Përdorni të tjerët për të treguar këndet nëse preferoni ndryshe. Ndonjëherë emërtohet vetëm një shkronjë, e cila është në krye. Dhe ju mund të tregoni kënde me shkronja greke, për shembull, α, β, γ.

Ka situata kur është e nevojshme qoshe, në mënyrë që të jetë më i ngushtë se këndi i dhënë. Nëse nuk është e mundur të përdorni një raportor gjatë ndërtimit, mund të kaloni vetëm me një vizore dhe një busull. Supozoni, në një vijë të drejtë të shënuar me shkronjat MN, ju duhet të ndërtoni qoshe në pikën K, në mënyrë që të jetë e barabartë me këndin B. Domethënë, nga pika K është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë me drejtëzën MN. qoshe, i cili do të jetë i barabartë me këndin B.

Së pari, shënoni një pikë në secilën anë të një këndi të caktuar, për shembull, pikat A dhe C, pastaj lidhni pikat C dhe A me një vijë të drejtë. Merr tre qoshe nik ABC.

Tani ndërtoni të njëjtën tre në vijën e drejtë MN qoshe në mënyrë që kulmi i tij B të jetë në vijë në pikën K. Përdorni rregullën për ndërtimin e një trekëndëshi qoshe nnik në tre. Hiqeni segmentin KL nga pika K. Duhet të jetë i barabartë me segmentin BC. Merrni pikën L.

Nga pika K vizatoni një rreth me rreze të barabartë me segmentin BA. Nga L, vizatoni një rreth me rreze CA. Lidhni pikën që rezulton (P) e kryqëzimit të dy rrathëve me K. Merrni tre qoshe KPL, e cila do të jetë e barabartë me tre qoshe libri ABC. Kështu arrini qoshe K. Do të jetë e barabartë me këndin B. Për ta bërë atë më të përshtatshëm dhe më të shpejtë, vendosni segmente të barabarta nga kulmi B, duke përdorur një hapje busullore, pa lëvizur këmbët, përshkruani një rreth me të njëjtën rreze nga pika K.

Video mbi temën

Këshilla 5: Si të ndërtoni një trekëndësh duke përdorur dy brinjë dhe një mesatare

Një trekëndësh është figura më e thjeshtë gjeometrike që ka tre kulme të lidhura në çift me segmente që formojnë brinjët e këtij shumëkëndëshi. Segmenti që lidh kulmin me mesin e anës së kundërt quhet mediane. Duke ditur gjatësinë e dy brinjëve dhe mesataren që lidhet në njërën nga kulmet, mund të ndërtoni një trekëndësh pa pasur informacion për gjatësinë e brinjës së tretë ose madhësinë e këndeve.

Udhëzimet

Vizatoni një segment nga pika A, gjatësia e të cilit është një nga brinjët e njohura të trekëndëshit (a). Shënoni pikën fundore të këtij segmenti me shkronjën B. Pas kësaj, njëra nga brinjët (AB) të trekëndëshit të dëshiruar tashmë mund të konsiderohet e ndërtuar.

Duke përdorur një busull, vizatoni një rreth me rreze të barabartë me dyfishin e gjatësisë së mesatares (2∗m) dhe me qendër në pikën A.

Duke përdorur një busull, vizatoni një rreth të dytë me një rreze të barabartë me gjatësinë e anës së njohur (b) dhe me një qendër në pikën B. Lëreni busullën mënjanë për një kohë, por lëreni atë të matur mbi të - do t'ju duhet sërish pak më vonë.

Ndërtoni një segment të vijës që lidh pikën A me pikën e kryqëzimit të dy atyre që keni vizatuar. Gjysma e këtij segmenti do të jetë ai që po ndërtoni - matni këtë gjysmë dhe vendosni pikën M. Në këtë moment ju keni njërën anë të trekëndëshit të dëshiruar (AB) dhe mesataren e tij (AM).

Duke përdorur një busull, vizatoni një rreth me rreze të barabartë me gjatësinë e anës së dytë të njohur (b) dhe me qendër në pikën A.

Vizatoni një segment që duhet të fillojë në pikën B, të kalojë nëpër pikën M dhe të përfundojë në pikën e kryqëzimit të vijës së drejtë me rrethin që keni vizatuar në hapin e mëparshëm. Përcaktoni pikën e kryqëzimit me shkronjën C. Tani ana BC, e panjohur sipas kushteve të problemit, është ndërtuar në atë të dëshiruar.

Aftësia për të ndarë çdo kënd me një përgjysmues është e nevojshme jo vetëm për të marrë një "A" në matematikë. Kjo njohuri do të jetë shumë e dobishme për ndërtuesit, dizajnerët, topografët dhe rrobaqepësit. Në jetë, ju duhet të jeni në gjendje të ndani shumë gjëra në gjysmë.

Të gjithë në shkollë mësuan një shaka për një miu që vrapon nëpër qoshe dhe e ndan këndin përgjysmë. Emri i këtij brejtësi të shkathët dhe inteligjent ishte Bisector. Nuk dihet se si miu ndau këndin, por metodat e mëposhtme mund të sugjerohen për matematikanët në tekstin shkollor "Gjeometria".

Duke përdorur një raportor

Mënyra më e lehtë për të kryer një përgjysmues është përdorimi i një pajisjeje për. Duhet të lidhni raportorin në njërën anë të këndit, duke e vendosur pikën e referencës me majën e saj O. Më pas matni këndin në gradë ose radianë dhe ndajeni me dy. Duke përdorur të njëjtin raportor, lini mënjanë shkallët e fituara nga njëra anë dhe vizatoni një vijë të drejtë, e cila do të bëhet një përgjysmues, në pikën e fillimit të këndit O.

Duke përdorur një busull

Ju duhet të merrni një busull dhe ta zhvendosni atë në çdo madhësi arbitrare (brenda kufijve të vizatimit). Pasi të keni vendosur majën në pikën fillestare të këndit O, vizatoni një hark që kryqëzon rrezet, duke shënuar dy pika mbi to. Ata janë caktuar A1 dhe A2. Pastaj, duke e vendosur busullën në mënyrë alternative në këto pika, duhet të vizatoni dy rrathë me të njëjtin diametër arbitrar (në shkallën e vizatimit). Pikat e tyre të kryqëzimit janë caktuar C dhe B. Më pas, duhet të vizatoni një vijë të drejtë përmes pikave O, C dhe B, e cila do të jetë përgjysmuesja e dëshiruar.

Duke përdorur një vizore

Në mënyrë që të vizatoni përgjysmuesin e një këndi duke përdorur një vizore, duhet të hiqni segmente me të njëjtën gjatësi nga pika O në rrezet (anët) dhe t'i caktoni ato si pika A dhe B. Më pas duhet t'i lidhni me një vijë të drejtë dhe, duke përdorur një vizore, ndajeni segmentin që rezulton në gjysmë, duke përcaktuar pikën C. Një përgjysmues do të merret nëse vizatoni një vijë të drejtë përmes pikave C dhe O.

Asnjë mjet

Nëse nuk ka mjete matëse, mund të përdorni zgjuarsinë tuaj. Mjafton thjesht të vizatoni një kënd në letër gjurmuese ose në letër të hollë të zakonshme dhe ta palosni me kujdes copën e letrës në mënyrë që rrezet e këndit të rreshtohen. Vija e palosjes në vizatim do të jetë përgjysmuesja e dëshiruar.

Këndi i drejtë

Një kënd më i madh se 180 gradë mund të ndahet me një përgjysmues duke përdorur të njëjtat metoda. Vetëm do të jetë e nevojshme të ndahet jo ajo, por këndi akut ngjitur me të, duke mbetur nga rrethi. Vazhdimi i përgjysmuesit të gjetur do të bëhet vija e drejtë e dëshiruar, duke e ndarë këndin e shpalosur në gjysmë.

Këndet në një trekëndësh

Duhet mbajtur mend se në një trekëndësh barabrinjës përgjysmues është gjithashtu mesatarja dhe lartësia. Prandaj, përgjysmuesja në të mund të gjendet thjesht duke ulur pingulen në anën përballë këndit (lartësinë) ose duke e ndarë këtë anë në gjysmë dhe duke lidhur pikën e mesit me këndin e kundërt (mesatar).

Video mbi temën

Rregulli mnemonik "një përgjysmues është një miu që vrapon nëpër qoshet dhe i ndan ato në gjysmë" përshkruan thelbin e konceptit, por nuk jep rekomandime për ndërtimin e një përgjysmimi. Për ta nxjerrë atë, përveç rregullit, do t'ju duhet një busull dhe një sundimtar.

Udhëzimet

Le të themi se ju duhet të ndërtoni përgjysmues këndi A. Merrni një busull, vendoseni majën e tij në pikën A (kënd) dhe vizatoni një rreth të cilitdo . Aty ku kryqëzon anët e këndit, vendosni pikat B dhe C.

Matni rrezen e rrethit të parë. Vizatoni një tjetër me të njëjtën rreze, duke vendosur një busull në pikën B.

Vizatoni rrethin tjetër (të barabartë në madhësi me ato të mëparshme) me qendër në pikën C.

Të tre rrathët duhet të kryqëzohen në një pikë - le ta quajmë atë F. Duke përdorur një vizore, vizatoni një rreze që kalon nëpër pikat A dhe F. Kjo do të jetë përgjysmuesja e dëshiruar e këndit A.

Ka disa rregulla që do t'ju ndihmojnë të gjeni. Për shembull, është e kundërta në , e barabartë me raportin e dy anëve ngjitur. Në isosceles

Përgjysmuesja e një trekëndëshi është një koncept gjeometrik i zakonshëm që nuk shkakton shumë vështirësi në të mësuar. Duke pasur njohuri për vetitë e tij, ju mund të zgjidhni shumë probleme pa shumë vështirësi. Çfarë është një përgjysmues? Ne do të përpiqemi ta njohim lexuesin me të gjitha sekretet e kësaj linje matematikore.

Në kontakt me

Thelbi i konceptit

Emri i konceptit vjen nga përdorimi i fjalëve në latinisht, kuptimi i të cilave është "bi" - dy, "sectio" - për të prerë. Ata në mënyrë specifike tregojnë për kuptimi gjeometrik konceptet - thyerja e hapësirës midis rrezeve në dy pjesë të barabarta.

Përgjysmuesja e trekëndëshit është një segment që buron nga kulmi i figurës dhe skaji tjetër vendoset në anën që ndodhet përballë tij, duke e ndarë hapësirën në dy pjesë identike.

Për të mësuar përmendësh shpejt në mënyrë asociative konceptet matematikore, shumë mësues përdorin terminologji të ndryshme, e cila pasqyrohet në poezi ose shoqata. Sigurisht, përdorimi i këtij përkufizimi rekomandohet për fëmijët më të rritur.

Si është caktuar kjo linjë? Këtu ne mbështetemi në rregullat për përcaktimin e segmenteve ose rrezeve. Nëse po flasim për në lidhje me përcaktimin e përgjysmuesit të këndit të një figure trekëndore, zakonisht shkruhet si një segment, skajet e të cilit janë kulmin dhe pikën e prerjes me anën përballë kulmit. Për më tepër, fillimi i shënimit shkruhet pikërisht nga kulmi.

Kujdes! Sa përgjysmues ka një trekëndësh? Përgjigja është e qartë: aq sa ka kulme - tre.

Vetitë

Përveç përkufizimit, jo shumë veti të këtij koncepti gjeometrik mund të gjenden në një tekst shkollor. Vetia e parë e përgjysmuesit të një trekëndëshi me të cilën njihen nxënësit e shkollës është qendra e mbishkruar, dhe e dyta, e lidhur drejtpërdrejt me të, është proporcionaliteti i segmenteve. Përfundimi është ky:

1. Cilado qoftë vija ndarëse, ka pika në të që janë në të njëjtën distancë nga anët, të cilat përbëjnë hapësirën ndërmjet rrezeve.
2. Për të vendosur një rreth në një figurë trekëndore, është e nevojshme të përcaktohet pika në të cilën këto segmente do të kryqëzohen. Kjo është ajo që është pika qendrore rrathët.
3. Janë të vendosura pjesët e faqes së një figure gjeometrike trekëndore në të cilën e ndan vija ndarëse V varësia proporcionale nga anët që formojnë këndin.

Ne do të përpiqemi të sjellim veçoritë e mbetura në sistem dhe të paraqesim fakte shtesë që do të ndihmojnë për të kuptuar më mirë avantazhet e këtij koncepti gjeometrik.

Gjatësia

Një nga llojet e problemeve që shkakton vështirësi për nxënësit e shkollës është gjetja e gjatësisë së përgjysmuesit të një këndi të një trekëndëshi. Opsioni i parë, i cili përmban gjatësinë e tij, përmban të dhënat e mëposhtme:

• sasia e hapësirës ndërmjet rrezeve nga kulmi i së cilës del një segment i caktuar;
• gjatësitë e brinjëve që formojnë këtë kënd.

Për të zgjidhur problemin formula e përdorur, kuptimi i të cilit është gjetja e raportit të prodhimit të vlerave të brinjëve që përbëjnë këndin, i rritur me 2 herë, me kosinusin e gjysmës së tij me shumën e brinjëve.

Le të shohim një shembull specifik. Supozoni se na është dhënë një figurë ABC, në të cilën një segment është tërhequr nga këndi A dhe pret anën BC në pikën K. Vlerën e A-së e shënojmë si Y. Bazuar në këtë, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Versioni i dytë i problemit, në të cilin përcaktohet gjatësia e përgjysmuesit të një trekëndëshi, përmban të dhënat e mëposhtme:

• janë të njohura kuptimet e të gjitha anëve të figurës.

Kur zgjidhni një problem të këtij lloji, fillimisht përcaktoni gjysmëperimetrin. Për ta bërë këtë, duhet të shtoni vlerat e të gjitha anëve dhe të ndani në gjysmë: p=(AB+BC+AC)/2. Më pas, ne aplikojmë formulën llogaritëse që është përdorur për të përcaktuar gjatësinë e këtij segmenti në problemin e mëparshëm. Është e nevojshme vetëm të bëhen disa ndryshime në thelbin e formulës në përputhje me parametrat e rinj. Pra, është e nevojshme të gjendet raporti i rrënjës së dyfishtë të fuqisë së dytë të produktit të gjatësive të anëve që janë ngjitur me kulmin me gjysmëperimetrin dhe ndryshimin midis gjysmëperimetrit dhe gjatësisë së anën përballë saj me shumën e brinjëve që përbëjnë këndin. Kjo është, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Kujdes! Për ta bërë më të lehtë zotërimin e materialit, mund t'i drejtoheni tregimeve komike të disponueshme në internet që tregojnë për "aventurat" e kësaj linje.

Një trekëndësh është një shumëkëndësh me tre brinjë, ose një vijë e mbyllur e thyer me tre lidhje, ose një figurë e formuar nga tre segmente që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (shih Fig. 1).

Elementet thelbësore trekëndësh abc

Majat – pikat A, B dhe C;

Partitë – segmentet a = BC, b = AC dhe c = AB që lidhin kulmet;

Kënde – α, β, γ të formuar nga tre palë brinjë. Këndet shpesh përcaktohen në të njëjtën mënyrë si kulmet, me shkronjat A, B dhe C.

Këndi i formuar nga brinjët e një trekëndëshi dhe i shtrirë në zonën e brendshme të tij quhet kënd i brendshëm, dhe ai ngjitur me të është këndi fqinj i trekëndëshit (2, f. 534).

Lartësitë, mesataret, përgjysmuesit dhe mesin e një trekëndëshi

Përveç elementeve kryesore në një trekëndësh, konsiderohen edhe segmente të tjera me veti interesante: lartësitë, mesataret, përgjysmuesit dhe vijat e mesit.

Lartësia

Lartësitë e trekëndëshit- këto janë pingule të rënë nga kulmet e trekëndëshit në anët e kundërta.

Për të përcaktuar lartësinë, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) vizatoni një vijë të drejtë që përmban njërën nga anët e trekëndëshit (nëse lartësia është tërhequr nga kulmi i një këndi akut në një trekëndësh të mpirë);

2) nga kulmi që shtrihet përballë vijës së vizatuar, vizatoni një segment nga pika në këtë vijë, duke bërë një kënd prej 90 gradë me të.

Pika e prerjes së lartësisë mbidetare me brinjën e trekëndëshit quhet baza e lartësisë (shih Fig. 2).

Vetitë e lartësive të trekëndëshit

Në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia e tërhequr nga kulmi kënd i drejtë, e ndan atë në dy trekëndësha të ngjashëm me trekëndëshin origjinal.

Në një trekëndësh akut, dy lartësitë e tij prenë trekëndësha të ngjashëm prej tij.

Nëse trekëndëshi është i mprehtë, atëherë të gjitha bazat e lartësive i përkasin brinjëve të trekëndëshit, dhe në një trekëndësh të mpirë, dy lartësi bien në vazhdimin e brinjëve.

Tri lartësi në një trekëndësh akut kryqëzohen në një pikë dhe kjo pikë quhet ortoqendër trekëndëshi.

mesatare

Mediat(nga latinishtja mediana - "mesi") - këto janë segmente që lidhin kulmet e trekëndëshit me pikat e mesme të anëve të kundërta (shih Fig. 3).

Për të ndërtuar median, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) gjeni mesin e anës;

2) lidhni me një segment pikën që është mesi i brinjës së trekëndëshit me kulmin e kundërt.

Vetitë e medianave të trekëndëshit

Mediana ndan një trekëndësh në dy trekëndësha me sipërfaqe të barabartë.

Medianat e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë, e cila e ndan secilën prej tyre në një raport 2:1, duke llogaritur nga kulmi. Kjo pikë quhet qendra e gravitetit trekëndëshi.

I gjithë trekëndëshi ndahet me anësoret e tij në gjashtë trekëndësha të barabartë.

përgjysmues

Përgjysmues(nga latinishtja bis - dy herë dhe seko - prerë) janë segmentet e vijës së drejtë të mbyllur brenda një trekëndëshi që përgjysmojnë këndet e tij (shih Fig. 4).

Për të ndërtuar një përgjysmues, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) ndërtoni një rreze që del nga kulmi i këndit dhe e ndan atë në dy pjesë të barabarta (përgjysmuesin e këndit);

2) gjeni pikën e kryqëzimit të përgjysmuesit të këndit të trekëndëshit me anën e kundërt;

3) zgjidhni një segment që lidh kulmin e trekëndëshit me pikën e kryqëzimit në anën e kundërt.

Vetitë e përgjysmuesve të trekëndëshit

Përgjysmuesja e një këndi të një trekëndëshi ndan anën e kundërt në një raport të barabartë me raportin e dy brinjëve ngjitur.

Përgjysmuesit e këndeve të brendshme të një trekëndëshi priten në një pikë. Kjo pikë quhet qendra e rrethit të brendashkruar.

Përgjysmuesit e këndeve të brendshëm dhe të jashtëm janë pingul.

Nëse përgjysmuesja e një këndi të jashtëm të një trekëndëshi pret shtrirjen e anës së kundërt, atëherë ADBD=ACBC.

Përgjysmuesit e një këndi të brendshëm dhe dy këndit të jashtëm të një trekëndëshi priten në një pikë. Kjo pikë është qendra e njërës nga tre rrethon këtë trekëndësh.

Bazat e përgjysmuesve të dy këndeve të brendshme dhe një të jashtme të një trekëndëshi shtrihen në të njëjtën drejtëz nëse përgjysmuesja e këndit të jashtëm nuk është paralel me anën e kundërt të trekëndëshit.

Nëse përgjysmorët e këndeve të jashtëm të një trekëndëshi nuk janë paralel me anët e kundërta, atëherë bazat e tyre shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Sot do të jetë një mësim shumë i lehtë. Ne do të shqyrtojmë vetëm një objekt - përgjysmuesin e këndit - dhe do të vërtetojmë vetinë e tij më të rëndësishme, e cila do të jetë shumë e dobishme për ne në të ardhmen.

Thjesht mos u relaksoni: ndonjëherë studentët që duan të marrin një rezultat të lartë në të njëjtin Provim të Unifikuar të Shtetit ose Provim të Unifikuar të Shtetit nuk mund të formulojnë me saktësi përkufizimin e një përgjysmimi në mësimin e parë.

Dhe në vend që të bëjmë detyra vërtet interesante, ne humbim kohë në gjëra kaq të thjeshta. Pra, lexoni, shikoni dhe miratoni atë.

Për të filluar, një pyetje paksa e çuditshme: çfarë është një kënd? Kjo është e drejtë: një kënd është thjesht dy rreze që dalin nga e njëjta pikë. Për shembull:

Shembuj të këndeve: akut, i mpirë dhe i drejtë

Siç mund ta shihni nga fotografia, këndet mund të jenë akute, të mpirë, të drejtë - tani nuk ka rëndësi. Shpesh, për lehtësi, në secilën rreze shënohet një pikë shtesë dhe thonë se para nesh është këndi $AOB$ (i shkruar si $\këndi AOB$).

Kapiteni Obviousness duket se lë të kuptohet se përveç rrezeve $OA$ dhe $OB$, është gjithmonë e mundur të vizatohen një tufë më shumë rreze nga pika $O$. Por midis tyre do të ketë një të veçantë - ai quhet përgjysmues.

Përkufizimi. Përgjysmuesja e një këndi është rrezja që del nga kulmi i atij këndi dhe e përgjysmon këndin.

Për këndet e mësipërme, përgjysmuesit do të duken kështu:

Shembuj të përgjysmuesve për kënde akute, të mpirë dhe të drejtë

Meqenëse në vizatimet reale nuk është gjithmonë e qartë se një rreze e caktuar (në rastin tonë është rrezja $OM$) e ndan këndin origjinal në dy të barabarta, në gjeometri është zakon të shënohet kënde të barabarta i njëjti numër harqesh (në vizatimin tonë ky është 1 hark për një kënd akut, dy për një kënd të mpirë, tre për një kënd të drejtë).

Mirë, ne e kemi rregulluar përkufizimin. Tani ju duhet të kuptoni se çfarë karakteristikash ka përgjysmuesi.

Vetia kryesore e përgjysmuesit të këndit

Në fakt, përgjysmuesi ka shumë veti. Dhe ne patjetër do t'i shikojmë ato në mësimin e ardhshëm. Por ka një truk që duhet ta kuptoni tani:

Teorema. Përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta nga anët e një këndi të caktuar.

E përkthyer nga matematika në rusisht, kjo do të thotë dy fakte njëherësh:

1. Çdo pikë e shtrirë në përgjysmuesin e një këndi të caktuar është në të njëjtën distancë nga anët e këtij këndi.
2. Dhe anasjelltas: nëse një pikë shtrihet në të njëjtën distancë nga anët e një këndi të caktuar, atëherë është e garantuar të shtrihet në përgjysmuesin e këtij këndi.

Para se të vërtetojmë këto pohime, le të sqarojmë një pikë: si quhet saktësisht distanca nga një pikë në anën e një këndi? Këtu përcaktimi i mirë i vjetër i distancës nga një pikë në një vijë do të na ndihmojë:

Përkufizimi. Distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e pingulit të tërhequr nga një pikë e caktuar në këtë drejtëz.

Për shembull, merrni parasysh një vijë $l$ dhe një pikë $A$ që nuk shtrihet në këtë vijë. Le të vizatojmë një pingul me $AH$, ku $H\në l$. Atëherë gjatësia e kësaj pingule do të jetë distanca nga pika $A$ deri te drejtëza $l$.

Paraqitja grafike e distancës nga një pikë në një vijë

Meqenëse një kënd është thjesht dy rreze, dhe secila rreze është një pjesë e një vije të drejtë, është e lehtë të përcaktohet distanca nga pika në anët e këndit. Këto janë vetëm dy pingule:

Përcaktoni distancën nga pika në anët e këndit

Kjo eshte e gjitha! Tani e dimë se çfarë është distanca dhe çfarë është një përgjysmues. Prandaj, ne mund të vërtetojmë pronën kryesore.

Siç u premtuam, ne do ta ndajmë provën në dy pjesë:

1. Distancat nga pika në përgjysmues në brinjët e këndit janë të njëjta

Konsideroni një kënd arbitrar me kulmin $O$ dhe përgjysmues $OM$:

Le të vërtetojmë se pikërisht kjo pikë $M$ është në të njëjtën distancë nga anët e këndit.

Dëshmi. Le të vizatojmë pingule nga pika $M$ në anët e këndit. Le t'i quajmë $M((H)_(1))$ dhe $M((H)_(2))$:

Vizatoni pingulet në anët e këndit

Mori dy trekëndësh kënddrejtë: $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$. Ata kanë një hipotenuzë të përbashkët $OM$ dhe kënde të barabarta:

1. $\këndi MO((H)_(1))=\këndi MO((H)_(2))$ sipas kushtit (pasi $OM$ është një përgjysmues);
2. $\këndi M((H)_(1))O=\këndi M((H)_(2))O=90()^\rreth $ sipas ndërtimit;
3. $\kënd OM((H)_(1))=\kënd OM((H)_(2))=90()^\circ -\kënd MO((H)_(1))$, meqenëse shuma qoshe të mprehta i një trekëndëshi kënddrejtë është gjithmonë 90 gradë.

Rrjedhimisht, trekëndëshat janë të barabartë në anë dhe dy kënde ngjitur (shih shenjat e barazisë së trekëndëshave). Prandaj, në veçanti, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, d.m.th. distancat nga pika $O$ deri te brinjët e këndit janë vërtet të barabarta. Q.E.D. :)

2. Nëse largësitë janë të barabarta, atëherë pika qëndron në përgjysmues

Tani situata është e kundërt. Le të jepet një kënd $O$ dhe një pikë $M$ e barabartë nga anët e këtij këndi:

Le të vërtetojmë se rrezja $OM$ është një përgjysmues, d.m.th. $\kënd MO((H)_(1))=\kënd MO((H)_(2))$.

Dëshmi. Së pari, le të vizatojmë këtë rreze $OM$, përndryshe nuk do të ketë asgjë për të provuar:

Përçuar rreze $OM$ brenda këndit

Përsëri marrim dy trekëndësha kënddrejtë: $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$. Është e qartë se ato janë të barabarta sepse:

1. Hipotenuza $OM$ - e përgjithshme;
2. Këmbët $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ sipas gjendjes (në fund të fundit, pika $M$ është e barabartë nga anët e këndit);
3. Këmbët e mbetura janë gjithashtu të barabarta, sepse nga teorema e Pitagorës $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Prandaj, trekëndëshat $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$ në tre anët. Në veçanti, këndet e tyre janë të barabartë: $\kënd MO((H)_(1))=\kënd MO((H)_(2))$. Dhe kjo thjesht do të thotë se $OM$ është një përgjysmues.

Për të përfunduar provën, ne shënojmë këndet e barabarta që rezultojnë me harqe të kuq:

Përgjysmuesja ndan këndin $\kënd ((H)_(1))O((H)_(2))$ në dy të barabarta

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar. Ne kemi vërtetuar se përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta me anët e këtij këndi.

Tani që pak a shumë kemi vendosur për terminologjinë, është koha për të kaluar në nivelin tjetër. Në mësimin tjetër do të shikojmë vetitë më komplekse të përgjysmuesit dhe do të mësojmë se si t'i zbatojmë ato për të zgjidhur problemet reale.

Në mesin e lëndëve të shumta të shkollës së mesme ka një të tillë si "gjeometria". Tradicionalisht besohet se themeluesit e kësaj shkence sistematike janë grekët. Sot, gjeometria greke quhet elementare, pasi ishte ajo që filloi studimin e formave më të thjeshta: aeroplanët, vijat e drejta dhe trekëndëshat. Ne do ta përqendrojmë vëmendjen tek kjo e fundit, ose më mirë te përgjysmuesja e kësaj figure. Për ata që e kanë harruar tashmë, përgjysmuesja e një trekëndëshi është një segment i përgjysmuesit të njërit prej këndeve të trekëndëshit, i cili e ndan atë në gjysmë dhe lidh kulmin me një pikë të vendosur në anën e kundërt.

Përgjysmuesja e një trekëndëshi ka një numër karakteristikash që duhet të dini kur zgjidhni probleme të caktuara:

• Përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të vendosura në distanca të barabarta nga anët ngjitur me këndin.
• Përgjysmuesja në një trekëndësh ndan anën përballë këndit në segmente që janë proporcionale me brinjët ngjitur. Për shembull, jepet një trekëndësh MKB, ku një përgjysmues del nga këndi K, duke lidhur kulmin e këtij këndi me pikën A në anën e kundërt MB. Pasi kemi analizuar këtë veti dhe trekëndëshin tonë, kemi MA/AB=MK/KB.
• Pika në të cilën përgjysmuesit e të tre këndeve të një trekëndëshi kryqëzohen është qendra e një rrethi që është brendashkruar në të njëjtin trekëndësh.
• Bazat e përgjysmuesve të një këndi të jashtëm dhe dy këndit të brendshëm janë në të njëjtën drejtëz, me kusht që përgjysmuesi i këndit të jashtëm të mos jetë paralel me anën e kundërt të trekëndëshit.
• Nëse dy përgjysmues të njërës, atëherë kjo

Duhet të theksohet se nëse jepen tre përgjysmues, atëherë ndërtimi i një trekëndëshi prej tyre, qoftë edhe me ndihmën e një busull, është i pamundur.

Shumë shpesh, kur zgjidhen probleme, përgjysmuesi i një trekëndëshi është i panjohur, por është e nevojshme të përcaktohet gjatësia e tij. Për të zgjidhur këtë problem, duhet të dini këndin që përgjysmohet nga përgjysmuesja dhe anët ngjitur me këtë kënd. Në këtë rast, gjatësia e kërkuar përcaktohet si raporti i dyfishit të produktit të anëve ngjitur me këndin dhe kosinusit të këndit të ndarë në gjysmë me shumën e brinjëve ngjitur me këndin. Për shembull, duke pasur parasysh të njëjtin trekëndësh MKB. Përgjysmuesja del nga këndi K dhe kryqëzohet anën e kundërt MV në pikën A. Këndi nga i cili del përgjysmuesja do të shënohet me y. Tani le të shkruajmë gjithçka që thuhet me fjalë në formën e një formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Nëse vlera e këndit nga del përgjysmuesja e trekëndëshit është e panjohur, por të gjitha brinjët e tij janë të njohura, atëherë për të llogaritur gjatësinë e përgjysmuesit do të përdorim një ndryshore shtesë, të cilën do ta quajmë gjysmëperimetër dhe do ta shënojmë me shkronja P: P=1/2*(MK+KB+MB). Pas kësaj, ne do të bëjmë disa ndryshime në formulën e mëparshme me të cilën u përcaktua gjatësia e përgjysmuesit, përkatësisht, në numëruesin e fraksionit vendosim dyfishin e produktit të gjatësive të anëve ngjitur me këndin nga gjysmëperimetri. dhe herësi, ku gjatësia e anës së tretë i zbritet gjysmëperimetrit. Le ta lëmë emëruesin të pandryshuar. Në formën e një formule, do të duket kështu: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Përgjysmuesja e një trekëndëshi izoscelular, së bashku me vetitë e përgjithshme, ka gjithashtu disa të sajat. Le të kujtojmë se çfarë lloj trekëndëshi është ky. Një trekëndësh i tillë ka dy brinjë të barabarta dhe kënde të barabarta ngjitur me bazën. Nga kjo rezulton se përgjysmorët që bien në anët anësore të një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë me njëri-tjetrin. Për më tepër, përgjysmuesja e ulur në bazë është edhe lartësia edhe mesatarja.