Mga tagubilin

Hanapin ang domain ng function. Halimbawa, ang function na sin(x) ay tinukoy sa buong pagitan mula -∞ hanggang +∞, at ang function na 1/x ay tinukoy mula -∞ hanggang +∞, maliban sa puntong x = 0.

Tukuyin ang mga lugar ng pagpapatuloy at mga punto ng hindi pagkakatuloy. Karaniwan ang isang function ay tuloy-tuloy sa parehong rehiyon kung saan ito tinukoy. Upang makita ang mga discontinuities, dapat kalkulahin ng isa habang ang argumento ay lumalapit sa mga nakahiwalay na punto sa loob ng domain ng kahulugan. Halimbawa, ang function na 1/x ay may posibilidad na infinity kapag x→0+, at minus infinity kapag x→0-. Nangangahulugan ito na sa puntong x = 0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri.
Kung ang mga limitasyon sa discontinuity point ay may hangganan, ngunit hindi pantay, kung gayon ito ay isang discontinuity ng unang uri. Kung pantay ang mga ito, ang function ay itinuturing na tuloy-tuloy, kahit na hindi ito tinukoy sa isang nakahiwalay na punto.

Hanapin vertical asymptotes, kung sila ay. Ang mga kalkulasyon mula sa nakaraang hakbang ay makakatulong sa iyo dito, dahil ang vertical asymptote ay halos palaging matatagpuan sa discontinuity point ng pangalawang uri. Gayunpaman, kung minsan hindi mga indibidwal na punto ang hindi kasama sa domain ng kahulugan, ngunit ang buong pagitan ng mga punto, at pagkatapos ay ang mga patayong asymptote ay maaaring matatagpuan sa mga gilid ng mga agwat na ito.

Suriin kung ang function ay may mga espesyal na katangian: kahit, kakaiba, at pana-panahon.
Ang function ay magiging kahit na para sa alinmang x sa domain f(x) = f(-x). Halimbawa, cos(x) at x^2 - kahit na mga function.

Ang periodicity ay isang ari-arian na nagsasabi na mayroong isang tiyak na bilang na T, na tinatawag na tuldok, na para sa alinmang x f(x) = f(x + T). Halimbawa, ang lahat ng pangunahing trigonometriko function(sine, cosine, tangent) - panaka-nakang.

Hanapin ang mga puntos. Upang gawin ito, kalkulahin ang derivative ng ibinigay na function at hanapin ang mga halaga ng x kung saan ito ay nagiging zero. Halimbawa, ang function na f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ay may derivative na g(x) = 3x^2 + 18x, na naglalaho sa x = 0 at x = -6.

Upang matukoy kung aling mga extremum point ang maxima at alin ang minima, subaybayan ang pagbabago sa mga senyales ng derivative sa mga nakitang zero. Ang g(x) ay nagbabago ng sign mula sa plus sa puntong x = -6, at sa puntong x = 0 pabalik mula minus hanggang plus. Dahil dito, ang function na f(x) ay may pinakamababa sa unang punto at pinakamababa sa pangalawa.

Kaya, nakakita ka rin ng mga rehiyon ng monotonicity: f(x) monotonically tumataas sa interval -∞;-6, monotonically bumababa sa -6;0 at tumataas muli sa 0;+∞.

Hanapin ang pangalawang derivative. Ipapakita ng mga ugat nito kung saan magiging matambok ang graph ng isang ibinigay na function at kung saan ito magiging malukong. Halimbawa, ang pangalawang derivative ng function na f(x) ay magiging h(x) = 6x + 18. Napupunta ito sa zero sa x = -3, binabago ang sign mula minus hanggang plus. Dahil dito, ang graph ng f(x) bago ang puntong ito ay magiging matambok, pagkatapos nito - malukong, at ang puntong ito mismo ay magiging isang inflection point.

Ang isang function ay maaaring may iba pang mga asymptotes bukod sa mga patayo, ngunit kung ang domain ng kahulugan nito ay kinabibilangan ng . Upang mahanap ang mga ito, kalkulahin ang limitasyon ng f(x) kapag x→∞ o x→-∞. Kung ito ay may hangganan, pagkatapos ay natagpuan mo na pahalang na asymptote.

Ang oblique asymptote ay isang tuwid na linya ng anyong kx + b. Upang mahanap ang k, kalkulahin ang limitasyon ng f(x)/x bilang x→∞. Upang mahanap ang b - limit (f(x) – kx) para sa parehong x→∞.

Upang ganap na pag-aralan ang function at i-plot ang graph nito, inirerekomendang gamitin ang sumusunod na scheme:

1) hanapin ang domain ng kahulugan ng function;

2) hanapin ang mga discontinuity point ng function at vertical asymptotes (kung mayroon sila);

3) imbestigahan ang pag-uugali ng function sa infinity, hanapin ang mga pahalang at pahilig na asymptotes;

4) suriin ang function para sa parity (oddness) at periodicity (para sa trigonometric functions);

5) hanapin ang extrema at mga pagitan ng monotonicity ng function;

6) matukoy ang mga agwat ng convexity at mga inflection point;

7) hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes, at, kung maaari, ilang karagdagang mga punto na nagpapaliwanag sa graph.

Ang pag-aaral ng function ay isinasagawa nang sabay-sabay sa pagbuo ng graph nito.

Halimbawa 9 Galugarin ang function at bumuo ng isang graph.

1. Saklaw ng kahulugan: ;

2. Ang function ay naghihirap sa discontinuity sa mga punto
,
;

Sinusuri namin ang function para sa pagkakaroon ng mga vertical asymptotes.

;
,
─ patayong asymptote.

;
,
─ patayong asymptote.

3. Sinusuri namin ang function para sa pagkakaroon ng oblique at horizontal asymptotes.

Diretso
─ oblique asymptote, kung
,
.

,
.

Diretso
─ pahalang na asymptote.

4. Ang function ay kahit na dahil
. Ang parity ng function ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph na nauugnay sa ordinate axis.

5. Hanapin ang monotonicity interval at extrema ng function.

Hanapin natin ang mga kritikal na punto, i.e. mga punto kung saan ang derivative ay 0 o wala:
;
. Mayroon kaming tatlong puntos
;

. Hinahati ng mga puntong ito ang buong totoong axis sa apat na pagitan. Tukuyin natin ang mga palatandaan sa bawat isa sa kanila.

Sa pagitan (-∞; -1) at (-1; 0) tumataas ang function, sa pagitan (0; 1) at (1; +∞) ─ bumababa ito. Kapag dumaan sa isang punto
ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, samakatuwid, sa puntong ito ang function ay may maximum
.

6. Hanapin ang mga pagitan ng convexity at inflection point.

Hanapin natin ang mga punto kung saan ay 0, o wala.

walang tunay na ugat.
,
,

Mga puntos
At
hatiin ang totoong axis sa tatlong pagitan. Tukuyin natin ang tanda sa bawat pagitan.

Kaya, ang curve sa mga pagitan
At
matambok pababa, sa pagitan (-1;1) matambok paitaas; walang mga inflection point, dahil ang function ay nasa mga punto
At
hindi determinado.

7. Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga axes.

Gamit ang ehe
ang graph ng function ay nag-intersect sa punto (0; -1), at sa axis
ang graph ay hindi nagsalubong, dahil ang numerator ng function na ito ay walang tunay na ugat.

Ang graph ng ibinigay na function ay ipinapakita sa Figure 1.

Figure 1 ─ Function graph

Paglalapat ng konsepto ng derivative sa ekonomiya. Pag-andar ng pagkalastiko

Upang pag-aralan ang mga prosesong pang-ekonomiya at malutas ang iba pang inilapat na mga problema, ang konsepto ng elasticity ng isang function ay kadalasang ginagamit.

Kahulugan. Pag-andar ng pagkalastiko
ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng kamag-anak na pagtaas ng function sa relatibong pagtaas ng variable sa
, . (VII)

Ang elasticity ng isang function ay nagpapakita ng humigit-kumulang kung gaano karaming porsyento ang function na magbabago
kapag nagbago ang independent variable ng 1%.

Ang elasticity function ay ginagamit sa pagsusuri ng demand at pagkonsumo. Kung ang pagkalastiko ng demand (sa ganap na halaga)
, ang demand ay itinuturing na elastic kung
─ neutral kung
─ hindi elastikong kaugnay ng presyo (o kita).

Halimbawa 10 Kalkulahin ang elasticity ng function
at hanapin ang halaga ng elasticity index para sa = 3.

Solusyon: ayon sa formula (VII), ang elasticity ng function ay:

Hayaan ang x=3, kung gayon
.Ito ay nangangahulugan na kung ang independent variable ay tumaas ng 1%, ang halaga ng dependent variable ay tataas ng 1.42%.

Halimbawa 11 Hayaang gumana ang demand patungkol sa presyo parang
, Saan ─ pare-pareho ang koepisyent. Hanapin ang halaga ng elasticity indicator ng demand function sa presyo x = 3 den. mga yunit

Solusyon: kalkulahin ang elasticity ng demand function gamit ang formula (VII)

Naniniwala
monetary units, nakukuha namin
. Nangangahulugan ito na sa isang presyo
mga yunit ng pananalapi ang 1% na pagtaas sa presyo ay magdudulot ng 6% na pagbaba sa demand, i.e. elastic ang demand.

Pag-uugali buong pananaliksik at i-plot ang function

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Ang saklaw ng pag-andar. Dahil ang function ay isang fraction, kailangan nating hanapin ang mga zero ng denominator.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Ibinubukod namin ang tanging punto x=1x=1 mula sa domain ng kahulugan ng function at makuha ang:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Pag-aralan natin ang pag-uugali ng function sa paligid ng discontinuity point. Maghanap tayo ng mga one-sided na limitasyon:

Dahil ang mga limitasyon ay katumbas ng infinity, ang puntong x=1x=1 ay isang discontinuity ng pangalawang uri, ang tuwid na linya na x=1x=1 ay isang vertical asymptote.

3) Tukuyin natin ang mga intersection point ng function graph gamit ang mga coordinate axes.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa ordinate axis OyOy, kung saan itinutumbas natin ang x=0x=0:

Kaya, ang punto ng intersection sa OyOy axis ay may mga coordinate (0;8)(0;8).

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa abscissa axis na OxOx, kung saan itinakda natin ang y=0y=0:

Ang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga punto ng intersection sa OxOx axis.

Tandaan na ang x2+8>0x2+8>0 para sa anumang xx. Samakatuwid, para sa x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), ang function na y>0y>0 (kumukuha ng mga positibong halaga, ang graph ay nasa itaas ng x-axis), para sa x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) function y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba dahil:

5) Suriin natin ang function para sa periodicity. Ang function ay hindi pana-panahon, dahil ito ay isang fractional rational function.

6) Suriin natin ang function para sa extrema at monotonicity. Upang gawin ito, nakita namin ang unang derivative ng function:

I-equate natin ang unang derivative sa zero at hanapin ang mga nakatigil na puntos (kung saan ang y′=0y′=0):

Nakakuha kami ng tatlong kritikal na puntos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Hatiin natin ang buong domain ng kahulugan ng function sa mga pagitan na may mga puntong ito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat pagitan:

Para sa x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ang derivative y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para sa x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) ang derivative y′>0y′>0, tumataas ang function sa mga pagitan na ito.

Sa kasong ito, ang x=−2x=−2 ay isang lokal na minimum na punto (ang function ay bumababa at pagkatapos ay tumataas), ang x=4x=4 ay isang lokal na maximum point (ang function ay tumataas at pagkatapos ay bumababa).

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito:

Kaya, ang pinakamababang punto ay (−2;4)(−2;4), ang pinakamataas na punto ay (4;−8)(4;−8).

7) Suriin natin ang function para sa kinks at convexity. Hanapin natin ang pangalawang derivative ng function:

Itumbas natin ang pangalawang derivative sa zero:

Ang resultang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga inflection point. Bukod dito, kapag ang x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 ay nasiyahan, ibig sabihin, ang function ay malukong, kapag x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) ay nasiyahan ng y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Suriin natin ang pag-uugali ng function sa infinity, iyon ay, sa .

Dahil ang mga limitasyon ay walang hanggan, walang mga pahalang na asymptotes.

Subukan nating tukuyin ang oblique asymptotes ng anyong y=kx+by=kx+b. Kinakalkula namin ang mga halaga ng k,bk,b gamit ang mga kilalang formula:

Nalaman namin na ang function ay may isang oblique asymptote y=−x−1y=−x−1.

9) Mga karagdagang puntos. Kalkulahin natin ang halaga ng function sa ilang iba pang mga punto upang mas tumpak na mabuo ang graph.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Batay sa nakuhang datos, gagawa tayo ng graph, dagdagan ito ng mga asymptotes x=1x=1 (asul), y=−x−1y=−x−1 (berde) at markahan ang mga katangiang puntos (purple intersection sa ordinate axis, orange extrema, itim na karagdagang puntos):

Gawain 4: Geometric, Mga problema sa ekonomiya (Wala akong ideya kung ano, narito ang isang tinatayang pagpili ng mga problema sa mga solusyon at mga formula)

Halimbawa 3.23. a

Solusyon. x At y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Dahil ang x = a/4 ang tanging kritikal na punto, tingnan natin kung nagbabago ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa puntong ito. Para sa xa/4 S " > 0, at para sa x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Halimbawa 3.24.

Solusyon.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Halimbawa 3.22. Hanapin ang extrema ng function na f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solusyon. Dahil ang f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), kung gayon ang mga kritikal na punto ng function na x 1 = 2 at x 2 = 3. Ang Extrema ay maaari lamang sa ang mga puntong ito. Kaya tulad ng kapag dumadaan sa puntong x 1 = 2 binago ng derivative ang sign nito mula plus hanggang minus, at sa puntong ito ay may maximum ang function. Kapag dumaan sa punto x 2 = 3 binabago ng derivative ang sign nito mula sa minus sa plus, samakatuwid sa puntong x 2 = 3 ang function ay may pinakamababa. Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng mga halaga ng function sa mga punto
x 1 = 2 at x 2 = 3, nakita namin ang extrema ng function: maximum f(2) = 14 at minimum f(3) = 13.

Halimbawa 3.23. Kinakailangan na bumuo ng isang hugis-parihaba na lugar malapit sa pader ng bato upang ito ay nabakuran sa tatlong panig na may wire mesh, at ang ikaapat na bahagi ay katabi ng dingding. Para dito mayroong a mga linear na metro ng mesh. Sa anong aspect ratio magkakaroon ang site ng pinakamalaking lugar?

Solusyon. Tukuyin natin ang mga gilid ng plataporma sa pamamagitan ng x At y. Ang lugar ng site ay S = xy. Hayaan y- ito ang haba ng gilid na katabi ng dingding. Pagkatapos, ayon sa kondisyon, ang pagkakapantay-pantay na 2x + y = ay dapat hawakan. Samakatuwid y = a - 2x at S = x(a - 2x), kung saan
0 ≤ x ≤ a/2 (ang haba at lapad ng pad ay hindi maaaring negatibo). S " = a - 4x, a - 4x = 0 sa x = a/4, kung saan
y = a - 2×a/4 =a/2. Dahil ang x = a/4 ang tanging kritikal na punto, tingnan natin kung nagbabago ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa puntong ito. Para sa xa/4 S " > 0, at para sa x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Halimbawa 3.24. Kinakailangang gumawa ng closed cylindrical tank na may kapasidad V=16p ≈ 50 m 3 . Ano ang dapat na mga sukat ng tangke (radius R at taas H) upang ang hindi bababa sa halaga ng materyal ay ginagamit para sa paggawa nito?

Solusyon. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng silindro ay S = 2pR(R+H). Alam natin ang volume ng silindro V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Nangangahulugan ito na S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nahanap namin ang derivative ng function na ito:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 para sa R ​​3 = 8, samakatuwid,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Kaugnay na impormasyon.

Sa loob ng ilang panahon ngayon, ang built-in na database ng sertipiko ng TheBat para sa SSL ay tumigil sa paggana nang tama (hindi malinaw kung anong dahilan).

Kapag sinusuri ang post, may lalabas na error:

Hindi kilalang CA certificate
Ang server ay hindi nagpakita ng root certificate sa session at ang kaukulang root certificate ay hindi nakita sa address book.
Ang koneksyon na ito ay hindi maaaring maging lihim. Pakiusap
makipag-ugnayan sa iyong server administrator.

At bibigyan ka ng pagpipilian ng mga sagot - OO / HINDI. At kaya sa tuwing aalisin mo ang mail.

Solusyon

Sa kasong ito, kailangan mong palitan ang pamantayan ng pagpapatupad ng S/MIME at TLS ng Microsoft CryptoAPI sa mga setting ng TheBat!

Dahil kailangan kong pagsamahin ang lahat ng mga file sa isa, na-convert ko muna ang lahat ng mga doc file sa isang solong pdf file (gamit ang Acrobat program), at pagkatapos ay inilipat ito sa fb2 sa pamamagitan ng isang online converter. Maaari ka ring mag-convert ng mga file nang paisa-isa. Ang mga format ay maaaring maging anumang (pinagmulan) - doc, jpg, at kahit isang zip archive!

Ang pangalan ng site ay tumutugma sa kakanyahan :) Online Photoshop.

Update Mayo 2015

Nakahanap ako ng isa pang magandang site! Mas maginhawa at functional para sa paglikha ng ganap na custom na collage! Ito ang site http://www.fotor.com/ru/collage/. Tangkilikin ito para sa iyong kalusugan. At ako mismo ang gagamit nito.

Sa aking buhay ay naranasan ko ang problema sa pag-aayos ng isang electric stove. Marami na akong nagawa, marami akong natutunan, ngunit kahit papaano ay kakaunti ang kinalaman sa mga tile. Kinakailangang palitan ang mga contact sa mga regulator at burner. Ang tanong ay lumitaw - kung paano matukoy ang diameter ng burner sa isang electric stove?

Ang sagot ay naging simple. Hindi mo kailangang sukatin ang anuman, madali mong matukoy sa pamamagitan ng mata kung anong sukat ang kailangan mo.

Pinakamaliit na burner- ito ay 145 millimeters (14.5 centimeters)

Gitnang burner- ito ay 180 millimeters (18 centimeters).

At sa wakas, ang pinaka malaking burner- ito ay 225 millimeters (22.5 centimeters).

Ito ay sapat na upang matukoy ang laki sa pamamagitan ng mata at maunawaan kung anong diameter ang kailangan mo sa burner. Noong hindi ko alam ito, nag-aalala ako tungkol sa mga sukat na ito, hindi ko alam kung paano sukatin, kung aling gilid ang i-navigate, atbp. Now I'm wise :) Sana nakatulong din ako sayo!

Sa buhay ko ay nahaharap ako sa ganoong problema. Sa tingin ko hindi lang ako.

Ang pag-aaral ng isang function ay isinasagawa ayon sa isang malinaw na pamamaraan at nangangailangan ang mag-aaral na magkaroon ng matatag na kaalaman sa mga pangunahing konsepto ng matematika tulad ng domain ng kahulugan at mga halaga, pagpapatuloy ng function, asymptote, extremum point, parity, periodicity, atbp. . Ang mag-aaral ay dapat na malayang makapag-iba-iba ng mga pag-andar at malutas ang mga equation, na kung minsan ay napakasalimuot.

Iyon ay, ang gawaing ito ay sumusubok sa isang makabuluhang layer ng kaalaman, anumang puwang kung saan ay magiging isang balakid sa pagkuha ng tamang solusyon. Lalo na madalas, ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagbuo ng mga graph ng mga function. Ang pagkakamaling ito ay agad na napapansin ng guro at maaaring makapinsala nang husto sa iyong marka, kahit na lahat ng iba pa ay ginawa nang tama. Dito mo mahahanap mga problema sa pananaliksik sa online function: pag-aaral ng mga halimbawa, pag-download ng mga solusyon, pag-order ng mga takdang-aralin.

Galugarin ang isang function at mag-plot ng graph: mga halimbawa at solusyon online

Naghanda kami para sa iyo ng maraming handa na pag-aaral ng function, parehong binayaran sa solution book at libre sa seksyon Mga halimbawa ng function study. Batay sa mga nalutas na gawaing ito, magagawa mong maging pamilyar ang iyong sarili nang detalyado sa pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga katulad na gawain, at isakatuparan ang iyong pananaliksik sa pamamagitan ng pagkakatulad.

Nag-aalok kami ng mga yari na halimbawa ng kumpletong pananaliksik at pag-plot ng mga function ng mga pinakakaraniwang uri: polynomials, fractional-rational, irrational, exponential, logarithmic, trigonometric functions. Ang bawat nalutas na problema ay sinamahan ng isang handa na graph na may naka-highlight na mga pangunahing punto, asymptotes, maxima at minima; ang solusyon ay isinasagawa gamit ang isang algorithm para sa pag-aaral ng function.

Sa anumang kaso, ang mga nalutas na halimbawa ay magiging malaking tulong sa iyo habang sinasaklaw ng mga ito ang pinakasikat na uri ng mga function. Nag-aalok kami sa iyo ng daan-daang nalutas na mga problema, ngunit, tulad ng alam mo, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pag-andar sa matematika sa mundo, at ang mga guro ay mahusay na dalubhasa sa pag-imbento ng higit at mas nakakalito na mga gawain para sa mga mahihirap na estudyante. Kaya, mahal na mga mag-aaral, ang kwalipikadong tulong ay hindi makakasakit sa iyo.

Paglutas ng mga problema sa pananaliksik sa custom na function

Sa kasong ito, ang aming mga kasosyo ay mag-aalok sa iyo ng isa pang serbisyo - full function research online mag-order. Ang gawain ay makukumpleto para sa iyo bilang pagsunod sa lahat ng mga kinakailangan para sa isang algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, na lubos na magpapasaya sa iyong guro.

Gagawin namin ang isang kumpletong pag-aaral ng function para sa iyo: mahahanap namin ang domain ng kahulugan at ang domain ng mga halaga, suriin para sa pagpapatuloy at discontinuity, magtatag ng parity, suriin ang iyong function para sa periodicity, at hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes . At, siyempre, sa karagdagang paggamit ng differential calculus: makakahanap tayo ng mga asymptotes, kalkulahin ang extrema, mga inflection point, at bubuo ng mismong graph.